Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

116 KAPITEL 7 BEISPIELE
Punkt stabil ist. Für ω>0.62 kann die Stabilitätsanalyse schon bei der Untersuchung
E 1 -∆E abgebrochen werden, weil die Zustände der Harmonischen Balance
jeweils in den Zustand mit der niedrigeren Frequenz übergehen und
damit instabil sind. Für die Frequenz ω=0.55 ist eine weitere Verschiebung
entlang Z(jω) nicht mehr möglich, weil wegen W 0 =E 0 =0 der Bereich der gültigen
Beschreibungsfunktion begrenzt ist. Hinsichtlich der Änderung der Amplituden
E 1 ±∆E und E 2 ±∆E sowie des Winkels ϕ 2 ±∆ϕ zeigt das System für
ω=0.55 ein stabiles Verhalten. D.h. die Pole der Charakteristischen Gleichung
(7.5) streben nach der Änderung des jeweiligen Parameters und erneuten Berechnung
der Polverteilung gemäß (6.18) gegen die imaginäre Achse der s-
Ebene und auf die Frequenz ω=0.55 zu. Diese Ergebnisse stimmen mit der in
Beispiel 1.2 durchgeführten Simulation des Systemverhaltens (vgl. Bild 1/8 )
überein.
Wie zu erwarten war, stimmt die Frequenz ω=0.55 von Bild 7/5 nicht mit der
tatsächlichen Frequenz der Grenzschwingung überein. Der Grund dafür liegt
darin, daß die Beschreibungsfunktion mit einer falschen Harmonischen berechnet
wurde und damit die Ermittlung aller Werte der Übertragungsfunktion
G NL gemäß (3.32) nicht möglich war. Bessere Ergebnisse entstehen bei der
Berechnung der Beschreibungsfunktion mit der 3. statt der 2. Harmonischen
(vgl. Abschnitt 4.2 und Bild 7/10 ). Die Frequenz der tatsächlichen Schwingung
von Bild 1/8 mit ω=0.44 entspricht in etwa der Frequenz ω 1 =0.41 von
Bild 7/10 .
I
Z r (ω)+jZ i (ω) für K F =0.8
N(E 1 ,ϕ 3 ) für E 0 =0 und E 3 =8.0
E 1
N(ϕ 3 ) für E 0 =0, E 1(min) =4.0 und E 3 =8.0
E 1
ω 1 =0.41
ω=0
4.0