Skript - Universität Paderborn
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Lineare Algebra I-II<br />
Joachim Hilgert<br />
Der vorliegende Text ist das <strong>Skript</strong> zu den Vorlesungen Lineare Algebra I,II, die ich<br />
im WS 2010/2011 und im SS 2011 an der Universität <strong>Paderborn</strong> gehalten habe.<br />
<strong>Paderborn</strong>, den 9.7.2011<br />
J. Hilgert
Inhaltsverzeichnis<br />
0 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
0.1 Vom Wesen der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
0.2 Über die Abstraktion in der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
0.3 Die Sprache der Mathematik: Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
Teil I Systeme von Gleichungen und Zahlen<br />
1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
1.1 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
1.2 Der Gaußalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
1.3 Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
2 Lineare Unterräume des K n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
2.1 Lösungsräume homogener Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
2.2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
2.3 Basen für lineare Unterräume des K n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
2.4 Die Dimension eines linearen Unterraums des K n . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<br />
3 Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
3.1 Matrizen und lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
3.2 Bijektivität und Invertierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />
4 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
4.1 Permutationen und Permutationsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
4.2 Die Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
4.3 Weitere Rechenverfahren für Determinanten und Inverse . . . . . . . . . . . 105<br />
Teil II Vektorräume und ihre Abbildungen<br />
5 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
5.1 Vektorräume und Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
5.2 Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123<br />
5.3 Quotientenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136<br />
5.4 Dualräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143<br />
5.5 Direkte Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Inhaltsverzeichnis 1<br />
6 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157<br />
6.1 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157<br />
6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163<br />
6.3 Polynomfunktionen und charakteristisches Polynom . . . . . . . . . . . . . . . 166<br />
6.4 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177<br />
7 Die Jordan-Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183<br />
7.1 Zerlegung in invariante Teilräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183<br />
7.2 Nilpotenz und ϕ-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192<br />
7.3 Die Jordan–Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203<br />
Teil III Geometrische Strukturen auf Vektorräumen<br />
8 Bi- und Sesquilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217<br />
8.1 Matrizendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217<br />
8.2 Nichtausgeartete Sesquilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226<br />
8.3 Hermitesche Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232<br />
8.4 Diagonalisierbarkeit von hermiteschen Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240<br />
9 Innere Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247<br />
9.1 Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247<br />
9.2 Adjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255<br />
9.3 Der Spektralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263<br />
10 Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269<br />
10.1 Normen und innere Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269<br />
10.2 Die Operatornorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273<br />
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281<br />
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
0<br />
Vorbemerkungen<br />
0.1 Vom Wesen der Mathematik<br />
Man kann Mathematik als eine Verfeinerung der Alltagssprache auffassen. Sie<br />
dient dazu, beobachtbare Vorgänge so präzise zu beschreiben, dass es möglich wird,<br />
Gesetzmäßigkeiten zu erkennen. Die Entdeckung der Newtonschen Gesetze der Mechanik,<br />
die die Planetenbewegungen ebenso bestimmen wie die Flugbahn eines Satelliten,<br />
ist ohne eine mathematische Formulierung kaum denkbar. Mathematische<br />
Beschreibungen sollten nicht als Abbilder, sondern als Modelle betrachtet werden<br />
und sind daher nicht durch die Situation festgelegt. Man braucht etwas Mathematik,<br />
um ein Wahlergebnis statistisch so aufzubereiten, dass man es auf einer Zeitungsseite<br />
wiedergeben kann; die präzisen Hochrechnungen aus relativ wenigen ausgezählten<br />
Wahlkreisen zu erhalten, erfordert jedoch sehr viel mehr mathematischen Aufwand.<br />
An den obigen Beispielen kann man zwei Funktionen der Mathematik ablesen:<br />
Modellierung und Prognose. Die Newtonsche Mechanik ist das mathematische Modell<br />
für die Bewegung massiver Gegenstände und es ist Aufgabe der Mathematik,<br />
Flugbahnen vorherzuberechnen.<br />
Die Modellierung ist eine Aufgabe, die nicht von der Mathematik oder dem<br />
Mathematiker allein geleistet werden kann. Es ist Fachwissen in den Disziplinen<br />
nötig, in deren Zuständigkeit das zu beschreibende System fällt. Daher kommen<br />
Modellierungsprobleme in Mathematikbüchern meist nur am Rande vor.<br />
In der Regel beinhaltet ein mathematisches Modell gesetzmässige Zusammenhänge<br />
zwischen verschiedenen Eigenschaften des Systems. So sind zum Beispiel Spannung<br />
und Stromstärke in einem Stromkreis über eine Materialeigenschaft, den Widerstand,<br />
gekoppelt. Kennt man zwei dieser Grössen, kann man die dritte berechnen.<br />
Für den Mathematiker bedeutet ”<br />
Prognose“ sehr oft das Herausrechnen einer unbekannten<br />
Grösse aus einer Reihe von bekannten Grössen. Die zentrale Problemstellung<br />
der Mathematik wird daher gern als das ”<br />
Lösen von Gleichungen“ beschrieben.<br />
Das Lösen von Gleichungen ist keineswegs ein Automatismus. Die meisten Gleichungen<br />
lassen sich nicht explizit lösen, und auch einfachen Gleichungen ist normalerweise<br />
nicht anzusehen, ob sie überhaupt eine Lösung haben. Man prüft z.B.<br />
leicht nach, dass die Gleichung<br />
x 2 + y 2 = z 2<br />
in den Unbekannten x, y, z von x = 3, y = 4, z = 5 gelöst wird. Eine solche ganzzahlige<br />
Lösung dieser Gleichung heisst ein pythagoräisches Zahlentripel. Mit etwas<br />
elementarer Geometrie kann man ein Konstruktionsverfahren angeben, wie man alle<br />
pythagoräischen Zahlentripel findet. Für die Fermatsche Gleichung<br />
x n + y n = z n
4 0 Vorbemerkungen<br />
in den Unbekannten x, y, z mit einer vorgegebenen natürlichen Zahl n > 2 dagegen<br />
gibt es keine positiven ganzzahligen Lösungen. Das war von P. Fermat (1601–1665)<br />
behauptet worden, aber es bedurfte dreihundert Jahre intensiver mathematischer<br />
Forschung, dies 1996 zu beweisen.<br />
Mathematik ist also mehr als nur eine sprachliche Lupe. Losgelöst von der Modellierung<br />
beobachteter Phänomene schafft sie sich eine eigene Begriffswelt und<br />
Werkzeuge, mit denen man diese Begriffswelt untersuchen kann. Der Versuch Gleichungen<br />
zu lösen hat viele neue mathematische Entwicklungen in Gang gesetzt, aber<br />
den Begriffen und Techniken, die heute zum Repertoir des Mathematikers gehören,<br />
ist diese Abstammung oft nicht mehr anzusehen.<br />
Beispiel 0.1.1 (Die Entwicklung des Zahlbegriffs). In den natürlichen Zahlen<br />
N: 1, 2, 3, . . . findet man keine Lösung der Gleichung<br />
x + 1 = 1.<br />
Nimmt man die Null hinzu, so findet man zwar hierfür eine Lösung, nicht aber für<br />
die Gleichung<br />
x + 1 = 0.<br />
Dafür braucht man die ganzen Zahlen Z: . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . ., die wiederum<br />
nicht ausreichen, um die Gleichung<br />
2x + 1 = 0<br />
zu lösen. Zu diesem Zweck führt man die rationalen Zahlen Q: m n<br />
mit m ∈ Z und<br />
0 ≠ n ∈ Z ein. Schon die alten Griechen wussten, dass in den rationalen Zahlen die<br />
Gleichung<br />
x 2 = 2<br />
nicht lösbar ist. Man führt die reellen Zahlen R als ”<br />
Grenzwerte“ von rationalen<br />
Zahlen (z.B. unendliche Dezimalbrüche) ein und stößt wieder an eine Grenze: Die<br />
Gleichung<br />
x 2 = −1<br />
ist nicht lösbar in R. Wenn man schließlich die komplexen Zahlen C als Paare<br />
(a, b) reeller Zahlen mit<br />
(a, b) + (a ′ , b ′ ) = (a + a ′ , b + b ′ ) und (a, b)(a ′ , b ′ ) = (aa ′ − bb ′ , ab ′ + ba ′ )<br />
als Addition und Multiplikation einführt, so lässt sich der Fundamentalsatz der<br />
Algebra beweisen:<br />
Satz: Über C sind alle Polynomgleichungen, d.h. Gleichungen der Form<br />
lösbar.<br />
a k x k + a k−1 x k−1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0,<br />
Analysiert man die Vorgehensweise, so findet man folgende Prinzipien, die auch in<br />
anderen Situationen zum Einsatz kommen:<br />
• Man schafft den richtigen Rahmen für ein Problem (hier das Lösen von Polynomgleichungen).<br />
• Der Lösungsbegriff wird verallgemeinert (Lösung in welchem Zahlbereich?).<br />
• Später kann man dann immer noch die Frage stellen, ob es eine Lösung in einem<br />
kleineren Zahlbereich gegeben hat, wie z.B: im Fermatschen Problem:<br />
x n + y n = z n für ganzzahlige x, y, z.<br />
⊓⊔
0.2 Über die Abstraktion in der Mathematik 5<br />
0.2 Über die Abstraktion in der Mathematik<br />
Der grundlegende Ansatz der modernen Mathematik ist es, Dinge über ihre Eigenschaften<br />
zu beschreiben und sich dabei möglichst auf diejenigen Eigenschaften<br />
zu beschränken, die für die zu behandelnde Frage wirklich relevant sind. Wenn man<br />
die Umlaufbahn eines Raumgleiters beschreiben will, dann betrachtet man ihn als<br />
einen bewegten Punkt (den Schwerpunkt). Will man ihn von einer Umlaufbahn in<br />
eine andere steuern, muss man ihn als dreidimensionales Objekt auffassen mit ausgezeichneten<br />
Richtungen, in die die Steuerraketen Schub ausüben. Beim Andocken<br />
an eine Raumstation spielt die genaue Form des Gleiters eine Rolle, und beim Eintauchen<br />
in die Atmosphäre auch noch die Hitzebeständigkeit des Materials. Diese<br />
Abstraktion vom Raumgleiter auf ein Objekt mit einigen klar festgelegten Eigenschaften<br />
erleichtert es, Ähnlichkeiten mit in anderen Zusammenhängen gefundenen<br />
Beschreibungen und Lösungen zu erkennen und zu benutzen. Bewegte Massepunkte<br />
modellieren auch Wurfgeschosse oder Planeten, in der Aerodynamik von Tragflächen<br />
verfügt man über eine lange Erfahrung, und die Hitzebeständigkeit von Kacheln betrachtet<br />
man auch nicht erst seit dem Eintritt ins Raumfahrtzeitalter.<br />
Da der hohe Abstraktionsgrad für viele die höchste Hürde im Studium der Mathematik<br />
ist, soll die Bedeutung der Abstraktion für die Mathematik hier an einer<br />
Reihe von Beispielen noch näher erläutert werden. Zuerst geht es um den Übergang<br />
von konkreten Modellen zu abstrakten Methoden:<br />
Beispiel 0.2.1 (Stromkreise). Betrachte einen Stromkreis mit einer Spannungsquelle<br />
U und drei Widerständen R 1 , R 2 , R 3 :<br />
I 3<br />
❄<br />
I 2<br />
❄<br />
R 3<br />
R 2<br />
U<br />
I 1<br />
❄<br />
R 1<br />
Der Zusammenhang zwischen der Spannung U, den Widerständen R 1 , R 2 , R 3<br />
und den resultierenden Stromstärken I 1 , I 2 , I 3 ist durch die Kirchhoffschen Gesetze<br />
gegeben, die hier folgende Gleichungen erzwingen:<br />
I 1 = I 2 + I 3<br />
U = R 1 I 1 + R 2 I 2<br />
R 2 I 2 = R 3 I 3<br />
Dabei sind Spannung und Widerstände bekannt und die Stromstärken zu berechnen.<br />
Man kann das erreichen, indem man eine Gleichung nach einer der gesuchten<br />
Größen auflöst, das Ergebnis in die anderen Gleichungen einsetzt und so die Zahl<br />
der Gleichungen und der Unbekannten um Eins reduziert hat. Dieses Verfahren wiederholt<br />
man und löst die letzte Gleichung nach der einzig verbliebenen Unbekannten<br />
auf. Dann setzt man das Ergebnis wieder in die anderen Gleichungen ein und findet<br />
so sukzessive auch die anderen Unbekannten.<br />
Im physikalisch gesehen realistischen Fall R 1 , R 2 , R 3 > 0 findet man so
6 0 Vorbemerkungen<br />
I 2 = R 3<br />
R 2<br />
I 3<br />
I 1 = I 2 + I 3 = ( R 3<br />
R 2<br />
+ 1)I 3 = (1 + R 2<br />
R 3<br />
)I 2<br />
U = R 1R 2 + R 1 R 3 + R 3 R 2<br />
I 3<br />
R 2<br />
I 3 =<br />
R 2 U<br />
R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3<br />
I 2 =<br />
R 3 U<br />
R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3<br />
I 1 =<br />
(R 2 + R 3 )U<br />
R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 1 R 3<br />
Wir können also feststellen:<br />
• Wir haben die Gleichung gelöst.<br />
• Die Lösung war nicht wirklich algorithmisch, d.h. automatisierbar, weil wir nicht<br />
vorgeschrieben haben, welche Gleichung nach welcher Unbekannten aufgelöst<br />
werden soll.<br />
• Für jeden Schaltkreis müssten wir uns neu entscheiden, wie wir die Gleichungen<br />
lösen wollen.<br />
Beispiel 0.2.2 (Produktionsmodell). Betrachten wir ein Produktionssystem bestehend<br />
aus drei Produzenten mit je einem Produkt, das nach außen (an den Markt)<br />
und untereinander (zur Ermöglichung der Produktion) geliefert wird. Mit x 1 , x 2 , x 3<br />
werden die produzierten Mengen (einheitlich gemessen z.B. in Geldwert) bezeichnet.<br />
Annahme: Die von i an j gelieferte Menge ist proportional zu der von j produzierten<br />
Menge: a ij x j . Sei y i die Nachfrage des Marktes nach dem Produkt von i. Ziel ist<br />
dann (nach Leontief) die Herstellung des folgenden Gleichgewichts von Produktion<br />
und Nachfrage.<br />
⊓⊔<br />
y 1<br />
✟ ✟✟✯ y 3<br />
❄<br />
✻<br />
✉ x 1<br />
✁<br />
✁✕ ❆❑<br />
✁<br />
❆ ❆<br />
a 13 x 3 ✁<br />
❆ a 12 x 2<br />
✁<br />
❆ ✁☛<br />
✁ ❆❆❯<br />
✟<br />
✉<br />
✲<br />
✟✙ ✟ ✛ ❆<br />
❍<br />
✉<br />
x 3 x 2 ❍❍❥<br />
❍❨ ❍ y2 ❍<br />
Es ergeben sich folgende Gleichungen<br />
y 1 = x 1 − a 12 x 2 − a 13 x 3<br />
y 2 = x 2 − a 21 x 1 − a 23 x 3<br />
y 3 = x 3 − a 31 x 1 − a 32 x 2<br />
⊓⊔
0.2 Über die Abstraktion in der Mathematik 7<br />
Wir vergleichen die Gleichungen der beiden Beispiele und formen sie etwas um,<br />
damit die Analogien deutlicher werden:<br />
I 1 = I 2 + I 3<br />
U = R 1 I 1 + R 2 I 2<br />
R 2 I 2 = R 3 I 3<br />
↓<br />
I 1 + (−1)I 2 + (−1)I 3 = 0<br />
R 1 I 1 + R 2 I 2 + 0I 3 = U<br />
0 + R 2 I 2 + (−1)R 3 I 3 = 0<br />
↓<br />
1 −1 −1 0<br />
R 1 R 2 0 U<br />
0 R 2 −R 3 0<br />
y 1 = x 1 − a 12 x 2 − a 13 x 3<br />
y 2 = x 2 − a 21 x 1 − a 23 x 3<br />
y 3 = x 3 − a 31 x 1 − a 32 x 2<br />
↓<br />
x 1 + (−a 12 )x 2 + (−a 13 )x 3 = y 1<br />
(−a 21 )x 1 + x 2 + (−a 23 )x 3 = y 2<br />
(−a 31 )x 1 + (−a 32 )x 2 + x 3 = y 3<br />
↓<br />
1 −a 12 −a 13 y 1<br />
−a 21 1 −a 23 y 2<br />
−a 31 −a 32 1 y 3<br />
Die resultierenden Zahlenschemata nennt man Matrizen und durch eine systematisierte<br />
Variante des sukzessiven Variableneliminierens von oben (dem Gauß-<br />
Algorithmus) kann man daraus die Unbekannten bestimmen. Wir stellen fest:<br />
• Mit dem Übergang von den Gleichungen zu den Matrizen hat man nur redundante<br />
Information aus den Gleichungen entfernt und gleichzeitig die Übersichtlichkeit<br />
erhöht.<br />
• Die Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten ist für das Vorgehen hier völlig<br />
unerheblich und in den Anwendungen kommen durchaus Gleichungssysteme mit<br />
mehr als 10000 Variablen vor.<br />
• An dieser Stelle ist nichts darüber gesagt worden, welche Rolle die resultierende<br />
mathematische Struktur bei der Auswahl der mathematischen Modelle gespielt<br />
hat (in der Physik gibt es da natürlich weniger Optionen als in der Ökonomie).<br />
Als nächstes betrachten wir einige Beispiele dafür, wie man aus konkreten Problemen<br />
in natürlicher Weise auf abstrakte (algebraische) Strukturen geführt wird:<br />
Beispiel 0.2.3 (Teilbarkeitsregeln). Wir beginnen mit der Frage: Gibt es eine<br />
Teilbarkeitsregel für 7?<br />
Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn sie bei Teilung durch 7 den Rest 0 liefert. Es<br />
liegt also nahe, von jeder Zahl z den Rest r zu betrachten, der sich ergibt, wenn<br />
man durch 7 teilt. Man schreibt dann<br />
z ≡ r mod 7<br />
und spricht vom Teilen mit Rest modulo 7. Wir schreiben unsere Zahlen im Zehnersystem<br />
und an dieser Darstellung wollen wir die Teilbarkeit durch 7 ablesen. Es ist<br />
also nicht abwegig, zunächst die Reste modulo 7 der Zehnerpotenzen zu berechnen:<br />
1 = 1 ≡ 1 mod 7 1 = 0 + 1<br />
10 = 10 × 1 ≡ 3 × 1 mod 7 ≡ 3 mod 7 10 = 7 + 3<br />
100 = 10 × 10 ≡ 3 × 3 mod 7 ≡ 2 mod 7 100 = 98 + 2<br />
1000 = 10 × 100 ≡ 3 × 2 mod 7 ≡ 6 mod 7 1000 = 994 + 6<br />
10000 = 10 × 1000 = 3 × 6 mod 7 ≡ 4 mod 7 10000 = 9996 + 4<br />
100000 = 10 × 10000 ≡ 3 × 4 mod 7 ≡ 5 mod 7 100000 = 99995 + 5<br />
1000000 = 10 × 100000 ≡ 3 × 5 mod 7 ≡ 1 mod 7 1000000 = 999999 + 1
8 0 Vorbemerkungen<br />
Ab hier wiederholen sich die Reste der Zehnerpotenzen modulo 7, weil man ja<br />
modulo 7 immer wieder mit 3 multipliziert:<br />
10000000 = 10 × 1000000 ≡ 3 × 1 mod 7 ≡ 3 mod 7<br />
etc.<br />
Man schreibt jetzt eine beliebige Zahl im Zehnersystem, d.h. als gewichtete Summe<br />
von Zehnerpotenzen, z.B.<br />
94328 = 9 × 10000 + 4 × 1000 + 3 × 100 + 2 × 10 + 8 × 1<br />
und rechnet die Reste modulo 7 aus:<br />
94328 mod 7 ≡ 9 × 4 + 4 × 6 + 3 × 2 + 2 × 3 + 8 × 1 mod 7<br />
Die Zahl 94328 ist also durch 7 teilbar, wenn<br />
9 × 4 + 4 × 6 + 3 × 2 + 2 × 3 + 8 × 1<br />
durch 7 teilbar ist. Wir haben also eine ”<br />
gewichtete Quersummenregel“<br />
Man multipliziere die<br />
Einer mit 1<br />
Zehner mit 3<br />
Hunderter mit 2<br />
Tausender mit 6<br />
Zehntausender mit 4<br />
Hunderttausender mit 5<br />
und dann von vorne, etc.<br />
So erhält man eine gewichtete Quersumme. Die Zahl ist durch 7 teilbar<br />
genau dann, wenn die gewichtete Quersumme durch 7 teilbar ist.<br />
Die Vorgehensweise lässt sich sofort auf andere Zahlen übertragen:<br />
Teilbarkeit durch n:<br />
1.Schritt: Bestimme die ”<br />
Restklassen“ modulo n der 10er-Potenzen. Da es nur endlich<br />
viele Restklassen gibt, ergibt sich nach einem endlichen ”<br />
Anlauf“ eine periodische<br />
Struktur:<br />
Abb. 0.1. Periodische Struktur der Reste von 10er-Potenzen<br />
(Bemerkung: Dass es für 7 keinen Anlauf gibt, liegt daran, dass 7 eine Primzahl<br />
ist.)
2.Schritt: Schreibe eine Zahl m in der Form<br />
0.2 Über die Abstraktion in der Mathematik 9<br />
m = a k 10 k + a k−1 10 k−1 + . . . + a 1 10 + a 0<br />
und berechne die Restklasse von m über die Restklassen der a j gewichtet mit<br />
den Restklassen der 10 j .<br />
Aus dem allgemeinen Verfahren kann man als Übung die üblichen Teilbarkeitsregeln<br />
für:<br />
3 (Quersumme)<br />
4 (letzten zwei Ziffern)<br />
5 (letzte Ziffer)<br />
8 (letzten drei Ziffern)<br />
9 (Quersumme)<br />
11 (alternierende Quersumme)<br />
ableiten.<br />
Analyse der Vorgehensweise:<br />
• Statt mit den Zahlen selbst haben wir mit ihren Resten modulo 7 gearbeitet,<br />
d.h. Zahlen mit gleichen Resten (diese bilden die Restklasse modulo 7) sind in<br />
dieser Problemstellung in jeder Hinsicht gleichwertig (äquivalent).<br />
• Die Aufteilung in Äquivalenzklassen nach dem relevanten Merkmal (Restklassen<br />
modulo 7) bringt eine drastische Reduktion der Anzahl der zu betrachtenden<br />
Objekte (von unendlich vielen auf 7).<br />
Abb. 0.2. Visualisierung der Aufteilung in Äquivalenzklassen<br />
• Wir haben die Rechenoperationen + und × auf die Restklassen übertragen (das<br />
habe ich in der Tabelle der Zehnerpotenzen versteckt) und damit eine abstrakte<br />
algebraische Struktur eingeführt, d.h. eine Menge (die Restklassen) mit<br />
Verknüpfungen (Addition und Multiplikation; hier ergibt sich ein sogenannter<br />
Ring).<br />
+ 0 1 2 3 4 5 6<br />
× 0 1 2 3 4 5 6<br />
0 0 1 2 3 4 5 6<br />
0 0 0 0 0 0 0 0<br />
1 1 2 3 4 5 6 0<br />
1 0 1 2 3 4 5 6<br />
2 2 3 4 5 6 0 1<br />
2 0 2 4 6 1 3 5<br />
3 3 4 5 6 0 1 2<br />
3 0 3 6 2 5 1 4<br />
4 4 5 6 0 1 2 3<br />
4 0 4 1 5 2 6 3<br />
5 5 6 0 1 2 3 4<br />
5 0 5 3 1 6 4 2<br />
6 6 0 1 2 3 4 5<br />
6 0 6 5 4 3 2 1<br />
• Wir haben festgestellt, dass sich die Methode von 7 auf beliebige Zahlen verallgemeinern<br />
lässt und es ist dann auch nicht mehr schwer, vom Zehner- auf<br />
ein beliebiges anderes System überzugehen.<br />
⊓⊔
10 0 Vorbemerkungen<br />
Abb. 0.3. Regelmäßige Vielecke<br />
Beispiel 0.2.4 (Symmetrie).<br />
Betrachte die regelmäßigen Vielecke in Abbildung 0.2.4.<br />
Es stellt sich die Frage, wie man die augenfälligen Symmetrie-Eigenschaften dieser<br />
Figuren präzise beschreiben kann. Hier ist eine erste Antwort: Symmetrie ist eine<br />
Bewegung, die die Figur mit sich selbst zur Deckung bringt (z.B. Spiegelung oder<br />
Rotation). Solche Symmetrien kann man hintereinanderschalten und erhält wieder<br />
eine algebraische Struktur (hier ist es eine Gruppe).<br />
A<br />
B<br />
C<br />
B<br />
B<br />
C<br />
D<br />
C D A A<br />
Abb. 0.4. Verknüpfung von Symmetrien<br />
D<br />
Es ist allerdings nicht wirklich klar, was eine Bewegung ist und damit ist der Begriff<br />
Symmetrie etwas vage gelassen. Abhilfe schafft hier der Begriff der Abbildung,<br />
ein Begriff, der in Mathematik absolut zentral ist:<br />
Wenn A und B zwei Mengen (von irgendwelchen Objekten, z.B. Punkten auf<br />
einem Vieleck) sind, dann ist eine Abbildung f : A → B eine Vorschrift, jedem Element<br />
von A ein Element von B zuzuordnen. Dies ist eine Abstraktion der Vorstellungen<br />
”<br />
Vergleichen“ (von A und B z.B. durch Übereinanderlegen) und ”<br />
Messen“<br />
(von A durch B z.B. durch Anlegen eines Maßstabs oder durch Zuordnung einer<br />
Zahl).<br />
Jetzt lässt sich eine präzisere Definition von Symmetrie formulieren: Eine Symmetrie<br />
von A ist eine Abbildung f : A → A, für die jedes Element von A als Bild<br />
von genau einem Element von A auftaucht (jedes Element wird von genau einem<br />
Pfeil getroffen). An dieser Stelle kann man dann noch Zusatzforderungen stellen<br />
(z.B. Geraden auf Geraden, Winkel sollen erhalten bleiben, die Figuren sollen nicht<br />
zerrissen werden, etc.)<br />
Wenn man nur die Rotationssymmetrien des n-Ecks betrachtet, dann liefert n-<br />
malige Anwendung der Rotation um 360<br />
n<br />
Grad (von einer Ecke auf die nächste) die
0.2 Über die Abstraktion in der Mathematik 11<br />
A<br />
B<br />
A ‘‘größer’’ als B<br />
A<br />
f<br />
B<br />
A ‘‘kleiner’’ als B<br />
A<br />
f<br />
Die Punkte von A<br />
werden gemessen<br />
Abb. 0.5. Messen und Vergleichen von Mengen<br />
00000 11111<br />
11111 00000<br />
00000000<br />
11111 00000<br />
111<br />
11111<br />
000 111<br />
000<br />
111<br />
11111<br />
00011111<br />
00000<br />
000<br />
11111<br />
111<br />
00000<br />
11111<br />
11100000<br />
00000<br />
11111 00000<br />
11111<br />
000<br />
111<br />
00000<br />
000<br />
11111<br />
111<br />
11111<br />
11111<br />
00000000<br />
111 000 111<br />
11111<br />
11111000<br />
00000<br />
11100000<br />
000 111<br />
11111<br />
11111<br />
00000111<br />
11111<br />
00000000<br />
111<br />
11111<br />
000 111 000 111<br />
Abb. 0.6. Zerreißen“ von Mengen<br />
”<br />
Identität. Das erinnert an die n-fache Addition von 1 in den Restklassen modulo n<br />
aus Beispiel 0.2.3. Vergleichen wir<br />
• die Rotationen R k des n-Ecks um k× 360<br />
n<br />
Grad mit der Hintereinanderausführung<br />
und<br />
• die Restklassen [k] = {m | m ≡ k mod n} modulo n mit der Addition,<br />
so finden wir eine Korrespondenz<br />
die zusätzlich<br />
R k ←→ [k],<br />
R k ◦ R k ′ = [k] + [k ′ ]<br />
erfüllt (◦ bezeichnet die Hintereinanderausführung). Man sagt, die beiden Strukturen<br />
sind isomorph (hier als Gruppen) und stellt fest, dass Aussagen, die die<br />
Verknüpfungen betreffen, mit dieser Isomorphie von einer zur anderen Struktur<br />
einfach transferiert werden können.<br />
⊓⊔
12 0 Vorbemerkungen<br />
0.3 Die Sprache der Mathematik: Mengenlehre<br />
Die ersten Objekte mathematischer Überlegungen waren Zahlen und geometrische<br />
Figuren. Was diese Objekte eigentlich sind, war praktisch von Anfang an<br />
Gegenstand intensiver Überlegungen und kontroverser Philosophien. Im Laufe der<br />
Zeit kamen weitere mathematische Objekte ganz unterschiedlicher Natur hinzu wie<br />
z.B. Variablen, Gleichungen, Funktionen, etc. Die moderne Mathematik bedient<br />
sich der Mengenlehre zur Beschreibung aller mathematischen Objekte. Zahlen, Figuren,<br />
Funktionen sind Mengen mit gewissen Eigenschaften. Dabei ist keineswegs<br />
klar, was eine Menge ist. Der Begründer der Mengenlehre G. Cantor gab folgende<br />
Definition“ einer Menge: Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung<br />
”<br />
von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres<br />
Denkens zu einem Ganzen. Dies ist keine wirkliche Erklärung, weil der unbekannte<br />
Begriff Menge auf den ebenfalls unbekannten Begriff Zusammenfassung zu einem<br />
Ganzen zurückgeführt wird. Widersprüchliche Bildungen solcher Zusammenfassungen<br />
führen zu logischen Problemen wie dem vom Dorfbarbier, der alle Männer des<br />
Dorfes rasiert, die sich nicht selbst rasieren (rasiert er sich selbst oder nicht?). Antinomien<br />
wie diese führten Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts in einen Streit über<br />
die Grundlagen der Mathematik, der bis heute nicht wirklich ausgestanden ist. Für<br />
die gegenwärtige Praxis der Mathematik ist vor allem bedeutsam, dass sich die axiomatische<br />
Methode, eine Theorie aus nicht hinterfragten Grundtatsachen (Axiomen)<br />
unter Benutzung festgelegter logischer Regeln aufzubauen, universell durchgesetzt<br />
hat.<br />
Auch für die Mengenlehre und die Logik gibt es solche axiomatischen Zugänge,<br />
allerdings sind sie für den Laien oder Anfänger nicht nachvollziehbar. Daher stützt<br />
man sich bei der Einführung in die Mathematik auf (möglichst wenige) intuitive<br />
Konzepte, aus denen man dann das mathematische Gebäude aufbaut. Diese intuitiven<br />
Konzepte werden schließlich (in Vorlesungen wie Axiomatische Mengentheorie“<br />
”<br />
oder Logik“) hinterfragt, wenn die Studierenden eine gewisse Vertrautheit mit mathematischen<br />
Denkweisen erlangt ”<br />
haben.<br />
Ausgangspunkt für unseren ”<br />
naiven“ Zugang zur Mengenlehre ist, dass eine<br />
Menge durch ihre Elemente festgelegt wird: Eine Menge ist gebildet, wenn feststeht,<br />
welche Objekte dazugehören. Die Objekte, die zu einer Menge gehören, heißen<br />
Elemente der Menge. Wenn M eine Menge ist und a ein Element von M, dann<br />
schreibt man a ∈ M (a ist Element von M). Eine Menge kann man beschreiben,<br />
indem man alle ihre Elemente aufzählt, oder aber indem man ihre Elemente durch<br />
eine Eigenschaft charakterisiert:<br />
{a, b, c, d, e}<br />
ist die Menge der ersten fünf (kleinen) Buchstaben des Alphabets und<br />
{x | x ∈ Z und x 2 ∈ Z}<br />
ist die Menge der durch 2 teilbaren ganzen Zahlen (wenn wir akzeptieren, dass Z<br />
die Menge der ganzen Zahlen ist). Die Klammern { }, die in dieser Schreibweise<br />
vorkommen, nennt man Mengenklammern. Will man klarstellen, dass eine Menge<br />
aus Elementen einer vorgegebenen Menge X besteht, schreibt man auch<br />
{x ∈ X | Eigenschaften von x},<br />
zum Beispiel<br />
{x ∈ Z | x 2 ∈ Z}
0.3 Die Sprache der Mathematik: Mengenlehre 13<br />
für die geraden Zahlen von oben. Wenn a kein Element von M ist, schreibt man<br />
a ∉ M. Entsprechend unserem Ausgangspunkt nennen wir zwei Mengen gleich,<br />
wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Also sind die Mengen<br />
gleich, nicht aber die Mengen<br />
{a, b, c, d, e} und {e, d, c, b, a}<br />
{a, b, c, d, e} und {e, d, b, a}.<br />
Wenn A und B Mengen sind, dann heißt A eine Teilmenge von B, wenn jedes<br />
Element von A auch Element von B ist. Man schreibt dann A ⊆ B. Es gilt also<br />
{e, d, b, a} ⊆ {a, b, c, d, e}.<br />
Für jede Teilmenge A ⊆ B kann man ihr Komplement 1<br />
{b ∈ B | b ∉ A}<br />
betrachten. Es wird mit B\A oder (wenn B aus dem Kontext klar ist) ∁A bezeichnet.<br />
Wenn A keine Teilmenge von B ist, schreibt man A ⊈ B. Die Menge<br />
PM := {N | N ⊆ M}<br />
aller Teilmengen von M heißt die Potenzmenge von M.<br />
Hat man zwei Mengen A und B, so gibt es verschiedene Möglichkeiten, daraus<br />
neue Mengen zu konstruieren:<br />
{x | x ∈ A oder x ∈ B}<br />
heißt die Vereinigung von A und B und wird mit A∪B bezeichnet. Dagegen heißt<br />
{x | x ∈ A und x ∈ B}<br />
der Schnitt von A und B und wird mit A ∩ B bezeichnet. Um sicherzustellen, dass<br />
der Schnitt zweier Mengen immer gebildet werden kann, muss man eine besondere<br />
Menge zulassen: die leere Menge, die überhaupt kein Element enthält und mit ∅<br />
oder { } bezeichnet wird.<br />
Die Definition von Schnitt und Vereinigung von zwei Mengen lässt sich problemlos<br />
auf beliebig viele Mengen verallgemeinern: Hat man eine Familie von Mengen<br />
A j mit j ∈ J, so ist<br />
⋃<br />
A j = {x | es gibt ein j ∈ J mit x ∈ A j }<br />
j∈J<br />
die Vereinigung der A j und<br />
⋂<br />
A j = {x | für alle j ∈ J gilt x ∈ A j }<br />
j∈J<br />
der Schnitt der A j . Die Vereinigung von disjunkten Mengen, d.h. Mengen, deren<br />
Schnitt leer ist, bezeichnen wir oft mit A ∪ . B bzw. ⋃ .<br />
j∈J<br />
A j .<br />
Eine dritte Menge, die man aus A und B bauen kann, ist das kartesische<br />
Produkt. Es besteht aus allen geordneten Paaren (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B und<br />
wird mit A × B bezeichnet:<br />
1 Allgemeiner könnte man auch B \ A := {b ∈ B | b ∉ A} definieren ohne dabei vorauszusetzen,<br />
dass A eine Teilmenge von B ist.
14 0 Vorbemerkungen<br />
A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.<br />
(Wann immer wir eine neue Bezeichnung N für ein bekanntes Objekt B einführen,<br />
schreiben wir N := B.)<br />
Das kartesische Produkt lässt sich auch für mehr als zwei Faktoren definieren:<br />
Wenn A 1 , . . . , A k Mengen sind, dann setzt man<br />
A 1 × . . . × A k := {(a 1 , . . . , a k ) | a j ∈ A j , j = 1, . . . , k}<br />
und bezeichnet die (a 1 , . . . , a k ) als k-Tupel. Wenn alle A j gleich sind, z.B. eine<br />
Menge M, schreibt man auch einfach M k für die Produktmenge M × . . . × M, d.h.<br />
} {{ }<br />
k-mal<br />
M k := {(m 1 , . . . , m k ) | m j ∈ M}.<br />
Das kartesische Produkt ist nützlich, wenn es darum geht, Beziehungen zwischen<br />
Elementen einer oder mehrerer Mengen zu modellieren. Betrachtet man als<br />
Beispiel die Menge H aller Hörer der Vorlesung Analysis I und S die Menge aller<br />
an der Universität <strong>Paderborn</strong> angebotenen Studienrichtungen, so lässt sich aus der<br />
Teilmenge<br />
{(x, F ) ∈ H × S | x studiert F }<br />
von H × S ablesen, welcher Hörer welches Fach studiert. Allgemein bezeichnet man<br />
jede Teilmenge R eines kartesischen Produkts A × B als eine Relation zwischen<br />
A und B. Die Interpretation von (a, b) ∈ R ist: a ”<br />
steht in Relation“ R zu b. Man<br />
schreibt auch oft aRb statt (a, b) ∈ R. Wenn A gleich B ist, d.h. die Relation aus<br />
Elementen von A × A besteht, spricht man auch von einer Relation auf A.<br />
Beispiel 0.3.1. Sei A = {1, 3, 5} und B = {2, 3, 4}. Dann ist<br />
R := {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 4)}<br />
eine Relation. Bei genauerem Hinsehen stellt man fest, dass (a, b) ∈ A × B genau<br />
dann Element der Relation ist, wenn a kleiner als b ist. Wenn man jetzt die Relation<br />
< statt R nennt, wird die Schreibweise aRb zu a < b. Auf diese Weise erhält man<br />
eine saubere mengentheoretische Beschreibung der Relation ohne auf die gewohnte<br />
intuitive Schreibweise verzichten zu müssen.<br />
Wenn jedes Element von A zu genau einem Element von B in Relation steht,<br />
nennt man so eine Relation eine Abbildung oder Funktion von A nach B. Die<br />
Idee hinter dieser Setzung ist, dass man jedem Element a von A genau ein Element<br />
b von B zuordnen will, nämlich dasjenige mit (a, b) ∈ R. Man schreibt dann<br />
R: A → B, a ↦→ R(a)<br />
und R(a) = b für (a, b) ∈ R. Auch hier dient die veränderte Schreibweise dazu,<br />
saubere mengentheoretische Definitionen (in denen nicht von Variablen etc. die<br />
Rede ist) und die traditionelle Notation für Funktionen unter einen Hut zu bringen.<br />
Die obige Relation zwischen Hörern der Analysis I und Studienrichtungen der<br />
Universität <strong>Paderborn</strong> ist also genau dann eine Funktion, wenn jeder Hörer für eine<br />
Studienrichtung eingeschrieben ist, aber nicht für mehrere (jedem Hörer lässt sich in<br />
eindeutiger Weise eine Studienrichtung zuordnen). Nicht ausgeschlossen ist durch
0.3 Die Sprache der Mathematik: Mengenlehre 15<br />
die Definition der Funktion, dass mehrere Hörer für die gleiche Studienrichtung<br />
eingeschrieben sind.<br />
Die Formalisierung des Funktionsbegriffs als Teilmenge eines kartesischen Produkts<br />
mit gewissen Eigenschaften ist ein erstes Beispiel dafür, dass die Mengenlehre<br />
in der Lage ist, einen einheitlichen Rahmen für zunächst als ganz verschieden betrachtete<br />
mathematische Begriffe zu schaffen. Sie ist ein wesentlicher Schritt im stufenweisen<br />
Aufbau eines immer komplexer werdenden mathematischen Universums,<br />
in dem nach immer den gleichen Prinzipien aus Mengen Funktionen zwischen Mengen,<br />
dann Mengen von Funktionen zwischen Mengen, dann Funktionen zwischen<br />
Mengen von Funktionen zwischen Mengen, etc. werden.<br />
An dieser Stelle könnte man schon eine Reihe von Eigenschaften von Vereinigungsund<br />
Durchschnittsmengen, Relationen und Funktionen beweisen. Da hier aber die<br />
Mengentheorie nicht Selbstzweck, sondern nur Startpunkt für das Studium von<br />
Zahlensystemen, Gleichungen und Funktionen sein soll, schieben wir mengentheoretische<br />
Überlegungen immer dort ein, wo sie tatsächlich gebraucht werden.<br />
Mathematische Gesetzmäßigkeiten werden normalerweise als Sätze formuliert.<br />
Sätze können unterschiedliches Gewicht und unterschiedliche Funktionen haben.<br />
Einen Satz, den man (gemessen am Kontext) relativ leicht beweisen kann, bezeichnet<br />
man oft als Proposition. Sätze, die vorbereitender Natur sind, werden oft<br />
Lemma genannt. Das Wort Lemma (Plural: Lemmata) ist griechisch und bedeutet<br />
wörtlich ”<br />
Annahme“ (vgl. auch Dilemma). Dagegen heißen Sätze, die mehr oder<br />
weniger unmittelbare Konsequenzen eines vorausgehenden Satzes sind, oft Korollar.<br />
Wir schließen diese Vorbemerkung mit einem speziellen mengentheoretischen<br />
Axiom ab, das in der Grundlagendebatte eine besondere Rolle gespielt hat. In der<br />
Linearen Algebra ist es noch nicht unverzichtbar, aber sowohl in der Algebra als<br />
auch der Analysis kommt man ohne dieses Axiom nicht sehr weit. Ein wichtiger<br />
Grund für uns, dieses Axiom an dieser Stelle einzuführen ist, dass man mehrere<br />
dazu äquivalente Axiome angegeben kann, die ganz unterschiedlich plausibel sind.<br />
Axiom 0.3.2 (Auswahlaxiom). Sei Γ eine Menge und {U γ | γ ∈ Γ } eine Menge<br />
von nichtleeren Mengen. Dann kann man aus jedem U γ ein Element x γ ∈ U γ<br />
auswählen.<br />
Schwierigkeiten macht das Auswahlaxiom, wenn Γ sehr viele (z.B. überabzählbar<br />
viele) Elemente enthält. Das Auswahlaxiom ist plausibel, aber unabhängig von den<br />
gängigen Axiomensystemen der Mengenlehre (z.B. Zermelo–Fraenkel) und damit<br />
nicht beweisbar. Die Frage, ob man das Auswahlaxiom benutzen darf, hat im Grundlagenstreit<br />
eine wichtige Rolle gespielt. Wir merken an, dass wir das Auswahlaxiom<br />
benutzen, wo immer wir es nicht vermeiden können.<br />
Eine partielle Ordnung auf einer Menge M ist eine Relation ≤ auf M, die<br />
folgende Eigenschaften hat:<br />
(a) x ≤ x (Reflexivität).<br />
(b) Aus x ≤ y und y ≤ z folgt x ≤ z (Transitivität).<br />
(c) Aus x ≤ y und y ≤ x folgt x = y (Antisymmetrie).<br />
Man schreibt auch y ≥ x für x ≤ y. Eine partielle Ordnung, die<br />
für alle x, y ∈ M : (x ≤ y oder y ≤ x)
16 0 Vorbemerkungen<br />
erfüllt, heißt totale Ordnung.<br />
Um sich die Schreibarbeit zu vereinfachen und um später bei komplizierteren Aussagen<br />
den Überblick zu behalten, benutzt man für die Quantoren ”<br />
für alle“ und ”<br />
es<br />
existiert ein“ abkürzende Schreibweisen:<br />
• Statt ”<br />
für alle“ (oder ”<br />
zu jedem“) schreibt man ”<br />
∀“<br />
• Statt ”<br />
gibt es“ (oder ”<br />
existiert“) schreibt man ”<br />
∃“<br />
Sei (M, ≤) eine partiell geordnete Menge und N ⊆ M. Dann heißt x ∈ M eine<br />
obere Schranke von N, wenn y ≤ x für alle y ∈ N gilt. Analog heißt x ∈ M eine<br />
untere Schranke von N, wenn x ≤ y für alle y ∈ N gilt.<br />
N heißt total geordnet oder eine Kette, wenn die Einschränkung der Relation<br />
≤ auf N eine totale Ordnung ist.<br />
Eine total geordnete Menge M heißt induktiv geordnet, wenn jede total geordnete<br />
Teilmenge eine obere Schranke besitzt. Ein Element x ∈ N heißt maximal<br />
in N, wenn<br />
∀x ′ ∈ N : (x ≤ x ′ ⇒ x = x ′ ).<br />
Axiom 0.3.3 (Zornsches Lemma).<br />
maximales Element.<br />
Jede induktiv geordnete Menge hat ein<br />
Eine total geordnete Menge M heißt wohlgeordnet, wenn jede nichtleere Teilmenge<br />
N von M ein kleinstes Element hat, d.h. eine untere Schranke, die zu N<br />
gehört.<br />
Axiom 0.3.4 (Wohlordnungssatz). Jede Menge kann wohlgeordnet werden.<br />
Es klar ist, wie man die natürlichen oder die ganzen Zahlen wohlordnen kann.<br />
Man sich damit auch relativ leicht überlegt, wie das für die rationalen Zahlen zu<br />
bewerkstelligen ist. Andererseits ist überhaupt nicht zu sehen, wie eine Wohlordnung<br />
auf den reellen Zahlen auszusehen hat. Die übliche Ordnung tut es ganz sicher<br />
nicht: was zum Beispiel sollte die kleinste Zahl sein, oder die kleinste Zahl, die im<br />
herkömmlichen Sinne strikt positiv ist?<br />
Man kann zeigen, dass das Zornsche Lemma 0.3.3 äquivalent zu einer Reihe<br />
anderer mengentheoretischer Aussagen ist, darunter auch das Auswahlaxiom 0.3.2<br />
und der Wohlordnungssatz 0.3.4. Damit ist das Zornsche Lemma zwar in der Mengenaxiomatik<br />
von Zermelo-Fraenkel unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms beweisbar,<br />
nicht aber ohne dieses. Es birgt daher dieselben Schwierigkeiten wie das<br />
Auswahlaxiom und wir setzen es als Axiom ein.<br />
Es stellt sich also heraus, dass das Zornsche Lemma äquivalent zu einer ”<br />
offensichtlich<br />
richtigen“ Aussage ist (dem Auswahlaxiom), aber auch zu einer ”<br />
offensichtlich<br />
falschen“ (dem Wohlordnungssatz). Plausibilitätsargumenten ist in der<br />
Mathematik also mit Vorsicht zu begegnen.<br />
Literatur: [DH85], [GH70], [Ha72], [If86], [Kat98], [Kl72], [Si98]<br />
Übung 0.3.1 (Mengen I). Unter den folgenden sechs Aussagen sind einige nur verschiedene<br />
Beschreibungen ein und desselben Sachverhalts. Man finde heraus, welche das sind<br />
(mit Begründung):
0.3 Die Sprache der Mathematik: Mengenlehre 17<br />
a) {x} ⊂ M b) {x} ∈ M c) x ∈ M<br />
d) {x} ∩ M = ∅ e) {x} \ M = ∅ f) M \ {x} = ∅ .<br />
Übung 0.3.2 (Mengen II). Man entscheide, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch<br />
sind.<br />
(i) 1 ∈ {1, {2, 3}}.<br />
(ii) 1 ∈ {2, {1, 3}}.<br />
(iii)1 ∈ {{1}, 2, 3}.<br />
(iv){1} = {1, {1}}.<br />
Übung 0.3.3 (Mengen III). Zeige: Für M, N ⊂ X gilt<br />
(v) ∅ ∈ ∅.<br />
(vi){1} ⊆ {{1}, 2, 3}.<br />
(vii){1, 2} = {2, 1}.<br />
(viii)∅ = {∅}.<br />
X \ (M ∪ N) = (X \ M) ∩ (X \ N) .<br />
Übung 0.3.4 (Mengen IV). Zeige: Für M, N ⊂ X gilt<br />
X \ (M ∩ N) = (X \ M) ∪ (X \ N) .<br />
Übung 0.3.5 (Abbildungen I). Eine Abbildung f : M → N heißt injektiv, falls es für<br />
jedes y ∈ N höchstens ein x ∈ M gibt mit f(x) = y. Die Abbildung f heißt surjektiv, falls<br />
es für jedes y ∈ N (mindestens) ein x ∈ M gibt mit f(x) = y.<br />
Man entscheide, welche der folgenden Abbildungen injektiv und/oder surjektiv ist. Hierbei<br />
sei S die Menge der Studierenden der Universität <strong>Paderborn</strong>.<br />
1. f : S → N, f(s) =Matrikelnummer von s,<br />
2. f : S → {Studienfächer der Universität <strong>Paderborn</strong>}, f(s) =Studienfach von s,<br />
3. f : Z → Z, x ↦→ 2x + 1, d) f : Z → Z, x ↦→ x 2 , e) f : N → N, x ↦→ x 2 .<br />
Übung 0.3.6 (Abbildungen II). Sei M = {a, b} eine Menge mit genau zwei Elementen<br />
a, b. Bestimme die Menge Abb(M, M) aller Abbildungen f : M → M.<br />
Übung 0.3.7 (Abbildungen III). Sei f : X → Y eine Abbildung und für N ⊂ Y bezeichne<br />
das Urbild von N unter f. Zeige:<br />
f −1 (N) := {x ∈ X | f(x) ∈ N}<br />
1. Für M 1 ⊂ M 2 ⊂ X und N 1 ⊂ N 2 ⊂ Y gilt<br />
2. Für M ⊂ X und N ⊂ Y gilt<br />
f(M 1) ⊂ f(M 2) und f −1 (N 1) ⊂ f −1 (N 2) .<br />
M ⊂ f −1 (f(M)) und f(f −1 (N)) ⊂ N .<br />
Übung 0.3.8 (Abbildungen IV). Es sei f : M → N eine Abbildung. Man zeige:<br />
f injektiv ⇐⇒ f(M \ A) ⊂ N \ f(A) für alle A ⊂ M .<br />
Übung 0.3.9 (Abbildungen V). Seien f : X → Y und g : Y → X Abbildungen, für die<br />
g(f(x)) = x für alle x ∈ X und f(g(y)) = y für alle y ∈ Y gilt. Zeige:<br />
1. f ist injektiv<br />
(Beweisstruktur: Seien x, x ′ ∈ X mit f(x) = f(x ′ ). Dann gilt . . . , also x = x ′ .)<br />
2. f ist surjektiv<br />
(Beweisstruktur: Sei y ∈ Y . Wähle x = . . ., dann ist f(x) = y.)<br />
Übung 0.3.10 (Abbildungen VI). Welche der folgenden Aussagen gelten für alle Abbildungen<br />
f : X → Y und alle Teilmengen M, N von X:<br />
1. f(M ∩ N) = f(M) ∩ f(N),<br />
2. f(M ∪ N) = f(M) ∪ f(N),<br />
3. f(X \ M) = Y \ f(M).
18 0 Vorbemerkungen<br />
Beweise die Aussagen bzw. gib ein Gegenbeispiel an.<br />
Übung 0.3.11 (Mengen).<br />
1. Seien N, M Mengen. Zeige:<br />
M ⊂ N ⇐⇒ P(M) ⊂ P(N) ,<br />
wobei P(M) die Potenzmenge von M bezeichnet.<br />
2. Finde eine Folge von Mengen A 1, A 2, . . ., so dass A 1 ∩ . . . ∩ A n ≠ ∅ gilt für alle n ∈ N,<br />
es aber kein x gibt mit x ∈ A n für alle n ∈ N.
Teil I<br />
Systeme von Gleichungen und Zahlen
Vorbemerkung<br />
Wir beginnen diesen Teil mit dem Studium linearer Gleichungssysteme, d.h.<br />
Systemen der Form<br />
a 11 x 1 + ... + a 1n x n = b 1<br />
.<br />
. .<br />
a m1 x 1 + ... + a mn x n = b m<br />
(LGS)<br />
wobei die a ij Elemente eines Körpers K sind (z.B. des Körpers R aller reellen Zahlen)<br />
und die x j die (in K) zu bestimmenden Unbekannten (vgl. Kapitel 1).<br />
Die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme führen auf den Begriff des linearen<br />
Unterraums von K n = {(x 1 , . . . , x n ) | x j ∈ K}. Genauere Fragen nach<br />
der Größe“ der Lösungsmengen liefern Begriffe wie lineare Unabhängigkeit“,<br />
” ”<br />
” Basis“ und Dimension“ (vgl. Kapitel 2). Insbesondere führt das Problem, zwei<br />
”<br />
Lösungsmengen zu vergleichen auf den Begriff der linearen Abbildung“. Die Berechnung<br />
von Lösungen und charakteristischen Größen wie Dimensionen wird stark<br />
”<br />
erleichtert durch die Matrizenrechnung (vgl. Kapitel 3).<br />
Ein eigenes Kapitel ist den Determinanten“ gewidmet (vgl. Kapitel 4). Dies sind<br />
”<br />
Zahlen, die man quadratischen Matrizen zuordnen kann. An der Determinante kann<br />
man ablesen, ob eine lineare Abbildung umkehrbar ist. Später wird man sehen, dass<br />
Determinanten auch ganz natürlich in der Berechnung von Volumina auftauchen<br />
und eine wichtige Rolle in der Beschreibung linearer Abbildungen spielen.
1<br />
Lineare Gleichungssysteme<br />
In diesem Kapitel zeigen wir, wie man lineare Gleichungssysteme mit Hilfe des<br />
Gauß-Algorithmus systematisch lösen kann. Neben einigen Umformulierungen des<br />
Gauß-Algorithmus betrachten wir auch die Struktur der Lösungsmengen im Falle<br />
zweier Variablen. Dieser einfache Fall liefert dann den Ansatzpunkt für eine eingehendere<br />
Untersuchung der Lösungsmengen allgemeiner linearer Gleichungssysteme.<br />
Es gibt mehrere Gründe dafür, eine Vorlesung ”<br />
Lineare Algebra“ mit der Untersuchung<br />
von linearen Gleichungssystemen zu beginnen. Einer davon ist rein didaktisch:<br />
Zumindest kleine lineare Gleichungssysteme kommen auch im Schulunterricht<br />
vor, man knüpft also bei Bekanntem an. Außerdem kann man das gesetzte Ziel,<br />
diese Systeme zu lösen wann immer das geht, direkt angehen und muss nicht vorher<br />
langwierig einen großen Apparat einführen, mit dem man das gestellte Problem<br />
dann löst. Im weiteren Verlauf bieten die linearen Gleichungssysteme dann auch die<br />
Möglichkeit, eine Reihe von Konzepten 1 einzuführen, die überall in der Mathematik<br />
eine zentrale Rolle spielen. Aber es lässt sich auch inhaltlich begründen das Lösen<br />
von linearen Gleichungen an den Anfang zu stellen. Das Lösen von Gleichungen<br />
allgemein ist ein zentrales Anliegen der Mathematik und ein Großteil der (approximativen)<br />
Lösungsverfahren, die man kennt, basieren darauf, das jeweilige Problem<br />
in geschickter Weise auf ein lineares Problem zurückzuführen. Sehr viel strukturelle<br />
Mathematik dient genau dem Zweck, diese ”<br />
Linearisierung“ wirklich durchführen<br />
zu können.<br />
1.1 Körper<br />
An sich ist es für die Zwecke dieses Kapitels gut genug alle Rechnungen mit<br />
den als bekannt vorausgesetzten reellen Zahlen R durchzuführen. Um aber präzise<br />
darüber buchführen zu können, welche Eigenschaften der reellen Zahlen wir wirklich<br />
dabei benutzen, führen wir den Begriff des Körpers ein. Bis auf weiteres werden<br />
wir nur die Körpereigenschaften verwenden. Wenn wir schließlich speziellere Eigenschaften<br />
brauchen, werden wir gesondert darauf hinweisen.<br />
Seien M und N zwei Mengen, wobei wir eine Menge ganz naiv als Ansammlung<br />
von Objekten, ihren Elementen, auffassen 2 . Eine Abbildung ϕ : M → N ist eine<br />
1 wie z.B. Vektorräume, Dimension, Basen, Lineare Abbildungen u.v.m.<br />
2 Die Fallstricke, die die Betrachtungsweise in sich birgt (Paradoxien á la Russell!), ignorieren<br />
wir in dieser Vorlesung.
24 1 Lineare Gleichungssysteme<br />
Vorschrift, die jedem Element m ∈ M genau ein Element ϕ(m) ∈ N zuordnet. Man<br />
schreibt m ↦→ ϕ(m).<br />
Definition 1.1.1. Ein Körper ist eine Menge K, die mindestens zwei Elemente<br />
enthält, zusammen mit zwei Abbildungen +, · : K × K → K, genannt Addition<br />
und Multiplikation, so dass gilt:<br />
(Add)<br />
(1) (∀a, b ∈ K) a + b = b + a (Kommutativgesetz)<br />
(2) (∀a, b, c ∈ K) a + (b + c) = (a + b) + c (Assoziativgesetz)<br />
(3) (∃0 ∈ K) (∀a ∈ K) 0 + a = a (Neutrales Element oder Null)<br />
(4) (∀a ∈ K) (∃b ∈ K) a + b = 0 (Additives inverses Element)<br />
(Mult)<br />
(1) (∀a, b ∈ K) a · b = b · a (Kommutativgesetz)<br />
(2) (∀a, b, c ∈ K) a · (b · c) = (a · b) · c (Assoziativgesetz)<br />
(3) (∃1 ∈ K) (∀a ∈ K) 1 · a = a (Neutrales Element oder Eins)<br />
(4) (∀a ∈ K \ {0}) (∃b ∈ K) a · b = 1 (Inverses Element von a)<br />
(Dist) (∀a, b, c ∈ K) (a + b) · c = a · c + b · c (Distributivgesetz)<br />
Im Distributivgesetz haben wir die ”<br />
Punkt vor Strich“ Konvention benutzt, nach<br />
der Multiplikationen immer vor Additionen ausgeführt werden. Ansonsten müsste<br />
man (a + b) · c = (a · c) + (b · c) schreiben. In der Multiplikation schreibt man für<br />
gewöhnlich einfach ab statt a · b.<br />
Diese Auflistung von Eigenschaften, die die reellen Zahlen alle erfüllen, zeigt<br />
also, dass R ein Körper ist.<br />
Die folgenden Beispiele zeigen, dass mehrere der schon in den Vorbemerkungen<br />
angesprochenen Zahlbereiche Körper sind, aber nicht alle. Gerade für das Lösen<br />
von Gleichungen ist die Existenz von multiplikativen Inversen besonders wichtig.<br />
Ohne diese Eigenschaft verkompliziert sich alles enorm. Daher betreibt man in einer<br />
Anfängervorlesung die Lineare Algebra nicht über den ganzen Zahlen Z, obwohl die<br />
Suche nach ganzzahligen Lösungen von großem Interesse wäre.<br />
Beispiel 1.1.2. (a) Sei Q ⊆ R die Menge von Brüchen der Form p q<br />
mit p und q ≠ 0<br />
aus den ganzen Zahlen. Dann ist Q mit den von R geerbten Verknüpfungen<br />
(Addition und Multiplikation) ein Körper, den man den Körper der rationalen<br />
Zahlen nennt.<br />
(b) Die Menge Z der ganzen Zahlen erfüllt bzgl. der normalen Addition und<br />
Multiplikation alle Körperaxiome bis auf eines: Die Existenz des multiplikativen<br />
Inversen. Eine solche Menge nennt man einen kommutativen Ring mit Eins<br />
c) Hätte man nicht vorausgesetzt, dass ein Körper mindestens zwei Elemente haben<br />
muss, dann wäre auch die Menge {0} mit den Verknüpfungen 0 + 0 = 0<br />
und 0 · 0 = 0 ein Körper.<br />
(d) Die zweielementige Menge {g, u} mit den Verknüpfungen<br />
+ g u<br />
g g u<br />
u u g<br />
· g u<br />
g g g<br />
u g u<br />
ist ein Körper mit g als Null und u als Eins 3 .<br />
3 Man sollte g als ”<br />
gerade“ lesen und u als ”<br />
ungerade“. Dann spiegeln die beiden Verknüpfungen<br />
das Verhalten von geraden und ungeraden Zahlen unter Addition und Multiplikation<br />
wieder.
1.1 Körper 25<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 1.1.3. Definiere auf C := {(a, b) | a, b ∈ R} die Addition<br />
und die Multiplikation<br />
(a, b) + (a ′ , b ′ ) := (a + a ′ , b + b ′ )<br />
(a, b) · (a ′ , b ′ ) := (aa ′ − bb ′ , ab ′ + ba ′ ).<br />
Dann ist C ein Körper mit (0, 0) als Null und (1, 0) als Eins (Übung). Dieser Körper<br />
heißt der Körper der komplexen Zahlen.<br />
Um die Schreibweise zu erleichtern, führt man die Notation a + ib für (a, b)<br />
ein. Die Zahl a nennt man den Realteil Re(a + ib) von a + ib und die Zahl b den<br />
Imaginärteil Im(a + ib) von a + ib.<br />
Man betrachtet R als Teilmenge von C, indem man a mit (a, 0) = a + i0 identifiziert.<br />
Definiert man die imaginäre Einheit i := (0, 1), so erhält man zunächst<br />
(a, 0) + i · (b, 0) = (a, 0) + (0, 1) · (b, 0) = (a, 0) + (0, b) = (a, b) = a + ib<br />
(also entstehen durch die Identifikation a = (a, 0) keine Zweideutigkeiten). Außerdem<br />
gilt<br />
i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.<br />
Die Multiplikation<br />
(a + ib) · (a ′ + ib ′ ) = (aa ′ − bb ′ ) + i(ab ′ + ba ′ )<br />
entsteht also durch formales Ausmultiplizieren. Auch hier lässt man normalerweise<br />
den Multiplikationspunkt weg und schreibt zz ′ statt z · z ′ .<br />
⊓⊔<br />
Der Körper der komplexen Zahlen spielt in der Linearen Algebra eine ganz wesentliche<br />
Rolle. Der Grund dafür ist der Fundamentalsatz der Algebra, der besagt,<br />
dass für jede polynomiale Gleichung Lösungen existieren. Auch andere Körper haben<br />
diese Eigenschaft, die man algebraische Abgeschlossenheit nennt. Aber weder<br />
R noch Q sind algebraisch abgeschlossen.<br />
Bis auf weiteres reicht es jedoch aus, sich bei allen Rechnungen die reellen Zahlen<br />
vorzustellen, sich dabei aber immer klarzumachen, dass in den Rechnungen keine<br />
anderen als die Körpereigenschaften der reellen Zahlen benutzt werden.<br />
Es folgen einige Rechenregeln für Körper, die man unmittelbar aus den Axiomen<br />
in Definition 1.1.1 ableiten kann.<br />
Bemerkung 1.1.4. Sei K ein Körper.<br />
(i) Es gibt genau eine Null und genau eine Eins in K: Wenn nämlich 0 und 0 ′ beide<br />
Nullen sind, dann gilt<br />
0 = 0 + 0 ′ = 0 ′ .<br />
Für die Eins geht das Argument analog.<br />
(ii) Es gibt zu a ∈ K genau ein additives Inverses b ∈ K, das man dann mit −a<br />
bezeichnet: Wenn b, b ′ ∈ K additive Inverse von a ∈ K sind, dann gilt<br />
b = b + 0 = b + (a + b ′ ) = (b + a) + b ′ = 0 + b ′ = b ′ .<br />
Man nennt das additive Inverse von a oft auch einfach das Negative von a.
26 1 Lineare Gleichungssysteme<br />
(iii) Es gibt zu a ∈ K \ {0} genau ein multiplikatives Inverses b ∈ K, das man dann<br />
mit a −1 bezeichnet: Wenn b, b ′ ∈ K multiplikative Inverse von a ∈ K \ {0} sind,<br />
dann gilt<br />
b = b1 = b(ab ′ ) = (ba)b ′ = 1b ′ = b ′ .<br />
(iv) Für alle a ∈ K gilt 0a = 0: Wegen 0a + 0a = (0 + 0)a = 0a haben wir<br />
0 = 0a + (−0a) = (0a + 0a) + (−0a) = 0a + ( 0a + (−0a) ) = 0a + 0 = 0a.<br />
(v) Es gilt (−1)a = −a für alle a ∈ K, weil<br />
a + (−1)a = 1a + (−1)a = (1 + (−1))a = 0a = 0.<br />
⊓⊔<br />
Übungen zu Abschnitt 1.1<br />
Axiome<br />
Übung 1.1.1. Zeige, dass in einem Körper immer 0 ≠ 1 gilt.<br />
Übung 1.1.2. Betrachte die Körperaxiome, wie sie in Definition 1.1.1 aufgeführt sind. Man<br />
zeige, dass<br />
(Mult) (3)<br />
(∃1 ∈ K \ {0}) : (∀a ∈ K) 1a = a<br />
auch durch<br />
(Mult) (3 ′ )<br />
(∃1 ∈ K) : (∀a ∈ K) 1a = a<br />
ersetzt werden kann. Dies zeigt, dass die Forderungen, dass K mindestens zwei Elemente<br />
enthält und dass 1 ≠ 0 gilt, redundant sind.<br />
Übung 1.1.3. Betrachte die Körperaxiome, wie sie in Definition 1.1.1 aufgeführt sind. Man<br />
zeige, dass die beiden Axiome (Add) (3) und (Add) (4) gemeinsam ersetzt werden können<br />
durch das Axiom<br />
(Add) (3 ′ ) (∀a, b ∈ K)(∃x ∈ K) : a + x = b (Lösbarkeit) .<br />
Zeigen Sie hierzu, dass die Forderung von (Add) (1)−(4) gleichbedeutend ist mit der Forderung<br />
von (Add) (1),(2),(3 ′ ).<br />
Beispiele<br />
Übung 1.1.4 (Teilen mit Rest). Sei eine natürliche Zahl n ∈ N = {1, 2, 3, . . .} fest gegeben.<br />
Zu jeder ganzen Zahl a ∈ Z betrachte den Rest R n(a), der bleibt, wenn man a durch<br />
n teilt. Dann ist R n(a) ∈ {0, 1, . . . , n − 1} und es gilt a = n · b + R n(a), wobei b ∈ Z eine<br />
ganze Zahl ist. Dann ist Z die disjunkte Vereinigung der Mengen<br />
{a ∈ Z | R n(a) = 0}, . . . , {a ∈ Z | R n(a) = n − 1},<br />
die man die Restklassen von Z modulo n nennt. Wenn zwei Zahlen a, b ∈ Z zur selben<br />
Restklasse gehören, schreibt man a ≡ b mod n. Die Menge aller Restklassen modulo n<br />
bezeichnet man mit Z/nZ.<br />
(i) Für a ∈ Z bezeichne die (eindeutig bestimmte) Restklasse von Z, die a enthält, mit<br />
[a]. Zeige, dass durch<br />
[a] + [b] := [a + b] und [a] · [b] := [ab]<br />
zwei Abbildungen Z/nZ × Z/nZ → Z/nZ definiert werden.
1.2 Der Gaußalgorithmus 27<br />
(ii) Man stelle für die in (i) definierten Verknüpfungen 4 für die Zahlen n = 2, 3, 4, 5 Verknüpfungstafeln<br />
analog denen aus Beispiel 1.1.2(d) auf.<br />
(iii) Man zeige, dass Z/2Z, Z/3Z und Z/5Z Körper sind, nicht aber Z/4Z.<br />
Übung 1.1.5. Verifiziere, dass für alle (a, b), (c, d), (e, f) ∈ C gilt:<br />
1. Kommutativität: (a, b) · (c, d) = (c, d) · (a, b),<br />
2. Assoziativität: ( (a, b) · (c, d) ) · (e, f) = (a, b) · ((c,<br />
d) · (e, f) ) ,<br />
3. Existenz eines neutralen Element: (1, 0) · (a, b) = (a, b) · (1, 0) = (a, b).<br />
Übung 1.1.6. Sei eine komplexe Zahl (a, b) ∈ C gegeben mit (a, b) ≠ (0, 0). Bestimme eine<br />
komplexe Zahl (a ′ , b ′ ) ∈ C, so dass<br />
(a, b) · (a ′ , b ′ ) = (1, 0)<br />
gilt. Ist (a ′ , b ′ ) eindeutig bestimmt? Gilt auch (a ′ , b ′ ) · (a, b) = (1, 0) ?<br />
1.2 Der Gaußalgorithmus<br />
In diesem Abschnitt geben wir ein konstruktives Verfahren zur Bestimmung<br />
von Lösungsmengen beliebig großer Systeme von linearen Gleichungen an. Die notationellen<br />
Vereinfachungen dieser Lösungsmethode werden unser Einstieg in die<br />
Matrizenrechnung sein. Wir beginnen mit einer präzisen Formulierung der zu behandelnden<br />
Gleichungssysteme.<br />
Definition 1.2.1. Sei K ein Körper. Eine lineare Gleichung über K ist eine Gleichung<br />
der Form<br />
a 1 x 1 + . . . + a n x n = b.<br />
(LG)<br />
Dabei sind a 1 , . . . a n , b ∈ K als bekannt vorausgesetzte Zahlen, die man die Koeffizienten<br />
der Gleichung nennt, und x 1 , . . . , x n die Unbekannten. Ein lineares<br />
Gleichungssystem ist eine endliche Menge von linearen Gleichungen:<br />
a 11 x 1 + . . . + a 1n x n = b 1<br />
.<br />
. .<br />
a m1 x 1 + . . . + a mn x n = b m .<br />
(LGS)<br />
Die Lösungsmenge von (LGS) ist die Menge<br />
{(x 1 , . . . , x n ) ∈ K n | die x 1 , . . . , x n erfüllen (LGS)},<br />
wobei K n einfach die Menge aller n-Tupel (x 1 , . . . , x n ) mit x j ∈ K für j = 1, . . . , n<br />
bezeichnet (siehe auch Seite 14).<br />
Wir beginnen unsere systematische Lösungstheorie für (LGS) mit einer Diskussion<br />
des Falls einer einzigen Gleichung, d.h. (LG).<br />
Bemerkung 1.2.2. Eine einzelne lineare Gleichung (LG) lässt sich wie folgt lösen:<br />
1. Fall: a 1 = . . . = a n = 0 und b = 0. In diesem Fall lösen alle x 1 , . . . , x n ∈ K die<br />
Gleichung.<br />
4 Addition und Multiplikation von Restklassen
28 1 Lineare Gleichungssysteme<br />
2. Fall: a 1 = . . . = a n = 0 und b ≠ 0. In diesem Fall löst keine Wahl von x 1 , . . . , x n<br />
die Gleichung.<br />
3. Fall: Nicht alle a j sind Null. Sei a m , 1 ≤ m ≤ n, der erste von Null verschiedene<br />
Koeffizient.<br />
0x 1 + . . . + 0x m−1 + a m x m + . . . + a n x n = b<br />
In diesem Fall wähle x m+1 , . . . , x n beliebig:<br />
und setze<br />
0x 1 + . . . + 0x m−1 + a m x m + a m+1 x m+1 + . . . + a n x n = b,<br />
x m := 1<br />
a m<br />
(b − a m+1 x m+1 − . . . − a n x n ).<br />
Die Wahl der x 1 , . . . , x m−1 hat auf die Gleichung keinen Einfluß.<br />
Das Ergebnis ist: Wählt man x 1 , . . . , x m−1 , x m+1 , . . . , x n beliebig und setzt x m<br />
wie in (∗), dann hat man alle Lösungen von (LG).<br />
(∗)<br />
⊓⊔<br />
Algorithmus 1.2.3 (Gaußalgorithmus, erste Version). Der Gaußalgorithmus<br />
ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen über Körpern:<br />
Gegeben sei ein Körper K und ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit a ij , b i ∈ K<br />
für i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n. Die Idee hinter dem Algorithmus ist, sukzessiv<br />
Unbekannte aus den Gleichungen zu eliminieren, bis man entweder nur noch<br />
eine Unbekannte hat, oder aber erkennt, dass die Unbekannten keine Bedingungen<br />
erfüllen müssen.<br />
1. Schritt: Wenn gilt a 1j = . . . = a mj = 0, dann muss x j keine Bedingung erfüllen,<br />
d.h. x j ist frei wählbar. Seien N := {j ∈ {1, . . . , n} | (∀i = 1, . . . , m) a ij = 0}<br />
(Nullspalten) und U := {1, . . . , n} \ N (nicht-Nullspalten). Streiche alle<br />
Nullspalten.<br />
Ergebnis:<br />
a 1j1 x j1 + . . . + a 1ju x ju = b 1<br />
a 2j1 x j1 + . . . + a 2ju x ju = b 2<br />
(∗ 1 )<br />
.<br />
. .<br />
a mj1 x j1 + . . . + a mju x ju = b m<br />
Nach diesem Schritt gibt es keine Nullspalten mehr, die neue erste Spalte ist<br />
die j 1 -te Spalte, wobei U = {j 1 , . . . , j u } (der Grösse nach geordnet).<br />
2. Schritt: Sei a pj1 der erste von Null verschiedene Koeffizient in der (neuen) ersten<br />
Spalte. Dann vertausche die erste mit der p-ten Zeile.<br />
Ergebnis:<br />
a ′ 1j 1<br />
x j1 + . . . + a ′ 1j u<br />
x ju = b ′ 1<br />
a ′ 2j 1<br />
x j1 + . . . + a ′ 2j u<br />
x ju = b ′ 2<br />
(∗ 2 )<br />
.<br />
. .<br />
a ′ mj 1<br />
x j1 + . . . + a ′ mj u<br />
x ju = b ′ m<br />
Nach diesem Schritt ist der erste Koeffizient in der ersten Zeile von Null verschieden.
1.2 Der Gaußalgorithmus 29<br />
3. Schritt: Teile jeden Koeffizienten in der ersten Zeile durch den ersten Koeffizienten.<br />
Ergebnis:<br />
x j1 + a′ 1j 2<br />
a ′ 1j 1<br />
}{{}<br />
a ′′<br />
1j 2<br />
x j2 + . . . + a′ 1j u<br />
a ′ 1j 1<br />
}{{}<br />
a ′′<br />
1ju<br />
x ju = b′ 1<br />
a ′ 1j 1<br />
}{{}<br />
b ′′<br />
1<br />
Nach diesem Schritt ist der erste Koeffizient in der ersten Zeile gleich 1.<br />
4. Schritt: Subtrahiere von der i-ten Zeile a ′ ij 1<br />
-mal die erste Zeile (i ≥ 2).<br />
Ergebnis:<br />
x j1 + a ′′<br />
1j 2<br />
x j2 + . . . + a ′′<br />
1j u<br />
x ju = b ′′<br />
1<br />
a ′′<br />
2j 2<br />
x j2 + . . . + a ′′<br />
2j u<br />
x ju = b ′′<br />
2<br />
.<br />
. .<br />
a ′′ mj 2<br />
x j2 + . . . + a ′′ mj u<br />
x ju = b ′′ m<br />
Beachte, dass jeder der vier Schritte rückgängig gemacht werden kann, d.h., keine<br />
Information wurde verschenkt. Genauer, wenn (x j1 , . . . , x ju ) eine Lösung von<br />
(∗ 4 ) ist, dann ist (x 1 , . . . , x n ) für beliebige x j mit j ∈ N eine Lösung von (LGS)<br />
und umgekehrt ist für jede Lösung (x 1 , . . . , x n ) von (LGS) auch (x j1 , . . . , x ju )<br />
eine Lösung von (∗ 4 ). Nochmal anders ausgedrückt: Alle vier Schritte lassen die<br />
Lösungsmenge unverändert 5 .<br />
Iteration: Wenn man jetzt das System<br />
(∗ 4 )<br />
a ′′<br />
2j 2<br />
x j2 + . . . + a ′′<br />
2j u<br />
x ju = b ′′<br />
2<br />
.<br />
. .<br />
a ′′ mj 2<br />
x j2 + . . . + a ′′ mj u<br />
x ju = b ′′ m<br />
(∗∗)<br />
lösen kann, dann erhält man zu jeder Lösung (x j2 , . . . , x ju ) von (∗∗) genau eine<br />
Lösung (x j1 , . . . , x ju ) von (∗ 4 ), indem man die erste Zeile von (∗ 4 ) nach x j1<br />
auflöst, d.h.<br />
x j1 = b ′′<br />
1 − (a ′′<br />
1j 2<br />
x j2 + . . . + a ′′<br />
1j u<br />
x ju ).<br />
Also wiederholt man die Schritte 1 bis 4 für das kleinere System (∗∗).<br />
⊓⊔<br />
Wenn man das System (∗∗) im Iterationsschritt betrachtet, erkennt man, warum<br />
man am Anfang den banal erscheinenden Schritt des Nullspaltenstreichens 6 in den<br />
5 An dieser Stelle ist zu zeigen, dass die linearen Gleichungssysteme vor und nach dem<br />
jeweiligen Schritt die gleichen Lösungsmengen haben. Für den 3. Schritt kann man das<br />
wie folgt machen: Wenn (x j1 , . . . , x ju ) die Gleichung<br />
a ′ 1j 1<br />
x j1 + a ′ 1j 2<br />
+ . . . + a ′ 1j u<br />
x ju = b ′ 1<br />
(∗)<br />
löst, dann gilt<br />
x j1 + a′ 1j 2<br />
a ′ 1j 1<br />
x j2 + . . . + a′ 1j u<br />
a ′ 1j 1<br />
x ju = b′ 1<br />
a ′ 1j 1<br />
.<br />
Umgekehrt, wenn (x j1 , . . . , x ju ) die Gleichung (∗∗) löst, dann gilt auch (∗). Damit sind<br />
die Lösungsmengen dieser beiden Gleichungen identisch und weil die anderen Gleichungen<br />
des Systems sich im 3. Schritt nicht ändern, ist der Beweis komplett. Die entsprechenden<br />
Nachweise für die anderen Schritte sind dem Leser als Übung überlassen.<br />
6 Wer würde schon ein Gleichungssystem so aufstellen, in dem gewisse Variablen nur mit<br />
Nullen als Koeffizienten vorkommen?<br />
(∗∗)
30 1 Lineare Gleichungssysteme<br />
Algorithmus aufgenommen hat: In (∗∗) können nämlich durch die vorhergegangenen<br />
Schritte sehr wohl Nullspalten entstanden sein.<br />
Beispiel 1.2.4.<br />
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5<br />
4x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 7x 4 = 8<br />
3x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 7<br />
0x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4<br />
❀<br />
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5<br />
− 3x 2 − 6x 3 − 9x 4 = −12<br />
− 2x 2 − 4x 3 − 6x 4 = −8<br />
x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4<br />
❀<br />
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5<br />
x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4<br />
− 2x 2 − 4x 3 − 6x 4 = −8<br />
x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4<br />
❀<br />
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5<br />
x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4<br />
0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 0<br />
0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 0<br />
Also kann man x 3 und x 4 frei wählen und berechnet dann x 2 und x 1 wie folgt:<br />
x 2 berechnen: x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4 liefert x 2 = 4 − 2x 3 − 3x 4 .<br />
x 1 berechnen: x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5 liefert x 1 = −3 + x 3 + 2x 4<br />
Die Lösungsmenge ist also<br />
{(−3 + x 3 + 2x 4 , 4 − 2x 3 − 3x 4 , x 3 , x 4 ) ∈ R 4 | x 3 , x 4 ∈ R}.<br />
⊓⊔<br />
Im Prinzip hat man das Problem, die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme<br />
zu bestimmen, mit dem Algorithmus 1.2.3 gelöst: Jedes lineare Gleichungssystem<br />
lässt sich mit dem Gaussalgorithmus lösen, sofern eine Lösung existiert. Allerdings<br />
kann man den Algorithmus noch erheblich ökonomischer formulieren und dabei<br />
zusätzliche Einsichten gewinnen, die für die weitere Entwicklung der Linearen Algebra<br />
wichtig sind.<br />
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema der Form<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 . . . a 1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . ⎠ .<br />
a m1 . . . a mn<br />
Die a i1 , . . . , a in für i = 1, . . . , m heißen die Zeilen der Matrix und die<br />
⎛ ⎞<br />
a 1j<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎟<br />
. ⎠<br />
a mj<br />
für j = 1, . . . , n die Spalten der Matrix.<br />
Wir führen einige neue Bezeichnungen für die Daten eines linearen Gleichungssystems<br />
(LGS) ein. Die Matrizen<br />
⎛<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
a 11 a 12 . . . a 1n<br />
.<br />
⎟<br />
. . ⎠<br />
a m1 a m2 . . . a mn<br />
und<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
a 11 a 12 . . . a 1n b 1<br />
⎟<br />
. . . . ⎠<br />
a m1 a m2 . . . a mn b m
1.2 Der Gaußalgorithmus 31<br />
heißen die Koeffizientenmatrix bzw. die erweiterte Koeffizientenmatrix von<br />
(LGS).<br />
Um die verschiedenen Schritte im Gaußalgorithmus 1.2.3 effizient beschreiben<br />
zu können, betrachtet man für eine Matrix die folgenden elementaren Zeilenumformungen<br />
7 .<br />
Definition 1.2.5 (Elementare Zeilenumformungen).<br />
Typ I(p, q): Vertauschen zweier Zeilen (p) und (q).<br />
Typ II(p; c): Multiplikation einer Zeile (p) mit c ≠ 0.<br />
Typ III(c, p; q): Addition des c-fachen einer Zeile (p) zu einer anderen Zeile (q).<br />
Die elementaren Zeilenumformungen lassen sich durch ebensolche Umformungen<br />
wieder rückgängig machen, d.h. invertieren:<br />
I(p, q) invertiert I(p, q).<br />
II(p; c −1 ) invertiert II(p; c).<br />
III(−c, p; q) invertiert III(c, p; q).<br />
Proposition 1.2.6. Zwei lineare Gleichungssysteme, deren erweiterte Koeffizientenmatrizen<br />
durch eine elementare Zeilenumformung auseinander hervorgehen, haben<br />
dieselben Lösungsmengen.<br />
Beweis. Für die Umformungen vom Typ I(p, q) ist das trivial und die Umformungen<br />
vom Typ II(p; c) wurden in Fußnote 5 behandelt. Der Fall der Umformungen vom<br />
Typ III(c, p; q) sei den Lesern als Übung überlassen.<br />
⊓⊔<br />
Mithilfe von Koeffizientenmatrix und elementaren Zeilenumformungen lässt sich<br />
der Gaußalgorithmus wie folgt darstellen:<br />
Algorithmus 1.2.7 (Gaußalgorithmus, zweite Version).<br />
1.Schritt: Streiche alle Spalten, die nur aus Nullen bestehen. Die übrig bleibenden<br />
Spalten seien j 1 < . . . < j u .<br />
Ergebnis:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
a 1j1 a 1j2 . . . a 1ju b 1<br />
⎟<br />
. . . . ⎠<br />
a mj1 a mj2 . . . a mju b m<br />
2.Schritt: Wenn a pj1 ≠ 0 und a ij1 = 0 für i < p, dann I(1, p).<br />
Ergebnis:<br />
⎛<br />
a ′ 1j 1<br />
a ′ 1j 2<br />
. . . a ′ 1j u<br />
b ′ ⎞<br />
1<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . . . ⎠<br />
a ′ mj 1<br />
a ′ mj 2<br />
. . . a ′ mj u<br />
b ′ m<br />
7 Selbstverständlich lassen sich auch die analogen elementare Spaltenumformungen<br />
betrachten, aber die werden im Moment noch nicht gebraucht.
