Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...
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18 1. EINLEITUNG Demnach soll das System einen stabilen Grenzzyklus GS 1 erzeugen. Tatsächlich jedoch entsteht im System keine Schwingung. Die entsprechende Simulation des Systemverhaltens ist im Bild 1/7 dargestellt. 30 25 20 15 10 e(t) w(t) 5 0 0 20 40 60 80 100 Time (second) Bild 1/7 Simulationsergebnisse zu Beispiel 1.2 mit K F = 2 Bei einer Veränderung des Parameters K F von 2.0 auf 0.8 (vgl. auch Bild 1/6 a) weist die klassische Anwendung der Harmonischen Balance eine tatsächlich vorhandene Grenzschwingung GS 2 aus. Sie ist in Bild 1/8 dargestellt 30 20 10 e(t) w(t) 0 -10 -20 0 20 40 60 80 100 Time (second) Bild 1/8 Simulationsergebnisse zu Beispiel 1.2 mit K F = 0.8 Die Beispiele 1.1 und 1.2 verdeutlichen, daß die zulässigen Bedingungen für die klassische Anwendung der Methode noch nicht ausreichend untersucht wurden. Es ist nicht möglich, Aussagen hinsichtlich der tatsächlichen Tiefpaßeigenschaften der Übertragungsfunktion G(jω) über die zu ermittelnde
1.1 MOTIVATION UND ZIELE DER ARBEIT 19 Frequenz ω GS vorab zu treffen. Weiterhin liefert eine solche Anwendung der Methode unzuverlässige Hinweise zum Vorhandensein der Grenzschwingungen im System. Es ist davon auszugehen, daß das Eigentliche dieser Methode mit anderen Gesetzmäßigkeiten zusammenhängt und das Vorhandensein der Tiefpaßeigenschaften nicht entscheidend für ihre Anwendung ist. Ähnliche Phänomene treten auch bei Untersuchungen von Regelkreisen mit irregulären Übertragungsfunktionen, die wie im Beispiel 1.3 keine Tiefpaßeigenschaften aufweisen. Beispiel 1.3 Die Schwingungseigenschaften des Standardregelkreises von Bild 1/1 mit G(s) gemäß (1.9) und f NL (e) gemäß (1.10) sollen analysiert werden. Die Untersuchung wird mit Hilfe von (1.2) durchgeführt und ist in Bild 1/9 dargestellt. (4 + s)(1 − s) G (s) = (1.9) 2 (2 + s) u = f NL (e) = 2 sgn( e) (1.10) I -1/N(A) = - πA 8 ω=∞ ω R kein Schnittpunkt keine Grenzschwingung G(jω) Bild 1/9 Untersuchung des Regelkreises Beispiel 1.3 gemäß der Gleichung (1.2).
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18 1. EINLEITUNG<br />
Demnach soll das System einen stabilen Grenzzyklus GS 1 erzeugen. Tatsächlich<br />
jedoch entsteht im System keine Schwingung. Die entsprechende Simulation<br />
des Systemverhaltens ist im Bild 1/7 dargestellt.<br />
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e(t)<br />
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Time (second)<br />
Bild 1/7 Simulationsergebnisse zu Beispiel 1.2 mit K F = 2<br />
Bei einer Verän<strong>der</strong>ung des Parameters K F von 2.0 auf 0.8 (vgl. auch Bild 1/6<br />
a) weist <strong>die</strong> klassische Anwendung <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> eine tatsächlich<br />
vorhandene Grenzschwingung GS 2 aus. Sie ist in Bild 1/8 dargestellt<br />
30<br />
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10<br />
e(t)<br />
w(t)<br />
0<br />
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0 20 40 60 80 100<br />
Time (second)<br />
Bild 1/8 Simulationsergebnisse zu Beispiel 1.2 mit K F = 0.8<br />
Die Beispiele 1.1 und 1.2 verdeutlichen, daß <strong>die</strong> zulässigen Bedingungen für<br />
<strong>die</strong> klassische Anwendung <strong>der</strong> Methode noch nicht ausreichend untersucht<br />
wurden. Es ist nicht möglich, Aussagen hinsichtlich <strong>der</strong> tatsächlichen Tiefpaßeigenschaften<br />
<strong>der</strong> Übertragungsfunktion G(jω) über <strong>die</strong> zu ermittelnde
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