Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

38 3. DAS SYSTEMVERHALTEN UND ... SCHWINGUNGEN
v = V w
x
v
v
= A
v
x
v
=
v
C
v
x +
+ B
D
v
v
w
w
(3.9)
r = R u
x
r
= A
x
+
R R R
C
x
=
R R
B
+ D
R
R
u
u
(3.10)
A v , B v , C v , D v sowie A R , B R , C R und D R stellen die bekannten Matrizen der
Zustandsraumdarstellung eines linearen Systems dar.
In (3.6) kann für e (3.8), für v aus (3.8) die Gleichung (3.9) und schließlich für
r aus (3.8) die Gleichung (3.10) eingesetzt werden. Daraus entsteht (3.11).
u = K
NL
C
V
x
V
+ K
NL
D
Vw
+ K
NL
C
R
x
R
+ K
NL
D
R
u
(3.11)
Mit (3.12)
H
− 1
NL
= ( 1 − K
NL
D
R
) K
NL
(3.12)
gilt für (3.11) die Gleichung (3.13).
u = H
NL
C
V
x
V
+ H
NL
C
R
x
R
+ K
NL
D
V
w
(3.13)
Die Darstellung (3.13) ist nur dann möglich, wenn H NL existiert. D.h. die Determinante
det(1-K NL D R ) ≠ 0 ist. Dieser Fall kann bei einem realen System
vorausgesetzt werden, weil sonst gar kein eindeutiger Zusammenhang zwischen
Ein- und Ausgangsgrößen bestehen würde. Weitere Ausführungen hierzu
können beispielsweise [5], Abschnitt 9.1 und 9.3 entnommen werden. Eine
zu (3.13) äquivalente Ausgangsgleichung des nichtlinearen Systems ist in
Blockschreibweise in (3.14) angegeben.
u = ( H
NL
C
v
H
NL
C
R
) x
v + ( H
NL
D
v
) ( w )
x
R
(3.14)