Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...
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14 1. EINLEITUNG Die Funktion (1.4) erfüllt offensichtlich diese Anforderung. Pole von R(s) liegen links der j-Achse der komplexen Ebene mit der Ausnahme eines einfachen Pols in s = 0. Die Funktion (1.4) von Beispiel 1.1 erfüllt diese Bedingung, da sie den dreifachen Pol in –1 besitzt. Der Frequenzgang G(jω) besitzt einen genügend starken Tiefpaßcharakter, d.h. G(jω) fällt mit wachsendem ω genügend stark ab. Diese Forderung ist sicher erfüllt, wenn Grad Z(s) ≤ Grad N(s)-2 ist. Ist ω G die Frequenz der Grenzschwingung gemäß (1.2), so wird verlangt, daß sie im Bereich der „Knickfrequenz“ von G(jω) liegt, d.h. für alle ω > ω G muß der Frequenzgang G(jω) fallen. G(jω) und –1/N(A) sind für b=6 und z T =3 in Bild 1/2 graphisch dargestellt. Das untersuchte System von Beispiel 1.1 erfüllt somit die Voraussetzungen für die Anwendung der Gleichung (1.2). Gemäß Bild 1/2 a) existiert kein Schnittpunkt von –1/N(A) und G(jω). Damit kann erwartet werden, daß im System keine Grenzschwingungen entstehen können. a) -1/N(A) I R b) ⏐G(jω)⏐ ω=1.55 kein Schnittpunkt ω=0 ω=1.55 G(jω) Begrenzung b=6 Tote Zone z T=3 ω a) Ortskurven von G(jω) b) Frequenzkennlinie ⏐G(jω)⏐ Bild 1/2 Untersuchung des Regelkreises Beispiel 1.1 gemäß der Gleichung (1.2)
1.1 MOTIVATION UND ZIELE DER ARBEIT 15 Die in Bild 1/3 dargestellten Simulationsergebnisse widerlegen diese Aussage. 40 30 20 10 w(t) y(t) 0 -10 0 50 100 150 200 250 300 Bild 1/3 Simulationsergebnisse des Regelkreises von Beispiel 1.1 für b=6 und z T =3 t/Sek. Durch die Änderung der Begrenzung von b=6 auf b=5,9 wird die –1/N(A)- Kennlinie nach links verschoben. Der Abstand zwischen G(jω) und der Funktion –1/N(A) wird größer und die Untersuchungsergebnisse von Bild 1/2 stellen sich ein. Die Simulationsverläufe für b=5,9 sind in Bild 1/4 dargestellt. 40 30 20 10 w(t) y(t) 0 -10 0 50 100 150 200 250 300 350 t/Sek. Bild 1/4 Simulationsergebnisse des Regelkreises von Beispiel 1.1 für b=5,9 und z T =3 Die folgenden Beispiele verdeutlichen die angesprochenen Probleme.
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14 1. EINLEITUNG<br />
Die Funktion (1.4) erfüllt offensichtlich <strong>die</strong>se Anfor<strong>der</strong>ung.<br />
<br />
Pole von R(s) liegen links <strong>der</strong> j-Achse <strong>der</strong> komplexen Ebene mit <strong>der</strong><br />
Ausnahme eines einfachen Pols in s = 0.<br />
Die Funktion (1.4) von Beispiel 1.1 erfüllt <strong>die</strong>se Bedingung, da sie<br />
den dreifachen Pol in –1 besitzt.<br />
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Der Frequenzgang G(jω) besitzt einen genügend starken Tiefpaßcharakter,<br />
d.h. G(jω) fällt mit wachsendem ω genügend stark ab. Diese For<strong>der</strong>ung<br />
ist sicher erfüllt, wenn Grad Z(s) ≤ Grad N(s)-2 ist. Ist ω G <strong>die</strong> Frequenz<br />
<strong>der</strong> Grenzschwingung gemäß (1.2), so wird verlangt, daß sie im Bereich<br />
<strong>der</strong> „Knickfrequenz“ von G(jω) liegt, d.h. für alle ω > ω G muß <strong>der</strong><br />
Frequenzgang G(jω) fallen.<br />
G(jω) und –1/N(A) sind für b=6 und z T =3 in Bild 1/2 graphisch dargestellt.<br />
Das untersuchte System von Beispiel 1.1 erfüllt somit <strong>die</strong><br />
Voraussetzungen für <strong>die</strong> Anwendung <strong>der</strong> Gleichung (1.2). Gemäß<br />
Bild 1/2 a) existiert kein Schnittpunkt von –1/N(A) und G(jω). Damit<br />
kann erwartet werden, daß im System keine Grenzschwingungen entstehen<br />
können.<br />
a)<br />
-1/N(A)<br />
I<br />
R<br />
b)<br />
⏐G(jω)⏐<br />
ω=1.55<br />
kein<br />
Schnittpunkt<br />
ω=0<br />
ω=1.55<br />
G(jω)<br />
Begrenzung b=6<br />
Tote Zone z T=3<br />
ω<br />
a) Ortskurven von G(jω)<br />
b) Frequenzkennlinie ⏐G(jω)⏐<br />
Bild 1/2 Untersuchung des Regelkreises Beispiel 1.1 gemäß <strong>der</strong><br />
Gleichung (1.2)
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