Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

166 KAPITEL 8 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
Damit wurden die Voraussetzungen für die Überlegungen zu der Stabilitätsanalyse
mit der Methode der Harmonischen Balance in Zusammenhang mit
anderen Stabilitätskriterien geschaffen. Dabei wurde basierend auf den Stabilitätskriterien
nach Ljapunow eine Stabilitätsdefinition formuliert, die für die
Anwendung der Beschreibungsfunktion zugeschnitten ist. Der Grund dafür
liegt darin, daß bei der Anwendung der Beschreibungsfunktion die Eingangssignale
des Systems berücksichtigt werden müssen. Damit läßt sich zwischen
den einzelnen Stabilitätsverhalten der nichtlinearen Systeme unterscheiden
(stabiles System mit Dauerschwingungsverhalten, stabiles System mit chaotischem
Verhalten).
Die eigentliche Herleitung der Stabilitätskriterien erfolgt durch die Aufstellung
der Bedingungen für das Verhalten der Lösungen der charakteristischen Gleichung
des Systems in Abhängigkeit von der Amplitudenänderung der Variablen,
die für die Bildung der Beschreibungsfunktion ausgewählt wurden. Die
Formulierung der Kriterien wurde ausschließlich für ein numerisches Verfahren
vorgenommen, weil im allgemeinen die Beschreibungsfunktion mit der
ersten und einer weiteren beliebigen Harmonischen definiert werden kann.
Eine analytische Formulierung des Kriteriums hätte nur dann einen Sinn, wenn
die Berechnung der Beschreibungsfunktion auch analytisch vorgenommen
werden könnte. Dies ist allerdings nur dann der Fall, wenn die erste und zweite
Harmonische verwendet werden.
In einigen praktischen Beispielen wurden schließlich viele Anregungen und
Hinweise für den Umgang mit der Harmonischen Balance vorgestellt. Sie
zeigen, daß diese Methode alleine durch die Anwendung der Beschreibungsfunktion
mit zwei Harmonischen ein großes Anwendungsfeld öffnet und das
Verständnis für das Verhalten nichtlinearer Systeme erweitert.
Nicht zuletzt ermöglicht die vorgestellte Betrachtung der nichtlinearen Systeme
die Ausarbeitung neue Syntheseverfahren für die Aufgaben der Regelungsund
Schwingungstechnik.