¨Ubung 1 zur Vorlesung”Fehlerkorrigierende Codes“ - Institut für ...

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TECHNISCHE
UNIVERSITÄT CAROLO-WILHELMINA ZU BRAUNSCHWEIG
Institut für Theoretische Informatik
Dr. J. Koslowski
Braunschweig, 2008-12-01
Übung 1 zur Vorlesung Fehlerkorrigierende Codes“
”
Aufgabe 1
Wir betrachten einen (n; M; d) Code C uber einem Alphabet der Groe q . Der Hamming Abstand
eines Wortes y 2 F n von C ist deniert als Hammingabstand zwischen y und dem nachsten Codewort
aus C , d.h.,
(y; C) := minf (y; c) : c 2 C g
Unter dem Uberdeckungsradius von C verstehen wir den maximalen Hammingabstand eines Worts
von C , d.h.,
:= maxf (y; C) : y 2 F n g
(a) Bestimmen Sie die Uberdeckungsradien des Wiederholungscodes und des Hamming-Codes uber
F = GF (q) .
(b) Beweisen Sie die Kugeluberdeckungsschranke M ¡ V q (n; ) q n .
(c) Zeigen Sie (d
1)=2 , wobei Gleichheit nur im perfekten Fall gilt.
(d) Beweisen Sie, da eine linearer [n; k; d] Code uber GF (q) die Ungleichung n
k erfullt.
(e) Zeigen Sie, da im Falle eines linearen [n; k; d] Codes uber GF (q) das maximale Hamming-Gewicht
der (Nebenklassen-)Anfuhrer durch gegeben ist.
( f ) H sei eine Kontrollmatrix fur einen linearen [n; k; d] Codes C uber GF (q) . Weisen Sie nach, da
die kleinste positive Zahl ist, so da jeder Vektor in F n k als Linearkombination von bis zu
Zeilen aus H dargestellt werden kann.
(g) Zeigen Sie, das ein maximaler Code C (vergl. Denition 3.3.01) mit Minimalabstand d die Ungleichung
< d erfullt.
(h) C sei ein linearer [n; k; d] Code, so da jede Verlangerung durch Anfugen einer Zeile an eine
Kontrollmatrix H den Minimalabstand reduziert. Weisen Sie < d 1 nach.
Losungsvorschlag:
Intuitiv hantelt es sich bei um den kleinsten Radius, so da die - Kugeln um die Codeworter den
gesamten Raum F n uberdecken. Dies wird in Teil (b) formalisiert, den wir daher vorziehen:
(b) Denitionsgema liegt jedes y 2 F n
schopfen diese Kugeln F n aus.
in mindestens einer der -Kugeln um die Codeworter, also
(a) Der [n; 1; n] Wiederholungscode uber F = GF (q) hat q Elemente mit jeweils lauter gleichen
Komponenten. Je mehr verschiedene Komponenten ein Wort y 2 F n hat, desto groer ist sein
Abstand zu einem der Codeworter.
Falls n q , hat ein Wort y mit n verschiedenen Komponenten von den Codewortern, in denen
eine der Komponenten vorkommt, den Hamming-Abstand n 1 , und von den anderen Codewortern
den Hamming-Abstand n . Von allen Codewortern den Abstand n zu haben, ist unmoglich. Daher
gilt = n 1 .
Falls n > q , berechnen wir n = p ¡ q + r mit r < q . Bei moglichst gleichmaiger Verteilung der
Elemente von F in y treten q r Symbole p mal und r Symbole p + 1 mal auf, woraus folgt
n p 1 falls r 6= 0
= (y; C) =
n p falls r = 0
Hamming-Codes sind perfekt, d.h., die 1-Kugeln um die Codeworter schopfen ganz F n aus. Daraus
folgt sofort 1 . Wegen C 6= F n haben die 0-Kugeln um die Codeworter nicht diese Eigenschaft,
also gilt = 1 .

(c) Die Hamming-Schranke und Teil (b) implizieren
M ¡ V q (n; b(d 1)=2c) q n M ¡ V q (n; )
Aus der Monotonie der Volumenfunktion V q (n;
) folgt somit
b(d
1)=2c
Die einzige Moglichkeit, die geforderte Bedingung zu verletzen, ergibt sich im Falle der Gleichheit,
d.h. fur perfekte Codes, und bei geradem d .
