GRUNDLAGEN DER ELEKTROTECHNIK 2 Aufgabensammlung

GRUNDLAGEN DER ELEKTROTECHNIK 2
Aufgabensammlung
Institut für Mikroelektronik und Mikrosensorik
www.ime.jku.at
Formel Überblick
Maxwell Gleichungen:
Materialverhalten:
∇× H ⃗ = J ⃗ + ∂⃗ D
∂t
(1)
∇× E ⃗ = − ∂⃗ B
∂t
(2)
∇· ⃗D = ρ (3)
∇· ⃗B = 0 (4)
⃗B = µ ⃗ H (5)
⃗D = ε ⃗ E (6)
⃗J = γ ⃗ E (7)
Lorentzkraft:
⃗F = q( ⃗ E +⃗v × ⃗ B) (8)
Sätze aus der Vektoranalysis:
∫ ∫
∇· ⃗Ad 3 x =
V∫
∫
∇ψd 3 x =
∫
V
∫
∇× Ad ⃗ 3 x =
∫
V
∮
(∇× A)·⃗nda ⃗ =
S
∫ ∮
⃗n×∇ψ =
S
S
S
C
S C
⃗A·⃗nda (Gaußscher Satz) (9)
ψ⃗nda (10)
⃗n× Ada ⃗ (11)
⃗A·d I ⃗ (Stokes’scher Satz) (12)
ψd ⃗ I (13)
1

SI-System - Größen und Einheiten
Basiseinheiten:
Größe Symbol Einheit Name
Länge s [s] = 1m Meter
Masse m [m] = 1kg Kilogramm
Zeit t [t] = 1s Sekunde
Stromstärke I [I] = 1A Ampere
Temperatur T [T] = 1K Kelvin
Lichtstärke I v [I v ] = 1Cd Candela
Stoffmenge n [n] = 1mol Mol
Abgeleitete Einheiten:
Größe Symbol Einheit Name
Kraft F [F] = 1N = 1 kgm
s 2 Newton
Energie E [E] = 1J = 1Nm = 1 kgm2
s 2 Joule
Leistung P [P] = 1W = 1 J = 1 kgm2 Watt
s s 3
El. Ladung Q [Q] = 1C = 1As Coulomb
El. Spannung U [U] = 1V = 1 kgm2 Volt
As 3
El. Widerstand R [R] = 1Ω = 1 V = 1 kgm2 Ohm
A A 2 s 3
El. Leitwert G [G] = 1S = 1 A = 1 A2 s 3
Siemens
V kgm 2
El. Kapazität C [C] = 1F = 1 As Farad
V V
Induktivität L [L] = 1H = 1 Vs Henry
A A
Magn. Fluss Φ [Φ] = 1Wb = 1Vs Weber
Magn. Flussdichte B [B] = 1T = 1 Wb = 1 kg
m 2 As 2 Tesla
Dielektrizitätskonstante ε 0
Permeabilitätskonstante µ 0
[ε 0 ] = F = 1 As
m Vm
[µ 0 ] = H = 1 Vs
m Am
−12 As
ε 0 = 8.854·10
Vm
−7 Vs
µ 0 = 4π·10
Am
Präfixe:
10 3 Kilo k 10 −3 Milli m
10 6 Mega M 10 −6 Mikro µ
10 9 Giga G 10 −9 Nano n
10 12 Tera T 10 −12 Pico p
10 15 Peta P 10 −15 Femto f
10 18 Exa E 10 −18 Atto a
10 21 Zetta Z 10 −21 Zepto z
10 24 Yotta Y 10 −24 Yokto y
2

1 Elektrostatik
1.1 Aufgabe: Vektorrechnung
⃗U = (U x ,0,0) T , ⃗ V = (V x ,V y ,V z ) T . Berechnen Sie ⃗ U × ⃗ V und ⃗ U · ⃗V.
1.2 Aufgabe: Nabla-Operator
Berechnen Sie mit Hilfe des Nabla-Operators ∇ = ⃗ ∇ =
⎠ die folgenden Ausdrücke.
⃗r bezeichnet dabei den Vektor ⃗r =
r = r(x,y,z) darstellt
a) ∇ 1
|⃗r−⃗r ′ |
b) ∇·⃗r
c) ∇r
d) ∇ ϕ(r)
r
1.3 Aufgabe: Divergenz und Rotation
Bestimmen Sie ∇· ⃗U = divU ⃗ und ∇× U ⃗ = rotU ⃗ für:
⎛ ⎞
2x 3 y 3 z 2
⃗U = ⎝ 3xy 2 z 2 ⎠
x 4 yz +2
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎛
⎝
∂/∂x
∂/∂y
∂/∂z
⎞
⎠, während r eine skalare Funktion
allgemein und speziell für den Punkt (1,2,2). Ist ⃗ U ein Gradientenfeld?
1.4 Aufgabe: Gradientenfeld
Gegeben ist die skalare Funktion ϕ = x 2 y+z 3 x+xyz−4, bestimmen Sie das zugehörige
Gradientenfeld ⃗ U = ∇ϕ. Berechnen Sie zusätzlich rot ⃗ U = ∇× ⃗ U.
1.5 Aufgabe
Es sei ⃗ E der Vektor des stationären elektrischen Feldes und ϕ das zugehörige elektrische
Potential. Welche der folgenden Ausdrücke sind gültig?
a) div grad ϕ b) grad div ⇀ E c) div ϕ d) div div ⃗ E e) rot rot ⃗ E
3