32 1 Lineare Gleichungssysteme<br />
3.Schritt: II(1;<br />
1<br />
a ′ 1j 1<br />
).<br />
Ergebnis:<br />
⎛<br />
1 a ′′<br />
1j 2<br />
. . . a ′′<br />
1j u<br />
b ′′ ⎞<br />
1<br />
a ′ 2j 1<br />
a ′ 2j 2<br />
. . . a ′ 2j u<br />
b ′ 2<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . . . ⎠<br />
a ′ mj 1<br />
a ′ mj 2<br />
. . . a ′ mj u<br />
b ′ m<br />
4.Schritt: III(−a ′ ij 1<br />
, 1; i), i = 2, . . . , m.<br />
Ergebnis:<br />
⎛<br />
1 a ′′<br />
1j 2<br />
. . . a ′′<br />
1j u<br />
b ′′ ⎞<br />
1<br />
0 a ′′<br />
2j 2<br />
. . . a ′′<br />
2j u<br />
b ′′<br />
2<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . . . ⎠<br />
0 a ′′ mj 2<br />
. . . a ′′ mj u<br />
b ′′ m<br />
Iteration: Starte das Verfahren mit<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
a ′′<br />
2j 2<br />
. . . a ′′<br />
2j u<br />
b ′′<br />
2<br />
.<br />
. . .<br />
a ′′ mj 2<br />
. . . a ′′ mj u<br />
b ′′ m<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 1.2.8. (i)<br />
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5<br />
4x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 7x 4 = 8<br />
3x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 6x 4 = 7<br />
0x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5<br />
⎜ 4 5 6 7 8<br />
⎟<br />
⎝ 3 4 5 6 7 ⎠ ❀ ⎜ 0 −3 −6 −9 −12<br />
⎟<br />
⎝ 0 −2 −4 −6 −8 ⎠ ❀ ⎜ 0 1 2 3 4<br />
⎟<br />
⎝ 0 −2 −4 −6 −8 ⎠ ❀ ⎜ 0 1 2 3 4<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 0 0 ⎠<br />
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0<br />
und man fährt fort wie in Beispiel 1.2.4.<br />
(ii)<br />
ix 1 + 3x 2 = −1<br />
3x 1 − ix 2 = 2<br />
( ) ( ) ( )<br />
i 3 −1 1 −3i i 1 −3i i<br />
❀<br />
❀<br />
❀<br />
3 −i 2 3 −i 2 0 8i 2 − 3i<br />
führt auf x 2 = − 3 8 − 1 4 i und x 1 = i + 3ix 2 = 3 4 − 1 8 i.<br />
( )<br />
1 −3i i<br />
0 1 − 3 8 − 1 4 i<br />
⊓⊔<br />
Der erste Schritt des Gaußalgorithmus (Streichen der Nullspalten) kann bei der<br />
Iteration zu Verwirrung führen, weil man ständig die Variablenanzahl ändern muss.<br />
Darum schleppt man oft die Nullspalten mit, übergeht sie aber im Algorithmus. Als<br />
Ergebnis des Gaußalgorithmus 1.2.7 erhält man eine Matrix im selben Format wie<br />
die erweiterte Koeffizientenmatrix des ursprünglichen (LGS). Genauer, man findet<br />
die folgende Proposition:
1.2 Der Gaußalgorithmus 33<br />
Proposition 1.2.9. Jede (Koeffizienten-) Matrix lässt sich durch elementare Zeilenumformungen<br />
auf eine Zeilenstufenform bringen:<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 · · · 0 1 ∗ · · · · · · · · · · · · · · · · · · ∗ · · ·<br />
. . 0 0 · · · 0 1 ∗ · · · · · · ∗ · · ·<br />
. .<br />
. . . . . .<br />
. . 0 0 · · · 0 1 · · ·<br />
. . . . . . . . 0 · · ·<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . . . . . . . . . ⎠<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 · · ·<br />
Die Stellen einer Matrix in Zeilenstufenform, an denen in einer Zeile zum ersten<br />
Mal eine 1 steht, nennen wir die Stufen der Matrix. Die Anzahl der Spalten, die man<br />
von einer Stufe aus nach links gehen muss, um eine Zeile höher die vorhergehende<br />
Stufe zu finden, heißt die Stufenlänge der Stufe. Die Stufenlänge ist 1, falls die<br />
erste Spalte des betreffenden Iterationsschritts keine Nullspalte ist. Auf jeden Fall<br />
ist die Anzahl der Stufen kleiner gleich der Anzahl der Zeilen bzw. der Spalten (je<br />
nach dem, was kleiner ist).<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 1.2.10. Betrachte jetzt ein lineares Gleichungssystem (LGS) und<br />
bringe die erweiterte Koeffizientenmatrix durch elementare Zeilenumformungen auf<br />
Zeilenstufenform (vgl. Proposition 1.2.9). Seien s 1 < . . . s k die Nummern der Spalten,<br />
in denen eine Stufe vorkommt, d.h. a lsl = 1 und a ij = 0 für (i, j) ≠ (l, s l ) mit<br />
i ≥ l und j ≤ s l . In anderen Worten links unterhalb der Eins stehen Nullen.<br />
Aus einer erweiterten Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform lassen sich verschiedene<br />
Informationen über die Lösungsmenge des zugehörigen 8 (LGS), sofort<br />
ablesen:<br />
Lösbarkeit: Das System (LGS) ist dann und nur dann lösbar, wenn s k ≤ n. In<br />
anderen Worten, wenn h die Anzahl der Stufen der Zeilenstufenform der Koeffizientenmatrix<br />
ist und k die Anzahl der Stufen der Zeilenstufenform der erweiterten<br />
Koeffizientenmatrix, dann muss für die Lösbarkeit von (LGS) gelten<br />
h = k. Um das einzusehen, nehmen wir an, dass s k = n + 1, d.h. in der letzten<br />
Spalte gibt es eine Stufe. Dann hat man die Gleichung<br />
0x 1 + . . . + 0x n = 1<br />
zu lösen, was offensichtlich nicht geht. Umgekehrt, wenn s k ≤ n, dann ist jede<br />
Gleichung des Systems entweder von der Form 0 = 0 oder von der Form<br />
x j + a j+1 x j+1 + . . . + a n x n = b i ,<br />
was für beliebige x j+1 , . . . , x n mit passendem x j gelöst werden kann.<br />
Bestimmung der Lösungsmenge: Wir nehmen jetzt an, dass das (LGS) in Zeilenstufenform<br />
gegeben ist und s k ≤ n. Ziel ist es, diejenigen (x 1 , . . . , x n ) zu<br />
bestimmen, die Lösungen von (LGS) sind.<br />
(A) Alle x j mit j ∉ S := {s 1 , . . . , s k } sind frei wählbar (in K).<br />
8 und damit aller (LGS) aus deren erweiterter Koeffizientenmatrix diese Zeilenstufenform<br />
durch elementare Zeilenumformungen gewonnen werden kann
34 1 Lineare Gleichungssysteme<br />
(B) Die Zahlen x s1 , . . . , x sk<br />
müssen dann das Gleichungssystem<br />
x s1 + a 1,s1+1x s1+1 + . . . + a 1,n x n = b 1<br />
x s2 + a 2,s2+1x s2+1 + . . . + a 1,n x n = b 2<br />
x sk + a k,sk +1x sk +1 + . . . + a 1,n x n = b k<br />
lösen (alle anderen Zeilen von (LGS) liefern nur Nullen und keine Bedingungen).<br />
Das lässt sich von unten nach oben bewerkstelligen:<br />
1. Schritt: Da keine der Spalten s k + 1, . . . , n eine Stufe enthält, sind alle<br />
x j mit j = s k + 1, . . . , n schon in (A) bestimmt worden (durch freie<br />
Wahl). Die Zahl x sk wird dann eindeutig durch die Gleichung<br />
x sk = b k − (a k,sk +1x sk +1 + . . . + a 1,n x n )<br />
festgelegt.<br />
2. Schritt: Da mit Ausnahme von s k keine der Spalten s k−1 + 1, . . . , n eine<br />
Stufe enthält, sind alle x j mit j = s k−1 + 1, . . . , n schon entweder in (A)<br />
(durch freie Wahl) oder in Schritt B.1 bestimmt worden. Die Zahl x sk−1<br />
wird dann eindeutig durch die Gleichung<br />
festgelegt.<br />
x sk−1 = b k−1 − (a k−1,sk−1 +1x sk−1 +1 + . . . + a 1,n x n )<br />
.<br />
k. Schritt: Da mit Ausnahme von s 2 , . . . , s k keine der Spalten s 1 +1, . . . , n<br />
eine Stufe enthält, sind alle x j mit j = s 1 + 1, . . . , n schon entweder<br />
in (A) (durch freie Wahl) oder in den Schritten (B.1) bis (B.(k − 1))<br />
bestimmt worden. Die Zahl x s1 wird dann eindeutig durch die Gleichung<br />
x s1 = b 1 − (a 1,s1+1x s1+1 + . . . + a 1,n x n )<br />
festgelegt.<br />
Zusammen liefern (A) und (B) alle möglichen Lösungen von (LGS).<br />
Nicht-triviale Lösungen: Wenn b i = 0, i = 1, . . . , m, dann ist (LGS) immer<br />
lösbar, weil in diesem Fall in der letzten Spalte der erweiterten Koeffizientenmatrix<br />
keine Stufe sein kann. Es ist z.B. (0, . . . , 0) eine Lösung. Wenn n > m<br />
(mehr Unbekannte als Gleichungen), dann ist n − k ≥ n − m > 0 und es existieren<br />
auch von Null verschiedene Lösungen, weil S eine echte Teilmenge von<br />
{1, . . . , n} sein muss.<br />
.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 1.2.11. Wenn die erweiterte Koeffizientenmatrix von (LGS) durch<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
⎜ 0 0 0 1 2 3 4<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 0 0 1 2 ⎠<br />
0 0 0 0 0 0 0<br />
gegeben ist, dann gilt k = 3, n = 6 und s 1 = 2, s 2 = 4, s 3 = 6. Dementsprechend<br />
gilt
x 6 = 2<br />
x 5 = frei zu wählen<br />
x 4 = 4 − (2x 5 + 3x 6 )<br />
x 3 = frei zu wählen<br />
x 2 = 6 − (2x 3 + 3x 4 + 4x 5 + 5x 6 )<br />
x 1 = frei zu wählen<br />
1.2 Der Gaußalgorithmus 35<br />
Wir führen noch eine abkürzende Schreibweise für das lineare Gleichungssystem<br />
(LGS) ein:<br />
n∑<br />
a ij x j = b i , i = 1, . . . , m. (LGS)<br />
j=1<br />
Dabei symbolisiert das Zeichen ∑ den griechischen Buchstaben Σ (Sigma) und<br />
steht für Summe: ∑ k<br />
j=1 a j = a 1 + . . . + a k . Das lineare Gleichungssystem<br />
n∑<br />
a ij x j = 0, i = 1, . . . , m (HLGS)<br />
j=1<br />
heisst das zu (LGS) gehörige homogene lineare Gleichungssystem. Das System<br />
(LGS) heisst selbst homogen, wenn b i = 0 für alle i = 1, . . . , m.<br />
⊓⊔<br />
Proposition 1.2.12. Sei (y 1 , . . . , y n ) eine Lösung von (LGS). Dann erhält man<br />
alle Lösungen von (LGS), indem man zu (y 1 , . . . , y n ) alle Lösungen des zugehörigen<br />
homogenen Systems (HLGS) addiert (komponentenweise).<br />
Beweis.<br />
Also gilt<br />
n∑<br />
a ij y j = b i , i = 1, . . . , m.<br />
j=1<br />
n∑<br />
a ij z j = b i für i = 1, . . . , m genau dann, wenn<br />
j=1<br />
n ∑<br />
j=1<br />
a ij (z j − y j ) = 0 für<br />
i = 1, . . . , m. Letzteres heißt aber gerade, dass (x 1 , . . . , x n ) mit x j = z j − y j eine<br />
Lösung des homogenen Systems (HLGS) ist.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 1.2.13. Betrachte das (LGS)<br />
x 1 + x 2 + x 3 = 1<br />
x 1 − x 2 + x 3 = 0<br />
x 1 + x 3 = 1 2<br />
Der Gaußalgorithmus 1.2.7 liefert<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1<br />
⎝ 1 −1 1 0 ⎠ ❀ ⎝ 0 −2 0 −1 ⎠ ❀ ⎝<br />
1<br />
0 1 0 ⎠<br />
1 0 1 1 2<br />
0 −1 0 − 1 2<br />
❀ ⎝ 0 1 0 1 ⎠<br />
2<br />
0 −1 0 − 1 2<br />
2<br />
0 0 0 0<br />
d.h. wir erhalten das (LGS)<br />
x 1 + x 2 +x 3 = 1<br />
x 2 = 1 2
36 1 Lineare Gleichungssysteme<br />
Eine Lösung ist durch x 2 = 1 2 , x 1 = 1 2<br />
und x 3 = 0 gegeben. Das resultierende<br />
(HLGS)<br />
x 1 + x 2 +x 3 = 0<br />
x 2 = 0<br />
liefert die Bedingungen x 2 = 0 und x 1 + x 3 = 0. Wählt man x 3 = r ∈ R beliebig, so<br />
sieht man, dass die Lösungen von (HLGS) alle die Form (r, 0, −r) mit beliebigem<br />
r ∈ R haben. Aus der Summe der Lösungen des homogenen Systems und der speziellen<br />
Lösung ( 1 2 , 1 2<br />
, 0) für das inhomogene System ergibt sich die Lösungsmenge des<br />
inhomogenen Systems als {( 1 2 + r, 1 2<br />
, −r) | r ∈ R}.<br />
⊓⊔<br />
Übungen zu Abschnitt 1.2<br />
Übung 1.2.1. Man stelle fest, ob die folgenden Gleichungssysteme in R n eine Lösung haben<br />
und gebe diese gegebenenfalls an:<br />
a)<br />
x 1 − x 2 + 2x 3 = 1<br />
2x 1 + x 2 − x 3 = 0<br />
3x 1 + x 3 = 2<br />
b)<br />
c)<br />
2x 1 − 3x 2 + x 3 = 0<br />
x 1 + x 2 − x 3 = 0<br />
5x 1 − 5x 2 + x 3 = 0<br />
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 4<br />
x 1 + x 2 + x 3 − x 4 − x 5 − x 6 = 2<br />
x 1 − x 2 + x 3 − x 4 + x 5 − x 6 = 2<br />
Übung 1.2.2. Man löse, soweit möglich, die folgenden Gleichungssysteme:<br />
a)<br />
x 1 + x 2 + x 3 = 2<br />
2x 1 + 4x 2 − 4x 3 = 4<br />
3x 1 + x 2 + 3x 3 = 0<br />
b)<br />
c)<br />
x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 12<br />
2x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 4<br />
5x 1 + 10x 2 + 11x 3 = 9<br />
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14<br />
2x 1 + 2x 2 − 4x 3 + 5x 4 = 20<br />
5x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 5x 4 = 50<br />
d) Wie lautet die Lösung von c), wenn x 1, . . . , x 4 ∈ Z gelten soll?<br />
Übung 1.2.3. Man löse, soweit möglich, das folgende Gleichungssystem:<br />
4x 1 + 2x 2 + 2x 3 − x 4 − 3x 5 − 9x 6 − 4x 7 − 10x 8 = 2<br />
− 2x 2 − 2x 3 − x 4 + 4x 5 + 12x 6 + 4x 7 − 2x 8 = −16<br />
x 1 + x 2 + x 3 − 5x 5 − 15x 6 − 2x 7 − 2x 8 = 11<br />
9x 1 + 3x 2 + 3x 3 − 3x 4 − 3x 5 − 9x 6 − 6x 7 − 24x 8 = −9<br />
Übung 1.2.4. Gegeben sei das folgende vom Parameter t ∈ R abhängige lineare Gleichungssystem<br />
in R 3 :<br />
(2 − t)x 1 + 3x 2 − 6x 3 = 1<br />
3x 1 + (2 − t)x 2 − 6x 3 = 1<br />
−6x 1 − 6x 2 + (11 − t)x 3 = −2
1.2 Der Gaußalgorithmus 37<br />
(a) Man bestimme die Lösungsmenge des LGSs für t = −1.<br />
(b) Für welche t ∈ R ist das LGS eindeutig lösbar?<br />
(c) Für welche t ∈ R ist das zugehörige HLGS durch (x 1, x 2, x 3) ≠ (0, 0, 0) lösbar?<br />
Übung 1.2.5. Gegeben sei das folgende vom Parameter a ∈ R abhängige lineare Gleichungssystem<br />
in R 3 :<br />
ax 1 + 4x 2 + ax 3 = 1<br />
− 2x 2 + 4x 3 = 3<br />
2x 1 + ax 2 + 6x 3 = 4<br />
(a) Für welche a ∈ R ist das LGS lösbar?<br />
(b) Für welche a ∈ R ist das LGS eindeutig lösbar?<br />
(c) Für welche a ∈ R ist das zugehörige HLGS durch (x 1, x 2, x 3) ≠ (0, 0, 0) lösbar?<br />
Übung 1.2.6. Gegeben seien die folgenden Gleichungssysteme in R n :<br />
1)<br />
2)<br />
3x 1 − 2x 2 + x 3 = 1<br />
5x 1 − 4x 2 + 3x 3 = 2<br />
7x 1 − 6x 2 + 5x 3 = 3<br />
x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 1<br />
2x 1 + 5x 2 − 7x 3 − 5x 4 = −2<br />
2x 1 − x 2 + x 3 + 3x 4 = 4<br />
5x 1 + 2x 2 − 4x 3 + 2x 4 = 6<br />
(a) Man bestimme die Lösungsmengen der zugehörigen homogenen Systeme.<br />
(b) Man bestimme die Lösungsmengen der gegebenen Systeme.<br />
Übung 1.2.7. Gegeben seien die folgenden Gleichungssysteme in R n :<br />
1)<br />
2)<br />
2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 2<br />
3x 1 + 4x 2 + 5x 3 = −1<br />
x 1 + x 2 + x 3 = −3<br />
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 14<br />
2x 1 + 3x 2 − 4x 3 + 5x 4 = 20<br />
3x 1 − 2x 2 − 5x 3 + 2x 4 = −4<br />
5x 1 + 4x 2 + 30x 3 − 5x 4 = 25<br />
(a) Man bestimme die Lösungsmengen der zugehörigen homogenen Systeme.<br />
(b) Man bestimme die Lösungsmengen der gegebenen Systeme.<br />
Übung 1.2.8. Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem<br />
a 11x 1 + . . . + a 1nx n = b 1<br />
.<br />
.<br />
.<br />
a m1x 1 + . . . + a mnx n = b m.<br />
(LGS)<br />
mit a ij, b i ∈ K für 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Für 1 ≤ k < l ≤ m und λ ∈ K sei (LGS ′ ) das<br />
Gleichungssystem, das aus (LGS) hervorgeht durch Addition des λ-fachen der k-ten Zeile<br />
auf die l-te Zeile.<br />
1. Bestimme die Koeffizienten des linearen Gleichungssystems (LGS ′ ).<br />
2. Zeige, dass (x 1, . . . , x n) genau dann eine Lösung von (LGS) ist, wenn es eine Lösung<br />
von (LGS ′ ) ist.
38 1 Lineare Gleichungssysteme<br />
Übung 1.2.9. Es sei das folgende Gleichungssystem gegeben<br />
a 11x 1 + a 12x 2 = b 1<br />
a 21x 1 + a 22x 2 = b 2<br />
mit a 11, a 21, a 12, a 22, b 1, b 2 ∈ R. Wie sind a 11, a 21, a 12, a 22, b 1, b 2 zu wählen (nur Beispiele!),<br />
wenn das System keine, genau eine, bzw. unendliche viele Lösungen haben soll? Kann man<br />
auch erreichen, dass alle Paare (x 1, x 2) das System lösen?<br />
Übung 1.2.10. Bestimme mit Hilfe des Gaußalgorithmus (zweite Version) die Lösungsmenge<br />
des linearen Gleichungssystems<br />
x 1 − x 2 + x 3 = 1 ,<br />
− x 1 − x 2 + x 3 = 1 ,<br />
x 1 + x 2 − x 3 = 1 .<br />
Übung 1.2.11. Gegeben sei das folgenden Gleichungssysteme in R 3 :<br />
2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 3<br />
3x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 0<br />
x 1 + x 2 + x 3 = −3<br />
1. Man bestimme die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems.<br />
2. Man bestimme die Lösungsmenge des gegebenen Systems.<br />
Übung 1.2.12. Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem in R 3<br />
(2a − 1)x 1 + ax 2 + x 3 = 2 − a<br />
ax 1 + ax 2 + x 3 = 1<br />
x 1 + x 2 + ax 3 = 1<br />
Man bestimme die Lösungsmenge des LGSs in Abhängigkeit von dem Parameter a ∈ R.<br />
Übung 1.2.13. Lösen Sie folgendes LGS über den komplexen Zahlen und stellen Sie die<br />
Lösung in der Form (z 1, z 2, z 3) = (x 1 + i y 1, x 2 + i y 2, x 3 + i y 3) mit x k , y k ∈ R dar.<br />
z 1 + (2 + i)z 2 + i z 3 = 1<br />
(1 − i)z 1 + z 2 − 2i z 3 = 2 − i<br />
−z 1 + (2 + 3i)z 2 − i z 3 = 3<br />
Übung 1.2.14. Eine 4 × 4-Matrix heißt ein magisches Viereck, wenn die Summe der Einträge<br />
jeder Zeile, jeder Spalte und jeder der zwei Diagonalen dieselbe Zahl s ist. Man<br />
ersetzte die Sterne durch Zahlen, so dass folgende Matrix ein magisches Viereck wird:<br />
⎛ ⎞<br />
⋆ 2 ⋆ ⋆<br />
⎜⋆ ⋆ ⋆ 3<br />
⎟<br />
⎝1 ⋆ ⋆ ⋆⎠<br />
⋆ ⋆ 3 ⋆<br />
Übung 1.2.15. Ein Schokoladenfabikant kauft Restbestände an Schoko-Osterhasen auf,<br />
um diese zu Weihnachtsmännern umzuschmelzen. Vier Sorten von Osterhasen O 1, . . . , O 4<br />
sind erhältlich, die Kakao und Pflanzenfett in folgender Zusammensetzung enthalten:<br />
in % O 1 O 2 O 3 O 4<br />
K 2 17 32 8<br />
F 3 18 18 11<br />
Preis in 1 6 7 3<br />
e/kg<br />
Wie kauft der Fabrikant möglichst kostengünstig ein, wenn er Weihnachtsmänner mit dem<br />
Gesamtgewicht 15 kg mit 21 % Kakao und 17 % Pflanzenfett herstellen will?
1.3 Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten 39<br />
1.3 Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten<br />
Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen sind nicht irgendwelche Mengen,<br />
sondern sie haben eine spezielle Struktur, die sich sehr gut geometrisch interpretieren<br />
lässt. Wir illustrieren dies für homogene lineare Gleichungssysteme in dem<br />
besonders einfachen Fall von nur zwei Unbekannten. Die mögliche Zeilenstufenformen<br />
der Koeffizientenmatrix sehen dann wie folgt aus:<br />
a) Zwei Stufen:<br />
⎛ ⎞<br />
1 r<br />
0 1<br />
0 0<br />
⎜ .<br />
⎝ . . ⎟<br />
. ⎠<br />
0 0<br />
•<br />
Das HLGS hat die Form x 2 = 0, x 1 + rx 2 = 0, was auf die Lösungsmenge<br />
{(x 1 , x 2 ) ∈ K 2 | x 1 = 0 = x 2 } führt.<br />
b) Eine Stufe in der ersten Spalte:<br />
⎛ ⎞<br />
1 r<br />
0 0<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . . ⎠<br />
0 0<br />
✟ ✟✟✟✟✟ nicht horizontal!<br />
Hier ist x 2 frei wählbar und x 1 + rx 2 = 0 führt auf x 1 = −rx 2 . Also ist die<br />
Lösungsmenge {(x 1 , x 2 ) ∈ K 2 | x 1 = −rx 2 }.<br />
c) Eine Stufe in der zweiten Spalte:<br />
⎛ ⎞<br />
0 1<br />
0 0<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . . ⎠<br />
0 0<br />
Jetzt gilt x 2 = 0 und x 1 ist frei wählbar, d.h. die Lösungsmenge ist {(x 1 , x 2 ) ∈<br />
K 2 | x 2 = 0}.<br />
d) Keine Stufe:<br />
⎛ ⎞<br />
0 0<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . . ⎠<br />
0 0<br />
Hier sind x 2 und x 1 frei wählbar, d.h. die Lösungsmenge ist K 2 .
40 1 Lineare Gleichungssysteme<br />
Im Fall a) hat das zugehörige (HLGS) nur eine Lösung: (0, 0). Dagegen löst im<br />
Fall d) jedes Paar (x 1 , x 2 ) das (HLGS). Wir wollen die Lösungsmengen in den<br />
Fällen b) und c) geometrisch beschreiben. Es wird sich herausstellen, dass diese<br />
Lösungsmengen Geraden sind. Um präzise sagen zu können, was eine Gerade ist,<br />
führen wir zunächst den n-dimensionalen Zahlenraum ein:<br />
Definition 1.3.1. Sei K ein Körper. Dann heißt K n = {x = (x 1 , . . . , x n ) | x j ∈<br />
K, j = 1, . . . , n} der n-dimensionale Zahlenraum über K. Seine Elemente werden<br />
auch als Vektoren bezeichnet. Auf K n gibt es zwei Rechenoperationen, die<br />
(Vektor)Addition und die Multiplikation mit Skalaren (d.h. Elementen von K,<br />
die wir als Zahlen“ interpretieren).<br />
”<br />
Addition: (x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) := (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n )<br />
Multiplikation mit einem Skalar: c(x 1 , . . . , x n ) := (cx 1 , . . . , cx n )<br />
Es gelten folgende Rechenregeln, wie man unter Verwendung der Körperaxiome<br />
leicht verifiziert (Übung):<br />
(x + y) + z = x + (y + z) ∀x, y, z ∈ K n (Assoziativgesetz)<br />
x + y = y + x ∀x, y ∈ K n (Kommutativgesetz)<br />
c(x + y) = cx + cy<br />
∀x, y ∈ K n , c ∈ K (1. Distributivgesetz)<br />
(c + d)x = cx + dx ∀x ∈ K n , c, d ∈ K (2. Distributivgesetz)<br />
c(dx) = (cd)x<br />
∀x ∈ K n , c, d ∈ K<br />
1x = x<br />
0x = (0, . . . , 0) =: 0 ∈ K n<br />
x + 0 = x<br />
∀x ∈ K n<br />
x + (−1)x = 0<br />
∀x ∈ K n<br />
Wir betrachten die Lösungen eines linearen Gleichungssystems in n Variablen<br />
als Punkte in K n . Lösungsmengen sind also Teilmengen des K n . Die Menge L :=<br />
{v + tw ∈ K n | t ∈ K} mit fest gewählten v ∈ K n und w ∈ K n \ {0} heißt die affine<br />
Gerade durch v mit Richtungsvektor w.<br />
✡ ✡✡ + 2w<br />
✡ ✡✡✣•v<br />
✡ ✡<br />
✡ •v ✡<br />
✡✣ w<br />
✡<br />
✡ ✡ ✡<br />
Wenn v = 0, dann sagt man auch einfach L sei eine Gerade (ohne ”<br />
affin“).<br />
Bemerkung 1.3.2. Die Lösungsmengen der obigen homogenen linearen Gleichungssysteme<br />
lassen sich mithilfe der Vektor-Verknüpfungen wie folgt beschreiben:<br />
{0 + t(−r, 1) | t ∈ K} im Fall b)<br />
und<br />
{0 + t(1, 0) | t ∈ K} im Fall c).<br />
Insbesondere sind beide Lösungsmengen Geraden durch den Nullpunkt.<br />
⊓⊔
1.3 Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten 41<br />
Wir zeigen jetzt, dass jede Gerade durch den Nullpunkt als Lösungsmenge einer<br />
homogenen linearen Gleichung vorkommt.<br />
Proposition 1.3.3. Für L ⊂ K 2 sind folgende Aussagen äquivalent:<br />
(1) L ist eine Gerade durch den Nullpunkt.<br />
(2) L ist Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems (in zwei Unbekannten)<br />
mit einer Zeilenstufenform, in der genau eine Stufe vorkommt.<br />
(3) L ist Lösungsmenge einer homogenen linearen Gleichung a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 mit<br />
(a 1 , a 2 ) ≠ (0, 0).<br />
Beweis. ”<br />
(1) ⇒ (3)“: Sei L = {tw ∈ K 2 | t ∈ K} mit w = (w 1 , w 2 ) ≠ (0, 0). Dann<br />
erfüllt jedes x = (x 1 , x 2 ) ∈ L die Gleichung w 2 x 1 − w 1 x 2 = 0.<br />
” (3) ⇒ (2)“: Betrachte die Koeffizientenmatrix (a 1, a 2 ). Ihre Zeilenstufenform ist<br />
( 1 ∗<br />
)<br />
, wenn a1 ≠ 0, und<br />
(<br />
0 1<br />
)<br />
, wenn a1 = 0 (weil dann a 2 ≠ 0 gelten muss).<br />
Also hat man jeweils genau eine Stufe.<br />
” (2) ⇒ (1)“: Das wurde in Bemerkung 1.3.2 nachgewiesen. ⊓⊔<br />
Als Ergebnis halten wir fest: Die Lösungsmengen von homogenen linearen Gleichungssystemen<br />
in zwei Variablen sind entweder<br />
• der Nullpunkt,<br />
• eine Gerade durch den Nullpunkt, oder<br />
• die ganze Ebene.<br />
Nach Proposition 1.2.12 sind daher die Lösungen von beliebigen linearen Gleichungssystemen,<br />
wenn überhaupt welche existieren, entweder<br />
• ein Punkt,<br />
• eine affine Gerade, oder<br />
• die ganze Ebene.<br />
Umgekehrt zeigen Proposition 1.2.12 und Proposition 1.3.3, dass jeder Punkt, jede<br />
Gerade und die ganze Ebene jeweils Lösung eines linearen Gleichungssystems ist<br />
(vgl. Übung 1.3.1).<br />
Übungen zu Abschnitt 1.3<br />
Übung 1.3.1. Zeige, dass jede affine Gerade in R 2 die Lösungsmenge einer linearen Gleichung<br />
ist.<br />
Übung 1.3.2. Es sei das folgende Gleichungssystem gegeben<br />
a 11x 1 + a 12x 2 = b 1<br />
a 21x 1 + a 22x 2 = b 2<br />
mit a 11, a 21, a 12, a 22, b 1, b 2 ∈ R. Wie sind a 11, a 21, a 12, a 22, b 1, b 2 zu wählen (nur Beispiele!),<br />
wenn das System keine, genau eine, bzw. unendliche viele Lösungen haben soll? Kann man<br />
auch erreichen, dass alle Paare (x 1, x 2) das System lösen?
42 1 Lineare Gleichungssysteme<br />
Übung 1.3.3. Man stelle die Lösungsmengen der Gleichungen 2x+3y = 0 und 2x+3y = 6<br />
sowohl graphisch als auch im 2-dimensionalen Zahlenraum dar. Weiter zeige man, dass die<br />
Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung eine affine Gerade ist.<br />
Übung 1.3.4. Zwei verschiedene affine Geraden L = {v +tw : t ∈ R, v, w ∈ R 2 , w ≠ 0} und<br />
L ′ = {v ′ + tw ′ : t ∈ R, v ′ , w ′ ∈ R 2 , w ′ ≠ 0} haben keinen oder genau einen Schnittpunkt.<br />
Wie kann man das an den Vektoren v, w, v ′ , w ′ erkennen?<br />
Übung 1.3.5. Der Einfluß von Rundungsfehlern kann bei der Behandlung linearer Gleichungssysteme<br />
erheblich sein. Man berechne für ε > 0 jeweils die Lösungsmenge von<br />
(a)<br />
(b)<br />
(c)<br />
x + y = 2<br />
x + (1 + ε)y = 2 + ε,<br />
x + y = 2<br />
x + (1 + ε)y = 2,<br />
x + y = 2<br />
x + y = 2.<br />
Übung 1.3.6. Man zeige: Das lineare Gleichungssystem<br />
a x 1 + b x 2 = 0<br />
c x 1 + d x 2 = 0<br />
mit a, b, c, d ∈ K hat genau dann eine von (0, 0) verschiedene Lösung, wenn ad − bc = 0 ist.<br />
Übung 1.3.7. Man zeige, daß die affinen Geraden L = {v + tw ∈ R n | t ∈ R} und<br />
L ′ = {v ′ + sw ′ ∈ R n | s ∈ R} (mit v, v ′ ∈ R n und w, w ′ ∈ R n \ {0}) genau dann<br />
übereinstimmen, wenn v ′ ∈ L und w ′ = cw mit c ∈ R \ {0} gilt.<br />
Übung 1.3.8.<br />
Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem in R 3<br />
(2k − 1)x 1 + kx 2 + x 3 = 2 − k<br />
kx 1 + kx 2 + x 3 = 1<br />
x 1 + x 2 + kx 3 = 1<br />
(a) Man bestimme die Lösungsmenge des LGSs in Abhängigkeit von dem Parameter k ∈<br />
R.<br />
(b) Man bestimme eine Basis der Lösungsmenge des zugehörigen HLGSs in Abhängigkeit<br />
von dem Parameter k ∈ R.
2<br />
Lineare Unterräume des K n<br />
In diesem Kapitel entwickeln wir verschiedene neue Begriffe ( ”<br />
linearer Unterraum“,<br />
”<br />
lineare Unabhängigkeit“, ”<br />
linearer Spann“, ”<br />
Basis“, ”<br />
Dimension“ etc.),<br />
die man braucht um die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme möglichst effizient<br />
zu beschreiben. Diese Begriffe werden sich aber auch in anderen Kontexten<br />
als sehr nützlich erweisen.<br />
2.1 Lösungsräume homogener Gleichungssysteme<br />
In diesem Abschnitt beginnen wir mit einer genaueren Untersuchung der Lösungsmengen<br />
von homogenen linearen Gleichungssystemen. Dabei dienen die geometrischen<br />
Erkenntnisse aus Abschnitt 1.3 als Inspiration und Muster.<br />
Proposition 2.1.1. Sei<br />
j=1<br />
n∑<br />
a ij x j = 0, i = 1, . . . , m, ein homogenes lineares Gleichungssystem<br />
mit Lösungsmenge U.<br />
(a) Wenn v, w ∈ U, dann gilt v + w ∈ U.<br />
(b) Wenn v ∈ U, t ∈ K, dann gilt tv ∈ U.<br />
Beweis. Gegeben seien t, s ∈ K und v, w ∈ U. Man zeigt (a) und (b) gleichzeitig,<br />
wenn man zeigt, dass dann tv + sw ∈ U gilt.<br />
n∑<br />
a ij (tv j + sw j ) =<br />
j=1<br />
n∑<br />
ta ij v j +<br />
j=1<br />
n∑<br />
sa ij w j = t<br />
j=1<br />
n∑<br />
a ij v j<br />
j=1<br />
} {{ }<br />
= 0 nach Vor.<br />
+s<br />
n∑<br />
a ij w j<br />
j=1<br />
} {{ }<br />
= 0 nach Vor.<br />
= 0.<br />
⊓⊔<br />
Wir gießen die Eigenschaften von Lösungsmengen homogener linearer Gleichungssysteme<br />
in eine Definition, die gleichzeitig den Begriff einer Geraden (durch<br />
den Nullpunkt) verallgemeinert.<br />
Definition 2.1.2. Eine Teilmenge ∅ ≠ U ⊆ K n heißt linearer Unterraum, wenn<br />
gilt:<br />
a) Für alle u, v ∈ U gilt u + v ∈ U.<br />
(Abgeschlossenheit unter der Addition)
44 2 Lineare Unterräume des K n<br />
b) Für alle t ∈ K und u ∈ U gilt tu ∈ U.<br />
(Abgeschlossenheit unter Multiplikation mit Skalaren)<br />
Beispiel 2.1.3. (i) Die Mengen {0} und K n sind lineare Unterräume von K n . Man<br />
nennt sie die trivialen Unterräume.<br />
(ii) Jede Gerade in K n durch 0 ist ein linearer Unterraum.<br />
(iii) Jede Lösungsmenge eines (HLGS) in n Variablen ist nach Proposition 2.1.1 ein<br />
linearer Unterraum des K n .<br />
(iv) Der Schnitt von linearen Unterräumen ist selbst wieder ein linearer Unterraum.<br />
(v) Die Vereinigung von zwei linearen Unterräumen ist genau dann ein linearer<br />
Unterraum, wenn die beiden Räume ineinander enthalten sind (Übung).<br />
⊓⊔<br />
Einer der großen Vorteile der linearen Unterräume von K n ist der Umstand,<br />
dass wenige Elemente solcher Unterräume genügen, diese vollständig zu beschreiben.<br />
Letztendlich werden wir sehen, dass man lineare Unterräume immer aus endlich<br />
vielen Elementen rekonstruieren kann. Insbesondere kann man dann im Prinzip<br />
die vollständige Information über den Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems<br />
im Computer abspeichern, obwohl der Lösungsraum selbst unendlich<br />
viele Elemente enthält, falls dies für den Körper gilt.<br />
Wir nähern uns diesen Tatsachen zunächst dadurch an, dass wir studieren, wie<br />
man zu vorgegebenen Teilmengen A von K n den kleinstmöglichen linearen Unterraum<br />
baut, der diese Teilmenge enthält.<br />
Definition 2.1.4. Sei A ⊆ K n beliebige (nicht leere) Teilmenge. Die Menge<br />
{ k∑ ∣ }<br />
span(A) := c j a j ∈ K n ∣∣ k ∈ N, aj ∈ A, c j ∈ K<br />
j=1<br />
heißt der lineare Spann oder die lineare Hülle von A. Man sagt auch, A spannt<br />
span(A) auf oder A erzeugt span(A). Dementsprechend spricht man auch von A<br />
als einem Erzeugendensystem für span(A). Eine endliche Summe der Form<br />
v =<br />
k∑<br />
c j a j ∈ K n<br />
j=1<br />
heißt Linearkombination der a 1 , . . . , a k , d.h., der lineare Spann von A ist gerade<br />
die Menge der Linearkombinationen von Elementen aus A. Um lästige Fallunterscheidungen<br />
zu vermeiden, setzt man<br />
span(∅) := {0}.<br />
Die Setzung span(∅) := {0} lässt sich durch den folgenden Satz motivieren, weil<br />
{0} der kleinste Untervektorraum eines Vektorraum ist.<br />
Proposition 2.1.5. Sei A ⊆ K n . Dann ist span(A) der kleinste lineare Unterraum,<br />
der A enthält, d.h.<br />
(a) span(A) ist ein linearer Unterraum.<br />
(b) Wenn A ⊆ U und U ein linearer Unterraum ist, dann gilt span(A) ⊆ U.
∑<br />
Beweis. (a) Seien u = m ∑<br />
c j a j , v = k<br />
j=1<br />
2.1 Lösungsräume homogener Gleichungssysteme 45<br />
c ′ l a′ l<br />
l=1<br />
j=1<br />
l=1<br />
und t, s ∈ K. Dann gilt<br />
m∑<br />
k∑<br />
su + tv = sc j a j + tc ′ la ′ l ∈ span(A).<br />
(b) Seien u 1 , . . . , u k ∈ U, c 1 , . . . , c k ∈ K. Dann zeigt man mit Induktion über k,<br />
k∑<br />
dass c j u j ∈ U gilt. Insbesondere ist das für a 1 , . . . , a k ∈ A ⊆ U richtig, d.h.<br />
j=1<br />
span(A) ⊆ U.<br />
⊓⊔<br />
Wir listen einige Spezialfälle von Proposition 2.1.5 auf:<br />
Bemerkung 2.1.6. (i) Wenn A = {a 1 , . . . , a k }, dann schreiben wir span(a 1 , . . . , a k )<br />
statt span({a 1 , . . . , a k }).<br />
(ii) Sei e j ∈ K n der Vektor, der überall Nullen hat, nur an der j-ten Stelle eine 1:<br />
Dann gilt<br />
e j := (0, . . . , 0, 1<br />
}{{}<br />
j-te<br />
Stelle<br />
, 0, . . . , 0).<br />
span(e 1 , . . . , e k ) = {x ∈ K n | x = (x 1 , . . . , x n ) und x k+1 = . . . = x n = 0}<br />
für k ≤ n. Zum Beispiel haben wir in K 3 :<br />
e 1 = (1, 0, 0) e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)<br />
span(e 1 , e 2 ) = {c 1 e 1 + c 2 e 2 | c 1 , c 2 ∈ K}<br />
= {(c 1 , 0, 0) + (0, c 2 , 0) | c 1 , c 2 ∈ K}<br />
= {(c 1 , c 2 , 0) | c 1 , c 2 ∈ K}<br />
= {(c 1 , c 2 , c 3 ) | c 3 = 0}<br />
(iii) Seien U 1 , U 2 zwei lineare Unterräume in K n . Dann ist in der Regel U 1 ∪ U 2 ⊆ K n<br />
kein linearer Unterraum (vgl. Beispiel 2.1.3(v)).<br />
{ ∑<br />
m<br />
span(U 1 ∪ U 2 ) = c j a j<br />
+<br />
j=1 i=1<br />
} {{ }<br />
∈U 1<br />
k∑ ∣ }<br />
∣∣<br />
d i b i m, k ∈ N, cj , d i ∈ K, a j ∈ U 1 , b i ∈ U 2<br />
} {{ }<br />
∈U 2<br />
= {u 1 + u 2 | u 1 ∈ U 1 , u 2 ∈ U 2 }<br />
Man schreibt auch U 1 + U 2 für diese Menge und spricht von der Summe der<br />
beiden Unterräume.<br />
⊓⊔<br />
Beachte, dass sich A nicht aus span(A) zurückgewinnen lässt: Wenn man in der<br />
Notation von Bemerkung 2.1.6 hat A 1 = {e 1 , e 2 } und A 2 = {e 1 , e 2 , e 1 + e 2 }, dann<br />
gilt span(A 1 ) = K 2 = span(A 2 ).
46 2 Lineare Unterräume des K n<br />
Man schreibt die Elemente des n-dimensionalen Zahlenraums K n oft nicht in<br />
der Form (a 1 , . . . , a n ), d.h. als Zeilenvektoren, sondern in der Form<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
a 1<br />
.<br />
a n<br />
d.h. als Spaltenvektoren. Das nimmt mehr Platz weg, hat aber andere schreibtechnische<br />
Vorteile, die klar werden sobald man über Matrizenmultiplikation spricht.<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
Übungen zu Abschnitt 2.1<br />
Linearer Spann<br />
Übung 2.1.1. Man zeige die Richtigkeit der folgenden Aussagen für A, B ⊆ K n :<br />
(a) A = span(A) gilt genau dann, wenn A ein linearer Unterraum ist.<br />
(b) A ⊆ B impliziert span(A) ⊆ span(B).<br />
(c) span(A ∪ B) = span(A) + span(B).<br />
Übung 2.1.2. Seien A und B Teilmengen von K n . Man zeige: A ⊆ B impliziert span(A) ⊆<br />
span(B).<br />
Übung 2.1.3. Es seien<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 . . . a 1n<br />
⎜<br />
A =<br />
⎝<br />
.<br />
.<br />
a m1 . . . a mn<br />
⎟<br />
⎠ und B =<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 . . . a 1n b 1<br />
⎜<br />
⎝<br />
.<br />
⎟<br />
.<br />
. ⎠<br />
a m1 . . . a mn b m<br />
die Koeffizientenmatrix und die erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems.<br />
Dann sind<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
a 11 a 1n b 1<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎝<br />
. ⎠ , . . . ,<br />
⎟ ⎜<br />
⎝<br />
. ⎠ ,<br />
. ⎟<br />
⎝ .. ⎠<br />
a m1 a mn b m<br />
die Spaltenvektoren der erweiterten Koeffizientenmatrix. Beweise die Äquivalenz der<br />
folgenden Aussagen:<br />
(1) Das System ist lösbar.<br />
(2) span(A) = span(B). Dabei ist der lineare Spann span(M) einer Matrix M definiert<br />
als der lineare Spann der Spaltenvektoren von M.<br />
Übung 2.1.4. Gegeben seien die Vektoren<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
0<br />
λi<br />
z 1 = ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ , z2 = ⎜ λ<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ , z3 = ⎜<br />
⎝<br />
2i<br />
i<br />
λi<br />
λ<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
⎛<br />
z4 = ⎜<br />
⎝<br />
3<br />
0<br />
i<br />
−1 + 3i<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
z5 = ⎜ −1<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ ,<br />
λ<br />
aus C 4 , wobei λ ∈ C sei. Bestimme die Menge M = {λ ∈ C | span(z 1, . . . , z 5) ≠ C 4 }.<br />
Lineare Unterräume<br />
Übung 2.1.5. Man zeige, dass A = span(A) genau dann gilt, wenn A ein linearer Unterraum<br />
ist.
2.2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 47<br />
Übung 2.1.6. (a) Man zeige, daß der Schnitt von linearen Unterräumen stets wieder ein<br />
linearer Unterraum ist.<br />
(b) Seien U und V lineare Unterräume von R n . Man zeige, dass U ∪V nur dann ein linearer<br />
Unterraum von R n sein kann, wenn U ⊆ V oder V ⊆ U.<br />
Übung 2.1.7. Sei A ⊆ K n . Zeige<br />
span(A) = ⋂ {U ⊆ K n | A ⊆ U, U lin. Unterraum von K n }.<br />
Übung 2.1.8. Welche der folgenden Mengen sind lineare Unterräume von R 3 bzw. R 2 ?<br />
M 1 = {(x 1, x 2, x 3): x i ∈ R, x 3 = 0}.<br />
M 2 = {(x 1, x 2): x 1 ≠ x 2, x i ∈ R}.<br />
M 3 = {(x 1, x 2): x 1 + x 2 = 0, x i ∈ R}.<br />
M 4 = {(x 1, x 2): x 1 ∈ R, x 2 ∈ Z}.<br />
M 5 = {(x 1, x 2, x 3): x 1 = x 2 = x 3, x i ∈ R}.<br />
Übung 2.1.9. Welche der folgenden Mengen sind lineare Unterräume von R 2 bzw. R 3 ?<br />
1. M 1 = {(x 1, x 2) ∈ R 2 | x 1 · x 2 = 0},<br />
2. M 2 = {(x 1, x 2) ∈ R 2 | x 1 ≤ x 2},<br />
3. M 3 = {(x 1, x 2, x 3) ∈ R 3 | x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 0},<br />
4. M 4 = {(x 1, x 2, x 3) ∈ R 3 | 1 · x 1 + 2 · x 2 + 3 · x 3 = 0}.<br />
Man begründe die Antworten und skizziere die Mengen M 1 und M 2 in R 2 .<br />
2.2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit<br />
Wir arbeiten weiter an dem Projekt lineare Unterräume durch möglichst wenige<br />
Elemente vollständig zu charakterisieren. Der nächste Schritt ist es zu untersuchen,<br />
wie viele Elemente nötig sind, um einen vorgegebenen linearen Unterraum aufzuspannen.<br />
Die Quintessenz der folgenden Definition, die in ihrer Bedeutung gar nicht<br />
überschätzt werden kann, ist, dass man eine aufspannende Menge nicht weiter verkleinern<br />
kann, wenn sie linear unabhängig ist.<br />
Definition 2.2.1. Eine Teilmenge A ⊆ K n heißt linear abhängig, wenn schon<br />
eine echte Teilmenge von A ausreicht, um span(A) aufzuspannen:<br />
(∃A ′ A)<br />
span(A ′ ) = span(A).<br />
Ansonsten heißt A linear unabhängig.<br />
Beispiel 2.2.2. (i) {e 1 , e 2 , e 1 + e 2 } ist linear abhängig.<br />
(ii) {e 1 , e 2 } ist linear unabhängig:<br />
{e 1 } ⊆ {e 1 , e 2 }, span(e 1 ) = {(x 1 , 0) | x 1 ∈ K} K 2 = span(e 1 , e 2 ).<br />
Analog gilt auch, dass span(e 2 ) K 2 .<br />
(iii) Wenn 0 ∈ A ⊆ K n , dann ist A linear abhängig, weil span(A) = span(A \ {0}).
48 2 Lineare Unterräume des K n<br />
(iv) Sei A ⊆ K n . Wenn es ein a ∈ A mit a ∈ span(A \ {a}) gibt, dann ist A linear<br />
abhängig: Setzt man nämlich A ′ := A \ {a} A, dann gilt nach Voraussetzung<br />
∑<br />
a = m c j a ′ j wobei a′ j ∈ A \ {a} = A′ . Aber dann folgt<br />
j=1<br />
span(A) =<br />
{<br />
ta +<br />
}<br />
k∑<br />
d i b i | b i ∈ A ′ , t, d i ∈ K, k ∈ N<br />
i=1<br />
⎧<br />
⎨ m∑<br />
= tc<br />
⎩ j a ′ j +<br />
j=1<br />
⎫<br />
k∑<br />
⎬<br />
d i b i | a ′ j, b i ∈ A ′ , c j , t, d i ∈ K, k ∈ N<br />
⎭<br />
i=1<br />
⊆ span(A ′ ) ⊆ span(A)<br />
und es folgt, dass span(A) = span(A ′ ).<br />
(v) Wenn v 1 , . . . , v k ∈ A verschieden und c 1 , . . . , c k ∈ K nicht alle 0 sind, jedoch<br />
k∑<br />
c j v j = 0<br />
j=1<br />
(NLR)<br />
gilt (so eine Gleichung nennt man eine nicht-triviale lineare Relation), dann<br />
ist A linear abhängig. Um das zu sehen, kann man o.B.d.A. (ohne Beschränkung<br />
der Allgemeinheit) annehmen 1 , dass c 1 ≠ 0. Durch Umstellen der Gleichung<br />
findet man<br />
k∑ ( )<br />
v 1 = − cj<br />
c 1<br />
v j ∈ span(A \ {v 1 })<br />
j=2<br />
und dies zeigt nach (iv) die lineare Abhängigkeit von A.<br />
⊓⊔<br />
Die Aussage aus Beispiel 2.2.2(v) lässt sich auch umkehren und so erhält man<br />
eine Charakterisierung der Linearen Unabhängigkeit, die von großer praktischer<br />
Bedeutung ist, weil sie in vielen Situation als Test eingesetzt werden kann.<br />
Satz 2.2.3. Eine Teilmenge A ⊆ K n ist genau dann linear abhängig, wenn es eine<br />
nicht-triviale lineare Relation der Form (NLR) zwischen Elementen von A gibt.<br />
Beweis. ⇐“: Dies wurde in Beispiel 2.2.2(v) gezeigt.<br />
”<br />
” ⇒“: Wenn A linear abhängig ist, dann gibt es A′ A mit span(A ′ ) = span(A).<br />
Sei v ∈ A \ A ′ ∑<br />
und v = k c j v j , v j ∈ A ′ , c j ∈ K. Dann ist<br />
j=1<br />
1v +<br />
k∑<br />
(−c j )v j = 0<br />
j=1<br />
die gewünschte nicht-triviale lineare Relation.<br />
⊓⊔<br />
1 Man kann die v’s und c’s ja umnumerieren.
2.2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit 49<br />
Korollar 2.2.4 (Test auf lineare Unabhängigkeit).<br />
linear unabhängig, wenn gilt:<br />
Für v 1 , . . . , v k ∈ A verschieden und c 1 , . . . , c k ∈ K mit<br />
c 1 = . . . = c k = 0.<br />
A ⊆ K n ist genau dann<br />
k∑<br />
c j v j = 0 folgt, dass<br />
j=1<br />
Beispiel 2.2.5. Sei v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (1, 1, 1) ∈ R 3 und A =<br />
{v 1 , v 2 , v 3 }.<br />
0 = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 = (c 1 + c 2 + c 3 , c 2 + c 3 , c 3 )<br />
impliziert erst c 3 = 0, dann c 2 = 0 und schließlich c 1 = 0. Also ist A linear unabhängig.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 2.2.6. Die Teilmenge A ⊆ K n habe mehr als n Elemente. Dann ist A<br />
ist linear abhängig. Wenn nämlich v 1 , . . . , v n+1 ∈ A verschieden sind und v j =<br />
(v j,1 , . . . , v j,n ), dann hat das homogene Gleichungssystem<br />
n+1<br />
∑<br />
x j v j,i = 0<br />
j=1<br />
i = 1, . . . , n<br />
mehr Unbekannte als Gleichungen. Es lässt daher (vgl. Bemerkung 1.2.10) eine von<br />
0 verschiedene Lösung (c 1 , . . . , c n+1 ) zu. Diese erfüllt dann<br />
n+1<br />
∑<br />
c j v j = 0<br />
j=1<br />
und wir haben eine nicht-triviale lineare Relation.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 2.2.7. Betrachte eine Matrix in Zeilenstufenform mit k Stufen. Weiter<br />
seien v 1 , . . . , v k ∈ K n die ersten k Zeilenvektoren der Matrix. Dann ist die Menge<br />
{v 1 , . . . , v k } linear unabhängig: Wir wenden Korollar 2.2.4 an und nehmen an, dass<br />
gilt<br />
k∑<br />
c j v j = 0.<br />
j=1<br />
Zu zeigen ist also, dass alle c j Null sind. Seien s 1 < . . . < s k die Spaltennummern, in<br />
denen Stufen auftauchen. Dann gilt für den Koeffizienten v i,s1 von v i in der s 1 -ten<br />
Spalte<br />
{<br />
1 i = 1<br />
v i,s1 =<br />
0 i = 2, . . . , k<br />
und es folgt c 1 = 0 sowie ∑ k<br />
i=2 c iv i = 0. Genauso finden wir<br />
{<br />
1 i = 2<br />
v i,s2 =<br />
0 i = 3, . . . , k,<br />
was dann c 2 = 0 und ∑ k<br />
i=3 c iv i = 0 zeigt. Wir fahren so fort und finden sukzessive<br />
c 1 = . . . = c k = 0.<br />
⊓⊔
50 2 Lineare Unterräume des K n<br />
Übungen zu Abschnitt 2.2<br />
Übung 2.2.1. Man teste die folgenden Mengen auf lineare Unabhängigkeit:<br />
1. {(1, 1, 1), (1, −1, 1), (−1, 1, 1)} ⊂ R 3 ,<br />
2. {(3, −2, 1), (5, −3, 1), (4, −5, 6)} ⊂ R 3 .<br />
Übung 2.2.2. Man teste die folgenden Mengen auf lineare Unabhängigkeit:<br />
a) {(−2, −2, 2, 4, 4), (3, 6, 9, 6, 3), (3, 5, −7, 2, 2), (4, 8, −6, 8, 7)}<br />
b) {(4, 1, 1, −2), (−7, −2, −4, 7), (7, 1, −7, 8), (9, 2, −7, 3)}<br />
c) {(1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6), (4, 5, 6, 7), (5, 6, 7, 8)}<br />
Hinweis: Es ist möglich, Teil c) ohne Rechnung zu beantworten.<br />
Übung 2.2.3. Ist die Menge<br />
linear unabhängig?<br />
{(4, 5, −7, 1, 2), (2, 1, 3, 1, 2), (−1, 0, 8, 0, −3), (3, 9, 1, 1, 7)}<br />
Übung 2.2.4. Für welche Werte der Parameter a, b ∈ R ist die Menge {u, v, w} linear<br />
abhängig? Dabei ist<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
1<br />
1<br />
u = ⎝1⎠ , v = ⎝1 + a 2 ⎠ , w = ⎝1 + b 2 ⎠ .<br />
1<br />
1 + a 2 2a<br />
Übung 2.2.5. Für welche Werte des Parameters t ∈ R ist die Menge {a 1, a 2, a 3, a 4} linear<br />
abhängig? Dabei ist<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2t<br />
a 1 =<br />
⎜ 1<br />
⎟<br />
⎝ −2 ⎠ , a2 = 5<br />
⎜−2t<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ , a3 = t + 2<br />
⎜ 1<br />
⎟<br />
⎝ −t ⎠ , a4 = 8<br />
⎜ 3<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ .<br />
2t − 1<br />
8<br />
3<br />
13<br />
Übung 2.2.6. Begründe oder widerlege:<br />
1. Sind u, v, w ∈ K n Vektoren, so dass die Mengen {u, v}, {u, w}, {v, w} linear unabhängig<br />
sind, dann ist auch {u, v, w} linear unabhängig.<br />
2. Sind die Vektoren u, v, w ∈ K n linear unabhängig, so sind auch u + v, v + w, u + w<br />
linear unabhängig.<br />
Übung 2.2.7. Es seien Vektoren w 1, w 2, w 3, w 4 ∈ R n gegeben, und es sei<br />
v 1 = w 1 + w 2 + w 3 + w 4 ,<br />
v 2 = 2w 1 + 2w 2 + w 3 − w 4 ,<br />
v 3 = w 1 + w 2 + 3w 3 − w 4 ,<br />
v 4 = 2w 1 − w 3 + w 4 ,<br />
v 5 = − w 2 + w 3 − w 4 .<br />
Man beweise, dass (v 1, . . . , v 5) linear abhängig ist.<br />
Hinweis: Man kann diese Aufgabe dadurch lösen, dass man eines der v i als Linearkombination<br />
der anderen vier darstellt. Es gibt aber auch einen Beweis, bei dem man überhaupt<br />
nicht zu rechnen braucht!<br />
Übung 2.2.8. Gegeben seien eine Matrix A und ein Vektor b als<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
2 − t 3 −6<br />
1<br />
A = ⎝ 3 2 − t −6 ⎠ , b = ⎝ 1 ⎠ .<br />
−6 −6 11 − t<br />
−2<br />
(a) Bestimme die Lösung von Ax = b für t = −1.<br />
(b) Für welche t ∈ R ist Ax = 0 durch ein x ≠ 0 lösbar?<br />
(c) Für welche t ∈ R ist Ax = b lösbar?
2.3 Basen für lineare Unterräume des K n<br />
2.3 Basen für lineare Unterräume des K n 51<br />
Mit dem Konzept der linearen Spanns einer Menge können wir feststellen, ob sie<br />
groß genug ist einen linearen Unterraum zu rekonstruieren, mit dem Konzept der<br />
linearen Unabhängigkeit können wir feststellen, ob es dabei Redundanzen gibt. In<br />
Kombination führen die beiden Konzepte auf das Konzept der Basis eines linearen<br />
Unterraums. Solche Basen kann man als die minimalen Mengen betrachten, aus<br />
denen man den linearen Unterraum rekonstruieren kann.<br />
Definition 2.3.1. Sei U ⊆ K n ein linearer Unterraum. Eine Basis für U ist eine<br />
Menge {v 1 , . . . , v k } ⊆ U mit<br />
a) span(v 1 , . . . , v k ) = U,<br />
b) {v 1 , . . . , v k } ist linear unabhängig.<br />
Die Zahl k heißt die Länge der Basis. Ähnlich wie im Fall des linearen Spanns<br />
definiert man: ∅ ist eine Basis für {0}.<br />
An dieser Stelle ist noch nichts darüber ausgesagt, ob es überhaupt solche Basen<br />
gibt (außer für den Null-Unterraum). Wir werden aber zeigen, dass jeder lineare<br />
Unterraum von K n eine Basis hat.<br />
So wie wir Basen definiert haben sind sie Teilmengen von K n , d.h. bei der<br />
Auflistung der Basiselemente kommt es nicht auf die Reihenfolge an. Später, wenn<br />
wir Basen als Rechenhilfen benutzen, wird es nützlich sein auch eine Reihenfolge<br />
der Basiselemente festzulegen.<br />
Beispiel 2.3.2. (a) Sei 0 ≠ v ∈ K n . Dann ist {v} ist eine Basis für Kv.<br />
(b) Die Menge {e 1 , . . . , e n } aus Bemerkung 2.1.6(ii) ist eine Basis für K n , die man<br />
die Standardbasis oder auch kanonische Basis nennt. Man meint damit<br />
dann auch die hier vorgegebene Reihenfolge.<br />
⊓⊔<br />
Satz 2.3.3. Sei U ⊆ K n ein linearer Unterraum und v 1 , . . . , v k ∈ U. Dann sind<br />
folgende Aussagen äquivalent:<br />
(1) {v 1 , . . . , v k } ist eine Basis für U.<br />
(2) Jedes u ∈ U lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination der v 1 , . . . , v k<br />
schreiben.<br />
Beweis. Idee: Die beiden Teilbedingungen für die Eigenschaft von {v 1, . . . , v k } Basis zu<br />
sein, lassen sich als Existenz, bzw. Eindeutigkeit der Linearkombination umformulieren.<br />
Sei u ∈ U. Die Existenz der Linearkombination ist nach Definition 2.1.4<br />
äquivalent zu span(v 1 , . . . , v k ) = U.<br />
Die Eindeutigkeit der Linearkombination ist dagegen äquivalent zur linearen<br />
Unabhängigkeit von {v 1 , . . . , v k }: Falls nämlich {v 1 , . . . , v k } linear unabhängig ist,<br />
folgt aus u = ∑ k<br />
j=1 c jv j = ∑ k<br />
j=1 d jv j , dass ∑ k<br />
j=1 (c j − d j )v j = 0 und daher (vgl.<br />
Korollar 2.2.4) c j = d j für alle j. Umgekehrt, wenn aus ∑ k<br />
j=1 c jv j = 0 = ∑ k<br />
j=1 0·v j<br />
folgt, dass für alle j gilt c j = 0, dann folgt (wieder aus Korollar 2.2.4) die lineare<br />
Unabhängigkeit von {v 1 , . . . , v k }.<br />
⊓⊔
52 2 Lineare Unterräume des K n<br />
Der folgende Satz wird uns den Induktionsschritt im Nachweis dafür liefern, dass<br />
jeder lineare Unterraum von K n eine Basis hat.<br />
Satz 2.3.4 (Basis-Ergänzungssatz). Seien V ⊆ U ⊆ K n lineare Unterräume<br />
und {v 1 , . . . , v k } eine Basis für V . Dann gibt es Elemente u 1 , . . . , u m ∈ U, so dass<br />
{v 1 , . . . , v k ,u 1 , . . . , u m } eine Basis für U ist.<br />
Beweis. Idee: Falls V U ist, ergänze {v 1, . . . , v k } um ein Element in U \ V und<br />
verifiziere, dass die resultierende Menge linear unabhängig ist. Dann iteriere.<br />
1. Fall: Wenn V = U, dann ist nichts zu zeigen.<br />
2. Fall: Wenn V U, dann gibt es ein u ∈ U \ V und {v 1 , . . . , v k , u} ist linear<br />
unabhängig. Um das einzusehen, stellen wir zunächst fest, dass<br />
⎛ ⎞<br />
k∑<br />
⎝ c j v j<br />
⎠ + cu = 0<br />
j=1<br />
impliziert c = 0, weil wir andernfalls<br />
u = − 1 c<br />
k∑<br />
c j v j =<br />
j=1<br />
k∑ (<br />
c −<br />
j<br />
)<br />
c vj ∈ V<br />
hätten, was im Widerspruch zu u ∈ U \ V stünde. Also gilt ∑ k<br />
j=1 c jv j = 0<br />
und das zeigt wegen der linearen Unabhängigkeit von {v 1 , . . . , v k }, dass c 1 =<br />
0, . . . , c k = 0. Damit haben wir die lineare Unabhängigkeit von {v 1 , . . . , v k , u}<br />
nachgewiesen.<br />
Jetzt setzen wir u 1 := u und U 1 := span(v 1 , . . . , v k , u 1 ) ⊆ U. Dann ist<br />
{v 1 , . . . , v k , u 1 } nach dem obigen Argument eine Basis für U 1 und man kann<br />
die bisherigen Beweisschritte für U 1 statt V wiederholen, falls U 1 V gilt.<br />
Auf diese Weise findet man u 1 , . . . , u j , . . . ∈ U und lineare Unterräume U 1 ⊆<br />
. . . ⊆ U j ⊆ . . . ⊆ U mit der Eigenschaft, dass {v 1 , . . . , v k , u 1 , . . . , u j } eine Basis<br />
für U j ist. Da nach Beispiel 2.2.6 keine Basis mehr als n Elemente haben kann,<br />
muss irgendwann der erste Fall eintreten, d.h., es gibt ein m mit U m = U.<br />
Folglich ist {v 1 , . . . , v k ,u 1 , . . . , u m } ist eine Basis für U.<br />
j=1<br />
⊓⊔<br />
Korollar 2.3.5. Jeder lineare Unterraum U von K n hat eine Basis.<br />
Beweis. Falls U = {0}, dann ist ∅ nach Definition eine Basis für U. Andernfalls<br />
wenden wir Satz 2.3.4 auf U mit V = {0} an und finden so eine Basis für U. ⊓⊔<br />
Satz 2.3.6 (Basisauswahlsatz). Sei U = span(v 1 , . . . , v k ) ⊆ K n . Dann gibt es<br />
eine Teilmenge {v i1 , . . . , v ir } ⊆ {v 1 , . . . , v k }, so dass {v i1 , . . . , v ir } eine Basis für U<br />
ist.<br />
Beweis. Idee:<br />
Elemente.<br />
Teste {v 1, . . . , v k } auf lineare Unabhängigkeit und streiche überflüssige<br />
Wir testen {v 1 , . . . , v k } auf lineare Unabhängigkeit.
2.3 Basen für lineare Unterräume des K n 53<br />
1. Fall: Wenn {v 1 , . . . , v k } linear unabhängig ist, gibt es nichts zu zeigen.<br />
2. Fall: Wenn {v 1 , . . . , v k } linear abhängig ist, dann existiert eine echte Teilmenge<br />
{v i1 , . . . , v ir } {v 1 , . . . , v k } mit<br />
span(v i1 , . . . , v ir ) = span(v 1 , . . . , v k ) = U.<br />
Jetzt wiederholt man den Test mit der kleineren Menge. Dieses Verfahren bricht<br />
ab, weil man in jedem Schritt mindestens ein Element streicht. Man ist dann in Fall<br />
1 und hat die gewünschte Basis. ⊓⊔<br />
Unsere Motivation für die Einführung linearer Unterräume war, dass die Lösungsmengen<br />
von homogenen linearen Gleichungssystemen solche Unterräume sind. Mit<br />
der Einführung von Basen können wir jetzt unser Versprechen einlösen, diese Lösungsräume<br />
durch endlich viele Elemente vollständig zu charakterisieren.<br />
Beispiel 2.3.7. Wir suchen ein Verfahren, mit dem für jeden Lösungsraum eines<br />
homogenen linearen Gleichungssystems eine Basis gefunden werden kann. In diesem<br />
Beispiel soll zunächst illustriert werden, was dabei die Schwierigkeiten sind. Das<br />
allgemeine Verfahren wird dann in Satz 2.3.8 angegeben.<br />
Sei jetzt (a ij ) i<br />
j<br />
Beispiel 1:<br />
= 1 , ... ,<br />
= 1 , ... ,<br />
m<br />
n<br />
eine in Zeilenstufenform gegebene Koeffizientenmatrix.<br />
( ) 1 2 3 4<br />
0 0 1 2<br />
Beispiel 2:<br />
liefert die Lösungsmenge<br />
x 4 beliebig<br />
x 3 = −2x 4<br />
x 2 beliebig<br />
x 1 = −2x 2 − 3x 3 − 4x 4 = −2x 2 + 2x 4 .<br />
( )<br />
1 2 0 −2<br />
0 0 1 2<br />
liefert die Lösungsmenge<br />
x 4 beliebig<br />
x 3 = −2x 4<br />
x 2 beliebig<br />
x 1 = −2x 2 + 2x 4 .<br />
Die Idee zur allgemeinen Konstruktion einer Basis ist jetzt, von den frei wählbaren<br />
x j alle bis auf jeweils eines zu 0 zu setzen und das eine zu 1. Um dann eine Lösung<br />
zu erhalten, muss man noch die nicht frei wählbaren x sr sukzessive so modifizieren,<br />
dass alle Gleichungen auch wirklich erfüllt sind. Diese zu modifizierenden x’e sind<br />
genau die, die zu einer Stufe gehören.<br />
In Beispiel 1 kann man mit (0, 0, 0, 1) anfangen und diesen Vektor mit der<br />
2. Gleichung zu (0, 0, −2, 1) modifizieren. Diesen Vektor modifiziert man dann mit<br />
der 1. Gleichung zu (2, 0, −2, 1). Den Vektor (0, 1, 0, 0) modifiziert man mit der<br />
1. Gleichung zu (−2, 1, 0, 0). Man sieht dann sofort, dass {(2, 0, −2, 1), (−2, 1, 0, 0)}<br />
tatsächlich eine Basis für den Lösungsraum ist. Beachte dabei folgendes: Wollte<br />
man (0, 0, 0, 1) zunächst mit der 1. Gleichung modifizieren, dann hätte man keine<br />
eindeutige Auswahl, (?, 0, ?, 1), und die Wahl der 3. Komponente würde die Wahl<br />
der 1. Komponente beeinflussen.<br />
In Beispiel 2 findet man mit denselben Rechenschritten dieselbe Basis. Der Unterschied<br />
ist folgender: Wollte man jetzt (0, 0, 0, 1) mit der 1. Gleichung modifizieren,<br />
dann hätte man zwar wieder keine eindeutige Auswahl, (?, 0, ?, 1), aber die Wahl<br />
der 3. Komponente würde die Wahl der 1. Komponente nicht beeinflussen. Der<br />
Grund dafür ist, dass der Koeffizient über der Stufe in der dritten Spalte 0 ist. Wir<br />
können also die 3. Komponente beliebig setzen, z.B. zu 0, und finden (2, 0, 0, 1).
54 2 Lineare Unterräume des K n<br />
Jetzt liefern die beiden Modifikationen mit der 1. Gleichung und der 2. Gleichung<br />
zusammen (2, 0, −2, 1). Dies ist eine Art Parallelisierung“ der Modifikationen, die<br />
”<br />
sich in der allgemeinen Konstruktion als eine einfache Formel für die Basisvektoren<br />
niederschlagen wird.<br />
⊓⊔<br />
Satz 2.3.8. Sei (a ij ) i<br />
j<br />
= 1 , ... ,<br />
= 1 , ... ,<br />
m<br />
n<br />
die Koeffizientenmatrix eines homogenen linearen<br />
Gleichungssystems (HLGS), gegeben in Zeilenstufenform mit Stufen in den Spalten<br />
s 1 , . . . , s k . Weiter sei a isr = 0 für i ≠ r. Dann bilden die Vektoren v j ∈ K n ,<br />
j ∈ M := {1, . . . , n} \ {s 1 , . . . , s k }, gegeben durch<br />
v j = e j −<br />
k∑<br />
a lj e sl<br />
eine Basis des Lösungsraums. Die Länge dieser Basis ist n − k.<br />
Beweis. Idee: Man verifiziert direkt, dass die angegebenen Vektoren das Gleichungssystem<br />
lösen und benutzt Korollar 2.2.4 um die lineare Unabhängigkeit von {v j | j ∈ M}<br />
nachzuweisen. Dass jede Lösung eine Linearkombination dieser v j ist, erhält man mit Bemerkung<br />
1.2.10.<br />
l=1<br />
1) Wir zeigen zuerst, dass die v j Lösungen des (HLGS) sind. Die Komponenten<br />
des Zeilenvektors v j = (v j,1 , . . . , v j,n ) sind durch<br />
⎧<br />
⎪⎨ 1 s = j ∈ M<br />
v j,s = −a lj s = s l<br />
⎪⎩<br />
0 sonst<br />
gegeben, also kann man wegen a isl =<br />
n∑<br />
a is v j,s = a ij +<br />
s=1<br />
{<br />
0 i ≠ l<br />
1 i = l<br />
wie folgt rechnen<br />
k∑<br />
a isl (−a lj ) = a ij + 1(−a ij ) = 0.<br />
l=1<br />
2) Als nächstes zeigen wir, dass die Menge {v j | j ∈ M} linear unabhängig ist.<br />
Wenn<br />
0 = ∑ c j v j = ∑ k∑<br />
c j e j + d l e sl<br />
j∈M j∈M<br />
gilt, dann sind alle Koeffizienten, insbesondere die c j , gleich Null, weil {e 1 , . . . , e n }<br />
linear unabhängig ist. Also sind nach Korollar 2.2.4 die v j linear unabhängig.<br />
3) Schließlich zeigen wir noch, dass die v j , j ∈ M, den Lösungsraum aufspannen.<br />
Um das einzusehen erinnert man sich an Bemerkung 1.2.10, die zeigt, dass man<br />
jede beliebige Lösungen (x 1 , . . . , x n ) ∈ K n erhalten kann, indem man die x j mit<br />
j ∈ M frei wählt und dann die x sl für l = 1, . . . , k daraus berechnet. Also gibt<br />
es zu jeder Vorgabe von Zahlen c j ∈ K, j ∈ M, genau eine Lösung (x 1 , . . . , x n ),<br />
die x j = c j für alle j ∈ M erfüllt. Aber ∑ c j v j ist so eine Lösung, d.h.<br />
j∈M<br />
l=1<br />
∑<br />
c j v j = (x 1 , . . . , x n ).<br />
s∈M<br />
Damit ist span{v j | j ∈ M} ist der ganze Lösungsraum.
