Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

128 KAPITEL 7 BEISPIELE
n
n
s
w
2
(t → ∞ )
n const .
lim (sG
g ( n 2 )
) 0,8826 n
w =
=
=
w
s → 0
(7.18)
Aus (7.18) geht hervor, daß der stationäre Zustand der Ausgangsgröße n 2 von
den nichtlinearen Gliedern unabhängig ist, wenn keine Grenzzyklen oder keine
chaotischen Bewegungen im System entstehen können. Diese Prüfung muß
jetzt durchgeführt werden.
7.2.4 Prüfung des Systemverhaltens auf das Vorhandensein
von Grenzzyklen oder chaotischen Bewegungen
Im ersten Schritt dieser Untersuchung müssen die Zustände der Harmonischen
Balance für das System von Bild 7/14 gefunden werden. Entsprechend den
Ausführungen in Abschnitt 5.2 werden die Gleichungen der Harmonischen
Balance (5.17) und (5.18) für das System hergeleitet. Für die Aufstellung von
(5.17) und (5.18) müssen die Übertragungsfunktionen V 11 (s), V 21 (s), R 11 (s),
R 12 (s), R 21 (s) und R 22 (s) von Bild 5/1 aus Bild 7/14 ermittelt werden.
Mit (5.17) kann die Voraussetzung für das Vorhandensein der konstanten
Gleichanteile geprüft werden. Diese Anteile werden mit Hilfe der Gleichungen
(5.10) und (3.27) bis (3.29) unter der Berücksichtigung der Anfangsbedingungen
berechnet und untersucht. Es zeigt sich, daß für t→∞ die Gleichanteile
E 0 =[n 20 ,α 0 ] T =[E 0(1) ,E 0(2) ] T gegen einen konstanten Wert streben.
Für (5.18) gilt für das in Bild 7/14 dargestellte System die Gleichung (7.19),
welche wie (5.35) hergeleitet werden kann.
R
11
Z
1
− 1
R
21
Z
1
R
12
Z
2
E
R
22
Z
2
1
−
E
1
2
= 0.
(7.19)