Seite 1/15 der Probeklausur zur Stochastik für das Lehramt ...
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PERSÖNLICHE ANGABEN:<br />
ERGEBNIS:<br />
<strong>Seite</strong> 1/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
DECKBLATT<br />
Vorname und Nachname: ....................................................................................<br />
Studiengang (siehe § 12 Zwei-Fächer-Prüfungsordnung, Bachelor und Master)<br />
O <strong>Lehramt</strong> an Gymnasien Staatsexamen<br />
O Diplom-Mathematik<br />
O Ein-Fach-Bachelor of Science (B.Sc.)<br />
O Zwei-Fächer-Bachelor of Science (B.Sc.)<br />
O Zwei-Fächer-Bachelor of Arts (B.A.)<br />
O Zwei-Fächer-Bachelor of Science<br />
O Zwei-Fächer-Bachelor of Arts<br />
O Nicht aufgeführter Studiengang: .................................................................<br />
.....................
<strong>Seite</strong> 2/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
Aufgabe 1 (Multiple-Choice-Aufgaben, sieben Teilaufgaben)<br />
Hinweise:<br />
• Markieren Sie die von Ihnen als richtig erachteten Lösungen bitte ausschließlich im markierten<br />
Bereich ( ” � “) mit einem Kreuz ( ” �× “).<br />
• Wenn Sie eine Markierung ( ” �× “) ungültig machen wollen, so füllen Sie den kompletten<br />
Bereich aus ( ” �“).<br />
• Bei je<strong>der</strong> Aufgabe können keine, eine, mehrere o<strong>der</strong> alle Antworten richtig sein.<br />
• Pro richtig gesetztem ” �× “ gibt es einen Pluspunkt.<br />
• Pro falsch gesetztem ” �× “ gibt es einen Minuspunkt.<br />
• Auch wenn einige Aufgabenteile richtig beantwortet wurden, kann die Gesamtpunktzahl <strong>der</strong><br />
Aufgabe 1 Null sein.<br />
• Die gesamte Aufgabe 1 wird mit mindestens Null Punkten bewertet.<br />
1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A. Welche <strong>der</strong> folgenden Aussagen<br />
sind stets richtig?<br />
� P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B).<br />
� P (A ∪ B) = P (A) + P (B), falls A ⊆ B.<br />
� P (A) = 1 − P (Ω \ A).<br />
� P (A) = P (A ∩ B) + P (A \ B).<br />
� P (A ∩ B) = P (A)P (B).<br />
� P (A \ B) = P (A) − P (B).<br />
� P (A) > 0, falls A �= ∅.<br />
2. Seien X, Y quadratintegrierbare Zufallsgrößen und a, b ∈ R. Unter welchen Voraussetzungen<br />
gilt stets Var(aX + bY ) = a 2 Var(X) + b 2 Var(Y )?<br />
� X und Y sind stochastisch unabhängig.<br />
� X und Y sind unkorreliert.<br />
� X und Y sind identisch verteilt.
<strong>Seite</strong> 3/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
3. Wie viele Möglichkeiten gibt es k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln ohne Zurücklegen und<br />
ohne Beachtung <strong>der</strong> Reihenfolge zu ziehen?<br />
� n k .<br />
� n!<br />
k! .<br />
n!<br />
� k!(n−k)! .<br />
� � � n<br />
k<br />
4. Seien X, Y, Z stochastisch unabhängige Zufallsgrößen mit endlichen zweiten Momenten. Welche<br />
<strong>der</strong> folgenden Aussagen gelten dann stets?<br />
� XY und Z sind stochastisch unabhängig.<br />
� XY und XZ sind stochastisch unabhängig.<br />
� Var(XY ) = Var(X) Var(Y ).<br />
� E(XZ) = E(X)E(Z).<br />
�<br />
X � E Y 2 �<br />
+1 = E(X)<br />
E(Y 2 +1) .<br />
5. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A, B ∈ A mit P (A) > 0 und P (B) > 0.<br />
Welche Aussagen sind stets erfüllt?<br />
� P (A|B) = P (A), falls A, B stochastisch unabhängig sind.<br />
P (A ∩ B)<br />
� P (A|B) = .<br />
P (A)<br />
P (A ∩ B)<br />
� P (A|B) = .<br />
P (B)<br />
� P (A|B) = P (B|A).<br />
� P (A|B) = P (A), falls A ⊆ B.<br />
6. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei X eine quadratintegrierbare Zufallsgröße. Welche<br />
Aussagen sind dann stets erfüllt?<br />
(Stichwort Tschebyschow)<br />
� P (X ≥ a) ≤ Var(X)<br />
a−E(X) <strong>für</strong> alle a ∈ R >E(X).<br />
� P (X ≤ a) ≤ Var(X)<br />
a−E(X) <strong>für</strong> alle a ∈ R >E(X).<br />
� P (X > a) ≤ a · Var(X) <strong>für</strong> alle a ∈ R>0.<br />
�<br />
�<br />
� P |X − E(X)| ≤ a ≤ Var(X)<br />
a 2<br />
�<br />
�<br />
� P |X − E(X)| ≥ a ≤ Var(aX)<br />
a 2<br />
�<br />
�<br />
� P |X − E(X)| ≥ a ≤ Var(X)<br />
a2 <strong>für</strong> alle a ∈ R>0.<br />
<strong>für</strong> alle a ∈ R>0.<br />
<strong>für</strong> alle a ∈ R>0.