2.3 Basen für lineare Unterräume des K n 55<br />
⊓⊔<br />
Die Aussage von Satz 2.3.8 über die Länge der Basis ist kompatibel mit der<br />
Vorstellung, dass die Menge K n aller n-Tupel n Freiheitsgrade hat und diese durch<br />
k effektive Gleichungen (eine für jede Stufe) auf n − k Freiheitsgrade reduziert<br />
werden.<br />
Beachte, dass jede Matrix in Zeilenstufenform durch elementare Zeilenumformungen<br />
vom Typ III in eine Matrix übergeführt werden kann, auf die sich der Satz<br />
2.3.8 anwenden lässt. Dazu addiert man einfach geeignete Vielfache der Zeile mit<br />
Stufe zu den Zeilen darüber und erreicht so, dass über den Stufen nur Nullen stehen.<br />
Beispiel 2.3.9. Wir greifen das Beispiel 2 aus 2.3.7 nochmal auf. Es gilt s 1 =<br />
1, s 2 = 3 und die Formel aus Satz 2.3.8 liefert<br />
M = {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4},<br />
v 2 = e 2 − (a 12 e 1 + a 22 e 3 ) = (0, 1, 0, 0) − (2, 0, 0, 0) = (−2, 1, 0, 0),<br />
v 4 = e 4 − (a 14 e 1 + a 24 e 3 ) = (0, 0, 0, 1) − (−2, 0, 0, 0) − (0, 0, 2, 0) = (2, 0, −2, 1).<br />
⊓⊔<br />
Übungen zu Abschnitt 2.3<br />
Übung 2.3.1. Es sei U := {(x 1, x 2, x 3) ∈ R 3 | x 1 + x 2 + x 3 = 0}.<br />
1. Zeige, dass U ein linearer Unterraum von R 3 ist.<br />
2. Bestimme eine Basis von U.<br />
Übung 2.3.2. Man finde eine Basis für den Lösungsraum folgendes homogenen linearen<br />
Gleichungssystems in R 4 :<br />
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 0<br />
x 2 + x 3 + 2x 4 + 2x 5 = 0<br />
x 4 + 3x 5 = 0<br />
Übung 2.3.3. Man bestimme jeweils eine Basis des Lösungsraum von<br />
Übung 2.3.4. Es seien<br />
und<br />
2x 1 − 3x 2 + 2x 3 + 4x 4 + 5x 5 + 2x 7 = 0<br />
4x 1 − 6x 2 + 4x 3 + 10x 4 + 8x 5 − x 7 = 0<br />
2x 1 − 3x 2 + 2x 3 + 5x 4 + 4x 5 + 3x 6 − x 7 = 0<br />
⎧⎛<br />
⎪⎨<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
⎪⎩<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
u = ⎜ −1<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ ,<br />
1<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
2<br />
⎟<br />
⎠ , ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 3 ⎠ , ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
⎛<br />
v = ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
−2<br />
1<br />
−1<br />
1<br />
5<br />
−3<br />
4<br />
⎞⎫<br />
⎪⎬<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎪⎭<br />
(a) Man zeige, dass u, v ∈ span(A).<br />
(b) Man gebe –falls möglich– eine Basis von span(A) an, die die Vektoren u and v enthält.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .
56 2 Lineare Unterräume des K n<br />
Übung 2.3.5. Man finde jeweils eine Basis für die Lösungsräume folgender homogenen<br />
linearen Gleichungssystemen in R 4 :<br />
(a)<br />
(b)<br />
Übung 2.3.6. Es seien<br />
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0<br />
x 3 + 2x 4 = 0<br />
2x 1 + x 2 = 0<br />
x 1 − x 3 = 0<br />
x 2 + x 4 = 0<br />
V 1 := span ( (3, 8, −2, 7), (2, 9, −4, 4), (2, 5, −1, 3) ) ,<br />
V 2 := span ( (1, 3, −1, 4), (0, 4, −3, 1), (−3, 1, −5, 2) ) .<br />
Man bestimme jeweils eine Basis von V 1, V 2, V 1 + V 2 und V 1 ∩ V 2.<br />
Übung 2.3.7. Es seien<br />
V 1 := span ( (1, 1, 2, 1), (0, −2, 1, 0), (1, −1, 3, 1) ) ,<br />
V 2 := span ( (3, 1, 7, 3), (−3, 2, −5, −1), (0, 3, 2, 2) ) .<br />
Man bestimme jeweils eine Basis von V 1, V 2, V 1 + V 2 und V 1 ∩ V 2.<br />
Übung 2.3.8. Es seien<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
v 1 = ⎝ 1 ⎠ , v 2 = ⎝1⎠ , v 3 = ⎝1⎠ , v 4 = ⎝3⎠ .<br />
−1<br />
1<br />
2<br />
4<br />
Ferner seien U 1 = span(v 1, v 2) und U 2 = span(v 3, v 4). Man bestimme jeweils eine Basis<br />
von U 1 ∩ U 2 und U 1 + U 2.<br />
Übung 2.3.9 (Komplexe Unterräume). Im komplexen Vektorraum C 3 seien die Unterräume<br />
⎧⎛<br />
⎞ ∣ ⎫ ⎧⎛<br />
⎞ ∣ ⎫<br />
⎨ α ∣∣∣∣∣ ⎬ ⎨ α ∣∣∣∣∣ ⎬<br />
U 1 = ⎝β⎠ ∈ C 3 iα − β = γ<br />
⎩<br />
⎭ , U2 = ⎝β⎠ ∈ C 3 iα − iγ = β<br />
⎩<br />
⎭<br />
γ<br />
γ<br />
gegeben. Bestimme jeweils eine Basis von U 1, U 2, U 1 ∩ U 2 und U 1 + U 2.<br />
Übung 2.3.10. Es sei {v 1, . . . , v n} eine Basis von K n und u := c 1v 1+· · ·+c nv n ein weiterer<br />
Vektor mit c i ∈ K für i = 1, . . . , n. Zeigen Sie:<br />
n∑<br />
{v 1 − u, . . . , v n − u} Basis von K n ⇐⇒ c i ≠ 1 .<br />
Übung 2.3.11. Es seien gegeben<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
2 −4 6<br />
v 1 = ⎜ 1<br />
⎟<br />
⎝ 3 ⎠ , v2 = ⎜ −2<br />
⎟<br />
⎝ −6 ⎠ , v3 = ⎜ 3<br />
⎟<br />
⎝ 4 ⎠ , v4 = ⎜<br />
⎝<br />
2 −4 5<br />
0<br />
−1<br />
−13<br />
0<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ , v5 = ⎜<br />
⎝<br />
(a) Man bestimme Basen für die folgenden Unterräume<br />
U 1 = span(v 1),<br />
U 2 = span(v 1, v 2),<br />
.<br />
U 7 = span(v 1, . . . , v 7).<br />
0<br />
3<br />
−9<br />
−6<br />
(b) Für welche i, j = 1, . . . , 7 gilt U i ⊆ U j und für welche U i = U j?<br />
i=1<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
0<br />
⎟<br />
⎠ , v6 = ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ , v7 = ⎜<br />
⎝<br />
7<br />
6<br />
3<br />
9<br />
12<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .
2.4 Die Dimension eines linearen Unterraums des K n 57<br />
2.4 Die Dimension eines linearen Unterraums des K n<br />
Der nachfolgende Satz 2.4.1 zeigt, dass wir nicht befürchten müssen, bei der<br />
Konstruktion der Basis in Satz 2.3.8 eine unnötig lange Basis gefunden zu haben.<br />
Satz 2.4.1 (Invarianz der Basislänge). Die Länge einer Basis für einen linearen<br />
Unterraum U ⊆ K n hängt nicht von der Basis, sondern nur von U ab.<br />
Beweis. Idee: Stelle die Elemente der einen Basis als Linearkombinationen der anderen<br />
Basis dar und betrachte das homogene lineare Gleichungssystem, das aus den Koeffizienten<br />
dieser Darstellung entsteht.<br />
Seien {v 1 , . . . , v r } und {u 1 , . . . , u s } zwei Basen für U. Zu zeigen ist, dass r = s<br />
gilt. Aus Symmetriegründen reicht es zu zeigen, dass s ≤ r gilt; danach vertauscht<br />
man einfach die Rollen von r und s, d.h., von {v 1 , . . . , v r } und {u 1 , . . . , u s }. Jetzt<br />
stellen wir die Elemente von {u 1 , . . . , u s } als Linearkombinationen der {v 1 , . . . , v r }<br />
Basis dar, was wegen span{v j | j = 1, . . . , r} = U möglich ist:<br />
r∑<br />
u i = c ij v j<br />
j=1<br />
i = 1, . . . , s<br />
j = 1, . . . , r.<br />
Als nächstes betrachten wir das homogene lineare Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix<br />
(c ij ) i = 1 , ... , s<br />
j = 1 , ... , r<br />
s∑<br />
c ij x i = 0<br />
i=1<br />
r<br />
s<br />
Gleichungen<br />
Unbekannte<br />
Wenn jetzt r < s wäre, dann hätte das System nach Bemerkung 1.2.10 eine von<br />
Null verschiedene Lösung (x 1 , . . . , x s ) ≠ 0. Wegen<br />
s∑<br />
x i u i =<br />
i=1<br />
s∑<br />
i=1<br />
x i<br />
⎛<br />
⎝<br />
r∑<br />
j=1<br />
c ij v j<br />
⎞<br />
⎠ =<br />
i<br />
j<br />
∑<br />
= 1 , ... , s<br />
= 1 , ... , r<br />
x i c ij v j =<br />
r∑<br />
c ij x i<br />
)<br />
( s∑<br />
v j<br />
j=1 i=1<br />
} {{ }<br />
0<br />
stünde dies aber nach Satz 2.2.4 im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit von<br />
{u 1 , . . . , u s }. Damit ist s ≤ r bewiesen. ⊓⊔<br />
= 0<br />
Als Ergebnis der bisherigen Überlegungen zum Thema lineare Unabhängigkeit<br />
und Basen halten wir fest: Die minimale Anzahl von Elementen, die man benötigt,<br />
um einen vorgegebenen linearen Unterraum aufzuspannen, hängt ausschließlich von<br />
diesem Unterraum ab. Insbesondere findet man zu jedem (HLGS) in n Variablen<br />
eine Menge {v 1 , . . . , v k } ⊆ K n mit k ≤ n so, dass jede Lösung von (HLGS) eine<br />
Linearkombination der v j ist, aber keine Teilmenge von {v 1 , . . . , v k } ausreicht,<br />
um den Lösungsraum aufzuspannen. Man sieht also, dass der Lösungsraum eines<br />
(LGS), obwohl er im allgemeinen unendlich viele Elemente hat, durch endlich viele<br />
Zahlen vollständig beschrieben werden kann. Die Anzahl der benötigten Elemente<br />
hängt nicht vom Auswahlverfahren ab, sondern ist eine Invariante, d.h. eine<br />
Kenngröße, des entsprechenden Lösungsraums. Wir nennen sie die Dimension des<br />
Lösungsraums. Die Eigenschaften von Dimensionen werden uns im nächsten Abschnitt<br />
beschäftigen.
58 2 Lineare Unterräume des K n<br />
Später werden wir auch sehen, dass in Verallgemeinerung des Falles von Geraden<br />
durch den Nullpunkt, jeder lineare Unterraum von K n der Lösungsraum<br />
eines (HLGS) in endlich vielen Variablen ist. Das heißt, Lösungsräume von homogenen<br />
linearen Gleichungsystemen sind gar keine wirklichen Spezialfälle linearer<br />
Unterräume.<br />
Motiviert durch die Invarianz der Basislänge in Satz 2.4.1 definieren wir die<br />
Dimension eines linearen Unterraums und untersuchen, wie die Dimensionen von<br />
Schnitten und linearen Hüllen von Unterräumen mit den Dimensionen dieser Unterräume<br />
zusammenhängen. Abgesehen davon, dass die Dimension eine saubere<br />
mathematische Formulierung des physikalischen Begriffs ”<br />
Anzahl der Freiheitsgrade“<br />
ist, ist sie auch beweistechnisch sehr nützlich, denn man kann viele Aussagen<br />
über Vektorräume mit Induktion über die Dimension beweisen, ähnlich wie wir das<br />
im Beweis des Basisergänzungssatzes 2.3.4 schon gesehen haben.<br />
Definition 2.4.2. Die Dimension eines linearen Unterraums U von K n ist die<br />
Länge einer (beliebigen) Basis für U. Man schreibt dim K (U) für diese Zahl.<br />
Beispiel 2.4.3. (i) Es gilt dim(K n ) = n, denn {e 1 , . . . , e n } ist eine Basis für K n .<br />
(ii) Sei (a ij ) i = 1 , ... , m eine Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform und U der<br />
j = 1 , ... , n<br />
Lösungsraum des zugehörigen (HLGS). Dann gilt<br />
dim K (U) = n − (Anzahl der Stufen).<br />
Das ist nach Satz 2.3.8 klar für Zeilenstufenformen, die die Voraussetzungen<br />
dieses Satzes erfüllen. Da aber jeder Zeilenstufenform durch elementare Zeilenumformungen<br />
in eine solche umgewandelt werden kann, ohne die Anzahl der Stufen zu<br />
verändern (vgl. die Bemerkungen im Anschluss an den Beweis von Satz 2.3.8), gilt<br />
die Formel nach Proposition 1.2.6 auch für alle anderen Zeilenstufenformen. ⊓⊔<br />
Satz 2.4.4 (Dimensionsformel für Unterräume).<br />
Unterräume.<br />
Seien U 1 , U 2 ⊆ K n lineare<br />
(i) Wenn U 1 ⊆ U 2 , dann gilt dim K (U 1 ) ≤ dim K (U 2 ). Falls zusätzlich dim K (U 1 ) =<br />
dim K (U 2 ) gilt, hat man U 1 = U 2 .<br />
(ii) Es gilt<br />
dim K (U 1 ) + dim K (U 2 ) = dim K (U 1 + U 2 ) + dim K (U 1 ∩ U 2 ).<br />
Beweis. Idee: Ergänze mit Satz 2.3.4 Basen der kleinen Unterräume zu Basen der<br />
größeren Unterräume.<br />
(i) {v 1 , . . . , v r } sei eine Basis von U 1 . Ergänze diese mithilfe von Satz 2.3.4 zu einer<br />
Basis {v 1 , . . . , v r , v r+1 , . . . , v r+s } von U 2 . Dann gilt<br />
}<br />
dim (U 1 ) = r<br />
‖<br />
⇒ s = 0<br />
dim (U 2 ) = r + s,<br />
d.h. {v 1 , . . . , v r } ist eine Basis von U 2 . Damit haben wir U 1 = U 2 .
2.4 Die Dimension eines linearen Unterraums des K n 59<br />
(ii) Sei {u 1 , . . . , u d } eine Basis für U 1 ∩ U 2 . Betrachte U 1 ∩ U 2 einmal als linearen<br />
Unterraum von U 1 und einmal als linearen Unterraum von U 2 . Dementsprechend<br />
ergänze {u 1 , . . . , u d } einerseits zu einer Basis {u 1 , . . . , u d , v 1 , . . . , v r } für U 1 und<br />
andererseits zu einer Basis {u 1 , . . . , u d , w 1 , . . . , w s } für U 2 . Wir zeigen jetzt, dass<br />
die u 1 , . . . , u d , v 1 , . . . , v r , w 1 , . . . , w s paarweise verschieden sind und die Menge<br />
{u 1 , . . . , u d , v 1 , . . . , v r , w 1 , . . . , w s } eine Basis für U 1 + U 2 ist. Dazu müssen wir<br />
die Menge auf lineare Unabhängigkeit prüfen und zeigen, dass sie ganz U 1 + U 2<br />
aufspannt.<br />
Lineare Unabhängigkeit:<br />
d∑<br />
a i u i +<br />
i=1<br />
r∑<br />
b j v j<br />
+<br />
j=1 k=1<br />
∈U 1<br />
} {{ }<br />
impliziert (vgl. Korollar 2.2.4)<br />
s∑<br />
c k w k ∈ U 2 ∩ U 1<br />
k=1<br />
so, dass man eine Darstellung<br />
hat. Dies schreibt man um in<br />
s∑<br />
c k w k =<br />
k=1<br />
s∑<br />
c k w k +<br />
k=1<br />
s∑<br />
c k w k = 0<br />
} {{ }<br />
∈U 2<br />
d∑<br />
a ′ iu i<br />
i=1<br />
d∑<br />
(−a ′ i)u i = 0<br />
i=1<br />
und folgert c k = 0, weil {u 1 , . . . , u d , w 1 , . . . , w s } linear unabhängig ist. Dann<br />
hat man aber<br />
d∑<br />
r∑<br />
a i u i + b j v j = 0,<br />
i=1<br />
j=1<br />
woraus a i , b j = 0 folgt, weil {u 1 , . . . , u d , v 1 , . . . , v r } linear unabhängig ist.<br />
Damit sieht man zunächst, dass die u 1 , . . . , u d , v 1 , . . . , v r , w 1 , . . . , w s paarweise<br />
verschieden sind und dann die lineare Unabhängigkeit der Menge<br />
{u 1 , . . . , u d , v 1 , . . . , v r , w 1 , . . . , w s }.<br />
Linearer Spann:<br />
t 1 ∈ U 1 ⇒ t 1 = ∑ a i u i + ∑ b j v j ,<br />
t 2 ∈ U 2 ⇒ t 2 = ∑ a ′ iu i + ∑ c k w k ,<br />
t 1 + t 2<br />
} {{ }<br />
∈U 1+U 2<br />
= ∑ (a i + a ′ i)u i + ∑ b j v j + ∑ c k w k .<br />
Also ist jedes Element von U 1 + U 2 eine Linearkombination von Elementen<br />
in<br />
{u 1 , . . . , u d , v 1 , . . . , v r , w 1 , . . . , w s }.<br />
Damit haben wir gezeigt, dass diese Menge eine Basis für U 1 + U 2 ist und es<br />
bleiben nur noch die Längen der einzelnen Basen abzuzählen:
60 2 Lineare Unterräume des K n<br />
dim K (U 1 + U 2 ) = d + r + s<br />
dim K (U 1 ∩ U 2 ) = d<br />
dim K (U 1 ) = d + r<br />
dim K (U 2 ) = d + s<br />
Korollar 2.4.5. Sind U 1 , U 2 ⊆ K n Hyperebenen, d.h., gilt dim K (U 1 ) = dim K (U 2 ) =<br />
n − 1, so gilt dim(U 1 ∩ U 2 ) = n − 1 oder dim(U 1 ∩ U 2 ) = n − 2.<br />
Beweis. Wegen U 1 ∩ U 2 ⊆ U 1 gilt dim K (U 1 ∩ U 2 ) ≤ dim K U 1 = n − 1 Nach der<br />
Dimensionsformel gilt außerdem<br />
dim K (U 1 ∩ U 2 ) = dim K U 1 + dim K U 2 − dim K (U 1 + U 2 ) ≥ 2(n − 1) − n = n − 2<br />
⊓⊔<br />
.<br />
⊓⊔<br />
Wendet man den Begriff der Dimension auf den Lösungsraum eines (HLGS)<br />
an, so erhält man eine wichtige Information über die Größe des Lösungsraums.<br />
Genauer gesagt, ist U der Lösungsraum eines (HLGS) in n Variablen, dann braucht<br />
man mindestens<br />
n · dim K (U) = Anzahl der Komponenten in jedem Vektor mal<br />
Anzahl der Basisvektoren<br />
Zahlen, um U vollständig zu beschreiben.<br />
Es gibt noch weitere Möglichkeiten, aus der Koeffizientenmatrix Informationen<br />
über den Lösungsraum eines (HLGS) abzulesen. Dazu benötigt man aber noch<br />
zusätzliche Werkzeuge zur Untersuchung von Matrizen, die wir in den nächsten<br />
Kapiteln bereitstellen.<br />
Übungen zu Abschnitt 2.4<br />
Übung 2.4.1. Sei W := {(x 1, x 2, x 3) ∈ R 3 | x 1 − x 2 = x 2 − x 3 = 0}. Zeige, dass W ein<br />
1-dimensionaler linearer Unterraum von R 3 ist.<br />
Übung 2.4.2. Berechne die Dimensionen von span(A) für<br />
(i)<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
2 −2 1 −4<br />
⎪⎨<br />
A = ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
⎪⎩<br />
, ⎜ 3<br />
⎟<br />
⎝ 6 ⎠ , ⎜ 5<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ , ⎜ 6<br />
⎪⎬<br />
⎟<br />
⎝ 12 ⎠<br />
⎪⎭<br />
−4 −5 3 −10<br />
(ii)<br />
(iii)<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
⎨ 1 2 3 ⎬<br />
A = ⎝ 2 ⎠ , ⎝ 3 ⎠ , ⎝ 1 ⎠<br />
⎩<br />
⎭<br />
3, 1 2<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
−6 1 14<br />
⎪⎨<br />
4<br />
A =<br />
⎜ −14<br />
⎟<br />
⎝ −10 ⎠ , −1<br />
⎜ −2<br />
⎟<br />
⎝ 3 ⎠ , −11<br />
⎪⎬<br />
⎜ 11<br />
⎟<br />
⎝ 30 ⎠<br />
⎪⎩<br />
⎪⎭<br />
2 6 27
2.4 Die Dimension eines linearen Unterraums des K n 61<br />
Übung 2.4.3. Man berechne die Dimensionen von span(A) für<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
⎨ 1 2 3 ⎬<br />
(a) A = ⎝ 2 ⎠ , ⎝ 3 ⎠ , ⎝ 1 ⎠<br />
⎩<br />
⎭ ;<br />
3 1 2<br />
(b) A = {1, 2, 3, 4, . . .} ⊆ R;<br />
(c) A = {e 1 + e 2, e 2 + e 3, e 3 + e 4, e 4 + e 1} ⊆ R n , n ≥ 4.<br />
Übung 2.4.4. Ein Unterraum H von K n heißt eine Hyperebene, wenn dim K H = n − 1.<br />
Seien H eine Hyperebene von K n und V ein Unterraum von K n mit dim K V = h, so<br />
dass V H. Man bestimme dim K (V ∩ H).<br />
Übung 2.4.5. Eine lineare Abbildung ϕ : R 3 → R 3 sei gegeben durch<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 1 0 1<br />
ϕ ⎝1⎠ = ϕ ⎝ 0 ⎠ = ϕ ⎝1⎠ = ⎝−2⎠<br />
0 −1 2 1<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
Man bestimme ϕ ⎝x 2<br />
⎠ und die Dimension von ϕ(R 3 ).<br />
x 3<br />
Übung 2.4.6. Gegeben seien folgende Vektoren in K 4 :<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
0<br />
0<br />
1<br />
−2<br />
1<br />
v 1 = ⎜1<br />
⎟<br />
⎝1⎠ , v2 = ⎜2<br />
⎟<br />
⎝3⎠ , v3 = ⎜1<br />
⎟<br />
⎝1⎠ , v4 = ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ , v5 = ⎜3<br />
⎟<br />
⎝2⎠ , v6 = ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
5<br />
2<br />
1<br />
1<br />
Ferner seien<br />
(a) Man bestimme eine Basis von U 1.<br />
(b) Warum gilt dim K (U 1 ∩ U 2) > 0?<br />
U 1 = span(v 1, v 2, v 3, v 4), U 2 = span(v 5, v 6).<br />
Übung 2.4.7. Es sei U ⊆ K n ein linearer Unterraum und ϕ: K n → K m eine lineare Abbildung.<br />
Man zeige, dass dim K<br />
(<br />
ϕ(U)<br />
)<br />
≤ dimK (U).<br />
1<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .
3<br />
Matrizenrechnung<br />
In diesem Kapitel führen wir lineare Abbildungen K n → K m ein, beschreiben,<br />
welcher Zusammenhang zwischen Matrizen und solchen Abbildungen besteht, und<br />
zeigen, wie dieser Zusammenhang die Matrizenrechnung motiviert. Insbesondere<br />
werden das Matrizenprodukt, die Inversion von Matrizen und der Rang einer Matrix<br />
eingeführt. Wir schreiben die Elemente des n-dimensionalen Zahlenraumes K n hier<br />
in der Regel als Spaltenvektoren.<br />
3.1 Matrizen und lineare Abbildungen<br />
Gegeben sei eine Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a 1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
A := ⎝ . . ⎠<br />
a m1 · · · a mn<br />
mit Einträgen in einem Körper K. Dieser Matrix ordnet man eine Abbildung<br />
zu, die durch<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
⎜<br />
x := ⎝ .<br />
x n<br />
gegeben ist.<br />
⎟<br />
⎠ ϕ A<br />
↦−→<br />
ϕ A : K n → K m<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 x 1 + · · · + a 1n x n<br />
⎜<br />
⎝ .<br />
.<br />
a m1 x 1 + · · · + a mn x n<br />
⎟<br />
⎠ =: ϕ A (x) ∈ K m<br />
Wir bezeichnen die Menge aller Matrizen mit m Zeilen, n Spalten und Koeffizienten<br />
in K mit Mat(m × n, K) der auch mit K m×n .<br />
Für A ∈ Mat(m×n, K) und b ∈ K m lässt sich das zugehörige lineare Gleichungssystem<br />
n∑<br />
a ij x j = b i , i = 1, . . . , m (LGS)<br />
wie folgt schreiben:<br />
j=1<br />
ϕ A (x) = b.
64 3 Matrizenrechnung<br />
An dieser Stelle machen wir einen kleinen Exkurs zum Thema Abbildungen.<br />
Grob gesprochen, haben Abbildungen den Zweck, Definitions- und Wertebereich zu<br />
vergleichen. Betrachte die folgenden Definitionen: Sei ϕ: N → M eine Abbildung.<br />
(a) ϕ heißt injektiv, wenn es zu jedem m ∈ M höchstens ein n ∈ N mit ϕ(n) = m<br />
gibt, d.h. aus ϕ(n) = ϕ(n ′ ) folgt n = n ′ .<br />
(b) ϕ heißt surjektiv, wenn zu jedem m ∈ M mindestens ein n ∈ N mit ϕ(n) = m<br />
gibt.<br />
(c) ϕ heißt bijektiv, wenn ϕ injektiv und surjektiv ist, d.h. zu jedem m ∈ M<br />
existiert genau ein n ∈ N mit ϕ(n) = m.<br />
(d) Sei N ′ eine Teilmenge von N. Dann heißt ϕ(N ′ ) := {ϕ(n) | n ∈ N ′ } das Bild<br />
von N ′ unter ϕ. Man nennt ϕ(N) auch einfach das Bild von ϕ.<br />
(e) Sei M ′ eine Teilmenge von M. Dann heißt ϕ −1 (M ′ ) := {n ∈ N | ϕ(n) ∈ M ′ }<br />
das Urbild von M ′ unter ϕ.<br />
Die Interpretation von Abbildungen als Vergleichsmaßstab liefert dann, dass N<br />
kleiner“ als M ist, falls es eine injektive Abbildung ϕ: N → M gibt. Dagegen ist<br />
”<br />
N größer“ als M, falls es eine surjektive Abbildung ϕ: N → M gibt.<br />
”<br />
Diese Art von Vergleich kann man über Abbildungen auch sehr gut quantitativ<br />
fassen.<br />
Auf Gleichungssysteme angewandt, liefern die Begriffe injektiv, surjektiv und<br />
bijektiv:<br />
ϕ A injektiv: Zu b ∈ K m existiert höchstens eine Lösung von (LGS).<br />
ϕ A surjektiv: Zu b ∈ K m existiert mindestens eine Lösung von (LGS).<br />
ϕ A bijektiv: Zu b ∈ K m existiert genau eine Lösung von (LGS).<br />
Abbildungen mit zueinander passenden Definitions- und Wertebereichen kann<br />
man verknüpfen: Für zwei Abbildungen ϕ: N → M und ψ : M → L definiert man<br />
ψ ◦ ϕ: N → L durch<br />
(ψ ◦ ϕ)(n) = ψ ( ϕ(n) ) ∀n ∈ N.<br />
Wenn ρ: L → P eine weitere Abbildung ist, dann folgt aus dieser Definition der<br />
Verknüpfung (Hintereinanderausführung) von Abbildungen sofort<br />
(ρ ◦ ψ) ◦ ϕ = ρ ◦ (ψ ◦ ϕ),<br />
d.h. die Verknüpfung von Abbildungen ist eine assoziative Operation.<br />
Eine Abbildung ψ : M → N heißt Umkehrabbildung von ϕ: N → M, wenn<br />
ψ ◦ ϕ = id N und ϕ ◦ ψ = id M gibt. Eine Abbildung ϕ: N → M hat höchstens eine<br />
Umkehrabbildung: Wenn nämlich ψ 1 , ψ 2 : M → N beides Umkehrabbildungen sind,<br />
dann gilt<br />
ψ 1 = ψ 1 ◦ id M = ψ 1 ◦ (ϕ ◦ ψ 2 ) = (ψ 1 ◦ ϕ) ◦ ψ 2 = id N ◦ψ 2 = ψ 2 .<br />
Man bezeichnet die Umkehrabbildung von ϕ (wenn sie existiert - in diesem Fall<br />
nennen wir ϕ umkehrbar oder invertierbar) mit ϕ −1 : M → N.<br />
Wenn ϕ eine Umkehrabbildung hat, dann ist ϕ bijektiv: Aus ϕ(n) = ϕ(n ′ ) folgt<br />
n = ϕ −1 ◦ ϕ(n) = ϕ −1 ◦ ϕ(n ′ ) = n ′<br />
und für m ∈ M gilt m = ϕ ( ϕ −1 (m) ) . Umgekehrt, wenn ϕ: N → M eine bijektive<br />
Abbildung ist, dann gibt es eine Umkehrabbildung ϕ −1 : M → N zu ϕ, die durch<br />
ϕ(n) ↦→ n definiert ist.
3.1 Matrizen und lineare Abbildungen 65<br />
Die beiden folgenden Lemmata sind nützlich, wenn es darum geht, nachzuweisen,<br />
dass eine Abbildung ψ : M → N die Umkehrabbildung von ϕ ist:<br />
Lemma 3.1.1. Seien ϕ: N → M und ψ : M → N Abbildungen. Wenn ϕ injektiv<br />
ist, dann folgt aus ϕ ◦ ψ = id M die Gleichheit ψ ◦ ϕ = id N .<br />
Beweis. Für n ∈ N gilt ϕ ( ψ ◦ ϕ(n) ) = ϕ(n), also ψ ◦ ϕ(n) = n, weil ϕ injektiv<br />
ist.<br />
⊓⊔<br />
Lemma 3.1.2. Sei ϕ: N → M eine bijektive Abbildung und ψ : M → N eine weitere<br />
Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:<br />
(1) ϕ ◦ ψ = id M .<br />
(2) ψ ◦ ϕ = id N .<br />
Beweis. (1) ⇒ (2)“: Dies folgt aus Lemma 3.1.1.<br />
”<br />
(2) ⇒ (1)“: Wegen Lemma 3.1.1 genügt es zu zeigen, dass ψ injektiv ist. Dazu sei<br />
”<br />
ψ(m) = ψ(m ′ ) mit m, m ′ ∈ M. Da ϕ surjektiv ist, gibt es n, n ′ ∈ N mit ϕ(n) = m<br />
und ϕ(n ′ ) = m ′ . Aber dann gilt<br />
n = ψ ◦ ϕ(n) = ψ(m) = ψ(m ′ ) = ψ ◦ ϕ(n ′ ) = n ′<br />
und somit m = m ′ .<br />
⊓⊔<br />
Für A ∈ Mat(m × n, K) und x ∈ K n führen wir folgende Schreibweise ein:<br />
Ax := ϕ A (x).<br />
Wenn man alle Vektoren (als Spaltenvektoren) ausschreibt, liest sich das wie folgt:<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a 1n x 1 a 11 x 1 + · · · + a 1n x n<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . ⎠ ⎝ . ⎠ = ⎝ .<br />
. ⎠ .<br />
a m1 · · · a mn x n a m1 x 1 + · · · + a mn x n<br />
Lemma 3.1.3. Sei A ∈ Mat(m × n, K). Dann gilt<br />
ϕ A (rx + sy) = rϕ A (x) + sϕ A (y), ∀r, s ∈ K ∀x, y ∈ K n .<br />
Beweis. Dies folgt sofort aus folgender Rechnung (vgl. Satz 2.1.1)<br />
a i1 (rx 1 +sy 1 )+. . .+a in (rx n +sy n ) = r(a i1 x 1 +. . .+a in x n )+s(a i1 y 1 +. . .+a in y n ).<br />
⊓⊔<br />
Definition 3.1.4. Eine Abbildung ϕ: K n ↦→ K m heißt K-linear, wenn<br />
ϕ(rx + sy) = rϕ(x) + sϕ(y) ∀r, s ∈ K, ∀x, y ∈ K n .<br />
Die Menge aller K-linearen Abbildungen von K n → K m wird mit Hom K (K n , K m )<br />
bezeichnet. Wenn aus dem Kontext klar ist, mit welchem Körper man arbeitet,<br />
spricht man einfach von linearen Abbildungen.
66 3 Matrizenrechnung<br />
Mit Induktion sieht man sofort, dass für jede Linearkombination ∑ s<br />
j=1 c jv j ∈ K n<br />
mit v j ∈ K n und c j ∈ K sowie jede lineare Abbildung ϕ: K n → K m gilt<br />
( s∑ )<br />
ϕ c j v j =<br />
j=1<br />
s∑<br />
c j ϕ(v j ).<br />
j=1<br />
Satz 3.1.5. Jede lineare Abbildung ϕ: K n ↦→ K m ist von der Form ϕ A mit A ∈<br />
Mat(m × n, K). Das A ist dabei eindeutig bestimmt, d.h. die Abbildung<br />
ist bijektiv.<br />
Φ: Mat(m × n, K) → Hom K (K n , K m )<br />
A ↦→ ϕ A<br />
Beweis. Idee: Betrachte für alle linearen Abbildungen die Bilder der Standardbasis. Die<br />
j-te Spalte der gesuchten Matrix ist das Bild des j-ten Standardbasisvektors.<br />
Gegeben sei ϕ ∈ Hom K (K n , K m ). Betrachte die Bilder der Standardbasis für K n<br />
unter ϕ<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
.<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
a 1j<br />
K n ϕ<br />
∋ e j =<br />
1<br />
⎜<br />
↦→<br />
. ⎟<br />
⎝ . ⎠ := ϕ(e j ) ∈ K m .<br />
0<br />
a<br />
⎜ ⎟<br />
mj<br />
⎝ . ⎠<br />
0<br />
Für die Matrix<br />
gilt dann<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a 1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
A = ⎝ . . ⎠<br />
a m1 · · · a mn<br />
⎛ ⎞<br />
a 1j<br />
⎜ ⎟<br />
ϕ A (e j ) = ⎝ . ⎠ = ϕ(e j ).<br />
a mj<br />
Da jedes x als Linearkombination x = ∑ n<br />
j=1 c je j der Standardbasis geschrieben<br />
werden kann und wegen der Linearität von ϕ die Identität<br />
ϕ A (x) =<br />
n∑<br />
c j ϕ A (e j ) =<br />
j=1<br />
n∑<br />
c j ϕ(e j ) = ϕ(x)<br />
gilt, folgt daraus, dass ϕ A (x) = ϕ(x) für alle x ∈ K n .<br />
Um die Eindeutigkeit von A mit ϕ A = ϕ zu zeigen, nehmen wir an, dass ϕ A =<br />
ϕ A ′. Wenn A = (a ij ) i = 1 , ... , n und A ′ = (a ′ ij) i = 1 , ... , n , dann ist der i–te Eintrag<br />
j = 1 , ... , m<br />
j = 1 , ... , m<br />
von ϕ A (e j ) gleich a ij und der i–te Eintrag von ϕ A ′(e j ) gleich a ′ ij . Also gilt a ij = a ′ ij<br />
für alle i ∈ {1, . . . , m} und j ∈ {1, . . . , n}.<br />
⊓⊔<br />
j=1<br />
In der Analysis spielen die linearen Abbildungen aus Hom R (R n , R m ) eine ganz<br />
zentrale Rolle. Durch sie beschreibt man nämlich die Ableitungen, die geometrisch
3.1 Matrizen und lineare Abbildungen 67<br />
nichts anderes sind als lineare Approximationen der zu untersuchenden differenzierbaren<br />
Abbildungen. Im Falle skalarwertiger Funktionen in einer Variablen hat<br />
man n = m = 1 und die lineare Abbildung wird durch eine 1 × 1-Matrix, d.h. eine<br />
Zahl beschrieben. Diese Zahl ist nichts anderes als die Steigung der Tangente an<br />
den Graphen, d.h. der Wert der Ableitung der Funktion an der gegebenen Stelle. In<br />
mehreren Variablen ist die resultierende Matrix genau die Jacobi-Matrix, die man<br />
aus den partiellen Ableitungen bildet.<br />
Die Umkehrabbildung von Φ: Mat(m × n, K) → Hom K (K n , K m ) bezeichnen wir<br />
mit ϕ ↦→ A ϕ . Damit gilt insbesondere<br />
und<br />
A ϕB<br />
ϕ Aψ<br />
= Φ −1 (ϕ B ) = Φ −1( Φ(B) ) = B<br />
= Φ(A ψ ) = Φ ( Φ −1 (ψ) ) = ψ<br />
für alle B ∈ Mat(m × n, K) und alle ψ ∈ Hom K (K n , K m ).<br />
Beispiel 3.1.6. (i) Identität:<br />
(ii) Streckung mit c ∈ K:<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 · · · 0<br />
}<br />
id : K n → K n<br />
, A<br />
x ↦→ x<br />
id = 1 n :=<br />
0 1 . . . .<br />
⎜ .<br />
⎝ . . . . ⎟<br />
. .. 0 ⎠ .<br />
0 · · · 0 1<br />
⎛ ⎞<br />
c 0 · · · 0<br />
}<br />
ϕ : K n → K n<br />
.<br />
, A<br />
x ↦→ cx<br />
ϕ =<br />
0 c .. .<br />
⎜<br />
⎝ . . . . ⎟<br />
. .. 0 ⎠ .<br />
0 · · · 0 c<br />
(iii) Spiegelung an der von e 2 und e 3 aufgespannten Ebene:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
−x 1<br />
−1 0 0<br />
⎝ x 2<br />
⎠ ↦→<br />
ϕ ⎝ x 2<br />
⎠ , A ϕ = ⎝ 0 1 0 ⎠<br />
x 3 x 3<br />
0 0 1<br />
⊓⊔<br />
Die Verknüpfung ϕ B ◦ ϕ A : K n → K l zweier linearer Abbildungen<br />
ist wieder linear:<br />
K n<br />
ϕ A<br />
−→ K m ϕ B<br />
−→ K l<br />
(ϕ B ◦ ϕ A )(rx + sy) = ϕ B (ϕ A (rx + sy))<br />
= ϕ B (rϕ A (x) + sϕ A (y))<br />
= rϕ B (ϕ A (x)) + sϕ B (ϕ A (y))<br />
= r(ϕ B ◦ ϕ A )(x) + s(ϕ B ◦ ϕ A )(y).<br />
Daher findet man nach Satz 3.1.5 eine eindeutig bestimmte Matrix P ∈ Mat(l ×<br />
n, K) mit ϕ B ◦ ϕ A = ϕ P . Wir bezeichnen dieses P mit BA und nennen es das
68 3 Matrizenrechnung<br />
Matrizenprodukt von B und A. Wenn zusätzlich C ∈ Mat(k × l, K), d.h. ϕ C ∈<br />
Hom K (K l , K k ), dann hat man ϕ C ◦ (ϕ B ◦ ϕ A ) = (ϕ C ◦ ϕ B ) ◦ ϕ A , also gilt<br />
(CB)A = C(BA),<br />
d.h., das Matrizenprodukt ist assoziativ.<br />
Wir geben eine explizite Formel für das Matrizenprodukt an:<br />
Satz 3.1.7 (Matrizenmultiplikation). Seien A ∈ Mat(m × n, K), B ∈ Mat(l ×<br />
m, K). Dann gilt<br />
m∑<br />
ϕ B ◦ ϕ A = ϕ P mit P = BA ∈ Mat(l × n, K), wobei p ij = b ik a kj .<br />
Schema:<br />
Zeile × Spalte“<br />
”<br />
k=1<br />
l<br />
B<br />
m<br />
A<br />
m<br />
=<br />
BA<br />
n<br />
l<br />
n<br />
Beweis.<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞ 1<br />
0<br />
a 1j<br />
⎜ ⎟<br />
0<br />
ϕ A (e j ) = ⎝ . ⎠ = a 1j ⎜ ⎟ + . . . + a mj ⎜ .<br />
⎟<br />
⎝ . ⎠<br />
⎝ 0 ⎠<br />
a mj<br />
0<br />
1<br />
} {{ }<br />
} {{ }<br />
=:f 1<br />
=:f m<br />
,<br />
d.h. {f 1 , . . . , f m } ist die Standardbasis für K m . Analog erhält man:<br />
⎛ ⎞<br />
b 1k<br />
⎜ ⎟<br />
ϕ B (f k ) = ⎝ . ⎠ = b 1k g 1 + . . . + b lk g l ,<br />
b lk<br />
wobei {g 1 , . . . , g l } ist die Standardbasis für K l ist.<br />
ϕ B ◦ ϕ A (e j ) = ϕ B (a 1j f 1 + . . . + a mj f m )<br />
= a 1j ϕ B (f 1 ) + . . . + a mj ϕ B (f m )<br />
= a 1j (b 11 g 1 + . . . + b l1 g l ) + . . . + a mj (b 1m g 1 + . . . + b lm g l )<br />
= (a 1j b 11 + . . . + a mj b 1m )g 1 + . . . + (a 1j b l1 + . . . + a mj b lm )g l<br />
m∑<br />
m∑<br />
= (b 1k a kj )g 1 + . . . + (b lk a kj )g l ,<br />
k=1<br />
k=1<br />
d.h. die j–te Spalte von BA ist:<br />
⎛ ⎞<br />
m∑<br />
b 1k a kj<br />
k=1<br />
⎜ .<br />
⎟<br />
⎝ m∑ ⎠<br />
b lk a kj<br />
Damit folgt die Behauptung.<br />
k=1<br />
⊓⊔
3.1 Matrizen und lineare Abbildungen 69<br />
Beispiel 3.1.8. (i) Die Elemente des n-dimensionalen Zahlenraums (Spaltenvektoren)<br />
lassen sich als Matrizen interpretieren: K n = Mat(n × 1, K). Wenn also<br />
A ∈ Mat(m × n, K) und x ∈ K n , dann gilt für das Matrizenprodukt Ax<br />
⎛<br />
⎛ ⎛<br />
Ax =<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞ ⎞<br />
a 11 · · · a 1n x 1<br />
⎟ ⎜<br />
. . ⎠ ⎝ .<br />
a m1 · · · a mn x n<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
a 11 x 1 + · · · + a 1n x n<br />
.<br />
.<br />
a m1 x 1 + · · · + a mn x n<br />
⎟<br />
⎠ = ϕ A (x),<br />
d.h., die Notation für das Matrizenprodukt ist kompatibel mit unserer vorherigen<br />
Setzung Ax = ϕ A (x). Das lineare Gleichungssystem (LGS) mit erweiterter<br />
Koeffizientenmatrix (A, b) lässt sich schreiben: Ax = b.<br />
(ii) Für alle A ∈ Mat(m × n, K) gilt 1 m A = A, d.h.<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
1 0 a 11 · · · a 1n<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ . .<br />
0 1 a m1 · · · a mn<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a 1n<br />
⎜<br />
⎝ . .<br />
a m1 · · · a mn<br />
und A1 n = A.<br />
(iii) Für y ∈ Mat(1 × n, K) (= K n als Zeilenvektoren) und x ∈ Mat(n × 1, K) (= K n<br />
als Spaltenvektoren) gilt<br />
⎛<br />
⎞<br />
x 1<br />
⎜<br />
yx = (y 1 , . . . , y n ) ⎝ .<br />
x n<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
⎟<br />
⎠ = y 1 x 1 + . . . + y n x n .<br />
(iv) Das folgende Beispiel zeigt, dass das Matrizenprodukt selbst auf quadratischen<br />
Matrizen nicht kommutativ ist.<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1<br />
= ≠ =<br />
.<br />
0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0<br />
Beispiel 3.1.9. Die elementaren Zeilenumformungen können durch Multiplikationen<br />
mit bestimmten Elementarmatrizen von links beschrieben werden. Die entsprechenden<br />
elementaren Spaltenumformungen erreicht man durch Multiplikation<br />
mit Elementarmatrizen von rechts.<br />
(i)<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0<br />
. ..<br />
1<br />
0 0 . . . 0 1<br />
0 1 0 0<br />
0 . . .<br />
. .. . .. .<br />
. 0 1 0<br />
1 0 . . . 0 0<br />
1<br />
. ..<br />
⎞<br />
}<br />
0<br />
{{<br />
1<br />
}<br />
E I(p,q) ∈Mat(m×m,K)<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a 1n a 11 · · · a 1n<br />
. .<br />
. .<br />
a p1 · · · a pn<br />
a q1 · · · a qn<br />
. .<br />
=<br />
. .<br />
.<br />
a q1 · · · a qn<br />
a p1 · · · a pn<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . ⎠ ⎝ . . ⎠<br />
a<br />
⎟ m1 · · · a mn a m1 · · · a mn<br />
⎠<br />
⊓⊔
70 3 Matrizenrechnung<br />
(ii)<br />
(iii)<br />
⎛<br />
1<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
1<br />
c<br />
1<br />
⎛<br />
⎝ 0 0 1<br />
⎞ ⎛<br />
0 1 0 ⎠ ⎝ 2 1 3<br />
⎞ ⎛<br />
2 3 1 ⎠ = ⎝ 7 8 9<br />
⎞<br />
2 3 1 ⎠<br />
1 0 0 7 8 9 2 1 3<br />
} {{ }<br />
E I(1,3) ∈Mat(3×3,R)<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a 1n a 11 · · · a 1n<br />
.<br />
.<br />
a p1 · · · a pn<br />
=<br />
ca p1 · · · ca pn<br />
.<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
. ⎟ . ⎠ ⎝ . ⎠<br />
.. ⎠ a m1 · · · a mn a m1 · · · a mn<br />
1<br />
} {{ }<br />
E II(p;c) c≠0<br />
(iv)<br />
⎛<br />
1<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
1<br />
1 . . . c<br />
. 1 .<br />
.<br />
. .. .<br />
. 1 .<br />
0 . . . 1<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a 1n<br />
a 11 · · · a 1n<br />
. .<br />
.<br />
.<br />
a p1 · · · a pn<br />
a p1 + ca q1 · · · a pn + ca qn<br />
. .<br />
=<br />
.<br />
.<br />
a q1 · · · a qn<br />
a q1 · · · a qn<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
. . ⎠ ⎝ .<br />
. ⎠<br />
. ⎟ .. ⎠ a m1 · · · a mn a m1 · · · a mn<br />
1<br />
} {{ }<br />
E III(c,q;p) ∈Mat(m×m,K)<br />
Das c ist oberhalb bzw. unterhalb der Diagonale, je nach dem, ob q > p oder<br />
q < p gilt.<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0 0 2 1 3 2 1 3<br />
(v) ⎝ 2 1 0 ⎠ ⎝ 2 3 1 ⎠ = ⎝ 6 5 7 ⎠<br />
0 0 1 7 8 9 7 8 9<br />
⊓⊔<br />
Übungen zu Abschnitt 3.1<br />
Abbildungen<br />
Übung 3.1.1. Es sei f : M → N eine Abbildung. Zeige:<br />
f surjektiv ⇐⇒ N \ f(A) ⊂ f(M \ A) für alle A ⊂ M .<br />
Übung 3.1.2. Seien A und B zwei Mengen mit jeweils n Elementen und ϕ: A → B eine<br />
Abbildung. Man zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:<br />
(1) ϕ ist bijektiv.
3.1 Matrizen und lineare Abbildungen 71<br />
(2) ϕ ist injektiv.<br />
(3) ϕ ist surjektiv.<br />
Übung 3.1.3. Seien X, Y und Z beliebige Mengen mit Abbildungen f : X → Y und<br />
g : Y → Z. Sei f surjektiv. Man betrachte folgende Eigenschaften:<br />
A: g ◦ f ist injektiv.<br />
B: g ist injektiv.<br />
Man beweise, dass g injektiv ist, wenn g ◦ f injektiv ist, auf folgende Weise:<br />
(a) Mit direktem Beweis: A ⇒ B.<br />
(b) Durch Kontraposition der Implikation: Nicht B ⇒ nicht A.<br />
(c) Mit einem Widerspruchsbeweis.<br />
(d) Man nehme jetzt an, daß X, Y und Z Vektorräume und f und g linear sind. Man gebe<br />
einen vierten Beweis mittels der Eigenschaft: Es seien V und W Vektorräume. Eine<br />
lineare Abbildung h : V → W ist genau dann injektiv, wenn h −1 ({0}) = {0}.<br />
Übung 3.1.4. Entscheide, ob die folgenden Abbildungen umkehrbar sind und bestimme<br />
gegebenenfalls die Umkehrabbildung. Hierbei sei 2Z = {2·k | k ∈ Z} die Menge der geraden<br />
Zahlen.<br />
ϕ 1 : Z → 2Z, k ↦→ 2k , ϕ 2 : Z → N, x ↦→ x 2 ,<br />
( )<br />
ϕ 3 : R → R, x ↦→ 2 x − 3 ,<br />
ϕ 4 : R → R 2 x<br />
, x ↦→, ,<br />
−x<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )<br />
ϕ 5 : R 2 → R 2 x1 x1 − x 2<br />
, ↦→<br />
, ϕ<br />
x 2 −x 1 + x 6 : R 2 → R 2 x1 x1 − x 2<br />
, ↦→<br />
.<br />
2 x 2 x 1 + x 2<br />
Gibt es eine Abbildung ϕ : N → Z, die umkehrbar ist?<br />
Lineare Abbildungen<br />
Übung 3.1.5. Eine lineare Abbildung ϕ : R 2 → R 3 sei gegeben durch<br />
Man bestimme ϕ((5, 7)) und ϕ((x 1, x 2)).<br />
ϕ((1, 1)) = (1, 0, −2)<br />
ϕ((1, 2)) = (0, 1, −1).<br />
Übung 3.1.6. Eine lineare Abbildung ϕ : R 3 → R 2 sei gegeben durch<br />
ϕ((1, 1, 1)) = (2, 1) ,<br />
ϕ((1, 2, 0)) = (1, 0) ,<br />
ϕ((2, 0, 1)) = (3, 2) .<br />
Man bestimme ϕ((1, 2, 3)) und ϕ((x 1, x 2, x 3)).<br />
Übung 3.1.7. Seien ϕ, ψ Abbildungen gegeben durch<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
( )<br />
ϕ : R 3 → R 2 , ⎝x 2<br />
⎠ x1 + x 2<br />
↦→ , ψ : R 2 → R 4 ,<br />
x<br />
x 3 − x 1<br />
3<br />
⎛ ⎞<br />
)<br />
3 x 1 − x 2<br />
↦→ ⎜ x 2<br />
⎟<br />
x 2<br />
⎝ −x 1<br />
⎠ .<br />
3x 1 − 2x 2<br />
Zeige, dass ϕ, ψ lineare Abbildungen sind und bestimme die Verknüpfung ψ ◦ ϕ.<br />
(<br />
x1<br />
Übung 3.1.8. Es seien die folgenden Matrizen A 1, A 2, B 1, B 2 gegeben:<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
A 1 =<br />
⎜ 1<br />
⎟ ∈ Mat(5 × 1, R),<br />
⎝ 1 ⎠ A2 = −2<br />
5<br />
∈ Mat(7 × 1, R),<br />
⎜ 4<br />
⎟<br />
1<br />
⎝ −6 ⎠<br />
−5
72 3 Matrizenrechnung<br />
B 1 = (−2, 1, 2, 0, −1) ∈ Mat(1 × 5, R), B 2 = (2, −1, 3, 1, −1, 0, 0) ∈ Mat(1 × 7, R).<br />
Bestimme die Mengen<br />
ϕ A1 (R), ϕ A2 (R), ϕ B1 (R 7 ), ϕ B2 (R 5 ), ϕ A1 B 1<br />
(R 7 ), ϕ B1 A 1<br />
(R), ϕ A2 B 2<br />
(R 5 ), ϕ B2 A 2<br />
(R).<br />
Übung 3.1.9. Es seien<br />
ϕ : R 2 → R 3 ,<br />
ψ : R 3 → R 2 ,<br />
⎛ ⎞<br />
( ) x 1 + 2x 2<br />
x1<br />
↦→ ⎝ 2x<br />
x 1 + x 2<br />
⎠<br />
2<br />
x 2<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
(<br />
)<br />
⎝ x 2<br />
⎠<br />
x 1<br />
↦→<br />
.<br />
3x<br />
x 1 + 2x 2 + x 3<br />
3<br />
Man bestimme Matrizen A, B, C, D, so dass ϕ = ϕ A, ψ = ϕ B, ϕ ◦ ψ = ϕ C, ψ ◦ ϕ = ϕ D<br />
gilt.<br />
Übung 3.1.10. (a) Was bewirkt die Abbildung, die zu der Matrix<br />
( )<br />
cos α − sin α<br />
A =<br />
sin α cos α<br />
gehört (geometrische Deutung)?<br />
(b) Es seien gegeben die Matrizen<br />
( )<br />
cos α − sin α<br />
A =<br />
sin α cos α<br />
( )<br />
cos β − sin β<br />
und B =<br />
.<br />
sin β cos β<br />
Überprüfe die folgenden Additionstheoreme durch geeignete Matrizenmultiplikationen:<br />
(i) sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β.<br />
(ii) cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.<br />
(ii) sin 2 α + cos 2 α = 1.<br />
Übung 3.1.11. (a) Sei a = (a 1, a 2) ∈ R 2 . Zeige, dass die Abbildung σ a : R 2 → R 2 , die<br />
durch<br />
2(a1x1 + a2x2)<br />
σ a(x) := x −<br />
(a 2 1 + a2 2 ) a<br />
definiert wird, linear ist.<br />
(b) Sei a = (a 1, a 2) ≠ (0, 0). Berechne die Menge<br />
F := {x ∈ R 2 : σ a(x) = x}<br />
und interpretiere F geometrisch.<br />
(c) Bestimme die Matrix, die zu σ a gehört, und interpretiere σ a geometrisch.<br />
(d) Sei a = (1, 0) und b = (sin α, cos α). Bestimme die Matrix, die zu σ b ◦ σ a gehört und<br />
interpretiere die Abbildung σ b ◦ σ a geometrisch.<br />
Übung 3.1.12. Gibt es im R 2 zwei Vektoren mit ganzzahligen Komponenten, die einen<br />
Winkel von 30 ◦ einschließen?<br />
Übung 3.1.13. Gib jeweils eine von Null verschiedene Matrix A ∈ Mat(3 × 3, R) an, für<br />
die ϕ A die folgenden Eigenschaften hat (mit Beweis der Eigenschaft):<br />
(i) ϕ A ist surjektiv.<br />
(ii) ϕ A ist injektiv.<br />
(iii) ϕ A ist nicht surjektiv.<br />
(iv) ϕ A ist nicht injektiv.<br />
Übung 3.1.14.<br />
1. Es sei eine Abbildung ϕ : R 2 → R 3 gegeben durch<br />
⎛ ⎞<br />
(( )) x 2<br />
x1<br />
ϕ = ⎝3 x<br />
x 1 − x 2<br />
⎠ .<br />
2<br />
2 x 2<br />
Zeige zunächst, dass ϕ R-linear ist, und bestimme anschließend eine geeignete Matrix<br />
A, so dass ϕ = ϕ A gilt.
3.1 Matrizen und lineare Abbildungen 73<br />
{( 1<br />
2. Bestimme eine lineare Abbildung ϕ : R 2 → R 2 mit ϕ(R 2 ) = span .<br />
1)}<br />
Übung 3.1.15. Man bestimme die Matrix der linearen Abbildung ϕ : R 2 → R 3 , die durch<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
( 1 ( 2<br />
1<br />
ϕ = ⎝3⎠ 2<br />
, ϕ = ⎝2⎠<br />
2)<br />
0)<br />
4<br />
4<br />
gegeben ist.<br />
Übung 3.1.16. Die sieben Zwerge sitzen rund um einen Tisch, jeder mit einer Tasse vor<br />
sich. In den Tassen befinden sich unterschiedliche Mengen Milch; insgesamt sind es drei<br />
Liter.<br />
Nun verteilt der erste Zwerg den Inhalt seiner Tasse gleichmäßig auf die übrigen sechs;<br />
anschließend tut dies auch der zweite, usw. Nachdem schließlich auch der siebte Zwerg den<br />
Inhalt seiner Tasse gleichmäßig auf die übrigen sechs verteilt hat, stellen die sieben Zwerge<br />
fest, dass jeder gerade so viel Milch in seiner Tasse hat wie zu Beginn.<br />
Wie viel Milch hatte am Anfang jeder Zwerg in seiner Tasse?<br />
Matrizenmultiplikation<br />
Übung 3.1.17. Die Multiplikation einer Matrix mit einer Elementarmatrix von links liefert<br />
die elementaren Zeilenumformungen. Interpretiere die Multiplikation einer Matrix mit<br />
einer Elementarmatrix von rechts.<br />
Übung 3.1.18. Sei A ∈ Mat(n × n, R) und schreibe A 2 := AA, A 3 = AAA, . . . Berechne<br />
A 4 für folgende Matrizen A:<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞ 1 7 0 0 0 2 1 0 0 2<br />
0 1 7 9<br />
⎜ 0 0 3 2<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 8 ⎠ ,<br />
0 −1 0 0 0<br />
⎜ 0 0 0 1 0<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠ ,<br />
0 2 0 0 0<br />
⎜ 0 0 2 0 0<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ .<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0 0 1<br />
0 0 0 0 0<br />
Übung 3.1.19. Betrachte die Matrizen<br />
⎛ ⎞<br />
0 0 0 1 1<br />
0 0 0 1 1<br />
A =<br />
⎜ 0 0 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 1 1 0 0 0 ⎠ ,<br />
1 1 0 0 0<br />
⎛ ⎞<br />
0 0 a b<br />
B 2 = ⎜ 0 0 c d<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 0 ⎠ ,<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0 1 1<br />
0 0 0 0 1<br />
⎛ ⎞<br />
0 0 0 0<br />
B1 = ⎜ 0 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝ a b 0 0 ⎠<br />
c d 0 0<br />
⎛ ⎞<br />
1 −1 0 0<br />
C = ⎜ 0 −1 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 1 −1 1 −1 ⎠<br />
0 −1 0 −1<br />
und berechne A 2 , A 3 , A 4 , B 1C, B 2C, B 2 1, C 2 . Kann man etwas über A 7 sagen, ohne zu rechnen?<br />
Übung 3.1.20. Es seien A, B ∈ Mat(n × n, R) mit AB = 1 n. Zeige, dass auch BA = 1 n<br />
gilt.<br />
Übung 3.1.21. Man zeige: Die Menge<br />
{( ) x −y<br />
M :=<br />
y x<br />
}<br />
| x, y ∈ R<br />
mit der üblichen Matrizenaddition und Multiplikation bildet einen Körper.
74 3 Matrizenrechnung<br />
Übung 3.1.22. Es sei ϕ : R 3 → R 3 die lineare Abbildung, die durch<br />
⎛ ⎞<br />
x 1 + x 3<br />
ϕ(x) = ⎝ x 2<br />
⎠<br />
x 1 + x 3<br />
gegeben ist. Schreibe ϕ 2 := ϕ ◦ ϕ, ϕ 3 := ϕ ◦ ϕ ◦ ϕ, usw. Man bestimme ϕ 7 .<br />
Übung 3.1.23 (Diagonalmatrizen). Es sei A ∈ Mat(n × n, K) eine Diagonalmatrix mit<br />
paarweise verschiedenen Einträgen α 1, . . . , α n ∈ K auf der Diagonalen, d.h.<br />
⎛<br />
⎞<br />
α 1 0 · · · 0<br />
0 α 2 0<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
.<br />
. ..<br />
. ⎟ mit αi ≠ αj für i ≠ j.<br />
.. ⎠<br />
0 0 · · · α n<br />
Man zeige: Gilt AB = BA, so ist B ∈ Mat(n × n, K) auch eine Diagonalmatrix.<br />
Übung 3.1.24 (Distributivität der Matrizenmultiplikation). Betrachte Matrizen A, B ∈<br />
Mat(m × n, K), X, Y ∈ Mat(n × k, K) und zeige mit Satz 3.1.7 die beiden folgenden Distributivgesetze:<br />
A(X + Y ) = AX + AY und (A + B)X = AX + BX.<br />
3.2 Bijektivität und Invertierbarkeit<br />
In diesem Abschnitt geben wir Kriterien dafür an, dass eine lineare Abbildung<br />
ϕ ∈ Hom K (K n , K m ) bijektiv ist und erhalten so weitere Kriterien für die eindeutige<br />
Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen. Die dabei entwickelten Methoden<br />
führen auf den Begriff des Rangs einer Matrix, mit dem man dann auch einfache<br />
Kriterien für die Injektivität und Surjektivität von ϕ angeben kann.<br />
Als Vorbereitung beweisen wir eine einfache Proposition die illustriert wie lineare<br />
Abbildungen lineare Strukturen transportieren. Sie wird auch in vielen anderen<br />
Kontexten nützlich sein.<br />
Proposition 3.2.1. Seien ϕ ∈ Hom K (K n , K m ) eine lineare Abbildung und U ⊆<br />
K n , V ⊆ K m lineare Unterräume. Dann gilt:<br />
(i) ϕ(U) ⊆ K m ist ein linearer Unterraum.<br />
(ii) ϕ −1 (V ) = {x ∈ K n | ϕ(x) ∈ V } ⊆ K n ist ein linearer Unterraum.<br />
(iii) Wenn {v 1 , . . . , v k } ⊆ K m linear unabhängig ist und für {u 1 , . . . , u k } ⊆ K n gilt<br />
ϕ(u j ) = v j , dann ist auch {u 1 , . . . , u k } linear unabhängig.<br />
Beweis. Idee: (i) und (ii) folgen direkt aus den Definitionen. Für (iii) wendet man<br />
Korollar 2.2.4 an.<br />
(i) Für r, r ′ ∈ K, x, x ′ ∈ U und y = ϕ(x), y ′ = ϕ(x ′ ) gilt<br />
ry + r ′ y ′ = rϕ(x) + r ′ ϕ(x ′ ) = ϕ(rx + r ′ x ′ ) ∈ ϕ(U).<br />
(ii) Für x, x ′ ∈ ϕ −1 (V ) und r, r ′ ∈ K gilt<br />
ϕ(rx + r ′ x ′ ) = rϕ(x) + r ′ ϕ(x ′ ) ∈ V.
3.2 Bijektivität und Invertierbarkeit 75<br />
(iii) Wenn 0 = ∑ n<br />
j=1 c ju j , dann gilt<br />
( ∑<br />
n )<br />
0 = ϕ(0) = ϕ c j u j =<br />
j=1<br />
n∑<br />
c j ϕ(u j ) =<br />
j=1<br />
n∑<br />
c j v j ,<br />
j=1<br />
also c 1 = . . . = c n = 0 (vgl. Korollar 2.2.4).<br />
⊓⊔<br />
Als nächstes geben wir verschiedene Charakterisierungen der Injektivität von<br />
linearen Abbildungen an, die einerseits den Nachweis von Injektivität erleichtern,<br />
andererseits bei der Charakterisierung der Bijektivität nützlich sein werden. eine<br />
sehr nützliche Größe in diesem Kontext ist der Kern<br />
ker(ϕ) := ϕ −1 ({0}) = {x ∈ K n | ϕ(x) = 0}<br />
einer linearen Abbildung ϕ ∈ Hom K (K n , K m ), der nach Proposition 3.2.1 ein linearer<br />
Unterraum von K n ist.<br />
Proposition 3.2.2. Sei ϕ ∈ Hom K (K n , K m ). Dann sind äquivalent:<br />
(1) ϕ ist injektiv.<br />
(2) ker(ϕ) = {0}.<br />
(3) {ϕ(v 1 ), . . . , ϕ(v n )} ist linear unabhängig für jede Basis {v 1 , . . . , v n } von K n .<br />
(4) {ϕ(v 1 ), . . . , ϕ(v n )} ist linear unabhängig für eine Basis {v 1 , . . . , v n } von K n .<br />
Beweis. Idee: Für ”<br />
(4)⇒(2)“ schreibt man ein Element von ker ϕ als Linearkombination<br />
der v j und wendet ϕ darauf an. Dann liefern Satz 2.3.3 und Korollar 2.2.4 die Behauptung.<br />
Die Implikationen ”<br />
(2) ⇒ (1) ⇒ (3) ⇒ (4)“ verifiziert man direkt mit den Definitionen.<br />
” (2) ⇒ (1)“: Wenn ϕ(x) = ϕ(x′ ), dann gilt wegen der Linearität ϕ(x − x ′ ) = 0 und<br />
dann nach (2) auch x − x ′ = 0. Also ist ϕ injektiv.<br />
” (1) ⇒ (3)“: Aus 0 = ∑ ( ∑<br />
n )<br />
j = 1 n c j ϕ(v j ) = ϕ c j v j<br />
folgt 0 = ∑ n<br />
j=1 c jv j und damit c 1 = . . . = c n = 0.<br />
(3) ⇒ (4)“: Offensichtlich.<br />
”<br />
” (4) ⇒ (2)“: Sei v ∈ ϕ−1 ({0}) und {v 1 , . . . , v n } eine Basis für K n . Dann kann man<br />
v wegen Satz 2.3.3 in der Form v = ∑ n<br />
j=1 c jv j schreiben. Aus ϕ( ∑ n<br />
j=1 c jv j ) = 0<br />
folgt dann ∑ n<br />
j=1 c jϕ(v j ) = 0, und wegen (4) mit Korollar 2.2.4 dann c 1 = . . . =<br />
c n = 0, und schließlich v = ∑ n<br />
j=1 c jv j = 0.<br />
j=1<br />
⊓⊔<br />
Injektivität und Surjektivität von linearen Abbildungen lassen Rückschlüsse auf<br />
die relative Größe von Definitionsbereichen und Bildbereichen zu (vgl. auch die<br />
Bemerkungen auf Seite 64).<br />
Lemma 3.2.3. (i) Wenn ϕ ∈ Hom K (K n , K m ) injektiv ist, dann gilt n ≤ m.<br />
(ii) Wenn ϕ ∈ Hom K (K n , K m ) surjektiv ist, dann gilt n ≥ m.<br />
Beweis. (i) {ϕ(e 1 ), . . . , ϕ(e n )} ist linear unabhängig, also existieren mindestens n<br />
linear unabhängige Vektoren in K m , also n ≤ m (vgl. Beispiel 2.2.6).
76 3 Matrizenrechnung<br />
(ii) {ϕ(e 1 ), . . . , ϕ(e n )} spannt den linearen Unterraum ϕ(K n ) = K m auf, enthält<br />
also nach Satz 2.3.6 eine Basis für K m . Also gilt m ≤ n.<br />
⊓⊔<br />
Wir sehen also, dass ϕ ∈ Hom K (K n , K m ) nur bijektiv sein kann, wenn n = m ist.<br />
Wenn umgekehrt n = m gilt, reicht es Injektivität oder Surjektivität nachzuweisen<br />
um die Bijektivität zu zeigen:<br />
Satz 3.2.4. Sei ϕ ∈ Hom K (K n , K n ). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:<br />
(1) ϕ ist injektiv.<br />
(2) ϕ ist surjektiv.<br />
(3) ϕ ist bijektiv.<br />
(4) ϕ hat eine K-lineare Umkehrabbildung ψ.<br />
Beweis. Idee: Man benutzt die Propositionen 3.2.1 und 3.2.2 um die Äquivalenz von<br />
(1) und (2) zu zeigen und damit auch die Äquivalenz von (1), (2) und (3). Der Rest folgt,<br />
weil Umkehrabbildungen linearer Abbildungen linear sind.<br />
” (1) ⇒ (2)“: Sei {e 1, . . . , e n } die Standardbasis für K n . Nach Proposition 3.2.2 ist<br />
die Menge {ϕ(e 1 ), . . . , ϕ(e n )} linear unabhängig. Wegen dim K (K n ) = n ist also<br />
{ϕ(e 1 ), . . . , ϕ(e n )} eine Basis für K n . Wenn jetzt x ∈ K n beliebig ist, können<br />
wir schreiben<br />
n∑<br />
( ∑<br />
n )<br />
x = d j ϕ(e j ) = ϕ d j e j<br />
j=1<br />
und sehen die Surjektivität von ϕ.<br />
” (2) ⇒ (1)“: Wegen der Surjektivität gibt es v j ∈ K n mit ϕ(v j ) = e j . Nach Proposition<br />
3.2.1 ist {v 1 , . . . , v n } ⊆ K n linear unabhängig, also eine Basis für K n .<br />
Damit folgt die Behauptung aus Proposition 3.2.2.<br />
j=1<br />
Damit haben wir die Äquivalenz der ersten drei Aussagen.<br />
” (3) ⇔ (4)“: Die Implikation (4) ⇒ (3)“ ist klar und wenn (3) gilt, wissen wir,<br />
”<br />
dass ϕ eine eindeutig bestimmte Umkehrabbildung ψ hat. Zu zeigen ist dann<br />
nur noch, dass ψ auch linear ist. Dazu:<br />
ψ(ry 1 + sy 2 ) = ψ ( rϕ(ψ(y 1 )) + sϕ(ψ(y 2 )) ) = ψ ◦ ϕ(rψ(y } {{ } 1 ) + sψ(y 2 ))<br />
id<br />
= rψ(y 1 ) + sψ(y 2 ).<br />
⊓⊔<br />
Wir bringen jetzt zu einer linearen Abbildung ϕ ∈ Hom K (K n , K n ) die zugehörigen<br />
Matrix A ϕ ∈ Mat(n×n, K) ins Spiel und charakterisieren die Bijektivität<br />
von ϕ durch Eigenschaften von A ϕ . Dies führt dann auf den Begriff der inversen<br />
Matrix, der an vielen Stellen wieder auftauchen wird.<br />
Satz 3.2.5. Sei A ∈ Mat(n × n, K). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:<br />
(1) ϕ A ist bijektiv.<br />
(2) Es gibt ein B ∈ Mat(n × n, K) mit BA = 1 n .<br />
(3) Es gibt ein B ∈ Mat(n × n, K) mit AB = 1 n .<br />
(4) Es gibt ein B ∈ Mat(n × n, K) mit BA = AB = 1 n .
3.2 Bijektivität und Invertierbarkeit 77<br />
⎛ ⎞<br />
1 ∗<br />
⎜<br />
(5) A hat eine Zeilenstufenform mit n Stufen: ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠.<br />
1<br />
(6) Jede Zeilenstufenform von A hat n Stufen.<br />
Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, dann gilt B = A ϕ<br />
−1. Insbesondere ist B<br />
A<br />
jeweils eindeutig bestimmt und es handelt sich in den Bedingungen (2)-(4) jeweils<br />
um dasselbe B.<br />
Beweis. Idee: Schreibe ψ für ϕ A und, falls ψ bijektiv ist, setze B = A ψ −1. Dann wende<br />
mehrfach die Sätze 3.1.5 und 3.2.4 an.<br />
Schreibe ψ für ϕ A und, falls ψ bijektiv ist, setze B = A ψ −1 (vgl. Satz 3.1.5).<br />
Dann gilt ϕ B = ϕ (Aψ −1 ) = ψ −1 .<br />
” (1) ⇒ (2)“: Wegen ϕ 1n = id K n = ϕ B ◦ ϕ A = ϕ BA<br />
zeigt Satz 3.1.5, dass BA = 1 n .<br />
” (2) ⇒ (1)“: Beachte, dass id K n = ϕ 1 n<br />
= ϕ BA = ϕ B ◦ ϕ A . Wenn ϕ A (x) = ϕ A (y),<br />
dann gilt<br />
x = ϕ B (ϕ A (x)) = ϕ B (ϕ A (y)) = y.<br />
Also ist ϕ A injektiv, mit Satz 3.2.4 daher sogar bijektiv.<br />
” (1) ⇒ (3)“: Analog zum Schritt “(1) ⇒ (2)” folgt die Identität AB = 1 n aus<br />
id K n = ψ ◦ ψ −1 = ϕ A ◦ ϕ B .<br />
” (3) ⇒ (1)“: Beachte, dass id K n = ϕ A ◦ϕ B die Surjektivität von ϕ A impliziert, also<br />
mit Satz 3.2.4 auch die Injektivität.<br />
(1) ⇔ (4)“: Dies folgt jetzt sofort aus den bisherigen Beweisschritten, weil in den<br />
”<br />
Schritten (1) ⇒ (2)“ und (1) ⇒ (3)“ jeweils das gleiche B benutzt wurde.<br />
” ”<br />
(5) ⇔ (6)“: Da die Anzahl der Stufen einer Zeilenstufenform durch die Dimension<br />
des Lösungsraums der Gleichung Ax = 0 bestimmt wird, ist sie für jede<br />
”<br />
Zeilenstufenform gleich (vgl. Beispiel 2.4.3).<br />
” (1) ⇔ (6)“: ϕ A ist genau dann bijektiv, wenn die Gleichung Ax = b für jedes<br />
b ∈ K n eindeutig lösbar ist. Die analoge Aussage gilt für jede Zeilenstufenform<br />
Z von A. Also ist ϕ A bijektiv genau dann, wenn ϕ Z bijektiv ist. Da die Gleichung<br />
Zx = b nach Bemerkung 1.2.10 genau dann für jede rechte Seite lösbar ist, wenn<br />
sie n Stufen enthält, folgt die Behauptung.<br />
Wenn wir jetzt annehmen, dass die sechs Bedingungen erfüllt sind, dann zeigen<br />
die Argumente in (1) ⇒ (2)“ und (1) ⇒ (3)“, dass B = A ” ” ϕ<br />
−1 die Bedingungen<br />
A<br />
erfüllt. Wenn C eine weitere Matrix mit CA = 1 ist, dann ist (3) erfüllt und damit<br />
auch (1). Also gilt<br />
ϕ C = ϕ C ◦ ϕ A ◦ ϕ −1<br />
A<br />
= ϕ CA ◦ ϕ −1<br />
A<br />
= ϕ 1 ◦ ϕ −1<br />
A<br />
und Satz 3.1.5 liefert C = B. Analog liefert AC = 1 mit<br />
ϕ C = ϕ −1<br />
A<br />
◦ ϕ A ◦ ϕ C = ϕ −1<br />
A<br />
◦ ϕ AC = ϕ −1<br />
A<br />
= ϕ−1 A<br />
◦ ϕ 1 = ϕ −1<br />
A<br />
= ϕ B<br />
= ϕ B<br />
ebenfalls C = B.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 3.2.6. In der Situation von Satz 3.2.5(4) nennt man die Matrix A<br />
invertierbar. Beachte, dass die Matrix B in Satz 3.2.5(2-4) eindeutig bestimmt
78 3 Matrizenrechnung<br />
ist. Die so bestimmte Matrix B heißt dann die inverse Matrix von A und man<br />
schreibt A −1 dafür.<br />
Der Satz 3.2.5 zeigt insbesondere noch einmal, dass für A, B ∈ Mat(n × n, K)<br />
die Gleichungen AB = 1 und BA = 1 äquivalent sind. Es muss also nur eine von<br />
beiden nachgewiesen werden, um zu zeigen, dass die Matrizen A und B zueinander<br />
invers sind.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 3.2.7. Für die elementaren Zeilenumformungen übersetzt sich die Tatsache,<br />
dass sie durch ebensolche rückgängig gemacht werden können in die Tatsache,<br />
dass die Inversen der zugehörigen Matrizen selbst wieder zu elementaren Zeilenumformungen<br />
gehörige Matrizen sind (vgl. Beispiel 3.1.9):<br />
(i) E −1<br />
I(p,q) = E I(p,q).<br />
(ii) E −1<br />
II(p;c) = E II(p;c −1 ).<br />
(iii) E −1<br />
III(c;q,p) = E III(−c;q,p).<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 3.2.8. Seien A, B ∈ Mat(n × n, K) invertierbar. Dann ist auch AB<br />
invertierbar und es gilt (AB) −1 = B −1 A −1 , wie man an folgender Rechnung sieht<br />
(<br />
B −1 A −1)( AB ) = B −1 A −1 AB = B −1 1B = B −1 B = 1.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 3.2.9. Zur Berechnung der inversen Matrix A −1 von A ∈ Mat(n ×<br />
n, R) kann man die Gleichung AX = 1 als Familie von linearen Gleichungssystemen<br />
lesen, indem man jede Spalte von X als Variablensatz und jede Spalte von<br />
1 als rechte Seite auffasst. Dann löst man diese Gleichungen simultan, indem man<br />
die Matrix (A, 1) auf Zeilenstufenform bringt. Wenn A invertierbar ist, dann hat<br />
diese Zeilenstufenform nach Satz 3.2.5 genau n-Stufen und man kann sie anschließend<br />
durch weitere elementare Zeilenumformungen auf die Gestalt (1, B) bringen.<br />
Andernfalls erhält man weniger als n Stufen und erkennt, dass A nicht invertierbar<br />
war. Seien (für den Fall, dass A invertierbar ist) die elementaren Zeilenumformungen<br />
durch die Matrizen E 1 , . . . , E r beschrieben. Dann haben wir:<br />
E r · · · E 1 (A, 1) = (E r · · · E 1 A, E r · · · E 1 ) = (1, B).<br />
Dies zeigt A −1 = E r · · · E 1 = B.<br />
Beispiel 3.2.10.<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
3 1 1 1 0 0 1 1/3 1/3 1/3 0 0<br />
⎝ 0 3 1 0 1 0 ⎠ ❀ ⎝ 0 3 1 0 1 0 ⎠<br />
3 0 3 0 0 1 0 −1 2 −1 0 1<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
1 1/3 1/3 1/3 0 0 1 1/3 1/3 1/3 0 0<br />
❀ ⎝ 0 1 1/3 0 1/3 0 ⎠ ❀ ⎝ 0 1 1/3 0 1/3 0 ⎠<br />
0 0 7/3 −1 1/3 1 0 0 1 −3/7 1/7 3/7<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
1 1/3 0 10/21 1/21 −1/7 1 0 0 3/7 −2/21 −2/21<br />
❀ ⎝ 0 1 0 1/7 6/21 −1/7 ⎠ ❀ ⎝ 0 1 0 1/7 6/21 −1/7 ⎠ .<br />
0 0 1 −3/7 1/7 3/7 0 0 1 −3/7 1/7 3/7<br />
⊓⊔<br />
⊓⊔
3.2 Bijektivität und Invertierbarkeit 79<br />
Wir wenden uns jetzt der Frage zu, wie man Injektivität und Surjektivität einer<br />
linearen Abbildung ϕ ∈ Hom K (K n , K m ) auch für n ≠ m an der zugehörigen Matrix<br />
A = A ϕ ablesen kann. Für die Injektivität werden wir dabei wieder auf Proposition<br />
3.2.2 zurückgreifen, die bisher entwickelten Techniken werden es uns aber auch<br />
erlauben die Surjektivität zu charakterisieren, wenn wir in den Matrizen die Rollen<br />
von Zeilen und Spalten vertauschen.<br />
Definition 3.2.11. Sei<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a 1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
A = ⎝ . . ⎠ ∈ Mat(m × n, K).<br />
a m1 · · · a mn<br />
Die Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a m1<br />
A ⊤ ⎜<br />
⎟<br />
:= ⎝ . . ⎠ ∈ Mat(n × m, K)<br />
a 1n · · · a mn<br />
heißt die transponierte Matrix von A. Die aus den Zeilen von A gewonnenen<br />
Vektoren<br />
a Zeile<br />
i := (a i1 , . . . , a in ), i = 1, . . . , m<br />
heißen die Zeilenvektoren von A und die aus den Spalten von A gewonnenen<br />
Vektoren<br />
⎛ ⎞<br />
a 1j<br />
⎜ ⎟<br />
a Spalte<br />
j := ⎝ . ⎠ , j = 1, . . . , n<br />
a mj<br />
heißen die Spaltenvektoren von A. Man nennt dim(span{a Zeile<br />
i | i = 1, . . . , m})<br />
den Zeilenrang von A und dim(span{a Spalte<br />
j | j = 1, . . . , n}) den Spaltenrang von<br />
A.<br />
Bemerkung 3.2.12. (i) (AB) ⊤ = B ⊤ A ⊤ (Übung: Nachrechnen!).<br />
(ii) Zeilenrang(A) = Spaltenrang(A ⊤ ).<br />
(iii) Der Zeilenrang ändert sich bei elementaren Zeilenumformungen nicht:<br />
Typ I: Klar, weil sich die Menge der Zeilenvektoren bei Zeilenvertauschung nicht<br />
ändert, also auch nicht der lineare Spann der Zeilenvektoren.<br />
Typ II: Klar, weil hier nur ein Zeilenvektor durch ein von Null verschiedenes<br />
Vielfaches ersetzt wurde, was am linearen Spann der Zeilenvektoren nichts<br />
ändert.<br />
Typ III:<br />
span(a Zeile<br />
1 , . . . , a Zeile<br />
n ) = span(a Zeile<br />
1 , . . . , a Zeile<br />
i−1 , a Zeile<br />
i<br />
+ ca Zeile<br />
k<br />
andererseits aber auch a Zeile<br />
i<br />
weil einerseits a Zeile<br />
i<br />
eine Linearkombination von a Zeile<br />
i<br />
eine Linearkombination von a Zeile<br />
i<br />
+ ca Zeile<br />
k , a Zeile<br />
i+1 , . . . , a Zeile<br />
n ),<br />
und a Zeile<br />
k<br />
ist,<br />
+ ca Zeile<br />
k<br />
und<br />
a Zeile<br />
k<br />
.<br />
(iv) Der Zeilenrang einer Matrix in Zeilenstufenform ist gleich der Anzahl der Stufen<br />
(siehe Beispiel 2.2.7).
