4. Reihen - xivilization
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<strong>4.</strong> <strong>Reihen</strong><br />
Marek Kubica, Antonia Schmalstieg<br />
TU München<br />
30. März 2011<br />
This work is licensed under the Creative Commons Attribution 3.0 License.<br />
Kubica, Schmalstieg<br />
<strong>4.</strong> <strong>Reihen</strong>
<strong>4.</strong>1 Konvergenz von <strong>Reihen</strong><br />
Denition<br />
Man ordnet einer Folge komplexer Zahlen (a n ) die Folge (s n ) mit<br />
n∑<br />
s n = a k = a 1 + a 2 + ... + a n<br />
k=1<br />
zu. Die einzelnen Summanden a i nennt man i-te Partialsummen.<br />
Kubica, Schmalstieg<br />
<strong>4.</strong> <strong>Reihen</strong>
<strong>4.</strong>1 Konvergenz von <strong>Reihen</strong><br />
Konvergenz<br />
Konvergiert die Folge, so gilt<br />
∞∑<br />
s = a k = a 1 + a 2 + ...<br />
k=1<br />
Divergiert die Folge, so gilt<br />
∞∑<br />
a k = ±∞<br />
k=1<br />
Kubica, Schmalstieg<br />
<strong>4.</strong> <strong>Reihen</strong>
Beispiele<br />
Teleskopreihe<br />
∞∑<br />
k=1<br />
1<br />
k(k + 1) = 1<br />
Harmonische Reihe<br />
∞∑<br />
k=1<br />
1<br />
k = ∞<br />
da ihre Partialsummen H n sind, die unbeschränkt wachsen.<br />
Kubica, Schmalstieg<br />
<strong>4.</strong> <strong>Reihen</strong>
Beispiele<br />
Geometrische Reihe<br />
∞∑<br />
k=0<br />
z k = 1<br />
1 − z<br />
für z ∈ C, |z| < 1, da z n → 0 (n → ∞).<br />
für q ≥ 1.<br />
∞∑<br />
q k = ∞<br />
k=0<br />
Kubica, Schmalstieg<br />
<strong>4.</strong> <strong>Reihen</strong>
Einfache Konvergenzresultate<br />
∑ ∞<br />
k=1 a k konvergiert ⇒ a k → 0 (k → ∞)<br />
Für nichtnegative Glieder:<br />
∞∑<br />
a k konvergiert ⇔ (s n ) beschränkt<br />
k<br />
Kubica, Schmalstieg<br />
<strong>4.</strong> <strong>Reihen</strong>
<strong>4.</strong>2 Vergleichkriterien<br />
Majorantenkriterium<br />
Idee: Reihe auf bekannte <strong>Reihen</strong> zurückführen, um Konvergenz oder<br />
Divergenz festzustellen<br />
Es seien ∑ ∞<br />
k=1 a k und ∑ ∞<br />
k=1 b k <strong>Reihen</strong> bei denen für alle Glieder<br />
|a k | ≤ b k<br />
gilt. Dann heiÿt ∑ ∞<br />
k=1 b k Majorante von ∑ ∞<br />
k=1 a k.<br />
Es gilt:<br />
| ∑ ∞<br />
k=1 a k| ≤ ∑ ∞<br />
k=1 |a k| ≤ ∑ ∞<br />
k=1 b k<br />
Divergiert (a k ), so divergiert auch (b k ).<br />
Kubica, Schmalstieg<br />
<strong>4.</strong> <strong>Reihen</strong>
<strong>4.</strong>2 Vergleichkriterien<br />
Quotientenkriterium<br />
Idee: Vergleich mit Geometrischer Reihe.<br />
Es sei ∑ ∞<br />
k=1 a k mit a k ≠ 0 für fast alle k.<br />
Falls es den Grenzwert<br />
∣ q = lim<br />
a k+1 ∣∣∣<br />
k→∞<br />
∣ a k<br />
gibt, so gilt für q < 1 Konvergenz; für q > 1 Divergenz; für q = 1<br />
kann keine Aussage getroen werden.<br />
Kubica, Schmalstieg<br />
<strong>4.</strong> <strong>Reihen</strong>
<strong>4.</strong>2 Vergleichkriterien<br />
Wurzelkriterium<br />
Idee: Vergleich mit Geometrischer Reihe.<br />
Für eine Reihe ∑ ∞<br />
k=1 a k denieren wir die Zahl<br />
ρ = lim sup<br />
k→∞<br />
√<br />
k |ak |<br />
Die Reihe konvergiert, falls ρ < 1, divergiert falls ρ > 1, für ρ = 1<br />
kann keine Aussage getroen werden.<br />
Kubica, Schmalstieg<br />
<strong>4.</strong> <strong>Reihen</strong>
<strong>4.</strong>3 Alternierende <strong>Reihen</strong><br />
Leibnitzkriterium<br />
(a n ) sei eine monoton fallende Nullfolge, dann konvergiert die<br />
dazugehörige alternierende Reihe<br />
s =<br />
∞∑<br />
(−1) k a k<br />
k=0<br />
und s n approximiert s bis auf einen Fehler gleich des Betrags des<br />
letzten weggelassenen Summanden.<br />
Kubica, Schmalstieg<br />
<strong>4.</strong> <strong>Reihen</strong>
<strong>4.</strong>5 Umordnungen<br />
Meiste Operationen unkritisch<br />
Addition<br />
§<br />
∞∑<br />
∞∑ ∞∑<br />
(a n + b n ) = a n +<br />
k=1<br />
k=1 k=1<br />
Umordnungen von <strong>Reihen</strong>gliedern im Allgemeinen nicht erlaubt<br />
Cauchy-Produkt<br />
Zum Zusammenfügen von <strong>Reihen</strong> über Multiplikation<br />
m∑<br />
c m = a k b m−k<br />
k=0<br />
b k<br />
Kubica, Schmalstieg<br />
<strong>4.</strong> <strong>Reihen</strong>