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Grundwissen Mathematik – 7. Jahrgangsstufe Seite 1
Achsensymmetrie
Figuren, die durch Spiegelung an einer
Achse a in sich übergehen, nennt man
achsensymmetrisch bezüglich der Achse a.
Es gibt Figuren mit mehreren
Symmetrieachsen.
a
Punktsymmetrie
Figuren, die bei einer Halbdrehung um ihr
Zentrum Z in sich übergehen, nennt man
punktsymmetrisch bezüglich des Punktes
Z
Winkel an zwei sich schneidenden Geraden
Scheitelwinkel sind gleich groß, Nebenwinkel
ergänzen sich zu 180°.
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Winkel an Doppelkreuzungen
Werden zwei parallele Geraden von einer
dritten Gerade geschnitten, so sind die dabei
entstehenden spitzen und stumpfen Winkel
jeweils gleich groß.
Aufgaben:
1) Bestimme alle Symmetrieachsen
eines Quadrats und eines
gleichseitigen Dreiecks.
2) Konstruiere zu zwei Punkten A
und B die Symmetrieachse.
3) Konstruiere einen Winkel von 45°
mit Zirkel und Lineal
Aufgaben:
1) Bestimme das
Symmetriezentrum eines
Parallelogramms.
2) Spiegle ein gleichseitiges
Dreieck ABC an der Ecke C.
Aufgaben:
1) � = 34,5°;
Berechne die restlichen
Winkel.
2) Der Winkel ��ist viermal so
groß wie �. Berechne alle
Winkel.
Aufgabe:
Markiere gleiche Winkel mit gleicher
Farbe. Die Geradenpaare sind
jeweils pararllel.

Innenwinkelsumme im Dreieck bzw.
Viereck
Die Innenwinkelsumme im Dreieck
beträgt stets 180°.
Die Innenwinkelsumme im Viereck
beträgt stets 360°.
Gleichschenklige Dreiecke
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten
heißt gleichschenkliges Dreieck.
Sonderfall:
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten
heißt gleichseitiges Dreieck.
Rechtwinklige Dreiecke
Satz des Thales: (Thaleskreis)
Ein Dreieck ABC hat in C genau dann
einen rechten Winkel, wenn C auf dem
Halbkreis über [AB] liegt.
Besondere Linien im Dreieck, die sich
jeweils in einem Punkt schneiden
(Transversalen im Dreieck):
Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende,
Höhen (bzw. die Verlängerungen der
Höhen) und Seitenhalbierende
(Schwerelinien).
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist
der Umkreismittelpunkt.
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist
der Inkreismittelpunkt.
Schnittpunkt der Seitenhalbierendenist
der Schwerpunkt.
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Aufgabe:
1) In einem Dreieck ist � = 69°;
� ist doppelt so groß wie �.
Bestimme die Größen der
Winkel.
Aufgaben:
1) Zeichne ein gleichschenkliges
Dreieck mit der Basis 5 cm
und einem Winkel von 52° an
der Spitze.
2) Wie groß ist der Winkel an
der Spitze bei einem
gleichschenkligen Dreieck mit
den Basiswinkeln 34°?
3) Wie groß sind die Winkel in
einem gleichseitigen Dreieick?
Aufgaben:
1) Konstruiere ein
rechtwinkliges Dreieck
ABC mit der Hypotenuse
c =7 cm und der
Kathete a = 4 cm.
2) Konstruiere die
Tangenten an einen
Kreis, die durch einen
Punkt P außerhalb des
Kreises gehen.
Aufgaben:
1) In welchen Dreiecken stimmen
mehrere dieser Linien überein.
2) Konstruiere den In- und
Umkreis eines Dreiecks mit
einem stumpfen Winkel.
3) Konstruiere den Schwerpunkt
eines rechtwinklig
gleichschenkligen Dreiecks.
4) Wann liegt der
Höhenschnittpunkt außerhalb
des Dreiecks?

Dreiecksungleichung
Die Summe zweier Seitenlängen ist stets
größer als die Länge der dritten Seite.
