Grundwissen Mathematik â 7. Jahrgangsstufe Seite 1 a ... - bingo eV
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<strong>Grundwissen</strong> <strong>Mathematik</strong> – <strong>7.</strong> <strong>Jahrgangsstufe</strong> <strong>Seite</strong> 1<br />
Achsensymmetrie<br />
Figuren, die durch Spiegelung an einer<br />
Achse a in sich übergehen, nennt man<br />
achsensymmetrisch bezüglich der Achse a.<br />
Es gibt Figuren mit mehreren<br />
Symmetrieachsen.<br />
a<br />
Punktsymmetrie<br />
Figuren, die bei einer Halbdrehung um ihr<br />
Zentrum Z in sich übergehen, nennt man<br />
punktsymmetrisch bezüglich des Punktes<br />
Z<br />
Winkel an zwei sich schneidenden Geraden<br />
Scheitelwinkel sind gleich groß, Nebenwinkel<br />
ergänzen sich zu 180°.<br />
��<br />
�� ��<br />
��<br />
������������� ������������������������������<br />
Winkel an Doppelkreuzungen<br />
Werden zwei parallele Geraden von einer<br />
dritten Gerade geschnitten, so sind die dabei<br />
entstehenden spitzen und stumpfen Winkel<br />
jeweils gleich groß.<br />
Aufgaben:<br />
1) Bestimme alle Symmetrieachsen<br />
eines Quadrats und eines<br />
gleichseitigen Dreiecks.<br />
2) Konstruiere zu zwei Punkten A<br />
und B die Symmetrieachse.<br />
3) Konstruiere einen Winkel von 45°<br />
mit Zirkel und Lineal<br />
Aufgaben:<br />
1) Bestimme das<br />
Symmetriezentrum eines<br />
Parallelogramms.<br />
2) Spiegle ein gleichseitiges<br />
Dreieck ABC an der Ecke C.<br />
Aufgaben:<br />
1) � = 34,5°;<br />
Berechne die restlichen<br />
Winkel.<br />
2) Der Winkel ��ist viermal so<br />
groß wie �. Berechne alle<br />
Winkel.<br />
Aufgabe:<br />
Markiere gleiche Winkel mit gleicher<br />
Farbe. Die Geradenpaare sind<br />
jeweils pararllel.
Innenwinkelsumme im Dreieck bzw.<br />
Viereck<br />
Die Innenwinkelsumme im Dreieck<br />
beträgt stets 180°.<br />
Die Innenwinkelsumme im Viereck<br />
beträgt stets 360°.<br />
Gleichschenklige Dreiecke<br />
Ein Dreieck mit zwei gleich langen <strong>Seite</strong>n<br />
heißt gleichschenkliges Dreieck.<br />
Sonderfall:<br />
Ein Dreieck mit drei gleich langen <strong>Seite</strong>n<br />
heißt gleichseitiges Dreieck.<br />
Rechtwinklige Dreiecke<br />
Satz des Thales: (Thaleskreis)<br />
Ein Dreieck ABC hat in C genau dann<br />
einen rechten Winkel, wenn C auf dem<br />
Halbkreis über [AB] liegt.<br />
Besondere Linien im Dreieck, die sich<br />
jeweils in einem Punkt schneiden<br />
(Transversalen im Dreieck):<br />
Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende,<br />
Höhen (bzw. die Verlängerungen der<br />
Höhen) und <strong>Seite</strong>nhalbierende<br />
(Schwerelinien).<br />
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist<br />
der Umkreismittelpunkt.<br />
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist<br />
der Inkreismittelpunkt.<br />
Schnittpunkt der <strong>Seite</strong>nhalbierendenist<br />
der Schwerpunkt.<br />
<strong>Seite</strong> 2<br />
Aufgabe:<br />
1) In einem Dreieck ist � = 69°;<br />
� ist doppelt so groß wie �.<br />
Bestimme die Größen der<br />
Winkel.<br />
Aufgaben:<br />
1) Zeichne ein gleichschenkliges<br />
Dreieck mit der Basis 5 cm<br />
und einem Winkel von 52° an<br />
der Spitze.<br />
2) Wie groß ist der Winkel an<br />
der Spitze bei einem<br />
gleichschenkligen Dreieck mit<br />
den Basiswinkeln 34°?<br />
3) Wie groß sind die Winkel in<br />
einem gleichseitigen Dreieick?<br />
Aufgaben:<br />
1) Konstruiere ein<br />
rechtwinkliges Dreieck<br />
ABC mit der Hypotenuse<br />
c =7 cm und der<br />
Kathete a = 4 cm.<br />
2) Konstruiere die<br />
Tangenten an einen<br />
Kreis, die durch einen<br />
Punkt P außerhalb des<br />
Kreises gehen.<br />
Aufgaben:<br />
1) In welchen Dreiecken stimmen<br />
mehrere dieser Linien überein.<br />
2) Konstruiere den In- und<br />
Umkreis eines Dreiecks mit<br />
einem stumpfen Winkel.<br />
3) Konstruiere den Schwerpunkt<br />
eines rechtwinklig<br />
gleichschenkligen Dreiecks.<br />
4) Wann liegt der<br />
Höhenschnittpunkt außerhalb<br />
des Dreiecks?
