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PERSÖNLICHE ANGABEN:
ERGEBNIS:
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Matrikelnummer:
DECKBLATT
Vorname und Nachname: ....................................................................................
Studiengang (siehe § 12 Zwei-Fächer-Prüfungsordnung, Bachelor und Master)
O Lehramt an Gymnasien Staatsexamen
O Diplom-Mathematik
O Ein-Fach-Bachelor of Science (B.Sc.)
O Zwei-Fächer-Bachelor of Science (B.Sc.)
O Zwei-Fächer-Bachelor of Arts (B.A.)
O Zwei-Fächer-Bachelor of Science
O Zwei-Fächer-Bachelor of Arts
O Nicht aufgeführter Studiengang: .................................................................
.....................

Seite 2/15 der Probeklausur zur Stochastik für das Lehramt
Matrikelnummer:
Aufgabe 1 (Multiple-Choice-Aufgaben, sieben Teilaufgaben)
Hinweise:
• Markieren Sie die von Ihnen als richtig erachteten Lösungen bitte ausschließlich im markierten
Bereich ( ” � “) mit einem Kreuz ( ” �× “).
• Wenn Sie eine Markierung ( ” �× “) ungültig machen wollen, so füllen Sie den kompletten
Bereich aus ( ” �“).
• Bei jeder Aufgabe können keine, eine, mehrere oder alle Antworten richtig sein.
• Pro richtig gesetztem ” �× “ gibt es einen Pluspunkt.
• Pro falsch gesetztem ” �× “ gibt es einen Minuspunkt.
• Auch wenn einige Aufgabenteile richtig beantwortet wurden, kann die Gesamtpunktzahl der
Aufgabe 1 Null sein.
• Die gesamte Aufgabe 1 wird mit mindestens Null Punkten bewertet.
1. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A. Welche der folgenden Aussagen
sind stets richtig?
� P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B).
� P (A ∪ B) = P (A) + P (B), falls A ⊆ B.
� P (A) = 1 − P (Ω \ A).
� P (A) = P (A ∩ B) + P (A \ B).
� P (A ∩ B) = P (A)P (B).
� P (A \ B) = P (A) − P (B).
� P (A) > 0, falls A �= ∅.
2. Seien X, Y quadratintegrierbare Zufallsgrößen und a, b ∈ R. Unter welchen Voraussetzungen
gilt stets Var(aX + bY ) = a 2 Var(X) + b 2 Var(Y )?
� X und Y sind stochastisch unabhängig.
� X und Y sind unkorreliert.
� X und Y sind identisch verteilt.

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Matrikelnummer:
3. Wie viele Möglichkeiten gibt es k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln ohne Zurücklegen und
ohne Beachtung der Reihenfolge zu ziehen?
� n k .
� n!
k! .
n!
� k!(n−k)! .
� � � n
k
4. Seien X, Y, Z stochastisch unabhängige Zufallsgrößen mit endlichen zweiten Momenten. Welche
der folgenden Aussagen gelten dann stets?
� XY und Z sind stochastisch unabhängig.
� XY und XZ sind stochastisch unabhängig.
� Var(XY ) = Var(X) Var(Y ).
� E(XZ) = E(X)E(Z).
�
X � E Y 2 �
+1 = E(X)
E(Y 2 +1) .
5. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A, B ∈ A mit P (A) > 0 und P (B) > 0.
Welche Aussagen sind stets erfüllt?
� P (A|B) = P (A), falls A, B stochastisch unabhängig sind.
P (A ∩ B)
� P (A|B) = .
P (A)
P (A ∩ B)
� P (A|B) = .
P (B)
� P (A|B) = P (B|A).
� P (A|B) = P (A), falls A ⊆ B.
6. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei X eine quadratintegrierbare Zufallsgröße. Welche
Aussagen sind dann stets erfüllt?
(Stichwort Tschebyschow)
� P (X ≥ a) ≤ Var(X)
a−E(X) für alle a ∈ R >E(X).
� P (X ≤ a) ≤ Var(X)
a−E(X) für alle a ∈ R >E(X).
� P (X > a) ≤ a · Var(X) für alle a ∈ R>0.
�
�
� P |X − E(X)| ≤ a ≤ Var(X)
a 2
�
�
� P |X − E(X)| ≥ a ≤ Var(aX)
a 2
�
�
� P |X − E(X)| ≥ a ≤ Var(X)
a2 für alle a ∈ R>0.
für alle a ∈ R>0.
für alle a ∈ R>0.

