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Inhalt: Gebrochen-rationale Funktionen
Gebrochen-rationale Funktionen.......................................................................................2
Begriff der gebrochen-rationalen Funktion......................................................................2
Typische Kurvenverläufe..............................................................................................2
Definitionslücken......................................................................................................4
Bestimmung von Definitionslücken...........................................................................4
Arten von Definitionslücken.....................................................................................5
Polstellen...........................................................................................................5
Behebbare Definitionslücken.................................................................................6
Nullstellen................................................................................................................6
(Haus)aufgaben.....................................................................................................7
Verhalten gebrochen-rationaler Funktionen im Unendlichen...........................................8
Funktionen, die einem konstanten Wert zustreben.....................................................8
Grenzwertfindung, Asymptoten................................................................................8
Asymptoten ohne konstanten Wert...........................................................................9
Übung / Hausaufgaben............................................................................................10

Gebrochen-rationale Funktionen
Begriff der gebrochen-rationalen Funktion
Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier ganzrationaler Funktionen
p und q (bzw. ein Quotient zweier Polynome) ist, heißt gebrochen-rationale Funktion.
p x
f x=
q x
Bei gebrochen rationalen Funktionen steht also die Variable x (auch) im Nenner.
Typische Kurvenverläufe
1
f ( x)
=
x²
1
f ( x)
=
x
x + 1
f ( x)
= x −2
1
f ( x)
= x + 1
Betrachten wir uns die dargestellten Funktionen, so fällt
auf, dass sie keine durchgängigen Grafen (stetige
Grafen) besitzen, sondern aus einzelnen Teilen
bestehen.
Zwischen den Ästen des Grafen ist die Funktion nicht
definiert. Es liegt eine Definitionslücke vor.
Die Grafen Funktionen der Form f x = 1
mxn
heißen Hyperbel.
1
f ( x)
= x ² −4
/home/boehm/Schule/Mathematik/Funktionen/pGebrochenratFkt.odt
I. Böhm Seite 2 13.06.2011

Typische Kurvenverläufe
Definitionslücken
Bestimmung von Definitionslücken
Der Nenner eines Bruches darf nie Null werden. Die Funktion ist also genau dann nicht
definiert, wenn im Nenner der Funktion eine Variable x steht, die den Nenner Null werden
lässt.
Betrachtet man wie eingangs definiert eine gebrochen-rationale Funktion als Quotient
p x
zweier Funktionen f x= , dann ist f(x) genau dort nicht definiert, wo q(x)
q x
Nullstellen besitzt.
Man spricht ganz allgemein von Definitionslücken.
Bestimmen Sie an, an welchen Stellen folgende Funktionen nicht definiert sind und geben Sie
anschließend den Definitionsbereich der Funktionen an!
x + 1
Beispiel: Von f ( x)
=
2 errechnet man die Definitionslücke indem man vom Nenner des
( x −2)
Bruches die Nullstelle bestimmt: 0 = (x-2)² x N = 2 Die Funktion ist nicht definiert für x = 2.
Der Definitionsbereich schreibt sich dann: D : x∈R ; x≠2
x + 1
oder als Funktionsangabe: f ( x)
= x ∈ R;
x ≠ 2
2
( x − 2)
x + 1
g( x)
=
x
2 − 2x
x + 1
h( x)
=
x
2 + 2x
2x
− 2
i(
x)
=
x 2
− x
Lücken: x=0 und x = 2 x = -2 und x = 0 x = 0 und x = 1
Sieht man sich die Grafen in der Nähe der Definitionslücken an, so fallen einige Unterschiede
auf!
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I. Böhm Seite 3 13.06.2011

Typische Kurvenverläufe
Arten von Definitionslücken
Gebrochen-rationale Funktionen sind nicht an allen Stellen definiert. Sie besitzen
Definitionslücken.
Die Definitionslücken befinden sich an Stellen, an denen der Nenner der Funktion = 0 ist.
Polstellen
Bei den dargestellten Funktionen f, g, h und i besteht der Funktionsgraf aus mehreren
Teilen (Hyperbelästen).
Nähert man sich bei der Funktion
x + 1
f ( x)
= x ∈ R;
x ≠ 2
2
( x − 2)
der Definitionslücke von links ( f(x) 2 für x2 ), so steigen die Funktionswerte
ebenfalls über jede Grenze f(x) ∞.
lim
x→
2
f ( x)
= ∞
Zwischen den beiden Hyperbelästen befindet sich eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
Zieht man eine senkrechte Linie an der Polstelle, so schmiegen sich die Hyperbeln - mit
wachsenden Funktionswerten, bis ins Unendliche immer dichter an diese Linie an.
x + 1
Nähert man sich bei der Funktion
h( x)
=
x
2 + 2x
der Definitionslücke x = -2 von links ( f(x) -2 für x