1.6 Aufgabe: Kraft auf ein Elektron
Ein freies Elektron (Masse m e = 9,11·10 −31 kg) besitzt zum Zeitpunkt t 0 die Geschwindigkeit
v = 0 und wird in einem elektrischen Feld ⃗ E = 100 V/m beschleunigt. In welche
Richtung bewegt sich das Elektron, welche Geschwindigkeit erreicht es nach einer Strecke
von 1 cm und wie lange braucht es dazu?
1.7 Aufgabe: Coulombsches Gesetz
Für das elektrische Feld (im Vakuum) am Punkt ⃗x, das von einer Punktladung q am Ort
⃗x 1 herrührt (siehe Abbildung) ergibt sich:
P
⃗E(⃗x) = q 1
⃗x−⃗x 1
4πε 0 |⃗x−⃗x 1 | 3
E
q 1
x 1
x
0
Skizzieren Sie das elektrische Feld (Feldlinien und Feldstärke) in der Umgebung einer
Punktladung und geben Sie das zugehörige Potential ϕ an ( ⃗ E = −∇ϕ). Welche Kraft
wirkt auf eine zweite Punktladung q 2 in diesem Feld?
1.8 Aufgabe: Elektrisches Feld mehrerer Ladungen
IneinemRaumbefindensichdreinichtaufeinerGeradenliegendePunktladungenQ 1 > 0,
Q 2 < 0 und Q 3 < 0. Geben Sie allgemein die von Q 1 bzw. Q 2 am Ort von Q 3 verursachten
Feldstärken ⃗ E 13 und ⃗ E 23 und die daraus resultierende Feldstärke ⃗ E sowie die Kraft ⃗ F auf
Q 3 an.
1.9 Aufgabe: Kräftegleichgewicht im elektrischen Feld
Die positive Ladung Q 1 = Q 0 befindet sich am Ort x = 0 und die positive Ladung
Q 2 = 4Q 0 am Ort x = d. Eine dritte Ladung Q 3 ist in der Verbindungslinie der beiden
Ladungen Q 1 und Q 2 so plaziert, dass sich das Gesamtsystem im Kräftegleichgewicht
befindet. Bestimmen Sie den Ort x der Ladung Q 3 , ihren Betrag und ihr Vorzeichen.
1.10 Aufgabe: Feld einer Punktladung
Beweisen Sie
∮
⃗Ed⃗s = 0
für das Feld einer Punktladung Q 1 ineinem homogenen Dielektrikum der Permittivität ε.
4

1.11 Aufgabe: Potential einer Punktladung
Berechnen Sie das Potential im Abstand r von der Punktladung Q 1 sowie die potentielle
Energie einer Ladung Q im Abstand r von der Punktladung. Geben Sie mit diesen Ergebnissen
die Beziehungen für die Spannung und die Differenz der potentiellen Energie
der Ladung Q zwischen den Punkten A und B an.
1.12 Aufgabe: Elektrisches Feld einer Punktladung (Maxwell)
Berechnen Sie das elektrische Feld einer Punktladung im Abstand r unter Verwendung
der Maxwell-Gleichung für das statische E-Feld.
1.13 Aufgabe: Potential eines Hohlzylinders
Berechnen Sie ⃗ E und ϕ für einen sehr langen Hohlzylinder mit dem Radius r 0 und der
Länge l, der eine gleichmäßig auf den Zylindermantel verteilte Ladung Q trägt.
Hinweis: Der Einfluss der Zylinderstirnseiten sei vernachlässigbar.
1.14 Aufgabe: Kugelsymmetrie
Berechnen Sie D, E und ϕ bei kugelsymmetrischer Raumladungsverteilung für
a) ρ = ρ 0 = konst. innerhalb der Kugel mit dem Radius r k und ρ = 0 außerhalb
b) ρ = cr innerhalb der Kugel mit dem Radius r k und ρ = 0 außerhalb
c) für eine Hohlkugel mit dem Radius r k , die die Ladung Q trägt.
d) Überlegen Sie, ob ein Quader mit homogener Oberflächenladung im Inneren ein
verschwindentes Feld aufweist.
1.15 Aufgabe: Superposition zweier Punktladungen
Zu berechnen sind das Potential ϕ und die elektrische Feldstärke ⃗ E, welche zwei Punktladungen
Q 1 und Q 2 verursachen, die sich an den Punkten (x 1 ,y 1 ,z 1 ) und (x 2 ,y 2 ,z 2 )
befinden.
1.16 Aufgabe: Spiegelungsprinzip
Eine negative Punktladung befindet sich in einem Isolator in der Nähe eines ebenen massiven
Leiters, dessen Gesamtladung Null sei (siehe Bild). Das Feldbild soll interpretiert
und berechnet werden. Wie ist die Ladungsdichte an der Obfläche des massiven Leiters
verteilt?
5