80 3 Matrizenrechnung<br />
(v) Der Spaltenrang ändert sich bei elementaren Zeilenumformungen auch nicht:<br />
Weil elementare Zeilenumformungen durch ebensolche wieder rückgängig gemacht<br />
werden können, reicht es zu zeigen, dass der Spaltenrang bei solchen<br />
Umformungen nicht größer wird.<br />
Seien jetzt a Spalte<br />
1 , . . . , a Spalte<br />
n die Spaltenvektoren von A und E eine Elementarmatrix.<br />
Dann gilt<br />
d.h., die Ea Spalte<br />
j<br />
EA = E ( a Spalte<br />
1 , . . . , a Spalte<br />
n<br />
span ( Ea Spalte<br />
1<br />
} {{ }<br />
ϕ E (a Spalte<br />
1 )<br />
)<br />
=<br />
(<br />
Ea<br />
Spalte<br />
1 , . . . , Ea Spalte<br />
n<br />
sind die Spaltenvektoren von EA, und<br />
, . . . , Ea<br />
Spalte<br />
n<br />
} {{ }<br />
ϕ E (a Spalte<br />
n )<br />
)<br />
,<br />
)<br />
= ϕE<br />
(<br />
span(a<br />
Spalte<br />
1 , . . . , a Spalte<br />
n ) ) .<br />
Nach Satz 2.3.6 gibt es Ea Spalte<br />
j 1<br />
, . . . , Ea Spalte<br />
j k<br />
, die zusammen eine Basis für den<br />
linearen Spann von Ea Spalte<br />
1 , . . . , Ea Spalte<br />
n bilden. Nach Proposition 3.2.1(iii) ist<br />
{a Spalte<br />
j 1<br />
, . . . , a Spalte<br />
} linear unabhängig. Also gilt<br />
j k<br />
dim span ( Ea Spalte<br />
1 , . . . , Ea Spalte<br />
n<br />
)<br />
= k ≤ dim span<br />
(<br />
a<br />
Spalte<br />
1 , . . . , a Spalte<br />
n<br />
)<br />
.<br />
⊓⊔<br />
Lemma 3.2.13. Sei A ∈ Mat(m × n, K). Dann gilt<br />
Zeilenrang(A) = Spaltenrang(A).<br />
Beweis. Idee: O.B.d.A. kann angenommen werden, dass A in Zeilenstufenform vorliegt.<br />
Nach Bemerkung 3.2.12 können wir annehmen, dass A in Zeilenstufenform ist.<br />
Sei Zeilenrang(A) = r. Dann ist r gerade die Anzahl der Stufen in A. Die Spaltenvektoren<br />
von A liegen im Unterraum<br />
⎧⎛<br />
⎞<br />
⎫<br />
⎪⎨ x 1<br />
⎪⎬<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ ∣ x r+1 , . . . , x m = 0<br />
⎪⎩<br />
⎪⎭<br />
x m<br />
von R m . Die Standardbasisvektoren e 1 , . . . , e r ∈ K m bilden eine Basis dieses Unterraums,<br />
der daher genau die Dimension r hat. Also gilt nach Satz 2.4.4(i), dass<br />
Spaltenrang(A) ≤ r.<br />
Behauptung: Die r Spaltenvektoren der Spalten, in denen eine Stufe vorkommt, sind<br />
linear unabhängig.<br />
Seien dazu s 1 , . . . , s r die Nummern der Spalten von A, in denen eine Stufe<br />
vorkommt. Wir nehmen an, dass ∑ r<br />
k=1 c ka Spalte<br />
s k<br />
= 0 gilt. Betrachte die r-ten Komponenten<br />
a r,jk der a Spalte<br />
j k<br />
für k = 1, . . . , r. Weil A in Zeilenstufenform ist, sind sie<br />
alle 0, nur a r,jr , die r-te Komponente von a Spalte<br />
j r<br />
ist 1. Also gilt c r = 0. Als nächstes<br />
betrachtet man die r −1-ten Komponenten der a Spalte<br />
j k<br />
für k = 1, . . . , r −1 und findet<br />
c r−1 = 0, etc.<br />
Mit der Behauptung ist jetzt gezeigt, dass der Spaltenrang von A mindestens<br />
r ist. Zusammen mit der vorhergehenden Überlegung finden wir also, dass<br />
Spaltenrang(A) = r.<br />
⊓⊔
3.2 Bijektivität und Invertierbarkeit 81<br />
Definition 3.2.14. Sei A ∈ Mat(m × n, K). Dann nennt man<br />
Rang(A) := Spaltenrang(A) = Zeilenrang(A)<br />
einfach den Rang von A.<br />
Satz 3.2.15. Sei A ∈ Mat(m × n, K). Dann gilt<br />
(i) ϕ A ist surjektiv genau dann, wenn Rang(A) = m.<br />
(ii) ϕ A ist injektiv genau dann, wenn Rang(A) = n.<br />
Beweis. (i) ϕ A ist genau dann surjektiv, wenn<br />
K m = ϕ A (K n ) = ϕ A (span(e 1 , . . . , e n ) ) = span ( ϕ A (e 1 ), . . . , ϕ A (e n ) ) ,<br />
was wiederum wegen Satz 2.4.4(i) äquivalent zu<br />
m = dim K m = Spaltenrang(A) = Rang(A)<br />
ist, weil ϕ A (e j ) = Ae j der j-te Spaltenvektor von A ist.<br />
(ii) Nach Proposition 3.2.2 ist ϕ A genau dann injektiv, wenn {ϕ A (e 1 ), . . . , ϕ A (e n )}<br />
linear unabhängig ist. Das ist aber genau dann der Fall, wenn<br />
Rang(A) = Spaltenrang(A) = n.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 3.2.16 (Lösbarkeit inhomogener Gleichungssysteme). Betrachte<br />
ein (LGS) der Form Ax = b. Es ist genau dann lösbar, wenn der Spaltenvektor<br />
b im Bild der linearen Abbildung ϕ A liegt. Da dieses Bild von den Spaltenvektoren<br />
der Matrix A aufgespannt wird, ist die Lösbarkeit von Ax = b äquivalent zu<br />
Rang(A) = Rang(A|b), wobei (A|b) die erweiterte Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems<br />
Ax = b ist.<br />
⊓⊔<br />
Übungen zu Abschnitt 3.2<br />
Invertierbarkeit<br />
Übung 3.2.1. Sind die folgenden Matrizen invertierbar?<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎛ ⎞ 0 0 0 1<br />
1 2 3<br />
A = ⎝ 2 3 1 ⎠ , B = ⎜ 1 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ , C = ⎜<br />
⎝<br />
3 1 2<br />
0 1 0 0<br />
0 0 1 0<br />
1 2 −3 0<br />
3 5 1 4<br />
−1 −1 −5 −3<br />
4 3 2 1<br />
Übung 3.2.2. Sind die folgenden Matrizen invertierbar?<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 2 3 1 2 4<br />
A = ⎝ 1 2 3 ⎠ , B = ⎝ 0 3 5 ⎠ , AB, BA, A 2 , B 2 .<br />
1 2 3 0 0 6<br />
Übung 3.2.3. Zeige: Es gibt eine Bijektion zwischen der Menge aller Basen von R n und<br />
der Menge GL(n, R) aller invertierbaren n × n-Matrizen.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .
82 3 Matrizenrechnung<br />
Übung 3.2.4. Stelle fest, ob die linearen Abbildungen ϕ A, ϕ B, ϕ C und ϕ D mit<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0 0 2<br />
0 0 1 0<br />
A = ⎜ 0 0 1 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 1 0 0 ⎠ , B = ⎜ 1 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 1 0 0 ⎠ ,<br />
0 0 0 1<br />
0 0 0 1<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
0 0 0 1<br />
−1 0 0 −2<br />
C = ⎜ 0 2 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 3 0 ⎠ , D = ⎜ 0 0 −1 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 1 0 0 ⎠<br />
1 0 0 0<br />
0 0 0 1<br />
umkehrbar sind und gib gegebenenfalls die Umkehrabbildung an.<br />
Übung 3.2.5. Stelle fest, ob die linearen Abbildungen ϕ A, ϕ B und ϕ C mit<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0 0 2<br />
0 0 1 0 ⎛ ⎞<br />
A = ⎜ 0 0 1 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 1 0 0 ⎠ , B = ⎜ 1 0 0 0<br />
1 0 1<br />
⎟<br />
⎝ 0 1 0 0 ⎠ , C = ⎝ 1 1 1 ⎠<br />
0 1 1<br />
0 0 0 1<br />
0 0 0 1<br />
umkehrbar sind und gib gegebenenfalls die Umkehrabbildung an.<br />
Übung 3.2.6. (a) Stelle fest, ob die linearen Abbildungen ϕ A und ϕ B mit<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎛ ⎞<br />
1 2 −3 0<br />
1 2 3<br />
A = ⎝ 2 3 1 ⎠ , B = ⎜ 3 5 1 4<br />
⎟<br />
⎝ −1 −1 −5 −3 ⎠ .<br />
3 2 1<br />
4 3 2 1<br />
umkehrbar sind.<br />
(b) Stelle fest, ob die linearen Abbildungen ϕ C und ϕ D mit<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
0 0 0 1<br />
C = ⎜ 0 2 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 3 0 ⎠ , D = ⎜<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
−1 0 0 −2<br />
0 0 −1 0<br />
0 1 0 0<br />
0 0 0 1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
umkehrbar sind und gib gegebenenfalls die Umkehrabbildung an.<br />
Übung 3.2.7. Man stelle fest, ob die lineare Abbildung ϕ : R 4 → R 4 mit<br />
⎛<br />
⎞<br />
x 2 + x 3 + x 4<br />
ϕ(x) = ⎜ −x 1 + x 3 + x 4<br />
⎟<br />
⎝ −x 1 − x 2 + x 4<br />
⎠<br />
−x 1 − x 2 − x 3<br />
umkehrbar ist, und gebe die Umkehrabbildung an.<br />
Übung 3.2.8. Man gebe ein Kriterium an, wann die Matrix<br />
( ) a b<br />
A = mit a, b, c, d ∈ K<br />
c d<br />
invertierbar ist, und bestimme für diesen Fall ihre Inverse.<br />
Übung 3.2.9 (Blockmatrizen).<br />
1. Es seien A, A ′ ∈ K r×r , B, B ′ ∈ K r×s , C, C ′ ∈ K s×r , D, D ′ ∈ K s×s Matrizen, und<br />
( ) ( )<br />
A B<br />
X := , X ′ A ′ B ′<br />
:=<br />
C D<br />
C ′ D ′ ∈ K (r+s)×(r+s) .<br />
Begründen Sie die folgende Regel zur Multiplikation der Blockmatrizen X, X ′ :<br />
( ) ( ) ( )<br />
A B A ′ B ′ AA ′ + BC ′ AB ′ + BD ′<br />
C D C ′ D ′ =<br />
CA ′ + DC ′ CB ′ + DD ′ .<br />
Wie lässt sich diese Multiplikation von Blockmatrizen noch verallgemeinern?
3.2 Bijektivität und Invertierbarkeit 83<br />
2. Seien A ∈ K r×r , D ∈ K s×s invertierbar und B ∈ K r×s beliebig. Bestimmen Sie die<br />
Inverse der Matrix<br />
( ) A B<br />
∈ K (r+s)×(r+s) .<br />
0 D<br />
Rang<br />
( ) a b<br />
Übung 3.2.10. (i) Berechne die Zeilenstufenform von A = .<br />
c d<br />
(ii) Zeige, dass der Zeilenrang von A genau<br />
(<br />
dann<br />
)<br />
zwei ist, wenn ad − bc ≠ 0.<br />
1 0<br />
(iii) Gib eine 2 × 2-Matrix B an mit BA = .<br />
0 1<br />
( ) 1 0<br />
(iv) Zeige, dass AB = ist.<br />
0 1<br />
Übung 3.2.11. Bestimme den Rang von A in Abhängigkeit von t ∈ R:<br />
⎛ ⎞<br />
5 − t 1 3<br />
A = ⎝ 1 −2 1 ⎠ .<br />
0 t 0<br />
Übung 3.2.12. Man bestimme den Rang der folgenden Matrizen und berechne im Fall<br />
maximalen Rangs die zugehörige inverse Matrix.<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−1 1 3<br />
0 α β<br />
A = ⎝−2 1 1⎠ , B = ⎝−α 0 γ⎠ ,<br />
1 0 3<br />
−β −γ 0<br />
wobei α, β, γ ∈ R.<br />
Übung 3.2.13. Man bestimme den Rang von A in Abhängigkeit von k ∈ R:<br />
⎛ ⎞<br />
1 k 1<br />
A = ⎜−1 0 1<br />
⎟<br />
⎝ 3 −1 k⎠ .<br />
k −1 1<br />
Übung 3.2.14. Es sei<br />
A n =<br />
Zeige Rang A n = n und bestimme A −1<br />
5 .<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 1 1 · · · 1<br />
1 2 2 · · · 2<br />
1 2 3 · · · 3<br />
⎜<br />
⎝<br />
. . .<br />
.<br />
..<br />
. ⎟ .. ⎠<br />
1 2 3 · · · n<br />
∈ R n×n .<br />
Übung 3.2.15. Sei A ∈ Mat(m × n, K) und B ∈ Mat(n × p, K). Zeigen Sie:<br />
(AB) ⊤ = B ⊤ A ⊤ ,<br />
wobei A ⊤ die transponierte Matrix von A ist.<br />
Kern und Bild<br />
Übung 3.2.16. Es sei ϕ : K n → K n eine lineare Abbildung. Zeige:<br />
ker(ϕ) = ker(ϕ 2 ) =⇒ ker(ϕ) ∩ ϕ(K n ) = {0} .<br />
Übung 3.2.17. Es sei ϕ : K n → K n eine lineare Abbildung. Zeige:<br />
ker(ϕ) ∩ ϕ(K n ) = {0} =⇒ ker(ϕ) = ker(ϕ 2 ) .
84 3 Matrizenrechnung<br />
Übung 3.2.18. Existieren lineare Abbildungen ϕ : R 2 → R 2 mit<br />
a) ker(ϕ) = {(x 1, x 2) ∈ R 2 | − 1 ≤ x 1 ≤ 1};<br />
b) im (ϕ) := ϕ(R 2 ) = {(y 1, y 2) ∈ R 2 | 2y 1 − 3y 2 = 0};<br />
c) ϕ ( {(x 1, x 2) ∈ R 2 | x 1 + x 2 = 0} ) = {(y 1, y 2) ∈ R 2 | y 2 1 + y 2 2 = 1};<br />
d) ϕ((1, 2)) = (1, 3), ϕ((3, 2)) = (−1, 0), ϕ((4, −4)) = (−2, 1)?<br />
Man konstruiere ein Beispiel oder begründe, warum es kein Beispiel geben kann.<br />
Übung 3.2.19 (Dimensionsformel für lineare Abbildungen). Es sei ϕ : K n → K m eine<br />
lineare Abbildung. Zeige:<br />
dim ker(ϕ) + dim ϕ(K n ) = n .<br />
Übung 3.2.20 (Dimension von Bildern linearer Abbildungen). Es sei U ⊆ K n ein linearer<br />
Unterraum und ϕ: K n → K m eine lineare Abbildung. Man zeige, dass dim K<br />
(<br />
ϕ(U)<br />
)<br />
≤<br />
dim K(U).<br />
Übung 3.2.21. Es sei ϕ A : R 4 → R 3 gegeben mit<br />
⎛ ⎞<br />
1 2 3 0<br />
A = ⎝0 −1 1 2 ⎠ .<br />
2 0 1 −1<br />
Man bestimme eine Basis des Kerns und eine Basis des Bildes von ϕ A.<br />
Übung 3.2.22. Es sei ϕ : K n → K n eine lineare Abbildung, für die ϕ 2 = ϕ gilt. Zeigen<br />
Sie:<br />
1. ker(ϕ) ∩ ϕ(K n ) = {0} und K n = ker(ϕ) + ϕ(K n ),<br />
2. ϕ ist genau dann injektiv, wenn ϕ = id K n gilt.
4<br />
Determinanten<br />
Determinanten sind Zahlen, die aus quadratischen Matrizen gewonnen werden<br />
und die wichtige Kenngrößen dieser Matrizen sind. So ist z.B eine quadratische<br />
Matrix genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante nicht verschwindet. Eine<br />
andere Motivation für die Einführung von Determinanten ist ihre Rolle in Volumenberechnungen<br />
und der mehrdimensionalen Integrationstheorie (Stichworte: Transformationsformel<br />
und Differentialformen). Determinanten gehen in gewisser Weise<br />
schon über die Lineare Algebra hinaus, denn sie sind Beispiele für multilineare<br />
Abbildungen. Wegen ihrer ausgesprochen wichtigen Anwendungen innerhalb der Linearen<br />
Algebra werden sie trotzdem in jeder Vorlesung zum Thema behandelt.<br />
In diesem Kapitel führen wir die Determinanten nur ein und zeigen, welche<br />
Rolle sie in der Untersuchung von invertierbaren Matrizen spielen. Weitergehende<br />
Anwendungen (Stichwort: Eigenwerte) werden erst in späteren Kapiteln behandelt.<br />
Auf dem Weg zur Definition der Determinanten werden wir die Gelegenheit nutzen<br />
Begriffe wie Permutationen und Gruppen einzuführen, die in der Mathematik von<br />
universellem Interesse sind.<br />
4.1 Permutationen und Permutationsmatrizen<br />
Zur Vorbereitung der Determinanten betrachten wir Permutationsmatrizen,<br />
die bijektive Selbstabbildungen endlicher Mengen beschreiben, unter anderem zur<br />
mathematischen Formulierung von Symmetrie-Eigenschaften dienen und von unabhängigem<br />
Interesse sind (z.B. in der Kombinatorik oder der Stochastik).<br />
Definition 4.1.1. Eine Permutationsmatrix ist eine Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
p 11 · · · p 1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
P = ⎝ . . ⎠ ∈ Mat(n × n, K)<br />
p n1 · · · p nn<br />
mit p ij ∈ {0, 1} und ∑ n<br />
j=1 p ij = 1 = ∑ n<br />
i=1 p ij, d.h., in jeder Zeile und in jeder<br />
Spalte steht genau eine Eins und sonst lauter Nullen. Wir bezeichnen die Menge<br />
der Permutationsmatrizen in Mat(n × n, K) mit PM n<br />
Die Zeilenstufenform einer Permutationsmatrix lässt sich durch Umformungen<br />
vom Typ I erreichen und ist gleich 1 n . Also ist nach Satz 3.2.15 jede Permutationsmatrix<br />
invertierbar und die zugehörige lineare Abbildung bijektiv. Auch die Inverse<br />
einer Permutationsmatrix kann man sehr leicht berechnen. Es gilt
86 4 Determinanten<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
p 11 · · · p 1n p 11 · · · p n1<br />
P P ⊤ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
= ⎝ . . ⎠ ⎝ . .<br />
p n1 · · · p nn p 1n · · · p nn<br />
mit<br />
Also gilt C = 1 n und P ⊤ = P −1 .<br />
c ij = p i1 p j1 + . . . + p in p jn =<br />
⎟<br />
⎠ = C :=<br />
{ 0 i ≠ j<br />
1 i = j.<br />
⎛<br />
⎞<br />
c 11 · · · c 1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . ⎠<br />
c n1 · · · c nn<br />
Bemerkung 4.1.2. Sei P ∈ PM n ⊆ Mat(n × n, K) eine Permutationsmatrix und<br />
{e 1 , . . . , e n } die Standardbasis für K n . Dann bildet ϕ P die Menge B := {e 1 , . . . , e n }<br />
auf sich selbst ab:<br />
⎛<br />
⎛<br />
ϕ P (e 1 ) =<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
p 11<br />
.<br />
p n1<br />
⎟<br />
⎠ , . . . , ϕ P (e n ) =<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
p 1n<br />
.<br />
p nn<br />
Man kann jetzt die Einschränkung ϕ P | B : B → B, b ↦→ ϕ P (b) von ϕ P auf B als<br />
eigenständige Abbildung ϕ: B → B der endlichen Menge B in sich selbst auffassen.<br />
Zur Untersuchung dieser Abbildung können dann auch Abzählargumente verwendet<br />
werden, die für Abbildungen auf unendlichen Mengen nicht automatisch zur<br />
Verfügung stehen.<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Proposition 4.1.3. M und N seien endliche Mengen mit gleich vielen Elementen.<br />
Sei ϕ: M → N eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:<br />
(1) ϕ ist injektiv.<br />
(2) ϕ ist surjektiv.<br />
(3) ϕ ist bijektiv.<br />
Beweis. Sei k die Anzahl der Elemente in M (und N).<br />
” (1) ⇒ (2)“: Wenn M = {m 1, . . . , m k } und L := {ϕ(m 1 ), . . . , ϕ(m k )} ⊆ N, dann<br />
sind wegen (1) alle Elemente von L verschieden, d.h. diese Menge hat k Elemente<br />
und ist daher gleich N.<br />
” (2) ⇒ (1)“: Wenn ϕ nicht injektiv ist, gibt es m ≠ m′ in M mit ϕ(m) = ϕ(m ′ ),<br />
also hat ϕ(M) höchstens k −1 Elemente. Dann kann ϕ aber nicht surjektiv sein.<br />
Mit diesen beiden Beweisschritten folgt dann auch die Äquivalenz von (1) und (2)<br />
mit (3).<br />
⊓⊔<br />
Die Proposition 4.1.3 zeigt, dass die Abbildung<br />
ϕ P | {e1,...e n} : {e 1 , . . . e n } → {e 1 , . . . e n }<br />
für jedes vorgegebene P ∈ PM n bijektiv ist, weil sie die Einschränkung einer injektiven<br />
Abbildung, also selbst injektiv ist. Also erhält man zu jeder Permutationsmatrix<br />
P ∈ PM n eine bijektive Abbildung<br />
durch<br />
d.h. σ P (j) = k, wenn ϕ P (e j ) = e k .<br />
σ P : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}<br />
e σP (j) = ϕ P (e j ),
4.1 Permutationen und Permutationsmatrizen 87<br />
Definition 4.1.4. Eine bijektive Abbildung σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} heißt eine<br />
Permutation von {1, . . . , n}. Die Menge aller Permutationen von {1, . . . , n} wird<br />
mit S n bezeichnet (S für symmetrische Gruppe, siehe Definition 4.1.5). Wir<br />
benutzen die folgende Schreibweise für σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}:<br />
( )<br />
1 · · · n<br />
.<br />
σ(1) · · · σ(n)<br />
Definition 4.1.5. Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ∗: G × G → G<br />
heißt eine Gruppe, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:<br />
(a) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ∀a, b, c ∈ G (Assoziativgesetz).<br />
(b) ∃e ∈ G mit e ∗ a = a ∀a ∈ G (Neutrales Element oder Einselement).<br />
(c) ∀a ∈ G existiert b ∈ G mit b ∗ a = e (inverses Element von a).<br />
Wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, lässt man das Verküpfungszeichen<br />
weg, außer es ist ein +.<br />
Bemerkung 4.1.6. Aus diesen Axiomen lassen sich sofort einige Folgerungen ziehen:<br />
(i) Wenn a ∗ b = e für a, b ∈ G, dann gilt auch b ∗ a = e.<br />
Um das zu sehen, beachte zunächst, dass<br />
(b ∗ a) ∗ (b ∗ a) = b ∗ (a ∗ b) ∗ a = b ∗ e ∗ a = b ∗ a<br />
gilt. Außerdem gibt es ein c ∈ G mit c ∗ (b ∗ a) = e. Damit rechnet man<br />
e = c ∗ (b ∗ a) = c ∗ (b ∗ a) ∗ (b ∗ a) = e ∗ (b ∗ a) = b ∗ a.<br />
(ii) a ∗ e = a für alle a ∈ G:<br />
Es gibt ein b ∈ G mit b ∗ a = e und mit (i) rechnet man<br />
a ∗ e = a ∗ (b ∗ a) = (a ∗ b) ∗ a = e ∗ a = a.<br />
(iii) e ist eindeutig bestimmt: e ′ = e ∗ e ′ = e.<br />
(iv) Das Inverse b zu a ist eindeutig bestimmt: b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ b ′ ) = (b ∗ a) ∗ b ′ =<br />
e ∗ b ′ = b ′ .<br />
In vielen Büchern wird e ∗ a = a ∗ e und b ∗ a = e = a ∗ b gleich mit in die<br />
Definition einer Gruppe geschrieben. Die obigen Überlegungen zeigen aber, dass ein<br />
solches Axiomensystem für Gruppen redundant ist.<br />
⊓⊔<br />
Gruppen tauchen an vielen Stellen in der Mathematik auf, an denen es um<br />
strukturerhaltende“ Abbildungen geht, wie zum Beispiel bei der Beschreibung von<br />
”<br />
Symmetrien geometrischer (aber auch anderer mathematischer) Objekte. Man betrachte<br />
dazu etwa die Symmetrien regulärer Vielecke wie im Beispiel 0.2.4 aus<br />
der Vorbemerkung. Üblicherweise erleichtert das Vorhandensein von Symmetrien<br />
die mathematische Behandlung von Problemen. In manchen Kontexten liefern sie<br />
auch völlig neue Einsichten - so lassen sich die üblichen Erhaltungssätze der Physik<br />
(Energie, Impuls, Drehimpuls etc.) mit Symmetrien in den zugrunde liegenden Bewegungsgesetzen<br />
erklären. Eine sensationelle Entdeckung war die Beobachtung des<br />
jungen Galois kurz vor seinem gewaltsamen Tod im Jahr 1832, dass man Gruppen
88 4 Determinanten<br />
(die es als abstrakte Struktur damals noch gar nicht gab) dazu benutzen kann die<br />
Lösbarkeit von Polynomgleichungen durch das Ziehen von Wurzeln (wie bei den<br />
quadratischen Gleichungen) zu studieren. Heutzutage wird das in praktisch jeder<br />
Algebravorlesung vorgeführt.<br />
Beispiel 4.1.7. (i) Die symmetrische Gruppe S n ist bzgl. der Verknüpfung von<br />
Abbildungen eine Gruppe mit der Identität als neutralem Element und der<br />
inversen Abbildung als Gruppeninversem.<br />
(ii) Die Menge PM n ist eine Gruppe bzgl. der Matrizenmultiplikation mit 1 n als<br />
neutralem Element und der inversen Matrix als Gruppeninversem.<br />
(iii) Sei K ein Körper. Die Menge GL(n, K) aller invertierbaren Matrizen in Mat(n×<br />
n, K) ist eine Gruppe bzgl. der Matrizenmultiplikation mit 1 n als neutralem<br />
Element und der inversen Matrix als Gruppeninversem. Man nennt diese Gruppe<br />
die allgemeine lineare Gruppe.<br />
⊓⊔<br />
Im bisherigen Verlauf der Vorlesung haben wir schon eine Reihe von Gruppen<br />
gesehen, ohne diese Tatsache explizit festgestellt zu haben:<br />
Beispiel 4.1.8. Sei K ein Körper.<br />
(i) Für jedes n ∈ N ist K n bzgl. der Addition eine Gruppe mit 0 als neutralem<br />
Element und dem Negativen als Gruppeninversem.<br />
(ii) Jeder lineare Unterraum U von K n ist bzgl. der Addition eine Gruppe mit 0 als<br />
neutralem Element und dem Negativen als Gruppeninversem.<br />
(iii) Für alle m, n ∈ N ist Mat(m×n, K) bzgl. der komponentenweisen Addition eine<br />
Gruppe mit der 0-Matrix als neutralem Element und −A als Gruppeninversem<br />
von A. Dabei ist −A die Matrix, die man aus A erhält, wenn man jeden eintrag<br />
mit −1 multipliziert.<br />
(iv) Für alle m, n ∈ N ist Hom K (K n , K m ) eine Gruppe bzgl. der Addition ϕ + ψ, die<br />
durch<br />
(ϕ + ψ)(x) := ϕ(x) + ψ(x) ∀x ∈ K n<br />
gegeben ist. Das Gruppeninverse −ϕ von ϕ ist dann durch (−ϕ)(x) := − ( ϕ(x) )<br />
für x ∈ K n gegeben. Es sollte nicht mit der inversen Abbildung ϕ −1 , die es für<br />
ϕ ja auch geben kann, verwechselt werden.<br />
(v) K \ {0} ist bzgl. der Multiplikation eine Gruppe mit 1 als neutralem Element<br />
und dem multiplikativen Inversem als Gruppeninversem.<br />
(vi) {±1} ist bzgl. der Multiplikation eine Gruppe mit 1 als neutralem Element und<br />
dem multiplikativen Inversem als Gruppeninversem.<br />
⊓⊔<br />
Die additiven Standardbeispiele, zu denen auch die Gruppe (Z, +) gehört, sind<br />
der Grund dafür, dass man das Pluszeichen + nur für kommutative Gruppen<br />
benutzt, d.h. für solche, die<br />
a ∗ b = b ∗ a ∀a, b ∈ G (Kommutativgesetz)<br />
erfüllen. Man schreibt dann immer −a für das Gruppeninverse von a und nennt es<br />
das Negative von a.<br />
Sei σ eine Permutation, dann setzt man<br />
⎛<br />
⎞<br />
δ 1σ(1) · · · δ 1σ(n)<br />
⎜<br />
⎟<br />
P σ := (e σ(1) , . . . , e σ(n) ) = ⎝ . . ⎠ ,<br />
δ nσ(1) · · · δ nσ(n)
wobei<br />
4.1 Permutationen und Permutationsmatrizen 89<br />
δ ij =<br />
{<br />
1 für i = j<br />
0 für i ≠ j<br />
das Kronecker–Delta ist. Beachte, dass P σ ∈ PM n gilt: Die Spalten enthalten als<br />
Standardbasisvektoren jeweils nur eine Eins (und sonst lauter Nullen). In jeder Zeile<br />
kommt eine Eins vor, weil jeder Standardbasisvektor als Spaltenvektor vorkommt.<br />
Es sind nicht mehr als eine Eins pro Zeile, weil ein Standardbasisvektor nicht mehr<br />
als einmal als Spaltenvektor vorkommen kann.<br />
Beispiel 4.1.9. Sei<br />
dann ist<br />
Umgekehrt gilt σ Pσ = σ.<br />
σ =<br />
( ) 1 2 3 4<br />
,<br />
2 3 4 1<br />
⎛ ⎞<br />
0 0 0 1<br />
P σ = ⎜ 1 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 1 0 0 ⎠ .<br />
0 0 1 0<br />
Proposition 4.1.10. (i) S n hat n! = n(n − 1) · · · 2 · 1 Elemente.<br />
(ii) PM n hat n! = n(n − 1) · · · 2 · 1 Elemente.<br />
Beweis. (i) Man zählt nacheinander die Möglichkeiten ab, die Zahl σ(j) für j =<br />
1, . . . , n festzulegen:<br />
( )<br />
1 2 · · · n<br />
σ(1) σ(2) · · · σ(n)<br />
σ(1) n Möglichkeiten<br />
σ(2) (n − 1) Möglichkeiten<br />
. .<br />
σ(n) 1 Möglichkeit,<br />
Insgesamt hat man also n(n − 1) · · · 1 Wahlmöglichkeiten.<br />
(ii) Man zählt nacheinander die Möglichkeiten ab, in den Zeilen 1, . . . , n die Eins<br />
zu positionieren:<br />
⎛ ⎞<br />
· · · 1 · · ·<br />
⎜ · · · 1 · · ·<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
· · · 1 · · ·<br />
← n Möglichkeiten, die 1 zu setzen,<br />
← (n − 1) Möglichkeiten, die 1 zu setzen,<br />
.<br />
← 1 Möglichkeit, die 1 zu setzen.<br />
Insgesamt hat man also auch hier n(n − 1) · · · 1 Wahlmöglichkeiten.<br />
⊓⊔<br />
Proposition 4.1.11. Die Abbildungen<br />
sind zueinander invers.<br />
S n → PM n , σ ↦→ P σ und PM n → S n , P ↦→ σ P
90 4 Determinanten<br />
Beweis. Wir zeigen zunächst σ (Pτ ) = τ, weisen also nach, dass die Verknüpfung<br />
S n → PM n → S n der beiden Abbildungen die Identität auf S n liefert. Dazu müssen<br />
wir wegen e σP (j) = ϕ P (e j ) die Identität<br />
ϕ (Pτ )(e j ) = e τ(j) für alle j = 1, . . . , n<br />
nachrechnen:<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
0<br />
⎛<br />
⎞<br />
.<br />
⎛ ⎞<br />
.<br />
δ 1τ(1) · · · δ 1τ(n)<br />
⎜<br />
⎟<br />
0<br />
δ 1τ(j)<br />
ϕ (Pτ )(e j ) = ⎝ . . ⎠<br />
1<br />
⎜ ⎟<br />
0<br />
= ⎝ . ⎠ =<br />
1<br />
= e τ(j) .<br />
δ nτ(1) · · · δ nτ(n) 0<br />
δ<br />
⎜ ⎟ nτ(j) 0<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠<br />
⎝ . ⎠<br />
0<br />
0<br />
Damit ist jetzt klar, dass<br />
S n → PM n ,<br />
σ ↦→ P σ<br />
injektiv ist. Also folgt mit Proposition 4.1.10 und Proposition 4.1.3, dass diese<br />
Abbildung sogar invertierbar ist. Aber dann folgt die Behauptung aus Lemma 3.1.2.<br />
⊓⊔<br />
Die formale Ähnlichkeit von Proposition 4.1.11 mit Satz 3.1.5 springt natürlich<br />
ins Auge. Analog zu den dort bewiesenen Identitäten A (ϕB ) = B und ϕ (Aψ ) = ψ<br />
erhalten wir hier<br />
σ (Pτ ) = τ und P (σQ ) = Q ∀τ ∈ S n , Q ∈ PM n .<br />
Eine weitere Analogie ist, dass auch hier die Verknüpfung von Abbildungen in das<br />
Matrizenprodukt übergeführt wird, was wir zunächst an einem Beispiel testen.<br />
Beispiel 4.1.12. Seien<br />
σ =<br />
( ) 1 2 3 4<br />
, τ =<br />
2 3 4 1<br />
( ) 1 2 3 4<br />
.<br />
4 3 2 1<br />
Dann ist<br />
sowie<br />
σ ◦ τ =<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 0 0 1<br />
0 0 0 1<br />
P σ = ⎜ 1 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 1 0 0 ⎠ , P τ = ⎜ 0 0 1 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 1 0 0 ⎠<br />
0 0 1 0<br />
1 0 0 0<br />
⎛ ⎞<br />
( )<br />
1 0 0 0<br />
1 2 3 4<br />
, P<br />
1 4 3 2 (σ◦τ) = P σ P τ = ⎜ 0 0 0 1<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 1 0 ⎠ .<br />
0 1 0 0<br />
⊓⊔<br />
Proposition 4.1.13. (i) Für alle ρ, τ ∈ S n gilt ρ ◦ τ ∈ S n und ρ −1 ∈ S n .<br />
(ii) Für alle R, Q ∈ PM n gilt RQ ∈ PM n und R −1 ∈ PM n .<br />
(iii) Für alle R, Q ∈ PM n gilt σ RQ = σ R ◦ σ Q .
(iv) Für alle ρ, τ ∈ S n gilt P (ρ◦τ) = P ρ P τ .<br />
4.1 Permutationen und Permutationsmatrizen 91<br />
Beweis. Idee: (i) - (iii) sind eine einfache Verifikation und (iv) folgt aus (iii).<br />
(i) Es reicht nach Proposition 4.1.3 zu zeigen, dass die Abbildung ρ ◦ τ injektiv ist.<br />
Dazu:<br />
}<br />
ρ ◦ τ(k) = ρ(τ(k))<br />
ρ inj.<br />
‖<br />
=⇒ τ(k) = τ(l) =⇒ τ inj.<br />
k = l<br />
ρ ◦ τ(l) = ρ(τ(l))<br />
(dieses Argument gilt allgemein: die Verknüpfung injektiver Abbildungen ist<br />
injektiv).<br />
(ii) Wegen e ⊤ i e j = δ ij folgt die Abgeschlossenheit von PM n unter Matrizenmultiplikation<br />
sofort aus der Definition von PM n . Man sieht das aber auch durch<br />
einfaches Nachrechnen: Seien R, Q ∈ PM n als R = (r ik ) und Q = (q kj ) gegeben.<br />
Dann rechnet man für die Spaltensummen von RQ<br />
n∑<br />
i=1 k=1<br />
n∑<br />
r ik q kj =<br />
n∑<br />
i=1<br />
r iσ<br />
−1<br />
Q (j) = 1<br />
und analog erhält man für die Zeilensummen von RQ die Identität<br />
n∑<br />
j=1 k=1<br />
n∑<br />
r ik q kj =<br />
n∑<br />
q σR (i)j = 1.<br />
Wegen R −1 = R ⊤ für R ∈ PM n folgt auch die Abgeschlossenheit unter Inversenbildung.<br />
(iii) Mit RQe j = e σ(RQ) (j) und Qe j = e σQ (j) findet man<br />
(iv) Wegen (iii) können wir rechnen<br />
j=1<br />
}<br />
R(Qe j ) = e σR (σ Q (j))<br />
⇒ σ<br />
RQe j = e (RQ) (j) = σ R ◦ σ Q (j)<br />
σ(RQ) (j)<br />
σ (Pρ◦τ ) = ρ ◦ τ = σ (Pρ) ◦ σ (Pτ ) = σ (PρP τ ).<br />
Dies impliziert aber P ρ◦τ = P ρ P τ .<br />
⊓⊔<br />
Die Proposition 4.1.13 liefert insbesondere den Nachweis der Behauptung aus<br />
Beispiel 4.1.7, dass S n und PM n bzgl. Verknüpfung bzw. der Matrizenmultiplikation<br />
Gruppen sind. Sie zeigt aber auch, dass diese Gruppen sich ”<br />
nicht wesentlich“<br />
unterscheiden, da es eine Bijektion zwischen beiden Mengen gibt, die die Gruppenoperationen<br />
ineinander überführt. Wir fassen dies in einen neuen Begriff.<br />
Definition 4.1.14. Wenn (G, ∗) und (H, ⋄) zwei Gruppen sind, dann heißt eine<br />
Abbildung ϕ: G → H ein Gruppenhomomorphismus, wenn gilt<br />
ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ⋄ ϕ(b) ∀a, b ∈ G. (†)<br />
Seien e G und e H die neutralen Elemente in G bzw. H. Dann impliziert (†) die<br />
Gleichheit ϕ(e G ) ⋄ ϕ(e G ) = ϕ(e G ∗ e G ) = ϕ(e G ) und wie in Bemerkung 4.1.5(i) sieht<br />
man, dass daraus<br />
ϕ(e G ) = e H .
92 4 Determinanten<br />
Wegen ϕ(a −1 ) ⋄ ϕ(a) = ϕ(a −1 ∗ a) = ϕ(e G ) = e H folgt dann auch<br />
ϕ(a −1 ) = ϕ(a) −1 ∀a ∈ G,<br />
wobei man links das Inverse in G und rechts das Inverse in H zu nehmen hat.<br />
Wenn ϕ zusätzlich bijektiv ist, dann nennt man ϕ einen Gruppenisomorphismus.<br />
In diesem Fall ist die Umkehrabbildung ϕ −1 : H → G automatisch auch eine<br />
Gruppenisomorphismus, weil<br />
ϕ −1 (h ⋄ k) = ϕ −1 (h) ∗ ϕ −1 (k)<br />
∀h, k ∈ H<br />
aus<br />
ϕ ( ϕ −1 (h) ∗ ϕ −1 (k) ) = ϕ ( ϕ −1 (h) ) ⋄ ϕ ( ϕ −1 (k) ) = h ⋄ k = ϕ ( ϕ −1 (h ⋄ k) )<br />
folgt. Man sagt, G und H sind isomorph. Also zeigt Proposition 4.1.13, dass S n<br />
und PM n isomorphe Gruppen sind.<br />
Als nächstes betrachten wir eine spezielle Sorte von besonders einfachen Permutationen,<br />
aus denen man alle Permutationen zusammensetzen kann.<br />
Definition 4.1.15. Eine Permutation der Form<br />
( )<br />
1 · · · k · · · l · · · n<br />
σ k,l =<br />
1 · · · l · · · k · · · n<br />
heißt eine Transposition.<br />
Satz 4.1.16. Jedes σ ∈ S n ist das Produkt von Transpositionen:<br />
σ = σ k1,l 1<br />
◦ · · · ◦ σ km,l m<br />
.<br />
Beweis. Idee: Betrachte die Permutationsmatrix P σ zu σ und wende elementare Zeilenumformungen<br />
vom Typ I an. Dann liefert Proposition 4.1.13 die Behauptung.<br />
Betrachte die zu σ gehörige Permutationsmatrix P σ . Diese Matrix kann mit<br />
elementaren Zeilenumformungen vom Typ I auf die Gestalt<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠ = 1 n<br />
1<br />
gebracht werden, d.h. es existieren Elementarmatrizen vom Typ I: E 1 , . . . , E m mit<br />
E m · · · E 1 P σ = 1 n . Die Elementarmatrizen vom Typ I sind aber gerade von der<br />
Form P σp,q . Also haben wir<br />
P σkm,lm · · · P σk1 ,l 1<br />
P σ = 1 n<br />
und damit<br />
P σ = P σk1 ,l 1<br />
· · · P σkm,lm = P σk1 ,l 1 ◦...◦σ km,lm<br />
,<br />
wobei die letzte Gleichheit aus Proposition 4.1.13 folgt.<br />
⊓⊔
4.1 Permutationen und Permutationsmatrizen 93<br />
Das folgende Beispiel zeigt, dass es nicht nur eine Möglichkeit gibt, eine Permutation<br />
als Produkt von Transpositionen zu schreiben.<br />
Beispiel 4.1.17. (i) Es gilt σ 1,4 = σ 1,2 ◦ σ 2,3 ◦ σ 3,4 ◦ σ 2,3 ◦ σ 1,2 ∈ S n<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4<br />
◦<br />
◦<br />
◦<br />
◦<br />
2 1 3 4 1 3 2 4 1 2 4 3 1 3 2 4 2 1 3 4<br />
( ) 1 2 3 4<br />
=<br />
4 2 3 1<br />
1 2 3 4<br />
(ii) σ k,l = σ k,k+1 ◦ σ k+1,k+2 ◦ · · · ◦ σ l−2,l−1 ◦ σ l−1,l ◦ · · · ◦ σ k,k+1 ∈ S n für alle 1 ≤<br />
} {{ } } {{ }<br />
l−k−1<br />
l−k<br />
k < l ≤ n (Übung: Nachrechnen!).<br />
⊓⊔<br />
Es gibt aber Bedingungen an die Anzahl der Transpositionen, die man braucht,<br />
um eine vorgegebene Permutation als Produkt von Transpositionen zu schreiben:<br />
Jede Permutation kann entweder nur als Produkt von geradzahlig vielen Transpositionen<br />
oder aber nur als Produkt von ungeradzahlig vielen Transpositionen<br />
geschrieben werden. Für den Beweis brauchen wir folgende Definition:<br />
Definition 4.1.18. Sei σ ∈ S n . Ein Paar (i, j) ∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , n} heißt ein<br />
Fehlstand von σ, wenn gilt:<br />
i < j und σ(i) > σ(j).<br />
Sei f σ die Anzahl der Fehlstände von σ. Man kann also f σ als die Anzahl Kreuzungen<br />
in der graphischen Darstellung von σ interpretieren, oder auch als die Anzahl der<br />
Paare von Einsen in P σ , für die die obere Eins rechts von der unteren Eins steht.<br />
1 2 3 4 5 6<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
Dann heißt<br />
das Signum von σ.<br />
sign(σ) := (−1) fσ =<br />
{ 1 fσ gerade<br />
−1 f σ ungerade
94 4 Determinanten<br />
Beispiel 4.1.19. An der Permutationsmatrix<br />
⎛<br />
P σk,l =<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0<br />
. ..<br />
1<br />
0 0 . . . 0 1<br />
0 1 0 0<br />
0 . . .<br />
. .. . .. .<br />
. 0 1 0<br />
1 0 . . . 0 0<br />
1<br />
. ..<br />
0 1<br />
zur Transposition σ k,l mit k < l liest man sofort ab, dass f σk,l = 2(l −k −1)+1 gilt.<br />
Insbesondere hat eine Transposition der Form σ k,k+1 nur einen einzigen Fehlstand.<br />
Also ist das Signum einer Transposition immer gleich −1.<br />
⊓⊔<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Satz 4.1.20. (i) Für alle σ ∈ S n gilt 1<br />
sign(σ) = ∏ i
(ii) Mit dem ersten Teil können wir rechnen:<br />
4.1 Permutationen und Permutationsmatrizen 95<br />
sign(σ ◦ τ) = ∏ (σ ◦ τ)(i) − (σ ◦ τ)(j)<br />
i − j<br />
i
96 4 Determinanten<br />
Übungen zu Abschnitt 4.1<br />
Permutationen<br />
Übung 4.1.1. Gegeben seien folgende Permutationen:<br />
( ) ( 1 2 3 4 5<br />
1 2 3 4 5<br />
σ =<br />
, τ =<br />
3 5 4 1 2<br />
1 4 3 2 5<br />
)<br />
, ρ =<br />
( ) 1 2 3 4 5<br />
.<br />
4 2 1 3 5<br />
(a) Bestimme σ −1 und überprüfe das Ergebnis mittels der zugehörigen Permutationsmatrizen<br />
A σ und A σ −1 = (A σ) −1 .<br />
(b) Berechne ρ ◦ σ mit Hilfe der zugehörigen Permutationsmatrizen.<br />
(c) Berechne τ ◦ ρ direkt.<br />
(d) Berechne sign(σ), sign(τ), sign(ρ), sign(σ −1 ), sign(τ ◦ σ) und sign ( (τ ◦ ρ) ◦ (ρ ◦ σ) ) .<br />
Übung 4.1.2. Gegeben sei Permutation<br />
( )<br />
1 2 3 4 5 6<br />
σ =<br />
.<br />
4 5 6 1 3 2<br />
Bestimme σ −1<br />
(i) über die zugehörige Permutationsmatrix<br />
(ii) direkt.<br />
Übung 4.1.3. Ein Zykel in S n ist eine Permutation, die bei einer Teilmenge von {1, . . . , n}<br />
einen Ringtausch bewirkt. Beispiel:<br />
( )<br />
1 2 3 4 5 6<br />
σ =<br />
2 3 5 4 1 6<br />
bewirkt den Ringtausch 1 → 2 → 3 → 5 → 1. Man schreibt als Abkürzung für einen Zykel<br />
einfach die am Ringtausch beteiligten Elemente hintereinander. Hier: ( 1 2 3 5 ) .<br />
(i) Stelle fest, ob die folgenden Permutationen Zykel sind:<br />
( )<br />
1 2 3 4 5 6 7<br />
σ =<br />
, τ =<br />
5 6 7 1 4 3 2<br />
ρ =<br />
( )<br />
1 2 3 4 5 6<br />
.<br />
5 6 4 3 1 2<br />
( 1 2 3 4 5<br />
2 5 3 4 1<br />
(ii) Schreibe diejenigen Permutationen aus (i), die keine Zykel sind, als Produkt von Zykeln.<br />
(iii) Schreibe die Permutationen aus (i) als Produkte von Transpositionen.<br />
Übung 4.1.4. Seien Hom(R n , R n ) := {ϕ: R n → R n | ϕ linear}, PM n die Menge der n×n-<br />
Permutationsmatrizen und S n die Menge der Permutationen auf {1, . . . , n}. Betrachte die<br />
Abbildungen<br />
und<br />
und zeige:<br />
Φ: Mat(n × n, R) → Hom(R n , R n )<br />
A ↦→ ϕ A<br />
˜Φ: P M n → S n<br />
A ↦→ σ A<br />
(i) Es gibt genau eine Abbildung Ψ : S n → Hom(R n , R n ) mit Φ | PMn = Ψ ◦ ˜Φ.<br />
(ii) Ψ ist injektiv.<br />
(iii) Ψ(σ ◦ τ) = Ψ(σ) ◦ Ψ(τ) für alle σ, τ ∈ S n.<br />
)<br />
,
Übung 4.1.5. Gegeben sei die Permutation<br />
( )<br />
1 2 3 4 5 6 7<br />
σ =<br />
.<br />
3 7 6 5 1 4 2<br />
(a) Bestimme σ −1<br />
(i) direkt,<br />
(ii) über die zugehörige Permutationsmatrix.<br />
(b) Berechne σ 2 .<br />
(c) Berechne sign(σ).<br />
(d) Schreibe σ als Produkt von Transpositionen.<br />
Übung 4.1.6. Gegeben sei die Permutation<br />
( )<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
σ =<br />
.<br />
2 3 4 5 1 7 6 9 8<br />
(a) Man schreibe σ als Produkt von Transpositionen.<br />
(b) Man bestimme sign(σ).<br />
4.1 Permutationen und Permutationsmatrizen 97<br />
Übung 4.1.7 (♣♦♥♠). Gespielt wird mit einem 52er Blatt. Nacheinander legt man 13<br />
offene Karten in einer Reihe aus. Dann beginnt man wieder von vorne und legt eine zweite<br />
Reihe von 13 offenen Karten unter die erste Reihe. Hat man vier Reihen offen ausgelegt,<br />
kann es los gehen.<br />
Ziel ist es nun, aus jeder der 13 so erhaltenen Spalten genau eine Karte zu wählen,<br />
so dass die 13 ausgewählten Karten alle verschiedenen Werten haben (vom As bis zum<br />
König). Die Reihenfolge, mit der die 13 Werte aus den Spalten ausgewählt werden, ist<br />
unerheblich. Z.B. ist (7, 3, 5, König, As, 8, Bube, Dame, 2, 4, 6, 10, 9) eine zugelassene<br />
Wahl. Die Farbe der Karten spielt dabei auch keine Rolle.<br />
Eine solche Auswahl ist immer möglich. Warum?<br />
Gruppen<br />
Übung 4.1.8. Man zeige, dass die Menge<br />
{( )<br />
}<br />
a b<br />
M = ∈ Mat(2 × 2, R)<br />
−b a<br />
∣ (a, b) ≠ (0, 0)<br />
zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.<br />
Übung 4.1.9. Es sei I := (−1, 1) = {x ∈ R | − 1 < x < 1}, und für a, b ∈ I sei<br />
a ⋆ b := a + b<br />
1 + ab .<br />
1. Zeige, dass ⋆ eine Abbildung von I × I nach I ist.<br />
2. Zeige, dass (I, ⋆) ist eine kommutative Gruppe.<br />
3. Löse die Gleichung 1 2 ⋆ x ⋆ 1 7 = 1 3 .<br />
Übung 4.1.10. (a) Stelle eine Multiplikationstafel von S 3 auf.<br />
(b) Definiere die Ordnungsfunktion ord: S 3 → N durch<br />
ord(σ) := min{n ∈ N: σ n = id}.<br />
Hier ist N := {1, 2, 3, . . . } die Menge der natürlichen Zahlen, und id : {1, 2, 3} →<br />
{1, 2, 3} die identische Abbildung. Berechne ord(σ) für alle σ ∈ S 3.<br />
(c) Zeige: Man kann jedes Element von S 3 als ein Produkt von (eventuell mehreren Exemplaren<br />
von) (1 2) und (2 3) schreiben.<br />
(d) Die minimale Anzahl von Exemplaren von (1 2) und (2 3), die man in (c) braucht,<br />
um σ zu schreiben, heißt die Länge l(σ) von σ. Man setzt dabei l(id) := 0. Berechne<br />
l(σ) für alle σ ∈ S 3.
98 4 Determinanten<br />
4.2 Die Determinante<br />
Wir beginnen diesen Abschnitt mit der Definition der Determinante einer quadratischen<br />
Matrix und beweisen dann eine Reihe von grundlegenden Eigenschaften. Im<br />
Weiteren konzentrieren wir uns auf Verfahren, mit denen man die Determinante<br />
berechnen kann. Die wichtigen Anwendungen auf die Untersuchung von Matrizen<br />
und ihre zugehörigen linearen Abbildungen werden erst später behandelt.<br />
Definition 4.2.1. Die Determinante einer quadratischen Matrix A = (a ij ) ∈<br />
Mat(n × n, K) ist definiert durch<br />
det(A) := ∑<br />
σ∈S n<br />
sign(σ)a 1σ(1) · a 2σ(2) · . . . · a nσ(n) .<br />
Diese Definition ist auch unter den Namen Leibniz-Formel für die Determinante<br />
bekannt. Wir betrachten die Determinante als Abbildung det: Mat(n × n, K) → K.<br />
Später werden wir sie aber auch als Abbildung det: K n × . . . × K n → K von der<br />
Menge der n-Tupel von (Zeilen/Spalten)-Vektoren in den Körper interpretieren.<br />
Beispiel 4.2.2. (i) Für n = 1 gilt A = (a 11 ) und S 1 = {id}, also haben wir:<br />
det(A) = ∑<br />
σ∈S 1<br />
sign(σ)a 1σ(1) = a 11 .<br />
(ii) Im Fall n = 2 besteht S n aus zwei Elementen,<br />
)<br />
S 2 = ,<br />
{ ( 1 2<br />
1 2<br />
( 1 2<br />
2 1<br />
) }<br />
,<br />
was zu folgender Formel führt:<br />
( )<br />
a11 a<br />
det 12<br />
= ∑<br />
sign(σ)a<br />
a 21 a 1σ(1) a 2σ(2)<br />
22<br />
σ∈S 2<br />
= 1 · a 11 a 22 + (−1) · a 12 a 21<br />
= a 11 a 22 − a 12 a 21 .<br />
(iii) Für n = 3 hat man<br />
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3<br />
}<br />
S 3 = , , , , ,<br />
,<br />
1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3<br />
} {{ } } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } } {{ }<br />
sign(σ)=1 sign(σ)=1 sign(σ)=1 sign(σ)=−1 sign(σ)=−1 sign(σ)=−1<br />
damit<br />
⎛<br />
det ⎝ a ⎞<br />
11 a 12 a 13<br />
a 21 a 22 a 23<br />
⎠ = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32<br />
−a<br />
a 31 a 32 a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33<br />
33<br />
was als Regel von Sarrus geschrieben wird:<br />
a 11 a 12 a 13<br />
↘ ↘ ↘<br />
a 21 a 22 a 23 a 21 −<br />
↘ ↘ ↘<br />
a 31 a 32 a 33 a 31 a 32<br />
a 31 a 32 a 33<br />
a 11 a 12 a 13 a 11 a 12<br />
↗ ↗ ↗<br />
a 21 a 22 a 23 a 21<br />
↗ ↗ ↗<br />
⊓⊔
4.2 Die Determinante 99<br />
Als nächstes verifizieren wir einige Eigenschaften der Determinante, von denen<br />
wir später nachweisen werden, dass sie die Determinante schon eindeutig bestimmen.<br />
Satz 4.2.3. Sei A ∈ Mat(n × n, K).<br />
(i) Vertauscht man in A zwei Zeilen, so ändert sich nur das Vorzeichen der Determinante.<br />
(ii) Multipliziert man eine Zeile mit einer Zahl t ∈ K, so multipliziert sich die<br />
Determinante auch mit t.<br />
(iii) Addiert man das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile, so ändert sich<br />
die Determinante nicht.<br />
(iv) det(1 n ) = 1.<br />
Beweis. Idee: Man rechnet das mit der Leibniz-Formel nach.<br />
(i) Setze<br />
⎛<br />
⎞<br />
.<br />
a k1 · · · a kn<br />
A :=<br />
.<br />
⎜<br />
⎝ a l1 · · · a ln<br />
⎟<br />
⎠<br />
.<br />
⎛<br />
⎞<br />
.<br />
a l1 · · · a ln<br />
und A ′ :=<br />
.<br />
.<br />
⎜<br />
⎝ a k1 · · · a kn<br />
⎟<br />
⎠<br />
In der folgenden Rechnung benutzt man in der ersten Umformung, dass die<br />
Abbildung<br />
S n → S n , σ ↦→ σ ◦ σ k,l<br />
bijektiv ist:<br />
det(A) = ∑<br />
τ∈S n<br />
sign(τ)a 1τ(1) · . . . · a kτ(k) · . . . · a lτ(l) · . . . · a nτ(n)<br />
= ∑<br />
σ∈S n<br />
sign(σ ◦ σ k,l )a 1(σ◦σk,l )(1) · . . . · a k(σ◦σk,l )(k) · . . .<br />
. . . · a l(σ◦σk,l )(l) · . . . · a n(σ◦σk,l )(n)<br />
= − ∑<br />
σ∈S n<br />
sign(σ)a 1σ(1) · . . . · a kσ(l) · . . . · a lσ(k) · . . . · a nσ(n)<br />
= − ∑<br />
σ∈S n<br />
sign(σ)a 1σ(1) · . . . · a lσ(k) · . . . · a kσ(l) · . . . · a nσ(n)<br />
= − det(A ′ ).<br />
(ii), (iii) Um beide Punkte gleichzeitig abhandeln zu können, setzen wir<br />
⎛<br />
⎞<br />
.<br />
a k1 · · · a kn<br />
A ′ :=<br />
.<br />
⎜<br />
⎝ ta l1 + sa k1 · · · ta ln + sa kn<br />
⎟<br />
⎠<br />
Dann gilt<br />
.<br />
.<br />
⎛<br />
⎞<br />
.<br />
a k1 · · · a kn<br />
und A ′′ :=<br />
.<br />
.<br />
⎜<br />
⎝ a k1 · · · a kn<br />
⎟<br />
⎠<br />
.
100 4 Determinanten<br />
det(A ′ ) = ∑<br />
sign(σ)a 1σ(1) · . . . · (ta lσ(l) + sa kσ(l) ) · . . . · a nσ(n)<br />
σ∈S n<br />
( )<br />
∑<br />
= t sign(σ)a 1σ(1) · . . . · a lσ(l) · . . . · a nσ(n)<br />
σ∈S n<br />
( )<br />
∑<br />
+ s sign(σ)a 1σ(1) · . . . · a kσ(k) · . . . · a kσ(l) · . . . · a nσ(n)<br />
σ∈S n<br />
= t det(A) + s det(A ′′ ).<br />
Es genügt daher zu zeigen, dass det(A ′′ ) = 0 ist. Beachte, dass man durch<br />
Vertauschen der k-ten und der l-ten Zeilen A ′′ nicht ändert, also det(A ′′ ) =<br />
− det(A ′′ ) gilt. Wenn 2 ≠ 0 in K, dann folgt det(A ′′ ) = 0. Wenn dagegen 2 = 0,<br />
dann ist sign konstant gleich Eins und man findet jeden Summanden in det(A ′′ )<br />
zweimal, weil die Summanden für σ und σ ◦ σ k,l gleich sind. Also folgt auch hier<br />
det(A ′′ ) = 0.<br />
(iv)<br />
det(1 n ) = ∑<br />
σ∈S n<br />
sign(σ)δ 1σ(1) · . . . · δ nσ(n) = sign(id)1 = 1.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 4.2.4. Wir betrachten jetzt die Matrizen aus Mat(n × n, K) als n-<br />
Tupel von Zeilenvektoren und schreiben die Determinante dementsprechend als<br />
Abbildung<br />
det: K n × · · · × K n → K.<br />
Dann lassen sich die Bedingungen aus Satz 4.2.3 wie folgt umformulieren:<br />
(i) det(v 1 , . . . , v k , . . . , v l , . . . , v n ) = − det(v 1 , . . . , v l , . . . , v k , . . . , v n ).<br />
(ii) det(v 1 , . . . , tv k , . . . , v n ) = t det(v 1 , . . . , v n ).<br />
(iii) det(v 1 , . . . , v k , . . . , v l + sv k , . . . , v n ) = det(v 1 , . . . , v n ).<br />
(iv) det(e 1 , . . . , e n ) = 1.<br />
Aus dem Beweis von Satz 4.2.3 liest man außerdem noch folgende Eigenschaften<br />
ab:<br />
(a) Es gilt det(v 1 , . . . , v k , . . . , v l , . . . , v n ) = 0 für v k = v l und k ≠ l.<br />
(b)<br />
det(v 1 , . . . , rv k +sv ′ k, . . . , v n ) = r det(v 1 , . . . , v k , . . . , v n )+s det(v 1 , . . . , v ′ k, . . . , v n ),<br />
denn die Rechnung im Beweis von Satz 4.2.3(iii) lässt sich wie folgt modifizieren:<br />
det(v 1 , . . . , rv k + sv ′ k, . . . , v n ) =<br />
= ∑<br />
sign(σ)a 1σ(1) · . . . · (ta kσ(k) + sa ′ kσ(k) ) · . . . · a nσ(n)<br />
σ∈S n<br />
( )<br />
∑<br />
= t sign(σ)a 1σ(1) · . . . · a kσ(k) · . . . · a nσ(n)<br />
σ∈S n<br />
( )<br />
∑<br />
+ s<br />
σ∈S n<br />
sign(σ)a 1σ(1) · . . . · a ′ kσ(k) · . . . · a nσ(n)<br />
= t det(v 1 , . . . , v k , . . . , v n ) + s det(v 1 , . . . , v ′ k, . . . , v n ).
4.2 Die Determinante 101<br />
⊓⊔<br />
Satz 4.2.5. Die Eigenschaften (i)–(iv) aus Satz 4.2.3 legen die Determinante fest.<br />
Beweis. Idee: Man benutzt die Eigenschaften (i)–(iv) um die Aussage auf Matrizen in<br />
Zeilenstufenform zurückzuführen, für die sie leicht zu verifizieren ist.<br />
Sei f : Mat(n × n, K) → K mit (i)–(iv) aus Satz 4.2.3. Dann ist zu zeigen, dass<br />
f(A) = det(A) für alle A ∈ Mat(n × n, K) gilt. Nach Satz 4.2.3 und den Voraussetzungen<br />
an f genügt es zu zeigen, dass f(A) = det(A) für A in Zeilenstufenform<br />
gilt.<br />
1. Fall: A nicht invertierbar. Dann gibt es eine Nullzeile und (ii) zeigt, dass det(A) =<br />
0 = f(A).<br />
2. Fall: A invertierbar. Dann ist A nach Satz 3.2.5 von der Form<br />
A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 ∗<br />
. ..<br />
0 1<br />
und lässt sich durch Umformungen vom Typ III auf die Form<br />
⎛ ⎞<br />
1 0<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
bringen. Also gilt det(A) = det(1 n ) = 1 und f(A) = f(1 n ) = 1.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 4.2.6. Da die Elementarmatrizen aus Beispiel 3.1.9 durch die entsprechende<br />
elementare Zeilenumformung aus der Einsmatrix hervorgehen, liefert Satz 4.2.3<br />
auch die Determinanten dieser Matrizen:<br />
(i) det(E I(p,q) ) = −1.<br />
(ii) det(E II(p;c) ) = c.<br />
(iii) det(E III(c,q;p) ) = 1.<br />
⊓⊔<br />
Jetzt können wir die Invertierbarkeit einer quadratischen Matrix und somit<br />
die eindeutige Lösbarkeit der zugehörigen linearen Gleichungssysteme über das<br />
Nichtverschwinden der Determinante charakterisieren. Nebenbei bemerkt führt diese<br />
Charakterisierung auch zu der Einsicht, dass ”<br />
die meisten“ Matrizen invertierbar<br />
sind 2 , weil die ”<br />
meisten“ Elemente von K eben nicht Null sind. Grob gesprochen<br />
heißt das, dass man bei zufällig hingeschriebenen quadratischen Matrizen nur geringe<br />
Chancen hat eine zu finden, die nicht invertierbar ist.<br />
Satz 4.2.7. Seien A, B ∈ Mat(n × n, K). Dann gilt<br />
(i) det(A) = 0 ⇔ Rang(A) < n ⇔ A ist nicht invertierbar.<br />
2 Um zu präzisieren, was man hier mit ”<br />
die meisten“ meint, braucht man Begriffe aus<br />
der Topologie wie stetige Abbildung und offene und dichte Teilmengen. Für K = R lernt<br />
man üblicherweise in der Vorlesung Analysis II, wie man so eine Aussage beweist.
102 4 Determinanten<br />
(ii) det(AB) = det(A) det(B).<br />
(iii) det(A ⊤ ) = det(A)<br />
(iv) det(A −1 ) = ( det(A) ) −1<br />
.<br />
Beweis. Idee: Die Äquivalenz der Aussagen in (i) folgt durch Kombination von Satz<br />
3.2.5, Bemerkung 3.2.12 und Satz 4.2.5. Die Multiplikativität der Determinante führt man<br />
auf den Fall zurück, dass A zu einer elementaren Zeilenoperation gehört. Die Multiplikativität<br />
aus Teil (ii) verifiziert man zunächst für den Fall, dass A eine Elementarmatrix ist,<br />
wobei man Beispiel 4.2.6 benutzt. Dann kann man wegen Bemerkung 3.2.9 invertierbare<br />
A’s behandeln. Der Fall von nichtinvertierbarem A folgt aus (i). Den Rest rechnet man<br />
mit der Leibniz-Formel nach.<br />
(i) Die Äquivalenz<br />
Rang(A) < n ⇔ A ist nicht invertierbar<br />
folgt aus Satz 3.2.5.<br />
Um auch die erste Äquivalenz zu zeigen, stellen wir fest, dass det(A) mit einer<br />
von Null verschiedenen Zahl multipliziert wird, wenn A durch eine elementare<br />
Zeilenumformung verändert wird. Also gilt det(A) = 0 genau dann, wenn jede<br />
Zeilenstufenform A ′ Determinante Null hat. Auch der Rang einer Matrix ändert<br />
sich nach Bemerkung 3.2.12 bei elementaren Zeilenumformungen nicht. Damit<br />
können wir o.B.d.A. annehmen, dass A in Zeilenstufenform ist. Dann zeigt der<br />
Beweis von Satz 4.2.5, dass det(A) = 0, wenn A nicht invertierbar ist, und<br />
det(A) = 1, wenn A invertierbar ist. Damit folgt die Behauptung.<br />
(ii) 1. Fall: A = E I(p,q) . Dann entsteht AB durch Umformung vom Typ I aus B,<br />
d.h. det(AB) = − det(B) = det(A) det(B).<br />
2. Fall: A = E II(c;p) . Dann entsteht AB durch Umformung vom Typ II(c; p)<br />
aus B, d.h., det(AB) = c det(B) = det(A) det(B).<br />
3. Fall: A = E III(c;p,q) . Dann entsteht AB durch Umformung vom Typ III(c; p, q)<br />
aus B, d.h., det(AB) = det(B) = det(A) det(B).<br />
4. Fall: Rang(A) = n. In diesem Fall ist A invertierbar, also gibt es nach Bemerkung<br />
3.2.9 Elementarmatrizen E 1 , . . . , E r mit E r · · · E 1 A = 1 n . Damit<br />
gilt<br />
A = E1 −1 · · · Er −1 .<br />
Wir sehen insbesondere, dass jede invertierbare (n × n)–Matrix ist ein Produkt<br />
von Elementarmatrizen ist. Da die Inverse einer Elementarmatrix nach<br />
Beispiel 3.2.7 wieder eine Elementarmatrix ist, erlauben die ersten drei Fälle<br />
folgende Rechnung:<br />
det(AB) = det(E1 −1 · · · Er −1 B)<br />
= det(E1 −1 ) det(E−1 2 · · · Er −1 B)<br />
= det(E1 −1 ) det(E−1 2 ) · · · det(E−1 r ) det(B)<br />
= det(E1 −1 E−1 2 · · · Er<br />
−1 ) det(B)<br />
= det(A) det(B).<br />
.<br />
5. Fall: A nicht invertierbar. Wäre jetzt AB invertierbar, so hätte man<br />
A(B(AB) −1 ) = (AB)(AB) −1 = 1 n<br />
und mit Bemerkung 3.2.6 die Invertierbarkeit von A. Also ist AB nicht<br />
invertierbar, so dass wegen (i) gilt det(AB) = 0 = det(A). Zusammen findet<br />
man also det(AB) = 0 = det(A) det(B).
4.2 Die Determinante 103<br />
(iii) Mit der Identität sign(σ) = sign(σ −1 ) sowie der schon früher benutzten Tatsache,<br />
dass die Abbildung S n → S n , τ ↦→ τ −1 bijektiv ist, können wir wie folgt<br />
rechnen:<br />
det(A ⊤ ) = ∑<br />
sign(σ) a σ(1),1 · · · a σ(n),n<br />
σ∈S n<br />
= ∑<br />
sign(σ) a 1,σ −1 (1) · · · a n,σ −1 (n)<br />
σ∈S n<br />
= ∑<br />
sign(τ −1 ) a<br />
} {{ } 1,τ(1) · · · a n,τ(n)<br />
τ −1 ∈S n<br />
= ∑<br />
=sign(τ)<br />
τ∈S n<br />
sign(τ) a 1,τ(1) · · · a n,τ(n)<br />
= det(A).<br />
(iv) Folgt sofort aus (ii) und det(1 n ) = 1.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 4.2.8. (i) Aus Satz 4.2.7(iii) erkennt man, dass man überall, wo in<br />
diesem Abschnitt mit Zeilenvektoren gearbeitet wurde, auch mit Spaltenvektoren<br />
arbeiten kann, indem man A durch A ⊤ ersetzt.<br />
(ii) Satz 4.2.7(ii) zeigt, dass die Einschränkung det | GLn(K) : GL n (K) → K × ein<br />
Gruppenhomomorphismus ist.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 4.2.9.<br />
⎛ ⎞<br />
c 1 ∗<br />
⎜<br />
A = ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 c n<br />
cj≠0<br />
=⇒ det(A) = c 1 · · · c n ,<br />
weil A durch Umformungen vom Typ III in<br />
⎛ ⎞<br />
c 1 0<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 c n<br />
überführt werden kann und dann sukzessive mit II(j; 1 c j<br />
) in 1 n . Die Gleichung<br />
det(A) = c 1 · · · c n bleibt aber auch richtig, wenn einzelne c j ’s Null sind. Dazu muss<br />
man nur zeigen, dass det(A) = 0, falls es ein c j = 0 gibt. Wenn aber<br />
⎛<br />
A =<br />
⎜<br />
⎝<br />
c 1 ∗ ∗<br />
. .. . ∗<br />
0 c j−1 ∗<br />
0 ∗ . . . ∗<br />
0 c j+1 ∗<br />
0<br />
⎞<br />
. ⎟<br />
. .. ⎠<br />
0 0 c n<br />
gilt, dann hat eine Zeilenstufenform von A höchstens n − 1 Stufen. Also folgt<br />
Rang(A) < n und damit det(A) = 0.<br />
⊓⊔
104 4 Determinanten<br />
Bemerkung 4.2.10. Es gilt det(P σ ) = sign(σ), denn für Transpositionen σ = σ k,l<br />
gilt P σ = E I(k,l) und daher<br />
sign(σ k,l ) = −1 = det(P σk,l ).<br />
Allgemein schreiben wir dann: σ = τ 1 ◦ · · · ◦ τ k mit Transpositionen τ j und rechnen<br />
sign(σ) = sign(τ 1 ) · · · sign(τ k )<br />
= det(P τ1 ) · · · det(P τk )<br />
= det(P τ1 · · · P τk )<br />
= det(P τ1◦...◦τ k<br />
)<br />
= det(P σ ),<br />
wobei wir Proposition 4.1.13 und Satz 4.1.20 benutzt haben.<br />
⊓⊔<br />
Übungen zu Abschnitt 4.2<br />
Übung 4.2.1. Man bestimme die Determinanten der folgenden Matrizen:<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞ −7 3 8 1<br />
2 3 0<br />
⎝−1 3 2⎠ , ⎜ 1 1 0 1<br />
⎟<br />
⎝ 4 2 −1 3⎠ .<br />
4 1 0<br />
5 1 0 9<br />
Übung 4.2.2. Man bestimme die Determinanten der folgenden Matrizen:<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
( )<br />
1 1 1 1<br />
1 0 1<br />
2 4<br />
, ⎝1 1 1⎠ , ⎜1 2 2 2<br />
⎟<br />
−1 2<br />
⎝1 2 3 3⎠<br />
0 1 1<br />
1 2 3 4<br />
Übung 4.2.3. Für welche Werte von α, β ∈ R sind die folgenden Matrizen invertierbar?<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 1 1<br />
β 1 0<br />
A 1 := ⎝1 1 α⎠ , A 2 := ⎝1 β 1⎠ .<br />
1 α 1<br />
0 1 β<br />
Übung 4.2.4. Betrachte die Abbildung det: Mat(n × n, R) → R.<br />
(a) Zeige, dass det surjektiv ist.<br />
(b) Ist det injektiv?<br />
(c) Ist det: Mat(n × n, R) → R eine lineare Abbildung?<br />
(d) Es sei GL(n, R) die Gruppe aller invertierbaren Matrizen in Mat(n × n, R) und betrachte<br />
R \ {0} als Gruppe bezüglich der Multiplikation. Ist det : GL(n, R) → R \ {0}<br />
ein Gruppenhomomorphismus?<br />
Übung 4.2.5. Betrachte die Abbildungen<br />
und<br />
Zeige<br />
((<br />
x1<br />
((<br />
x1<br />
ϕ: R 2 × R 2 → R<br />
) ( ))<br />
y1<br />
, ↦→ x<br />
x 2 y 1y 1 − x 2y 2<br />
2<br />
ψ : R 2 × R 2 → R<br />
) ( ))<br />
y1<br />
, ↦→ x<br />
x 2 y 1y 2 + x 2y 1.<br />
2
4.3 Weitere Rechenverfahren für Determinanten und Inverse 105<br />
(i) ϕ(u, rv + sw) = rϕ(u, v) + sϕ(u, w) für alle r, s ∈ R, u, v, w ∈ R 2 .<br />
(ii) ψ(u, rv + sw) = rψ(u, v) + sψ(u, w) für alle r, s ∈ R, u, v, w ∈ R 2 .<br />
(iii) ϕ(u, v) = ϕ(v, u) für alle u, v ∈ R 2 .<br />
(iv) ψ(u, v) = ψ(v, u) für alle u, v ∈ R 2 .<br />
(v) Finde eine Abbildung γ : R 2 × R 2 → R mit<br />
(a) γ(u, rv + sw) = rγ(u, v) + sγ(u, w) für alle r, s ∈ R, u, v, w ∈ R 2 .<br />
(b) γ(u, v) = γ(v, u) für alle u, v ∈ R 2 .<br />
(c)<br />
(( ) ( )) (( ) ( ))<br />
1 1 1 0<br />
γ , = γ , = 1.<br />
0 0 0 1<br />
Übung 4.2.6. Zeige<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 2 12 18<br />
( det ⎜ 3 4 3 −10<br />
⎟ 1 2<br />
⎝ 0 0 −1 2 ⎠ = det 3 4<br />
0 0 4 8<br />
)<br />
det<br />
( ) −1 2<br />
.<br />
4 8<br />
4.3 Weitere Rechenverfahren für Determinanten und Inverse<br />
In diesem Abschnitt stellen wir diverse Formeln und Rechenverfahren für Determinanten<br />
zusammen. Einige davon sind für praktische Berechnungen nützlich, andere,<br />
wie die Cramersche Regel, braucht man eher für theoretische Überlegungen (zum<br />
Beispiel, um nachzuweisen, dass die Inversenbildung ein differenzierbarer Prozess<br />
ist).<br />
Bemerkung 4.3.1 (Kästchen-Regel). Sei<br />
( )<br />
A1 ∗<br />
A =<br />
0 A 2<br />
mit A 1 ∈ Mat(p × p, K), und A 2 ∈ Mat(q × q, K) wobei p + q = n. Dann gilt<br />
det(A) = det(A 1 ) det(A 2 ).<br />
Um dies einzusehen, schreibt man<br />
det(A) = ∑<br />
sign(σ) a 1,σ(1) · . . . · a p,σ(p) · a p+1,σ(p+1) · . . . · a n,σ(n)<br />
} {{ }<br />
σ∈S n<br />
=0, wenn es ein r∈{p+1,...,n} mit σ(r)∈{1,...,p} gibt<br />
Das Produkt a 1σ(1) · · · a nσ(n) ist nur von Null verschieden, wenn σ({p + 1, . . . , n}) ⊆<br />
{p + 1, . . . , n}. Dann zeigt Proposition 4.1.3, dass σ({p + 1, . . . , n}) = {p + 1, . . . , n}<br />
und es folgt σ({1, . . . , p}) = {1, . . . , p}. Setze<br />
σ 1 := σ| {1,...,p} ∈ S p<br />
σ 2 := σ| {p+1,...,p+q} ∈ ˜S q := {Permutationen von {p + 1, . . . , p + q}}<br />
Durch Umnumerieren kann man ˜S q mit S q identifizieren und so Permutationsmatrizen<br />
P σ2 , die Anzahl f σ2 der<br />
(<br />
Fehlstände<br />
)<br />
und das Signum sign(σ 2 ) für σ 2 definieren.<br />
Pσ1 0<br />
Für ein solches σ gilt P σ =<br />
und f<br />
0 P σ = f σ1 + f σ2 , wobei f σ die Anzahl<br />
σ2<br />
der Fehlstände von σ und f σi die Anzahl der Fehlstände von σ i ist. Damit rechnen<br />
wir<br />
sign(σ) = (−1) fσ = (−1) fσ 1 +fσ 2 = (−1)<br />
f σ1 (−1)<br />
f σ2 = sign(σ1 ) sign(σ 2 ).