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Matrikelnummer:<br />
7. Sei X eine Zufallsgröße mit Werten in R und ϕ : R → R so, <strong>das</strong>s E(X) und E(ϕ(X))<br />
existieren.<br />
Welche <strong>der</strong> folgenden Aussagen sind dann stets erfüllt?<br />
� E(ϕ(X)) ≤ ϕ(E(X)), falls ϕ konvex ist.<br />
� E(ϕ(X)) ≥ ϕ(E(X)), falls ϕ stetig und beschränkt ist.<br />
� E(ϕ(X)) ≤ ϕ(E(X)), falls ϕ stetig und beschränkt ist.<br />
� E(ϕ(X)) ≤ ϕ(E(X)), falls ϕ konkav ist.
Aufgabenteil<br />
Erreichte Punktezahl:<br />
<strong>Seite</strong> 5/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
1 2 3 4 5 6 7 Summe
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Matrikelnummer:<br />
Aufgabe 2 (je 1 Punkt, also 4 Punkte)<br />
• Definieren Sie exakt den Begriff σ-Algebra.<br />
• Definieren Sie exakt den Begriff Zufallsgröße auf einen allgemeinen Wahrscheinlichkeitsraum<br />
(Ω, A, P ).<br />
• Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definieren Sie exakt den Begriff Unabhängigkeit<br />
dreier Ereignisse A, B, C ∈ A.<br />
• Geben Sie <strong>für</strong> p ∈ (0, 1), n ∈ N und k ∈ {0, ..., n} die Binomialwahrscheinlichkeit<br />
Bin(n, p)({k}) an.<br />
Diese Aufgabe wird auf <strong>Seite</strong> fortgesetzt. (Wenn hier keine <strong>Seite</strong>nzahl eingetragen<br />
ist, wird ausschließlich diese <strong>Seite</strong> als Lösung zu dieser Aufgabe gewertet.)
<strong>Seite</strong> 7/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
Aufgabe 3 (1 Punkt + 1 Punkt + 2 Punkte = 4 Punkte)<br />
Jana wirft einen fairen Würfel n := 1000 Mal.<br />
(a) Geben Sie eine mathematische Modellierung mit einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum<br />
an.<br />
(b) Geben Sie <strong>für</strong> alle k ∈ {1, ..., n} <strong>das</strong> folgende Ereignis in Ihrem Modell an:<br />
Ak ˆ= Die ersten k Würfe ergeben ungerade Zahlen.<br />
(c) Bestimmen Sie <strong>für</strong> alle k ∈ {1, ..., n} die Wahrscheinlichkeit <strong>für</strong> <strong>das</strong> Ereignis Ak.<br />
Diese Aufgabe wird auf <strong>Seite</strong> fortgesetzt. (Wenn hier keine <strong>Seite</strong>nzahl eingetragen<br />
ist, wird ausschließlich diese <strong>Seite</strong> als Lösung zu dieser Aufgabe gewertet.)
<strong>Seite</strong> 8/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
Aufgabe 4 (4 Punkte)<br />
1,5% <strong>der</strong> im Hamburger Hafen eingeführten Schuhe sind Fälschungen. Liegt eine Fälschung vor, so<br />
erkennt <strong>der</strong> Zoll dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%. Wird ein Original-Schuh kontrolliert,<br />
so wird er in 3% <strong>der</strong> Fälle als Fälschung eingestuft.<br />
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, <strong>das</strong>s tatsächlich eine Fälschung vorliegt, unter <strong>der</strong> Bedingung,<br />
<strong>das</strong>s <strong>der</strong> Schuh als Fälschung eingestuft wurde. Geben Sie eine geeignete Modellierung an.<br />
Diese Aufgabe wird auf <strong>Seite</strong> fortgesetzt. (Wenn hier keine <strong>Seite</strong>nzahl eingetragen<br />
ist, wird ausschließlich diese <strong>Seite</strong> als Lösung zu dieser Aufgabe gewertet.)