1.17 Aufgabe: Kapazitätsberechnung
Berechnen Sie den Kapazitätsbelag (die Kapazität pro Leiterlänge)
a) eines Koaxialleiters mit den Radien des Innenleiters r i und r a
b) einer Zweidrahtleitung (zwei parallele Drähte der Radien r D im Abstand a). Welche
Näherung ist hier zur Anwendung des Spiegelungsprinzips getroffen worden?
1.18 Aufgabe: Elektrostatisches Feld an Grenzflächen
Wie verhalten sich ⃗ D und ⃗ E an der Grenzfläche zweier Dielektrika? Beschreiben und
skizzieren Sie das daraus resultierende Brechungsgesetz.
1.19 Aufgabe: Plattenkondensator mit geschichtetem Medium
Zeichnen Sie die elektrische Flussdichte ⃗ D und die elektrische Feldstärke ⃗ E in einem geladenen
(Ladung Q) Plattenkondensator mit a) parallel und b) senkrecht geschichtetem
Dielektrikum (ε 1 > ε 2 ) schematisch in Feldliniendarstellung.
Der Kondensator hat die Plattenhöhe h = 10cm, Plattenbreite b = 15cm und Plattenabstand
d = 1cm. Die dielektrischen Schichten ε 1 = 4 · ε 0 und ε 2 = 2.7 · ε 0 sind bei
x = 6.25mm bzw. y = 5.3cm getrennt.
Berechnen Sie ⃗ E, ⃗ D, die Spannung U und die Kapazität C für beide Anordnungen für
eine Gesamtladung Q = 18nC.
1.20 Aufgabe: Energieberechnung
Gegeben ist eine leitende Metallkugel mit dem Radius a, auf die die Gesamtladung Q
aufgebracht ist.
a) Wie ist die Ladung verteilt? Geben Sie die Ladungsdichte an.
b) Geben Sie die elektrische Feldstärke innerhalb und außerhalb der Kugel an.
c) ÜberlegenSiesich,warumdieAnordnungalsKondensatorbeschriebenwerdenkann.
Wieviel Engergie ist in ihm gespeichert?
6

1.21 Aufgabe: Energieberechnung
Gegeben ist eine Gesamtladung Q, welche im Vakuum innerhalb einer Kugel mit dem
Radius a gleichmäßig verteilt ist.
a) Geben Sie die Raumladungsdichte innerhalb des kugelförmigen Bereiches an.
b) Geben Sie die elektrische Feldstärke innerhalb und außerhalb der Kugel an.
c) Wieviel Engergie ist in der Anordnung gespeichert?
1.22 Aufgabe: Drehkondensator
Gegebenist der abgebildeteDrehkondensator, welcher auszwei parallelenhalbrunden Leiterplatten
(Radius R) des Abstandes d besteht. In Abhängigkeit des Drehwinkels kann die
Kapazität verändert werden. Es soll eine homogene Feldverteilung zwischen den Platten
angenommen werden. Außerhalb dieser sei das Feld vernachlässigbar.
a) Bei welchem Winkel tritt die maximal erreichbare Kapazität auf, und wie groß ist
sie?WiegroßistindiesemFall(beibekannterSpannungU)diedieFlächenladungsdichte
auf den Platten?
b) Berechnen Sie die Kapazität in Abhängigkeit des Drehwinkels α.
c) Berechnen Sie die Spannung U(α) in Abhängigkeit des Drehwinkels. Nehmen Sie
an, dass U(0) = U 0 ist und die Gesamtladung beim Drehen konstant bleibt.
1.23 Aufgabe: Kraftwirkung im elektrischen Feld
Wie groß ist die zwischen den Platten eines Plattenkondensators auftretende maximale
Anziehungskraft je cm 2 , wenn die Durchschlagsfeldstärke mit 30 kV/cm und ein homogenes
Feld angenommen werden?
1.24 Aufgabe: Elektronenstrahlröhre
Die Oszillographenröhre besteht aus einer Elektronenkanone (Glühkathode und longitudinales
elektrisches Feld). Mit Hilfe der Spannung U B werden die Elektronen auf eine
Geschwindigkeit v 0 beschleunigt. Diese treten dann in das durch die Spannung U D erzeugte
elektrische Feld ein und werden abgelenkt. Auf dem Leuchtschirm entsteht im
Auftreffpunkt P des Elektronenstrahles ein heller Lichtpunkt, dessen Koordinaten in
Abhängigkeit vonU D berechnet werden soll. ZurVereinfachung soll einhomogenes elektrisches
Feld im Bereich der Platten angenommen werden. Streufelder sind vernachlässigbar.
7

a) Stellen Sie im Bereich der Ablenkplatten die Bahnkoordinaten x(t) und y(t) in
Abhängigkeit der Zeit t auf und stellen Sie eine Gleichung y(x) für die Elektronenbewegung
auf.
b) Berechnen Sie den Austrittswinkel des Elektronenstrahls.
c) Stellen Sie eine Gleichung y(x) für díe Elektronenbewegung nach dem Passieren der
Ablenkplatten auf und berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P.
1.25 Aufgabe: pn–Übergang
In dieser Aufgabe wird die unten dargestellte Raumladungsverteilung ρ(x) betrachtet,
wie sie auch (idealerweise) in der sogenannten Raumladungszone bei pn–Übergängen in
Halbleitern (z.B. Diode) auftritt. In der Raumladungszone des negativ dotierten Bereichs
vonx 1 bisx 2 sei ρ(x) = ρ 1 > 0undinder Raumladungszone despositivdotiertenBereichs
von x 2 bis x 3 sei ρ(x) = ρ 2 < 0. Je nach Dotierung sind die Bereiche unterschiedlich groß,
jedenfalls ist aber die Gesamtladung der gesamten Raumsladungszone gleich 0. In den
sogenannten Bahngebieten (x < x 1 , x > x 3 ) gilt E = 0. Berechnen Sie die Verläufe der
elektrischen Feldstärke und des Potentials in Abhängigkeit von x.
Hinweis: Zur Berechnung kann eine 1D-Näherung verwendet werden (d.h. ∂E = ∂E = 0). ∂y ∂z
8

