Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...
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158 KAPITEL 7 BEISPIELE Die Stabilität der Zustände der Harmonischen Balance hängt von den Variablen K NL , ϕ, ω und γ aus (7.40) ab. Bei der Analyse der charakteristischen Gleichung des Systems fällt auf, daß diese Zustände, dann instabil sind, wenn die Beziehungen (7.42) berücksichtigt werden. K NL = K + ∆K und NL NL ϕ = ϕ − ∆ϕ (7.42) Die Veränderungen ∆K NL und ∆ϕ werden von den Größen E 0 ,E 1 ,E 2 und ϕ 2 verursacht. Das Verhalten der Zustände der Harmonischen Balance muß jetzt hinsichtlich dieser Änderungen untersucht werden. Die entsprechende Situation ist für einen der Zustände der Harmonischen Balance für ω=0.508 in Bild 7/48 dargestellt. ϕ R I K NL ω Z 11(jω) N 11 I ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ K NL K NL K NL K NL K NL ∆N 11 ∆E 2 E 2 ∆N 11 ϕ 2 ∆ϕ 2 ω=0.508 E 0 E ω 1 ∆N ∆N 11 11 ∆E ∆E 1 0 Z 11(jω) R Bild 7/48 Stabilitätsprüfung des Zustandes der Harmonischen Balance für ω = 0.508 und λ = 5 Das Bild 7/48 zeigt, das dieser Zustand der Harmonischen Balance betreffend des Verhaltens nach E 2 mit der wachsenden Amplitude instabil wird.
7.3 BEISPIEL MIT BIFURKATION DES SYSTEMVERHALTENS 159 Weiterhin existiert für das System kein einziger Winkel γ aus (7.40), bei dem sich mit der Erhöhung der Amplitude E 2 die Pole von (7.41) links der I-Achse der komplexen Ebene verlagern würden. Für das in Bild 7/48 dargestellte Zustand der Harmonischen Balance ergibt sich mit λ=5.0, ω=0.508 und γ=0.5 die charakteristische Gleichung (7.43) wobei aus Z 11 (jω) die Werte K NL =0.38 und ϕ=-1.435 berechnet werden. 2.397s 4 +2.709s 3 +2.843s 2 +0.699s+0.574=0 (7.43) Gleichung (7.43) liefert folgende Polverteilung: s 1 =j0.508, s 2 =-j0.508 und s 3/4 =-0.565±j0.78. Die Erhöhung der Amplitude E 2 führt dazu, daß der Wert K NL um ∆K NL größer und Wert ϕ um ∆ϕ kleiner wird. Mit ∆K NL =0.01 und ∆ϕ=0.01 geht die Gleichung (7.43) in (7.44) über. 2.397s 4 +2.709s 3 +2.843s 2 +0.647s+0.581=0 (7.44) Für (7.44) gilt: s 1/2 =0.011±j0.503 und s 3/4 =-0.576±j0.792. Auch dieser Zustand der Harmonischen Balance ist instabil. Die weitere Untersuchung des Systems zeigt, daß es stabile Zustände der Harmonischen Balance nur dann geben kann, wenn sich mit der Erhöhung von E 2 der Wert von K NL gleich bleibt und ϕ abnimmt. Entsprechend muß bei Abnahme von E 2 . der Wert K NL zunehmen oder konstant bleiben und der Winkel ϕ ebenfalls zunehmen Damit entsteht eine Dauerschwingung mit der höchstmöglichen Amplitude der zweiten Harmonischen für ω=0.496 d.h. für die Frequenz der Resonanzstelle (vgl. Bild 7/34 ). Diese Schwingung existiert nur dann, wenn die Beschreibungsfunktion N 11 an dem Schnittpunkt mit Z 11 für ω=0.496 das gewünschte Verhalten aufweist. Es ist in der Tat der Fall. In Bild 7/49 ist der Verlauf der Funktion N 11 (E 2 ) für E 0 , E 1 und ϕ 2 als Parameter dargestellt.
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158 KAPITEL 7 BEISPIELE<br />
Die Stabilität <strong>der</strong> Zustände <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> hängt von den Variablen<br />
K NL , ϕ, ω und γ aus (7.40) ab. Bei <strong>der</strong> Analyse <strong>der</strong> charakteristischen<br />
Gleichung des Systems fällt auf, daß <strong>die</strong>se Zustände, dann instabil sind, wenn<br />
<strong>die</strong> Beziehungen (7.42) berücksichtigt werden.<br />
K<br />
NL<br />
= K + ∆K<br />
und<br />
NL<br />
NL<br />
ϕ = ϕ − ∆ϕ<br />
(7.42)<br />
Die Verän<strong>der</strong>ungen ∆K NL und ∆ϕ werden von den Größen E 0 ,E 1 ,E 2 und ϕ 2<br />
verursacht. Das Verhalten <strong>der</strong> Zustände <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> muß jetzt<br />
hinsichtlich <strong>die</strong>ser Än<strong>der</strong>ungen untersucht werden. Die entsprechende Situation<br />
ist für einen <strong>der</strong> Zustände <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> für ω=0.508 in Bild<br />
7/48 dargestellt.<br />
ϕ<br />
R<br />
I<br />
K NL<br />
ω<br />
Z 11(jω)<br />
N 11<br />
I<br />
∆ϕ<br />
∆ϕ<br />
∆ϕ ∆ϕ<br />
K NL<br />
K NL<br />
K NL<br />
K NL K NL ∆N 11<br />
∆E 2<br />
E 2<br />
∆N 11<br />
ϕ 2<br />
∆ϕ 2<br />
ω=0.508<br />
E 0 E<br />
ω 1<br />
∆N<br />
∆N 11<br />
11<br />
∆E<br />
∆E 1<br />
0 Z 11(jω)<br />
R<br />
Bild 7/48 Stabilitätsprüfung des Zustandes <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> für<br />
ω = 0.508 und λ = 5<br />
Das Bild 7/48 zeigt, das <strong>die</strong>ser Zustand <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> betreffend<br />
des Verhaltens nach E 2 mit <strong>der</strong> wachsenden Amplitude instabil wird.
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