4. Reihen - xivilization

4. Reihen
Marek Kubica, Antonia Schmalstieg
TU München
30. März 2011
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Kubica, Schmalstieg
4. Reihen

4.1 Konvergenz von Reihen
Denition
Man ordnet einer Folge komplexer Zahlen (a n ) die Folge (s n ) mit
n∑
s n = a k = a 1 + a 2 + ... + a n
k=1
zu. Die einzelnen Summanden a i nennt man i-te Partialsummen.
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4.1 Konvergenz von Reihen
Konvergenz
Konvergiert die Folge, so gilt
∞∑
s = a k = a 1 + a 2 + ...
k=1
Divergiert die Folge, so gilt
∞∑
a k = ±∞
k=1
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Beispiele
Teleskopreihe
∞∑
k=1
1
k(k + 1) = 1
Harmonische Reihe
∞∑
k=1
1
k = ∞
da ihre Partialsummen H n sind, die unbeschränkt wachsen.
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Beispiele
Geometrische Reihe
∞∑
k=0
z k = 1
1 − z
für z ∈ C, |z| < 1, da z n → 0 (n → ∞).
für q ≥ 1.
∞∑
q k = ∞
k=0
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Einfache Konvergenzresultate
∑ ∞
k=1 a k konvergiert ⇒ a k → 0 (k → ∞)
Für nichtnegative Glieder:
∞∑
a k konvergiert ⇔ (s n ) beschränkt
k
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4.2 Vergleichkriterien
Majorantenkriterium
Idee: Reihe auf bekannte Reihen zurückführen, um Konvergenz oder
Divergenz festzustellen
Es seien ∑ ∞
k=1 a k und ∑ ∞
k=1 b k Reihen bei denen für alle Glieder
|a k | ≤ b k
gilt. Dann heiÿt ∑ ∞
k=1 b k Majorante von ∑ ∞
k=1 a k.
Es gilt:
| ∑ ∞
k=1 a k| ≤ ∑ ∞
k=1 |a k| ≤ ∑ ∞
k=1 b k
Divergiert (a k ), so divergiert auch (b k ).
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4.2 Vergleichkriterien
Quotientenkriterium
Idee: Vergleich mit Geometrischer Reihe.
Es sei ∑ ∞
k=1 a k mit a k ≠ 0 für fast alle k.
Falls es den Grenzwert
∣ q = lim
a k+1 ∣∣∣
k→∞
∣ a k
gibt, so gilt für q < 1 Konvergenz; für q > 1 Divergenz; für q = 1
kann keine Aussage getroen werden.
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4.2 Vergleichkriterien
Wurzelkriterium
Idee: Vergleich mit Geometrischer Reihe.
Für eine Reihe ∑ ∞
k=1 a k denieren wir die Zahl
ρ = lim sup
k→∞
√
k |ak |
Die Reihe konvergiert, falls ρ < 1, divergiert falls ρ > 1, für ρ = 1
kann keine Aussage getroen werden.
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4.3 Alternierende Reihen
Leibnitzkriterium
(a n ) sei eine monoton fallende Nullfolge, dann konvergiert die
dazugehörige alternierende Reihe
s =
∞∑
(−1) k a k
k=0
und s n approximiert s bis auf einen Fehler gleich des Betrags des
letzten weggelassenen Summanden.
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4.5 Umordnungen
Meiste Operationen unkritisch
Addition
§
∞∑
∞∑ ∞∑
(a n + b n ) = a n +
k=1
k=1 k=1
Umordnungen von Reihengliedern im Allgemeinen nicht erlaubt
Cauchy-Produkt
Zum Zusammenfügen von Reihen über Multiplikation
m∑
c m = a k b m−k
k=0
b k
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