n-dotiert
p-dotiert
x 1
x 2
x 3
1.26 Aufgabe: Kugelkondensator mit geschichtetem
Dielektrikum
Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines Kugelkondensators mit geschichtetem Dielektrikum.
Berechnen Sie die Verläufe der elektrischen Feldstärke, des Potentials in
Abhängigkeit von r sowie die Kapazität des Kugelkondensators.
1.27 Aufgabe: Koaxialkabel
Berechnen Sie den Verlauf der Feldstärke und des Potentials eines Koaxialkabels (Innenradius
r i , Außenradius r a ). Geben Sie außerdem die Kapaziät an.
1.28 Aufgabe: Kraft auf Grenzflächen
Gegeben sei der dargestellte Bandgenerator. Erzeugte Ladungen (durch mechanische Reibung)
werden auf ein bewegtes, isolierendes Band aufgesprüht (Funkenstrecke), sitzen
dort fest (Isolator), und werden dann mechanisch ins Innere der Kugel gebracht. Von dort
werden sie mit einer Metallelektrode (Metallkamm) abgesaugt und auf die Oberfläche der
Hohlkugel transportiert, wo siesich verteilen. Dieerzeugte Spannung wirdabgegriffenund
an einen Plattenkondensator angelegt, dessen Elektroden teilweise in Trafoöl eintauchen.
Durch ständiges Drehen an der Kurbel des Bandgenerators bewegt sich das Öl im Bereich
zwischen den Platten auf und ab.
9

a) Warum ist das so?
b) Berechnen Sie die Steighöhe h in Abhängigkeit der am Kondensator auftretenden
Spannung U.
10

2 Elektrisches Strömungsfeld
2.1 Aufgabe: Geschichtetes Medium
Gegeben ist ein Plattenkondensator (Abstand 2a) mit quadratischen Platten der Kantenlänge
a, der vom Strom I durchflossen wird. Der Zwischenraum habe wie eingezeichnet
die Leitfähigkeiten κ 1 und κ 2 . Streufelder sind vernachlässigbar.
Berechnen Sie in Abhängigkeit des Stromes die Verläufe entlang der x-Achse von E, J, ϕ
mit ϕ(x = 2a) = 0 und den Widerstand R.
2.2 Aufgabe: Geschichtetes Medium
Gegeben ist ein Plattenkondensator (Abstand d) mit quadratischen Platten der Kantenlänge
a, an den eine Spannung U angelegt wird. Der Zwischenraum habe wie eingezeichnet
die Leitfähigkeiten κ 1 und κ 2 . Streufelder sind vernachlässigbar.
Berechnen Sie in Abhängigkeit der angelegten Spannung U die Verläufe entlang der x-
Achse von E, J, ϕ mit ϕ(x = d) = 0 und den Widerstand R.
11

2.3 Aufgabe: Kugelerder
Im Bild ist das Prinzip und der Potentialverlauf eines metallischen Halbkugelerders mit
dem Radius r E = 2 m für einen Hochspannungsmast dargestellt. Bei einem Kurzschluß
fließt ein Strom von 100 A ins Erdreich, dessen Leitfähigkeit 0.05 S/m sei.
a) Berechnen Sie die Verläufe der Feldstärke, der Stromdichte und des Potentials im
Erdreich und bestimmen Sie den Erdungswiderstand.
b) Wie groß ist die auf einen Menschen bei einer Schrittweite von 1 m wirkende Spannung,
die sogenannte Schrittspannung zwischen den Füßen? Welchen Maximalwert
kann die Spannung annehmen?
c) Auf welchen Wert darf sich die Leitfähigkeit ändern, damit die maximale Schrittspannung
65 V nicht übersteigt?
2.4 Aufgabe: Widerstandsberechnung
Gegeben ist ein leitender Bügel, der die Form eines halbierten Hohlzylinders besitzt
(Leitfähigkeit κ, Breite b, Innenradius r i , Außenradius r a ). An seinen quadratischen Kontaktflächen
wird ein Strom I eingespeist.Die Kontaktflächen sind ideal leitfähig und somit
Äquipotentialflächen.ÜberlegenSiesichdenVerlaufderFeldlinienundderÄquipotentialflächen.
Berechnen Sie außerdem den Verlauf der Stromdichte und den Widerstand.
r i
12
I
r a
I
b
U

