Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...
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156 KAPITEL 7 BEISPIELE Kennlinien U 0 (E 0 ,E 1 ,E 2 ,ϕ 2 ), die in Bild 7/46 c) und d) als U 0 (E 1 ) mit E 0 ,E 2 und ϕ 2 als Parameter dargestellt ist, in diesem Bereich die E 1 -Achse nicht schneiden (U 0 ≠0). a) I E 0, E 1, E 2, ϕ 2 gemäß (7.30) E 0 ∈(0.0 ... 0.5) b) I E 1, E 2, ϕ 2 gemäß (7.30) E 0 ∈(0.0 ... 0.1) ω=0.1 N 11 ω=0.1 N 11 Z 11 Z 11 R R c) I E 1 ∈(0.56 ... 0.61) E 0 = 0.2 E 2 = 0.51 ϕ 2 = 0.0 R U 0 N 11 ω=0.1 Z 11 E 1 d) I E 1 ∈(0.71 ... 0.79) E 0 = 0.3 E 2 = 0.41 ϕ 2 = 0.39 U 0 N 11 Z 11 ω=0.1 R E 1 Bild 7/46 Prüfung der Bedingungen für den Gleichanteil U 0 =0 des Zustandes der Harmonischen Balance für λ=2 und ω=0.1
7.3 BEISPIEL MIT BIFURKATION DES SYSTEMVERHALTENS 157 Die Prüfung der Bedingung U 0 =0 und ggf. der Stabilität der gefundenen Zustände sowie der Systemeigenschaften für ω→∞ zeigt, daß für λ 1 bis λ ≈ 2.83 können im System nur Dauerschwingungen mit ω=1.0 und E 0 =0 entstehen. Für λ > 2.83 bis ungefähr 3.5 entstehen nur Dauerschwingungen mit ω = 1.0 und einem positiven oder negativen Gleichanteil. Für λ > 3.5 können prinzipiell zuerst auch Dauerschwingungen wie für 2.83 < λ < 3.5 erwartet werden. Mit wachsenden λ-Werten verändert sich jedoch der Verlauf von Z 11 so, daß die Zustände der Harmonischen Balance bei kleineren Amplituden E 2 und E 0 und niedrigeren Frequenzen d.h. für 0
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156 KAPITEL 7 BEISPIELE<br />
Kennlinien U 0 (E 0 ,E 1 ,E 2 ,ϕ 2 ), <strong>die</strong> in Bild 7/46 c) und d) als U 0 (E 1 ) mit E 0 ,E 2 und<br />
ϕ 2 als Parameter dargestellt ist, in <strong>die</strong>sem Bereich <strong>die</strong> E 1 -Achse nicht schneiden<br />
(U 0 ≠0).<br />
a)<br />
I<br />
E 0, E 1, E 2, ϕ 2 gemäß (7.30)<br />
E 0 ∈(0.0 ... 0.5)<br />
b)<br />
I<br />
E 1, E 2, ϕ 2 gemäß (7.30)<br />
E 0 ∈(0.0 ... 0.1)<br />
ω=0.1<br />
N 11<br />
ω=0.1<br />
N 11<br />
Z 11<br />
Z 11<br />
R<br />
R<br />
c)<br />
I<br />
E 1 ∈(0.56 ... 0.61)<br />
E 0 = 0.2<br />
E 2 = 0.51<br />
ϕ 2 = 0.0<br />
R<br />
U 0<br />
N 11<br />
ω=0.1<br />
Z 11<br />
E 1<br />
d)<br />
I<br />
E 1 ∈(0.71 ... 0.79)<br />
E 0 = 0.3<br />
E 2 = 0.41<br />
ϕ 2 = 0.39<br />
U 0<br />
N 11<br />
Z 11<br />
ω=0.1<br />
R<br />
E 1<br />
Bild 7/46 Prüfung <strong>der</strong> Bedingungen für den Gleichanteil U 0 =0 des Zustandes<br />
<strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> für λ=2 und ω=0.1
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