Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

140 KAPITEL 7 BEISPIELE
7.3 Beispiel mit Bifurkation des Systemverhaltens
Ein weiterer Nachweis der Leistungsfähigkeit der Methode der Harmonischen
Balance kann bei der Untersuchung des Systems von Bild 7/32 erbracht werden.
Dieser Standardregelkreis wurde in [7] mit einer erweiterten Grundmethode
der Harmonischen Balance analysiert. Diese Methode ist dort um die
Anwendung der harmonisch linearisierten Poincaré-Karte in Verbindung mit
dem Kriterium für die Entstehung von „period-doubling“-Bifurkationen von
Lichtenberg und Liebermann (vgl. [21]) ergänzt worden. Der Vorteil der dort
vorgestellten Vorgehensweise liegt in der Verwendung einer einfachen Beschreibungsfunktion,
die mit einem Eingangssignal e=E 1 sin(ωt) berechnet
wurde. Mit dieser Festlegung wird jedoch gleichzeitig die Nutzung der Methode
auf Systeme mit „Tiefpaßeigenschaften“ beschränkt. Ein weitere Nachteil
liegt darin, daß dadurch einige Eigenarten der nichtlinearen Systems nicht
entdeckt werden können. Darüber hinaus ist ein zusätzlicher Aufwand für das
Integrationsverfahren aufzubringen, welcher bei der Erstellung der Poincaré-
Karte erforderlich ist.
Die Abhandlung der Systemanalyse in dieser Arbeit führt zu einem vollständigen
Verständnis des Systemverhaltens und dadurch zu teilweise anderen Aussagen.
Es ist möglich alle Bifurkationspunkte des Systems also parameterabhängige
Wechsel zwischen den diversen Grenzschwingungen, chaotischen
Schwingungen, stabilem und instabilem Verhalten zu finden. Durch die Anwendung
der Methode der Harmonischen Balance werden auf eine beachtenswerte
Weise die Zusammenhänge der Auswirkung der unterschiedlichen Frequenzen
und des Gleichanteils auf das Systemverhalten sichtbar.
F NL (e)
w
+
-
e
F NL
u
G 1 (s)
y
Bild 7/32 Standardregelkreis zur Untersuchung von chaotischem Verhalten