Erweiterung der harmonischen Balance fÃ¼r die numerische ...

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166 KAPITEL 8 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK Damit wurden die Voraussetzungen für die Überlegungen zu der Stabilitätsanalyse mit der Methode der Harmonischen Balance in Zusammenhang mit anderen Stabilitätskriterien geschaffen. Dabei wurde basierend auf den Stabilitätskriterien nach Ljapunow eine Stabilitätsdefinition formuliert, die für die Anwendung der Beschreibungsfunktion zugeschnitten ist. Der Grund dafür liegt darin, daß bei der Anwendung der Beschreibungsfunktion die Eingangssignale des Systems berücksichtigt werden müssen. Damit läßt sich zwischen den einzelnen Stabilitätsverhalten der nichtlinearen Systeme unterscheiden (stabiles System mit Dauerschwingungsverhalten, stabiles System mit chaotischem Verhalten). Die eigentliche Herleitung der Stabilitätskriterien erfolgt durch die Aufstellung der Bedingungen für das Verhalten der Lösungen der charakteristischen Gleichung des Systems in Abhängigkeit von der Amplitudenänderung der Variablen, die für die Bildung der Beschreibungsfunktion ausgewählt wurden. Die Formulierung der Kriterien wurde ausschließlich für ein numerisches Verfahren vorgenommen, weil im allgemeinen die Beschreibungsfunktion mit der ersten und einer weiteren beliebigen Harmonischen definiert werden kann. Eine analytische Formulierung des Kriteriums hätte nur dann einen Sinn, wenn die Berechnung der Beschreibungsfunktion auch analytisch vorgenommen werden könnte. Dies ist allerdings nur dann der Fall, wenn die erste und zweite Harmonische verwendet werden. In einigen praktischen Beispielen wurden schließlich viele Anregungen und Hinweise für den Umgang mit der Harmonischen Balance vorgestellt. Sie zeigen, daß diese Methode alleine durch die Anwendung der Beschreibungsfunktion mit zwei Harmonischen ein großes Anwendungsfeld öffnet und das Verständnis für das Verhalten nichtlinearer Systeme erweitert. Nicht zuletzt ermöglicht die vorgestellte Betrachtung der nichtlinearen Systeme die Ausarbeitung neue Syntheseverfahren für die Aufgaben der Regelungsund Schwingungstechnik.
167 ANHANG Verzeichnis wichtiger Formelzeichen und Abkürzungen b Begrenzung ∆X HB Umgebung des Vektors des Zustandes der Harmonischen Balance e, e Eingangsgröße, Vektor der Eingangsgrößen der nichtlinearen Funktionen E,E Amplitude, Vektor der Amplituden einer Harmonischen des Eingangssignals einer Nichtlinearität F Systemmatrix im s-Bereich f NL (e) nichtlineare Funktion F NL (e) Vektor der nichtlinearen Funktionen f R , f I Realteil, Imaginärteil einer Funktion ϕ relative Phasenverschiebung einer Harmonischen des Ausgangssignals bezogen auf ein Eingangssignal einer nichtlinearen Funktion γ absolute Phasenverschiebung des Eingangssignals einer nichtlinearen Funktion H Systemmatrix im s-Bereich I Imaginärteil, Imaginärachse der komplexen Ebene K NL,K NL Ersatzverstärkungsfaktor, Vektor der Ersatzverstärkungsfaktoren einer nichtlinearen Funktion oder einer Harmonischen £ Laplace-Transformation
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UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHE
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Vorwort Die vorliegende Arbeit ents
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8 INHALTSVERZEICHNIS 6. STABILITÄT
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10 1. EINLEITUNG Weiterhin zeigt di
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12 1. EINLEITUNG Die grundlegende F
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14 1. EINLEITUNG Die Funktion (1.4)
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1.2 AUFBAU DER ARBEIT 22 1.2 Aufbau
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2.1 GEEIGNETE STRUKTUR NICHTLINEARE
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2.1 GEEIGNETE STRUKTUR NICHTLINEARE
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2.2 AUFSTELLUNG DER SYSTEMGLEICHUNG
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3.1 LINEARE BETRACHTUNG NICHTLINEAR
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3.2 HARMONISCHE BETRACHTUNG TRANSIE
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56 4.2 BERECHNUNG DER BESCHREIBUNGS
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