2.5 Aufgabe: Leitersegment
Im Bild ist ein Leitersegment mit dem Winkel α und der Höhe h dargestellt, welches
konzentrisch um die z-Achse eines Zylinderkoordinatensystems (r,φ,z) angeordnet ist. Es
besitzt im Bereich von a 0 bis a 1 die Leitfähigkeit κ 1 und von a 1 bis a 2 die Leitfähigkeit
κ 2 . An die vordere und hintere Mantelfläche sind ideal leitende Elektroden angebracht,
über die ein Strom I geführt wird.
a) Zeichnen Sie die Feldlinien für das Strömungsfeld.
b) Berechnen Sie die Vektoren der Stromdichte und der elektrischen Feldstärke für
a 0 < r < a 1 und a 1 < r < a 2 .
c) Ermitteln Sie in Abhängigkeit des Stromes I die Spannung U a12 zwischen den Elektroden
und geben Sie anschließend den Widerstand der Anordnung an.
2.6 Aufgabe: Ableitbelag
Berechnen Sie den Ableitbelag (den Leitwert pro Leiterlänge)
a) eines Koaxialleiters mit den Radien R i und R a
b) einer Zweidrahtleitung (zwei parallele Drähte der Radien r D im Abstand a)
2.7 Aufgabe: Halbkugelförmige Erder
13

Gegeben sind zwei metallische Halbkugeln, die in einem Material Leitfähigkeit κ eingebettet
sind. Über den Halbkugeln sei κ = 0. Ein Strom I fließe in die linke Halbkugel
hinein und aus der rechten wieder heraus.
a) Zeichnen Sie die Feldlinien des Strömungsfeldes.
b) Geben Sie den Potentialverlauf entlang der z-Achse an und berechnen Sie daraus
den Widerstand der Anordnung.
2.8 Aufgabe: Verlustleistung
Berechnen Sie die Verlustleistungsdichte in einem Kupferdraht (spezifischer Widerstand
0,0175 Ωmm 2 /m) bei einer Stromdichte von 10A/mm 2 .
14

3 Magnetostatik
3.1 Aufgabe: Magnetfeld inner- und außerhalb eines Leiters
Gegeben sein ein unendlich langer Leiter mit dem Radius r 0 , der von dem Gleichstrom
I durchflossen wird. Gesucht ist der radiale magnetische Feldstärkeverlauf innerhalb und
außerhalb des Leiters.
Da es sich um einen runden Leiter handelt, werden zweckmäßig Zylinderkoordinaten verwendet
(siehe Bild). Die Rotation in Zylinderkoordinaten lautet dann wie folgt:
⎛
rotH ⃗ = rot⎝
⎞
H r
H φ
⎠ =
H z
⎛
⎜
⎝
1 · ∂Hz − ∂H φ
r ∂φ ∂z
∂H r
− ∂Hz
∂z ∂r
1 · ∂(r·H φ)
r ∂r
− 1 r · ∂Hr
∂φ
Der Leiter sei so im Koordinatensystem positioniert, dass der Stromdichtevektor nur eine
z-Komponente aufweist (siehe Bild).
a) Geben Sie für den Fall des statischen Magnetfeldes die ersten beiden Maxwellgleichungen
an.
b) Welche der drei Komponenten des Vektors ist demzufolge für die Berechnung relevant,
und welcher Summand verschwindet aufgrund des Ihnen bekannten Feldlinienverlaufs?
c) Berechnen Sie nun die magnetische Feldstärke
1. ⃗ Hi im Leiter
2. ⃗ Ha außerhalb des Leiters
durch Integration und stellen Sie die Verläufe qualitativ grafisch dar.
d) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse durch Berechnung von rot ⃗ H i und rot ⃗ H a .
⎞
⎟
⎠
3.2 Aufgabe: Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
Wie groß ist die Kraft, die zwischen zwei parallelen Leitern mit rechteckförmigem Querschnitt
(Sammelschienen) im Abstand d = 25cmauftritt, die gegensinnig von einem Kurzschlussstrom
I = 25kA durchflossen werden?
15

3.3 Aufgabe: Infinitesimale Stromschleife
Betrachten Sie eine kleine kreisförmige Stromschleife (Radius R) die den Strom I führt.
So eine Schleife kann als einfaches Modell für das magnetische Moment sein wie es durch
”rotierende” Elektronen in einem Atom erzeugt wird.
a) Berechnen Sie das resultierende Vektorpotenzial ⃗ A (Integralausdruck) in einem Aufpunkt
r.
Tipp:IdentifizierenSie dieSymmetrie desProblemsund lösenSieohne Beschränkung
der Allgemeinheit für einen einfachen Aufpunkt; das Resultat kann entsprechend der
erkannten Symmetrie später verallgemeinert werden.
b) Lösen Sie das Integral unter der Annahme, dass der Durchmesser R gegenüber dem
Abstand r vernachlässigt werden kann.
3.4 Aufgabe: Gesetz von Biot-Savart
Magnetisches Feld eines kreisförmigen Stromfadens mit dem Radius R: Beweisen Sie anhand
der Abbildungen folgende Aussagen:
a) H = i
2R
im Mittelpunkt des Kreisstromes;
b) H =
R 2 i
2(R 2 +z 2 ) 3/2 auf der Achse des Kreisstromes.
3.5 Aufgabe: Verhalten an Grenzflächen
a) Zeichnen Sie die ⃗ B- und ⃗ H-Linien an einer ebenen Grenzfläche zweier Medien 1 und
2 unter der Voraussetzung, dass die ⃗ B- und ⃗ H-Linien im Medium 1 mit 60 ◦ zur
Normalen auf die Grenzfläche treffen, und zwar für
1. µ 2 < µ 1 qualitativ
2. sowie für µ 2 = µ 1
2 quantitativ.
b) Wie ändern sich ⃗ B und ⃗ H aufgrund der Stetigkeitsbedingungen bei senkrecht auf
die Grenzfläche zwischen Ferromagnetikum (µ 1 = µ) und Luft (µ 2 = µ 0 ) stehenden
Feldlinien?
c) Wie ändern sich ⃗ B und ⃗ H aufgrund der Stetigkeitsbedingungen bei parallel zur
Grenzfläche zwischen Ferromagnetikum (µ 1 = µ) und Luft (µ 2 = µ 0 ) verlaufenden
Feldlinien?
16

