Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

3.1 LINEARE BETRACHTUNG NICHTLINEARER DIFFERENTIALGLEICH. 35
nichtlinearen Differentialgleichungen, welche einen wichtigen Einblick in die
Systemeigenschaften eröffnet.
In jedem beliebigen Zustand des nichtlinearen Systems und zu jedem beliebigen
Zeitpunkt t x (Wegen der Integrationsvariablen t wird hier die Variable t x
verwendet.) gilt für eine eindeutige Kennlinie u = f NL (e) mit einer Eingangsvariablen
e die Beziehung (3.2).
u = f
NL
(e) = e
K
NL
(e)
(3.2)
Damit kann in t x der Zustand einer nichtlinearen Differentialgleichung für
t x +∆t, mit ∆t→0 durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben werden.
Ebenso gelten für nichtlineare Glieder mit mehreren Eingangsvariab-len e 1 ,
e 2 ,..., e n zu einem beliebigen Zeitpunkt t x einer eindeutigen Funktion u=f NL (e 1 ,
e 2 ,..., e n ) die Gleichungen (3.3). Jede der Gleichungen in (3.3) definiert den
gleichen Wert von u, weil u in t x für alle Eingangsvariablen gleich ist. Mit
f
NL
(e1,
e
2tx
,..., e
ntx
)
u =
e1
= K
NL11
(e1)e1,
e
1
f
NL
(e1tx
, e
2
,..., e
ntx
)
u =
e
2
= K
NL12
(e
2
)e
2
,
e
2
,.......,
(3.3)
f
(e
, e
,..., e
NL 1tx 2tx n
u =
e
n
=
e
n
)
K
NL1n
(e
n
)e
n
ist das Übertragungsverhalten zwischen dem Ausgang u und den einzelnen
Eingängen e 1 , e 2 ,..., e n definiert. Das gemeinsame Wirken der Eingänge auf
den Ausgang wird durch die Addition der linken und rechten Seiten von (3.3)
ermittelt. Damit ist es möglich für nichtlineare Funktionen mit mehreren Variablen
in t x eine lineare Ersatzfunktion abzuleiten. Für u gilt damit die Gleichung
(3.4).