Typische Kurvenverläufe
Behebbare Definitionslücken
2x
−2
Die Funktion
i(
x)
=
x 2
− x
x = 0 und bei x= 1
hat zwei Definitionslücken: bei
Der Graf der Funktion lässt jedoch nur eine Polstelle
erkennen.
Beim Zeichnen des Grafen nähern sich die Funktionswerte
von links und rechts immer mehr der 2. Es fehlt lediglich
ein einzelner Punkt.
Eine solche Stelle heißt behebbare Definitionslücke.
Eine behebbare Definitionslücke liegt dann vor, wenn der
Graf der Funktion von links und von rechts dem gleichen
Funktionswert entgegenstrebt.
lim
x 1 ; x1
i x=
lim
x 1 ; x1
i x=2
Funktionen mit behebbaren Definitionslücken besitzen im Nennerpolynom eine Nullstelle
und zugleich Zählerpolynom die gleiche Nullstelle.
Die „Behebung der Definitionslücke“ erfolgt durch Kürzen.
Im konkreten Fall kann man den Bruch mit (x-1) kürzen.
(Linearfaktor der im Zähler und Nenner gleichermaßen vorhandenen Nullstelle.)
Die gekürzte Funktion heißt dann. i x = 2x−2
x²−x = 2 x−1
x x−1 = 2 x
Jetzt kann man die Funktion zeichnen, ohne den Stift bei x = 1 absetzten zu müssen.
Nullstellen
p x
Eine gebrochen-rationale Funktion
f x=
q x hat dort Nullstellen, wo die Zählerfunktion
g(x) Nullstellen besitzt.
Dies ist leicht einzusehen, da f x= 0
q x =0 ist.
Eine wichtige Ausnahme dazu liegt vor, wenn auch die Funktion h(x) an dieser Stelle eine
Nullstelle besitzt.
0
f ( x)
= : In jenem Fall liegt eine behebbare Definitionslücke (siehe vorheriges Kapitel)
0
vor.
Die Funktion lässt sich vereinfachen.
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Typische Kurvenverläufe
(Haus)aufgaben
2. Bestimmen Sie von folgenden Funktionen
- die Achsenschnittpunkte,
- die Definitionslücken und die Art der Definitionslücken,
- Verlauf der Funktionen an den Polstellen,
- Symmetrieeigenschaften und
skizzieren Sie die Grafen der Funktionen!
f x= x²−1
x²1
g x= x²−1
x²−4x
x² 4x
h x =
2x8
x² 3x−10
i x =
x² 7x10
j x= x²4x−4
x²−4
k x= x²−16
x−4
f(x):
[-1|0] [1|0] [0|-1]; keine Definitionslücken; Achsensymmetrisch
g(x):
[-1|0] [1|0] Definitionslücken: x=0, x=4; keine Symmetrie
h(x): [0|0] Definitionslücke bei x=-4 ist behebbar.
h x= 1 2 x
i(x): [2|0] [-5|0] [0|-1] Definitionslücken: x=-5; x=-2
x =-5 ist behebbar: i x = x−2
x2
Punktsymmetrisch im Punkt [-2|1]
j(x): [-4,83|0] [0,83|0] [0|1] Definitionslücken x=-2 x=2
siehe einfach Funktion
k(x): Auch diese Funktion ist kürzbar k(x)= x+4
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Typische Kurvenverläufe
Das Zeichnen der Funktionen aus den (Haus)aufgaben gestaltet sich schwierig, wenn das
Verhalten der Funktionen im Unendlichen, also für sehr kleine und sehr große x unbekannt ist.
Verhalten gebrochen-rationaler Funktionen im Unendlichen
Funktionen, die einem konstanten Wert zustreben
Bisher haben wir Funktionen gesehen, deren Funktionswerte mit wachsendem x oder mit immer
kleiner werdendem x einem konstanten Wert zustreben.
z.B.:
1
f ( x)
= Wird x immer größer, nähert sich der Graf immer mehr der x-Achxe y=0,
x
ohne diese je zu erreichen.
Man sagt für f x
für x ∞=0
Ebenso ist f x −∞= 1 x =0
Schreiben wir: lim
x±∞ 1 x =0
Grenzwertfindung, Asymptoten
Abhängig vom Grad der Zählerfunktion p(x) und vom Grad der Nennerfunktion q(x) der