3.6 Aufgabe: Magnetischer Fluss
a) Wiehängendiemagnetische Flussdichte ⃗ B unddermagnetische FlussΦzusammen?
b) Ein Elektromagnet erzeugt eine magnetische Flussdichte ⃗ B = 1 T. Bestimmen Sie
den magnetischen Fluss Φ der auf einer Querschnittsfläche von A = 100cm 2 erzeugt
wird, wenn ⃗ B die Fläche senkrecht durchdringt.
c) Berechnung des Magnetflusses in einem inhomogenen Magnetfeld: Berechnen Sie
den von einem langen geraden mit dem Strom i durchflossenen Leiter in einer rechteckigen
Drahtschleife erzeugten magnetischen Fluss unter der Voraussetzung, dass
die Drahtschleife in der gleichen Ebene wie der Leiter und parallel zu ihm liegt.
Lösungshinweis: Veranschaulichen Sie zunächst das Problem!
3.7 Aufgabe
a) Analysieren Sie den im Bild dargestellten Eisenkreis (gegeben ist I, w, A, l Fe , l Luft
und µ r ; gesucht: Φ)
1. mit Hilfe der Feldbeschreibung
2. sowie durch eine Netzwerkberechnung.
b) Berechnen Sie die äquivalente Luftspaltlänge l Luft eines Eisenschenkels der Länge l Fe
und der Permeabilität µ Fe
1. allgemein (Hinweis: Die äquivalente Luftspaltlänge wird definitionsgemäß aus
der Bedingung gleichen magnetischen Widerstands bei gleicher Fläche unter
der Voraussetzung eines homogenen Feldes ermittelt.)
2. und für B = 1T und H = 10A/cm.
c) Für den magnetischen Kreis im Bild (Drehstromtransformator) gilt:
R m,1 = R m,2 = 800 . 10 3 H −1 w 1 = 700 i 1 = i 2 = 0.1A
R m,3 = 500 . 10 3 H −1 w 2 = w 3 = 500 i 3 = 0.2A
Ermitteln Sie die magnetischen Flüsse mit Hilfe der Netzwerkbeschreibung oder der
Feldmethode.
17

3.8 Aufgabe
a) Grafische Analyse eines Eisenkreises mit Luftspalt.
GesuchtwirddieDurchflutungθ = wi,diezurErreichungeinerbestimmtenmagnetischen
Flußdichte B im Luftspalt erforderlich ist, unter Berücksichtigung des nichtlinearen
Verhaltens des Eisens (µ ≠ const.). Gegeben sind die Abmessungen des
Eisenkreises sowie die B-H-Kurve des Eisens, siehe Bild (a).
18

) Aufmagnetisierung eines Permanentmagneten
Überlegen Sie sich ein Verfahren zur Aufmagnetisierung eines zunächst unmagnetischen
Permanentmagnetkreises mit Luftspalt, für möglichst hohe Flußdichte!-
c) Optimierung eines Permanentmagneten
Beweisen Sie für einen rechteckförmigen Magnetkreis, daß das Permanentmagnetvolumen
A e l e bei vorgegebener Flußdichte B Luft im Luftspalt, vorgegebener Streuung
(Φ Luft = sΦ e ), vorgegebenem Luftspaltvolumen A e l e und vorgegebener Permanentmagnetkennlinie
B e (H e ) genau dann minimal ist, wenn das Produkt |B e H e | einen
Maximalwert erreicht (Betragsbildung, da B e H e < 0)! Der magnetische Spannungsabfall
im Weicheisen wird vernachlässigt.
3.9 Aufgabe
a) Spannungsinduktion in einer teilweise bewegten Schleife.
Vorgegeben sind Metallstäbe in einem homogenen Magnetfeld, wobei sich ein Stab
infolge einer äußeren Kraft unter ständiger Kontaktgabe mit der Geschwindigkeit v
bewegt. Der vom Stromkreis umfaßte Fluß ist Φ = BA mit der Fläche A(t) = lx(t).
b) Induktionsgesetz, rotierender Stab und rotierende Scheibe im Magnetfeld
Die nachstehende Abbildung zeigt Stromkreise mit einem rotierenden metallischen
Stab (a) sowie mit einer rotierender metallischer ’Barlowscher’ Scheibe (b) im ruhenden
Magnetfeld. Der Radius des Magnetfeldes wird mit r bezeichnet, der Achsenradius
ist vernachlässigbar und eine ständige Kontaktgabe der rotierenden Teile
wird garantiert.
19