Ein perfekter Code kann aber keinen geraden Minimalabstand haben. Ist d gerade, so gibt es ein
Wort y 2 F n \in der Mitte" zwischen zwei Codewortern c und c 0 mit Hammingabstand d ,
also (y; c) = d=2 = (y; c 0 ) . Nach Denition von liegt y in einer b(d 1)=2c-Kugel um ein
Codewort c 00 , was nach der Dreiecksungleichung (c; c 00 ) < d impliziert, Widerspruch.
Folglich stimmen im perfekten Fall b(d 1)=2c und (d 1)=2 uberein und es gilt = (d 1)=2 .
Ist C nicht perfekt, so gilt b(d 1)=2c < , woraus wegen 2 IN sofort folgt (d 1)=2 .
(d) Da C zu einem systematischen Code aquivalent ist, konnen wir uns auf diesen Fall beschranken. G
sei eine systematische Generatormatix fur C . Zu jedem Wort y 2 F n nden wir dann genau ein
Codewort, das in den ersten k Komponenten mit y ubereinstimmt. Damit konnen sich maximal
die letzten n k Komponenten von y von diesem Codewort unterscheiden, d.h., (y; C) n k .
Da dies fur jedes Wort y gilt, folgt die Behauptung n k .
(e) Ist ` das maximale Hamming-Gewicht der Nebenklassenanfuhrer, so ist die erste Spalte einer
Standard-Tabelle ist in einer `-Kugel um 0 enthalten. Aufgrund der Linearitat gilt dies fur jede
Spalte und das entsprechende Codewort. Daher gilt ` . Weil die (` 1)-Kugel um 0 aber
nicht alle Elemente der ersten Spalte enthalt, folgt = ` .
( f ) Die H -Urbilder der Vektoren aus F n k (=Syndrome) sind nicht leer und partitionieren F n in Nebenklassen.
Damit treten alle Syndrome schon als H -Bilder der Nebenklassenanfuhrer auf. Gema
(e) handelt es sich dabei aber um Linearkombinationen von hochstens Zeilen der Matrix H .
(g) Hinzufugen eines neuen Codeworts reduziert den Minimalabstand. Ist y ein Wort mit (y; C) = ,
so hat C [ fy g den Minimalabstand d 0 = minf; dg < d , woraus d 0 = folgt.
(h) Nach Corollar 3.5.05 genugen Codes dieser Art der zweiten Gilbert-Varschamov-Schranke
q n k V q (n; d 2)
die zu q n q k ¡ V q (n; d 2) aquivalent ist. Ein Wort y 2 F n mit (y; C) = d 1 ware in keiner
(d 2)-Kugel um die Codeworter enthalten, Widerspruch. Also folgt < d 1 .
Aufgabe 2
Wir betrachten einen [n; k; d] vRS Code C vRS
uber F = GF (n) mit 1 < k < n .
(a) Identizieren Sie C vRS
als echten Teil-Code eines [n; k + 1; d 1] vRS Codes uber F .
(b) Weisen Sie die Existenz eines Worts y 2 F n nach, dessen Hamming-Abstand von C vRS
mindestens
den Wert d 1 annimmt.
(c) Zeigen Sie, da der Uberdeckungsradius von C vRS
den Wert d 1 hat.
Losungsvorschlag:
(a) In einer Generatormatrix G vRS
der Form (4.1.08) kann im ersten Faktor eine Zeile angefugt werden,
was einer Vergroerung von k um 1 entspricht. Da es sich weiterhin um einen MDS-Code handelt,
mu sich der Minimalabstand um 1 verringern.
(b) Jedes Codewort des groeren Codes C 0 , das nicht zum kleineren Code C gehort, erfullt die angegebene
Bedingung. Daher folgt d 1 .
(c) Teil (b) zusammen mit Teil (d) der vorherigen Aufgabe und die Tatsache, da wegen der MDS-
Eigenschaft d 1 = n k gilt, liefern = d 1 .