p(
x)
Funktion f ( x)
= lässt sich schnell klären, ob der Grenzwert für x → +- ∞ = 0
q(
x)
ist:
Besitzt das Nennerpolynom q(x) einen höheren Grad als das Zählerpolynom p(x)
strebt der Grenzwert für x → ±∞ gegen 0. lim f ( x)
= 0
x→±∞
Besitzt das Nennerpolynom q(x) einen höheren Grad als das Zählerpolynom p(x),
nennt man diese echt-gebrochen-rationalen Funktionen.
Bei echt-gebrochen-rationalen Funktionen schmiegt sich der Graph der Funktion immer
mehr an die x-Achse an je mehr sich x der Unendlichkeit nähert.
Die Geraden, an die sich die Funktionen immer mehr
annähern, heißen Asymptoten.
x + 1
f ( x)
=
Für die Funktion ( x −2)²
y = 0 Asymptote und
die Gerade x = 2 Polasymptote.
ist die Funktion
.
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Typische Kurvenverläufe
Schwieriger gestaltet sich die Klärung nach dem Verhalten im Unendlichen, wenn keine echtgebrochen-rationale
Funktion vorliegt.
Funktionen, bei denen die Zählerfunktion p(x) keinen niedrigeren Grad als die
p x
Nennerfunktion q(x) der Funktion f x= besitzt, streben nicht gegen die
q x
Asymptote y = 0.
Die Asymptote lässt sich dann durch Polynomdivision
ermitteln:
Beispiel:
x² −1
f x=
x² 1
x²-1 : x²1=1 -2
x²1
- x²1
-2
Das Restglied R(x) =
−2
x²
+ 1
nennt man flüchtigen Teil, weil
dies mit größer werdendem Betrag für x, selbst betragsmäßig
immer kleiner, verschwindend klein (zu Null) wird.
Die 1 ist dagegen der stationäre Teil y A(x), die Gleichung der Asymptotenfunktion.
y A(x) = 1
Ob sich der Graf der Asymptote von oben oder von unten nähert, lässt sich feststellen,
wenn man die Vorzeichen der Zähler- und Nennerfunktion des Restgliedes betrachtet.
Im Beispiel: lim −2 0 lim x²1 0 Der Quotient des Restgliedes ist also immer
x −∞
x−∞
negativ. Vom Absolutglied 1 wird daher ein immer kleiner werdender Wert subtrahiert. Die
Funktion nähert sich der Asymptote von unten.
Das Gleiche gilt für x --> +∞
Asymptoten ohne konstanten Wert
Nicht jede gebrochen-rationale Funktion nähert sich
mit wachsendem x einem konstanten Wert.
x² x−2
f x=
Die Funktion x1 hat eine Polstelle bei x
= -1.
Skizzieren Sie die Funktion im Intervall − 5 ≤ x ≤ 5 !
Man erkennt leicht, dass mit wachsendem x auch die
Funktionswerte gegen Unendlich wachsen und
f x −∞=−∞ .
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I. Böhm Seite 8 13.06.2011

Typische Kurvenverläufe
Zugleich erkennt man aber auch, dass der Funktionsgraf immer mehr zur Geraden wird, je weiter
er sich von der Polstelle entfernt.
Die Gerade, der sich die Funktion immer mehr nähert, nennt man Asymptote!
Die Gleichung der Geraden kann man mittels Polynomdivision bestimmen!
x² x−2 : x1 =x− 2
x1
2
Die Asymptotenfunktion ist dann y A = x, während der Rest - flüchtig ist, weil mit
x1
wachsendem x der Term immer mehr gegen Null geht und auch f x −∞=0
Für x → ∞ wird von der Asymptote ein immer kleinerer Wert subtrahiert
→ Näherung von unten.
Für x → -∞ wird ein immer kleiner werdender Wert addiert.
→ Näherung an die Asymptote von oben
Übung / Hausaufgaben
Cornelsen-Lehrbuch S. 96 Nr. 1
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I. Böhm Seite 9 13.06.2011