Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...
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28 2. NICHTLINEARE DYNAMISCHE SYSTEME<br />
Um <strong>die</strong>se Umrechnung vorzunehmen, werden zuerst für <strong>die</strong> Zeitableitungen<br />
<strong>der</strong> Variablen w und y neue Variablen gemäß (2.4) eingeführt. Es gilt:<br />
n<br />
(n) d y<br />
y<br />
n<br />
= y =<br />
n<br />
dt<br />
,.....,<br />
d y<br />
y<br />
1<br />
= y<br />
=<br />
dt<br />
m<br />
(m) d w<br />
w<br />
n<br />
= w =<br />
m<br />
dt<br />
,.....,<br />
dw<br />
w<br />
1<br />
= w<br />
=<br />
dt<br />
Mit (2.4) ergibt sich für (2.1) <strong>die</strong> Gleichung (2.5).<br />
(2.4)<br />
F(y<br />
n<br />
,....., y<br />
1,<br />
y, w<br />
m<br />
,....., w<br />
1,<br />
w)<br />
= 0<br />
(2.5)<br />
Aus (2.4) folgt weiter das Gleichungssystem (2.6).<br />
y<br />
2<br />
w = w ,....., = <br />
2<br />
= y ,....., = <br />
1<br />
yn<br />
yn-1<br />
1<br />
wn<br />
wn-1<br />
Aus (2.4) bis (2.6) geht hervor, daß eine nichtlineare Funktion gemäß (2.1)<br />
durch ein in Bild 2/4 dargestelltes System eindeutig wie<strong>der</strong>gegeben ist.<br />
(2.6)<br />
w(t)<br />
y(t)<br />
G iw<br />
(s)<br />
G jy<br />
(s)<br />
w(t)<br />
wm(t)<br />
y(t)<br />
yn(t)<br />
F(yn ,....., y1,<br />
y,<br />
wm ,.., w1,<br />
w)<br />
= 0<br />
W<br />
i<br />
(s) i<br />
G<br />
iw<br />
(s) = = s mit i = 1,..., m<br />
W(s)<br />
y(t)<br />
Yj<br />
(s)<br />
j<br />
G<br />
jy<br />
(s) = = s mit j = 1,..., n<br />
Y(s)<br />
Bild 2/4 Ersatzsystem mit stationären nichtlinearen Kennlinien.
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