Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

30 2. NICHTLINEARE DYNAMISCHE SYSTEME
Für die Beschreibung des Systems wird angenommen, daß die Laplace-
Transformierten der einzelnen Vektoren w(t), u(t), e(t) und y(t) existieren. Diese
Festlegung ist nur formell erforderlich, um die Elemente der linearen Matrizen
H, F, V und R zu definieren. Dadurch ist eine einfache Beschreibung des
Systems möglich.
Um eine übersichtliche Schreibweise zu erreichen, wird auf die übliche
Schreibart der transformierten Größen in Großbuchstaben sowie auf den Operator
„s“ verzichtet. Jedes Element der Matrix H, F, V und R stellt eine lineare
Differentialgleichung dar.
Damit gelten für das in Bild 2/6 dargestellte System folgende Gleichungen:
e (n,1) = V (n,q) w (q,1) + R (n,m) u (m,1)
(2.7)
y (k,1) = H (k,q) w (q,1) + F (k,m) u (m,1)
(2.8)
u (m,1) = f NL(m,1) (e 1 , e 2 ,...e n ).
(2.9)
Für die einzelnen Größen gilt:
• n = Anzahl der Eingänge der nichtlinearen Glieder e,
• m = Anzahl der Ausgänge der nichtlinearen Glieder u,
• q = Anzahl der Systemeingänge w,
• k = Anzahl der Systemausgänge y,
• Vektoren : w (q,1) , e (n,1) , u (m,1) , y (k,1) ,
• Matrizen : V (n,q) , H (k,q) , R (n,m) , F (k,m) , f NL(m,1) .
Die Elemente von R, V, H und F sind bei reellen Systemen rationale Funktionen,
die im Weiteren vorausgesetzt werden. Es ist offensichtlich, daß die
nichtlinearen dynamischen Eigenschaften des Systemverhaltens im Zustandsraum
vor allem auf die in Bild 2/7 dargestellte Struktur beschränkt werden
können (vgl. hierzu auch die Ausführungen in Kapitel 5 und 6).