Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

34 3. DAS SYSTEMVERHALTEN UND ... SCHWINGUNGEN
Berechnung der singulären Punkte des Systems d.h. dieser Zustände,
für die x = 0 gilt, wobei x für den Vektor der Zustandsvariablen
steht.
Die Bestimmung dieser Zustände eines nichtlinearen Systems ist ausführlich in
der Literatur beschrieben. Beispielsweise können die notwendigen Untersuchungen
gemäß [3] Abs. 1.4 oder 2.2.4 bzw. anderen Literaturquellen entnommen
werden. In diesem Zusammenhang soll darauf hingewiesen werden,
daß diese Berechnungen nicht mit der Berechnung der Stabilität gleichzusetzen
sind. Jene wird separat im Kapitel 6 durchgeführt.
Die erste Einsicht in die stabilen und instabilen Bereiche des nichtlinearen
Systems kann mit Hilfe der Theorie für lineare Systeme erfolgen. Im Abschnitt
3.1 soll auf entscheidende Aspekte ihrer Anwendung näher eingegangen werden.
3.1 Lineare Betrachtung nichtlinearer Differentialgleichungen
mit Kennliniengliedern
Üblicherweise wird bei der linearen Betrachtung nichtlinearer Differentialgleichungen
an die Linearisierung der nichtlinearen Kennlinie u = f NL (e) im
Arbeitspunkt (einem stationären Zustand) gedacht. Dabei werden die für t→∞
gültigen Werte e ∞ berücksichtigt, um die für die Linearisierung notwendigen
Differentialquotienten zu bilden. Damit läßt sich die nichtlineare Kennlinie für
die Änderungen ∆e um den Arbeitspunkt als eine lineare Funktion (3.1) darstellen.
Einzelheiten hierzu können z.B. [5], Abschnitt 2.7 entnommen werden.
∆u
=
n
∂f
NL
∆e
i.
∂e
i= 1 i ∞
Um jedoch zu beurteilen, wie sich ein nichtlineares System in einem Zeitintervall
t x bis t x +∆t, mit ∆t→0 verhalten wird, muß anders vorgegangen werden.
Diese Sichtweise des Systemverhalten, die wegen ∆t→0 zugleich das
Verhalten für ω→∞ darstellt, ermöglicht eine andere lineare Betrachtung der
(3.1)