Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...
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46 3. DAS SYSTEMVERHALTEN UND ... SCHWINGUNGEN Mit der weiteren Analyse der Gleichungen (3.18) und (3.19) und der Berücksichtigung der Ergebnisse für die Untersuchung der singulären Punkte und des Verhaltens des Systems für ω→∞ lassen sich weitere Schlüsse ziehen: 1. Für w=0 existiert, wegen e 1 =0 und damit u=0, eine Ruhelage des Systems im Nullpunkt. Weiterhin kann das System für kleine e1 auch kleine e2 erzeugen, welche K * NL12 > -1.165 ergeben. Damit kann erwartet werden, daß sich für genügend kleine Ansteuerung des Systems ein stationärer Zustand ohne Grenzschwingungen einstellen kann. Die in Bild 3/9 a) dargestellte Simulation bestätigt diese Aussagen. 2. Für größere Werte von w zeigt das System zuerst einen instabilen Charakter, weil K * NL12 < -1.165 wird. Mit dem wachsenden Werten von e2 oder e1 bzw. w bewegt sich K * NL12 auf den Wert 0 zu und das System wird wieder stabil. Damit entstehen möglicherweise Schwingungen im System. Für genügend große Werte von w könnten deswegen auch stationäre Zustände ohne Grenzschwingungen entstehen. Die Simulationsverläufe von Bild 3/10 zeigen die möglichen Grenzschwingungen und die Auswirkung von w(t) auf den stationären Zustand bei größeren Werten von w. 60 40 y(t) 20 0 w(t)=5.0 w(t)=10.0 -20 -40 0 10 20 30 40 50 Time (second) Bild 3/10 Simulationsverläufe zu Beispiel 3.2
3.1 LINEARE BETRACHTUNG NICHTLINEARER DIFFERENTIALGLEICH. 47 Die in diesem Abschnitt vorgestellte Betrachtung eines nichtlinearen Systems ermöglicht die Analyse des Entstehungsvorganges einer potentiellen Schwingung, wenn stabile und instabile Bereiche im System für ω→∞ vorkommen. Allerdings ist es möglich, sich bei Systemen mit vollständig stabilem Bereich für ω→∞ die Schwingungsphänomene für andere Frequenzen vorzustellen. Deswegen muß bei der Schwingungsanalyse mit Hilfe der Harmonischen Balance, eine solche Beschreibung der einzelnen Größe im System angestrebt werden, die für einen transienten Vorgang eine Untersuchung des Systemverhaltens im Frequenzbereich ermöglicht. Gleichzeitig muß gewährleistet werden, daß das Übertragungsverhalten der linearen und nichtlinearen Glieder in einem beliebigen Zeitaugenblick t x für alle Frequenzen 0
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Mit <strong>der</strong> weiteren Analyse <strong>der</strong> Gleichungen (3.18) und (3.19) und <strong>der</strong> Berücksichtigung<br />
<strong>der</strong> Ergebnisse für <strong>die</strong> Untersuchung <strong>der</strong> singulären Punkte und des<br />
Verhaltens des Systems für ω→∞ lassen sich weitere Schlüsse ziehen:<br />
1. Für w=0 existiert, wegen e 1 =0 und damit u=0, eine Ruhelage des<br />
Systems im Nullpunkt. Weiterhin kann das System für kleine e1 auch<br />
kleine e2 erzeugen, welche K * NL12 > -1.165 ergeben. Damit kann erwartet<br />
werden, daß sich für genügend kleine Ansteuerung des Systems ein stationärer<br />
Zustand ohne Grenzschwingungen einstellen kann. Die in Bild 3/9<br />
a) dargestellte Simulation bestätigt <strong>die</strong>se Aussagen.<br />
2. Für größere Werte von w zeigt das System zuerst einen instabilen<br />
Charakter, weil K * NL12 < -1.165 wird. Mit dem wachsenden Werten von e2<br />
o<strong>der</strong> e1 bzw. w bewegt sich K * NL12 auf den Wert 0 zu und das System<br />
wird wie<strong>der</strong> stabil. Damit entstehen möglicherweise Schwingungen im<br />
System. Für genügend große Werte von w könnten deswegen auch stationäre<br />
Zustände ohne Grenzschwingungen entstehen.<br />
Die Simulationsverläufe von Bild 3/10 zeigen <strong>die</strong> möglichen Grenzschwingungen<br />
und <strong>die</strong> Auswirkung von w(t) auf den stationären Zustand bei größeren<br />
Werten von w.<br />
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