Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

7.3 BEISPIEL MIT BIFURKATION DES SYSTEMVERHALTENS 159
Weiterhin existiert für das System kein einziger Winkel γ aus (7.40), bei dem
sich mit der Erhöhung der Amplitude E 2 die Pole von (7.41) links der I-Achse
der komplexen Ebene verlagern würden. Für das in Bild 7/48 dargestellte
Zustand der Harmonischen Balance ergibt sich mit λ=5.0, ω=0.508 und γ=0.5
die charakteristische Gleichung (7.43) wobei aus Z 11 (jω) die Werte K NL =0.38
und ϕ=-1.435 berechnet werden.
2.397s 4 +2.709s 3 +2.843s 2 +0.699s+0.574=0
(7.43)
Gleichung (7.43) liefert folgende Polverteilung: s 1 =j0.508, s 2 =-j0.508 und
s 3/4 =-0.565±j0.78. Die Erhöhung der Amplitude E 2 führt dazu, daß der Wert
K NL um ∆K NL größer und Wert ϕ um ∆ϕ kleiner wird. Mit ∆K NL =0.01 und
∆ϕ=0.01 geht die Gleichung (7.43) in (7.44) über.
2.397s 4 +2.709s 3 +2.843s 2 +0.647s+0.581=0
(7.44)
Für (7.44) gilt: s 1/2 =0.011±j0.503 und s 3/4 =-0.576±j0.792. Auch dieser Zustand
der Harmonischen Balance ist instabil.
Die weitere Untersuchung des Systems zeigt, daß es stabile Zustände der
Harmonischen Balance nur dann geben kann, wenn sich mit der Erhöhung von
E 2 der Wert von K NL gleich bleibt und ϕ abnimmt. Entsprechend muß bei
Abnahme von E 2 . der Wert K NL zunehmen oder konstant bleiben und der Winkel
ϕ ebenfalls zunehmen Damit entsteht eine Dauerschwingung mit der
höchstmöglichen Amplitude der zweiten Harmonischen für ω=0.496 d.h. für
die Frequenz der Resonanzstelle (vgl. Bild 7/34 ). Diese Schwingung existiert
nur dann, wenn die Beschreibungsfunktion N 11 an dem Schnittpunkt mit Z 11
für ω=0.496 das gewünschte Verhalten aufweist. Es ist in der Tat der Fall.
In Bild 7/49 ist der Verlauf der Funktion N 11 (E 2 ) für E 0 , E 1 und ϕ 2 als Parameter
dargestellt.