Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

3.1 LINEARE BETRACHTUNG NICHTLINEARER DIFFERENTIALGLEICH. 37
Bezogen auf die Vektoren w und r stellt das nichtlineare System (vgl. Bild 2/7
) eine Serienschaltung von zwei linearen Subsystemen dar. Das nachfolgende
Subsystem kann als eine Reihenschaltung eines „Verstärkungsfaktors“ K NL (e)
gemäß (3.5) mit einer linearen Zustandsstruktur, welche durch die Rückführung
der Größe r gekoppelt ist, angesehen werden. Wegen (3.2) bis (3.5) können
die nichtlinearen Beziehungen in der Form (3.6) dargestellt werden.
u = F
NL
( e)
= K
NL
( e)
e
(3.6)
F NL (e) ist dabei eine Matrix der nichtlinearen Funktionen. Für sie gilt gemäß
(3.3) und (3.4) die Gleichung (3.7).
K NL
K
( e)
=
( e)
,
n
NL11
1
0,
...,
...,
...,
...,
KNL1n
( e)
1
,
n1
K
0,
...,
NL2(n 1+
1)
n2
...,
( e)
,
NL2(n 1+
n2)
..., ..., 0
0, ..., 0
..., ..., ...
(3.7)
Bei der Durchführung der Berechnungen ist an dieser Stelle die Einführung
von fiktiven nichtlinearen Funktionen, die einen 0-Wert liefern, empfehlenswert
(vgl. hierzu [17] und [14] Abschnitt 2.1.2). Damit wird die Dimensionsgleichheit
der nichtlinearen Ein- und Ausgänge und in der Folge die gewünschten
quadratischen Matrizen der Systembeschreibung erreicht. Für e in
(3.6) gilt weiter die Gleichung (3.8).
0,
...,
...,
...,
K
...,
n2
...,
( e)
,
e = v +
r
(3.8)
Für v und r können in Abhängigkeit von w und u sowie der Zustandsvariab-len
x v von V und x R von R die Gleichungen (3.9) und (3.10) angegeben werden
(vgl. hierzu auch [12], Abschnitt 2).