Seite 4/15 der Probeklausur zur Stochastik für das Lehramt
Matrikelnummer:
7. Sei X eine Zufallsgröße mit Werten in R und ϕ : R → R so, dass E(X) und E(ϕ(X))
existieren.
Welche der folgenden Aussagen sind dann stets erfüllt?
� E(ϕ(X)) ≤ ϕ(E(X)), falls ϕ konvex ist.
� E(ϕ(X)) ≥ ϕ(E(X)), falls ϕ stetig und beschränkt ist.
� E(ϕ(X)) ≤ ϕ(E(X)), falls ϕ stetig und beschränkt ist.
� E(ϕ(X)) ≤ ϕ(E(X)), falls ϕ konkav ist.

Aufgabenteil
Erreichte Punktezahl:
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Matrikelnummer:
1 2 3 4 5 6 7 Summe

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Matrikelnummer:
Aufgabe 2 (je 1 Punkt, also 4 Punkte)
• Definieren Sie exakt den Begriff σ-Algebra.
• Definieren Sie exakt den Begriff Zufallsgröße auf einen allgemeinen Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ).
• Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definieren Sie exakt den Begriff Unabhängigkeit
dreier Ereignisse A, B, C ∈ A.
• Geben Sie für p ∈ (0, 1), n ∈ N und k ∈ {0, ..., n} die Binomialwahrscheinlichkeit
Bin(n, p)({k}) an.
Diese Aufgabe wird auf Seite fortgesetzt. (Wenn hier keine Seitenzahl eingetragen
ist, wird ausschließlich diese Seite als Lösung zu dieser Aufgabe gewertet.)

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Matrikelnummer:
Aufgabe 3 (1 Punkt + 1 Punkt + 2 Punkte = 4 Punkte)
Jana wirft einen fairen Würfel n := 1000 Mal.
(a) Geben Sie eine mathematische Modellierung mit einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
an.
(b) Geben Sie für alle k ∈ {1, ..., n} das folgende Ereignis in Ihrem Modell an:
Ak ˆ= Die ersten k Würfe ergeben ungerade Zahlen.
(c) Bestimmen Sie für alle k ∈ {1, ..., n} die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Ak.
Diese Aufgabe wird auf Seite fortgesetzt. (Wenn hier keine Seitenzahl eingetragen
ist, wird ausschließlich diese Seite als Lösung zu dieser Aufgabe gewertet.)

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Matrikelnummer:
Aufgabe 4 (4 Punkte)
1,5% der im Hamburger Hafen eingeführten Schuhe sind Fälschungen. Liegt eine Fälschung vor, so
erkennt der Zoll dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%. Wird ein Original-Schuh kontrolliert,
so wird er in 3% der Fälle als Fälschung eingestuft.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass tatsächlich eine Fälschung vorliegt, unter der Bedingung,
dass der Schuh als Fälschung eingestuft wurde. Geben Sie eine geeignete Modellierung an.
Diese Aufgabe wird auf Seite fortgesetzt. (Wenn hier keine Seitenzahl eingetragen
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Matrikelnummer:
Aufgabe 5 (3 Punkte)
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A ∈ A stochastisch unabhängig von A c .
Zeigen Sie, dass P (A) ∈ {0, 1}.
Diese Aufgabe wird auf Seite fortgesetzt. (Wenn hier keine Seitenzahl eingetragen
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Matrikelnummer:
Aufgabe 6 (2 Punkt + 1 Punkt + 2 Punkt = 5 Punkte)
Gegeben seien zwei Urnen. In Urne 1 liegen sechs grüne und zwei rote Kugeln, in Urne 2 liegen
drei grüne und drei rote Kugeln. Ein Spieler wählt zuerst mit Gleichverteilung eine Urne aus und
zieht danach daraus zufällig eine Kugel.
(a) Geben Sie eine geeignete Modellierung hierfür an.
(b) Geben Sie das Ereignis ” Es wirde eine rote Kugel gezogen“ in Ihrem Modell an.
(c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.
Diese Aufgabe wird auf Seite fortgesetzt. (Wenn hier keine Seitenzahl eingetragen
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Matrikelnummer:
Aufgabe 7 (1 Punkt + 1 Punkt + 2 Punkt + 2 Punkte = 6 Punkte)
Ein Floh sitzt auf einem Zahlenstrahl und springt pro Minute um eine Einheit nach links oder nach
rechts, jeweils mit Wahrscheinlichkeit von 1/2 und unabhängig von allen andern Zeiteinheiten. Der
Floh startet im Punkt 0. Anschließend betrachtet man den Ort des Flohs zu der ersten Minute,
der zweiten Minute usw. bis zu der hundersten Minute.
(a) Geben Sie eine geeignete Modellierung mit Zufallsgrößen hierfür an.
(b) Geben Sie das folgende Ereignis in Ihrem Modell an:
A ˆ= Der Floh sitzt nach hundert Minuten auf einer Zahl ≥ 20.
(c) Schätzen Sie mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit von A (aus 7(b))
ab.
(d) Schätzen Sie mit Hilfe der Hoeffding-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit von A (aus 7(b)) ab.
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