<strong>Seite</strong> 9/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
Aufgabe 5 (3 Punkte)<br />
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A ∈ A stochastisch unabhängig von A c .<br />
Zeigen Sie, <strong>das</strong>s P (A) ∈ {0, 1}.<br />
Diese Aufgabe wird auf <strong>Seite</strong> fortgesetzt. (Wenn hier keine <strong>Seite</strong>nzahl eingetragen<br />
ist, wird ausschließlich diese <strong>Seite</strong> als Lösung zu dieser Aufgabe gewertet.)
<strong>Seite</strong> 10/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
Aufgabe 6 (2 Punkt + 1 Punkt + 2 Punkt = 5 Punkte)<br />
Gegeben seien zwei Urnen. In Urne 1 liegen sechs grüne und zwei rote Kugeln, in Urne 2 liegen<br />
drei grüne und drei rote Kugeln. Ein Spieler wählt zuerst mit Gleichverteilung eine Urne aus und<br />
zieht danach daraus zufällig eine Kugel.<br />
(a) Geben Sie eine geeignete Modellierung hier<strong>für</strong> an.<br />
(b) Geben Sie <strong>das</strong> Ereignis ” Es wirde eine rote Kugel gezogen“ in Ihrem Modell an.<br />
(c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.<br />
Diese Aufgabe wird auf <strong>Seite</strong> fortgesetzt. (Wenn hier keine <strong>Seite</strong>nzahl eingetragen<br />
ist, wird ausschließlich diese <strong>Seite</strong> als Lösung zu dieser Aufgabe gewertet.)
<strong>Seite</strong> 11/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
Aufgabe 7 (1 Punkt + 1 Punkt + 2 Punkt + 2 Punkte = 6 Punkte)<br />
Ein Floh sitzt auf einem Zahlenstrahl und springt pro Minute um eine Einheit nach links o<strong>der</strong> nach<br />
rechts, jeweils mit Wahrscheinlichkeit von 1/2 und unabhängig von allen an<strong>der</strong>n Zeiteinheiten. Der<br />
Floh startet im Punkt 0. Anschließend betrachtet man den Ort des Flohs zu <strong>der</strong> ersten Minute,<br />
<strong>der</strong> zweiten Minute usw. bis zu <strong>der</strong> hun<strong>der</strong>sten Minute.<br />
(a) Geben Sie eine geeignete Modellierung mit Zufallsgrößen hier<strong>für</strong> an.<br />
(b) Geben Sie <strong>das</strong> folgende Ereignis in Ihrem Modell an:<br />
A ˆ= Der Floh sitzt nach hun<strong>der</strong>t Minuten auf einer Zahl ≥ 20.<br />
(c) Schätzen Sie mit Hilfe <strong>der</strong> Tschebyscheff-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit von A (aus 7(b))<br />
ab.<br />
(d) Schätzen Sie mit Hilfe <strong>der</strong> Hoeffding-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit von A (aus 7(b)) ab.<br />
Diese Aufgabe wird auf <strong>Seite</strong> fortgesetzt. (Wenn hier keine <strong>Seite</strong>nzahl eingetragen<br />
ist, wird ausschließlich diese <strong>Seite</strong> als Lösung zu dieser Aufgabe gewertet.)
<strong>Seite</strong> 12/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
Diese <strong>Seite</strong> enthält die Fortsetzung <strong>der</strong> Lösungen <strong>der</strong> Aufgaben . (Ist hier nichts<br />
eingetragen, so gilt diese <strong>Seite</strong> als Schmierpapier.)
<strong>Seite</strong> 13/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
Diese <strong>Seite</strong> enthält die Fortsetzung <strong>der</strong> Lösungen <strong>der</strong> Aufgaben . (Ist hier nichts<br />
eingetragen, so gilt diese <strong>Seite</strong> als Schmierpapier.)
<strong>Seite</strong> 14/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
Diese <strong>Seite</strong> enthält die Fortsetzung <strong>der</strong> Lösungen <strong>der</strong> Aufgaben . (Ist hier nichts<br />
eingetragen, so gilt diese <strong>Seite</strong> als Schmierpapier.)
<strong>Seite</strong> <strong>15</strong>/<strong>15</strong> <strong>der</strong> <strong>Probeklausur</strong> <strong>zur</strong> <strong>Stochastik</strong> <strong>für</strong> <strong>das</strong> <strong>Lehramt</strong><br />
Matrikelnummer:<br />
Diese <strong>Seite</strong> enthält die Fortsetzung <strong>der</strong> Lösungen <strong>der</strong> Aufgaben . (Ist hier nichts<br />
eingetragen, so gilt diese <strong>Seite</strong> als Schmierpapier.)