106 4 Determinanten<br />
Indem wir jetzt nur über die σ summieren, die zur Determinante von A tatsächlich<br />
einen von Null verschiedenen Summanden beitragen können, finden wir<br />
∑<br />
det(A) =<br />
sign(σ 1 ) sign(σ 2 ) ·<br />
σ 1∈S p,σ 2∈ ˜S q<br />
·(a 1,σ1(1) · . . . · a p,σ1(p))(a p+1,σ2(p+1) · . . . · a p+q,σ2(p+q))<br />
⎛<br />
⎞<br />
= ⎝ ∑<br />
sign(σ 1 )(a 1,σ1(1) · . . . · a p,σ1(p)) ⎠ ·<br />
σ 1∈S p<br />
⎛<br />
⎞<br />
· ⎝ ∑<br />
sign(σ 2 )(a p+1,σ2(p+1) · . . . · a p+q,σ2(p+q)) ⎠<br />
σ 2∈ ˜S q<br />
= det(A 1 ) det(A 2 ).<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 4.3.2 (Vandermonde Determinante). Eine Vandermondesche Matrix<br />
ist eine Matrix V ∈ Mat((n + 1) × (n + 1), K) von der Gestalt<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 x 1 x 2 1 . . . x n 1<br />
1 x 2 x 2 2 . . . x n 2<br />
V := ⎜<br />
⎝<br />
.<br />
. . . ..<br />
⎟<br />
. ⎠ ,<br />
1 x n+1 x 2 n+1 . . . x n n+1<br />
mit Zahlen x 1 , . . . , x n+1 ∈ K. Wir werden zeigen, dass für n ≥ 1<br />
∏<br />
(x i − x j )<br />
n≥i>j≥1<br />
die Determinante dieser Matrix ist. Das ist klar für n = 1, und wir führen den<br />
Beweis mittels Induktion nach n: Als erstes ziehen wir die erste Zeile von jeder<br />
anderen ab und erhalten<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 x 1 x 2 1 . . . x n 1<br />
0 x 2 − x 1 x 2 2 − x 2 1 . . . x n 2 − x n 1<br />
det V = det ⎜<br />
⎝<br />
.<br />
. . . ..<br />
⎟<br />
. ⎠ := det V ′ .<br />
0 x n+1 − x 1 x 2 n+1 − x 2 1 . . . x n n+1 − x n 1<br />
Jetzt subtrahieren wir das x 1 -fache der n-ten Spalte von der (n+1)-ten Spalte, dann<br />
das x 1 -fache der (n−1)-ten Spalte von der n-ten u.s.w. Zum Beispiel erhalten wir in<br />
der k-ten Zeile (für k = 2, . . . , n+1) für die letzte Spalte x n k −xn 1 −x 1 (x n−1<br />
k<br />
−x1 n−1 ) =<br />
x n k − x 1x n−1<br />
k<br />
= (x k − x 1 )x n−1<br />
k<br />
. Damit gilt dann<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 0 0 . . . 0<br />
det V ′ 0 x 2 − x 1 x 2 (x 2 − x 1 ) . . . x2 n−1 (x 2 − x 1 )<br />
= det ⎜<br />
⎝<br />
.<br />
. .<br />
. ..<br />
⎟<br />
. ⎠<br />
0 x n+1 − x 1 x n+1 (x n+1 − x 1 ) . . . x n−1<br />
n+1 (x n+1 − x 1 )<br />
⎛<br />
n+1<br />
1 x<br />
∏<br />
2 x 2 2 . . . x n−1 ⎞<br />
2<br />
⎜<br />
= (x j − x 1 ) det ⎝<br />
.<br />
. . . ..<br />
⎟<br />
. ⎠ .<br />
j=2<br />
1 x n+1 x 2 n+1 . . . x n−1<br />
n+1<br />
Die zweite Gleichheit ist dabei eine Konsequenz von Satz 4.2.3(ii) und der Kästchen-<br />
Regel in Bemerkung 4.3.1. Jetzt folgt die Behauptung mit Induktion.<br />
⊓⊔
4.3 Weitere Rechenverfahren für Determinanten und Inverse 107<br />
Bemerkung 4.3.3 (Berechnung durch Zeilenumformung).<br />
die folgenden modifizierten elementaren Zeilenumformungen:<br />
Typ I ′ : Vertausche zwei Zeilen und multipliziere die letzte Zeile mit (−1)<br />
Typ II ′ : Multipliziere die p–te Zeile mit c ≠ 0 und die letzte Zeile mit 1 c<br />
Typ III: Wie gehabt<br />
Wir betrachten<br />
Durch Umformungen vom Typ I ′ , II ′ , III lässt sich jede Matrix auf ”<br />
modifizierte<br />
Zeilenstufenform“ bringen, die sich von der gewöhnlichen Zeilenstufenform nur in<br />
der letzten Zeile unterscheidet und dort nur in der letzten Komponente (alle anderen<br />
sind ohnehin Null). Man verändert in diesem Prozess die Determinante nicht! Es<br />
gibt für n × n–Matrizen zwei Möglichkeiten:<br />
(i) Wenn man weniger als n Stufen hat, d.h. die letzte Zeile Null ist, dann ist die<br />
Determinante Null.<br />
(ii) Wenn man n Stufen hat, ist das Ergebnis von der Form<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 ∗ ∗<br />
. .. .<br />
0 1 ∗<br />
0 . . . 0 d<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
also ist die Determinante gleich d.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 4.3.4.<br />
⎛ ⎞<br />
1 2 3<br />
⎝ 2 3 4 ⎠ →<br />
III<br />
3 4 6<br />
⎛<br />
1 2 3<br />
det ⎝ 2 3 4<br />
3 4 6<br />
⎛<br />
1 2 3<br />
⎝ 0 −1 −2<br />
0 −2 −3<br />
⎞<br />
⎞<br />
⎠ II’<br />
→<br />
⎛ ⎞<br />
1 2 3<br />
⎝ 0 1 2<br />
0 2 3<br />
⎠ III<br />
→<br />
⎛<br />
1 2 3<br />
⎝ 0 1 2<br />
0 0 −1<br />
⎠ = 18 + 24 + 24 − 27 − 16 − 24 = −1.<br />
⎞<br />
⎠<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 4.3.5 (Entwicklung nach Spalten oder Zeilen). Betrachte eine<br />
Matrix A ∈ Mat(n × n, K). Die (n − 1) × (n − 1)–Matrix, die aus A entsteht, wenn<br />
man die i–te Zeile und die j–te Spalte streicht, bezeichnen wir mit A i,j und nennen<br />
sie die (i, j)-te Streichmatrix. Seien<br />
v i = (a i1 , . . . , a in ) = (a i1 , 0, . . . , 0) + . . . + (0, . . . , 0, a in ) = a i1 e 1 + . . . + a in e n<br />
die Zeilenvektoren der (n × n)-Matrix A. Dann erhält man<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
⎛<br />
a 11 a 12 · · · a 1n<br />
a 11 e 1<br />
a 21 a 22 · · · a 2n<br />
det(A) = det ⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . . ⎠ = det v 2<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ + . . . + det ⎜<br />
⎝<br />
a n1 a n2 · · · a nn v n<br />
a 1n e n<br />
v 2<br />
und bringt im j-ten Summanden die j-te Spalte mithilfe der Permutation<br />
.<br />
v n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
108 4 Determinanten<br />
( )<br />
1 2 . . . j − 1 j j + 1 . . . n<br />
2 3 . . . j 1 j + 1 . . . n<br />
in die erste Spalte. Das bedeutet, man schiebt die j-te Spalte (j −1)-mal nach links,<br />
was j − 1 Transpositionen entspricht. Also ist das Signum dieser Permutation gleich<br />
(−1) j−1 und wir erhalten<br />
( )<br />
a11 0 · · · 0<br />
det(A) = det<br />
∗ A 1,1<br />
( )<br />
a12 0 · · · 0<br />
+ (−1) det<br />
∗ A 1,2<br />
( )<br />
+ (−1) 2 a13 0 · · · 0<br />
det<br />
∗ A 1,3<br />
.<br />
+ (−1) n−1 det<br />
( )<br />
a1n 0 · · · 0<br />
∗ A 1,n<br />
= a 11 det(A 1,1 ) − a 12 det(A 1,2 ) + . . . + (−1) n−1 a 1n det(A 1,n )<br />
n∑<br />
= (−1) j−1 a 1j det(A 1,j ).<br />
j=1<br />
Diese Art det(A) zu berechnen, nennt man Entwicklung der Determinante nach der<br />
ersten Zeile.<br />
Ebenso kann man auch nach anderen Zeilen entwickeln: Bringt man die p–te<br />
Zeile durch (p − 1) Vertauschungen in die erste Zeile und entwickelt dann nach der<br />
ersten Zeile, so erhält man die folgende Formel für die Entwicklung nach der p–ten<br />
Zeile:<br />
n∑<br />
det(A) = (−1) j+p a pj det(A p,j )<br />
j=1<br />
Jetzt vertauscht man die Rollen von Zeilen und Spalten und erhält analog eine<br />
Formel für die Entwicklung nach der q–ten Spalte:<br />
det(A) =<br />
n∑<br />
(−1) q+i a iq det(A i,q )<br />
i=1<br />
Diese Formeln sind auch unter dem Namen Laplace–Entwicklungssatz bekannt.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 4.3.6. Wir berechnen die Determinante von A =<br />
⎛ ⎞<br />
1 2 3<br />
⎝4 5 6⎠ durch Ent-<br />
7 8 9<br />
wicklung nach der zweiten Zeile:
4.3 Weitere Rechenverfahren für Determinanten und Inverse 109<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 2 3<br />
4 5 6<br />
det ⎝ 4 5 6 ⎠ = − det ⎝ 1 2 3 ⎠<br />
7 8 9<br />
7 8 9<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
4 0 0 0 5 0 0 0 6<br />
= − det ⎝ 1 2 3 ⎠ − det ⎝ 1 2 3 ⎠ − det ⎝ 1 2 3 ⎠<br />
7 8 9 7 8 9 7 8 9<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
4 0 0 5 0 0 6 0 0<br />
= − det ⎝ 1 2 3 ⎠ + det ⎝ 2 1 3 ⎠ − det ⎝ 3 1 2 ⎠<br />
7 8 9 8 7 9 9 7 8<br />
( ) ( ) ( )<br />
2 3<br />
1 3<br />
1 2<br />
= −4 det + 5 det − 6 det<br />
8 9<br />
7 9<br />
7 8<br />
= (−4) · det(A 2,1 ) + 5 · det(A 2,2 ) − 6 · det(A 2,3 )<br />
= (−4) · (−6) + 5 · (−12) − 6 · (−6) = 0.<br />
⊓⊔<br />
Die Laplace-Formeln sind für praktische Berechnungen immer dann von Interesse,<br />
wenn es Zeilen oder Spalten mit vielen Nullen gibt.<br />
Beispiel 4.3.7.<br />
liefert<br />
⎛<br />
⎞<br />
c 1 ∗ ∗ . . . ∗<br />
0 c 2 ∗ . . . ∗<br />
A =<br />
0 0 . . . . ..<br />
. .<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ⎟<br />
. . .. cn−1 ∗ ⎠<br />
0 0 . . . 0 c n<br />
det(A) = c 1 det(A 1,1 ) = c 1 c 2 det(. . .) = . . . = c 1 c 2 · · · c n .<br />
⊓⊔<br />
Die folgenden beiden Bemerkungen zeigen, dass man die Determinanten auch<br />
dazu benutzen kann, geschlossene Formeln (im Gegensatz zu Algorithmen, d.h. Berechnungsvorschriften)<br />
für inverse Matrizen und Lösungen von linearen Gleichungssystemen<br />
(im Falle eindeutiger Lösbarkeit) anzugeben. Insbesondere sieht man, dass<br />
für K = R die Lösungsformeln differenzierbar von den Daten abhängen.<br />
Bemerkung 4.3.8 (Berechnen der Inversen mit der Cramerschen Regel).<br />
Sei<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a 1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
A = ⎝ . . ⎠ ∈ Mat(n × n, K).<br />
a n1 · · · a nn<br />
Man definiert die adjunkte Matrix A adj ∈ Mat(n × n, K) zu A durch<br />
A adj<br />
pq = (−1) p+q det(A q,p )<br />
und berechnet das Matrizenprodukt von A und A adj via<br />
(A A adj ) iq =<br />
n∑<br />
a ij (−1) q+j det(A q,j ).<br />
j=1
110 4 Determinanten<br />
1. Fall: i = q. Entwickle det(A) nach der q-ten Zeile. Dann sieht man<br />
(A A adj ) qq =<br />
n∑<br />
a qj (−1) q+j det(A q,j ) = det(A).<br />
j=1<br />
2. Fall: i ≠ q. Betrachte die Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a 1n<br />
. .<br />
a i1 · · · a in<br />
i–te Zeile<br />
A ′ =<br />
. .<br />
a i1 · · · a in<br />
q–te Zeile<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . ⎠<br />
a n1 · · · a nn<br />
und entwickle det(A ′ ) nach der q-ten Zeile. Es ergibt sich<br />
weil A q,j = A ′ q,j gilt.<br />
0 = det(A ′ ) =<br />
n∑<br />
a ij (−1) j+q det(A ′ q,j) = (A A adj ) iq<br />
j=1<br />
Zusammen erhalten wir A A adj = det(A) · 1 und dies führt auf die Cramersche<br />
Regel:<br />
A −1 =<br />
1<br />
det(A) Aadj falls det(A) ≠ 0.<br />
Für 2 × 2-Matrizen liefert die Cramersche Regel die folgende Formel<br />
( ) −1<br />
a b<br />
=<br />
c d<br />
1<br />
ad − bc<br />
( ) d −b<br />
.<br />
−c a<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 4.3.9 (Cramersche Regel für Gleichungssysteme). Sei A ∈<br />
Mat(n × n, K) invertierbar und b ∈ K n (Spaltenvektor). Wir betrachten das lineare<br />
Gleichungssystem Ax = b. Mit der Cramerschen Regel 4.3.8 erhält man<br />
was sich in Koordinaten als<br />
x k =<br />
1<br />
det(A)<br />
j=1<br />
x = A −1 b =<br />
1<br />
det(A) (Aadj )b,<br />
n∑<br />
(A adj 1<br />
) kj b j =<br />
det(A)<br />
n∑<br />
(−1) k+j det(A j,k )b j<br />
für k = 1, . . . , n schreiben lässt. Entwickelt man jetzt die Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · b 1 · · · a 1n<br />
A (k) := ⎜ . . .<br />
⎟ ∈ Mat(n × n, K),<br />
⎝ a n1 · · · b<br />
}{{} n · · · a nn<br />
⎠<br />
k–te Spalte<br />
j=1
4.3 Weitere Rechenverfahren für Determinanten und Inverse 111<br />
in der die k-te Spalte von A durch b ersetzt ist, nach der k–ten Spalte, so findet<br />
man<br />
n∑<br />
det(A (k) ) = (−1) k+j det(A j,k )b j ,<br />
also<br />
j=1<br />
x k = det(A(k) )<br />
det(A) .<br />
⊓⊔<br />
Übungen zu Abschnitt 4.3<br />
Übung 4.3.1. Berechne die Determinante der Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
1 2 7<br />
A = ⎝ 2 8 10 ⎠<br />
7 10 13<br />
(a) über die Definition ∑ σ∈S 3<br />
sign(σ)a 1σ(1) a 2σ(2) a 3σ(3) ,<br />
(b) mit der Regel von Sarrus,<br />
(c) mit Zeilenumformungen.<br />
Übung 4.3.2. Berechne<br />
⎛ ⎞<br />
−7 3 8 1<br />
det ⎜ 1 1 0 1<br />
⎟<br />
⎝ 4 2 −1 3 ⎠<br />
5 1 0 9<br />
(i) mit Zeilenumformungen<br />
(ii) durch Entwicklung nach Zeilen oder Spalten.<br />
Übung 4.3.3. Gegeben sei die Matrix A ∈ Mat(n × n, R) mit<br />
⎧<br />
⎨ 3 für i ≤ j<br />
a ij = 101 für i = n, j = 1<br />
⎩<br />
0 sonst.<br />
Berechne det(A).<br />
Übung 4.3.4. Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel:<br />
−x 1 + x 2 + 2x 3 = 0<br />
2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1<br />
2x 1 + 3x 2 + x 3 = 1.<br />
Übung 4.3.5. Gegeben sei die Matrix<br />
⎛<br />
2 4 0<br />
⎞<br />
A = ⎝ 3 5 4 ⎠ .<br />
−1 −1 −3<br />
Berechne A −1 mit der Cramer’schen Regel.
112 4 Determinanten<br />
Übung 4.3.6. Die Matrix A n ∈ Mat(n × n, R) sei gegeben durch A n = (a kj ) k,j=1,...,n mit<br />
⎧<br />
1 für k = 1<br />
⎪⎨<br />
−j für k = j + 1<br />
a kj =<br />
k für k = j − 1<br />
⎪⎩<br />
0 sonst.<br />
Zeige durch Induktion, dass für n ≥ 2 gilt: det(A n) = n! (Hinweis: Überprüfe die Formel<br />
zuerst für die Fälle n = 2 und n = 3).<br />
Übung 4.3.7. Bestimme alle<br />
⎛<br />
⎞<br />
x 11 x 12 x 13<br />
X = ⎝ x 21 x 22 x 23<br />
⎠ ∈ Mat(3 × 3, R)<br />
x 31 x 32 x 33<br />
mit<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 2 3 1 0 −1<br />
X ⎝ 4 3 2 ⎠ = ⎝ 0 0 0 ⎠ .<br />
2 −1 −4 0 1 2<br />
Übung 4.3.8. Berechne die Determinante der folgenden n × n Matrix:<br />
⎛<br />
⎞<br />
λ 0 . . . 0 n<br />
1 · · : n − 1<br />
0 · · · :<br />
⎜ · · · 0 3<br />
.<br />
⎟<br />
⎝ : · · λ 2 ⎠<br />
0 . . . 0 1 λ − 1<br />
Hinweis: Entwickle nach der letzten Spalte.<br />
Übung 4.3.9. Es seien A ∈ Mat(n × n, K) eine invertierbare Matrix und b ∈ K n . Dann hat<br />
das LGS Ax = b die eindeutige Lösung x = A −1 b ∈ K n . Diese Lösungsmethode kann auf<br />
den Fall von nicht-invertierbaren und sogar nicht-quadratischen Koeffizientenmatrizen A<br />
verallgemeinert werden.<br />
Es seien A ∈ Mat(n × m, K) und B ∈ Mat(m × n, K) mit ABA = A.<br />
(a) Man berechne B, wenn n = m und A invertierbar ist.<br />
(b) Man gebe ein Beispiel einer Matrix A ∈ Mat(n × m, K), für die es mehrere Matrizen<br />
B ∈ Mat(m × n, K) mit ABA = A gibt.<br />
(c) Jetzt seien n, m und A ∈ Mat(n × m, K) beliebig. Ferner sei b ∈ K n . Man betrachte<br />
das LGS Ax = b in K m und zeige:<br />
(i) Wenn das LGS Ax = b lösbar ist, dann ist x := Bb eine Lösung.<br />
(ii) Das LGS Ax = b ist genau dann lösbar, wenn ABb = b.<br />
(iii)Wenn Ax = b lösbar ist, ist der Vektor x := Bb + (1 m − BA)y eine Lösung für<br />
jedes y ∈ K m .<br />
(iv)Wenn Ax = b lösbar ist, gibt es zu jeder Lösung x 0 ein y 0 ∈ K m , so dass x 0 =<br />
Bb + (1 m − BA)y 0.<br />
[Bemerkung: (iii) und (iv) zeigen, dass jede Lösung des lösbaren LGS Ax = b ist von<br />
der Form x = Bb + (1 m − BA)y mit y ∈ K m beliebig.]<br />
(d) Es sei A ∈ Mat(n × m, K) beliebig und b ∈ K n , so dass Ax = b lösbar ist.<br />
(i) Man wende (c) an, um zu zeigen: Wenn es eine Matrix B ∈ Mat(m × n, K) gibt, so<br />
dass BA = 1 m und ABb = b, dann ist die Lösung von Ax = b eindeutig bestimmt.<br />
Man schreibe die Lösung explizit.<br />
(ii) Man interpretiere das Ergebnis in (i) durch die zu A gehörige lineare Abbildung.<br />
Übung 4.3.10. Man bestimme alle<br />
⎛<br />
⎞<br />
x 11 x 12 x 13<br />
X = ⎝ x 21 x 22 x 23<br />
⎠ ∈ Mat(3 × 3, R)<br />
x 31 x 32 x 33
4.3 Weitere Rechenverfahren für Determinanten und Inverse 113<br />
mit<br />
⎛<br />
1 4 2<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
⎝ 2 3 −1 ⎠ X = ⎝<br />
3 2 −4<br />
0 0 1 ⎠ .<br />
−1 0 2<br />
Übung 4.3.11. Man bestimme alle<br />
⎛<br />
⎞<br />
x 11 x 12 x 13<br />
X = ⎝ x 21 x 22 x 23<br />
⎠ ∈ Mat(3 × 3, R)<br />
x 31 x 32 x 33<br />
mit<br />
Übung 4.3.12. Man berechne<br />
(a) mit der Regel von Sarrus;<br />
(b) mit Zeilenumformen.<br />
⎛<br />
1 4 2<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
⎝ 2 3 −1 ⎠ X = ⎝<br />
3 2 −4<br />
0 0 1 ⎠ .<br />
−1 0 2<br />
⎛ ⎞<br />
2 2 10<br />
det ⎝ 2 5 7 ⎠<br />
−3 −1 2<br />
Übung 4.3.13. Sei A ∈ Mat(n×n, K). Man berechne die Determinante der 2n×2n-Matrix<br />
( ) A A<br />
det<br />
−A A<br />
als Funktion von det(A).<br />
Übung 4.3.14. Gegeben sei die Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
1 2 4 8 16<br />
0 1 2 4 8<br />
A =<br />
⎜0 0 1 2 4<br />
⎟<br />
⎝0 0 0 1 2 ⎠ .<br />
0 0 0 0 1<br />
(a) Bestimme die Inverse A −1 von A.<br />
(b) Man löse das lineare Gleichungssystem Ax = b in R 5 , wobei b = (1, 1, 1, 1, 1) t<br />
Spaltenvektor mit allen Komponenten gleich 1 ist .<br />
der<br />
Übung 4.3.15. Man zeige: die Determinante einer Matrix A ∈ Mat(n × n, K) mit mehr<br />
als n 2 − n Einträge gleich Null ist Null.<br />
Übung 4.3.16. Eine Matrix A = (a ij) n i,j=1 ∈ Mat(n×n, K) heißt schiefsymmetrisch, wenn<br />
a ij = −a ji für alle i, j = 1, . . . , n gilt.<br />
Man zeige, dass die Determinante einer schiefsymmetrischen Matrix A ∈ Mat(n×n, K)<br />
für K = R oder K = C gleich Null ist, wenn n ungerade ist.<br />
[Hinweis: Man betrachte die transponierte Matrix von A]<br />
Übung 4.3.17. Die Zahlen 20604, 53227, 25755, 20927 und 78421 sind durch 17 teilbar.<br />
Man zeige, dass auch die Determinante der Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
2 0 6 0 4<br />
5 3 2 2 7<br />
A =<br />
⎜2 5 7 5 5<br />
⎟<br />
⎝2 0 9 2 7⎠<br />
7 8 4 2 1<br />
durch 17 teilbar ist.
114 4 Determinanten<br />
Übung 4.3.18 (Schiefsymmetrische Matrizen). Eine Matrix A ∈ K n×n heißt schiefsymmetrisch,<br />
falls A ⊤ = −A gilt.<br />
Man zeige, dass die Determinante einer schiefsymmetrischen Matrix A ∈ K n×n für K = R<br />
oder C gleich Null ist, wenn n ungerade ist.<br />
Übung 4.3.19 (Laplaceentwicklung). Zeige per Induktion nach n:<br />
⎛<br />
⎞<br />
λ 0 . . . 0 a n<br />
−1 · · : a n−1<br />
det<br />
0 · · · :<br />
⎜ · · · 0 a 3<br />
= λ n + a 1λ n−1 + · · · + a n−1λ + a n.<br />
⎟<br />
⎝ : · · λ a 2<br />
⎠<br />
0 . . . 0 −1 λ + a 1<br />
Übung 4.3.20. Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel:<br />
−x 1 + x 2 + 2x 3 = 0<br />
2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1<br />
2x 1 + 3x 2 + x 3 = 1.<br />
Übung 4.3.21. Es seien A ∈ Mat(n × m, K) und B ∈ Mat(m × n, K). Man zeige, dass<br />
( ) ( )<br />
1n A 1m B<br />
det(1 n − AB) = det = det = det(1<br />
B 1 m A 1 m − BA).<br />
n<br />
Übung 4.3.22 (Blockmatrizen). Seien A, B, C, D ∈ Mat(n × n, K).<br />
1. Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass die Gleichung<br />
( ) A B<br />
det = det(AD − CB) (∗)<br />
C D<br />
im Allgemeinen nicht gilt.<br />
2. Beweisen Sie (∗) für den Fall, dass A invertierbar ist und mit C kommutiert, d.h.<br />
AC = CA.<br />
Hinweis: Multiplizieren Sie die obige Matrix von links mit einer geeigneten Matrix der<br />
Form ( 1 n 0<br />
X 1 n<br />
)<br />
.<br />
Übung 4.3.23. Gibt es eine Menge M von quadratischen Matrizen mit folgenden Eigenschaften?<br />
(1) M ist unendlich;<br />
(2) jede Matrix in M ist nicht-invertierbar;<br />
(3) M ist eine Gruppe bezüglich Multiplikation.<br />
Warum? Welche ist die Antwort, wenn wir (2) durch folgende Eigenschaft (2 ′ ) ersetzen?<br />
Dabei ist<br />
(2 ′ ) Eine Matrix E in M ist invertierbar, und alle Matrizen in M \ {E} sind nichtinvertierbar.<br />
Übung 4.3.24. Sei A ∈ Mat(n × n, R) invertierbar. Man zeige: Wenn die Summe der<br />
Einträge jeder Zeile von A dieselbe Zahl S ≠ 0 ist, dann ist die Summe der Einträge jeder<br />
Zeile von A −1 dieselbe Zahl 1/S.
Teil II<br />
Vektorräume und ihre Abbildungen
Vorbemerkung<br />
In diesem Teil der Vorlesung abstrahieren wir die n-dimensionalen Zahlenräume<br />
und ihre Unterräume zu allgemeinen Vektorräumen. Wir übertragen Begriffe wie<br />
lineare Abbildung, Basis und Dimension in diesen Kontext und werden sehen, dass<br />
die Mehrzahl der Resultate hier seine Entsprechungen hat, solange man sich auf<br />
den Fall endlicher Dimension einschränkt. Auf diese Weise werden auch Mengen<br />
wie Mat(m × n, K) oder Hom K (K n , K m ) für die Methoden der Linearen Algebra<br />
zugänglich, es handelt sich auch dabei um endlichdimensionale Vektorräume. Anderen<br />
Vektorräumen begegnet man in der Analysis, z.B: Räumen von stetigen Funktionen.<br />
Diese Räume sind im Allgemeinen nicht endlichdimensional. Nichtsdestotrotz<br />
sind die fundamentalen Begriffsbildungen wie lineare Abbildungen, lineare Unterräume<br />
und lineare Unabhängigkeit von Teilmengen auch in solchen Vektorräumen<br />
gewinnbringend einsetzbar.<br />
Jeder endlich dimensionale Vektorraum kann über eine Basis mit einem n-<br />
dimensionalen Zahlenraum identifiziert werden und so lassen sich alle Rechentechniken,<br />
die in Teil I entwickelt wurden, auch für allgemeine endlich dimensionale Vektorräume<br />
anwenden. Es werden in diesem abstrakten Kontext aber auch zusätzliche<br />
Konzepte sichtbar, die neue Anwendungen erschließen und bekannte Rechentechniken<br />
in neuem Licht erscheinen lassen. Wir besprechen insbesondere Quotientenvektorräume,<br />
duale Vektorräume und direkte Summen von Vektorräumen.<br />
In Kapitel 6 beginnen wir eine systematische Untersuchung linearer Abbildungen<br />
zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen. Besonderes Augenmerk richten<br />
wir dabei auf die Darstellung durch Matrizen bei vorgegebenen Basen für die<br />
Vektorräume. Gesucht werden dabei immer Basen für die man möglichst einfache<br />
Matrizen, z.B. Diagonalmatrizen, erhält. Diese Untersuchungen führen auf die Begriffe<br />
Eigenwert und Eigenvektor. Das Hauptergebnis wird der Satz von der Jordan-<br />
Normalform sein, der allerdings erst in Kapitel 7 bewiesen wird.
5<br />
Vektorräume<br />
In diesem Kapitel fassen wir die wesentlichen Eigenschaften der n-dimensionalen<br />
Zahlenräume zu einem Axiomensystem zusammen und gewinnen so den Begriff des<br />
Vektorraums (vgl. die Rechenregeln in Abschnitt 1.3). Dies erlaubt insbesondere das<br />
genauere Studium von Strukturen wie Räumen von Matrizen oder linearen Abbildungen,<br />
die schon bei den Untersuchungen von linearen Unterräumen der Zahlenräume<br />
aufgetaucht waren. Weitere Anwendungen dieses Konzepts finden sich in der Analysis<br />
und später in praktisch allen Gebieten der Mathematik.<br />
Neben den schon für lineare Unterräume des K n betrachteten Eigenschaften studieren<br />
wir auch abstraktere Konstruktionen wie Quotientenräume, Dualräume und<br />
direkte Summen.<br />
5.1 Vektorräume und Homomorphismen<br />
Definition 5.1.1. Sei K ein Körper. Ein K-Vektorraum ist eine Gruppe (V, +)<br />
zusammen einer Abbildung · : K × V → V, (c, v) ↦→ cv, genannte skalare Multiplikation<br />
mit folgenden Eigenschaften:<br />
v + w = w + v ∀v, w ∈ V (Kommutativgesetz)<br />
c(v + w) = cv + cw ∀v, w ∈ V, c ∈ K (1. Distributivgesetz)<br />
(c + d)v = cv + dv ∀v ∈ V, c, d ∈ K (2. Distributivgesetz)<br />
c(dv) = (cd)v ∀v ∈ V, c, d ∈ K<br />
1v = v<br />
Man bezeichnet das neutrale Element bezüglich der Addition + in V mit 0 und<br />
nennt es die Null des Vektorraums. Das additive Inverse von v ∈ V wird mit −v<br />
bezeichnet. Man nennt es auch das Negative von v.<br />
Beispiel 5.1.2. (i) (K n , +, ·) mit der skalaren Multiplikation aus Definition 1.3.1<br />
ist K-Vektorraum.<br />
(ii) Jeder lineare Unterraum U von K n ist bezüglich der von K n geerbten Addition<br />
und skalaren Multiplikation ein K-Vektorraum.<br />
(iii) Mat(m × n, K) mit der komponentenweisen Addition und komponentenweisen<br />
skalaren Multiplikation ist ein K-Vektorraum.<br />
(iv) Hom K (K n , K m ) mit den durch<br />
(ϕ + ψ)(x) := ϕ(x) + ψ(x)<br />
(cϕ)(x) := c ( ϕ(x) )
120 5 Vektorräume<br />
für x ∈ K n definierten Verknüpfungen (man spricht von der punktweisen<br />
Addition und skalaren Multiplikation) ist ein K-Vektorraum.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 5.1.3. Sei M eine Menge und V ein K-Vektorraum. Dann ist die Menge<br />
W aller Abbildungen von M nach V bzgl. der durch<br />
(f + g)(m) := f(m) + g(m)<br />
(cf)(m) := c ( f(m) )<br />
für m ∈ M definierten punktweisen Verknüpfungen ein K-Vektorraum<br />
⊓⊔<br />
In diesem Beispiel könnte man als M ein Intervall I in R wählen und V = R.<br />
Dann erhält man den Vektorraum aller reellwertigen Funktionen auf I. Aus den<br />
Eigenschaften, die man in der Analysis für stetige und differenzierbare Funktionen<br />
beweist, liest man leicht ab, dass auch die Menge der stetigen Funktionen f : I → R<br />
und (falls I ein offenes Intervall ist) die Menge der differenzierbaren Funktionen<br />
f : I → R bezüglich der punktweisen Verknüpfungen reelle Vektorräume sind.<br />
Die folgende Bemerkung lässt sich genau wie Bemerkung 1.1.4 einsehen (Übung):<br />
Bemerkung 5.1.4. Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und v ∈ V . Dann gilt<br />
0v = 0 und (−1)v = −v.<br />
⊓⊔<br />
Man kann das Konzept des linearen Unterraums problemlos auf den Fall abstrakter<br />
Vektorräume übertragen und reduziert so für viele Beispiele den Nachweis der<br />
Gültigkeit der Rechenregeln für Vektorräume auf den Nachweis, dass die betrachtete<br />
Teilmenge abgeschlossen unter der Addition und der skalaren Multiplikation<br />
des Vektorraums ist. Dies gilt zum Beispiel für die Räume stetiger oder differenzierbarer<br />
Funktionen, bei denen man sich nur klar machen muss, dass Summen<br />
und skalare Vielfache von stetigen/differenzierbaren Funktionen selbst wieder stetig/differenzierbar<br />
sind.<br />
Definition 5.1.5. Sei (V, +, ·) ein K-Vektorraum. Eine nichtleere Teilmenge U ⊆ V<br />
heißt Untervektorraum (oder auch ein linearer Unterraum), wenn:<br />
(1) u + v ∈ U für alle u, v ∈ U.<br />
(2) cu ∈ U für alle c ∈ K, u ∈ U.<br />
Bemerkung 5.1.6. Sei (V, +, ·) ein K-Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum.<br />
Dann ist (U, +, ·) mit den Einschränkungen der Operationen ein K-<br />
Vektorraum. Um das einzusehen, reicht es nachzuweisen, dass sowohl die Null in<br />
V als auch die additiven Inversen von Elementen aus U in U liegen, denn die Rechenregeln<br />
gelten ja automatisch, weil V ein Vektorraum ist. Nach Bemerkung 5.1.4<br />
haben wir aber 0 = 0u ∈ U und −u = (−1)u ∈ U.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 5.1.7. Die Menge der oberen Dreiecksmatrizen<br />
⎧⎛<br />
⎞⎫<br />
⎪⎨ ∗ · · · ∗ ⎪⎬<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
. ⎠ ⊆ Mat(n × n, K)<br />
⎪⎩ ⎪⎭<br />
0 ∗<br />
ist K-Untervektorraum von Mat(n × n, K).<br />
⊓⊔
5.1 Vektorräume und Homomorphismen 121<br />
Definition 5.1.8. Seien (V, +, ·) und (W, ⊕, ⊙) zwei K-Vektorräume 1 . Eine Abbildung<br />
ϕ : V → W heißt K-Vektorraum-Homomorphismus oder auch K-linear,<br />
wenn gilt:<br />
ϕ(c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = c 1 ⊙ ϕ(v 1 ) ⊕ c 2 ⊙ ϕ(v 2 ) ∀c 1 , c 2 ∈ K, v 1 , v 2 ∈ V.<br />
Die Menge aller K-Vektorraum-Homomorphismen von V nach W bezeichnen wir<br />
mit Hom K (V, W ). Wenn V = W , schreiben wir auch End K (V ) für Hom K (V, V ) und<br />
nennen die Elemente dieser Menge Endomorphismen von V . Ein K-Vektorraum-<br />
Homomorphismus ϕ heißt K-Vektorraum-Isomorphismus, wenn ϕ bijektiv ist.<br />
Bemerkung 5.1.9. (vgl. Satz 3.2.4) Wenn ϕ: V → W ein K-Vektorraum-Isomorphismus<br />
ist, dann ist auch die Umkehrabbildung ϕ −1 : W → V K-linear, d.h. ein K-<br />
Vektorraum-Isomorphismus (vgl. Satz 3.2.4): Um das einzusehen, betrachten wir<br />
w 1 , w 2 ∈ W und v 1 , v 2 ∈ V mit ϕ(v 1 ) = w 1 und ϕ(v 2 ) = w 2 . Dann gilt<br />
ϕ −1 (c 1 w 1 + c 2 w 2 ) = ϕ −1 (c 1 ϕ(v 1 ) + c 2 ϕ(v 2 ))<br />
Wenn V = W ist, zeigt dies, dass die Menge<br />
= ϕ −1 (ϕ(c 1 v 1 + c 2 v 2 ))<br />
= c 1 v 1 + c 2 v 2<br />
= c 1 ϕ −1 (w 1 ) + c 2 ϕ −1 (w 2 ).<br />
GL(V ) := {ϕ ∈ End K (V ) | ϕ bijektiv}<br />
bzgl. der Verknüpfung von Abbildungen eine Gruppe ist. Man nennt GL(V ) die<br />
allgemeine lineare Gruppe von V .<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 5.1.10. Die Abbildung<br />
Φ: Mat(m × n, K) → Hom K (K n , K m )<br />
A ↦→ ϕ A<br />
aus Satz 3.1.5 ist ein K-Vektorraum-Isomorphismus. Dazu muss man nur die K-<br />
Linearität von Φ nachweisen, die aber sofort aus der Definition folgt (Übung: Nachprüfen!).<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 5.1.11. Seien V und W zwei K-Vektorräume. Dann ist Hom K (V, W )<br />
ein Untervektorraum des K-Vektorraumes aller Abbildungen von V nach W . Um<br />
das einzusehen, betrachten wir ϕ, ψ ∈ Hom K (V, W ) und r, s ∈ K. Für c 1 , c 2 ∈ K<br />
und v 1 , v 2 ∈ V zeigt dann die Rechnung<br />
(rϕ + sψ)(c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = rϕ(c 1 v 1 + c 2 v 2 ) + sψ(c 1 v 1 + c 2 v 2 )<br />
die Behauptung.<br />
= rc 1 ϕ(v 1 ) + rc 2 ϕ(v 2 ) + sc 1 ψ(v 1 ) + sc 2 ψ(v 2 )<br />
= c 1 (rϕ(v 1 ) + sψ(v 1 )) + c 2 (rϕ(v 2 ) + sψ(v 2 ))<br />
= c 1 (rϕ + sψ)(v 1 ) + c 2 (rϕ + sψ)(v 2 )<br />
1 Normalerweise lässt man die Punkte für die Multiplikation ganz weg und benutzt immer<br />
das gleiche Additionszeichen +. Hier dienen die unterschiedlichen Symbole nur dazu, zu<br />
betonen, dass auf der linken und der rechten Seite der definierenden Gleichung für die<br />
Homomorphie-Eigenschaft unterschiedliche Verknüpfungen zu benutzen sind.<br />
⊓⊔
122 5 Vektorräume<br />
Die folgende Proposition ist eine Verallgemeinerung der ersten beiden Teile<br />
von Proposition 3.2.1 und wird auch genauso bewiesen (Übung: Durchführen!) wie<br />
3.2.1(i) und 3.2.1(ii).<br />
Proposition 5.1.12. Sei ϕ ∈ Hom K (V, W ) eine K-lineare Abbildung und E ⊆<br />
V, F ⊆ W lineare Unterräume. Dann gilt:<br />
(i) ϕ(E) ⊆ W ist ein linearer Unterraum.<br />
(ii) ϕ −1 (F ) = {x ∈ V | ϕ(v) ∈ F } ⊆ V ist ein linearer Unterraum.<br />
Zwei Spezialfälle von Proposition 5.1.12 spielen eine besondere Rolle und erhalten<br />
eigene Namen.<br />
Definition 5.1.13. Sei ϕ: V → W ein K-Vektorraum-Homomorphismus. Dann<br />
heißt ϕ(V ) das Bild von ϕ und ϕ −1 ({0}) der Kern von ϕ. Die beiden Unterräume<br />
werden mit im (ϕ) und ker (ϕ) bezeichnet 2 .<br />
Proposition 5.1.14. Sei ϕ: V → W ein K-Vektorraum-Homomorphismus. Dann<br />
gilt<br />
(i) ϕ ist surjektiv genau dann, wenn im (ϕ) = W .<br />
(ii) ϕ ist injektiv genau dann, wenn ker (ϕ) = {0} (vgl. Proposition 3.2.2).<br />
Beweis. Der erste Teil folgt sofort aus der Definition. Wenn ϕ injektiv ist, hat die<br />
Null in W nur ein Urbild, also besteht der Kern von ϕ nur aus der Null in V .<br />
Umgekehrt sei ker (ϕ) = {0} und ϕ(v) = ϕ(v ′ ). Dann gilt<br />
ϕ(v − v ′ ) = ϕ(v) − ϕ(v ′ ) = 0<br />
und somit v = v ′ . Dies zeigt, dass ϕ injektiv ist.<br />
⊓⊔<br />
Übungen zu Abschnitt 5.1<br />
Übung 5.1.1. Sei K ein Körper. Zeige: (Mat(m × n, K), +, ·) mit der komponentenweisen<br />
Addition und skalaren Multiplikation ist ein K-Vektorraum.<br />
Übung 5.1.2. Sei V der R-Vektorraum aller reellen Funktionen f : R → R. Weiter setze<br />
und<br />
Sind U 1 und U 2 Untervektorräume?<br />
U 1 = {f ∈ V : f differenzierbar, f ′ (0) = 0}<br />
U 2 = {f ∈ V : f differenzierbar, f ′ (0) = 1}.<br />
Übung 5.1.3. Sei V ein K-Vektorraum sowie U 1 und U 2 zwei Untervektorräume von V .<br />
(i) Zeige, dass U 1 ∩ U 2 ein Untervektorraum von V ist.<br />
(ii) Zeige, dass die Summe U 1 + U 2 := {u 1 + u 2 | u 1 ∈ U 1, u 2 ∈ U 2} von U 1 und U 2 ein<br />
Untervektorraum von V ist.<br />
Übung 5.1.4. Eine Matrix A ∈ Mat(n × n, K) heißt schiefsymmetrisch, wenn A = −A ⊤ .<br />
1. Man zeige, dass die Menge SSym(n, K) aller schiefsymmetrischen Matrizen A ∈<br />
Mat(n × n, K) ein Untervektorraum von (Mat(n × n, K), +, ·) mit der koeffizientenweisen<br />
Addition und skalaren Multiplikation ist.<br />
2. Man berechne die Dimension von SSym(n, R) als R-Vektorraum.<br />
2 im steht für image und ker für kernel - die englischen Bezeichnungen haben sich jenseits<br />
elementarer deutschsprachiger Lehrbücher praktisch universell durchgesetzt.
5.2 Basis und Dimension 123<br />
5.2 Basis und Dimension<br />
In diesem Abschnitt verallgemeinern wir die Begriffe, die wir in Kapitel 2 im Zuge<br />
unserer Untersuchung von von Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme für lineare<br />
Unterräume von K n gefunden haben, auf allgemeine K-Vektorräume. Es wird<br />
sich herausstellen, dass vieles, auch Formulierungen von Sätzen und deren Beweise,<br />
problemlos (oft fast wörtlich) übertragen werden kann.<br />
Die Existenz von Addition und skalarer Multiplikation erlaubt es, auf beliebigen<br />
K-Vektorräumen Linearkombinationen ∑ m<br />
j=1 c jv j zu bilden 3 . Dies ermöglicht die<br />
unmittelbare Verallgemeinerung der Begriffe linearer Spann, Lineare Abhängigkeit<br />
und Basis aus den Definitionen 2.1.4, 2.2.1 und 2.3.1 auf allgemeine K-Vektorräume.<br />
Definition 5.2.1. Sei (V, +, ·) ein K-Vektorraum und A ⊆ V eine Teilmenge. Dann<br />
heißt<br />
{ ∑<br />
m ∣ }<br />
∣∣<br />
span(A) := c j a j m ∈ N, aj ∈ A, c j ∈ K<br />
j=1<br />
der lineare Spann (oder die lineare Hülle) von A. Weiter heißt A linear<br />
abhängig, wenn es eine echte Teilmenge A ′ A mit span(A ′ ) = span(A) gibt.<br />
Andernfalls heißt A linear unabhängig. Schließlich ist A eine Basis für V , wenn<br />
A linear unabhängig ist und V aufspannt (d.h. span(A) = V ).<br />
Bemerkung 5.2.2. In der Definition 2.3.1 einer Basis für einen linearen Unterraum<br />
von K n haben wir von vorneherein angenommen, dass eine solche Basis endlich<br />
ist. Korollar 2.3.5 zeigte dann, dass es so eine (endliche) Basis wirklich gibt.<br />
Das Argument im Beweis von Satz 2.4.1 liefert mithilfe des Tests auf lineare Unabhängigkeit<br />
2.2.4 außerdem, dass jede linear unabhängige Teilmenge {u 1 , . . .} von<br />
K n endlich ist und zwar mit höchstens so vielen Elementen, wie sie eine beliebige<br />
endliche Basis hat (Übung: Man verifiziere dies!). Da es für K n eine (kanonische)<br />
Basis mit n Elementen gibt, können linear unabhängige Teilmengen von K n also<br />
höchstens n Elemente haben. Man hätte also insbesondere auf die Annahme, dass<br />
Basen endlich sind, verzichten können.<br />
Es sei nochmals betont, dass wir in Definition 5.2.1 die Endlichkeit einer Basis<br />
nicht voraussetzen.<br />
⊓⊔<br />
Die folgende Variante des Tests auf lineare Unabhängigkeit erhält man wie das<br />
Korollar 2.2.4, in dem man wörtlich den Beweis von Satz 2.2.3 überträgt (Übung:<br />
Durchführen!):<br />
Satz 5.2.3 (Test auf lineare Unabhängigkeit).<br />
A ⊆ V . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:<br />
(1) A ist linear unabhängig.<br />
(2) Für v 1 , . . . , v k ∈ A verschieden und c 1 , . . . , c k ∈ K mit<br />
c 1 = . . . = c k = 0.<br />
Sei V ein K-Vektorraum und<br />
k∑<br />
c j v j = 0 folgt, dass<br />
3 Es sei hier nochmals explizit darauf hingewiesen, dass die hier betrachteten Summen<br />
immer endlich sind. Um unendliche Summen bilden zu können, bräuchte man Grenzwertbegriffe,<br />
für allgemeine Körper nicht zur Verfügung stehen.<br />
j=1
124 5 Vektorräume<br />
Die Beweisidee für Satz 5.2.3 lässt sich ganz einfach zusammenfassen: Man kann<br />
jedes v j mit c j ≠ 0 durch die anderen v i ’s ausdrücken und daher aus A entfernen,<br />
ohne den Spann zu verkleinern.<br />
Mit Satz 5.2.3 erhält man auch eine Verallgemeinerung von Satz 2.3.3:<br />
Satz 5.2.4. Sei V ein K-Vektorraum und B ⊆ V . Dann sind folgende Aussagen<br />
äquivalent:<br />
(1) B ist eine Basis für V .<br />
(2) Jedes v ∈ V lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination von Elementen<br />
aus B schreiben.<br />
Beweis. Die Existenz einer Linearkombination für jedes v ∈ V ist äquivalent<br />
zu span(B) = V . Wegen Satz 5.2.3 ist die Eindeutigkeit der Linearkombination<br />
äquivalent zur linearen Unabhängigkeit von B (die Details dieses Arguments findet<br />
man im Beweis von Satz 2.3.3).<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 5.2.5. Sei E ij ∈ Mat(m × n, K) die Matrix, die als Einträge nur Nullen<br />
hat, außer an der Stelle ij, wo sie eine Eins hat. Dann ist {E ij | i = 1, . . . m; j =<br />
1, . . . , n} eine Basis für Mat(m × n, K), weil jede Matrix sich in eindeutiger Weise<br />
als Linearkombination der E ij schreiben lässt. Die Koeffizienten sind dabei gerade<br />
die Einträge der Matrix.<br />
⊓⊔<br />
Lemma 5.2.6. Sei ϕ: V → W ein K-Vektorraum-Isomorphismus und A ⊆ V .<br />
Dann gilt:<br />
(i) span(ϕ(A)) = ϕ(span(A)).<br />
(ii) A ist linear (un)abhängig genau dann, wenn ϕ(A) ⊆ W linear (un)abhängig ist.<br />
(iii) A ist eine Basis für V genau dann, wenn ϕ(A) eine Basis für W ist.<br />
Beweis. Idee: Elementare Verifikationen.<br />
(i)<br />
ϕ ( span(A) ) ({ ∑<br />
m ∣ })<br />
∣∣<br />
= ϕ c j a j m ∈ N, aj ∈ A, c j ∈ K<br />
j=1<br />
j=1<br />
{ ∑<br />
m }<br />
= c j ϕ(a j ) ∣ m ∈ N, a j ∈ A, c j ∈ K<br />
= span ( ϕ(A) ) .<br />
(ii) Wegen der Bijektivität von ϕ ist A ′ A äquivalent zu ϕ(A ′ ) ϕ(A). Mit dem<br />
ersten Teil sind dann auch span(A ′ ) = span(A) und span(ϕ(A ′ )) = span(ϕ(A))<br />
äquivalent und die Behauptung folgt.<br />
(iii) Dieser Teil ist eine unmittelbare Konsequenz der beiden ersten Teile.<br />
⊓⊔<br />
Die Vektorraum-Axiome erfassen alle bisher benutzten Eigenschaften der n-<br />
dimensionalen Zahlenräume bis auf eine: Die Existenz einer Basis der Länge n.<br />
Der folgende Satz zeigt, dass man durch Hinzunahme dieser Eigenschaft den K n im<br />
wesentlichen charakterisiert hat.
5.2 Basis und Dimension 125<br />
Satz 5.2.7. Sei V ≠ {0} ein K-Vektorraum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:<br />
(1) V hat eine Basis mit n Elementen.<br />
(2) Jede Basis für V hat n Elemente und es gibt auch so eine Basis 4 .<br />
(3) V ist isomorph zu K n , d.h. es gibt einen Isomorphismus von K-Vektorräumen<br />
ϕ: V → K n .<br />
Beweis. Idee: Zeige mit dem Argument aus dem Beweis von 2.4.1, dass zwei Basen, von<br />
denen eine endlich ist, nicht unterschiedliche Länge haben können. Dann definiere mithilfe<br />
einer Basis eine lineare Abbildung V → K n , die einem Vektor die Koeffizienten bzgl. der<br />
Basis zuordnet.<br />
” (1) ⇒ (2)“: Sei {v 1, . . . , v n } eine Basis und {w 1 , . . . } eine weitere Basis. Wörtlich<br />
wie im Beweis von 2.4.1 sieht man, dass {w 1 , . . . } nicht mehr als n Elemente<br />
hat (vgl. auch Bemerkung 5.2.2). Insbesondere ist die zweite Basis endlich:<br />
{w 1 , . . . , w m } mit m ≤ n. Jetzt vertauscht man die Rollen der Basen: n ≤ m,<br />
also n = m.<br />
” (2) ⇒ (3)“: Sei {v 1, . . . , v n } eine Basis für V . Wegen Satz 5.2.4 kann man durch<br />
( ∑<br />
n )<br />
n∑<br />
ϕ c j v j := (c 1 , . . . , c n ) = c j e j ∈ K n<br />
j=1<br />
eine Abbildung ϕ: V → K n definieren. Diese Abbildung ist bijektiv mit Umkehrabbildung<br />
n∑<br />
ψ : K n → V, (c 1 , . . . , c n ) ↦→ c j v j .<br />
Bleibt zu zeigen, dass ϕ linear ist: Für v = ∑ n<br />
j=1 c jv j und w = ∑ n<br />
j=1 d jv j<br />
rechnet man<br />
j=1<br />
j=1<br />
( ∑ n )<br />
ϕ(rv + sw) = ϕ (rc j + sd j )v j<br />
j=1<br />
= (rc 1 + sd 1 , . . . , rc n + sd n )<br />
= r(c 1 , . . . , c n ) + s(d 1 , . . . , d n )<br />
= rϕ(v) + sϕ(w).<br />
” (3) ⇒ (1)“: Dies folgt unmittelbar aus Lemma 5.2.6. ⊓⊔<br />
Eine wesentliche Lehre, die man aus Satz 5.2.7 zieht, ist, dass man Rechnungen<br />
für K-Vektorräume mit endlicher Basis in K n durchführen kann, sobald man eine<br />
Basis mit n Elementen gefunden hat. Damit werden alle Methoden, die man für K n<br />
entwickelt hat, auch für solche Vektorräume verfügbar. Man sollte sich aber klar<br />
machen, dass solche Rechnungen dann von der Wahl der Basis abhängen. Es wird<br />
sich daher immer wieder die Frage stellen, wie man für ein gegebenes Problem eine<br />
Basis in geschickter Art und Weise wählen kann.<br />
Manche Objekte und Größen, die man aus einer Basis und der zugehörigen<br />
Realisierung des Vektorraums als K n gewinnt, hängen gar nicht von der Wahl der<br />
Basis ab. Dies ist zum Beispiel für die Anzahl der Elemente in der Basis der Fall,<br />
wie Satz 5.2.7 zeigt. Solche Objekte und Größen fasst man als dem ursprünglichen<br />
Vektorraum zugehörig auf. Auf begrifflicher Ebene wird man also immer die Frage<br />
4 Mithilfe des Zornschen Lemmas 0.3.3 kann man zeigen, dass jeder Vektorraum eine<br />
Basis hat, d.h. dieser Zusatz ist unter Annahme des Zornschen Lemmas überflüssig.
126 5 Vektorräume<br />
beantworten wollen, wie sich eine abgeleitete Größe verändert, wenn man die Basis<br />
durch eine andere Basis ersetzt.<br />
Definition 5.2.8. Ein K-Vektorraum V, der eine endliche Basis hat, heißt endlich<br />
dimensional. Die Länge der Basis (und damit jeder Basis) heißt die Dimension<br />
von V (schreibe: dim K (V ) oder dim(V ), wenn K aus dem Kontext klar ist). Wenn<br />
V nicht endlich dimensional ist, dann schreibt man dim(V ) = ∞ und sagt, V ist<br />
unendlich dimensional.<br />
Bemerkung 5.2.9. Lemma 5.2.6 zeigt, dass isomorphe Vektorräume gleiche Dimension<br />
haben.<br />
⊓⊔<br />
Die elementaren Methoden der linearen Algebra beziehen sich zum überwiegenden<br />
Teil auf die Behandlung endlich dimensionaler Vektorräume. Vieles lässt sich<br />
für unendlich dimensionale Vektorräumen retten, die eine Basis mit abzählbar vielen<br />
Elementen 5 haben. Unendlich dimensionale Vektorräume, die keine solche Basis<br />
zulassen, tauchen typischerweise in der Analysis als Räume von Funktionen auf. Zu<br />
ihrer Behandlung sind dann zusätzliche Strukturen erforderlich, wie z.B. Konvergenzbegriffe,<br />
die passende Approximationen ermöglichen. Die so gebildete Kombination<br />
von Linearer Algebra und Analysis nennt man Funktionalanalysis.<br />
Beispiel 5.2.10 (Folgen). Sei K ein Körper und V := {a: N → K} die Menge<br />
aller Folgen in K. Wir schreiben in diesem Kontext auch a n für a(n) und (a n ) n∈N<br />
für a: N → K. Dann definieren die punktweisen Verknüpfungen<br />
(a + b)(n) := a(n) + b(n) und (ra)(n) := r ( a(n) )<br />
eine K-Vektorraumstruktur auf V . Die Folgen e (i) für i ∈ N, die durch e (i)<br />
j := δ ij<br />
definiert sind, bilden eine linear unabhängige Teilmenge von V , sie spannen V aber<br />
nicht auf, denn jede Linearkombination dieser Folgen hat nur endlich viele von Null<br />
verschiedene Folgenglieder, d.h. Funktionswerte. Umgekehrt lässt sich aber jede<br />
Folge mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Folgengliedern als Linearkombination<br />
der e (i) schreiben. Also ist {e (i) | i ∈ N} eine Basis für<br />
U := {a ∈ V | ∃n ∈ N : ∀m ≥ n gilt a m = 0}.<br />
Je nach Kontext ist es manchmal praktischer die Indizierung von Folgen schon<br />
bei 0 beginnen zu lassen, d.h. N in Beispiel 5.2.10 durch N 0 = N ∪ {0} zu ersetzen.<br />
Oft hat man auch nur eine (unendliche) Teilmenge von N als Indexmenge.<br />
Beispiel 5.2.11 (Polynome und Polynomfunktionen).<br />
(i) Wir bezeichnen die Menge aller Folgen (k n ) n∈N0 in K, für die nur endlich viele<br />
k n von Null verschieden sind, mit K[X]. Dann ist K[X] ein K-Untervektorraum<br />
des Raumes aller Abbildungen von N 0 nach K (d.h., aller K-wertigen Folgen).<br />
Sei X j ∈ K[X] die Folge, die als j-tes Folgenglied eine Eins hat und sonst<br />
lauter Nullen. Dann ist {X j | j ∈ N 0 } eine Basis für K[X]. Insbesondere ist<br />
jedes Element von K[X] von der Form<br />
5 Das bedeutet, es gibt eine Bijektion zwischen der Basis und den natürlichen Zahlen.<br />
⊓⊔
F (X) :=<br />
n∑<br />
a j X j .<br />
j=0<br />
5.2 Basis und Dimension 127<br />
Man nennt die Elemente von K[X] Polynome (in einer Variablen). Normalerweise<br />
schreibt man 1 für X 0 und einfach a 0 für a 0 X 0 = a 0 1.<br />
(ii) Nach Beispiel 5.1.3 und Bemerkung 5.1.6 ist die Menge<br />
{<br />
f : K → K ∣ ∃ n ∈ N 0 , a 0 , . . . , a n ∈ K : ∀x ∈ K gilt f(x) =<br />
n∑<br />
a j x j}<br />
ein K-Vektorraum. Wir bezeichnen sie mit Pol(K) und nennen ihre Elemente<br />
Polynomfunktionen.<br />
(iii) Es ist klar, dass man zwei Elemente von Pol(K) miteinander multiplizieren kann<br />
und als Ergebnis wieder eine Polynomfunktion erhält. Dabei gilt<br />
( ∑<br />
N c j x j)( ∑<br />
M d k x k) N∑ M∑<br />
= c j d k x j+k .<br />
j=0<br />
k=0<br />
j=0 k=0<br />
Dies motiviert die Einführung einer Multiplikation auch auf K[X] durch<br />
( ∑<br />
N c j X j)( ∑<br />
M d k X k) N∑ M∑<br />
:= c j d k X j+k ,<br />
j=0<br />
k=0<br />
j=0 k=0<br />
was sich für Monome zu X j X k := X j+k spezialisiert. Diese Multiplikationen<br />
machen Pol(K) und K[X] zu kommutativen Ringen, die sich später als sehr<br />
wichtig herausstellen werden.<br />
⊓⊔<br />
j=1<br />
Für einen Körper K mit unendlich vielen Elementen kann man zeigen, dass die<br />
Vektorräume K[X] und Pol(K) isomorph sind. Deshalb macht man zum Beispiel<br />
normalerweise keinen Unterschied zwischen reellen Polynomen und reellen Polynomfunktionen.<br />
Für endliche Körper sieht das ganz anders aus. So gibt es z.B.<br />
für den Körper F 2 := {0, 1} mit zwei Elementen nur 4 verschiedene Funktionen<br />
F 2 → F 2 , während F 2 [X] unendlich viele Elemente hat.<br />
Satz 5.2.7 und Lemma 5.2.6 erlauben es uns, etliche der in Kapitel 2 für lineare<br />
Unterräume von K n erzielten Resultate samt ihren Beweisen auf allgemeine endlich<br />
dimensionale K-Vektorräume zu übertragen (Übung: Durchführen!).<br />
Satz 5.2.12. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. Dann gilt (vgl. Korollar<br />
2.3.5, Satz 2.3.4, Satz 2.3.6, Satz 2.4.4 und Übung 5.1.3):<br />
(i) Jeder K-Untervektorraum von V ist endlich dimensional.<br />
(ii) Basis-Ergänzung: Seien U ′ ⊂ U ⊂ V Untervektorräume. Dann lässt sich jede<br />
Basis {u ′ 1, . . . , u ′ m} für U ′ zu einer Basis {u ′ 1, . . . , u ′ m, u 1 , . . . , u k } für U<br />
ergänzen.<br />
(iii) Basis-Auswahl: Sei U = span{v 1 , . . . , v k } ⊂ V . Dann enthält {v 1 , . . . , v k } eine<br />
Basis für U.<br />
(iv) U 1 ⊆ U 2 ⊆ V seien lineare Unterräume. Dann gilt dim K (U 1 ) ≤ dim K (U 2 ) und<br />
im Falle, dass dim K (U 1 ) = dim K (U 2 ) ist, hat man U 1 = U 2 .<br />
(v) Dimensionsformel: U 1 und U 2 seien lineare Unterräume von V . Dann gilt<br />
dim K (U 1 ) + dim K (U 2 ) = dim K (U 1 + U 2 ) + dim K (U 1 ∩ U 2 )
128 5 Vektorräume<br />
Beweis. Idee: Man kann entweder die Beweise der zitierten Ergebnisse aus Kapitel 2 modifizieren<br />
oder aber einen Isomorphismus ϕ: V → K n benutzen und damit die Ergebnisse<br />
selbst transferieren.<br />
Wir führen die zweite Methode für (i) und (ii) vor und überlassen die übrigen<br />
Aussagen dem Leser als Übung. Sei also ϕ: V → K n ein Isomorphismus von K-<br />
Vektorräumen.<br />
(i) Eine Teilmenge U ⊆ V ist genau dann ein Untervektorraum, wenn ϕ(U) ein<br />
linearer Unterraum von ϕ(V ) = K n ist. Nach Korollar 2.3.5 hat ϕ(U) also<br />
eine Basis w 1 , . . . , w r . Dann zeigt Lemma 5.2.6, dass ϕ −1 (w 1 ), . . . , ϕ −1 (w r ) eine<br />
Basis für U ist.<br />
(ii) Ergänze {ϕ(u ′ 1), . . . , ϕ(u ′ m)} mithilfe von Satz 2.3.4 zu einer Basis<br />
{ϕ(u ′ 1), . . . , ϕ(u ′ m), w 1 , . . . , w k }<br />
für ϕ(U). Dann ist {u ′ 1, . . . , u ′ m, ϕ −1 (w 1 ), . . . , ϕ −1 (w k )} eine Basis für U.<br />
⊓⊔<br />
Proposition 5.2.13. Seien V und W K-Vektorräume und B eine Basis für V .<br />
(i) Jede K-lineare Abbildung ϕ: V → W ist durch ihre Einschränkung auf B<br />
vollständig bestimmt.<br />
(ii) Jede Abbildung ψ : B → W lässt sich in eindeutiger Weise zu einer K-linearen<br />
Abbildung ϕ: V → W fortsetzen (d.h. ϕ| B = ψ).<br />
Beweis. Idee:<br />
Basen.<br />
Schreibe die Elemente der Vektorräume als Linearkombinationen der<br />
(i) Sei v ∈ V . Dann lässt sich v nach Satz 5.2.4 als Linearkombination der Elemente<br />
von B schreiben: v = ∑ b∈B c bb, wobei nur endlich viele der c b von 0 verschieden<br />
sind. Also gilt<br />
ϕ(v) = ∑ b∈B<br />
c b ϕ(b)<br />
und ϕ ist durch seine Werte auf B vollständig bestimmt.<br />
(ii) Die Eindeutigkeit folgt sofort aus dem ersten Teil. Zur Existenz zieht man wieder<br />
Satz 5.2.4 heran, um v in eindeutiger Weise als Linearkombination der Elemente<br />
von B schreiben: v = ∑ b∈B c bb. Dann definiert man eine Abbildung ϕ: V → W<br />
durch<br />
ϕ(v) := ∑ b∈B<br />
c b ψ(b)<br />
und muss zeigen, dass ϕ K-linear ist. Dies ist aber eine elementare Rechnung:<br />
Mit v = ∑ b∈B c bb und w = ∑ b∈B d bb findet man<br />
( ∑<br />
)<br />
ϕ(rv + sw) = ϕ (rc b + sd b )b<br />
b∈B<br />
= ∑ b∈B(rc b + sd b )ψ(b)<br />
= ∑ rc b ψ(b) + ∑ sd b ψ(b)<br />
b∈B<br />
b∈B<br />
( ∑ ) ( ∑ )<br />
= r c b ψ(b) + s d b ψ(b)<br />
b∈B<br />
= rϕ(v) + sϕ(w).<br />
b∈B
5.2 Basis und Dimension 129<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 5.2.14. Sei K ein Körper, V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum<br />
und {v 1 , . . . , v n } eine Basis für V . Nach Satz 5.2.4 lässt sich jedes v ∈ V in eindeutiger<br />
Weise als Linearkombination der Basiselemente schreiben:<br />
n∑<br />
v = x i v i .<br />
i=1<br />
Die Zahlen (x 1 , . . . , x n ) heißen die Koordinaten von v bzgl. der Basis. Beachte,<br />
dass es zur Bestimmung der Koordinaten von v auf die Reihenfolge der Basiselemente<br />
ankommt. Es ist also im Grunde nicht genug, eine Basis zu wählen, sondern<br />
man wählt eine Basis zusammen mit einer Anordnung ihrer Elemente. Wenn<br />
wir {v 1 , . . . , v n } für eine Basis schreiben, soll immer diese Basis in der Anordnung<br />
v 1 , . . . , v n gemeint sein.<br />
Definition 5.2.15. Seien V und W zwei endlich dimensionale K–Vektorräume<br />
{v 1 , . . . , v n } und {w 1 , . . . , w m } Basen für V und W . Weiter sei ϕ: V → W linear.<br />
Wir definieren die darstellende Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a 1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
A ϕ = ⎝ . . ⎠<br />
a m1 · · · a mn<br />
von ϕ bzgl. {v 1 , . . . , v n } und {w 1 , . . . , w m } durch<br />
ϕ(v j ) =<br />
m∑<br />
a ij w i j = 1, . . . , n.<br />
i=1<br />
An sich müsste man die beiden Basen in die Notation der darstellenden Basis mit<br />
aufnehmen, denn sie hängt entscheidend von der Wahl der Basen ab (wie genau<br />
werden wir noch eingehend untersuchen).<br />
Bemerkung 5.2.16. Seien V und W zwei endlich dimensionale K–Vektorräume<br />
{v 1 , . . . , v n } und {w 1 , . . . , w m } Basen für V und W .<br />
(i) Seien v ∈ V und (x 1 , . . . , x n ) die Koordinaten von v bzgl. {v 1 , . . . , v n }, sowie<br />
(y 1 , . . . , y m ) die Koordinaten von ϕ(v) bzgl. {w 1 , . . . , w m }. Dann gilt<br />
A ϕ x = y,<br />
wobei x = (x 1 , . . . , x n ) ⊤ und y = (y 1 , . . . , y m ) ⊤ . Um dies einzusehen, rechnet<br />
man<br />
m∑<br />
n∑<br />
n∑<br />
y i w i = ϕ(v) = ϕ( x j v j ) = x j ϕ(v j )<br />
i=1<br />
=<br />
n∑<br />
j=1 i=1<br />
j=1<br />
m∑<br />
a ij x j w i =<br />
i=1<br />
j=1<br />
⎛ ⎞<br />
m∑ n∑<br />
⎝ a ij x j<br />
⎠ w i<br />
j=1<br />
und erhält<br />
n∑<br />
y i = (A ϕ x) i = a ij x j .<br />
j=1
130 5 Vektorräume<br />
(ii) Für V = K n und W = K m mit den Standardbasen {v 1 , . . . , v n } = {e 1 , . . . , e n }<br />
und {w 1 , . . . , w m } = {f 1 , . . . , f m } ist die darstellende Matrix einer linearen<br />
Abbildung ϕ ∈ Hom K (K n , K m ) gerade die im Beweis von Satz 3.1.5 konstruierte<br />
Matrix A ϕ , d.h. unsere Notation ist kompatibel mit der Notation aus Kapitel 3,<br />
wenn man als Basen der Zahlenräume die Standardbasen wählt.<br />
⊓⊔<br />
Für zwei endlich dimensionale K-Vektorräume V und W ist Hom K (V, W ) ein<br />
K-Vektorraum (vgl. Bmerkung 5.1.11). Der folgende Satz liefert zusammen mit<br />
Beispiel 5.2.5, dass dim K (Hom K (V, W )) = dim K (Mat(m × n, K)) = nm, falls n =<br />
dim K (V ) und m = dim K (W ) gilt.<br />
Satz 5.2.17. Seien V und W endlich dimensionale K-Vektorräume mit den Basen 6<br />
v := {v 1 , . . . , v n } und w := {w 1 , . . . , w m }, sowie ϕ ∈ Hom K (V, W ). Dann definiert<br />
die Gleichung<br />
m∑<br />
ϕ(v j ) = a ij w i<br />
(∗)<br />
einen K-Vektorraum-Isomorphismus<br />
Die Umkehrabbildung<br />
i=1<br />
Φ w v = Φ : Hom K (V, W ) → Mat(m × n, K)<br />
ϕ ↦→ A ϕ := (a ij ) i =<br />
j =<br />
Φ −1 : Mat(m × n, K) → Hom K (V, W )<br />
A ↦→ ϕ A .<br />
1 , ... ,<br />
1 , ... ,<br />
m .<br />
n<br />
ist durch<br />
gegeben.<br />
m∑<br />
ϕ A (v j ) = a ij w i .<br />
i=1<br />
(∗∗)<br />
Beweis. Idee: Schreibe die Elemente der Vektorräume als Linearkombination der Basen.<br />
Die Abbildung Φ ist nach Satz 5.2.4 wohldefiniert. Wir zeigen zunächst, dass Φ<br />
∑<br />
K-linear ist. Mit ϕ(v j ) = m a ij w i und ψ(v j ) = ∑ m<br />
i=1 b ijw i rechnet man<br />
i=1<br />
m∑<br />
m∑<br />
(rϕ + sψ)(v j ) = r a ij w i + s b ij w i =<br />
i=1<br />
i=1<br />
m∑<br />
(ra ij + sb ij )w i<br />
i=1<br />
Also gilt<br />
Φ(rϕ + sψ) = (ra ij + sb ij ) i<br />
j<br />
= r(a ij ) i = 1 , ...<br />
j = 1 , ...<br />
= 1 , ... ,<br />
= 1 , ... ,<br />
,<br />
,<br />
= rΦ(ϕ) + sΦ(ψ).<br />
m<br />
n<br />
m<br />
n<br />
+ s(b ij ) i<br />
j<br />
Nach Proposition 5.2.13 definiert (∗∗) eine Abbildung<br />
= 1 , ... ,<br />
= 1 , ... ,<br />
6 Hier betrachten wir die Basen als Auflistung der Basiselemente in einer fixierten Reihenfolge,<br />
vgl. Bemerkung 5.2.14.<br />
m<br />
n
Ψ : Mat(m × n, K) → Hom K (V, W )<br />
A ↦→ ϕ A<br />
5.2 Basis und Dimension 131<br />
Es bleibt zu zeigen, dass Ψ die Umkehrfunktion von Φ ist. Aus (∗) folgt, dass<br />
ker (Φ) = {0} und aus (∗∗) folgt, dass Φ(ϕ A ) = A. Also ist Φ bijektiv und es gilt<br />
Φ ◦ Ψ = id. Damit folgt die Behauptung aus Lemma 3.1.2.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 5.2.18. Für V = K n , W = K m mit jeweils der Standardbasis erhält<br />
man in Satz 5.2.17 gerade die Korrespondenz<br />
A ↦→ ϕ A<br />
ϕ ↦→ A ϕ<br />
aus Satz 3.1.5.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 5.2.19. (i) Betrachte V = R 2 mit der Basis {v 1 = (1, 1), v 2 = (−1, 1)}<br />
und W = R 3 mit der Basis {w 1 = (1, 1, 1), w 2 = (1, 1, 0), w 3 = (1, 0, 0)}. Dann<br />
gilt für ϕ ∈ Hom R (R 2 , R 3 ) mit ϕ(x, y) = (x, x + y, x − y), dass<br />
ϕ(v 1 ) = ϕ(1, 1) = (1, 2, 0) = 2w 2 − w 3 ,<br />
ϕ(v 2 ) = ϕ(−1, 1) = (−1, 0, −2) = −2w 1 + 2w 2 − w 3 ,<br />
⎛ ⎞<br />
0 −2<br />
A ϕ = ⎝ 2 2 ⎠ .<br />
−1 −1<br />
(ii) Für V = R 2 mit {v 1 = (1, 1), v 2 = (−1, 1)} und W = R 3 mit {w 1 =<br />
(1, 0, 0), w 2 = (0, 1, 0), w 3 = (0, 0, 1)} mit ϕ(x, y) = (x, x + y, x − y) findet<br />
man<br />
ϕ(v 1 ) = (1, 2, 0) = w 1 + 2w 2 ,<br />
ϕ(v 2 ) = (−1, 0, −2) = −w 1 − 2w 3 ,<br />
⎛ ⎞<br />
1 −1<br />
A ϕ = ⎝ 2 0 ⎠ .<br />
0 −2<br />
Beispiel 5.2.20. Für eine fest gewählte Matrix A ∈ Mat(m × n, K) betrachte die<br />
Abbildung λ A : Mat(n × k, K) → Mat(m × k, K), die durch λ A (X) = AX definiert<br />
ist. Mit der Formel der Matrizenmultiplikation aus Satz 3.1.7 rechnet man nach<br />
(Übung: Durchführen!), dass ϕ linear ist. Seien E ij , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , k<br />
bzw. F rj , r = 1, . . . , m, j = 1, . . . , k die in Beispiel 5.2.5 beschriebenen Basen von<br />
Mat(n × k, K) und Mat(m × k, K). Wir ordnen die Basen wie folgt an:<br />
Wegen<br />
E 11 , E 12 , . . . , E 1k , E 21 , . . . , E 2k , E 31 , . . . , E nk ,<br />
F 11 , F 12 , . . . , F 1k , F 21 , . . . , F 2k , F 31 , . . . , F mk .<br />
λ A (E ij ) =<br />
m∑<br />
a ri F rj<br />
ist die darstellende Matrix von λ A bezüglich dieser Basen durch die Blockmatrix<br />
r=1<br />
⊓⊔
132 5 Vektorräume<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 · 1 k . . . a 1n · 1 k<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ .<br />
. ⎠<br />
a m1 · 1 k . . . a mn · 1 k<br />
gegeben. Um das nachzurechnen überlegt man sich, dass v k(i−1)+j = E ij und<br />
w k(r−1)+s = F rs in der obigen Anordnung die durchnumerierten Basen {v 1 , . . . , v nk }<br />
für Mat(n×k, K) bzw. {w 1 , . . . , w mk } für Mat(m×k, K) liefert, für die entsprechend<br />
gilt<br />
m∑<br />
λ A (v k(i−1)+j ) = a ri w k(r−1)+j<br />
r=1<br />
Das nächste Beispiel zeigt, dass die definierende Gleichung<br />
⊓⊔<br />
ϕ(v j ) = ∑ i<br />
a ij w i<br />
auch für unendliche Basen sinnvoll ist. In diesem Fall kriegt man dann ”<br />
Matrizen“<br />
mit unendlich vielen Zahlen und/oder Spalten.<br />
Beispiel 5.2.21. Sei V der Vektorraum Pol(R, R) der reellen Polynomfunktionen<br />
aus Beispiel 5.2.11. Als Basis wählen wir (Übung: Weise nach, dass dies wirklich eine<br />
Basis ist!) die Monome {x 0 , x 1 , x 2 , . . .}. Betrachte die Ableitung als Abbildung<br />
D : V → V , d.h. D(f) = f ′ . Aus der Analysis weiß man, dass D linear ist und<br />
D(x k ) = kx k−1 erfüllt. Also ist die darstellende Matrix“ von D bzgl. der Basis<br />
”<br />
{x 0 , x 1 , x 2 , . . .}<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 1 0 . . . . . . . . .<br />
. 0 2 0 . . . . . .<br />
. . 0 3 0 . . .<br />
⎜<br />
. ⎝.<br />
. . 0 4 .. ⎟<br />
⎠<br />
.<br />
. . . . .. . ..<br />
gegeben. Wenn man jetzt D auf den endlichen Untervektorraum aller Polynomfunktionen<br />
vom Grad kleiner oder gleich n − 1 einschränkt, dann ergibt sich als<br />
darstellende Matrix im Sinne von Definition 5.2.15 die linke obere n × n-Ecke der<br />
obigen unendlichen Matrix“.<br />
⊓⊔<br />
”<br />
Übungen zu Abschnitt 5.2<br />
Linearer Spann, Lineare Unabhängigkeit und Basen<br />
Übung 5.2.1. Sei V ein K-Vektorraum und ∅ ≠ A ⊆ V eine beliebige nichtleere Teilmenge.<br />
Zeige, dass span(A) der kleinste Untervektorraum von V ist, der A enthält (vgl.<br />
Proposition 2.1.5). Man nennt A auch ein Erzeugendensystem für Vektorraum span(A).<br />
Da der kleinste Untervektorraum überhaupt die Menge {0} ist, motiviert diese Charakterisierung<br />
von span(A) die Definition: span(∅) := {0}.<br />
Übung 5.2.2. Sei V ein K-Vektorraum und U 1, U 2 Untervektorräume von V . Zeige, dass<br />
(Vgl. Übung 5.1.3 und Bemerkung 2.1.6.)<br />
U 1 + U 2 = span(U 1 ∪ U 2).