Dreiecksungleichung<br />
Die Summe zweier <strong>Seite</strong>nlängen ist stets<br />
größer als die Länge der dritten <strong>Seite</strong>.<br />
Kongruenzsätze<br />
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie<br />
a) in drei <strong>Seite</strong>n (SSS) oder<br />
b) in zwei <strong>Seite</strong>n und dem<br />
Zwischenwinkel (SWS) oder<br />
c) in zwei <strong>Seite</strong>n und dem Gegenwinkel<br />
der längeren <strong>Seite</strong> (SsW) oder<br />
d) in einer <strong>Seite</strong> und zwei Winkeln (WSW<br />
oder SWW) übereinstimmen.<br />
Berechnung von Termwerten<br />
Um einen Termwert zu berechnen,<br />
ersetzt man alle im<br />
Term vorkommenden Variablen durch<br />
Zahlen bzw. Größen.<br />
Gleiche Variablen sind durch gleiche<br />
Zahlen bzw. Größen zu ersetzen.<br />
Zuordnung Variablenwert – Termwert<br />
Jedem Variablenwert wird durch einen<br />
Term ein eindeutig bestimmter Termwert<br />
zugeordnet.<br />
Eine solche Zuordnung lässt sich durch<br />
eine Wertetabelle beschreiben<br />
Beispiele:<br />
T(x) = x³ - 4x<br />
also T(5) = 5³ � 4 � 5 = 105<br />
T(a;b) = a² + b²<br />
also T(3;4) = 3² + 4² = 25<br />
Äquivalente Terme<br />
Zwei Terme, die bei jeder möglichen<br />
Ersetzung der Variablen durch Zahlen<br />
jeweils den gleichen Termwert ergeben,<br />
nennt man äquivalent.<br />
Termumformungen<br />
1) Umformungen in Produkten<br />
2) Zusammenfassen gleichartiger Terme<br />
3) Klammerregeln<br />
4) Ausmultiplizieren und Ausklammern<br />
5) Multiplizieren von Summen und<br />
Differenzen<br />
<strong>Seite</strong>n-Winkel-Beziehung im Dreieck<br />
Der größeren <strong>Seite</strong> liegt immer der<br />
größere Winkel gegenüber und dem<br />
größeren Winkel die größere <strong>Seite</strong>.<br />
Aufgaben:<br />
Konstruiere folgende Dreiecke:<br />
1) a=5 cm ; b=4 cm; c=7 cm<br />
2) �=48°; b=3 cm; c=5 cm<br />
3) a=5,5 cm; b=7 cm; �= 69°<br />
4) �=49°; �=67°; b=8 cm<br />
Aufgaben:<br />
1) Ergänze die folgende<br />
Wertetabelle:<br />
T(X) = 0,5 x – 2<br />
x -2 -0,5 1 3 4,5 10<br />
T(x)<br />
2) In einem Rechteck ist die<br />
<strong>Seite</strong> a um 4 cm länger als die<br />
<strong>Seite</strong> b. Stelle für die<br />
Berechnung des Umfangs und<br />
des Flächeninhalts jeweils<br />
einen Term mit der Variable a<br />
auf.<br />
Aufgaben:<br />
1) 4a<br />
� 2b<br />
� a � 0,<br />
5b<br />
� 2a<br />
�<br />
2) 3a � 2b<br />
� b � 2a<br />
� 2ab²<br />
=<br />
3) x²<br />
� ( 2x²<br />
� y²)<br />
�<br />
1<br />
4) a) 6z � ( 2x<br />
� z)<br />
�<br />
3<br />
b) 4r² � 6r<br />
=<br />
5) ( �2 � 4k)<br />
� ( 2k<br />
� 3)<br />
� 2 �<br />
<strong>Seite</strong> 3
Die binomischen Formeln<br />
(a+b)² = a² + 2ab + b²<br />
(a-b)² = a² - 2ab + b²<br />
(a+b)(a-b) = a² - b²<br />
Lineare Gleichungen mit einer<br />
Variablen<br />
Eine lineare Gleichung hat entweder<br />
- genau eine Lösung oder<br />
- keine Lösung oder<br />
- unendlich viele Lösungen.<br />
Die Elemente der Lösungsmenge<br />
müssen aus der Grundmenge der<br />
Gleichung sein.<br />
Prozentrechnung<br />
Alle Fragen der Prozentrechnung lassen<br />
sich mit der Grundgleichung der<br />
Prozentrechnung beantworten:<br />
Prozentsatz x Grundwert =<br />
= Prozentwert<br />
Man muss dabei nach der gesuchten<br />
Größe auflösen.<br />
Aufgaben:<br />
1) (4x + 2)² =<br />
2) (2x - 2y)² =<br />
3) (3y - 5)(5 + 3y) =<br />
4) Faktorisiere<br />
a) x² + 2x + 1<br />
b) 4a² + 4 – 8a<br />
c) 121x² - y²<br />
Aufgabe:<br />
Aufgaben:<br />
1) Gib die Lösungsmenge an<br />
(G=Q):<br />
7( -x + 1) = 12(2 - x)<br />
<strong>Seite</strong> 4<br />
2) Löse mit einer Gleichung:<br />
Zählt man zum 4-fachen Produkt<br />
einer ganzen Zahl 45 hinzu, so<br />
erhält man den vierten Teil der<br />
Summe aus der gesuchten Zahl<br />
und 480.<br />
1) Der Preis für ein Paar<br />
Fußballschuhe wurde um<br />
15% auf 63,75 € reduziert.<br />
Was kosteten die Schuhe<br />
vorher?<br />
2) In einem Fass befinden sich 5 l<br />
Erfrischungsgetränk mit 20%<br />
Fruchtanteil. Wie viel reiner<br />
Fruchtsaft muss hinzugeschüttet<br />
werden, damit der Fruchtanteil im<br />
Fass auf 50% steigt?