Kongruenzsätze
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie
a) in drei Seiten (SSS) oder
b) in zwei Seiten und dem
Zwischenwinkel (SWS) oder
c) in zwei Seiten und dem Gegenwinkel
der längeren Seite (SsW) oder
d) in einer Seite und zwei Winkeln (WSW
oder SWW) übereinstimmen.
Berechnung von Termwerten
Um einen Termwert zu berechnen,
ersetzt man alle im
Term vorkommenden Variablen durch
Zahlen bzw. Größen.
Gleiche Variablen sind durch gleiche
Zahlen bzw. Größen zu ersetzen.
Zuordnung Variablenwert – Termwert
Jedem Variablenwert wird durch einen
Term ein eindeutig bestimmter Termwert
zugeordnet.
Eine solche Zuordnung lässt sich durch
eine Wertetabelle beschreiben
Beispiele:
T(x) = x³ - 4x
also T(5) = 5³ � 4 � 5 = 105
T(a;b) = a² + b²
also T(3;4) = 3² + 4² = 25
Äquivalente Terme
Zwei Terme, die bei jeder möglichen
Ersetzung der Variablen durch Zahlen
jeweils den gleichen Termwert ergeben,
nennt man äquivalent.
Termumformungen
1) Umformungen in Produkten
2) Zusammenfassen gleichartiger Terme
3) Klammerregeln
4) Ausmultiplizieren und Ausklammern
5) Multiplizieren von Summen und
Differenzen
Seiten-Winkel-Beziehung im Dreieck
Der größeren Seite liegt immer der
größere Winkel gegenüber und dem
größeren Winkel die größere Seite.
Aufgaben:
Konstruiere folgende Dreiecke:
1) a=5 cm ; b=4 cm; c=7 cm
2) �=48°; b=3 cm; c=5 cm
3) a=5,5 cm; b=7 cm; �= 69°
4) �=49°; �=67°; b=8 cm
Aufgaben:
1) Ergänze die folgende
Wertetabelle:
T(X) = 0,5 x – 2
x -2 -0,5 1 3 4,5 10
T(x)
2) In einem Rechteck ist die
Seite a um 4 cm länger als die
Seite b. Stelle für die
Berechnung des Umfangs und
des Flächeninhalts jeweils
einen Term mit der Variable a
auf.
Aufgaben:
1) 4a
� 2b
� a � 0,
5b
� 2a
�
2) 3a � 2b
� b � 2a
� 2ab²
=
3) x²
� ( 2x²
� y²)
�
1
4) a) 6z � ( 2x
� z)
�
3
b) 4r² � 6r
=
5) ( �2 � 4k)
� ( 2k
� 3)
� 2 �
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Die binomischen Formeln
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
(a+b)(a-b) = a² - b²
Lineare Gleichungen mit einer
Variablen
Eine lineare Gleichung hat entweder
- genau eine Lösung oder
- keine Lösung oder
- unendlich viele Lösungen.
Die Elemente der Lösungsmenge
müssen aus der Grundmenge der
Gleichung sein.
Prozentrechnung
Alle Fragen der Prozentrechnung lassen
sich mit der Grundgleichung der
Prozentrechnung beantworten:
Prozentsatz x Grundwert =
= Prozentwert
Man muss dabei nach der gesuchten
Größe auflösen.
Aufgaben:
1) (4x + 2)² =
2) (2x - 2y)² =
3) (3y - 5)(5 + 3y) =
4) Faktorisiere
a) x² + 2x + 1
b) 4a² + 4 – 8a
c) 121x² - y²
Aufgabe:
Aufgaben:
1) Gib die Lösungsmenge an
(G=Q):
7( -x + 1) = 12(2 - x)
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2) Löse mit einer Gleichung:
Zählt man zum 4-fachen Produkt
einer ganzen Zahl 45 hinzu, so
erhält man den vierten Teil der
Summe aus der gesuchten Zahl
und 480.
1) Der Preis für ein Paar
Fußballschuhe wurde um
15% auf 63,75 € reduziert.
Was kosteten die Schuhe
vorher?
2) In einem Fass befinden sich 5 l
Erfrischungsgetränk mit 20%
Fruchtanteil. Wie viel reiner
Fruchtsaft muss hinzugeschüttet
werden, damit der Fruchtanteil im
Fass auf 50% steigt?