5.2 Basis und Dimension 133<br />
Übung 5.2.3. Zeige, dass der Vektorraum V aller stetigen Funktionen f : R → R nicht<br />
endlich dimensional ist. (Hinweis: Finde unendlich viele linear unabhängige Funktionen.)<br />
Übung 5.2.4. Berechne die Koordinaten von (1, 2, 3, 4) ⊤ ∈ R 4 der Basen<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
1 1 1 1<br />
2 0 0 1<br />
⎪⎨<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
⎪⎩<br />
, ⎜ 1<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ , ⎜ 1<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ , ⎜ 1<br />
⎪⎬ ⎪⎨<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ und ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
⎪⎭ ⎪⎩<br />
, ⎜ 1<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ , ⎜ 2<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ , ⎜ 0<br />
⎪⎬<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ .<br />
⎪⎭<br />
0 0 0 1<br />
2 0 2 0<br />
Übung 5.2.5. (a) Sind die Vektoren<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
⎛<br />
5<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
−1<br />
⎝ 1 ⎠ , ⎝ −1 ⎠ , ⎝ 5 ⎠<br />
4 2 8<br />
linear abhängig?<br />
(b) Gib eine Basis für den Spann dieser drei Vektoren an.<br />
(c) Erweitere diese Basis zu einer Basis von R 3 .<br />
Übung 5.2.6. Welche Koordinaten haben<br />
⎛ ⎞<br />
4<br />
⎛<br />
8<br />
⎞<br />
a = ⎝ 11 ⎠ , b = ⎝ −9 ⎠<br />
7<br />
−5<br />
bzgl. der Basis ⎧ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
⎨ 1 2 7 ⎬<br />
⎝ 0 ⎠ , ⎝ −3 ⎠ , ⎝ 5 ⎠<br />
⎩⎛<br />
⎭ ?<br />
2 −3 −1<br />
Übung 5.2.7. Betrachte den Vektorraum V = {f : N → R} mit der punktweisen Addition<br />
und skalaren Multiplikation.<br />
(i) Zeige, dass die Menge U aller f ∈ V , für die nur endlich viele Funktionswerte von Null<br />
verschieden sind, ein Untervektorraum von V ist.<br />
(ii) Finde eine Basis für U.<br />
(iii) Gib Beispiele von Funktionen aus V an, die sich nicht als Linearkombinationen dieser<br />
Basisfunktionen schreiben lassen.<br />
Übung 5.2.8. Es sei K 2[X] = {F (X) = a 0 + a 1X + a 2X 2 | a 0, a 1, a 2 ∈ K} die Menge aller<br />
Polynome vom Grad ≤ 2, wobei a 0 := a 0X 0 .<br />
(a) Man zeige, dass K 2[X] ein Untervektorraum von K[X] ist.<br />
(b) Man gebe eine Basis für K 2[X] an.<br />
(c) Es sei W := span(1 + X 2 , −X 2 , 2 + X 2 ). Man bestimme eine Basis für W .<br />
Übung 5.2.9. Sei K ein Körper und U der Raum aller Folgen in K, die nur endlich viele<br />
von Null verschiedene Folgenglieder haben (vgl. Beispiel 5.2.10). Zeige, dass die Folgen<br />
eine Basis für U bilden.<br />
f (1) := (1, 0, . . .)<br />
f (2) := (1, 1, 0, . . .)<br />
f (3) := (1, 1, 1, 0, . . .)<br />
f (4) := (1, 1, 1, 1, 0, . . .)<br />
.<br />
Übung 5.2.10. Benutze das Zornsche Lemma, um zu zeigen, dass jeder Vektorraum eine<br />
Basis hat.
134 5 Vektorräume<br />
Dimension<br />
Übung 5.2.11. Seien V und W K-Vektorräume und ϕ: V → W linear und injektiv. Weiter<br />
sei U ⊆ V ein K-Untervektorraum. Zeige, dass ϕ(U) ein K-Untervektorraum von W mit<br />
dim ϕ(U) = dim U ist.<br />
Übung 5.2.12. Berechne die Dimensionen von span(A) für<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
0 0 2 3 −2<br />
⎪⎨<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
0<br />
span<br />
4<br />
⎜ −6<br />
,<br />
2<br />
⎟ ⎜ −1<br />
,<br />
−3<br />
⎟ ⎜ 0<br />
,<br />
−1<br />
⎟ ⎜ 3<br />
,<br />
0<br />
⎟ ⎜ −4<br />
,<br />
⎟ ⎜<br />
⎝ −4 ⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −8 ⎠ ⎝<br />
⎪⎩<br />
2 0 1 −1 2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−2<br />
0<br />
1<br />
⎞<br />
⎛<br />
,<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
2<br />
0<br />
−5<br />
3<br />
2<br />
0<br />
⎞⎫<br />
⎪⎬<br />
⊆ R 6 .<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎪⎭<br />
Übung 5.2.13. Eine Matrix A ∈ Mat(n × n, K) heißt schief- oder antisymmetrisch,<br />
wenn A = −A ⊤ .<br />
(a) Man zeige, dass die Menge Asym(n, K) aller schiefsymmetrischen Matrizen A ∈<br />
Mat(n × n, K) ein Untervektorraum von (Mat(n × n, K), +, ·) mit der koeffizientenweisen<br />
Addition und Skalarmultiplikation ist.<br />
(b) Man berechne die Dimension von Asym(n, R) als R-Vektorraum.<br />
Übung 5.2.14. Für eine Menge M und einen Körper K sei Abb(M, K) der Vektorraum<br />
der Abbildungen von M nach K mit punktweiser Addition und skalarer Multiplikation.<br />
1. Man zeige, dass Abb(M, K) genau dann endlich dimensional ist, wenn M endlich ist.<br />
2. (Für Ambitionierte)<br />
Gibt es im Fall |M| = ∞ eine Basis von Abb(M, K) mit abzählbar vielen Elementen?<br />
Darstellende Matrizen<br />
Übung 5.2.15. Sei ϕ: V → W K-linear, {v 1, . . . , v n} eine Basis für V und {w 1, . . . , w m}<br />
eine Basis für W . Weiter seien A ϕ = (a ij) die darstellende Matrix von ϕ sowie (x 1, . . . , x n)<br />
und (y 1, . . . , y m) die Koordinaten von x ∈ V und ϕ(x) ∈ W bzgl. dieser Basen. Zeige:<br />
⎛<br />
⎛ ⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞ ⎞<br />
a 11 . . . a 1n x 1<br />
.<br />
⎟ ⎜<br />
.<br />
. ⎠ ⎝<br />
.<br />
a m1 . . . a mn x n<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
y 1<br />
.<br />
y m<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Übung 5.2.16. Finde eine lineare Abbildung ϕ: R 4 → R 4 mit<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
1 0<br />
⎪⎨<br />
span ⎜ 2<br />
⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
⎪⎩<br />
, ⎜ 1<br />
⎪⎬<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ = im (ϕ) = ker (ϕ).<br />
⎪⎭<br />
4 3<br />
Gib die Matrix A ϕ (bzgl. der Standardbasis) an.<br />
Übung 5.2.17. Die R-lineare Abbildung ϕ: R 4 → R 4 erfülle<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
1 −3 0 0 1<br />
ϕ ⎜ 2<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ = ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ ; ϕ ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ = ⎜ −8<br />
⎟<br />
⎝ −10 ⎠ ; ϕ ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ −1 ⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
3 7 2 4 2<br />
−3<br />
4<br />
6<br />
5<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 3<br />
⎟<br />
⎠ ; ϕ ⎜ 1<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ = ⎜ −4<br />
⎟<br />
⎝ −7 ⎠ .<br />
1 6<br />
(i) Bestimme die Matrix A ϕ bezüglich der Standardbasis {e 1, e 2, e 3, e 4}.<br />
(ii) Bestimme die Matrix A ϕ bezüglich der Basis {e 1, e 1 +e 2, e 1 +e 2 +e 3, e 1 +e 2 +e 3 +e 4}.<br />
Übung 5.2.18. Betrachte die Abbildung ϕ: R 3 → R 2 mit<br />
ϕ(x, y, z) = (y + z, x − y).
5.2 Basis und Dimension 135<br />
(i) Zeige, dass ϕ linear ist.<br />
(ii) Bestimme die Matrix A ϕ von ϕ bezüglich der folgenden Paare von Basen:<br />
R 3 R 2<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎫<br />
⎨ 1 0 0 ⎬<br />
⎝ 0 ⎠ , ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 0 ⎠ ,<br />
⎩<br />
⎭<br />
0 0 1<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
⎨ 1 0 0 ⎬<br />
⎝ 0 ⎠ , ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 0 ⎠<br />
⎩<br />
⎭<br />
0 0 1<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
⎨ 1 1 1 ⎬<br />
⎝ 0 ⎠ , ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 1 ⎠<br />
⎩<br />
⎭<br />
0 0 1<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
⎨ 1 1 1 ⎬<br />
⎝ 0 ⎠ , ⎝ 1 ⎠ , ⎝ 1 ⎠<br />
⎩<br />
⎭<br />
0 0 1<br />
{( ) ( )}<br />
1 0<br />
,<br />
0 1<br />
{( ) ( )}<br />
1 1<br />
,<br />
1 2<br />
{( ) ( )}<br />
1 0<br />
,<br />
0 1<br />
{( ) ( )}<br />
1 1<br />
, .<br />
1 2<br />
Übung 5.2.19. Betrachte die lineare Abbildung ϕ : R 3 → R 2 mit<br />
ϕ(x, y, z) = (y + z, x − y) .<br />
Bestimme die Matrix A ϕ von ϕ bezüglich der folgenden Paare von Basen:<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
⎨ 1 0 0 ⎬ {( ) (<br />
a) ⎝0⎠ , ⎝1⎠ , ⎝0⎠<br />
1 0<br />
⎩<br />
⎭ , , ;<br />
0 1)}<br />
0 0 1<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
⎨ 2 3 1 ⎬ {( ) ( )}<br />
b) ⎝ 1 ⎠ , ⎝1⎠ , ⎝−2⎠<br />
2 −1<br />
⎩<br />
⎭ , , .<br />
1 1<br />
−1 0 2<br />
Übung 5.2.20. Sei Pol(R, R) der Vektorraum der Polynomfunktionen auf R.<br />
1. Man begründe, dass<br />
Pol n(R, R) := {f : R → R | ∃a j ∈ R : ∀x ∈ R gilt f(x) =<br />
n∑<br />
a jx j }<br />
ein (n + 1)-dimensionaler Untervektorraum von Pol(R, R) ist und bestimme eine Basis<br />
von Pol n(R, R).<br />
2. Man zeigen, dass die Ableitungsabbildung<br />
ϕ : Pol n(R, R) → Pol n(R, R), p ↦→ p ′<br />
eine lineare Abbildung ist und bestimme die Matrixdarstellung von ϕ bezüglich der<br />
Basis aus a) (für Bild- und Urbildraum).<br />
Übung 5.2.21. Es sei Pol n(R, R) der Vektorraum der Polynome vom Grad n (siehe<br />
Übung 5.2.20). Für x 0, . . . , x n ∈ R paarweise verschieden sei L j ∈ Pol n(R, R) das zugehörige<br />
Lagrange-Polynom,<br />
L j : R → R, x ↦→<br />
∏<br />
0kn<br />
k≠j<br />
x − x k<br />
x j − x k<br />
.<br />
a) Zeige: (L 0, . . . , L n) ist eine Basis von Pol n(R, R).<br />
(Hinweis: Zeige, dass L j(x l ) = 1 für l = j, ansonsten Null).<br />
j=0
136 5 Vektorräume<br />
b) Gebe eine konkrete Darstellung von p ∈ Pol n(R, R) durch obige Basis an, und folgere<br />
daraus: Stimmen p, q ∈ Pol n(R, R) in (n + 1) verschiedenen Punkten überein, so sind<br />
sie gleich.<br />
c) Wieviele verschiedene Nullstellen kann p ∈ Pol n(R, R) \ {0} höchstens haben?<br />
Übung 5.2.22. Gegeben sei die lineare Abbildung ϕ : R 4 → R 3 , ϕ(x) = Ax mit<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 −1 0 1<br />
A := ⎝2 3 −2 1 ⎠ .<br />
0 2 1 −4<br />
Bestimme die Matrix A ϕ von ϕ bezüglich der folgenden Basen von R 4 bzw. R 3 :<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
1 1 0 0 ⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
⎪⎨<br />
⎜1<br />
⎟<br />
⎝1⎠ ⎪⎩<br />
, ⎜0<br />
⎟<br />
⎝1⎠ , ⎜1<br />
⎟<br />
⎝1⎠ , ⎜0<br />
⎪⎬ ⎨ 1 0 2 ⎬<br />
⎟<br />
⎝1⎠<br />
; ⎝−1⎠ , ⎝1⎠ , ⎝0⎠<br />
⎩<br />
⎭ ⎪⎭<br />
.<br />
0 1 1<br />
1 0 0 1<br />
Übung 5.2.23 (Magische Quadrate). Q ∈ Q n×n heißt ein verallgemeinertes magisches<br />
Quadrat, Bez. Q ∈ M n , wenn die Summe der Koeffizienten in jeder Zeile, Spalte und den<br />
beiden Diagonalen, den gleichen Wert ergibt. Dieser Wert heißt Quadratsumme von Q.<br />
a) Man zeige, dass M n ein Untervektorraum von Q n×n ist.<br />
b) Man zeige, dass es im Fall n = 3 für alle Zahlen a 11 =: a, a 12 =: b, a 21 =: c eindeutige<br />
Koeffizienten a jk gibt, so dass (a jk ) ∈ M 3 mit Quadratsumme S = 1 (6a + 3b + 3c)<br />
4<br />
ist. Geben Sie diese Koeffizienten an.<br />
c) Man zeige, dass dim M 3 = 3 gilt.<br />
5.3 Quotientenräume<br />
In diesem Abschnitt führen wir ein neues Konzept der linearen Algebra ein, auf das<br />
man beim Studium der linearen Unterräume von Zahlenräumen nicht so einfach stoßen<br />
würde. Vektorraumstrukturen kann man nämlich auch auf Mengen finden, die<br />
dadurch zustande kommen, dass man Elemente von gegebenen Mengen aufgrund gewisser<br />
gemeinsamer Eigenschaften miteinander identifiziert. Mathematisch präzise<br />
formuliert heißt das, man bildet Äquivalenzklassen zu einer Äquivalenzrelation und<br />
studiert Vektorraumstrukturen auf der Menge der Äquivalenzklassen. Solche Quotientenstrukturen<br />
spielen in der (Linearen) Algebra eine sehr wichtige Rolle. Wir<br />
beschränken uns in diesem Abschnitt aber auf eine einzige Anwendung, die noch<br />
dazu aus der Analysis kommt: Wir skizzieren, wie man die reellen Zahlen mithilfe<br />
eines Quotientenvektorraums aus den rationalen Zahlen konstruieren kann.<br />
Wir beginnen mit einer Präzisierung des Begriffs einer Äquivalenzrelation, der<br />
in Abschnitt 0.2 schon angesprochen wurde.<br />
Definition 5.3.1. Sei M eine Menge. Eine Relation auf M ist eine Teilmenge R<br />
von M × M = {(x, y) | x ∈ M, y ∈ M}. Man schreibt auch xRy für (x, y) ∈ R. Eine<br />
Relation R auf M heißt Äquivalenzrelation, wenn:<br />
(a) xRx ∀x ∈ M (Reflexivität)<br />
(b) xRy ⇒ yRx ∀x, y ∈ M (Symmetrie)<br />
(c) xRy, yRz ⇒ xRz ∀x, y, z ∈ M (Transitivität)<br />
Sei R eine Äquivalenzrelation auf M. Dann heißt<br />
[x] R := {y ∈ M | xRy}<br />
die Äquivalenzklasse von x bzgl. R. Die Menge aller Äquivalenzklassen wird mit<br />
M/R bezeichnet. Die Elemente einer Äquivalenzklasse nennt man Repräsentanten<br />
der Äquivalenzklasse.
5.3 Quotientenräume 137<br />
Die Definitionen zeigen unmittelbar, dass zwei Elemente genau dann äquivalent<br />
sind, wenn ihre Äquivalenzklassen gleich sind. Daher ist M die disjunkte Vereinigung<br />
der Äquivalenzklassen.<br />
Beispiel 5.3.2. (i) Die Diagonale {(x, y) ∈ M × M | x = y} ist eine Äquivalenzrelation,<br />
die die Gleichheit beschreibt. Hier haben die Äquivalenzklassen jeweils<br />
nur ein Element.<br />
(ii) Sei X Menge und M = {U ⊆ X | U endlich} die Menge aller endlichen Teilmengen<br />
von X. Bezeichnet man die Anzahl der Elemente in U ∈ M mit |U|,<br />
so ist {(U, V ) ∈ M × M | |U| = |V |} eine Äquivalenzrelation, für die die<br />
Äquivalenzklassen aus den Mengen gleicher Mächtigkeit bestehen.<br />
(iii) Sei (V, +, ·) ein K-Vektorraum und U ⊆ V ein K-Untervektorraum. Dann ist<br />
∼ U := {(v, w) ∈ V × V | v + U = w + U}<br />
eine Äquivalenzrelation auf V . Zwei Elemente v und w in V sind bezüglich<br />
dieser Relation genau dann äquivalent, wenn v − w ∈ U. Also sind die<br />
Äquivalenzklassen gerade die Mengen der Form<br />
[v] := [v] ∼U = {v + u | u ∈ U} = v + U.<br />
Man schreibt V/U statt V/∼ U für die Menge der Äquivalenzklassen.<br />
⊓⊔<br />
Satz 5.3.3. Sei (V, +, ·) ein K-Vektorraum und U ⊆ V ein K-Untervektorraum,<br />
dann ist V/U ein K-Vektorraum bzgl.:<br />
[v] + [w] := [v + w]<br />
v, w ∈ V<br />
c · [v] := [c · v] v ∈ V, c ∈ K.<br />
Die Abbildung π : V → V/U ist ein surjektiver K-Vektorraum-Homomorphismus<br />
mit ker (π) = U.<br />
Beweis. Idee: Wähle auf der linken Seite unterschiedliche Repräsentanten für die Äquivalenzklassen<br />
und überprüfe ob rechts die gleichen Äquivalenzklassen herauskommen. Alles<br />
andere sind Routinerechnungen unter Benutzung der Vektorraumeigenschaften von V .<br />
Die zentrale Frage ist hier die nach der Wohldefiniertheit: Die Addition zweier<br />
Äquivalenzklassen wird unter Verwendung zweier Repräsentanten erklärt. Also<br />
muss man sicher stellen, dass eine andere Wahl der Repräsentanten nicht zu einem<br />
anderen Ergebnis führt. D.h. man stellt folgende Frage: Folgt aus [v] = [v ′ ] und<br />
[w] = [w ′ ], dass auch [v + w] = [v ′ + w ′ ] gilt?<br />
Für die Addition lässt sich die Antwort wie folgt formulieren: [v] = [v ′ ] und<br />
[w] = [w ′ ] liefern v−v ′ ∈ U und w−w ′ ∈ U, also wegen der Abgeschlossenheit von U<br />
unter der Addition auch (v+w)−(v ′ +w ′ ) ∈ U. Aber dann gilt [v+w] = [v ′ +w ′ ] nach<br />
Definition der Äquivalenzrelation. Also ist die Addition in der Tat wohldefiniert.<br />
Ähnlich geht man beim Nachweis der Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation<br />
vor: Wenn [v] = [w], dann ist v−w ∈ U und somit auch cv−cw = c(v−w) ∈ U,<br />
d.h., [cv] = [cw].<br />
Für die Assoziativität der Addition rechnet man<br />
([v] + [w]) + [x] = [v + w] + [x] = [v + w + x] = [v] + [w + x] = [v] + ([w] + [x])
138 5 Vektorräume<br />
und die Kommutativität sieht man ganz analog. Die Identität [0]+[v] = [0+v] = [v]<br />
liefert, dass [0] ∈ V/U die Null der Vektorraumstruktur sein muss. Entsprechend<br />
findet man mit [v] + [−v] = [v − v] = [0], das additives Inverse [−v] von [v]. Die<br />
Assoziativität der skalaren Multiplikation ist eine Konsequenz von<br />
c · (d · [v]) = c · [d · v] = [c · (d · v)] = [(cd) · v] = (cd) · [v].<br />
Die Identität 1 · [v] = [1 · v] = [v] ist klar, und die Distributivgesetze errechnen sich<br />
wie folgt:<br />
(c + d) · [v] = [(c + d)v] = [cv + dv] = c · [v] + d · [v],<br />
c · ([v] + [w]) = c · [v] + c · [w] = [cv] + [cw] = c · [v] + c · [w].<br />
Bleibt die Aussage über π : V → V/U zu zeigen. Die Surjektivität ist klar, weil<br />
jede Äquivalenzklasse von der Form [v] für ein v ∈ V ist. Die Homomorphie-<br />
Eigenschaften sind eine Konsequenz der Rechnungen zur Wohldefiniertheit und<br />
π −1 (0) = U folgt direkt aus der Definition von π.<br />
⊓⊔<br />
Definition 5.3.4. Der Vektorraum V/U aus Satz 5.3.3 heißt der Quotientenraum<br />
von V nach U. Die Abbildung π : V → V/U nennt man die kanonische Projektion<br />
von V auf V/U.<br />
V<br />
v’<br />
0<br />
v’+w’<br />
w’ w<br />
v<br />
v+w<br />
u<br />
[v+w]=[v’+w’]=[v]+[w]<br />
[w]=[w’]<br />
[v]=[v’]<br />
U = [u] =[0]<br />
Abb. 5.1. Quotientenraum<br />
Das folgende Beispiel stammt aus der Analysis und liefert eine Möglichkeit, die<br />
reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen zu konstruieren.<br />
Beispiel 5.3.5 (Konstruktion der reellen Zahlen). Sei W der Vektorraum aller<br />
Folgen in Q (vgl. Beispiel 5.2.10) und V die Teilmenge der Cauchy-Folgen. Das<br />
bedeutet, eine Folge (a n ) n∈N ist in V , wenn es zu jedem N ∈ N eine Zahl n 0 ∈ N<br />
gibt, für die<br />
∀k, m ≥ n 0 : |a k − a m | ≤ 1 N<br />
gilt. Dabei ist | · | der übliche Betrag auf den rationalen Zahlen, der durch<br />
{<br />
r wenn r ≥ 0<br />
|r| =<br />
−r wenn r < 0
5.3 Quotientenräume 139<br />
gegeben ist. Mithilfe der Dreiecksungleichung<br />
|r + s| ≤ |r| + |s| ∀r, s ∈ Q<br />
für den Betrag sieht man leicht, dass V ein Untervektorraum von W ist (Übung:<br />
überprüfen!).<br />
Eine Folge (a n ) n∈N heißt Nullfolge, wenn es zu jedem N ∈ N eine Zahl n 0 ∈ N<br />
gibt, für die<br />
∀k ≥ n 0 : |a k | ≤ 1 N<br />
gilt. Wieder mit der Dreiecksungleichung sieht man, dass die Teilmenge U der Nullfolgen<br />
ist ein Untervektorraum von V ist (Übung: überprüfen!). Der Quotientenvektorraum<br />
V/U lässt sich als die Menge der ”<br />
Grenzwerte“ (die Frage ist, in welchem<br />
Raum!?) von rationalen Folgen interpretieren. Man hat dann die Addition auf V/U,<br />
die durch die Vektorraumstruktur gegeben ist. Darüber hinaus liefert komponentenweise<br />
Multiplikation von Folgen auch eine Multiplikation auf V/U. Es lässt sich<br />
nachrechnen (Übung: überprüfen!), dass V/U mit diesen beiden Verknüpfungen zu<br />
einem Körper wird, dessen Einselement die Äquivalenzklasse [1] der konstanten<br />
Folge 1 ist (die Null ist das Nullelement der Vektorraumstruktur). Die Abbildung<br />
ι: Q → V/U, die jeder rationalen Zahl r die Äquivalenzklasse [r] der konstanten<br />
Folge r zuordnet, ist injektiv. Außerdem erfüllt sie<br />
ι(r + s) = ι(r) + ι(s) und ι(r · s) = ι(r) · ι(s),<br />
d.h. sie ist ein Körper-Homomorphismus. Jetzt kann man auf V/U eine Ordnung<br />
und einen Betrag definieren, für die sich dann nachrechnen lässt, dass alle<br />
Forderungen, die man an die reellen Zahlen stellt, erfüllt sind. D.h. die Konstruktion<br />
des Quotientenraums von Vektorräumen eröffnet uns in der Tat die Möglichkeit,<br />
die reellen Zahlen R zu konstruieren.<br />
⊓⊔<br />
Satz 5.3.6 (Isomorphie). Sei ϕ ∈ Hom K (V, W ). Dann ist die Abbildung<br />
ϕ : V/ ker (ϕ) → im (ϕ)<br />
[v] ↦→ ϕ(v)<br />
wohldefiniert und ein K-Vektorraum-Isomorphismus.<br />
Beweis. Die Wohldefiniertheit ist eine Konsequenz der Äquivalenzen<br />
[v] = [w] ⇐⇒ v − w ∈ ker (ϕ) ⇐⇒ ϕ(v) = ϕ(w).<br />
Wenn ϕ([v]) = ϕ(v) = ϕ(w) = ϕ([w]), dann gilt [v] = [w], d.h. ϕ ist injektiv. Die<br />
Surjektivität ist klar. Um zu zeigen, dass ϕ K-linear ist, rechnen wir<br />
ϕ(r[v] + s[w]) = ϕ([rv + sw]) = ϕ(rv + sw) = rϕ(v) + sϕ(w) = rϕ([v]) + sϕ([w]).<br />
Mit Satz 5.3.6 erhalten wir ein Diagramm von Abbildungen, in dem die Hakenpfeile<br />
↩→ einfach die jeweiligen Inklusionen einer Teilmenge in die Obermenge<br />
bezeichnen:<br />
V <br />
π<br />
ϕ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ker (ϕ) V/ ker (ϕ)<br />
0<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
W<br />
<br />
<br />
im (ϕ)<br />
⊓⊔
140 5 Vektorräume<br />
Das Diagramm ist kommutativ, was bedeutet, dass man dasselbe Ergebnis erhält,<br />
wenn man den Pfeilen folgend auf unterschiedlichen Wegen vom Start- zum Zielpunkt<br />
läuft. In diesem Beispiel heißt das nichts anderes als ϕ = ϕ ◦ π. Man nennt<br />
diese Zerlegung von ϕ in zwei Abbildungen auch die kanonische Faktorisierung.<br />
Beispiel 5.3.7. Für die Abbildung ϕ : R 3 → R 3 , (x, y, z) ↦→ (y, z, 0) gilt ker (ϕ) =<br />
{(x, 0, 0) | x ∈ R} = span(e 1 ) und im (ϕ) = {(x, y, 0) | x, y ∈ R} = span(e 1 , e 2 ). ⊓⊔<br />
Satz 5.3.8 (Dimensionsformel für Quotientenräume). Sei V ein endlich dimensionaler<br />
K-Vektorraum und U ein K-Untervektorraum. Dann gilt:<br />
dim(V ) = dim(U) + dim(V/U).<br />
Beweis. Idee: Ergänze eine Basis von U zu einer Basis von V und betrachte die Bilder<br />
der ergänzten Vektoren in V/U.<br />
Sei {u 1 , . . . , u r } eine Basis für U. Mit Satz 5.2.12 ergänzen wir diese zu einer<br />
Basis {u 1 , . . . , u r , v 1 , . . . , v s } für V und betrachten [v 1 ], . . . , [v s ] ∈ V/U.<br />
Behauptung 1: {[v 1 ], . . . , [v s ]} ⊆ V/U ist linear unabhängig.<br />
Um das einzusehen benutzen wir Satz 5.2.3 und rechnen<br />
0 =<br />
s∑<br />
c j [v j ] =<br />
j=1<br />
s∑<br />
s∑<br />
[c j v j ] = [ c j v j ],<br />
j=1<br />
was auf ∑ s<br />
j=1 c jv j − 0 ∈ U führt. D.h. wir können wegen Satz 5.2.4 schreiben<br />
Dies kann man zu<br />
s∑<br />
c j v j =<br />
j=1<br />
s∑<br />
c j v j −<br />
j=1<br />
r∑<br />
d i u i .<br />
i=1<br />
j=1<br />
r∑<br />
d i u i = 0<br />
i=1<br />
umformulieren, woraus wegen der linearen Unabhängigkeit der Basis für V folgt<br />
c 1 = . . . = c s = d 1 = . . . = d r = 0.<br />
Behauptung 2: span{[v 1 ], . . . , [v s ]} = V/U.<br />
Zum Beweis stellen zuerst fest, dass jedes Element von V/U von der Form [v]<br />
ist. Wieder mit Satz 5.2.4 können wir schreiben<br />
Dann gilt<br />
und die Behauptung folgt.<br />
v =<br />
r∑<br />
a i u i +<br />
i=1<br />
} {{ }<br />
∈U<br />
s∑<br />
b j v j .<br />
j=1<br />
[ s∑ ]<br />
[v] = b j v j =<br />
j=1<br />
s∑<br />
b j [v j ]<br />
j=1
5.3 Quotientenräume 141<br />
Also ist {[v 1 ], . . . , [v s ]} eine Basis für V/U und man muss nur noch die Dimensionen<br />
abzählen:<br />
dim(V ) = r + s, dim(U) = r, dim(V/U) = s.<br />
⊓⊔<br />
Satz 5.3.9 (Dimensionsformel für lineare Abbildungen). Sei ϕ ∈ Hom K (V, W )<br />
mit dim(V ) < ∞. Dann gilt<br />
dim(V ) = dim(ker (ϕ)) + dim(im (ϕ)).<br />
Beweis. Idee: Kombiniere Satz 5.3.8 mit Satz 5.3.6.<br />
Wegen Satz 5.3.8 haben wir<br />
dim(V ) = dim ( ker (ϕ) ) + dim ( V/ ker (ϕ) ) .<br />
Aber Satz 5.3.6 und Bemerkung 5.2.9 zeigen dim(im (ϕ)) = dim(V/ ker (ϕ)).<br />
⊓⊔<br />
Übung 5.3.1. Sei V = {f : [−1, 1] → R | stetig} und U = {f : [−1, 1] → R: stetig, f(−1) =<br />
f(1) = 0}. Zeige:<br />
(i) V ist ein R-Vektorraum und U ist ein Untervektorraum von V .<br />
(ii) V/U ist isomorph zu R 2 .<br />
Übung 5.3.2. Sei ϕ: V → W ein K-Vektorraumhomomorphismus und U ⊆ V ein Untervektorraum.<br />
Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:<br />
(a) U ⊆ ker ϕ.<br />
(b) ϕ faktorisiert über V/U, d.h. es existiert eine K-lineare Abbildung ψ : V/U → W mit<br />
ψ([v]) = ϕ(v), wobei [v] die Klasse von v ∈ V in V/U ist.<br />
Übung 5.3.3. Definiere die Ordnungsfunktion ord: S 3 → N durch<br />
und setze<br />
ord(σ) := min{n ∈ N | σ n = (1)}<br />
R 1 := {(σ, σ ′ ) ∈ S 3 × S 3 | ord(σ) = ord(σ ′ )}.<br />
Zeige, dass R 1 eine Äquivalenzrelation ist und bestimme alle Äquivalenzklassen.<br />
Übung 5.3.4. (i) Die minimale Anzahl von Exemplaren von (1 2) und (2 3), die man in (i)<br />
braucht, um σ zu schreiben, heißt die Länge l(σ) von σ. Man setzt dabei l((1)) := 0.<br />
Berechne l(σ) für alle σ ∈ S 3.<br />
(ii) Betrachte<br />
R 2 := {(σ, σ ′ ) ∈ S 3 × S 3 | l(σ) = l(σ ′ )}.<br />
Zeige, dass R 2 eine Äquivalenzrelation ist und bestimme alle Äquivalenzklassen.<br />
Übung 5.3.5. Sei Z die Menge der ganzen Zahlen und sei n ∈ N festgelegt. Setze<br />
R n := {(a, b) ∈ Z × Z | ∃m ∈ Z mit b − a = mn},<br />
also aR nb genau dann, wenn b − a durch n teilbar ist.<br />
(a) Man zeige, dass R n eine Äquivalenzrelation ist.<br />
(b) Wie viele verschiedene Äquivalenzklassen bezüglich R n gibt es?
142 5 Vektorräume<br />
Übung 5.3.6. Seien U und W Untervektorräume des K-Vektorraums V . Man zeige, dass<br />
die Quotientenräume (U + W )/W und U/(U ∩ W ) K-isomorph sind.<br />
Hinweis: Für u ∈ U und w ∈ W setze [u+w] + für die Äquivalenzklasse von u+w ∈ U +W<br />
in (U + W )/W und [u] ∩ für die Äquivalenzklasse von u ∈ U in U/(U ∩ W ). Man betrachte<br />
die Abbildung ψ : (U + W )/W → U/(U ∩ W ) gegeben durch ψ([u + w] +) = [u] ∩. (Ist ψ<br />
wohldefiniert?)<br />
Übung 5.3.7. Sei<br />
D =<br />
{( )<br />
}<br />
a b<br />
∈ Mat(2 × 2, R) ∣ a, b, d ∈ R<br />
0 d<br />
die Menge der 2 × 2 oberen Dreiecksmatrizen. Man zeige:<br />
(a) D ist ein Untervektorraum von Mat(2×2, R) mit der koeffizientenweisen Addition und<br />
Skalarmultiplikation.<br />
(b) Der Quotientenraum Mat(2 × 2, R)/D ist isomorph zu R.<br />
Übung 5.3.8. Seien U, V und W endlich dimensionale K-Vektorräume und<br />
ϕ : U → V<br />
ψ : V → W<br />
ein injektiver K-Homomorphismus,<br />
ein surjektiver K-Homomorphismus.<br />
Man zeige: wenn Kern(ψ) = Bild(ϕ), dann gilt<br />
dim K (U) + dim K (W ) = dim K (V ).<br />
Übung 5.3.9. Durch die Zuordnungen f((1, 2)) = (0, 0) und f((0, 1)) = (0, 1) ist eine<br />
lineare Abbildung f : R 2 → R 2 gegeben.<br />
(a) Man bestimme den Kern von f.<br />
(b) Man skizzieren den Quotientenvektorraum R 2 / ker (f) und im (f).<br />
(c) Man beschreibe die kanonische Faktorisierung von f, insbesondere den Quotientenhomomorphismus<br />
π : R 2 → R 2 / ker (f) und den Isomorphismus f : R 2 / ker (f) → im (f).<br />
Übung 5.3.10. Gegeben seien die Vektoren<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
0<br />
v 1 = ⎜1<br />
⎟<br />
⎝0⎠ und v2 = ⎜0<br />
⎟<br />
⎝1⎠<br />
0<br />
1<br />
in R 4 . Weiter sei W = Span(v 1, v 2) und sei<br />
π : R 4 −→ R 4 /W<br />
v<br />
↦−→ [v] = v + W<br />
die kanonische Projektion von R 4 nach dem Quotientenvektorraum R 4 /W .<br />
(a) Man zeige, dass B 1 = {[e 1], [e 3]} eine Basis von R 4 /W ist. Hier bezeichnet B =<br />
{e 1, e 2, e 3, e 4} die Standardbasis in R 4 .<br />
(b) Man bestimme die Matrix von π bezüglich der Basen B und B 1.<br />
(c) Man zeige, dass B ′ = {e 1, e 3, v 1, v 2} eine Basis von R 4 ist.<br />
(d) Man bestimme die Matrix von π bezüglich der Basen B ′ und B 1.<br />
Übung 5.3.11. Untersuche, ob die nachfolgenden Relationen reflexiv, symmetrisch und/oder<br />
transitiv sind:<br />
1. M := R × R, (x, y) ∼ (x ′ , y ′ ) : ⇐⇒ xy ′ = x ′ y ,<br />
2. M := (R × R) \ {(0, 0)}, (x, y) ∼ (x ′ , y ′ ) : ⇐⇒ xy ′ = x ′ y ,<br />
3. M := Abb(R, R), f ∼ g : ⇐⇒ ∃c ∈ R : ∀x ∈ R : f(x) − g(x) = c ,<br />
4. M := Z, m ∼ n : ⇐⇒ m + n ist gerade.
5.4 Dualräume 143<br />
5.4 Dualräume<br />
Das Konzept des Dualraums wirkt aufgesetzt, solange man sich nur für n-dimensionale<br />
Zahlenräume interessiert. Aber schon wenn man sich die Frage stellt, welche<br />
linearen Unterräume denn als Lösungsmengen von homogenen linearen Gleichungssystemen<br />
vorkommen können (vgl. Abschnitt 1.3), wird man in natürlicher Weise<br />
auf den Dualraum des n-dimensionalen Zahlenraums geführt, dessen Elemente man<br />
als homogene lineare Gleichungen auf dem Zahlenraum interpretieren kann. In der<br />
Analysis tauchen Dualräume in natürlicher Weise im Kontext von Richtungsableitungen<br />
auf.<br />
Wir beginnen mit der formalen Definition eines Dualraums:<br />
Definition 5.4.1. Sei V ein K-Vektorraum, dann heißt V ∗ := Hom K (V, K) der<br />
Dualraum von V und die Elemente von V ∗ heißen Linearformen oder auch<br />
lineare Funktionale auf V .<br />
Nach Satz 5.2.17 gilt für endlich dimensionales V dann dim K (V ∗ ) = dim K (V ).<br />
Diese Aussage bleibt aber auch für unendlich dimensionales V richtig (Übung).<br />
In der Differentialrechnung von skalarwertigen Funktionen mehrerer Variabler<br />
sind die Ableitungen in natürlicher Weise Elemente des Dualraums von R n : Jedem<br />
Richtungsvektor in R n wird eine skalarwertige Richtungsableitung zugeordnet und<br />
diese Zuordnung ist linear.<br />
Die Identifikation von (K n ) ∗ mit der Menge der homogenen linearen Gleichungen<br />
in n Variablen wird durch<br />
a 1 x 1 + . . . + a n x n = 0 ( (x 1 , . . . , x n ) ↦→ a 1 x 1 + . . . + a n x n<br />
)<br />
gegeben. Das wird uns später helfen zu sehen, dass, genau wie im Falle n = 2, jeder<br />
lineare Unterraum von K n die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems<br />
ist.<br />
Beispiel 5.4.2. Wenn dim(V ) = n, dann kann man mit Satz 5.2.17 einen Isomorphismus<br />
zwischen V ∗ und Mat(1 × n, K) bekommen. Auch daran lässt sich<br />
dim(V ∗ ) = n ablesen.<br />
⊓⊔<br />
Satz 5.4.3. Sei V ein K-Vektorraum mit Basis {v 1 , . . . , v n }. Definiere f i ∈ V ∗ für<br />
i = 1, . . . , n via f i (v j ) = δ ij . Dann ist {f 1 , . . . , f n } eine Basis für V ∗ (genannt die<br />
duale Basis).<br />
Beweis. Idee: Werte Linearkombinationen der f i in den v j aus.<br />
Wenn ∑ n<br />
i=1 c if i = 0, dann ergibt die Auswertung in v j<br />
0 =<br />
n∑<br />
c i f i (v j ) =<br />
i=1<br />
n∑<br />
c i δ ij = c j ∀j = 1, . . . , n.<br />
i=1<br />
Also sind die f i linear unabhängig. Da aber dim(V ∗ ) = dim(V ) = n gilt, bilden die<br />
f i sogar eine Basis.<br />
⊓⊔
144 5 Vektorräume<br />
Satz 5.4.4. Sei ϕ ∈ Hom K (V, W ). Dann ist<br />
ϕ ∗ : W ∗ → V ∗ ,<br />
f ↦→ f ◦ ϕ<br />
eine K-lineare Abbildung, die als duale Abbildung von ϕ bezeichnet wird.<br />
Beweis. Für r, s ∈ K und f, h ∈ W ∗ rechnet man<br />
ϕ ∗ (rf + sh)(v) = ( (rf + sh) ◦ ϕ ) (v)<br />
= (rf + sh)(ϕ(v))<br />
= rf(ϕ(v)) + sh(ϕ(v))<br />
= r(f ◦ ϕ(v)) + s(h ◦ ϕ(v))<br />
= rϕ ∗ (f)(v) + sϕ ∗ (h)(v)<br />
= ( rϕ ∗ (f) + sϕ ∗ (h) ) (v).<br />
Also gilt ϕ ∗ (rf + sh) = rϕ ∗ (f) + sϕ ∗ (h).<br />
⊓⊔<br />
Satz 5.4.5. Seien V und W endlich dimensionale K-Vektorräume sowie {v 1 , . . . , v n }<br />
und {w 1 , . . . , w m } Basen dafür. Weiter seien {f 1 , . . . , f n } und {g 1 , . . . , g m } die<br />
zugehörigen dualen Basen für V ∗ und W ∗ . Für ϕ ∈ Hom(V, W ) und ϕ ∗ ∈<br />
Hom(W ∗ , V ∗ ) gilt bzgl. dieser Basen für die darstellenden Matrizen von ϕ und<br />
ϕ ∗ A ϕ ∗ = (A ϕ ) ⊤ .<br />
Beweis. Idee: Schreibe die ϕ(v j) als Linearkombinationen der w i und berechne damit<br />
ϕ ∗ (g i)(v j).<br />
Sei A ϕ = (a ij ) i<br />
j<br />
Basen. Dann gilt<br />
und<br />
= 1 , ... ,<br />
= 1 , ... ,<br />
m<br />
n<br />
die darstellende Matrix für ϕ bzgl. der gegebenen<br />
ϕ(v j ) =<br />
m∑<br />
a ij w i<br />
( ∑ m ) m∑<br />
ϕ ∗ (g i )(v j ) = (g i ◦ ϕ)(v j ) = g i (ϕ(v j )) = g i a lj w l = a lj g i (w l ) = a ij .<br />
} {{ }<br />
l=1<br />
l=1<br />
δ il<br />
i=1<br />
Wegen<br />
finden wir<br />
d.h.<br />
ϕ ∗ (g i ) =<br />
n∑<br />
k=1<br />
a ik f k (v j ) = a ij<br />
} {{ }<br />
δ kj<br />
n∑<br />
a ik f k i = 1, . . . , m,<br />
k=1<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a m1<br />
⎜<br />
⎟<br />
A ϕ ∗ = ⎝ . . ⎠ = A ⊤ ϕ .<br />
a 1n · · · a mn<br />
⊓⊔
ψ<br />
5.4 Dualräume 145<br />
Bemerkung 5.4.6. Es gilt für U−−→V<br />
−−→W , dass (ϕ ◦ ψ) ∗ = ψ ∗ ◦ ϕ ∗ ist und<br />
Satz 5.4.5 zeigt daher, dass (AB) ⊤ = B ⊤ A ⊤ , weil jede Matrix A als A ϕ für eine<br />
passende Abbildung ϕ geschrieben werden kann (vgl. Bemerkung 3.2.12). ⊓⊔<br />
ϕ<br />
Satz 5.4.7. Seien V und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume und ϕ ∈<br />
Hom K (V, W ). Dann gilt für die darstellenden Matrizen A ϕ und A ϕ ∗ bzgl. beliebiger<br />
Basen die Identität<br />
Rang(A ϕ ) = dim(im (ϕ)) = dim(im (ϕ ∗ )) = Rang(A ϕ ∗).<br />
Man nennt dim ( im (ϕ) ) den Rang von ϕ und schreibt Rang(ϕ) dafür.<br />
Beweis. Idee: Benütze zwei Basen, um Isomorphismen von V und W nach K n und K m<br />
zu konstruieren, übertrage ϕ bei gleichbleibender darstellender Matrix in diese Räume und<br />
beachte, dass jetzt Bilder durch den Spann von Spaltenvektoren gegeben sind.<br />
Seien {v 1 , . . . , v n } und {w 1 , . . . , w n } Basen für V bzw. W. Dann erhält man aus<br />
Bemerkung 5.2.14 K-Vektorraumisomorphismen α : K n → V und β : K m → W :<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
y<br />
⎜ ⎟<br />
n∑<br />
1<br />
⎜ ⎟<br />
m∑<br />
α ⎝ . ⎠ = x j v j , β ⎝ . ⎠ = y j w i .<br />
x<br />
j=1<br />
n y<br />
i=1<br />
m<br />
Betrachte die Verknüpfung<br />
K n<br />
α<br />
→ V<br />
ϕ<br />
→ W<br />
β −1<br />
→ K m<br />
und beachte<br />
⎛ ⎞<br />
a 1j<br />
β −1 ◦ ϕ ◦ α(e j ) = β −1 ◦ ϕ(v j ) = β −1( ∑<br />
m ) m∑<br />
.<br />
a ij w i = a ij β −1 (w i ) =<br />
a ij<br />
,<br />
i=1<br />
i=1<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠<br />
a mj<br />
wobei e j der j-te Standardbasisvektor in K n ist. Dies zeigt, dass die darstellende<br />
Matrix von β −1 ◦ ϕ ◦ α (bzgl. der Standardbasen) auch A ϕ ist.<br />
⎛ ⎞<br />
a 1j<br />
Wir haben einerseits im (β −1 ⎜ ⎟<br />
◦ ϕ ◦ α) = span(a 1 , . . . , a n ) mit a j = ⎝ . ⎠ .<br />
a mj<br />
Andererseits gilt<br />
im (β −1 ◦ ϕ ◦ α) = β −1 ◦ ϕ ◦ α(K n ) = β −1 (ϕ(V )) = β −1( im (ϕ) ) .<br />
Mit Lemma 5.2.6, Lemma 3.2.13 und Satz 5.4.5 rechnet man jetzt<br />
dim ( im (ϕ) ) = dim ( im (β −1 ◦ ϕ ◦ α) )<br />
= dim ( span(a 1 , . . . , a n ) )<br />
= Rang(A ϕ )<br />
= Rang(A ⊤ ϕ )<br />
= Rang(A ϕ ∗)<br />
= dim ( im (ϕ ∗ ) ) .<br />
⊓⊔
146 5 Vektorräume<br />
Das in der folgenden Definition eingeführte Konzept des Annulators erweist sich<br />
als nützlich bei der Beschreibung des Kerns einer dualen Abbildung.<br />
Definition 5.4.8. Sei V ein K-Vektorraum und A ⊆ V . Dann heißt<br />
der Annullator von A.<br />
A 0 := {f ∈ V ∗ | f(a) = 0 ∀a ∈ A}<br />
Bemerkung 5.4.9. A 0 ist immer ein K-Untervektorraum von V ∗ , denn<br />
(rf + sh)(a) = rf(a) + sh(a) = r · 0 + s · 0 ∀r, s ∈ K ∀f, h ∈ A 0 ∀a ∈ A<br />
impliziert rf + sh ∈ A 0 .<br />
⊓⊔<br />
Proposition 5.4.10. Für ϕ ∈ Hom K (V, W ) gilt ker (ϕ ∗ ) = (im (ϕ)) 0 .<br />
Beweis. Beachte, dass ϕ ∗ (g)(v) = g(ϕ(v)) für alle g ∈ W ∗ , v ∈ V . Also gelten die<br />
folgenden Äquivalenzen:<br />
g ∈ (im (ϕ)) 0 ⇐⇒ g(ϕ(v)) = 0<br />
∀v ∈ V<br />
⇐⇒ ϕ ∗ (g)(v) = 0 ∀v ∈ V<br />
⇐⇒ ϕ ∗ (g) = 0 ∈ V ∗<br />
⇐⇒ g ∈ ker (ϕ ∗ ).<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 5.4.11. Betrachte die Matrix<br />
⎛<br />
A = ⎝ 0 1 0<br />
⎞<br />
0 0 1⎠<br />
0 0 0<br />
und die zugehörige lineare Abbildung<br />
⎛ ⎞<br />
x<br />
ϕ A : R 3 → R 3 , ⎝y⎠ ↦→<br />
z<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 1 0 x y<br />
⎝0 0 1⎠<br />
⎝y⎠ = ⎝z⎠ .<br />
0 0 0 z 0<br />
Wie in Beispiel 5.4.2 können wir den Dualraum von R 3 = Mat(3 × 1, R) mit dem<br />
Raum Mat(1 × 3, R), d.h. dem Raum der reellen Zeilenvektoren mit drei Spalten<br />
identifizieren. Das zu (a, b, c) gehörige lineare Funktional ist dann durch<br />
⎛ ⎞<br />
x<br />
(a, b, c) ⎝y⎠ = ax + by + cz,<br />
z<br />
d.h. durch Matrizenmultiplikation gegeben. Nach Definition der dualen Abbildung<br />
muss also gelten<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
(<br />
ϕ<br />
∗<br />
A (a, b, c) ) x<br />
⎝y⎠ = (a, b, c) ( x<br />
ϕ A<br />
⎝y⎠ ) 0 1 0 x<br />
= (a, b, c) ⎝0 0 1⎠<br />
⎝y⎠ .<br />
z<br />
z<br />
0 0 0 z
Dies führt auf<br />
Jetzt rechnet man sofort<br />
und<br />
⎛ ⎞<br />
0 1 0<br />
ϕ ∗ A(a, b, c) = (a, b, c) ⎝0 0 1⎠ = (0, a, b).<br />
0 0 0<br />
{ ⎛<br />
im (ϕ A ) = ⎝ x ⎞<br />
y⎠ ∣ }<br />
∣ x, y ∈ R<br />
0<br />
ker (ϕ ∗ A) = {(0, 0, c) | c ∈ R} = im (ϕ A )) 0<br />
nach, hat also die Proposition 5.4.10 für dieses Beispiel verifiziert.<br />
Betrachte die kanonische Basis<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
⎝0⎠ , ⎝1⎠ , ⎝0⎠<br />
0 0 1<br />
5.4 Dualräume 147<br />
für R 3 . Dann ist (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) die duale Basis für Mat(1 × 3, R) ∼ = R 3 .<br />
Die darstellende Matrix von ϕ ∗ A bzgl. dieser Matrix ergibt sich aus<br />
ϕ ∗ A(1, 0, 0) = (0, 1, 0), ϕ ∗ A(0, 1, 0) = (0, 0, 1), ϕ ∗ A(0, 0, 0) = (0, 0, 0)<br />
zu<br />
⎛ ⎞<br />
0 0 0<br />
⎝1 0 0⎠ = A ⊤<br />
0 1 0<br />
und wir haben auch Satz 5.4.4 für dieses Beispiel verifiziert.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 5.4.12. (i) Sei V ein K-Vektorraum und U ⊆ V ein linearer Unterraum.<br />
Die duale Abbildung der Injektion j : U → V ist die Einschränkungsabbildung<br />
ρ: V ∗ → U ∗ , f ↦→ f| U ,<br />
deren Kern gerade U 0 ist (vgl. auch Proposition 5.4.10). Nach Proposition 5.3.9<br />
gilt dim(ker ρ) = dim V −dim(im ρ). Da eine lineare Abbildung durch ihre Werte<br />
auf einer Basis beliebig vorgegeben werden kann, lässt sich jede Linearform<br />
auf U zu einer Linearform auf V fortsetzen: Man ergänzt eine Basis für U zu<br />
einer Basis für V und setzt das vorgegebene lineare Funktional auf U mit 0<br />
(oder irgendwelchen anderen Werten) auf den zusätzlichen Basisvektoren fort.<br />
Also ist ρ surjektiv und es gilt<br />
dim U 0 = dim V − dim U.<br />
(ii) Sei jetzt V = K n und f 1 , . . . , f k eine Basis für U 0 . Betrachte die lineare Abbildung<br />
⎛ ⎞<br />
f 1 (v)<br />
ϕ: K n → K k ⎜ ⎟<br />
, v ↦→ ⎝ . ⎠ ,<br />
f k (v)<br />
deren Kern offensichtlich U enthält. Betrachtet man die Linearformen f j als<br />
Zeilenvektoren, d.h. als Elemente von Mat(1 × n, K), die auf den Elementen<br />
von K n = Mat(n × 1, K) durch Matrizenmultiplikation wirken, so ist ϕ nichts
148 5 Vektorräume<br />
anderes als die Matrizenmultiplikation mit der Matrix A ∈ Mat(k ×n, K), deren<br />
Zeilen die f j ’s sind. Diese Zeilen sind nach Voraussetzung linear unabhängig,<br />
also hat A den Rang k. Mit den Sätzen 5.3.9 und 5.4.7 sowie (i) rechnet man<br />
jetzt<br />
dim U ≤ dim( ker ϕ) = n − dim( im ϕ) = n − k = dim U<br />
und es folgt U = ker ϕ. Also ist U die Lösungsmenge des homogenen linearen<br />
Gleichungssystems<br />
Ax = 0.<br />
Es ist also jeder lineare Unterraum von K n der Lösungsraum eines homogenen<br />
linearen Gleichungssystems.<br />
⊓⊔<br />
Übung 5.4.1. Gegeben seien die Vektoren in R 3<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
u 1 = ⎝−1⎠ ,<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
u 2 = ⎝0⎠ ,<br />
⎛ ⎞<br />
−1<br />
u 3 = ⎝ 2 ⎠ .<br />
2<br />
1<br />
0<br />
(a) Man zeige, dass B = {u 1, u 2, u 3} eine Basis von R 3 ist.<br />
(b) Man bestimme die zu B gehörige duale Basis von R 3 .<br />
Übung 5.4.2. Betrachte die lineare Abbildung ϕ: R 4 → R 4 mit<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
x 1 x 3 − x 4<br />
ϕ ⎜x 2<br />
⎟<br />
⎝x 3<br />
⎠ = ⎜x 2 − x 3<br />
⎟<br />
⎝x 1 − x 2<br />
⎠ .<br />
x 4 x 1 − x 4<br />
(a) Bestimme Kern ϕ und Bild ϕ.<br />
(b) Bestimme Kern ϕ ∗ und Bild ϕ ∗ .<br />
Übung 5.4.3. Es seien die folgenden Linearformen f 1, f 2, f 3, f 4 gegeben (f i : R 6 → R):<br />
Sind f 1, f 2, f 3, f 4 linear abhängig?<br />
f 1(x 1, . . . , x 6) = x 1 + x 3 + x 6,<br />
f 2(x 1, . . . , x 6) = x 2 + x 4,<br />
f 3(x 1, . . . , x 6) = x 2 + x 3 + x 5,<br />
f 4(x 1, . . . , x 6) = x 1 + x 4 − x 5 + x 6.<br />
Übung 5.4.4. Betrachte die Abbildung ϕ: R 4 → R 4 mit<br />
(i) Zeige, dass ϕ linear ist.<br />
(ii) Bestimme ker ϕ und im ϕ.<br />
(iii) Bestimme ker ϕ ∗ und im ϕ ∗ .<br />
ϕ(x 1, x 2, x 3, x 4) = (x 3 − x 4, x 2 − x 3, x 1 − x 2, x 1 − x 4).<br />
Übung 5.4.5. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und V ∗ der Dualraum von<br />
V . Sei weiter V ∗∗ := (V ∗ ) ∗ der Dualraum von V ∗ . Zeige: Die Abbildung ϕ: V → V ∗∗<br />
definiert durch<br />
(<br />
ϕ(v)<br />
)<br />
(f) = f(v), für v ∈ V und f ∈ V<br />
∗<br />
ist ein K-Vektorraumisomorphismus. (Hinweis: Es genügt zu zeigen, dass ϕ K-linear und<br />
injektiv ist.)<br />
Übung 5.4.6. Sei V ein R-Vektorraum und W ein Untervektorraum von V . Gegeben sei<br />
eine lineare Abbildung f : W → R sowie ein Vektor v 0 ∈ V \ W . Zeige: Es existiert eine<br />
lineare Abbildung F : W → R mit F (w) = f(w) für alle w ∈ W und F (v 0) = 1.
5.5 Direkte Summen 149<br />
Übung 5.4.7. Sei V ein K-Vektorraum und V ∗ der zu V duale Vektorraum. Für A ⊆ V<br />
bezeichnet A 0 = {f ∈ V ∗ | f(a) = 0 ∀a ∈ A} ⊆ V ∗ den Annulator von A. Analog sei für<br />
X ⊆ V ∗ der Annulator von X definiert als<br />
0 X := {v ∈ V | f(v) = 0 ∀f ∈ X} ⊆ V .<br />
Zeige: Ist V endlich dimensional und U ⊆ V ein linearer Unterraum, so gilt 0 (U 0 ) = U.<br />
Hinweis: Für die Inklusion ”<br />
⊂“ zeige man zunächst folgende Aussage: Ist B =<br />
(v 1, . . . , v n) eine Basis von V mit U := span{v 1, . . . , v k } und ist (f 1, . . . , f n) die zu B<br />
duale Basis von V ∗ , so ist {f k+1 , . . . , f n} ⊂ U 0 . (Diese Elemente bilden sogar eine Basis<br />
von U 0 .)<br />
Übung 5.4.8. Betrachte die lineare Abbildung ϕ : R 3 → R 2 mit<br />
ϕ(x, y, z) = (y + z, x − y) ,<br />
und folgende Basen von R 3 bzw. R 2 (vgl. Präsenzaufgabe 1)<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
⎨ 2 3 1 ⎬ {( ) ( )}<br />
⎝ 1 ⎠ , ⎝1⎠ , ⎝−2⎠<br />
2 −1<br />
⎩<br />
⎭ , , .<br />
1 1<br />
−1 0 2<br />
1. Bestimme die zu diesen Basen dualen Basen von (R 3 ) ∗ ∼ = Mat(1 × 3, R) bzw. (R 2 ) ∗ ∼ =<br />
Mat(1 × 2, R).<br />
2. Bestimme die Matrixdarstellung der dualen linearen Abbildung ϕ ∗ : (R 2 ) ∗ → (R 3 ) ∗<br />
bezüglich dieser Basen einerseits durch Anwendung der Definition von ϕ ∗ und andererseits<br />
durch Anwendung von Satz 5.4.5.<br />
Übung 5.4.9. Es seien V , W endlich dimensionale K-Vektorräume und ϕ ∈ Hom K(V, W ).<br />
Sei ϕ ∗ ∈ Hom(W ∗ , V ∗ ) die zu ϕ duale Abbildung. Man zeige:<br />
ϕ ist surjektiv<br />
⇐⇒ ϕ ∗ ist injektiv.<br />
5.5 Direkte Summen<br />
In diesem Abschnitt untersuchen wir wie man Vektorräume aus kleineren Vektorräumen<br />
zusammensetzen kann. Dies wird später in der Untersuchung der Feinstruktur<br />
von linearen Abbildungen sehr wichtig sein, aber hier beschränken wir uns<br />
wieder auf nur einen Typus von Anwendung, der durch die Analysis motiviert ist.<br />
Wir betrachten Graphen von linearen linearen Abbildungen, die wir uns als lineare<br />
Approximationen von beliebigen differenzierbaren Abbildungen vorstellen. Dann<br />
zeigen wir, dass diese Untervektorräume die direkten Summen von Urbild- und<br />
Bildraum sind. Schließlich beweisen wir die lineare Version des Satzes über implizite<br />
Funktionen, der eine zentrale Rolle in der Differentialrechnung von Funktionen<br />
mehrerer Variablen spielt.<br />
Definition 5.5.1. Sei M ⊆ N und V j , j ∈ M eine Menge von K-Vektorräumen.<br />
Dann heißt<br />
⊕<br />
V j :=<br />
{f : M → ⋃ ∣ }<br />
∣∣<br />
V j f(j) ∈ Vj , f fast überall Null<br />
j∈M<br />
j∈M<br />
direkte Summe der V j . Dabei bedeutet f fast überall Null, dass f nur an endlich<br />
vielen Stellen von Null verschiedene Werte annimmt. Man schreibt (v j ) j∈M für die<br />
Abbildung f : M → ⋃ j∈M V j mit f(j) = v j .<br />
Wenn M = {1, . . . , n} ist, schreibt man auch V 1 ⊕ . . . ⊕ V n statt ⊕ j∈M V j und<br />
(v 1 , . . . , v n ) statt (v j ) j∈M .
150 5 Vektorräume<br />
Proposition 5.5.2. Sei M ⊆ N und V j , j ∈ M eine Menge von K-Vektorräumen.<br />
Dann ist ⊕ j∈M V j ein Vektorraum bzgl. der Verknüpfungen<br />
(v j ) j∈M + (w j ) j∈M := (v j + w j ) j∈M<br />
c(v j ) j∈M := (cv j ) j∈M .<br />
Beweis. Um zu zeigen, dass die Verknüpfungen wohldefiniert sind, muss man beachten,<br />
dass die Summe von zwei fast überall verschwindenden Abbildungen selbst<br />
wieder fast überall verschwindet. Die Rechengesetze folgen unmittelbar aus den<br />
entsprechenden Gesetzen für die einzelnen V j .<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 5.5.3 (Graphen). Sei ϕ: V → W eine lineare Abbildung. Dann ist der<br />
Graph<br />
Γ (ϕ) := {(v, w) ∈ V ⊕ W | ϕ(v) = w}<br />
von ϕ ein Untervektorraum von V ⊕ W .<br />
Beispiel 5.5.4 (Implizite Funktionen). Seien U, V und W endlich dimensionale<br />
K-Vektorräume und f : U ⊕ V → W eine K-lineare Abbildung. Weiter sei (u 0 , v 0 ) ∈<br />
U ⊕ V mit f(u 0 , v 0 ) = 0 gegeben. Wir nehmen an, dass die lineare Abbildung<br />
F 2 : V → W, v ↦→ f(0, v) invertierbar ist. Dann gibt es zu jedem u ∈ U ein eindeutig<br />
bestimmtes g(u) = v ∈ V mit g(u 0 ) = v 0 und f(u, v) = 0. Die so definierte<br />
Abbildung g : U → V ist für u = u 0 + t ∈ U durch die Formel<br />
g(u 0 + t) = v 0 − F −1<br />
2 ◦ F 1 (t) (5.1)<br />
mit F 1 : U → W, u ↦→ f(u, 0) gegeben. In Abbildung 5.2 wird die Situation für<br />
U = V = R und f eine Projektion auf einen Gerade in U ⊕ V = R 2 skizziert.<br />
Zum Nachweis der Behauptung rechnen wir<br />
f(u 0 + t, v 0 + s) = f(u 0 , v 0 ) + f(t, s) = f(u 0 , v 0 ) + f(t, 0) + f(0, s)<br />
= F 1 (t) + F 2 (s), (5.2)<br />
so dass f(u 0 + t, v 0 + s) = 0 genau dann gilt, wenn s = −F2 −1 ◦ F 1 (t), d.h. wenn<br />
g(u) = v = v 0 + s.<br />
Da f als linear angenommen wurde, gilt f(0, 0) = 0, also g(0) = 0. Damit<br />
erhalten wir zunächst v 0 = −F2 −1 ◦ F 1 (u 0 ) und dann g(u) = −F2 −1 ◦ F 1 (u 0 ), was<br />
einfacher ist als die Formel (5.1) für g. Der Beweis für den allgemeinen Satz über<br />
implizite Funktionen besteht darin, die allgemeine Situation in cleverer Art und<br />
Weise durch den hier geschilderten linearen Fall zu approximieren. Beim Versuch<br />
die obigen Aussagen auf nichtlineare Funktionen f zu verallgemeinern stellt man<br />
fest, dass F 1 und F 2 die Rolle der partiellen Ableitungen von f an der Stelle (u 0 , v 0 )<br />
in Richtung der U-, bzw. V -Variablen spielen. Die Formel (5.1) sowie die Rechnung<br />
(5.2) lassen sich als Taylorentwicklungen interpretieren:<br />
g(u 0 + t) = g(u 0 ) − F −1<br />
2 ◦ F 1 (t). (5.3)<br />
Man bekommt dann zwar die Existenz von g, aber auch das nur lokal und ohne eine<br />
exakte Formel. Einzig die Ableitung von g in u 0 lässt sich zu −F −1<br />
2 ◦ F 1 berechnen.<br />
⊓⊔<br />
⊓⊔
5.5 Direkte Summen 151<br />
U<br />
F 1<br />
V<br />
v<br />
v<br />
0<br />
(u , v )<br />
0 0<br />
u<br />
0<br />
u<br />
−1<br />
f (0)<br />
(u,g(u))<br />
U<br />
f<br />
W<br />
V<br />
F<br />
2<br />
Abb. 5.2. Implizite Funktion<br />
Definition 5.5.5. Um einen vorgegeben Vektorraum in kleinere Bausteine zu zerlegen,<br />
führt man den Begriff der inneren direkten Summe ein. Sei V ein K-<br />
Vektorraum, M ⊆ N und V j , j ∈ M eine Menge von Untervektorräumen von V .<br />
Der Untervektorraum<br />
( ⋃ ) { ∑ ∣ }<br />
∣∣<br />
span V j = v j vj ∈ V j , fast alle v j = 0<br />
j∈M<br />
j∈M<br />
heißt die Summe der V j und wird mit ∑ j∈M V j bezeichnet. Die Summe ∑ j∈M V j<br />
heißt direkt, wenn<br />
⊕<br />
ϕ:<br />
j∈M<br />
V j → V, (v j ) j∈M ↦→ ∑ j∈M<br />
ein injektiver K-Vektorraum-Homomorphismus ist. V heißt die innere direkte<br />
Summe der V j , wenn ϕ ein K-Vektorraum-Isomorphismus ist. In diesem Fall<br />
schreibt man auch ⊕ j∈M V j für V .<br />
v j<br />
Proposition 5.5.6. (i) Die Abbildung ϕ: ⊕ j∈M V j → V ist immer ein K-Vektorraum-Homomorphismus.<br />
Die Betonung in der Definition liegt also auf injektiv.<br />
(ii) Die ( Injektivität ist äquivalent zu folgender Bedingung: Jede Menge von Vektoren<br />
⋃<br />
in<br />
j∈M j)<br />
V \ {0}, die aus jedem V j höchstens ein Element enthält, ist linear<br />
unabhängig.<br />
(iii) V ist genau dann die innere direkte Summe der V j , j ∈ M, wenn jedes v ∈ V<br />
in eindeutiger Weise als Summe von Elementen aus den V j geschrieben werden<br />
kann.
152 5 Vektorräume<br />
Beweis. (i) Ist durch einfaches Nachrechnen zu zeigen.<br />
(ii) Wir nehmen zunächst an, dass ϕ injektiv ist. Für eine Linearkombination<br />
∑<br />
cj v j = 0 mit v j ∈ V j \ {0} folgt dann aus ϕ((c j v j ) j∈M ) = 0 sofort c j v j = 0<br />
für alle j ∈ M. Damit gilt aber wegen v j ≠ 0 schon c j = 0. Also sind die v j<br />
linear unabhängig.<br />
( ⋃ )<br />
Umgekehrt, wenn jede Menge von Vektoren in<br />
j∈M V j \{0}, die aus jedem V j<br />
höchstens ein Element enthält, linear unabhängig ist, gilt für (v j ) j∈M ∈ ker (ϕ)<br />
mit v j = 0 für fast alle j ∈ M wegen der Relation 0 = ϕ((v j ) j∈M ) = ∑ j∈M 1·v j<br />
schon v j = 0 für alle j ∈ M.<br />
(iii) Sei V die direkte innere Summe der V j . Dann ist ϕ ein Isomorphismus. Wegen<br />
der Surjektivität lässt sich jedes v ∈ V als Summe ∑ j∈M v j mit v j ∈ V j<br />
schreiben. Wenn ∑ j∈M v j = ∑ j∈M v′ j , dann folgt ∑ j∈M (v j − v j ′ ) = 0, d.h.<br />
(v j − v j ′ ) j∈M ∈ ker ϕ = {0}, was die Eindeutigkeit der Summendarstellung<br />
zeigt. Umgekehrt folgt dann genauso aus der Existenz der Summendarstellung<br />
die Surjektivität von ϕ und aus der Eindeutigkeit der Summendarstellung die<br />
Injektivität von ϕ.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 5.5.7. Sei V ein K-Vektorraum und {v j | j ∈ M} eine Basis für V . Dann<br />
ist V die innere direkte Summe der Räume V j := Kv j , weil jedes Element von V<br />
in eindeutiger Weise als Summe von endlich vielen Elementen der V j geschrieben<br />
werden kann.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 5.5.8. Betrachte die folgenden Untervektorräume von K n :<br />
U 1 = {(x 1 , . . . , x n ) | x 1 = . . . = x m = 0}<br />
U 2 = {(x 1 , . . . , x n ) | x m+1 = . . . = x n = 0}<br />
1 ≤ m < n<br />
Dann gilt K n = U 1 ⊕ U 2 .<br />
⊓⊔<br />
Proposition 5.5.9. Sei M = {1, . . . , k} und V = ⊕ j∈M V j mit dim(V j ) = r j .<br />
Dann gilt dim(V ) = ∑ j∈M r j. Genauer, sei {v (j)<br />
1 , . . . , v(j) r j<br />
} eine Basis für V j . Dann<br />
ist {v (1)<br />
1 , . . . , v(1) r 1<br />
, . . . , v (k)<br />
1 , . . . , v(k) r k<br />
} eine Basis für V .<br />
Beweis. Es genügt zu beobachten, dass sich jedes Element von V in eindeutiger<br />
Weise als Summe von Elementen aus den V j schreiben lässt und jedes Element aus<br />
den V j in eindeutiger Weise als Linearkombination von Elementen der jeweiligen<br />
Basis geschrieben werden kann. Jetzt braucht man nur noch abzuzählen. ⊓⊔<br />
Im Rest dieses Abschnitts deuten wir an, wie die Zerlegung in innere direkte<br />
Summen, die Untersuchung von linearen Abbildungen erleichtern kann. Das ”<br />
Motto“<br />
der beschriebenen Vorgehensweise ist: Wähle Basen geschickt, um einfache darstellende<br />
Matrizen zu erhalten. Im nächsten Kapitel werden wir diesen Ansatz systematisch<br />
verfolgen.<br />
Definition 5.5.10. Sei V die innere direkte Summe der Unterräume V j , j ∈ M und<br />
ϕ ∈ Hom K (V, V ). Die Zerlegung V = ⊕ j∈M V j heißt ϕ-invariant, wenn ϕ(V j ) ⊆ V j<br />
für alle j ∈ M.
5.5 Direkte Summen 153<br />
Bemerkung 5.5.11. Sei ϕ ∈ Hom K (V, V ) und V = V 1 ⊕ · · · ⊕ V k eine ϕ-invariante<br />
innere direkte Summenzerlegung. Weiter seien r j := dim V j , {v (j)<br />
1 , . . . , v(j) r j<br />
} eine<br />
Basis für V j , und {v (1)<br />
1 , . . . , v(1) r 1<br />
, . . . , v (k)<br />
1 , . . . , v(k) r k<br />
} die entsprechende Basis für V .<br />
Es sei<br />
(<br />
Setzt man A (j) :=<br />
a (j)<br />
li<br />
ϕ(v (j)<br />
i ) =<br />
A ϕ bzgl. dieser Basis die Gestalt<br />
)<br />
r j<br />
∑<br />
l=1<br />
a (j)<br />
li v(j) l<br />
i = 1, . . . , r j .<br />
l=1,...,r j<br />
, dann bedeutet dies, dass die darstellende Matrix<br />
i=1,...,r j<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
A (1) 0<br />
. .. ⎟<br />
⎠<br />
0 A (k)<br />
hat. Solche Matrizen nennt man Blockdiagonalmatrizen. Ist umgekehrt A ϕ von<br />
der obigen Gestalt bzgl. einer Basis<br />
{v (1)<br />
r 1<br />
1 , . . . , v(1)<br />
, . . . , v (k)<br />
1 , . . . , v(k) r k<br />
}<br />
für V , so liefert V j := span(v (j)<br />
1 , . . . , v(j) r j<br />
) eine ϕ-invariante innere direkte Summenzerlegung<br />
V = V 1 ⊕ · · · ⊕ V k .<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 5.5.12. Sei V ein K-Vektorraum und U, U ′ lineare Unterräume von<br />
V mit<br />
V = U + U ′ := {u + u ′ | u ∈ U, u ′ ∈ U ′ }.<br />
Dann ist V genau dann die innere direkte Summe von U und U ′ , wenn U ∩U ′ = {0}<br />
ist.<br />
Wenn nämlich U ∩ U ′ = {0} und v = u + u ′ = w + w ′ mit u, w ∈ U sowie<br />
u ′ , w ′ ∈ U ′ , dann gilt u − w = w ′ − u ′ ∈ U ∩ U ′ = {0}, d.h. u = w und u ′ = w ′ .<br />
Wegen V = U + U ′ und Proposition 5.5.6(iii) liefert dies V = U ⊕ U ′ .<br />
Umgekehrt, wenn V = U ⊕ U ′ , dann gilt für v ∈ U ∩ U ′ sowohl v = 0 + v mit<br />
0 ∈ U und v ∈ U ′ als auch v = v + 0 mit v ∈ U und 0 ∈ U ′ . Wieder mit Proposition<br />
5.5.6(iii) folgt also v = 0.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 5.5.13 (Projektionen). Es sei V ein K-Vektorraum, und seien U und<br />
W Untervektorräume von V mit V = U ⊕ W . Die Selbstabbildung<br />
p U : V −→ V,<br />
v = u + w ↦−→ u<br />
mit u ∈ U and w ∈ W ist wohldefiniert, da u (and w) eindeutig durch v bestimmt<br />
ist. Offensichtlich ist diese Abbildung linear und hat das Bild U. Wir nennen die<br />
Abbildung p U die Projektion auf U entlang W . In der Terminologie von Summen<br />
(oder Produkten) von Vektorräumen wird der Name Projektion oft für die<br />
lineare Abbildung pr U : V −→ U gebraucht, deren Einschränkung die Identität<br />
auf U ist und die den Kern W hat. Anstelle dieses Zugangs nehmen wir hier die<br />
Hintereinanderausführung von pr U mit der Einbettung ι : U −→ V mit u ↦−→ u,<br />
d.h. p U = ι ◦ pr U . Diese Definition hat die folgende nützliche Konsequenz:
154 5 Vektorräume<br />
Behauptung: Eine lineare Abbildung p : V −→ V ist genau dann eine Projektion,<br />
wenn p = p 2 := p ◦ p ist.<br />
Sei p die Projektion auf U entlang W , und sei v = u + w die eindeutige Zerlegung<br />
mit u ∈ U und w ∈ W . Dann gilt p(v) = u mit der eindeutigen Darstellung<br />
p(v) = u + 0. Damit haben wir p 2 (v) = p(u + 0) = u = p(v).<br />
Sei umgekehrt p : V −→ V eine lineare Abbildung mit p 2 = p. Wir werden zeigen,<br />
dass V = im p ⊕ ker p ist:<br />
1. Sei v ∈ ker p ∩ im p. Insbesondere haben wir dann v = p(v ′ ) für ein v ′ ∈ V .<br />
Weil auch v ∈ ker p gilt, erhalten wir v = p(v ′ ) = p 2 (v ′ ) = p(v) = 0. Demzufolge<br />
gilt im p ∩ ker p = {0}.<br />
2. Wir zeigen, dass V = im p + ker p ist: Dazu sei v ein beliebiges Element aus<br />
V . Wir setzen w := v − p(v) und erhalten auf Grund der Linearität p(w) =<br />
p(v − p(v)) = p(v) − p 2 (v) = 0. Also gilt w ∈ ker p und da v = p(v) + w ist, sind<br />
wir fertig.<br />
Somit folgt V = im p ⊕ ker p. Es bleibt noch zu zeigen, dass die Einschränkung<br />
von p auf im (p) die Identität ist. Dafür sei u ∈ im (p). Dann gibt es ein v ∈ V<br />
mit u = p(v), und damit erhalten wir u = p(v) = p 2 (v) = p(u). Deshalb ist p die<br />
Projektion auf im (p) entlang ker(p), was die Behauptung zeigt.<br />
Sei nun V ein endlich dimensionaler K-Vektorram, und sei p die Projektion auf<br />
U entlang W . Dann wählen wir Basen {u 1 , . . . , u r } und {w 1 , . . . , w s } für U bzw.<br />
W . Dann ist {u 1 , . . . , u r , w 1 , . . . , w s } nach Proposition 5.5.9 eine Basis für V . Da p<br />
die Identität auf U ist und auf W die Nullabbildung, hat p bezüglich dieser Basis<br />
die darstellende Matrix<br />
( )<br />
1r 0<br />
A p = .<br />
0 0<br />
⊓⊔<br />
Übung 5.5.1. V sei ein endlich dimensionaler R-Vektorraum und U ein R-Untervektorraum<br />
von V . Weiter sei W die Menge der linearen Abbildungen ϕ: V → V mit der Eigenschaft<br />
U ⊆ ker(ϕ).<br />
(a) Zeige, dass W ein R-Untervektorraum von Hom R (V, V ) ist.<br />
(b) Beweise die Dimensionsformel<br />
dim(W ) = ( dim(V ) − dim(U) ) dim(V ).<br />
Übung 5.5.2. Sei ϕ: K n → K n K-linear und diagonalisierbar (d.h. es existiert eine Basis<br />
bzgl. der A ϕ diagonal ist). Zeige, dass<br />
K n = (ker ϕ) ⊕ (im ϕ).<br />
Übung 5.5.3. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit dim(V ) = n und U, U ′ <br />
V zwei K-Untervektorräume von V .<br />
(a) Zeige:<br />
(i) U ∪ U ′ ist kein Untervektorraum von V , wenn U U ′ und U ′ U.<br />
(ii) Wenn dim U = dim U ′ , dann gibt es ein v ∈ V mit<br />
dim(Kv + U) = dim(Kv + U ′ ) = 1 + dim U.<br />
(iii) Wenn dim U = dim U ′ , dann gibt es einen Untervektorraum W von V mit<br />
U ⊕ W = U ′ ⊕ W = V.