3.10 Aufgabe:Reduzierungvon Wirbelstromverlusten durch Lamellierung
Weisen Sie durch eine grobe Näherungsrechnung für einen lamellierten quaderförmigen
Eisenkern mit den Abmessungen l x , l y , l z nach, daß sich die infolge Wirbelstrombildung
auftretende Maximalstromdichte S max sowie die umgesetzte Verlustleistung P mit wachsender
Anzahl n voneinender isolierter Bleche, d.h. absinkender Dicke d = lx n , verringern.
Es gelten folgende vereinfachende Annahmen: Dünne Bleche mit d = lx n ≪ l y, d ≪ l z ,
⃗B = −⃗e z B und örtlich konstant; die Wirbelstromverdrängung sei vernachlässigbar, ebenso
wie die Dicke der Isolationsschichten; der Ursprung des Koordinatensystems sei in der
Mitte einer Lamelle.
3.11 Aufgabe: Eisenkern mit 3 Schenkeln und 2 Spulen
Zu berechnen sind die Induktivitäten L 1 und L 2 sowie die Gegeninduktivität M für die
gegebene Anordnung
20

3.12 Aufgabe
a) Magnetisch verkoppelte Spulen.
Für zwei Spulen werden die Induktivitäten L 1 = 10mH und L 2 = 20mH sowie ein
Koppelfaktor k = 0.9 angegeben. Zu berechnen sind die induzierten Spannungen
u i1 , u i2 für i 1 = I 1 + îsinωt mit I 1 = 10A, î = 5A, ω = 2π · 50Hz und i 2 = 0
(leerlaufende Spule).
b) Zwei koaxiale magnetisch verkoppelte Zylinderspulen.
Berechnen Sie für zwei Zylinderspulen in Luft mit den Radien r 1 und r 2 (r 2 < r 1 ),
den Längen l 1 = l 2 = l und den Windungszahlen w 1 und w 2 für den Fall, daß sich
Spule 2 koaxial in Spule 1 befindet, die Induktivitäten L 1 und L 2 , die Koppelfaktoren
k 1 und k 2 sowie die Gegeninduktivität M 12 = M 12 = M.
c) Reihenschaltung magnetisch verkoppelter Spulen - bifilare Wicklung
Berechnen Sie für die abgebildeten Anordnungen die Ersatzschaltung für das i,u-
Verhalten und diskutieren Sie das Ergebnis.
3.13 Aufgabe:Vergleich der Energiedichte des magnetischen und
elektrischen Feldes
Die elektrische Energiedichte soll mit der Durchbruchsfeldstärke unter Normalbedingungen
in Luft (U d,Luft = 29 kV ) und die magnetische Energiedichte in einem Magneten mit
cm
Luftspalt bei einer Induktion B = 1.5T berechnet werden.
Exkurs: Magnetische Energiedichte im ferromagnetischen Material.
Die Energiedichte ist bei magnetischen Kreisen mit Luftspalt meist wegen der niedrigeren
magnetischen Feldstärke H im ferromagnetischen Material wesentlich kleiner als im
Luftspalt.
BildazeigteineHysteresekurve (imI.Quadranten). FürHdB > 0nimmt diegespeicherte
Feldenergie W m im Kernmaterial zu (Ausrichten bzw. Vergrößerung der Weißschen Bezirke
inFeldrichtung). FürHdB < 0 nimmt W m ab. Beim Durchfahrender B, H-Kurvewird
infolge der Hysterese nur ein Teil der gespeicherten Feldenergie abgegeben. Die Differenz
wird in Wärme umgesetzt. Sie ergibt sich bei ortskonstantem Feld aus dem Produkt der
von der B, H-Kurve eingeschlossenen ”Hysteresefläche” A Hyst und dem Volumen, d.h. aus
∫
W Hyst = V HdB = VA Hyst , [A Hyst ] = Ws
cm 3.
21

Für die mittlere Verlustleistung bei der Frequenz f gilt
P Hyst = W Hyst
T
= fW Hyst .
3.14 Aufgabe: Magnetische Energie und Induktivität eines Koaxialkabels
Berechnen Sie die magnetische Energie und Induktivität eines Koaxialkabels.
Hinweis: Die magnetische Energie W setzt sich aus der des Innenleiters, des isolierenden
Zwischenraumes und des Außenleiters zusammen. Damit ergibt sich
L = 2W i 2 mit W =
3∑
W j bzw. L =
j=1
3∑
j=1
L j
mit L j = 2W j
i 2 .
3.15 Aufgabe:Geschwindigkeits- bzw.Energiefilter mit gekreuztem
elektrischem und magnetischem Feld
a) Überlegen Sie sich, wie man aus einem Strahl von positiven Ladungsträgern unterschiedlicher
Geschwindigkeit und gleicher Masse die Ladungsträger einer vorgegebenen
Geschwindigkeit mit einem dazu senkrecht stehenden elektrischen und einem
dazu senkrecht stehenden magnetischen Feld (jeweils homogen und zeitkonstant)
herausfiltern kann.
b) Wie ist die Spannung U am Ablenkkondensator (Plattenabstand d = 10mm) für
B = 0.1T zu wählen, falls Protonen mit v = 0.1c herausgefiltert werden sollten?
3.16 Aufgabe: Elektronenbeschleuniger Betatron
Die Grundidee des Betatrons besteht darin, mit Hilfe eines Elektromagneten Elektronen
(oder andere geladene Elementarteilchen) im Vakuum durch ein zylindersymmetrisches
Magnetfeld mit zeitlich linear wachsendem Fluß Φ auf einer n-fach durchlaufenen Kreisbahn
bis zu Energien in der Größenordnung von etwa 10 bis 100MeV zu beschleunigen.
Zur tangentialen Beschleunigung dient die induzierte elektrische Feldstärke E. Die Kreisbahn
wird durch die Lorentzkraft −e⃗v× ⃗ B erzwungen. Das Betatron wird zur Erzeugung
energiereicher Teilchen in der Elementarphysik, Technologie und Medizin angewendet.
a) Geben Sie die grundsätzlichen elektrischen und mechanischen Gleichungen zur Dimensionierung
an!
b) Welchen Energiegewinn erfährt ein Elektron nach n Umläufen?
3.17 Aufgabe: Halleffekt in Halbleitern
a) Berechnen Sie die Hallspannung für ein Hallelement entsprechend dem untenstehenden
Bild unter Voraussetzung von P-Leitung.
b) Geben Sie den Zusammenhang zwischen Hallkoeffizienten R H , Leitfähigkeit κ und
Hallbeweglichkeit µ pH an!
22