5.5 Direkte Summen 155<br />
(b) Zeige: Wenn es einen Untervektorraum W von V mit<br />
U ⊕ W = U ′ ⊕ W = V<br />
gibt, dann gilt dim U = dim U ′ .<br />
Übung 5.5.4. Sei V ein K-Vektorraum und α, β lineare Abbildungen auf V , so dass<br />
α + β = id V<br />
α ◦ β = β ◦ α = 0<br />
(die identische Abbildung)<br />
(die Nullabbildung).<br />
Man zeige:<br />
(a) α 2 = α und β 2 = β.<br />
(b) V = α(V ) ⊕ β(V ).<br />
Übung 5.5.5. Sei V ein K-Vektorraum, V ∗ der duale Vektorraum und f ∈ V ∗ \{0}. Zeige:<br />
Für jedes v ∈ V mit f(v) ≠ 0 gilt<br />
V = K v ⊕ ker(f) .<br />
Übung 5.5.6. Zeige, dass<br />
ϕ : R 2 → R 2 ,<br />
(<br />
x1<br />
)<br />
↦→ 1 x 2 3<br />
( )<br />
−x1 + 2x 2<br />
−2x 1 + 4x 2<br />
eine Projektion ist und bestimme die Zerlegung R 2 = U ⊕ W , so dass ϕ die Projektion auf<br />
U entlang W ist. Skizziere U und W in R 2 und die Wirkung von ϕ auf R 2 .<br />
Übung 5.5.7. Es seien<br />
U g := {f ∈ Abb(R, R) | f(x) = f(−x) ∀ x ∈ R}<br />
U u := {f ∈ Abb(R, R) | f(x) = −f(−x) ∀ x ∈ R}<br />
die Menge der geraden bzw. ungeraden Funktionen. Zeige:<br />
a) U g und U u sind Untervektorräume von Abb(R, R).<br />
b) U g ⊕ U u = Abb(R, R), d.h. U g + U u = Abb(R, R) und U g ∩ U u = {0}.<br />
Hinweis: Ist f : R → R, so ist x ↦→ 1 (f(x) + f(−x)) eine gerade Funktion.<br />
2<br />
Übung 5.5.8 (Shifts). Sei V := Abb(N, R) = {(a 0, a 1, a 2, . . .) | a j ∈ R ∀ j ∈ N} der<br />
Vektorraum aller reeller Zahlenfolgen und S, T : V → V definiert durch<br />
S((a 0, a 1, a 2, . . .)) := (a 1, a 2, a 3, . . .),<br />
T ((a 0, a 1, a 2, . . .)) := (0, a 0, a 1, a 2, . . .).<br />
a) Zeige, dass S, T ∈ End R (V ).<br />
b) Untersuche S und T auf Injektivität und Surjektivität und bestimme die Kerne von<br />
S und T und die Bilder von S und T .<br />
c) Zeige, dass T ◦ S und S ◦ T Projektionen sind. Dabei heißt P ∈ End R (V ) eine Projektion,<br />
wenn P 2 := P ◦ P = P ist.<br />
Übung 5.5.9. Sei V ein K-Vektorraum und seien U 1, U 2 lineare Unterräume. Dann gilt<br />
V = U 1 ⊕ U 2 genau dann, wenn V = U 1 + U 2 und U 1 ∩ U 2 = {0} (vgl. Bemerkung 5.5.12).<br />
Man zeige, dass ein entsprechendes Kriterium für Summen von mehr als zwei Unterräumen<br />
falsch ist, d.h. man konstruiere ein Beispiel für die folgende Situation: V = U 1 + U 2 + U 3<br />
mit U i ∩ U j = {0} für i ≠ j, aber die Summe U 1 + U 2 + U 3 ist nicht direkt.<br />
Übung 5.5.10. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und V ∗ der Dualraum von<br />
V . Sei weiter V ∗∗ := (V ∗ ) ∗ der Dualraum von V ∗ . Zeige: Die Abbildung ϕ: V → V ∗∗<br />
definiert durch<br />
(<br />
ϕ(v)<br />
)<br />
(f) = f(v), für v ∈ V und f ∈ V<br />
∗<br />
ist ein K-Vektorraumisomorphismus.<br />
Hinweis: Es genügt zu zeigen, dass ϕ K-linear und injektiv ist.
156 5 Vektorräume<br />
Übung 5.5.11. Es seien<br />
U := {x ∈ R 3 | x 1 + x 2 + x 3 = 0} , W := span{(1, 2, 3) ⊤ ∈ R 3 } .<br />
Zeige, dass U ⊕ W = R 3 , und bestimme die Matrixdarstellung (bzgl. der Standardbasis<br />
von R 3 ) der Projektion ϕ von R 3 auf U entlang W .<br />
Hinweis: Stelle ϕ zunächst bezüglich einer Basis dar, die der Zerlegung R 3 = U ⊕ W<br />
entspricht, und führe dann einen Basiswechsel durch.
6<br />
Lineare Abbildungen<br />
In diesem Kapitel untersuchen wir die Frage, wie die darstellende Matrix einer<br />
linearen Abbildung von der Auswahl der Basis abhängt. Eine wichtige Frage wird<br />
sein, wie man die Basen wählen muss, um möglichst einfache Matrizen zu erhalten,<br />
mit denen man gut rechnen kann.<br />
6.1 Basiswechsel<br />
Definition 6.1.1. Sei K ein Körper, V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum<br />
und {v 1 , ..., v n } eine Basis für V . Nach Satz 5.2.4 lässt sich jedes v ∈ V in eindeutiger<br />
Weise als Linearkombination der Basiselemente schreiben:<br />
n∑<br />
v = x i v i .<br />
i=1<br />
Jetzt sei {w 1 , . . . , w n } eine weitere Basis für V . Jedes w j ist Linearkombination der<br />
v i :<br />
n∑<br />
w j = a ij v i ∀j = 1, . . . , n.<br />
Die so entstandene Matrix<br />
i=1<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 · · · a 1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
A = ⎝ . . ⎠<br />
a n1 · · · a nn<br />
heißt die Übergangsmatrix von {v 1 , . . . , v n } nach {w 1 , . . . , w n }.<br />
Satz 6.1.2. Seien {v 1 , . . . , v n } und {w 1 , . . . , w n } Basen für V .<br />
(i) Die Übergangsmatrix A von {v 1 , . . . , v n } nach {w 1 , . . . , w n } ist invertierbar.<br />
Genauer, A −1 ist die Übergangsmatrix von {w 1 , . . . , w n } nach {v 1 , . . . , v n }.<br />
∑<br />
(ii) Sei v = n ∑<br />
x i v i = n y j w j , dann gilt folgende Identität für die Koordinaten:<br />
i=1<br />
j=1<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
⎜<br />
⎝ .<br />
x n<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
a 11 · · · a 1n y 1<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎝ . . ⎠ ⎝ .<br />
a n1 · · · a nn y n<br />
⎟<br />
⎠ .
158 6 Lineare Abbildungen<br />
Beweis. Idee: Betrachte die Übergangsmatrizen von {v 1, . . . , v n} nach {w 1, . . . , w n} und<br />
von {w 1, . . . , w n} nach {v 1, . . . , v n} und wende Satz 5.2.4 an.<br />
(i) Schreibe v i = ∑ n<br />
k=1 b kiw k , d.h.<br />
⎛<br />
⎞<br />
b 11 · · · b 1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
B = ⎝ . . ⎠<br />
b n1 · · · b nn<br />
ist die Übergangsmatrix von {w 1 , . . . , w n } nach {v 1 , . . . , v n }. Dann gilt<br />
v i =<br />
n∑<br />
k=1<br />
b ki<br />
n ∑<br />
l=1<br />
a lk v l =<br />
n∑ n∑<br />
( a lk b ki )v l<br />
und daher, wegen Satz 5.2.4, ∑ n<br />
k=1 a lkb ki = δ li . Dies zeigt AB = 1 n und nach<br />
Satz 3.2.5 folgt dann automatisch, dass BA = 1 n .<br />
(ii) Wegen<br />
n∑<br />
x i v i = v =<br />
i=1<br />
n∑<br />
y j w j =<br />
j=1<br />
n∑<br />
l=1<br />
∑<br />
n<br />
y j<br />
j=1 i=1<br />
k=1<br />
a ij v i =<br />
n∑ n∑<br />
( a ij y j )v i<br />
folgt, wieder mit Satz 5.2.4, x i = ∑ n<br />
j=1 a ijy j und das zeigt die Behauptung.<br />
i=1<br />
j=1<br />
⊓⊔<br />
Als nächstes untersuchen wir, wie sich Basiswechsel auf die Darstellung von<br />
linearen Abbildungen als Matrizen auswirken.<br />
Seien V und W zwei endlich dimensionale K–Vektorräume. Weiter seien {v 1 , . . . , v n }<br />
und {v 1, ′ . . . , v n} ′ Basen für V sowie {w 1 , . . . , w m } und {w 1, ′ . . . , w m} ′ Basen für<br />
W . Wenn C ∈ Mat(n × n, K) und D ∈ Mat(m × m, K) die dazugehörigen<br />
Übergangsmatrizen von {v 1 , . . . , v n } nach {v 1, ′ . . . , v n} ′ bzw. von {w 1 , . . . , w m } nach<br />
{w 1, ′ . . . , w m} ′ sind, dann gilt<br />
n∑<br />
v j ′ = c ij v i<br />
i=1<br />
∀j = 1, . . . , n<br />
und<br />
w ′ s =<br />
m∑<br />
d rs w r ∀s = 1, . . . , m.<br />
r=1<br />
Betrachte ϕ ∈ Hom K (V, W ) und seine darstellende Matrix A ϕ bzgl. der Basen<br />
{v 1 , . . . , v n } und {w 1 , . . . , w m }. Wir bezeichnen die darstellende Matrix von ϕ bzgl.<br />
der Basen {v 1, ′ . . . , v n} ′ und {w 1, ′ . . . , w m} ′ mit<br />
⎛<br />
⎞<br />
Satz 6.1.3. A ′ ϕ = D −1 A ϕ C.<br />
A ′ ϕ =<br />
⎜<br />
⎝<br />
a ′ 11 · · · a ′ 1n<br />
. .<br />
a ′ m1 · · · a ′ mn<br />
⎟<br />
⎠ .
6.1 Basiswechsel 159<br />
Beweis. Idee: Schreibe ϕ(v j) ′ auf zwei verschiedene Weisen als Linearkombination der<br />
w r: Einmal, indem man zuerst v j ′ als Linearkombination der v i schreibt und dann ϕ anwendet,<br />
und einmal, indem man ϕ(v j) ′ als Linearkombination der w r ′ schreibt und dann<br />
den Basiswechsel durchführt.<br />
und<br />
Rechne<br />
m∑<br />
m∑<br />
ϕ(v j) ′ = a ′ rjw r ′ =<br />
r=1<br />
( ∑<br />
n )<br />
ϕ(v j) ′ = ϕ c ij v i =<br />
i=1<br />
Mit Satz 5.2.4 ergibt sich<br />
m∑<br />
d sr a ′ rj =<br />
r=1<br />
a ′ rj<br />
r=1 s=1<br />
n∑<br />
c ij ϕ(v i ) =<br />
i=1<br />
m∑<br />
m∑ ( ∑ m<br />
d sr w s = d sr a ′ rj<br />
n∑<br />
∑<br />
m<br />
c ij<br />
i=1 s=1<br />
s=1<br />
r=1<br />
a si w s =<br />
)<br />
w s<br />
m∑ ( ∑<br />
n a si c ij<br />
)w s .<br />
s=1<br />
i=1<br />
n∑<br />
a si c ij ∀ s = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n,<br />
i=1<br />
d.h. DA ′ ϕ = A ϕ C und daher A ′ ϕ = D −1 A ϕ C.<br />
⊓⊔<br />
Wir fassen die entscheidenden Formeln für den Basiswechsel zusammen:<br />
V<br />
ϕ<br />
−→ W<br />
{v 1 , . . . , v n }<br />
↓ C<br />
{v 1, ′ . . . , v n}<br />
′ {w 1 , . . . , w m }<br />
↓ D<br />
{w 1, ′ . . . , w m}<br />
′<br />
n∑<br />
m∑<br />
v j ′ = c ij v i w s ′ = d rs w r<br />
i=1<br />
ϕ(v j ) = ∑ m<br />
r=1 a rjw r<br />
ϕ(v ′ j ) = ∑ m<br />
r=1 a′ rj w′ r<br />
A ϕ = (a ij )<br />
A ′ ϕ = (a ′ ij ) = D−1 A ϕ C<br />
r=1<br />
Der Spezialfall des Basiswechsels, in dem V = W und {v 1 , . . . , v n } = {w 1 , . . . , w n }<br />
sowie {v ′ 1, . . . , v ′ n} = {w ′ 1, . . . , w ′ n}, führt auf folgende Definition.<br />
Definition 6.1.4. A, A ′ ∈ Mat(n×n, K) heißen ähnlich, wenn es ein C ∈ GL(n, K)<br />
mit A ′ = C −1 AC gibt.<br />
Proposition 6.1.5. Die Ähnlichkeit von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation.<br />
Beweis. Reflexivität: A = C −1 AC für C = 1.<br />
Symmetrie: A ′ = C −1 AC ⇒ A = D −1 A ′ D für D = C −1 .<br />
Transitivität: A ′ = C −1 AC und A ′′ = D −1 A ′ D impliziert<br />
A ′′ = D −1 C −1 ACD = (CD) −1 A(CD).<br />
⊓⊔
160 6 Lineare Abbildungen<br />
Bemerkung 6.1.6. Seien V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum sowie {v 1 , . . . , v n }<br />
und {w 1 , . . . , w n } zwei Basen für V . Betrachte V ∗ = Hom K (V, K) und die dualen<br />
Basen {f 1 , . . . , f n } von {v 1 , . . . , v n }, und {g 1 , . . . , g n } von {w 1 , . . . , w n }. Seien<br />
⎛<br />
⎛<br />
D =<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
d 11 · · · d 1n<br />
. .<br />
d n1 · · · d nn<br />
⎟<br />
⎠ und C =<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
c 11 · · · c 1n<br />
⎟<br />
. . ⎠<br />
c n1 · · · c nn<br />
die Übergangsmatrizen von {f 1 , . . . , f n } nach {g 1 , . . . , g n } bzw. von {g 1 , . . . , g n }<br />
nach {f 1 , . . . , f n }. D.h., es gilt<br />
g j =<br />
n∑<br />
d ij f i und f i =<br />
i=1<br />
n∑<br />
c ji g j .<br />
Nach Satz 6.1.2 haben wir D −1 = C. Wenn A die Übergangsmatrix von {v 1 , . . . , v n }<br />
nach {w 1 , . . . , w n } ist, gilt wegen<br />
( ∑<br />
n )<br />
f l (w k ) = f l a ik v i =<br />
i=1<br />
n∑<br />
i=1<br />
j=1<br />
a ik f l (v i ) = a lk<br />
} {{ }<br />
δ il<br />
und<br />
die Gleichheit C = A ⊤ .<br />
( ∑<br />
n<br />
f l (w k ) = c jl g j<br />
)(w k ) =<br />
j=1<br />
n∑<br />
j=1<br />
c jl g j (w k ) = c kl<br />
} {{ }<br />
δ jk<br />
⊓⊔<br />
Satz 6.1.7. Wenn ϕ: V → W den Rang k hat, dann gibt es Basen {v 1 , . . . , v n }<br />
und {w 1 , . . . , w m } so, dass die darstellende Matrix A ϕ ∈ Mat(m × n, K) von ϕ bzgl.<br />
{v 1 , . . . , v n } und {w 1 , . . . , w m } die Form<br />
⎛ ⎞<br />
1 0<br />
. .. A ϕ = ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 1 ⎠<br />
0 0<br />
mit k von Null verschiedenen Spalten hat.<br />
Beweis. Idee: Zeige, dass jede invertierbare Matrix einen Basiswechsel von einer vorgegebenen<br />
Basis zu einer neuen Basis definiert und führe so das Problem darauf zurück zu<br />
zeigen, dass die darstellende Matrix von ϕ bzgl. einer beliebigen Basis durch elementare<br />
Zeilen- und Spaltenumformungen auf die gesuchte Form gebracht werden kann.<br />
Sei C ∈ Mat(n × n, K) invertierbar. Zu vorgegebener Basis {v 1 , . . . , v n } von V<br />
gibt es eine neue Basis {v 1, ′ . . . , v n} ′ mit Übergangsmatrix von {v 1 , . . . , v n } nach<br />
{v 1, ′ . . . , v n} ′ gleich C. Um das einzusehen, setze v j ′ := ∑ n c ij v i für j = 1, . . . , n.<br />
Dann ist {v ′ 1, . . . , v ′ n} linear unabhängig, weil<br />
0 =<br />
n∑<br />
r j v j ′ =<br />
j=1<br />
n∑<br />
∑<br />
n<br />
r j<br />
j=1 i=1<br />
c ij v i =<br />
i=1<br />
n∑ ( ∑<br />
n c ij r j<br />
)v i<br />
i=1<br />
j=1
6.1 Basiswechsel 161<br />
impliziert, dass ∑ n<br />
j=1 c ijr j = 0 für i = 1, . . . , n, woraus<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
c 11 · · · c 1n r 1<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ . . ⎠ ⎝ . ⎠ = 0<br />
c n1 · · · c nn r n<br />
folgt. Da C invertierbar ist, heißt das r 1 = . . . = r n = 0. Analog gilt für W : Zu<br />
D ∈ Mat(m×m, K) und vorgegebener Basis {w 1 , . . . , w m } für W existiert eine Basis<br />
{w 1, ′ . . . , w m} ′ mit Übergangsmatrix D von {w 1 , . . . , w m } nach {w 1, ′ . . . , w m}. ′ Nach<br />
Satz 6.1.3 genügt es zu zeigen, dass man zu jeder Matrix A ∈ Mat(m × n, K) mit<br />
Rang(A) = k invertierbare Matrizen C ∈ Mat(n × n, K) und D ∈ Mat(m × m, K)<br />
mit ( )<br />
1k 0<br />
= D −1 AC<br />
0 0<br />
finden kann.<br />
Die Strategie ist, D −1 aus elementaren Zeilenumformungen und C aus elementaren<br />
Spaltenumformungen zusammenzusetzen:<br />
⎛<br />
1 ∗ ∗<br />
A ❀ Z Zeilenstufenform von A ❀<br />
S 1<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
0 0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
S<br />
❀<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
1 0<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0<br />
Genauer gesagt, man berechnet die Zeilenstufenform (k Stufen), führt dann einen<br />
Spaltentausch so durch, dass die Stufen in den Spalten 1 bis k liegen. Dann benutzt<br />
man weitere Spaltenumformungen um die Matrix auf die gewünschte Form<br />
zu bringen. Die Ausführung der Details dieses Arguments sei dem Leser als Übung<br />
überlassen.<br />
⊓⊔<br />
Übung 6.1.1. Betrachte die lineare Abbildung Φ: R 3 → R 2 mit<br />
Φ(x, y, z) = (x + y + z, x + y)<br />
und berechne A Φ bzgl. der Standardbasen. Kann man andere Basen finden, bzgl. derer Φ<br />
dieselbe Matrix hat? (Hinweis: Suche nach geeigneten Übergangsmatrizen.)<br />
Übung 6.1.2. Sei V = Mat(2 × 2, R) und A ∈ V . Definiere eine Abbildung ϕ: V → V<br />
durch ϕ(X) = XA + AX.<br />
(i) Zeige, dass ϕ linear ist.<br />
(ii) Gib eine spezielle Matrix A ∈ Mat(2 × 2, R) an, für die ϕ injektiv und surjektiv ist.<br />
(iii) Zeige, dass ϕ nicht injektiv ist, falls det(A) = 0.<br />
Übung 6.1.3. Sind die folgenden Matrizen ähnlich?<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0 0 0<br />
1 0 0 1<br />
A = ⎜ 0 2 0 1<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 3 0 ⎠ , B = ⎜ 0 2 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 3 0 ⎠ .<br />
0 0 0 1<br />
0 0 0 1<br />
Übung 6.1.4. Die Matrizen<br />
( ) 1 0<br />
E 11 = , E<br />
0 0 12 =<br />
( ) 0 1<br />
, E<br />
0 0 21 =<br />
( ) 0 0<br />
, E<br />
1 0 22 =<br />
( ) 0 0<br />
0 1<br />
bilden eine Basis B von Mat(2 × 2, C). Sei α die lineare Abbildung auf Mat(2 × 2, C)<br />
definiert durch
162 6 Lineare Abbildungen<br />
wobei<br />
α(X) := AX + XB,<br />
A =<br />
Man finde die Matrix von α bezüglich B.<br />
Übung 6.1.5. Es seien<br />
zwei Basen von R 2 .<br />
B =<br />
( ) 1 2<br />
, B =<br />
−1 0<br />
(( ( 2 1<br />
, , B<br />
1)<br />
3))<br />
′ =<br />
X ∈ Mat(2 × 2, C),<br />
( ) 2 0<br />
.<br />
3 1<br />
(( ) ( −1 2<br />
, ,<br />
1 3))<br />
1. Bestimme die Übergangsmatrix von B nach B ′ . Beschreibe den Vektor v = (0, 1) ⊤<br />
bezüglich der Basen B und B ′ und überprüfe in diesem Fall die Aussage von Satz<br />
6.1.1.<br />
2. Betrachte die lineare Abbildung ϕ : R 2 → R 3 , die bezüglich der Basis B von R 2 und<br />
der Standardbasis (e 1, e 2, e 3) von R 3 gegeben ist durch<br />
⎛ ⎞<br />
0 3<br />
A ϕ = ⎝ 1 2⎠ .<br />
−1 0<br />
Bestimme die Matrixdarstellung von ϕ bezüglich B ′ und (e 1, e 2, e 3).<br />
Übung 6.1.6. Sind die beiden Matrizen<br />
⎛ ⎞<br />
1 1 0<br />
⎝0 2 0⎠ ,<br />
0 0 1<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 1<br />
⎝0 2 0⎠ ∈ R 3×3<br />
0 0 1<br />
ähnlich?<br />
Übung 6.1.7. Es seien V, W K-Vektorräume mit den Basen B V = (v 1, v 2) von V und<br />
B W = (w 1, w 2, w 3) von W . Die lineare Abbildung ϕ : V → W habe bezüglich dieser Basen<br />
die Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
1 0<br />
A ϕ = ⎝ 2 −1⎠ .<br />
−3 1<br />
Es sei nun B ′ W = (w ′ 1, w ′ 2, w ′ 3) eine weitere Basis von W mit<br />
w 1 = w ′ 1 + 2 w ′ 2 ,<br />
w 2 = −w ′ 1 − 2 w ′ 3 ,<br />
w 3 = 3 w ′ 1 + w ′ 2 + w ′ 3 .<br />
Welche Matrix hat ϕ bezüglich der Basen B V und B ′ W ?<br />
Übung 6.1.8. Sei V := Pol 3(R, R) der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 3 mit Basis<br />
B = (f 0, f 1, f 2), wobei f k (x) = x k . Außerdem sei B ′ = (L 0, L 1, L 2) die Basis von V<br />
bestehend aus den Lagrange-Polynomen, wie sie in Übungsaufgabe 5 für x 0 = 0, x 1 = 1,<br />
x 2 = 2 definiert sind.<br />
1. Bestimme die Übergangsmatrix des Basiswechsels von B nach B ′ .<br />
2. Bestimme die Matrixdarstellung der Ableitungsabbildung ϕ : V → V , ϕ(p) = p ′<br />
bezüglich der folgenden Basen für Urbild- und Bildraum:<br />
(i) B, B, (ii) B ′ , B, (iii) B, B ′ , (iv) B ′ , B ′ .
6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren<br />
6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 163<br />
Eigenwerte sind Zahlen, die man quadratischen Matrizen sowie linearen Selbstabbildungen<br />
von Vektorräumen zuordnen kann, und die wichtige Eigenschaften dieser<br />
dieser Matrizen bzw. Endomorphismen beschreiben. Eigenvektoren sind dann solche<br />
Vektoren, die unter den entsprechenden Matrizenmultiplikationen bzw. Abbildungen<br />
auf Vielfache von sich selbst abgebildet werden. In den Anwendungen tauchen<br />
Eigenwerte zum Beispiel als Eigenfrequenzen von schwingenden Systemen auf. Eigenvektoren<br />
findet man als zum Beispiel als Hauptachsen von Trägheitstensoren in<br />
der Mechanik wieder.<br />
Definition 6.2.1. Sei ϕ ∈ Hom K (V, V ). Eine Zahl λ ∈ K heißt Eigenwert von ϕ,<br />
wenn es ein 0 ≠ v ∈ V mit ϕ(v) = λv gibt. Der Vektor v heißt dann Eigenvektor<br />
von ϕ zum Eigenwert λ. Für λ ∈ K heißt die Lösungsmenge von ϕ(v) = λv der<br />
Eigenraum von ϕ zum Eigenwert λ, falls sie von Null verschieden ist. Sie wird mit<br />
V λ bezeichnet.<br />
Sei A ∈ Mat(n × n, K). Eine Zahl λ ∈ K heißt Eigenwert von A, wenn es<br />
ein 0 ≠ v ∈ K n mit Av = λv gibt. Der Vektor v heißt dann Eigenvektor von<br />
A zum Eigenwert λ. Sei wieder λ ∈ K. Die Lösungsmenge von Av = λv heißt der<br />
Eigenraum von A zum Eigenwert λ falls sie von Null verschieden ist.<br />
Proposition 6.2.2. Seien ϕ ∈ Hom K (V, V ) und A ∈ Mat(n × n, K).<br />
(i) Sei 0 ≠ v ∈ V . Dann gibt es höchstens ein λ ∈ K so, dass v ein Eigenvektor<br />
von ϕ zum Eigenwert λ ist.<br />
(ii) Sei 0 ≠ v ∈ K n . Dann gibt es höchstens ein λ ∈ K so, dass v ein Eigenvektor<br />
von A zum Eigenwert λ ist.<br />
(iii) Wenn λ ∈ K, dann ist V λ ein Untervektorraum von V .<br />
(iv) Seien λ 1 , . . . , λ k verschiedene Eigenwerte von ϕ und 0 ≠ v j ∈ V λj . Dann ist<br />
{v 1 , . . . , v k } linear unabhängig.<br />
(v) Seien λ 1 , . . . , λ k paarweise verschiedene Eigenwerte von A und v j ein Eigenvektor<br />
von A zum Eigenwert λ i für j = 1, . . . k. Dann ist {v 1 , . . . , v k } linear<br />
unabhängig.<br />
Beweis. (i) Wenn λ 1 v = ϕ(v) = λ 2 v, dann gilt (λ 1 − λ 2 )v = 0, also λ 1 − λ 2 = 0,<br />
weil sonst<br />
1<br />
1<br />
v = (λ 1 − λ 2 )v = 0 = 0.<br />
λ 1 − λ 2 λ 1 − λ 2<br />
(ii) Analog zu (i).<br />
(iii) Wenn v, w ∈ V λ und r, s ∈ K, dann gilt<br />
ϕ(rv + sw) = rϕ(v) + sϕ(w) = rλv + sλw = λ(rv + sw).<br />
(iv) Induktion über k: Sei ∑ k<br />
j=1 c jv j = 0. Dann gilt<br />
( k∑ ) ( k∑ )<br />
0 = ϕ c j v j − λ 1 c j v j =<br />
j=1<br />
j=1<br />
k∑<br />
c j (λ j − λ 1 )v j .<br />
Induktion zeigt, dass {v 2 , . . . , v k } linear unabhängig ist, also folgt c 2 = . . . =<br />
c k = 0. Dann ist aber auch c 1 = 0.<br />
(v) Analog zu (iv).<br />
⊓⊔<br />
j=1
164 6 Lineare Abbildungen<br />
Proposition 6.2.2(i) zeigt insbesondere, dass man von dem zu einem Eigenvektor<br />
gehörigen Eigenwert sprechen kann.<br />
Satz 6.2.3. Die folgenden Aussagen für A ∈ Mat(n × n, K) sind äquivalent.<br />
(1) A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix.<br />
(2) K n hat eine Basis aus Eigenvektoren von A.<br />
Beweis. Idee: Die Diagonalelemente sind die Eigenwerte und die Übergangsmatrizen<br />
sind gerade die Übergangsmatrizen zwischen der Standardbasis und der Basis der Eigenvektoren.<br />
” (1)⇒(2)“: Wenn ⎛ ⎞<br />
d 1<br />
. ..<br />
d n<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎟<br />
⎠ = C −1 AC,<br />
dann gilt<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 0<br />
⎛ ⎞<br />
d 1 C −1 ⎜<br />
ACe j = ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
.<br />
.<br />
⎠<br />
1<br />
=<br />
d j<br />
= d j e j .<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
d n ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠<br />
0 0<br />
Wir setzen v j := Ce j und erhalten Av j = d j v j , d.h. die v j sind Eigenvektoren<br />
von A. Da C invertierbar ist, ist {v 1 , . . . , v n } eine Basis für K n (vgl. Lemma<br />
5.2.6).<br />
” (1)⇐(2)“: Sei {v 1, . . . , v n } eine Basis aus Eigenvektoren für K n und λ 1 , . . . , λ n<br />
die zugehörigen Eigenwerte (nicht notwendigerweise verschieden). Weiter sei<br />
C = (c ij ) die Übergangsmatrix von {e 1 , . . . , e n } nach {v 1 , . . . , v n }, d.h.<br />
Man erhält<br />
v j =<br />
n∑<br />
c ij e i = Ce j .<br />
i=1<br />
ACe j = Av j = λ j v j = C(λ j e j )<br />
und C −1 ACe j = λ j e j . Zusammen ergibt sich<br />
⎛ ⎞<br />
λ 1 0<br />
C −1 ⎜<br />
AC = ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 λ n<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 6.2.4. Im Beweis von Satz 6.2.3 wurde gezeigt, dass man als Matrix<br />
C, die die Ähnlichkeit von A zu einer Diagonalmatrix D via C −1 AC = D bewirkt,<br />
die Übergangsmatrix von der Standardbasis zur vorgegebenen Basis von Eigenvektoren<br />
wählen kann.<br />
⊓⊔<br />
Satz 6.2.5. Sei λ ∈ K. Dann sind für A ∈ Mat(n × n, K) äquivalent:
6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 165<br />
(1) Es existiert ein Eigenvektor v ∈ K n , so dass λ der zugehörige Eigenwert ist.<br />
(2) det(A − λ1) = 0.<br />
Beweis.<br />
∃v ≠ 0 : Av = λv ⇔ ∃v ≠ 0 : (A − λ1)v = 0<br />
⇔ A − λ1 ist nicht invertierbar (nach Satz 3.2.5)<br />
⇔ det(A − λ1) = 0 (nach Satz 4.2.7)<br />
⊓⊔<br />
( ) 3 0<br />
Beispiel 6.2.6. (i) Sei A = , dann ist (A − λ1) =<br />
0 2<br />
det(A − λ1) ( = (3 −)<br />
λ)(2 − λ) = 0 für λ 1 = 3 und λ 2 = 2.<br />
−2 1<br />
(ii) Für A =<br />
gilt<br />
1 −1<br />
( 3 − λ 0<br />
)<br />
0 2 − λ<br />
( )<br />
−2 − λ 1<br />
det(A − λ1) = det<br />
= (λ + 2)(λ + 1) − 1 = λ 2 + 3λ + 1.<br />
1 −1 − λ<br />
Die Nullstellen von λ ↦→ λ 2 + 3λ + 1 in R sind λ ± := −3±√ 5<br />
2<br />
. Die zugehörigen<br />
Eigenvektoren erhält man als Lösungen der (HLGS)<br />
( ( )<br />
−2 − λ+ 1<br />
0<br />
=<br />
0<br />
) ( )<br />
x1<br />
1 −1 − λ + x 2<br />
( ) ( )<br />
−2 − λ− 1 x1<br />
=<br />
1 −1 − λ − x 2<br />
( 0<br />
0<br />
)<br />
.<br />
und<br />
Diese Lösungen sind<br />
( ) 2<br />
c<br />
1 + √ 5<br />
und<br />
( ) 2<br />
c<br />
1 − √ .<br />
5<br />
Wir sehen insbesondere, dass A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.<br />
⊓⊔<br />
Übung 6.2.1. Bestimme die reellen Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume für die<br />
folgenden Matrizen:<br />
⎛ ⎞<br />
( ) ( )<br />
1 1 0<br />
2 1<br />
3 1<br />
A 1 = , A<br />
1 2<br />
2 = , A<br />
−2 4<br />
3 = ⎝0 1 1⎠ .<br />
0 0 1<br />
Bestimme für A 1 eine Matrix C ∈ GL(2, R), so dass C −1 AC = D eine Diagonalmatrix ist.<br />
Berechne A 1 5 .<br />
Übung 6.2.2. Sei V ein K-Vektorraum, ϕ ∈ Hom K(V, V ) und λ ∈ K ein Eigenwert von ϕ.<br />
Zeige: Ist ϕ invertierbar, so ist λ ≠ 0, und 1/λ ist ein Eigenwert von ϕ −1 .
166 6 Lineare Abbildungen<br />
6.3 Polynomfunktionen und charakteristisches Polynom<br />
In diesem Abschnitt untersuchen wir die Funktion λ ↦→ det(A − λ1), wie sie im<br />
letzten Abschnitt vorgekommen ist, systematisch. Wie in Beispiel 5.2.11 schon definiert,<br />
heißt eine Abbildung P : K → K eine Polynomfunktion, wenn sie von der<br />
Gestalt P (λ) = ∑ n<br />
j=0 a jλ j mit n ∈ N 0 und a j ∈ K ist (dabei setzt man λ 0 = 1 für<br />
alle λ ∈ K).<br />
Wir rufen den Raum Pol(K) aller Polynomfunktionen aus Beispiel 5.2.11 in Erinnerung.<br />
Definition 6.3.1. (i) Eine Nullstelle von P ∈ Pol(K) ist ein λ ∈ K mit P (λ) = 0.<br />
Wenn L ein Körper ist, in dem K enthalten ist, dann lässt sich P auch als<br />
Element von Pol(L) auffassen, indem man λ ↦→ ∑ n<br />
j=0 a jλ j für λ ∈ L betrachtet.<br />
Daher kann man auch von Nullstellen von P in L sprechen.<br />
(ii) Die Polynomfunktionen λ ↦→ aλ k mit a ≠ 0 heißen die Monome. Insbesondere<br />
nennen wir auch die Funktion λ ↦→ λ 0 := 1 ein Monom.<br />
Pol(K) ist ein K-Vektorraum und die Monome spannen Pol(K) auf. Im allgemeinen<br />
bilden die Polynomfunktionen λ ↦→ λ n mit n ∈ N jedoch keine Basis für Pol(K).<br />
D.h., wenn P ∈ Pol(K) von der Form P (λ) = ∑ n<br />
j=0 a jλ j ist, dann kann es durchaus<br />
passieren, dass P (λ) = 0 für alle λ ∈ K ist, obwohl nicht alle a j gleich Null sind.<br />
Betrachte zum Beispiel die Polynomfunktion λ ↦→ P (λ) := λ + λ 3 auf dem zweielementigen<br />
Körper K = {0, 1}. Wir werden jedoch sehen, dass solche Pathologien<br />
nicht auftreten können, wenn K unendlich viele Elemente hat.<br />
Allgemeiner können solche Pathologien vermieden werden, wenn wir die in Beispiel<br />
5.2.11 eingeführten Polynome aus K[X] anstatt Polynomfunktionen benutzen.<br />
Für diese bilden die {X j | j ∈ N 0 } eine Basis. Auch Polynome können multipliziert<br />
werden (in der selben Weise wie Polynomfunktionen, vgl. Beispiel 5.2.11,<br />
aber auch Bemerkung 6.3.5 weiter unten). Grob gesprochen liegt der Vorteil hier<br />
darin, dass die Operationen mit den X j sich nicht mit den Körperoperationen mischen“.<br />
Die ganze Theorie in diesem und dem nächsten Abschnitt kann also ohne ”<br />
die obigen Hindernisse entwickelt werden. Allerdings muss man dazu auch den Begriff<br />
der Nullstelle für Polynome einführen: Ein λ ∈ K ist eine Nullstelle von<br />
f(X) = ∑ n<br />
j=0 a jX j ∈ K[X], wenn f(λ) := ∑ n<br />
j=0 a jλ j = 0.<br />
Wenn wir voraussetzen, dass der Körper K unendlich viele Elemente hat, dann<br />
sind Pol(K) und K[X] isomorph und man kann alle Resultate über Pol(X) auch als<br />
Resultate über K[X] betrachten (Details dazu findet man in Bemerkung 6.3.5.<br />
Lemma 6.3.2 (Polynomdivision).<br />
∑<br />
Sei P (λ) = n a j λ j ∈ Pol(K). Wenn a ∈ K<br />
eine Nullstelle von P ist, dann gibt es ein Q ∈ Pol(K) mit Q(λ) = n−1 ∑<br />
b j λ j und<br />
P (λ) = (λ − a)Q(λ) für alle λ ∈ K. Wenn nicht alle a j gleich 0 sind, dann kann<br />
man auch die b j so wählen, dass nicht alle gleich 0 sind.<br />
Beweis. Idee: Stelle ein lineares Gleichungssystem für die Polynomkoeffizienten auf.<br />
j=0<br />
Durch Koeffizientenvergleich wird man durch die Rechnung<br />
j=0
n∑<br />
j=0<br />
auf das Gleichungssystem<br />
6.3 Polynomfunktionen und charakteristisches Polynom 167<br />
n−1<br />
∑<br />
a j λ j = (λ − a) b j λ j<br />
j=0<br />
j=0<br />
n−1<br />
∑<br />
n−1<br />
∑<br />
= b j λ j+1 − ab j λ j<br />
=<br />
n∑<br />
j=1<br />
j=0<br />
n−1<br />
∑<br />
b j−1 λ j − b j aλ j<br />
j=0<br />
n−1<br />
∑<br />
= −ab 0 + (b j−1 − b j a)λ j + b n−1 λ n .<br />
j=1<br />
(6.1)<br />
−ab 0 = a 0<br />
b 0 −ab 1 = a 1<br />
b 1 −ab 2 = a 2<br />
. .. . .<br />
b n−1 = a n<br />
b n−2 −ab n−1 = a n−1<br />
geführt, das man wie folgt schreiben kann:<br />
⎛<br />
⎞<br />
−a<br />
1 −a<br />
⎛<br />
1 −a<br />
1 . . ⎜<br />
.<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ⎟ .. −a ⎠<br />
1<br />
⎞<br />
b 0<br />
.<br />
b n−1<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛ ⎞<br />
a 0<br />
⎜<br />
⎝ .<br />
a n<br />
Jede Lösung (b 0 , . . . , b n−1 ) ⊤ von (6.1) liefert ein Q ∈ Pol(K) mit den gewünschten<br />
Eigenschaften: Q(λ) = ∑ n−1<br />
j=0 b jλ j und nicht alle b j können 0 sein, wenn die rechte<br />
Seite von (6.1) nicht Null ist. Um (6.1) zu lösen, betrachtet man zwei Fälle:<br />
1. Fall: Wenn a = 0, dann gilt P (0) = 0 = a 0 . Also ist b n−1 = a n , b n−2 =<br />
a n−1 , . . . , b 0 = a 1 eine Lösung.<br />
2. Fall: Wenn a ≠ 0, rechne<br />
⎟<br />
⎠ .
168 6 Lineare Abbildungen<br />
⎛<br />
⎞<br />
−a a 0<br />
1 −a a 1<br />
1 −a a 2<br />
1 . . . .<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ⎟<br />
.. −a an−1 ⎠<br />
1 a n<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 −a −1 a 0<br />
0 −a a 1 + a −1 a 0<br />
1 −a a 2<br />
❀<br />
. .. . .. ⎜<br />
.<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 −a −1 a 0<br />
0 1 −a −1 a 1 − a −2 a 0<br />
0 0 a 2 + a −1 a 1 + a −2 a 0<br />
❀<br />
❀ . . . ❀<br />
⎜ . .<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 −a −1 a 0<br />
1 −a −1 a 1 − a −2 a 0<br />
1 −a −1 a 2 − a −2 a 1 − a −3 a 0<br />
❀<br />
. .. .<br />
⎜<br />
.<br />
⎟<br />
⎝ 1 −a −1 a n−1 − a −2 a n−2 − . . . − a −n a 0<br />
⎠<br />
0 a n + a −1 a n−1 + . . . + a −n a 0<br />
Aber wegen a ≠ 0 gilt<br />
a n + a −1 a n−1 + . . . + a −n a 0 = a −n (a n a n + . . . + aa 1 + a 0 ) = a −n P (a) = 0.<br />
Also ist das System lösbar (vgl. Bemerkung 3.2.16).<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 6.3.3 (Hornerschema und Polynomdivision). Das Ergebnis in<br />
Lemma 6.3.2 kann man auch mit dem sogenannten Hornerschema zeigen:<br />
Behauptung: Sei p eine Polynomfunktion in Pol(K) mit p(x) = a n x n + . . . + a 0<br />
für x ∈ K, dann gilt für jedes y ∈ K mit y ≠ x, dass<br />
p(x) − p(y)<br />
x − y<br />
= b 0 x n−1 + . . . + b n−1 ,<br />
wobei die b 0 , b 1 , . . . durch die folgende Rekursion (Hornerschema) gegeben sind<br />
Weiterhin gilt b n = p(y).<br />
b 0 := a n ,<br />
b k := b k−1 y + a n−k for k = 1, . . . n.<br />
Beweis: Wir multiplizieren einfach und sammeln die Koeffizienten von x k , dann<br />
wenden wir die obige Rekursion an:
6.3 Polynomfunktionen und charakteristisches Polynom 169<br />
(x − y) · (b 0 x n−1 + b 1 x n−2 + . . . + b n−1 )<br />
= (b 0 x n + b 1 x n−1 + . . . + b n−1 x) − (b 0 yx n−1 + . . . + b n−1 y)<br />
= b 0 x n + (b 1 − b 0 y)x n−1 + . . . + (b n−1 − b n−2 y)x − b n−1 y<br />
= a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 x + a 0 − b n<br />
= p(x) − b n .<br />
Für diese Rechnung brauchen wir nicht vorauszusetzen, dass y ≠ x. Für x = y,<br />
erhalten wir also 0 = p(y) − b n , und somit<br />
(x − y) · (b 0 x n−1 + b 1 x n−2 + . . . + b n−1 ) = p(x) − b n = p(x) − p(y).<br />
Ist y eine Nullstelle von p(x), dann liefert das obige Resultat das Ergebnis in Lemma<br />
6.3.2.<br />
⊓⊔<br />
Satz 6.3.4. Sei P ∈ Pol(K) mit P (λ) =<br />
n ∑<br />
j=0<br />
Null. Dann hat P höchstens n Nullstellen in K.<br />
a j λ j und es seien nicht alle a j gleich<br />
Beweis. Idee: Dividiere alle Nullstellen mit Polynomdivision heraus.<br />
Wir führen den Beweis mit Induktion über n:<br />
” n = 0“: In diesem Fall gilt P (λ) = a 0 ≠ 0 und daher hat P keine Nullstelle.<br />
” n − 1 ❀ n“:<br />
1. Fall: Wenn P keine Nullstelle hat, sind wir fertig.<br />
2. Fall: Wenn P (a) = 0, dann wenden wir Lemma 6.3.2 an und erhalten ein Q ∈<br />
Pol(K) mit P (λ) = (λ − a) · Q(λ) und Q(λ) = n−1 ∑<br />
b j λ j für alle λ, wobei<br />
die b j das Gleichungssystem (6.1) erfüllen, also nicht alle 0 sein können.<br />
Jetzt können wir Induktion auf Q anwenden und erhalten, dass Q höchstens<br />
n − 1 Nullstellen hat. Die Polynomfunktion λ ↦→ λ − a hat aber genau eine<br />
Nullstelle, nämlich a. Also hat P hat höchstens n Nullstellen.<br />
j=0<br />
⊓⊔<br />
Man kann Satz 6.3.4 auch mithilfe der Vandermonde-Determinanten beweisen.<br />
Dazu formulieren wir den Satz 6.3.4 zunächst etwas um:<br />
Satz 6.3.4 ′ Wenn eine Polynomfunktion P (λ) = ∑ n<br />
j=0 a jλ j mit a j ∈ K mindestens<br />
n + 1 Nullstellen hat, dann sind alle a j gleich Null.<br />
Beweis. Betrachte verschiedene Nullstellen x 1 , . . . , x n+1 ∈ K von P (λ). Dann gilt<br />
0 = P (x i ) = a 0 + a 1 x i + a 2 x 2 i + . . . + a n x n i (6.2)<br />
für i = 1, . . . , n + 1. Damit wird (6.2) zu einem homogenen linearen Gleichungssystem<br />
der folgenden Gestalt<br />
⎛ ⎞<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 x 1 . . . x n a 0<br />
1<br />
⎜<br />
⎟<br />
a 1<br />
⎝ . . ⎠ · ⎜ ⎟ = 0. (6.3)<br />
⎝<br />
1 x n+1 . . . x n . ⎠<br />
n+1<br />
a n<br />
Die Koeffizientenmatrix V dieses Systems ist gerade eine Vandermondesche Matrix.<br />
Wegen Beispiel 4.3.2 gilt
170 6 Lineare Abbildungen<br />
det V = ∏ j>i(x j − x i ) ≠ 0,<br />
da die x i paarweise verschieden sind. Deshalb ist V nach Theorem 4.2.7(i) invertierbar,<br />
und somit hat (6.3) nur eine Lösung, nämlich den Nullvektor. Das bedeutet,<br />
dass a i = 0 für i = 0, . . . , n.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 6.3.5. Der Körper K habe unendlich viele Elemente.<br />
(i) Aus Satz 6.3.4 kann man ableiten, dass die Monome {λ ↦→ λ k | k ∈ N 0 } eine<br />
Basis für Pol(K) bilden: Weil K mehr als n Elemente hat, folgt mit Satz 6.3.4 aus<br />
P (λ) = ∑ n<br />
j=0 a jλ j = 0 für alle λ ∈ K, dass alle a j gleich 0 sein müssen. Damit<br />
sind die Monome linear unabhängig. Aber sie spannen Pol(K) nach Definition<br />
auf.<br />
(ii) Wegen (i) kann man jedem Monom λ ↦→ λ k seinen (durch die Funktion eindeutig<br />
bestimmten) Grad k zuordnen. Insbesondere ist der Grad von λ ↦→ λ 0 = 1<br />
gleich<br />
∑<br />
0. Allgemeiner nennt man für eine Polynomfunktion λ ↦→ f(λ) :=<br />
n<br />
j=0 a jλ j mit a n ≠ 0 die Zahl n den Grad von f. Man setzt oft Grad 0 := −∞.<br />
(iii) Pol(K) nach (i) isomorph zum Vektorraum K[X] (vgl. Beispiel 5.2.11) aller<br />
Polynome (d.h. Folgen (a n ) n∈N0 in K, für die nur endlich viele k n von Null<br />
verschieden sind):<br />
ϕ: K[X] → Pol(K), (a n ) n∈N0 ↦→ (λ ↦→ ∑ a n λ n ).<br />
n∈N 0<br />
Darum macht man für unendliche Körper keinen Unterschied zwischen Polynomen<br />
und Polynomfunktionen. Insbesondere nennt man in diesem Fall eine<br />
Polynomfunktion auch einfach ein Polynom.<br />
(iv) Man kann Polynomfunktionen nicht nur addieren, sondern auch punktweise<br />
multiplizieren. Überträgt man dieses Produkt mit ϕ auf K[X], so erhält man<br />
mit<br />
(a n ) n∈N0 (b n ) n∈N0 = (c n ) n∈N0<br />
c n =<br />
n∑<br />
a j b n−j .<br />
j=0<br />
Dieses Produkt kann man natürlich auch für endliche Körper definieren.<br />
Setze X := {0, 1, 0, . . .} ∈ K[X]. Mit obigem Produkt erhält man dann, in<br />
Übereinstimmung mit der Notation aus dem Beispiel 5.2.11,<br />
X k := X<br />
}<br />
·<br />
{{<br />
· · X<br />
}<br />
= { 0, . . . , 0 , 1, 0, . . .} ∈ K[X].<br />
} {{ }<br />
k Faktoren (k − 1)-mal<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 6.3.6. Auf K = R hat das Polynom P (λ) = 5λ 8 + 1 den Grad 8. Ein<br />
Polynom der Form P (λ) = aλ+b hat Grad kleiner gleich 1. Genauer gilt Grad P = 1<br />
für a ≠ 0 und Grad P = 0 für a = 0 und b ≠ 0. Wenn a = b = 0 ist, dann haben<br />
wir Grad P = −∞ ≤ 1.<br />
⊓⊔
6.3 Polynomfunktionen und charakteristisches Polynom 171<br />
Definition 6.3.7. Sei A ∈ Mat(n × n, K). Dann heißt<br />
n∑<br />
tr(A) := a ii<br />
i=1<br />
die Spur von A.<br />
Bemerkung 6.3.8. Seien A, B ∈ Mat(n×n, K), dann kann man durch eine direkte<br />
Rechnung sehen, dass tr(AB) = tr(BA) gilt. Dafür setzen wir A = (a ij ) und B =<br />
(b ij ):<br />
n∑ n∑<br />
n∑ n∑<br />
tr(AB) = a lk b kl = b kl a lk = tr(BA).<br />
k=1 l=1<br />
l=1 k=1<br />
⊓⊔<br />
Satz 6.3.9. Sei K ein Körper und A ∈ Mat(n × n, K). Betrachte die Polynomfunktion<br />
χ A : K → K<br />
λ ↦→ det(A − λ1)<br />
Wenn K unendlich viele Elemente hat, dann gilt für die eindeutig bestimmte Darstellung<br />
der Form χ A (λ) = ∑ n<br />
j=0 a jλ j , dass<br />
a n = (−1) n ,<br />
a n−1 = (−1) n−1 tr(A),<br />
a 0 = det(A).<br />
Beweis. Idee: Benutze die Definition der Determinante als alternierende Summe.<br />
Nach Definition gilt<br />
χ A (λ) = ∑<br />
σ∈S n<br />
sign(σ)(a 1σ(1) − λδ 1σ(1) ) · . . . · (a nσ(n) − λδ nσ(n) ).<br />
Man multipliziert die Produkte aus und gruppiert die Summe dann nach Potenzen<br />
von λ um. Als Ergebnis erhält man:<br />
Koeffizient von λ n :<br />
∑<br />
sign(σ)(−1) n δ 1σ(1)···δ nσ(n) = (−1) n .<br />
} {{ }<br />
σ∈S n ⎧<br />
⎨ 1 σ = id<br />
=<br />
⎩ 0 sonst<br />
Koeffizient von λ n−1 :<br />
∑<br />
σ∈S n<br />
sign(σ)(−1) n−1 (a 1σ(1) δ 2σ(2) · · · δ nσ(n) + a 2σ(2) δ 1σ(1) δ 3σ(3) · · · δ nσ(n) + . . . +<br />
+a nσ(n) δ 1σ(1) · · · δ n−1σ(n−1) )<br />
= (−1) n−1 (a 11 + . . . + a nn ).<br />
Koeffizient von 1 = λ 0 :<br />
∑<br />
σ∈S n<br />
sign(σ)a 1σ(1) · · · a nσ(n) = det(A).<br />
⊓⊔
172 6 Lineare Abbildungen<br />
Definition 6.3.10. Sei K ein Körper und A ∈ Mat(n × n, K). Man bezeichnet<br />
χ A (X) := ∑<br />
σ∈S n<br />
sign(σ)(a 1σ(1) − δ 1σ(1) X) · . . . · (a nσ(n) − δ nσ(n) X) ∈ K[X].<br />
als das charakteristische Polynom von A.<br />
Man nennt üblicherweise auch die Polynomfunktion λ ↦→ χ A (λ) das charakteristische<br />
Polynom von A. Wirklich berechtigt ist das aber nur, wenn K unendlich<br />
viele Elemente hat. Andernfalls muss man sich immer vergewissern, ob das charakteristische<br />
Polynom oder die Polynomfunktion λ ↦→ det(A − λ1) gemeint ist. Wenn<br />
betont werden soll, dass man von der Polynomfunktion λ ↦→ χ A (λ) spricht, wird in<br />
diesem Text der Name charakteristische Polynomfunktion benutzt, der in der<br />
Literatur aber nicht gebräuchlich ist.<br />
Satz 6.3.11. Seien A ′ , A ∈ Mat(n × n, K) und C ∈ GL(n, K) mit A ′ = C −1 AC.<br />
Dann gilt für alle λ ∈ K.<br />
χ A ′(λ) = χ A (λ).<br />
Beweis.<br />
χ A ′(λ) = det(A ′ − λ1)<br />
= det(C −1 AC − λC −1 1C)<br />
= det(C −1 (A − λ1)C)<br />
= det(C −1 ) det(A − λ1) det(C)<br />
= χ A (λ)<br />
⊓⊔<br />
Man kann zeigen, dass man auch für quadratische Matrizen, deren Einträge<br />
in K[X] liegen, durch die alternierende Summe in Definition 4.2 Determinanten<br />
definieren, kann, für die alle Regeln, die im Beweis von Satz 6.3.11 benutzt worden,<br />
ihre Gültigkeit behalten. Die Aussage von Satz 6.3.11 wird dann zu χ A ′(X) =<br />
χ A (X), d.h. die charakteristischen Polynome ähnlicher Matrizen sind gleich. Für<br />
Körper mit unendlich vielen Elementen bekommen wir das wegen der Isomorphie<br />
von Pol(K) ∼ = K[X] direkt aus Satz 6.3.11.<br />
Definition 6.3.12. Sei K ein Körper und V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum.<br />
Für ϕ ∈ End K (V ) definiert man das charakteristische Polynom χ ϕ (X) von ϕ<br />
durch<br />
χ ϕ (X) := χ Aϕ (X),<br />
wobei A ϕ die darstellende Matrix von ϕ bezüglich einer beliebigen Basis für V ist.<br />
Analog kann man die charakteristische Polynomfunktion χ ϕ von ϕ durch<br />
für alle λ ∈ K definieren.<br />
χ ϕ (λ) := χ Aϕ (λ)<br />
Proposition 6.3.13. Sei K ein Körper, A, A ′ ∈ Mat(n × n, K) und C ∈ GL(n, K).<br />
Wenn A ′ = C −1 AC gilt, dann folgt
(i) det(A ′ ) = det(A).<br />
(ii) tr(A ′ ) = tr(A).<br />
(iii) A ′ und A haben dieselben Eigenwerte.<br />
6.3 Polynomfunktionen und charakteristisches Polynom 173<br />
Beweis. (i) folgt sofort aus Satz 4.2.7, weil man damit<br />
det(C −1 AC) = det(C −1 ) det(A) det(C) = det(A) det(1) = det(A)<br />
erhält, und (ii) folgt aus Bemerkung 6.3.8 via<br />
tr(C −1 AC) = tr(ACC −1 ) = tr(A).<br />
Wenn K unendlich viele Elemente hat folgen beide Punkte durch Kombination von<br />
Satz 6.3.9 mit Satz 6.3.11. Teil (iii) ist eine unmittelbare Konsequenz von Satz 6.3.11<br />
und Definition 6.2.1.<br />
⊓⊔<br />
Beachte, dass Proposition 6.3.13 nichts über die Eigenvektoren von A und A ′<br />
aussagt. Diese werden i.a. verschieden sein. Genauer, wenn A ′ = C −1 AC, dann gilt<br />
Av = λv genau dann, wenn A ′ (C −1 v) = λ(C −1 v).<br />
Definition 6.3.14. Sei K ein Körper und V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum.<br />
Für ϕ ∈ End K (V ) definiert man das die Spur tr ϕ und die Determinante det ϕ<br />
durch<br />
tr ϕ := tr Aϕ und det ϕ := det Aϕ ,<br />
wobei A ϕ die darstellende Matrix von ϕ bezüglich einer beliebigen Basis für V ist.<br />
In Bemerkung 6.3.8 wurde gezeigt, dass tr(AB) = tr(BA). Für die Determinate<br />
erhält man det(AB) = det(BA) unmittelbar aus Satz 4.2.7. Nun wollen wir zeigen,<br />
dass analoge Aussagen auch für das charakteristische Polynom und damit für alle<br />
seine Koeffizienten gilt.<br />
Satz 6.3.15. Sei K ein Körper und A, B ∈ Mat(n × n, K). Dann gilt die folgende<br />
Gleichheit von Polynomfunktionen:<br />
χ AB = χ BA .<br />
Beweis. Idee: Man führt die Aussage Satz 6.3.11 auf den Fall A 2 = A zurück, den man<br />
wiederum mit Satz 6.1.7 beweisen kann.<br />
(i) Wir betrachten zunächst den Spezialfall, dass A 2 = A gilt. Sei ϕ die lineare<br />
Selbstabbildung von K n , welche zu A gehört. Dann ist ϕ eine Projektion und<br />
nach Beispiel 5.5.13 gibt es eine Basis für K n bezüglich der die darstellende<br />
Matrix von ϕ bezüglich dieser Basis die Gestalt<br />
( )<br />
1r 0<br />
0 0<br />
hat. Wegen Theorem 6.1.3 gibt es eine invertierbare Matrix mit<br />
( )<br />
P −1 1r 0<br />
AP = . (∗)<br />
0 0<br />
Wir zerlegen P −1 BP in der gleichen Weise in Blockmatrizen wie sie in (∗)<br />
vorkommen, d.h.
174 6 Lineare Abbildungen<br />
P −1 BP =<br />
( ) C D<br />
E F<br />
mit C ∈ Mat(r × r, K), D ∈ Mat(r × (n − r)), K, E ∈ Mat((n − r) × r, K), und<br />
D ∈ Mat((n − r) × (n − r)). Dann haben wir<br />
( ) ( ) ( )<br />
P −1 ABP = P −1 AP · P −1 1r 0 C D C D<br />
BP = · =<br />
0 0 E F 0 0<br />
und<br />
P −1 BAP = P −1 BP · P −1 AP =<br />
( ) C D<br />
·<br />
E F<br />
( )<br />
1r 0<br />
=<br />
0 0<br />
( ) C 0<br />
.<br />
E 0<br />
Die zwei letzten Matrizen in diesen Gleichungen haben nach der Kästchenregel<br />
in Bemerkung 4.3.1 dieselbe charakteristische Polynomfunktion. Somit erhalten<br />
wir mit Satz 6.3.11, dass<br />
χ AB (λ) = χ P −1 ABP (λ) = χ P −1 BAP (λ) = χ BA (λ).<br />
(ii) Nun betrachten wir den allgemeinen Fall. Dazu zeigen wir die folgende Behauptung,<br />
welche von eigenständigem Interesse ist:<br />
Behauptung: Für jedes A ∈ Mat(n × n, K), gibt es Matrizen P, Q ∈ GL(n, K)<br />
so, dass (P −1 AQ) 2 = P −1 AQ gilt.<br />
Wenn diese Behauptung gezeigt ist, folgt unsere ursprüngliche Aussage mit<br />
Satz 6.3.11 durch Anwendung von (ii) auf P −1 AQ und Q −1 BP :<br />
χ AB (λ) = χ (P −1 AQ)(Q−1BP )(λ) = χ (Q −1 BP )(P −1 AQ)(λ) = χ BA (λ).<br />
Beweis der Behauptung: Nach Satz 6.1.7 gibt es Basen {v 1 , . . . , v n } und<br />
{v 1, ′ . . . , v n} ′ für K n , bzgl. der die ( lineare ) Abbildung ϕ A : K n → K n , x ↦→ Ax<br />
1r 0<br />
die darstellende Matrix A ϕ = mit r = Rang A hat. Dann kann man<br />
0 0<br />
nach Satz 6.1.3 die Übergangsmatrizen von der Standardbasis zu {v 1 , . . . , v n }<br />
und {v 1, ′ . . . , v n} ′ als P und Q wählen, weil A 2 ϕ = A ϕ gilt.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 6.3.16. Betrachte<br />
( )<br />
4 2<br />
∈ Mat(2 × 2, R). Dann rechnet man<br />
3 −1<br />
χ A (λ) = det(A − λ1)<br />
( )<br />
4 − λ 2<br />
= det<br />
3 −1 − λ<br />
= (4 − λ)(−1 − λ) − 6<br />
= λ 2 − 3λ − 10.<br />
Die Eigenwerte von A, d.h. die Nullstellen von χ A sind gegeben durch<br />
λ ± = 3 ± √ 9 + 40<br />
= 3 ± 7 {<br />
5<br />
=<br />
2 2 −2<br />
Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = 5 sind die von Null verschiedenen Lösungen<br />
des homogenen linearen Gleichungssystems (A − 5 · 1)x = 0, d.h. hier
6.3 Polynomfunktionen und charakteristisches Polynom 175<br />
( 2<br />
x = µ<br />
1)<br />
mit µ ∈ R \ {0}. Analog sind die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = −2 sind die<br />
von Null verschiedenen Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems (A +<br />
2 · 1)x = 0, d.h.<br />
x = µ<br />
{( ( )}<br />
2 −1<br />
mit µ ∈ R \ {0}. Da ,<br />
1)<br />
3<br />
ähnlich zu einer Diagonalmatrix.<br />
( ) 5 1<br />
Beispiel 6.3.17. Betrachte<br />
( ) −1<br />
3<br />
eine Basis für R 2 ist, ist A nach Satz 6.2.3<br />
∈ Mat(2×2, R). Dann ist χ A (λ) = (λ−3) 2 und<br />
−4 1<br />
λ = 3 ist der einzige Eigenwert von A. Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = 3 sind<br />
die von Null verschiedenen Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems<br />
(A − 3 · 1)x = 0, d.h.<br />
x = µ<br />
( ) −1<br />
−2<br />
mit µ ∈ R \ {0}. Also gibt es keine Basis aus Eigenvektoren und A ist nach Satz<br />
6.2.3 nicht ähnlich zu einer Diagonalmatrix. ⊓⊔<br />
( ) 2 −5<br />
Beispiel 6.3.18. Betrachte ∈ Mat(2 × 2, R). Dann ist χ<br />
1 −2<br />
A (λ) = λ 2 + 1 und<br />
es gibt keinen Eigenwert von A in R. Wir können allerdings A auch als komplexe<br />
Matrix, d.h. als Element von Mat(2 × 2, C) betrachten. Man rechnet sofort nach,<br />
dass ±i Nullstellen des komplexen Polynoms λ 2 + 1 sind. Da es nicht mehr als zwei<br />
Nullstellen geben kann, sind also die Eigenwerte von A, betrachtet als komplexe<br />
Matrix, gerade i und −i.<br />
Die Eigenvektoren in C 2 zum Eigenwert λ = ±i sind die von Null verschiedenen<br />
Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems (A ∓ i · 1)x = 0, d.h.<br />
( ) 2 ∓ i<br />
x = µ<br />
1<br />
mit µ ∈ C \ {0}. Also gibt es eine Basis aus Eigenvektoren und A ist nach Satz 6.2.3<br />
ähnlich zu einer Diagonalmatrix in Mat(2 × 2, C).<br />
⊓⊔<br />
⊓⊔<br />
Das in Beispiel 6.3.18 vorgeführte Verhalten ist typisch. Man findet über C<br />
immer Eigenwerte und Eigenvektoren. Der Grund dafür ist der Fundamentalsatz<br />
der Algebra, der besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom über C eine Nullstelle<br />
hat und der am einfachsten mit Funktionentheorie (Stoff des 4. Semesters) bewiesen<br />
wird.<br />
Satz 6.3.19 (Fundamentalsatz der Algebra). Jedes Polynom über C zerfällt<br />
in Linearfaktoren, d.h. jedes Polynom ist von der Form<br />
P (λ) = c(λ − λ 1 ) · · · (λ − λ n ),<br />
wobei die λ j ∈ C nicht notwendigerweise verschieden sind.<br />
⊓⊔
176 6 Lineare Abbildungen<br />
Übung 6.3.1. Finde Eigenwerte und Eigenvektoren von<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
13 0 −4 6 −3 0<br />
⎝ 0 10 0 ⎠ , ⎝ −8 4 −8 ⎠ ,<br />
−4 0 7 2 −1 8<br />
( ) −1 0<br />
.<br />
2 3<br />
Übung 6.3.2. Zeige: Die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind gerade die Zahlen auf der<br />
Diagonale.<br />
Übung 6.3.3. Sei Φ: V → V K-linear (dim(V ) < ∞) und A Φ die Matrix von Φ bezüglich<br />
einer Basis. Zeige: Die Menge der Eigenwerte von A Φ hängt nicht von der Basis ab.<br />
Übung 6.3.4. Sei V der Vektorraum aller Funktionen f : R → R der Form f(x) = ax 2 +<br />
bx + c. Definiere Φ: V → V durch<br />
Φf(x) := (x 4 + 2x 3 − 3 2 − x + 1)f ′′ (x) + (−2x 3 − 2x 2 + 2x)f ′ (x) + (2x 2 − 1)f(x).<br />
(i) Zeige, dass Φ R-linear ist.<br />
(ii) Finde Eigenwerte und Eigenvektoren von Φ.<br />
Übung 6.3.5. Sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen und A ∈ Mat(n × n, K).<br />
Zeige:<br />
(i) χ cA(λ) = c n χ A(c −1 λ) für alle c ∈ K \ {0}.<br />
(ii) Wenn A t = −A, dann gilt<br />
χ A(−λ) = (−1) n χ A(λ).<br />
(iii) Wenn A ∈ GL(n, K), dann gilt<br />
χ A −1(λ) =<br />
1<br />
det(A) (−λ)n χ A(λ −1 ).<br />
Übung 6.3.6. (a) Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von<br />
⎛ ⎞<br />
3 1 −1<br />
⎝ 2 2 −1 ⎠ .<br />
1 1 1<br />
(b) Wie sieht die Matrix bzgl. der Basis {e 1, e 1 + e 2, e 1 + e 2 + e 3} aus?<br />
Übung 6.3.7. Die Abbildung ϕ: R 3 → R 3 sei gegeben durch:<br />
⎛<br />
1<br />
⎞ ⎛<br />
4<br />
⎞ ⎛<br />
0<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
⎛<br />
0<br />
⎞<br />
ϕ ⎝ 0 ⎠ = ⎝ 4 ⎠ , ϕ ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 4 ⎠ , ϕ ⎝ 1 ⎠ =<br />
−1 −2 −1 2 −1<br />
(a) Bestimme die Matrix von ϕ bzgl. der Standardbasis.<br />
(b) Bestimme die Eigenwerte.<br />
(c) Bestimme die zugehörigen Eigenvektoren.<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎞<br />
3<br />
8 ⎠ .<br />
−2<br />
Übung 6.3.8. Die Abbildung ϕ: Mat(2×2, R) → Mat(2×2, R) sei definiert durch ϕ(X) =<br />
CX, wobei C eine fest gewählte Matrix aus Mat(2 × 2, R) ist.<br />
(a) Zeige, dass ϕ R-linear ist.<br />
(b) Bestimme die Matrix von ϕ bzgl. der Basis<br />
{ ( ) ( 1 0<br />
0 1<br />
B 1 = , B<br />
0 0 2 =<br />
0 0<br />
des Raumes Mat(2 × 2, R).<br />
(c) Zeige die Beziehung χ Aϕ (λ) = ( χ C(λ) )2 .<br />
(d) Welche Eigenwerte hat ϕ im Fall C =<br />
)<br />
, B 3 =<br />
( 0 0<br />
1 0<br />
)<br />
?<br />
( ) 0 0<br />
, B<br />
1 0 4 =<br />
( )} 0 0<br />
0 1
6.4 Diagonalisierbarkeit 177<br />
Übung 6.3.9. Sei V = Mat(3 × 3, C).<br />
(i) Zeige, dass die Vorschrift ϕ(M) = −M t eine lineare Abbildung ϕ: V → V definiert.<br />
(ii) Finde eine Basis für V und gib die Matrix A ϕ von ϕ bzgl. dieser Basis an.<br />
(iii) Zeige, dass ϕ nur die Eigenwerte 1 und −1 hat.<br />
(iv) Bestimme die Eigenräume von ϕ zu den Eigenwerten 1 und −1.<br />
Übung 6.3.10. Bestimme die charakteristischen Polynome folgender Matrizen:<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎛ ⎞<br />
2 5 2 3 −1<br />
13 0 −4<br />
0 −3 7 1 −4<br />
⎝ 0 10 0 ⎠ ,<br />
⎜ 0 0 5 1 0<br />
⎟<br />
−4 0 7 ⎝ 0 0 0 −2 0 ⎠ .<br />
0 4 4 1 5<br />
Übung 6.3.11. Man ermittle die Eigenwerte der folgenden Matrizen und gebe den jeweils<br />
zugehörigen Eigenraum an.<br />
⎛ ⎞<br />
1 1 0<br />
A 1 = ⎝ 0 1 1 ⎠ ,<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
A 2 = ⎝ 0 1 1 ⎠ ,<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
A 3 = ⎝ 0 1 0 ⎠ ,<br />
0 0 1<br />
0 0 1<br />
0 0 1<br />
⎛ ⎞<br />
1 1 0<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
A 4 = ⎝ 0 1 1 ⎠ , A 5 = ⎝ 0 1 1 ⎠ , A 6 = ⎝ 0 1 0 ⎠ .<br />
0 0 2<br />
0 0 2<br />
0 0 2<br />
Übung 6.3.12. Sei V der Vektorraum der reellen Folgen a = (a 0, a 1, a 2, . . .) und ϕ: V → V<br />
definiert durch ϕ(a) = (a 1, 2a 2, 3a 3, . . .).<br />
(i) Zeige, dass ϕ linear ist und bestimme den Kern von ϕ.<br />
(ii) Zeige, dass jede reelle Zahl ein Eigenwert von ϕ ist.<br />
(iii) Sei U der Unterraum von V , der aus allen Folgen besteht, die nur endlich viele von<br />
Null verschiedene Folgenglieder haben. Zeige, dass ϕ(U) ⊆ U.<br />
(iv) Welche Zahlen kommen als Eigenwerte von ϕ| U vor?<br />
Übung 6.3.13. Es sei A = (a ij) ∈ Mat(n × n, C) mit a ij = 1 für i, j = 1, . . . , n. Bestimme<br />
die Eigenwerte und Eigenräume von A.<br />
Übung 6.3.14. Sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen, V ein K-Vektorraum,<br />
dim V < ∞, und ϕ ∈ End K(V ) mit charakteristischer Polynomfunktion χ ϕ. Sei µ ∈ K und<br />
χ ϕ(λ) = (λ − µ) r · g(λ) für ein r ∈ N 0 und mit einer Polynomfunktion g, für die g(µ) ≠ 0<br />
gilt. Zeige:<br />
1. µ ist Eigenwert von ϕ genau dann, wenn r > 0,<br />
2. r ≥ dim ker (ϕ − µ · id V ).<br />
Übung 6.3.15. Sei V der Vektorraum der reellen Folgen a = (a 0, a 1, a 2, . . .) und sei<br />
ϕ: V → V die lineare Abbildung definiert durch ϕ(a) = (a 1, 2a 2, 3a 3, . . .).<br />
1. Zeige, dass jede reelle Zahl ein Eigenwert von ϕ ist.<br />
2. Sei U der Unterraum von V , der aus allen Folgen besteht, die nur endlich viele von<br />
Null verschiedene Folgenglieder haben. Zeige, dass ϕ(U) ⊆ U.<br />
3. Welche Zahlen kommen als Eigenwerte von ϕ| U vor?<br />
6.4 Diagonalisierbarkeit<br />
Definition 6.4.1. Eine Matrix heißt diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer<br />
Diagonalmatrix ist (vgl. Satz 6.2.3).
178 6 Lineare Abbildungen<br />
Proposition 6.4.2. Sei K ein Körper und A ∈ Mat(n × n, K).<br />
(i) Wenn A diagonalisierbar ist, dann zerfällt χ A (λ) in Linearfaktoren, d.h.<br />
χ A (λ) = c(λ − λ 1 ) · · · (λ − λ n )<br />
mit c, λ j ∈ K. Es gilt c ≠ 0K.<br />
(ii) Wenn χ A (λ) = c(λ − λ 1 ) · · · (λ − λ n ) mit c ≠ 0 und λ i ≠ λ j für i ≠ j, dann ist<br />
A diagonalisierbar.<br />
Beweis. Idee: Den ersten Teil rechnet man mithilfe von Satz 6.3.11 einfach. Den zweiten<br />
Teil führt man mit Satz 6.2.5 und Proposition 6.2.2(iv) auf Satz 6.2.3 zurück.<br />
(i) Sei<br />
C −1 AC =<br />
⎛ ⎞<br />
λ 1<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
λ n<br />
Dann gilt<br />
⎛<br />
⎞<br />
λ 1 − λ<br />
⎜<br />
χ A (λ) = χ C −1 AC(λ) = det ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠ = (−1) n (λ − λ 1 ) · · · (λ − λ n ).<br />
λ n − λ<br />
(ii) Die Zahlen λ 1 , . . . , λ n sind nach Satz 6.2.5 die Eigenwerte von A. Seien v 1 , . . . , v n<br />
dazugehörige Eigenvektoren. Nach Proposition 6.2.2(iv) ist {v 1 , . . . , v n } linear<br />
unabhängig, also eine Basis für K n . Satz 6.2.3 zeigt jetzt, dass A diagonalisierbar<br />
ist.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 6.4.3. Betrachte die Rotationsmatrizen<br />
( )<br />
cos α sin α<br />
A =<br />
.<br />
− sin α cos α<br />
Das charakteristische Polynom ist χ A (λ) = (cos α − λ) 2 + sin 2 α, das über R genau<br />
dann verschwindet, wenn<br />
sin 2 α = 0 und λ = cos α.<br />
Das kann aber nur passieren, wenn α = 0 oder α = π. In diesen Fällen gilt<br />
( )<br />
( )<br />
1 0<br />
−1 0<br />
A = bzw. A =<br />
.<br />
0 1<br />
0 −1<br />
Über C kann man immer zwei Nullstellen finden:<br />
λ 1/2 = cos α ± i sin α,<br />
d.h. über C lässt sich jede Rotationsmatrix diagonalisieren.<br />
⊓⊔
Beispiel 6.4.4. Betrachte die Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
a 1 0<br />
. .. . ..<br />
A = ⎜ ⎟ ∈ Mat(n × n, K).<br />
⎝ a 1 ⎠<br />
0 a<br />
6.4 Diagonalisierbarkeit 179<br />
So eine Matrix nennt man einen Jordan-Block. Das charakteristische Polynom<br />
χ A (λ) = (a − λ) n hat nur eine Nullstelle, nämlich λ = a. Um die zugehörigen<br />
Eigenvektoren zu finden, lösen wir<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞ x<br />
0 1 0 1<br />
⎛ ⎞<br />
x 2<br />
. .. . ..<br />
.<br />
0 = (A − a1)x = ⎜ ⎟<br />
= ⎜ .<br />
⎟<br />
⎝ 0 1 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝<br />
⎝ x<br />
0 0 n−1<br />
⎠ x n<br />
⎠ ,<br />
0<br />
x n<br />
d.h., der Eigenraum zum Eigenwert a ist Ke 1 . Also kann A nicht diagonalisierbar<br />
sein, wenn n > 1 ist.<br />
⊓⊔<br />
Satz 6.4.5. Sei K ein Körper und A ∈ Mat(n × n, K). Dann sind äquivalent:<br />
(1) A ist diagonalisierbar.<br />
(2) (a) χ A (λ) = (λ 1 − λ) r1 · · · (λ k − λ) r k<br />
mit paarweise verschiedenen λ 1 , . . . , λ k<br />
und r 1 + . . . + r k = n.<br />
(b) Rang(A − λ j 1) = n − r j , d.h. dim V λj = r j .<br />
Beweis. Idee: Die Implikation (1) ⇒ (2)“ erhält man durch Nachrechnen, wobei man<br />
”<br />
A − λ j1 als lineare Abbildung ϕ j betrachtet und Satz 5.4.7 mit Satz 5.3.9 kombiniert.<br />
Für die Umkehrung wählt man beliebige Basen für die eigenräume um die Aussage auf<br />
Satz 6.2.3 zurückzuführen.<br />
(1) ⇒ (2)“: Wenn A diagonalisierbar ist, findet man eine Übergangangsmatrix C<br />
”<br />
mit<br />
⎛ ⎞<br />
µ 1 0<br />
A ′ = C −1 ⎜<br />
AC = ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
0 µ n<br />
Indem man Zeilen und Spalten simultan vertauscht, d.h. als Übergangsmatrizen<br />
Elementarmatrizen vom Typ I benützt, kann man erreichen, dass die gleichen<br />
Eigenwerte zu Blöcken zusammengefasst werden:<br />
⎛<br />
λ 1 0<br />
. .. λ 1 λ 2 . .. A ′ = C −1 AC =<br />
λ 2 .<br />
. .. λ k ⎜<br />
⎝<br />
. ⎟ .. ⎠<br />
0 λ k<br />
⎞
180 6 Lineare Abbildungen<br />
Es folgt sofort, dass<br />
χ A (λ) = χ A ′(λ) = (λ 1 − λ) r1 · · · (λ k − λ) r k<br />
mit r 1 + . . . + r k = n und paarweise verschiedenen λ j . Wegen<br />
⎛<br />
⎞<br />
λ 1 − λ j 0<br />
. .. λ 1 − λ j . .. 0<br />
(A ′ − λ j 1) =<br />
. .. 0<br />
. .. λ k − λ j ⎜<br />
⎝<br />
. ⎟<br />
.. ⎠<br />
0 λ k − λ j<br />
berechnet man den Rang von A − λ j 1 wie folgt. Seien<br />
ϕ j : K n → K n<br />
v ↦→ (A − λ j 1)v<br />
und<br />
ψ : K n → K n<br />
v ↦→ Cv<br />
sowie A ϕj = A − λ j 1, dann gilt mit Satz 5.4.7<br />
Rang(A − λ j 1) = Rang(ϕ j )<br />
= Rang(ψ −1 ◦ ϕ j ◦ ψ)<br />
= Rang(C −1 (A − λ j 1)C)<br />
= Rang(A ′ − λ j 1)<br />
= n − r j .<br />
Beachte, dass ker ϕ j = V λj . Aus Satz 5.4.7 und der Dimensionsformel in Satz<br />
5.3.9 ergibt sich<br />
also dim V λj = r j .<br />
dim(im ϕ j ) = Rang(A ϕj ) = n − r j<br />
dim(im ϕ j ) = n − dim(ker ϕ j ) = n − dim V λj<br />
” (2) ⇒ (1)“: Jedes v ∈ V λ j<br />
\ {0} ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ j . Wir<br />
wollen also eine Basis von K n finden, die aus Elementen der V λj mit j = 1, . . . , k<br />
besteht. Wähle Basen {v (j)<br />
1 , . . . , v(j) r j<br />
} für die V λj .<br />
Behauptung: {v (1)<br />
1 , . . . , v(1) r 1<br />
, . . . , v (k)<br />
1 , . . . , v(k) r k<br />
} ist linear unabhängig. (Da diese<br />
Menge n Elemente hat, ist man nach Satz 6.2.3 fertig, denn man hat dann<br />
eine Basis aus Eigenvektoren gefunden.)<br />
Beweis der Behauptung:<br />
Beachte, dass<br />
0 =<br />
k∑<br />
j=1<br />
(<br />
c<br />
(j)<br />
1 v(j)<br />
r j<br />
1 + . . . + c (j)<br />
v (j)<br />
r j<br />
)<br />
. (∗)
(A − λ 2 1) · · · (A − λ k 1)v (j)<br />
i<br />
6.4 Diagonalisierbarkeit 181<br />
= (λ j − λ 2 ) · · · (λ j − λ k )v (j)<br />
i .<br />
Wenn wir jetzt (A − λ 2 1) · · · (A − λ k 1) auf (∗) anwenden, erhalten wir<br />
0 =<br />
k∑<br />
(λ j − λ 2 ) · · · (λ j − λ k )(c (j)<br />
1 v(j) 1 + . . . + c (j) v r (j)<br />
j<br />
)<br />
j=1<br />
= (λ 1 − λ 2 ) · · · (λ 1 − λ k )<br />
} {{ }<br />
≠0<br />
Also gilt c (1)<br />
1 = . . . = c (1)<br />
r 1<br />
j = 2, . . . , k.<br />
(c (1)<br />
1 v(1)<br />
1 + . . . + c (1)<br />
r j<br />
r 1<br />
v (1)<br />
r 1<br />
).<br />
= 0 und analog sehen wir c (j)<br />
1 = . . . = c (j)<br />
r j<br />
= 0 für<br />
⊓⊔<br />
Übung 6.4.1. Seien a, b ∈ R.<br />
(i) Finde die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
0 a 0<br />
A := ⎝ b 0 b ⎠ .<br />
0 a 0<br />
(ii) Für welche a, b ∈ R ist A diagonalisierbar?<br />
Übung 6.4.2. Definiere die Fibonacci-Zahlen a 0, a 1, a 2, . . . rekursiv durch<br />
(i) Berechne a 3, . . . , a 10.<br />
(ii) Zeige:<br />
a 0 := 0, a 1 := 1, , a n+1 := a n + a n−1 ∀n ∈ N.<br />
( )<br />
an+1 a n<br />
=<br />
a n a n−1<br />
( ) n<br />
1 1<br />
∀n ∈ N.<br />
1 0<br />
(iii) Zeige: a n+1a<br />
( n−1 −<br />
)<br />
a 2 n = (−1) n .<br />
1 1<br />
(iv) Zeige, dass diagonalisierbar ist und gib eine Basis für R 2 an, die aus Eigenvektoren<br />
dieser Matrix besteht.<br />
1 0<br />
(v) Zeige, dass<br />
a n = 1 ( √<br />
(1 + 5) n<br />
2 n√ − (1 − √ 5) n)<br />
5<br />
für alle n ∈ N gilt.<br />
Übung 6.4.3. Für a, b ∈ R mit a · b > 0 sei<br />
⎛ ⎞<br />
0 a 0<br />
A = ⎝b 0 b⎠ ∈ R 3×3 .<br />
0 a 0<br />
1. Zeige, dass A diagonalisierbar ist, d.h. A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix D.<br />
2. Bestimme im Fall a = 2, b = 1 eine Matrix C ∈ GL(3, R), so dass C −1 AC = D.<br />
Übung 6.4.4. Bestimme die Diagonalisierbarkeit von<br />
⎛ ⎞<br />
0 s 2 0 0<br />
A := ⎜1 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝0 0 0 t 2 ⎠<br />
0 0 1 0<br />
in Abhängigkeit von s, t ∈ R.