3.18 Aufgabe: Ableitung der magnetischen Grenzflächenkraft
Mit dem Energiesatz sowie einer virtuellen Verrückung des Ankers wie im Bild gezeigt ist
die Gleichung für die Kraft an der Grenzfläche zwischen Ferromagnetikum und Luft bei
homogenem Feld in der Fläche A abzuleiten.
3.19 Aufgabe: Magnetspannplatte
Mit welcher Kraft wird ein Werkstück mit einer wirksamen Auflagefläche von 600cm 2
durch eine Magnetspannplatte für B = 0.5T gehalten?
3.20 Aufgabe: Induktive Oberflächenerwärmung
Es ist die Eindringtiefe, die bei der Oberflächenhärtung einer Stahlwelle (Temperatur
>1000 ◦ C) mit einem Durchmesser von 20mm und einer Leitfähigkeit κ = 5·10 6 S/m bei
einer Frequenz von 50Hz oder 5 bzw. 500kHz auftritt, abzuschätzen.
23

4 Transiente Vorgänge in linearen Netzwerken
4.1 Aufgabe: Übertragungsverhalten einer RC-Schaltung
Die Ausgangsspannung u a bei einer Sprungfunktion am Eingang ist zu ermitteln.
4.2 Aufgabe:RC-Netzwerk mit zugeschalteter Wechselspannungsquelle
Berechnen Sie für die Schaltung im Bild
a) die Kondensatorspannung u(t) sowie
b) den Strom i(t)
für t ≥ 0, falls u(−0) bekannt ist und die Spannungsquelle mit u q = ûcos(ωt+ϕ uq ) zum
Zeitpunkt t = 0 zugeschaltet wird!
24

4.3 Aufgabe: Ausschalten einer induktiv belasteten Transistorstufe
Beim Ausschalten eines Transistors (näherungsweise modellierbar durch einen Schalter)
mit einem u e -Sprung wird der Strom durch ein Relais (modelliert durch eine Induktivität
und einen ohmschen Widerstand, der den Widerstand des Kupferdrahtes representiert)
unterbrochen.
a) Begünden Sie anhand der Spannung u a (t), wieso der Transistor zerstört werden
kann.
b) Geben Sie eine möglichst einfache Schutzschaltung SB an, die das Auftreten einer
zu hohen Spannung verhindert, und diskutieren Sie die Wirkungsweise!
4.4 Aufgabe: Analyse eines Parallelresonanzkreises
Gegeben sei der Parallelresonanzkreis (siehe Bild).
a) Beschreiben Sie die Schaltung für t ≥ 0 durch zwei Differentialgleichungen 1.Ordnung
für die Zustandsgrößen u und i L bzw. durch eine 2.Ordnung für u, und geben
Sie jeweils die Anfangswerte an!
b) Interpretieren Sie die physikalische Bedeutung des Dämpfungsfaktors
c) Welche Lösung würde sich für t → ∞ beim praktisch nicht realisierbaren Fall R →
∞ einstellen, und welche Aussage ist über die auftretenden Energien möglich!
25

5 Wellenausbreitung
5.1 Aufgabe: Satellitenempfang
Der Fernsehsatellit ASTRA sendet Fernsehsignale bei ca. 10 GHz zur Erde, welche im
LNB der Satantenne in das Frequenzband 0,9 GHz bis 2 GHz umgesetzt wird. Der LNB
sei mit einer 15 m langen Koaxialleitung (L’=315 nH/m, C’=56pF/m, ǫ r =4) mit der
Sat-Box verbunden.
a) Zeichnen Sie das Modell für die Koaxialleitung und modellieren Sie den LNB mittels
einer Wechselspannungsquelle mit Innenwiderstand R G , die Sat-Box durch eine
allgemeine Lastimpedanz Z L .
b) Berechnen Sie die Wellenimpedanz Z 0 des Koaxkabels und die Ausbreitungsgeschwindigkeit
v Koax für Signale im Koaxkabel. Geben Sie auch die Signallaufzeit
τ Koax an.
c) Geben Sie die Wellenlänge λ und den Phasenkoeffizienten β für ein Fernsehsignal
auf einer Trägerfrequenz von 1 GHzauf der Koaxleitung an. Berechnen Sie zum Vergleich
die Koaxkabelwellenlänge eines 1 kHz-Signals. Wann muß eine ”wellenmäßige
Betrachtung”der Signalausbreitung erfolgen?
d) Geben Sie allgemein Stromverlauf I(x,t) sowie den Spannungsverlauf U(x,t) auf
der Koaxleitungan, und berechnen Sie die Hochfrequenzleistung.
26