182 6 Lineare Abbildungen<br />
Übung 6.4.5 (Simultane Diagonalisierbarkeit). Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <<br />
∞, und seien ϕ, ψ diagonalisierbare Endomorphismen von V mit ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ. Zeige, dass<br />
es eine Basis aus gemeinsamen Eigenvektoren von ϕ und ψ gibt.<br />
Hinweis: Führe eine Induktion nach n durch und mache im Induktionsschritt eine Fallunterscheidung<br />
je nachdem, ob ϕ nur einen oder mehrere verschiedene Eigenwerte hat.<br />
Übung 6.4.6. Sei<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
A = ⎝ −1 1 −2 ⎠ ∈ R 3×3 .<br />
4 −3 2<br />
Zeige, dass A diagonalisierbar ist (d.h. A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix) und bestimme<br />
ein C ∈ GL(n, R) mit C −1 A C = D, D Diagonalmatrix. Berechne A 5 .<br />
Übung 6.4.7. Die Abbildung ϕ: Mat(2×2, R) → Mat(2×2, R) sei definiert durch ϕ(X) =<br />
CX, wobei C = ( a c d b ) eine fest gewählte Matrix aus Mat(2 × 2, R) ist.<br />
1. Zeige, dass ϕ R-linear ist.<br />
2. Bestimme die Matrix A ϕ von ϕ bzgl. der Basis B 1 = ( 1 0 0<br />
0 1<br />
0 0<br />
0<br />
), B2 = (<br />
0 0<br />
), B3 = (<br />
1 0 ),<br />
B 4 = ( 0 0 0<br />
1<br />
) von Mat(2 × 2, R).<br />
3. Zeige die Beziehung χ Aϕ (λ) = ( χ C(λ) )2 .<br />
4. Welche Eigenwerte hat ϕ im Fall C =<br />
( ) 0 0<br />
?<br />
1 0<br />
Übung 6.4.8. Bestimme α, β ∈ R, so dass −x 3 + x das charakteristische Polynom von<br />
⎛ ⎞<br />
α 1 −2<br />
A := ⎝ 0 −1 2 ⎠<br />
−1 β 1<br />
ist. Berechne dann die Eigenwerte und Eigenvektoren von A sowie eine Matrix S, so dass<br />
S −1 AS Diagonalgestalt hat.<br />
Übung 6.4.9. Eine Matrix A ∈ Mat(n × n, K) heißt nilpotent, falls es ein n ∈ N gibt mit<br />
A n = 0.<br />
1. Zeige: Ist A nilpotent, so ist 0 ein Eigenwert von A, und es gibt keine anderen Eigenwerte.<br />
2. Bestimme alle A ∈ Mat(n × n, K), die sowohl nilpotent als auch diagonalisierbar sind.<br />
Übung 6.4.10. Sei V ein R-Vektorraum, dim V < ∞. Sei ϕ ein diagonalisierbarer Endomorphismus<br />
für den gilt: Sind v und w Eigenvektoren von ϕ, so v + w ein Eigenvektor von<br />
ϕ oder v + w = 0. Zeige, dass es ein λ ∈ R gibt, so dass ϕ = λ · id V .
7<br />
Die Jordan-Normalform<br />
In Abschnitt 6.4 haben wir gesehen, dass nicht jede Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix<br />
ist, selbst wenn die charakteristische Polynomfunktion in Linearfaktoren<br />
zerfällt. In Beispiel 6.4.4 hatten wir den Jordan-Block<br />
⎛<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
a 1<br />
. .. . ..<br />
a 1<br />
a<br />
den man auch mit dem Satz 6.4.5 behandeln kann: Die charakteristische Polynomfinktion<br />
ist (λ − a) n , zerfällt also in Linearfaktoren. Es gilt aber Rang(A − a1 n ) =<br />
n − 1 ≠ 0 für n > 1. In gewisser Weise ist dieses Beispiel das schlimmstmögliche,<br />
denn die Dimension des Eigenraums ker (ϕ A −a id) zu dem vorgegebenen Eigenwert<br />
a ist minimal. Also ist man am weitesten davon entfernt, eine Basis von Eigenvektoren<br />
zu finden. Es stellt sich heraus, dass man genügend Vektoren findet, wenn<br />
man nicht nur Lösungen von (A − a1)x = 0, sondern auch von (A − a1) k x = 0 mit<br />
k ∈ N, zulässt. Diese Methode funktioniert ganz allgemein und führt dazu, dass man<br />
für Körper, die hinreichend viele Element haben, folgende Aussage zeigen kann: Jede<br />
Matrix, deren charakteristische Polynomfunktion in Linearfaktoren zerfällt, ist<br />
ähnlich zu einer Blockdiagonalmatrix ist, deren Blöcke Jordanblöcke sind.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
7.1 Zerlegung in invariante Teilräume<br />
Definition 7.1.1. Sei A ∈ Mat(n × n, K) und ϕ ∈ End K (V ) sowie λ ∈ K ein<br />
Eigenwert von A und ϕ.<br />
(a) Der verallgemeinerte Eigenraum von A zum Eigenwert λ ist die Vereinigungsmenge<br />
der Lösungsräume der Gleichungen<br />
(A − λ1) m x = 0, m ∈ N.<br />
(b) Der verallgemeinerte Eigenraum von ϕ zum Eigenwert λ ist die Vereinigungsmenge<br />
V λ der Lösungsräume der Gleichungen<br />
(ϕ − λ id) m (v) = 0, m ∈ N.
184 7 Die Jordan-Normalform<br />
Bemerkung 7.1.2. Da die Lösungsräume V m der Gleichungen (ϕ − λ id) m (v) = 0<br />
für m = 1, 2, . . . eine aufsteigende Folge von Untervektorräumen sind, ist auch der<br />
verallgemeinerte Eigenraum von ϕ zum Eigenwert λ ein Untervektorraum von V .<br />
Wegen<br />
(ϕ − λ id) m( ϕ(v) ) = ϕ ( (ϕ − λ id) m v ) = ϕ(0) = 0<br />
für alle v ∈ V m , gilt ϕ(V m ) ⊆ V m und somit auch ϕ(V λ ) ⊆ V λ .<br />
Wenn V endlich dimensional ist, dann muss die Folge V 1 ⊆ V 2 ⊆ V 3 ⊆ . . .<br />
stationär werden, d.h. es muss ein k ∈ N geben, das V k = V k+1 = V k+2 = . . . erfüllt,<br />
weil die Dimensionen der V m nicht größer als dim V sein können.<br />
Wenn A ∈ Mat(n × n, K), dann betrachtet man ϕ A ∈ Hom K (K n , K n ) und findet<br />
so analoge Aussagen für die Lösungsräume von (A − λ1) m (v) = 0.<br />
⊓⊔<br />
Lemma 7.1.3 (Triagonalisierbarkeit). Sei A ∈ Mat(n × n, K). Wenn die charakteristische<br />
Polynomfunktion von A in Linearfaktoren zerfällt, d.h.,<br />
χ A (λ) = c(λ 1 − λ) · · · (λ n − λ)<br />
gilt, und K mindestens n + 1 Elemente hat, dann ist c = 1 und A ähnlich zu einer<br />
oberen Dreiecksmatrix<br />
⎛ ⎞<br />
λ 1 ∗<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
0 λ n<br />
Man kann dabei die λ’s beliebig ordnen.<br />
Beweis. Induktion über n.<br />
” n = 1“: Dieser Fall ist trivial, denn es gilt A = (a) und χ A(λ) = a − λ.<br />
” n − 1 ⇒ n“: Zu zeigen ist: Es existiert eine Basis von Kn bzgl. der ϕ := ϕ A die<br />
Gestalt<br />
⎛ ⎞<br />
λ 1 ∗<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 λ n<br />
hat. Die Aussage über c folgt dann automatisch.<br />
Die λ j sind die Eigenwerte von A. Sei v 1 ein Eigenvektor zu λ 1 . Ergänze (vgl.<br />
Basisergänzungssatz 2.3.4) {v 1 } zu einer Basis {v 1 , . . . , v n } für K n . Bezüglich<br />
dieser Basis hat ϕ die Matrix<br />
⎛<br />
A ′ := ⎜<br />
⎝<br />
λ 1 ∗ · · · ∗<br />
0<br />
. A 1<br />
0<br />
d.h. A ′ ist ähnlich zu A. Also haben wir nach Satz 6.3.11 und der Kästchenregel<br />
aus Bemerkung 4.3.1<br />
Andererseits gilt<br />
und somit<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
χ A (λ) = det(A ′ − λ1 n ) = (λ 1 − λ) det(A 1 − λ1 n−1 ).<br />
χ A (λ) = χ A ′(λ) = c(λ 1 − λ)[(λ 2 − λ) · · · (λ n − λ)]
7.1 Zerlegung in invariante Teilräume 185<br />
c(λ 2 − λ) · · · (λ n − λ) = det(A 1 − λ1 n−1 )<br />
für alle λ ≠ λ 1 . Nach Voraussetzung gibt es n Nullstellen von det(A 1 −λ1 n−1 )−<br />
c(λ 2 − λ) · · · (λ n − λ) in K. Satz 6.3.4 zeigt also, dass<br />
det(A 1 − λ1 n−1 ) = c(λ 2 − λ) · · · (λ n − λ)<br />
als Polynomfunktionen. Jetzt können wir mit Induktion schließen, dass es ein<br />
C 1 ∈ GL(n − 1, K) mit<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
λ 2<br />
⎞<br />
∗<br />
. ..<br />
0 λ n<br />
⎟<br />
⎠ = C −1<br />
1 A 1C 1<br />
gibt. Damit können wir wie folgt rechnen und so den Beweis abschließen:<br />
⎛ ⎞<br />
1 0<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 0 C 1<br />
⎠<br />
−1 ⎛<br />
λ 1<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
∗ 1 0 λ 1 ∗<br />
⎛ ⎞<br />
λ 1 ∗<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
0 A 1<br />
⎠ ⎝ 0 C 1<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝ 0 C1 −1 A ⎟<br />
1C 1<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
0 λ n<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 7.1.4. Sei K = {0, 1} der Körper mit zwei Elementen und<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
A = ⎝0 1 1⎠ .<br />
0 1 0<br />
Dann ist χ A (λ) = (1 + λ)(λ 2 + λ + 1) = (1 + λ) = (1 + λ) 3 für alle λ ∈ K,<br />
d.h. χ A zerfällt in Linearfaktoren. Das Induktionsargument aus dem Beweis von<br />
Lemma 7.1.3 funktioniert aber nicht, denn im ersten Induktionsschritt stößt man<br />
auf die Matrix<br />
( ) 1 1<br />
A 1 = ,<br />
1 0<br />
deren charakteristische Polynomfunktion χ A1 (λ) = λ 2 + λ + 1 = 1 ist. D.h. A 1<br />
erfüllt die Induktionsvoraussetzung nicht.<br />
Im Prinzip könnte es sein, dass nur der Beweis von Lemma 7.1.3 schief geht, die<br />
Aussage aber nach wie vor richtig bleibt. Aber auch dafür ist A ein Gegenbeispiel:<br />
Angenommen A ist ähnlich zu<br />
⎛ ⎞<br />
λ 1 ∗ ∗<br />
A ′ := ⎝ 0 λ 2 ∗ ⎠ .<br />
0 0 λ 3<br />
Da Rang(A) = 3 ist und ähnliche Matrizen gleichen Rang haben, darf keines der λ j<br />
gleich Null sein. Also muss gelten λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1. Aber dann ist tr(A ′ ) = 1 + 1 +<br />
1 = 1, während tr(A) = 1 + 1 + 0 = 0, was im Widerspruch zu Proposition 6.3.13<br />
steht.<br />
⊓⊔
186 7 Die Jordan-Normalform<br />
Bemerkung 7.1.5. Seien E, F ∈ Mat(s × s, K) mit e ij = 0 für j < i + t E und<br />
f ij = 0 für j < i + t F , d.h. von der Form<br />
⎛ ⎞<br />
⎞<br />
0 · · · 0 ∗<br />
0 · · · 0 ∗<br />
⎜<br />
. .. 0 ⎟<br />
⎜<br />
. .. 0 ⎟<br />
E =<br />
⎜<br />
⎝<br />
. .. .<br />
0 0<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ und F = ⎜<br />
⎝<br />
. .. .<br />
0 0<br />
Hier sind t E und t F die entsprechende Anzahl von Null–Nebendiagonalen. Für G =<br />
EF gilt dann g ij = 0 für j < i + t E + t F , d.h., G ist von der Form<br />
⎛ ⎞<br />
0 · · · 0 ∗<br />
. .. G =<br />
0<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ⎟ .. . ⎠<br />
0<br />
mit t E + t F Null-Nebendiagonalen. Dies folgt aus der Rechnung<br />
g ij =<br />
s∑<br />
e im f mj =<br />
m=1<br />
j−t<br />
∑ F<br />
m=i+t E<br />
e im f mj .<br />
Insbesondere ist die s-te Potenz einer strikt oberen Dreiecksmatrix der Größe s × s<br />
immer Null.<br />
⊓⊔<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Satz 7.1.6. Sei K ein Körper mit mindestens n+1 Elementen und V ein K-Vektorraum<br />
der Dimension n und ϕ ∈ End K (V ). Sei<br />
χ ϕ (λ) = (λ 1 − λ) r1 · · · (λ k − λ) r k<br />
mit λ i ≠ λ j für i ≠ j und r 1 + . . . + r k = n. Dann gilt<br />
(i) V λj = ker ((ϕ − λ j id) rj ).<br />
(ii) dim K (V λj ) = r j .<br />
(iii) V = ⊕ k<br />
j=1 V λj ist eine ϕ-invariante direkte Summe.<br />
Beweis. Idee: Schreibe V λ i<br />
als ker ( (ϕ − λ j id) ) t j<br />
für passende t j ∈ N und ahme den<br />
Beweis von Satz 6.4.5 nach, um zu sehen, dass V λ 1<br />
+ . . . + V λ k<br />
direkt ist. Für den Rest<br />
zählt man Dimensionen.<br />
Aus Bemerkung 7.1.2 sehen wir, dass die V λi und die Räume ker ((ϕ − λ j id) tj )<br />
für beliebige t j ∈ N ϕ-invariant sind. Da V endlich dimensional ist, gibt es Zahlen<br />
t j ∈ N mit<br />
V λj = ker ( (ϕ − λ j id) tj ) .<br />
Als nächstes zeigen wir, dass die Summe der V λj direkt ist. Dazu müssen wir<br />
nach Proposition 5.5.6 zeigen, dass aus v 1 + . . . + v k = 0 mit (ϕ − λ j id) tj (v j ) = 0<br />
folgt v 1 = . . . = v k = 0. Man geht dabei ähnlich vor wie beim Beweis von Satz 6.4.5:<br />
Wende (ϕ − λ 2 id) t2 · · · (ϕ − λ k id) t k<br />
auf v 1 + . . . + v k an. Man erhält<br />
0 = (ϕ − λ 2 id) t2 · · · (ϕ − λ k id) t k<br />
(v 1 + . . . + v k ) = (ϕ − λ 2 id) t2 · · · (ϕ − λ k id) t k<br />
(v 1 )<br />
weil die Reihenfolge der (ϕ − λ j id) tj<br />
nun v 1 ≠ 0 ist und<br />
beliebig ist und (ϕ − λ j id) tj (v j ) = 0. Wenn
7.1 Zerlegung in invariante Teilräume 187<br />
u 1 := v 1 , u 2 := (ϕ−λ k id)(v 1 ), . . . , u 1+tk +...+t 2<br />
:= (ϕ−λ 2 id) t2 · · · (ϕ−λ k id) t k<br />
(v 1 ),<br />
dann gibt es also ein s ∈ {1, . . . , t k + . . . + t 2 } mit u s ≠ 0 und u s+1 = 0. Insbesondere<br />
gibt es ein j ∈ {2, . . . , k} mit (ϕ − λ j id)(u s ) = 0, d.h. u s ist ein Eigenvektor<br />
von ϕ zum Eigenwert λ j . Andererseits gilt wegen der ϕ-Invarianz auch<br />
u s ∈ ker ((ϕ − λ 1 id) t1 ). Aber dann rechnen wir<br />
0 = (ϕ − λ 1 id) t1 (u s ) = (λ j − λ 1 ) t1 u s<br />
und dieser Widerspruch zeigt, dass v 1 = 0 gilt. Analog sehen wir auch, dass alle<br />
anderen v i Null sind.<br />
Wir haben also gesehen, dass die Summe der V λj direkt ist. Insbesondere folgt<br />
(∗)<br />
k∑<br />
k⊕<br />
dim K (V λj ) = dim K ( V λj ) ≤ dim K (V ) = n.<br />
j=1<br />
j=1<br />
Nach Lemma 7.1.3 gibt es eine Basis für V bzgl. der die darstellende Matrix A ϕ<br />
von ϕ die Gestalt<br />
⎛<br />
λ 1 ∗<br />
. .. ˜∗<br />
0 λ 1 λ 2 ∗<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ⎟ .. ⎠<br />
0 λ k<br />
⎞<br />
hat (vgl. Abschnitt 6.1). Dann gehört der Spann der ersten r 1 Basisvektoren zu<br />
ker ( (ϕ − λ 1 id) r1 )<br />
, weil die linke obere (r1 × r 1 )-Ecke A 1 von A der Gleichung<br />
genügt (vgl. Bemerkung 7.1.5). Also gilt<br />
(A 1 − λ 1 1) r1 = 0<br />
dim ( ker ( (ϕ − λ 1 id) r1)) ≥ r 1 .<br />
Da man die Eigenwerte umordnen kann, gilt analog<br />
(∗∗)<br />
dim ( ker ( (ϕ − λ j id) rj )) ≥ r j<br />
für alle j = 1, . . . , k. Dann ist aber wegen (∗) und ker ( (ϕ − λ j id) rj )<br />
⊆ V<br />
λ j<br />
n =<br />
k∑<br />
r j ≤<br />
j=1<br />
k∑<br />
dim(V λj ) ≤ n<br />
j=1<br />
und dies zeigt die Gleichheit dim(V λj ) = r j für alle j = 1, . . . , k. Wegen (∗∗) gilt<br />
dann aber auch<br />
ker ( (ϕ − λ j id) rj ) = V λj<br />
und der Satz ist bewiesen.<br />
⊓⊔
188 7 Die Jordan-Normalform<br />
Korollar 7.1.7. Sei K ein Körper mit mindestens n + 1 Elementen und V ein<br />
K-Vektorraum der Dimension n. Für ϕ ∈ End K (V ) sei<br />
χ ϕ (λ) = (λ 1 − λ) r1 · · · (λ k − λ) r k<br />
mit λ i ≠ λ j für i ≠ j und r 1 + . . . + r k = n. Dann hat die Einschränkung ϕ j :=<br />
ϕ| V<br />
λ j : V λj → V λj auf den verallgemeinerten Eigenraum V λj nur einen Eigenwert,<br />
nämlich λ j . Die charakteristische Polynomfunktion von ϕ j ist (λ j − λ) rj .<br />
Beweis. Der Eigenraum V λj = {v ∈ V | ϕ(v) = λ j v} ist in V λj enthalten, also hat<br />
ϕ j den Eigenwert λ j . Sei jetzt µ ∈ K ein beliebiger Eigenwert von ϕ j und v ∈ V λj<br />
ein Eigenvektor dazu. Dann ist v ein Eigenvektor von ϕ zum Eigenwert µ, also<br />
enthalten in V µ ⊆ V µ . Da die Summe der verallgemeinerten Eigenräume nach Satz<br />
7.1.6 direkt ist, gilt µ = λ j .<br />
Wegen Bemerkung 5.5.11 hat die darstellende Matrix von ϕ bzgl. jeder Basis<br />
von V , die aus Elementen von V λ1 ∪ . . . ∪ V λ k<br />
besteht, Blockdiagonalgestalt (mit<br />
den zugehörigen darstellenden Matrizen der ϕ j als Blöcken), und daher zerfällt das<br />
charakteristische Polynom von ϕ als<br />
χ ϕ = χ ϕ1 · · · χ ϕk .<br />
Nach dem ersten Teil des Beweises hat χ ϕj nur die Nullstelle λ j . Weil K mehr als<br />
n Elemente hat, kann man jetzt r j -mal λ j − λ mit Polynomdivision (siehe Lemma<br />
6.3.2) aus χ ϕ und χ ϕj herausteilen und erhält<br />
(λ 2 − λ) r2 · · · (λ k − λ) r k<br />
= χ ϕ2 · · · χ ϕk .<br />
Analog verfährt man mit λ 2 , . . . , λ k und findet schließlich χ ϕj = (λ j − λ) rj für alle<br />
j = 1, . . . , k.<br />
⊓⊔<br />
Korollar 7.1.8. Sei K ein Körper mit mindestens n + 1 Elementen. Dann ist jede<br />
Matrix A ∈ Mat(n × n, K), deren charakteristische Polynomfunktion in Linearfaktoren<br />
χ A (λ) = (λ 1 − λ) r1 · · · (λ k − λ) r k<br />
mit λ i ≠ λ j für i ≠ j und r 1 + . . . + r k = n zerfällt, ähnlich zu einer Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
A 1 0<br />
A 2 ⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 A r<br />
mit A j ∈ Mat(r j × r j , K) und χ Aj (λ) = (λ j − λ) rj .<br />
Beweis. Wende den Korollar 7.1.7 auf ϕ A ∈ End K (K n ) (definiert durch ϕ A (x) =<br />
Ax) an.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 7.1.9. Betrachte die Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
4 1 0 0 0<br />
0 3 1 0 0<br />
A =<br />
⎜ −1 −1 2 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 3 1 ⎠<br />
−1 −1 −1 −1 1
7.1 Zerlegung in invariante Teilräume 189<br />
und die durch A bzgl. der Standardbasis gegebene lineare Abbildung ϕ = ϕ A : R 5 →<br />
R 5 . Die charakteristische Polynomfunktion χ A = χ ϕ ist gegeben durch:<br />
⎛<br />
⎞<br />
4 − λ 1 0 ( )<br />
det(A − λ · 1) = det ⎝ 0 3 − λ 1 ⎠ 3 − λ 1<br />
det<br />
−1 1 − λ<br />
−1 −1 2 − λ<br />
= ( (4 − λ)(3 − λ)(2 − λ) − 1 + (4 − λ) ) ( (3 − λ)(1 − λ) + 1 )<br />
= (3 − λ) 3 (2 − λ) 2<br />
Die Eigenwerte sind λ 1 = 3 und λ 2 = 2 und die zugehörigen Vielfachheiten r 1 = 3<br />
und r 2 = 2<br />
⎛<br />
A − 3 · 1 =<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1 0 0 0<br />
0 0 1 0 0<br />
−1 −1 −1 0 0<br />
0 0 0 0 1<br />
−1 −1 −1 −1 −2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 0 0 0 0<br />
0 0 0 0 0<br />
(A − 3 · 1) 3 =<br />
⎜ 0 0 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 2 2 2 2 3 ⎠<br />
−3 −3 −3 −3 −4<br />
⎛<br />
A − 2 · 1 =<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 1 0 0 0<br />
0 1 1 0 0<br />
−1 −1 0 0 0<br />
0 0 0 1 1<br />
−1 −1 −1 −1 −1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎞<br />
4 3 1 0 0<br />
−1 0 1 0 0<br />
(A − 2 · 1) 2 =<br />
⎜ −2 −2 −1 0 0<br />
⎟<br />
⎝ −1 −1 −1 0 0 ⎠ .<br />
0 0 0 0 0<br />
Mit Satz 7.1.6 ergibt sich V λ1 = ker ((ϕ A − 3 id) 3 ) = {x ∈ R 5 | (A − 3 · 1) 3 x = 0}<br />
Eine Zeilenstufenform von (A − 3 · 1) 3 ist:<br />
⎛ ⎞<br />
1 1 1 1 0<br />
0 0 0 0 1<br />
⎜ 0 0 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 0 0 ⎠<br />
0 0 0 0 0<br />
Daraus finden wir eine Basis für V λ1 (vgl. auch Satz 2.3.8):<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 1 1<br />
−1<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ , 0<br />
⎜ −1<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ , 0<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ −1 ⎠ .<br />
0 0 0<br />
Weiter gilt V λ2 = ker ((ϕ A − 2 id) 2 ) = {x ∈ R 5 | (A − 2 · 1) 2 x = 0} und eine<br />
Zeilenstufenform von (A − 2 · 1) 2 ist:<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 0 0 0<br />
0 1 0 0 0<br />
⎜ 0 0 1 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 0 0 ⎠<br />
0 0 0 0 0<br />
Als Basis für V λ2 finden wir: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 0<br />
0<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ , 0<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ .<br />
0 1
190 7 Die Jordan-Normalform<br />
An dieser Stelle können wir eine Basis für V = R 5 angeben, bzgl. der die Abbildung<br />
ϕ = ϕ A Blockdiagonalgestalt hat und jeder Block nur einen Eigenwert.<br />
Diese Basis ist einfach die Vereinigung der Basen für V λ1 und V λ2 , die wir oben<br />
angegeben haben:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 1 1 0 0<br />
−1<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ , 0<br />
⎜ −1<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ , 0<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ −1 ⎠ , 0<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ , 0<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ .<br />
0 0 0 0 1<br />
Die zugehörige Übergangsmatrix ist:<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 1 1 0 0<br />
−1 0 0 0 0<br />
C =<br />
⎜ 0 −1 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 −1 1 0 ⎠<br />
0 0 0 0 1<br />
und ihre Inverse<br />
Also gilt<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 −1 0 0 0<br />
0 0 −1 0 0<br />
C −1 =<br />
⎜ 1 1 1 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 1 1 1 1 0 ⎠ .<br />
0 0 0 0 1<br />
⎛ ⎞<br />
3 1 0 0 0<br />
0 3 1 0 0<br />
A ′ = C −1 AC =<br />
⎜ 0 0 3 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 3 1 ⎠ .<br />
0 0 0 −1 1<br />
Beachte dabei, dass beide Blöcke jeweils nur einen Eigenwert haben.<br />
⊓⊔<br />
Übung 7.1.1. Konstruiere für die Matrix<br />
⎛<br />
1 4 3 7<br />
⎞<br />
2<br />
1 −1 −2 −5 −1<br />
A =<br />
⎜ 2 −4 1 −6 −2<br />
⎟<br />
⎝−2 4 2 9 2 ⎠<br />
2 −1 0 −3 1<br />
eine ähnliche Matrix, die Blockdiagonalform hat, und bei der jeder Teilblock nur einen<br />
Eigenwert besitzt. Gib ebenfalls die zugehörige Transformationsmatrix an.<br />
Übung 7.1.2. Konstruiere für die Matrix<br />
⎛<br />
4 1 1<br />
⎞<br />
1<br />
A = ⎜−1 2 −1 −1<br />
⎟<br />
⎝ 6 1 −1 1 ⎠<br />
6 −1 4 2<br />
eine ähnliche Matrix, die Blockdiagonalform hat, und bei der jeder Teilblock nur einen<br />
Eigenwert besitzt. Gib ebenfalls die zugehörige Transformationsmatrix an.
7.1 Zerlegung in invariante Teilräume 191<br />
Übung 7.1.3. Sei V ein K-Vektorraum und V 1, V 2 Untervektorräume von V mit V =<br />
V 1 ⊕ V 2 und dim K V 1 = n, dim K V 2 = m. Weiter sei {e 1, . . . , e n} (bzw. {e n+1, . . . , e n+m})<br />
eine Basis von V 1 (bzw. V 2). Die lineare Abbildung ϕ ∈ Hom K (V, V ) habe darstellende<br />
Matrix (in Blockdiagonalform)<br />
( )<br />
A11 A 12<br />
A =<br />
A 21 A 22<br />
bzgl. {e 1, . . . , e n, e n+1, . . . , e n+m}. Hier A 11 ∈ Mat(n × n, K), A 22 ∈ Mat(m × m, K), usw.<br />
Man zeige:<br />
(a) Es gilt genau dann A 21 = 0, wenn V 1 ϕ-invariant ist.<br />
(b) Sei W ein ϕ-invarianter Untervektorraum von V und ψ := ϕ| W : W → W . Man zeige,<br />
daß das charakteristische Polynom von ψ das charakteristische Polynom von ϕ teilt,<br />
d.h. es gibt ein Polynom p(λ) mit χ ϕ(λ) = χ ψ (λ)p(λ) für alle λ ∈ K.<br />
Übung 7.1.4. Man bestimme die verallgemeinerten Eigenräume der Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
1 1 0<br />
A = ⎝−4 −2 1 ⎠ ∈ Mat(3 × 3, R).<br />
4 1 −2<br />
Übung 7.1.5. Sei R 2[x] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ 2 und sei<br />
ϕ : R 2[x] → R 2[x] die lineare Abbildung mit Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
4 −1 −2<br />
A = ⎝2 1 −2⎠<br />
1 −1 1<br />
bezüglich der Basis {−1 + x, x + x 2 , x 2 }.<br />
(a) Man finde ϕ(x + 1).<br />
(b) Man bestimme die Eigenwerte von ϕ und die zugehörigen Eigenvektoren in R 2[x].<br />
Übung 7.1.6. Bestimme alle t ∈ R, so dass folgende Matrix triagonalisierbar ist:<br />
( ) 1 2<br />
A := ∈ R 2×2<br />
t −3<br />
Bestimme für t = −2 eine Matrix C ∈ GL(2, R), so dass CAC −1 eine obere Dreiecksmatrix<br />
ist.<br />
Übung 7.1.7. Berechne für die Matrix<br />
⎛<br />
1 4 3 7<br />
⎞<br />
2<br />
1 −1 −2 −5 −1<br />
A =<br />
⎜ 2 −4 1 −6 −2<br />
⎟<br />
⎝−2 4 2 9 2 ⎠<br />
2 −1 0 −3 1<br />
das charakteristische Polynom und bestimme hieraus (möglichst explizit) eine ähnliche<br />
Matrix, die Blockdiagonalform hat, und bei der jeder Teilblock nur einen Eigenwert besitzt.<br />
Wodurch ist die zugehörige Transformationsmatrix gegeben?<br />
Übung 7.1.8. Sei V ein K-Vektorraum mit dim V < ∞ und ϕ ∈ End K(V ). Zeige:<br />
1. Ist ϕ diagonalisierbar und U ⊂ V ein ϕ-invarianter Unterraum, so ist auch ϕ| U diagonalisierbar.<br />
2. Ist V = ⊕ r<br />
i=1<br />
Ui die direkte Summe von ϕ-invarianten Unterräumen, so ist ϕ genau<br />
dann diagonalisierbar, wenn ϕ| Ui für alle i diagonalisierbar ist.<br />
Hinweis zu a). Führe einen Widerspruchsbeweis mit Hilfe der Menge M := U \ ⊕ λ U λ,<br />
wobei U λ ⊂ U der Eigenraum von ϕ| U zum Eigenwert λ ist. Betrachte ein u ∈ M, bei<br />
dem die Anzahl der Summanden ≠ 0 in u = ∑ λ v λ bezüglich der Zerlegung V = ⊕ λ V λ<br />
minimal ist.
192 7 Die Jordan-Normalform<br />
Übung 7.1.9. Konstruiere für die Matrix<br />
⎛<br />
5 3<br />
⎞<br />
12<br />
A = ⎝ 1 3 4 ⎠ ∈ R 3×3<br />
−1 −2 −3<br />
eine ähnliche Matrix, die Blockdiagonalform hat, und bei der jeder Teilblock nur einen<br />
Eigenwert besitzt. Gib außerdem die zugehörige Transformationsmatrix an.<br />
7.2 Nilpotenz und ϕ-Ketten<br />
Die Zerlegung einer linearen Abbildung in Stücke mit nur einem Eigenwert, wie<br />
sie durch den Satz 7.1.6 und Korollar 7.1.8 bewerkstelligt wird, eröffnet uns die<br />
Möglichkeit, das Problem der Bestimmung alle Äquivalenzklassen von ähnlichen<br />
Matrizen in leichter handhabbare Teilprobleme zu zerlegen. In diesem Abschnitt<br />
konzentrieren wir uns auf Abbildungen mit nur einem Eigenwert. Es wird sich sehr<br />
schnell herausstellen, dass man dann auch annehmen darf, dass dieser Eigenwert<br />
gleich Null ist. Damit ist man dann bei den nilpotenten Abbildungen.<br />
Falls K mindestens n + 1 Elemente hat und A ∈ Mat(n × n, K) ist, folgt mit<br />
Lemma 7.1.3 aus der Gleichung χ A (λ) = (λ 0 − λ) n , dass A ähnlich zu einer Matrix<br />
der Form<br />
⎛ ⎞<br />
λ 0 ∗<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 λ 0<br />
ist. Insbesondere ist dann A − λ 0 · 1 ähnlich zu einer Matrix der Form<br />
⎛ ⎞<br />
0 ∗<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
0 0<br />
d.h. einer strikt oberen Dreiecksmatrix. Bemerkung 7.1.5 zeigt, dass eine Potenz<br />
dieser Matrix gleich Null sein muss.<br />
Lemma 7.2.1. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n, ϕ ∈ End K (V ) und<br />
χ ϕ die charakteristische Polynomfunktion von ϕ. Dann sind folgende Aussagen<br />
äquivalent:<br />
(1) Es gibt eine Basis für V bzgl. der die darstellende Matrix von ϕ ein strikt obere<br />
Dreiecksmatrix ist.<br />
(2) Es gibt ein m ∈ N mit ϕ m = 0.<br />
(3) ϕ n = 0.<br />
Diese drei äquivalenten Eigenschaften implizieren<br />
(4) χ ϕ (λ) = (−1) n λ n .<br />
Wenn K mindestens n + 1 Elemente hat, sind alle vier Eigenschaften äquivalent.<br />
Beweis. Idee: Die Implikation ”<br />
(3) ⇒ (2)“ ist klar und die Implikation ”<br />
(1) ⇒ (2)“<br />
folgt aus Bemerkung 7.1.5. Die Implikationen ”<br />
(2) ⇒ (1), (4)“ zeigt man mit Induktion<br />
über n = dim(V ). Die Implikation ”<br />
(4) ⇒ (1)“ ist, unter der Zusatzvoraussetzung an K,<br />
eine Konsequenz von Lemma 7.1.3.
7.2 Nilpotenz und ϕ-Ketten 193<br />
Die Implikation (3) ⇒ (2)“ ist klar und die Implikation (1) ⇒ (2)“ folgt aus<br />
” ”<br />
Bemerkung 7.1.5. Die Implikation (4) ⇒ (1)“ ist, unter der Zusatzvoraussetzung<br />
”<br />
an K, eine Konsequenz von Lemma 7.1.3.<br />
Jetzt nehmen wir an, dass (2) gilt und beweisen (1) und (4) mit Induktion<br />
über n = dim(V ). Der Induktionsanfang ist trivial, da für n = 1 und ϕ m = 0<br />
sofort ϕ = 0 folgt. Für den Induktionsschritt sei also ϕ m = 0 und v ∈ V von Null<br />
verschieden. Dann gibt es ein kleinstes m o ∈ {1, . . . , m} mit ϕ mo (v) = 0. Setze<br />
w = ϕ mo−1 (v). Dann ist w ein Eigenvektor zum Eigenwert 0. Ergänze {w} zu einer<br />
Basis {w, v 1 , . . . , v n−1 } für V . Bezüglich dieser Basis hat die darstellende Matrix<br />
von ϕ dann die Gestalt<br />
⎛ ⎞<br />
0 ∗ · · · ∗<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
. A 1<br />
0<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
Betrachte die m-fache Potenz dieser Matrix. Es gilt<br />
⎛ ⎞<br />
0 ∗ · · · ∗<br />
0 = A m 0<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎝ . A m ⎠ ,<br />
1<br />
0<br />
also insbesondere A m 1 = 0. Mit Induktion, angewandt auf ϕ A1 ∈ End K (K n−1 ), folgt<br />
einerseits χ A1 = (−1) n−1 λ n−1 und damit<br />
χ A (λ) = (−λ)χ A1 (λ) = (−1) n λ n ,<br />
also (4). Andererseits findet man mit Induktion auch eine Basis {v 1, ′ . . . , v n−1} ′ für<br />
K n−1 , bzgl. der ϕ A1 eine strikte obere Dreiecksmatrix A ′ 1 als darstellende Matrix<br />
hat. D.h. A 1 ist ähnlich zu einer strikten oberen Dreiecksmatrix A ′ 1. Wenn C ∈<br />
GL(n − 1, K) die Gleichung A ′ 1 = C −1 A 1 C erfüllt, dann gilt<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
1 0 0 ∗ 1 0 1 ∗<br />
′ 1 ∗<br />
′<br />
0 C −1 =<br />
0 A 1 0 C 0 C −1 =<br />
A 1 C 0 A ′ .<br />
1<br />
Also ist A ähnlich zu einer strikten oberen Dreiecksmatrix und es gilt (1).<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 7.2.2. Eine modifizierte Version von Beispiel 7.1.4 zeigt, dass für die Implikation<br />
(4) ⇒ (3)“ in Lemma 7.2.1 nicht auf die Voraussetzung an die Anzahl<br />
”<br />
der Elemente in K verzichtet werden kann: Sei K = {0, 1} der Körper mit zwei<br />
Elementen und<br />
⎛<br />
A = ⎝ 0 0 0<br />
⎞<br />
0 1 1⎠ .<br />
0 1 0<br />
Dann ist χ A (λ) = λ(λ 2 + λ + 1) = λ = λ 3 für alle λ ∈ K, d.h. ϕ A erfüllt die<br />
Bedingung (4) aus Lemma 7.2.1. Wegen<br />
⎛<br />
A 3 = ⎝ 0 0 0<br />
⎞ ⎛<br />
0 1 1⎠<br />
⎝ 0 0 0<br />
⎞ ⎛<br />
0 1 1⎠<br />
⎝ 0 0 0<br />
⎞ ⎛<br />
0 1 1⎠ = ⎝ 0 0 0<br />
⎞ ⎛<br />
0 1 1⎠<br />
⎝ 0 0 0<br />
⎞ ⎛<br />
0 0 1⎠ = ⎝ 0 0 0<br />
⎞<br />
0 1 0⎠<br />
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1<br />
gilt aber die Bedingung (3) nicht.<br />
⊓⊔
194 7 Die Jordan-Normalform<br />
Definition 7.2.3. Eine lineare Abbildung ϕ: V → V heißt nilpotent, wenn sie<br />
die äquivalenten Bedingungen (1)–(3) aus Lemma 7.2.1 erfüllt. Eine Matrix A ∈<br />
Mat(n × n, K) heißt nilpotent, wenn ϕ A nilpotent ist, d.h. wenn es ein l ∈ N mit<br />
A l = 0 gibt. Wenn ϕ nilpotent ist und 0 ≠ v ∈ V , dann heißt<br />
v, ϕ(v), ϕ 2 (v), . . . , ϕ m (v)<br />
die ϕ–Kette von v, wenn ϕ m (v) ≠ 0 und ϕ m+1 (v) = 0 ist.<br />
Bemerkung 7.2.4. Jede ϕ-Kette einer nilpotenten linearen Abbildung ist linear<br />
unabhängig. Wenn nämlich 0 = ∑ m<br />
j=0 a jϕ j (v) (nach Definition ist ϕ 0 = id), dann<br />
gilt<br />
0 = ϕ k( ∑<br />
m ) m−k<br />
∑<br />
a j ϕ j (v) = a j ϕ j+k (v).<br />
j=0<br />
Dies liefert für k = m, m − 1, . . . , 0 sukzessive a 0 = 0, a 1 = 0, . . . , a m = 0.<br />
Darstellende Matrizen von nilpotenten linearen Abbildungen können als strikt<br />
obere Dreiecksmatrizen gewählt werden. Der Zweck der ϕ–Ketten besteht darin,<br />
besonders einfache strikt obere Dreiecksmatrizen als darstellende Matrizen zu finden<br />
(einfach heißt hier, besonders viele Nullen).<br />
j=0<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 7.2.5. (i) Wenn die ϕ–Kette {ϕ m (v), ϕ m−1 (v), . . . , ϕ(v), v} zu v eine Basis<br />
für V ist, dann hat die darstellende Matrix von ϕ bzgl. dieser Basis die<br />
Gestalt<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 1 0 . . . 0<br />
. .. . .. . .. .<br />
. .. . .. 0<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ⎟ .. 1 ⎠<br />
0 0<br />
(ii) Wenn für v, w ∈ V \{0} die Vereinigung {ϕ m (v), . . . , ϕ(v), v, ϕ n (w), . . . , ϕ(w), w}<br />
der beiden zugehörigen ϕ-Ketten eine Basis für V ist, dann hat die Matrix von<br />
ϕ bzgl. dieser Basis die Gestalt<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 1<br />
. .. . ..<br />
. .. 1<br />
0<br />
0 1<br />
. .. . ..<br />
. .. . ..<br />
. .. 1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⊓⊔<br />
Im folgenden Satz wird gezeigt, dass man zu einem nilpotenten ϕ ∈ Hom K (V, V )<br />
immer eine Basis finden kann, die eine Vereinigung von ϕ-Ketten ist. Der Beweis<br />
ist konstruktiv, d.h. er zeigt auch wie man diese Basen findet.
Satz 7.2.6. Sei ϕ: V → V nilpotent und dim V = n.<br />
(i) Der Spann einer ϕ–Kette ist ϕ–invariant.<br />
(ii) V hat eine Basis, die eine Vereinigung von ϕ–Ketten ist.<br />
7.2 Nilpotenz und ϕ-Ketten 195<br />
Beweis. Idee: Teil (i) des Satzes ist offensichtlich. Für (ii) konstruiert man Untervektorräume<br />
W (q) von ker(ϕ q ) mit ker(ϕ q−1 ) ⊕ W (q) = ker(ϕ q ) und ϕ(W (q) ) ⊆ W (q−1) .<br />
Ausgehend von einer Basis für ker(ϕ p ) konstruiert man eine Basis für V durch abwechselnde<br />
ϕ-Kettenbildung und Basisergänzung in den W (q) .<br />
Teil (i) des Satzes ist offensichtlich. Um (ii) zu zeigen, setze U (j) = ker(ϕ j ).<br />
Dann gilt<br />
{0} = U (0) ⊆ U (1) ⊆ . . . ⊆ U (q) ⊆ . . . ⊆ U (p−1) ⊆ U (p) = V<br />
und<br />
∀q = 1, . . . , p : ϕ(U (q) ) ⊆ U (q−1) .<br />
Behauptung: Seien u 1 , . . . , u l ∈ U (q) so, dass ihre Bilder<br />
ũ 1 := u 1 + U (q−1) , . . . , ũ l := u l + U (q−1)<br />
in U (q) /U (q−1) linear unabhängig sind (insbesondere sind dann auch u 1 , . . . , u l ∈<br />
U (q) linear unabhängig).<br />
(a) Falls q > 1, dann gilt ϕ(u 1 ) + U (q−2) , . . . , ϕ(u l ) + U (q−2) sind linear unabhängig<br />
in U (q−1) /U (q−2) .<br />
(b) Wenn {ũ 1 , . . . , ũ l } eine Basis für U (q) /U (q−1) ist, dann gilt für W (q) = span{u 1 , . . . , u l }<br />
U (q) = U (q−1) ⊕ W (q) .<br />
Beweis der Behauptung: Für ”<br />
q = 1“ ist nur (b) zu zeigen und das ist wegen<br />
U (0) = {0} trivial.<br />
Sei nun q ≥ 2. Wenn<br />
dann gilt<br />
was<br />
0 =<br />
l∑<br />
c i (ϕ(u i ) + U (q−2) ) ∈ U (q−1) /U (q−2) ,<br />
i=1<br />
l∑<br />
c i ϕ(u i ) ∈ U (q−2) ,<br />
i=1<br />
l∑<br />
c i u i ∈ ker ϕ q−1 = U (q−1)<br />
i=1<br />
zur Folge hat. Dies wiederum bedeutet, dass<br />
0 =<br />
l∑<br />
c i (u i + U (q−1) ) ∈ U (q) /U (q−1) .<br />
i=1<br />
Nach Voraussetzung sind dann alle c j = 0. Dies zeigt (a).<br />
Um auch den Teil (b) der Behauptung zu zeigen, genügt es<br />
U (q−1) ∩ W (q) = {0}
196 7 Die Jordan-Normalform<br />
nachzuweisen, weil wir mit Satz 5.3.8 und (dem Beweis von) Satz 2.4.4 die Dimensionsformeln<br />
und<br />
dim W (q) = l = dim ( U (q) /U (q−1)) = dim U (q) − dim U (q−1)<br />
dim(W (q) + U (q−1) ) = dim U (q−1) + dim W (q) − dim(U (q−1) ∩ W (q) )<br />
haben: Aus U (q−1) ∩ W (q) = {0} folgt nämlich dim(W (q) + U (q−1) ) = dim(U (q) ),<br />
also W (q) + U (q−1) ) = U (q) . Beide Bedingungen zusammen sind aber gleichwertig<br />
mit W (q) ⊕ U (q−1) ) = U (q) .<br />
Jedes Element von W (q) ist von der Form ∑ l<br />
i=1 c iu i ∈ U (q−1) . Wenn aber<br />
∑ l<br />
i=1 c iu i ∈ U (q−1) , dann gilt ∑ l<br />
i=1 c iũ i = 0, also c i = 0 für alle i = 1, . . . , l.<br />
Damit ist die Behauptung bewiesen.<br />
Konstruktion der aus ϕ-Ketten bestehenden Basis:<br />
0. Schritt: Wähle eine Basis ũ (p)<br />
1 , . . . , ũ(p) l p<br />
für U (p) /U (p−1) und dann Vektoren<br />
u (p)<br />
1 , . . . , u(p) l p<br />
∈ U (p) mit ũ (p)<br />
i = u (p)<br />
i + U (p−1) . Das geht, weil der kanonische<br />
Quotientenhomomorphismus U (p) → U (p) /U (p−1) surjektiv ist. Teil (b) der Behauptung<br />
zeigt, dass für W (p) := span(u (p)<br />
1 , . . . , u(p) l p<br />
)<br />
U (p) = U (p−1) ⊕ W (p) ,<br />
gilt. Teil (a) der Behauptung zeigt, dass<br />
{ϕ(u (p)<br />
1 ) + U (p−2) , . . . , ϕ(u (p)<br />
l p<br />
) + U (p−2) }<br />
in U (p−1) /U (p−2) linear unabhängig ist.<br />
1. Schritt: Ergänze ϕ(u (p)<br />
1 ) + U (p−2) , . . . , ϕ(u (p) ) + U (p−2) zu einer Basis<br />
ϕ(u (p)<br />
für U (p−1) /U (p−2)<br />
ũ (p−1)<br />
i<br />
gilt:<br />
= u (p−1)<br />
i<br />
1 ) + U (p−2) , . . . , ϕ(u (p)<br />
l p<br />
l p<br />
) + U (p−2) , ũ (p−1)<br />
1 , . . . , ũ (p−1)<br />
l p−1<br />
und wähle Vektoren u (p−1)<br />
1 , . . . , u (p−1)<br />
l p−1<br />
∈ U (p−1) so, dass<br />
+ U (p−2) . Teil (b) der Behauptung zeigt, dass für<br />
W (p−1) := span{ϕ(u (p)<br />
1<br />
), . . . , ϕ(u(p)<br />
l p<br />
), u (p−1)<br />
1 , . . . , u (p−1)<br />
l p−1<br />
}.<br />
U (p−1) = U (p−2) ⊕ W (p−1) .<br />
Teil (a) der Behauptung zeigt, dass<br />
{<br />
ϕ 2 (u (p)<br />
1 ) + U (p−3) , . . . , ϕ 2 (u (p) ) + U (p−3) , ϕ(u (p−1)<br />
1 ) + U (p−3) , . . . , ϕ(u (p1)<br />
l p−1<br />
) + U (p−3)}<br />
in U (p−2) /U (p−3) linear unabhängig ist.<br />
j=1<br />
l p<br />
In Schritt q − 1 findet man, dass die Vektoren<br />
q⋃ {<br />
ϕ j( u (p−q+j) )<br />
1 + U (p−q−1) , . . . , ϕ j( u (p−q+j) ) }<br />
l p−q+j<br />
+ U<br />
(p−q−1)<br />
in U (p−q) /U (p−q−1) linear unabhängig sind.<br />
.
q. Schritt Ergänze<br />
q⋃ {<br />
j=1<br />
ϕ j( u (p−q+j)<br />
1<br />
7.2 Nilpotenz und ϕ-Ketten 197<br />
)<br />
+ U (p−q−1) , . . . , ϕ j( u (p−q+j)<br />
l p−q+j<br />
)<br />
+ U<br />
(p−q−1) }<br />
durch ũ (p−q)<br />
1 , . . . , ũ (p−q)<br />
l p−q<br />
zu einer Basis für U (p−q) /U (p−q−1) und wähle Vektoren<br />
u (p−q)<br />
1 , . . . , u (p−q)<br />
l p−q<br />
∈ U (p−q) so, dass ũ (p−q)<br />
1 = u (p−q)<br />
i + U (p−q−1) . Dann ist<br />
q⋃ {<br />
j=0<br />
ϕ j( u (p−q+j)<br />
1<br />
)<br />
+ U (p−q−1) , . . . , ϕ j( u (p−q+j)<br />
l p−q+j<br />
)<br />
+ U<br />
(p−q−1) }<br />
eine Basis für U (p−q) /U (p−q−1) . Teil (b) der Behauptung zeigt, dass für<br />
⎛<br />
q⋃ {<br />
W (p−q) := span ⎝ ϕ j( u (p−q+j) )<br />
1 , . . . , ϕ<br />
j ( u (p−q+j) ) }⎞ ⎠<br />
l p−q+j<br />
gilt:<br />
j=0<br />
j=0<br />
U (p−q) = U (p−q−1) ⊕ W (p−q) .<br />
Teil (a) der Behauptung zeigt, dass<br />
q⋃ {<br />
ϕ j+1( u (p−q+j) )<br />
1 + U (p−q−2) , . . . , ϕ j+1( u (p−q+j) ) }<br />
l p−q+j<br />
+ U<br />
(p−q−2)<br />
in U (p−q−1) /U (p−q−2) linear unabhängig ist.<br />
Als Ergebnis unserer Konstruktion erhalten wir das folgende Schema:<br />
.<br />
U (1) . . . U (p−q) . . . U (p−2) U (p−1) U (p)<br />
ϕ p−1 (u (p)<br />
1 ) ← . . . ← ϕq (u (p)<br />
1 ) ← . . . ← ϕ2 (u (p)<br />
1 ) ← ϕ(u(p) 1 ) ← u(p) 1<br />
.<br />
.<br />
. . .<br />
ϕ p−1 (u (p)<br />
l p<br />
) ← . . . ← ϕ q (u (p)<br />
l p<br />
) ← . . . ← ϕ 2 (u (p)<br />
l p<br />
) ← ϕ(u (p)<br />
l p<br />
) ← u (p)<br />
l p<br />
ϕ p−2 (u (p−1)<br />
1 ) ← . . . ← ϕ q−1 (u (p−1)<br />
1 ) ← . . . ← ϕ(u (p−1)<br />
1 ) ← u (p−1)<br />
1 W (p)<br />
.<br />
.<br />
. .<br />
ϕ p−2 (u (p−1)<br />
l p−1<br />
) ← . . . ← ϕ q−1 (u (p−1) ) ← . . . ← ϕ(u (p−1) ) ← u (p−1)<br />
l p−1<br />
.<br />
.<br />
ϕ p−q (u (p−q+1)<br />
1 ) ← . . . ← ϕ(u (p−q+1)<br />
1 ) ← . . .<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.<br />
ϕ p−q (u (p−q+1)<br />
l p−q+1<br />
) ← . . . ← ϕ(u (p−q+1)<br />
l p−q+1<br />
) ← . . .<br />
ϕ p−q−1 (u (p−q)<br />
1 ) ← . . . ← u (p−q)<br />
1<br />
.<br />
.<br />
ϕ p−q−1 (u (p−q)<br />
l p−q<br />
) ← . . . ← u (p−q)<br />
l p−q<br />
.<br />
u (1)<br />
1.<br />
. W (p−q)<br />
l p−1<br />
l p−1<br />
. W (p−1)<br />
u (1)<br />
l 1<br />
W (1)
198 7 Die Jordan-Normalform<br />
Damit sehen wir<br />
V = U (p) = U (p−1) ⊕ W (p) = . . . = W (1) ⊕ . . . ⊕ W (p) ,<br />
woraus mit Proposition 5.5.9 folgt, dass<br />
p−1<br />
⋃<br />
q⋃ {<br />
q=0 j=0<br />
ϕ j( u (p−q+j)<br />
1<br />
)<br />
, . . . , ϕ<br />
j ( u (p−q+j) ) }<br />
l p−q+j<br />
eine Basis für V ist, die aus ϕ-Ketten besteht.<br />
⊓⊔<br />
Wenn man die im Beweis von Satz 7.2.6 gewonnene Basis entsprechend dem<br />
dort angegebenen Schema von links oben nach rechts unten liest, dann hat die darstellende<br />
Matrix von ϕ bzgl. dieser Basis Blockdiagonalgestalt mit Jordanblöcken,<br />
die auf der Diagonale Nullen stehen haben.<br />
Beispiel 7.2.7. Wir greifen die Matrix A aus Beispiel 7.1.9 noch einmal auf und<br />
betrachten für ϕ = ϕ A zunächst ϕ| V λ 1 : V λ1 → V λ1 mit λ 1 = 3. Die Abbildung<br />
ψ 1 := ϕ| V λ 1 − 3 id : V λ1 → V λ1 hat bzgl. der Basis<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
1<br />
−1<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ , ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
⎞ ⎛<br />
⎟<br />
⎠ , ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
für V λ1<br />
die darstellende Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
0 1 0<br />
A ′ 1 = ⎝ 0 0 1 ⎠ .<br />
0 0 0<br />
Die Potenzen dieser Matrix sind:<br />
⎛ ⎞2<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
0 1 0 0 0 1<br />
0 1 0<br />
(A ′ 1) 2 = ⎝ 0 0 1 ⎠ = ⎝ 0 0 0 ⎠ , (A ′ 1) 3 = ⎝ 0 0 1 ⎠<br />
0 0 0 0 0 0<br />
0 0 0<br />
Jetzt müssen wir die Kerne ker (ψ 1 ) l berechnen, d.h. wir müssen die Gleichungen<br />
(A ′ 1) l x = 0 lösen und dann feststellen (Übung!), dass x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ⊤ genau dann<br />
eine Lösung dieser Gleichung ist, wenn<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
1<br />
−1<br />
x 1 ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ + x 2 ⎜<br />
⎝<br />
0<br />
gilt. Als Ergebnis erhält man<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ + x 3 ⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ ∈ ker (ψ 1) l<br />
3<br />
= 0.
0 ⊂ ker ψ<br />
} {{ } 1 ⊂ ker ψ1<br />
2 } {{ }<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
1 1 1<br />
−1<br />
−1<br />
0<br />
R<br />
0<br />
R<br />
0<br />
+R<br />
−1<br />
⎜<br />
⎝ 0 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 0 ⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ 0<br />
0 0 0<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 1<br />
1<br />
0<br />
ψ ⎜0<br />
1<br />
−1<br />
ψ<br />
⎟ ← ⎜ 0<br />
1<br />
0<br />
⎟ ←<br />
⎜−1<br />
⎟<br />
⎝0⎠<br />
⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠<br />
0 0<br />
0<br />
7.2 Nilpotenz und ϕ-Ketten 199<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⊂ ker ψ 3 1 = V λ1<br />
ψ 1<br />
←<br />
Genauso verfahren wir jetzt mit V λ2 . Wegen<br />
( )<br />
3 − λ 1<br />
det<br />
= (2 − λ) 2<br />
−1 1 − λ<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
ist λ 2 = 2 der einzige Eigenwert von ϕ| V λ 2 : V λ2 → V λ2 . Die Abbildung ψ 2 :=<br />
ϕ| V λ 2 − 2 id : V λ2 → V λ2 hat bzgl. der Basis<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 0<br />
0<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠ , 0<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
0 1<br />
für V λ2<br />
die darstellende Matrix<br />
A ′ 2 =<br />
( ) 1 1<br />
,<br />
−1 −1<br />
und es gilt<br />
Hier finden wir<br />
(A ′ 2) 2 =<br />
( ) 2<br />
1 1<br />
= 0.<br />
−1 −1<br />
0 ⊂ ker ψ<br />
} {{ } 2 ⊂ ker ψ2 2 = V λ2<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
0<br />
R<br />
0<br />
⎜<br />
⎝ 1 ⎟<br />
⎠<br />
−1<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 0<br />
0<br />
ψ ⎜0<br />
2<br />
0<br />
⎟ ← ⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝0⎠<br />
⎝ 1 ⎠<br />
0 −1<br />
ψ 2<br />
←<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
0<br />
⎜0<br />
⎟<br />
⎝0⎠<br />
1<br />
Schließlich wählen wir als Basis für V λ1 und V λ2 die entsprechenden ψ 1 - bzw. ψ 2 -<br />
Ketten: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
1 1 1<br />
0 0<br />
⎧⎪ ⎨ −1<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎪ 0 ⎠ , 0<br />
⎜ −1<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ , 0<br />
⎪⎬ ⎪⎨<br />
0<br />
⎜ 0<br />
⎟ ,<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ −1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ , 0<br />
⎪⎬<br />
⎜ 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
⎩ ⎪⎭ ⎪⎩<br />
⎪⎭<br />
0 0 0<br />
−1 1
200 7 Die Jordan-Normalform<br />
und als Basis für V die Vereinigung dieser beiden Basen. Bzgl. dieser Basis hat ϕ<br />
die Matrix:<br />
⎛ ⎞<br />
3 1 0 0 0<br />
0 3 1 0 0<br />
⎜ 0 0 3 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 2 1 ⎠<br />
0 0 0 0 2<br />
⊓⊔<br />
In den beiden obigen Beispielen genügte jeweils eine ϕ-Kette, um die ganze Basis<br />
zu erhalten. Im folgenden Beispiel ist das anders.<br />
Beispiel 7.2.8. Sei<br />
Dann gilt<br />
⎛<br />
A =<br />
⎜<br />
⎝<br />
3 1<br />
3<br />
3 1<br />
3 1<br />
3<br />
3 1<br />
3 1<br />
3<br />
3 1<br />
3 1<br />
3 1<br />
3<br />
⎞<br />
.<br />
⎟<br />
⎠<br />
χ A (λ) = det(A − λ · 1 12 ) = (3 − λ) 12 ,<br />
d.h. es existiert nur ein Eigenwert λ 1 = 3 mit r 1 = 12 als Dimension des<br />
verallgemeinerten Eigenraums zu λ 1 . Wir setzen ϕ := ϕ A : R 12 → R 12 und<br />
ψ := ϕ − λ 1 id : R 12 → R 12 und bestimmen<br />
A − 3 · 1 12 =<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
(A−3·1 12 ) 2 =<br />
⎜<br />
⎝<br />
{0} ⊆ ker (ψ) ⊆ . . . ⊆ ker ( ψ 11) ⊆ ker ( ψ 12) .<br />
⎛<br />
0 1<br />
⎞<br />
0 0<br />
⎟<br />
0 0<br />
0 0<br />
0 0 1<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 1 0<br />
0 0 1<br />
0 0 0<br />
0 0 1<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 1 0<br />
0 0 1<br />
0 0 0<br />
0 0 1 0<br />
0 0 0 1<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0 0<br />
0 1 0 0<br />
0 0 1 0<br />
0 0 0 1<br />
0 0 0 0<br />
⎞<br />
, ker (ψ) = span{e 1 , e 3 , e 6 , e 9 }<br />
⎟<br />
⎠<br />
, ker ( (ψ) 2) = span{e 1 , . . . , e 4 , e 6 , e 7 , e 9 , e 10 }<br />
⎟<br />
⎠
⎛<br />
(A − 3 · 1 12 ) 3 =<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
(A − 3 · 1 12 ) 4 =<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 0<br />
0 0<br />
0 0<br />
0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0 1<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0 0<br />
0 0 0 0<br />
⎞<br />
7.2 Nilpotenz und ϕ-Ketten 201<br />
, ker ( (ψ) 3) = span{e 1 , . . . , e 11 }<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
, ker ( (ψ) 4) = span{e 1 , . . . , e 12 }.<br />
⎟<br />
⎠<br />
Um die gewünschte Basis zu erhalten müssen nun die folgenden Schritte durchgeführt<br />
werden:<br />
1. (i) Wähle eine Basis von ker ( (ψ) 3) und ergänze zu einer Basis von ker ( (ψ) 4)<br />
{e 1 , . . . , e 11 } Basis für ker ( (ψ) 3) , ergänzt: e 12<br />
(ii) Bilde die ψ–Kette des ergänzten Vektors.<br />
2. (i) Betrachte ker ( (ψ) 2) und die Elemente der ψ–Kette, die in ker ( (ψ) 3) liegen.<br />
Wenn B 2 eine Basis für ker ( (ψ) 2) ist, dann ist B 2 ∪ { Elemente der ψ–<br />
Ketten, die in ker ( (ψ) 3) \ ker ( (ψ) 2) liegen} linear unabhängig. Ergänze<br />
diese Menge zu einer Basis von ker ( (ψ) 3) .<br />
{e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 6 , e 7 , e 9 , e 10 } ∪ {e 11 } Basis für ker ( (ψ) 2) , ergänzt: e 5 , e 8<br />
(ii) Bilde die ψ–Ketten der ergänzten Vektoren.<br />
3. (i) Betrachte ker (ψ) und die Elemente der ψ–Ketten, die in ker ( (ψ) 2) \ker (ψ)<br />
liegen. Sei B 1 eine Basis für ker (ψ), dann ist B 1 ∪{ Elemente der ψ–Ketten,<br />
die in ker ( (ψ) 2) \ ker (ψ) liegen } linear unabhängig. Ergänze diese Menge<br />
zu einer Basis von ker ( (ψ) 2) .<br />
{e 1 , e 3 , e 6 , e 9 , e 10 } ∪ {e 4 , e 7 , e 10 } Basis für ker ( (ψ) ) , ergänzt: e 2<br />
(ii) Bilde die ψ–Ketten der ergänzten Vektoren.<br />
Das zugehörige Diagramm der ψ–Ketten sieht wie folgt aus:<br />
{0} ⊆ ker (ψ) ⊆ ker ( (ψ) 2) ⊆ ker ( (ψ) 3) ⊆ ker ( (ψ) 4) = R 12<br />
0<br />
ψ<br />
←− e 9<br />
ψ<br />
←− e10<br />
ψ<br />
←− e11<br />
ψ<br />
←− e12 1.<br />
0<br />
ψ<br />
←− e 6<br />
ψ<br />
←− e7<br />
ψ<br />
←− e8 2.<br />
0<br />
ψ<br />
←− e 3<br />
ψ<br />
←− e4<br />
ψ<br />
←− e5<br />
0<br />
ψ<br />
←− e 1<br />
ψ<br />
←− e2 3.
202 7 Die Jordan-Normalform<br />
Die gesuchte Basis ist die Vereinigung der ψ–Ketten. Innerhalb dieser Ketten<br />
darf man die Reihenfolge nicht vertauschen.<br />
Basis: {e 9 , e 10 , e 11 , e 12 , e 6 , e 7 , e 8 , e 3 , e 4 , e 5 , e 1 , e 2 }<br />
bzgl. dieser Basis hat ψ die Matrix:<br />
⎛<br />
0 1<br />
0 1<br />
0 1<br />
0<br />
A =<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 1<br />
0 1<br />
0<br />
0 1<br />
0 1<br />
0<br />
0 1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⊓⊔<br />
Übung 7.2.1. Es seien ϕ : K n → K n eine lineare Abbildung, B ⊂ K n eine Basis von<br />
Kern(ϕ 3 ) und v, w ∈ Kern(ϕ 4 ) so gewählt, daß {v, w} ∪ B linear abhängig ist. Zeige durch<br />
direktes Vorgehen, dass die Menge<br />
linear unabhängig ist.<br />
{v, w, ϕ(v), ϕ(w), ϕ 2 (v), ϕ 2 (w), ϕ 3 (v), ϕ 3 (w)}<br />
Übung 7.2.2. Zeige, daß die Abbildung ϕ : R 4 → R 4 mit darstellender Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
2 −1 2 −2<br />
A = ⎜ 0 2 0 2<br />
⎟<br />
⎝−2 1 −2 2 ⎠<br />
0 −2 0 −2<br />
bezüglich der Standardbasis nilpotent ist, und bestimme mit Hilfe von ϕ-Ketten eine Basis<br />
des R 4 , bezüglich der die Matrix von ϕ eine möglichst einfach Gestalt annimmt.<br />
Übung 7.2.3. Es seien ϕ : K n → K n eine lineare Abbildung, B ⊂ K n eine Basis von<br />
Kern(ϕ 3 ) und v, w ∈ Kern(ϕ 4 ) so gewählt, dass {v, w} ∪ B linear unabhängig ist. Zeige<br />
durch direktes Vorgehen, dass die Menge<br />
linear unabhängig ist.<br />
{v, w, ϕ(v), ϕ(w), ϕ 2 (v), ϕ 2 (w), ϕ 3 (v), ϕ 3 (w)}<br />
Übung 7.2.4. Zeige, dass die Abbildungen ϕ : R 3 → R 3 und ψ : R 4 → R 4 mit darstellenden<br />
Matrizen (bezüglich der Standardbasen)<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎛ ⎞<br />
2 −1 2 −2<br />
0 2 2<br />
A = ⎝0 0 2⎠ , B = ⎜ 0 2 0 2<br />
⎟<br />
⎝−2 1 −2 2 ⎠<br />
0 0 0<br />
0 −2 0 −2<br />
nilpotent sind, und bestimme mit Hilfe von ϕ/ψ-Ketten Basen von R 3 bzw. R 4 , bezüglich<br />
der die darstellenden Matrizen möglichst einfache Gestalt annehmen.
7.3 Die Jordan–Normalform 203<br />
Übung 7.2.5. Es seien V ein K-Vektorraum mit dim V < ∞, ϕ ∈ End K(V ) ein Endomorphismus<br />
und λ ∈ K. Zeige für B l (λ) := im (ϕ − λ id V ) l :<br />
1. B l (λ) ⊇ B l+1 (λ) für alle l ∈ N,<br />
2. ϕ(B l (λ)) ⊆ B l (λ) für alle l ∈ N,<br />
3. die Folge der Bildräume B 1(λ) ⊇ B 2(λ) ⊇ · · · wird vom gleichen Index an konstant<br />
wie die Folge der Kernräume V 1(λ) ⊆ V 2(λ) ⊆ · · · mit V l (λ) := ker (ϕ − λ id V ) l wie<br />
in Bemerkung 7.1.2.<br />
Übung 7.2.6. Bestimme die Jordan–Normalform der folgenden nilpotenten Matrix und<br />
gib eine dazugehörige Übergangsmatrix an.<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 −2 0 −1 2<br />
1 −3 −1 0 3<br />
A =<br />
⎜0 2 1 −1 −3<br />
⎟<br />
⎝1 0 0 −1 −2⎠<br />
0 −1 0 0 2<br />
Übung 7.2.7. Sei K ein Körper und n ∈ N mit n < |K|. Zeige, dass sich jede Matrix<br />
A ∈ Mat(n × n, K), dessen charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt, zerlegen<br />
lässt in die Summe<br />
A = S + N<br />
einer diagonalisierbaren Matrix S und einer nilpotenten Matrix N, für die außerdem SN =<br />
NS gilt.<br />
Übung 7.2.8. Für Matrizen A, B ∈ Mat(n×n, K) sei [A, B] := AB−BA der Kommutator.<br />
Zeige:<br />
1. Für A, B mit [A, B] = 0 gilt<br />
(1) (A + B) k = ∑ k<br />
( k<br />
l=0 l)<br />
A l B k−l für alle k ∈ N,<br />
(2) sind A, B nilpotent, so ist A + B nilpotent,<br />
2. Sei n < |K| und A ∈ Mat(n × n, K) eine Matrix, dessen charakteristisches Polynom in<br />
Linearfaktoren zerfällt. Dann ist die Zerlegung A = S + N in eine diagonalisierbare<br />
Matrix S und eine nilpotente Matrix N mit [S, N] = 0 ist eindeutig.<br />
Hinweis: Interpretiere die Matrizen als lineare Abbildungen, betrachte die Zerlegung<br />
in verallgemeinerte Eigenräume und zeige, dass die Abbildung mit Darstellungsmatrix<br />
S − λ 1 n in der Einschränkung auf V λ nilpotent ist.<br />
7.3 Die Jordan–Normalform<br />
Zu jedem ϕ ∈ End K (V ), für den die charakteristische Polynomfunktion in Linearfaktoren<br />
zerfällt, möchte man eine Basis zu finden, bzgl. der die Matrix von<br />
ϕ eine Blockdiagonalmatrix ist, deren einzelne Blöcke Jordanblöcke sind. Anders<br />
ausgedrückt wollen wir zu einer Matrix A mit zerfallender charakteristischer Polynomfunktion<br />
eine Übergangsmatrix C finden, für die A ′ = C −1 AC eine Blockdiagonalmatrix<br />
ist, deren einzelne Blöcke Jordanblöcke sind. D.h. A ′ soll die Gestalt
204 7 Die Jordan-Normalform<br />
⎛<br />
⎞<br />
λ 1 1 0<br />
. .. . ..<br />
. .. 1<br />
0 λ 1 . .. λ 1 1 0<br />
.<br />
A ′ .. . ..<br />
=<br />
. .. 1<br />
0 λ 1 λ 2 1 0<br />
. .. . ..<br />
. .. 1<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 λ 2<br />
⎟<br />
⎠<br />
. ..<br />
haben. Man sagt dann, die Matrix sei in Jordan–Normalform.<br />
Bemerkung 7.3.1. Die Jordan-Normalform hat Anwendungen in vielen Bereichen<br />
der Mathematik, zum Beispiel hat sie große Bedeutung für das Lösen von partiellen<br />
Differentialgleichungssystemen erster Ordung mit konstanten Koeffizienten. Hier<br />
reduziert die einfache Form der Jordan-Normalform das Problem auf sukzessive<br />
Integration eines kleinen Systems. Um die Lösungen des ursprünglichen Systems<br />
zurückzuerhalten, werden die Übergangsmatrizen wesentlich gebraucht.<br />
Sei K ein Körper mit mindestens n + 1 Elementen, V ein K-Vektorraum der Dimension<br />
n und ϕ ∈ End K (V ). Weiter zerfalle die charakteristische Polynomfunktion<br />
χ ϕ (λ) = (λ 1 − λ) r1 . . . (λ k − λ) r k<br />
, wobei λ i ≠ λ j für i ≠ j und r 1 + . . . , +r k = n.<br />
Dann zerlegt sich V nach Satz 7.1.6 als V = V λ1 ⊕ . . . ⊕ V λ k<br />
, wobei V λj der<br />
verallgemeinerte Eigenraum zum Eigenwert λ j ist. Es gilt dim(V λj ) = r j und die<br />
Einschränkung ϕ j = ϕ| V<br />
λ j von ϕ auf V λj erfüllt χ ϕj (λ) = (λ j − λ) rj . Also ist die<br />
Abbildung ψ j = ϕ j − λ j id V<br />
λ j : V λj → V λj nach Lemma 7.2.1 nilpotent. Mit Satz<br />
7.2.6 finden wir also eine Basis {v (j)<br />
1 , . . . , v(j) r j<br />
} für V λj , die aus ψ j -Ketten besteht<br />
und bzgl. der ψ j eine darstellende Matrix der Form<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 1<br />
. .. . ..<br />
. .. 1<br />
0<br />
0 1<br />
. .. 1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
. ..<br />
hat. Daher hat die darstellende Matrix von ϕ j bzgl. dieser Basis die Form
7.3 Die Jordan–Normalform 205<br />
⎛<br />
⎞<br />
λ j 1<br />
. .. . ..<br />
. .. 1 λ j λ j 1<br />
.<br />
. .. 1 ⎜<br />
⎝<br />
λ j<br />
⎟<br />
⎠<br />
. ..<br />
Wir setzen jetzt die Basen {v (j)<br />
1 , . . . , v(j) r j<br />
} für V λj zu einer Basis<br />
{v (1)<br />
1 , . . . , v(1) r 1<br />
, v (2)<br />
r 2<br />
1 , . . . , v(2)<br />
, . . . , v (k)<br />
1 , . . . , v(k) r k<br />
}<br />
für V zusammen, dann hat ϕ bzgl. dieser Basis die gewünschte Gestalt. Damit<br />
haben wir den folgenden Satz bewiesen:<br />
Satz 7.3.2 (Jordan–Normalform). Sei K ein Körper mit mindestens n + 1 Elementen<br />
und A ∈ Mat(n × n, K). Die charakteristische Polynomfunktion χ A von A<br />
sei von der Form χ A (λ) = (λ 1 − λ) r1 · · · (λ k − λ) r k<br />
(λ j paarweise verschieden und<br />
r 1 + . . . , +r k = n). Sei V = K n und ϕ ∈ End K (V ) die zu A gehörige lineare Abbildung<br />
(bzgl. der Standardbasis). Dann ist A ähnlich zu einer Blockdiagonalmatrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
A (1)<br />
1<br />
. ..<br />
A (1)<br />
q 1<br />
A (2)<br />
1<br />
. ..<br />
A (k)<br />
1<br />
. ..<br />
A (k)<br />
q k<br />
,<br />
⎟<br />
⎠<br />
wobei jeder Block A (j)<br />
i<br />
A (j)<br />
i =<br />
ein Jordan–Block mit Diagonalelement λ j ist, d.h. es gilt<br />
⎛<br />
⎞<br />
λ j 1 0<br />
. .. . ..<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ⎟ .. 1 ⎠ ∈ Mat(m(j) i × m (j)<br />
i , K).<br />
0 λ j<br />
Eine Matrix von der Form, wie sie in Satz 7.3.2 angegeben ist, heißt eine Matrix<br />
in Jordan–Normalform.<br />
⊓⊔<br />
Satz 7.3.3 (Cayley–Hamilton). Sei K ein Körper mit mindestens n + 1 Elementen<br />
und A ∈ Mat(n × n, K). Die charakteristische Polynomfunktion χ A von A<br />
sei von der Form χ A (λ) = (λ 1 − λ) r1 · · · (λ k − λ) r k<br />
mit λ j paarweise verschieden<br />
und r 1 + . . . , +r k = n. Dann gilt<br />
χ A (A) := (λ 1 1 − A) r1 · · · (λ k 1 − A) r k<br />
= 0.
206 7 Die Jordan-Normalform<br />
Beweis. Idee: Schreibe A in Jordan-Normalform.<br />
Wegen C −1 χ A (A)C = χ A (C −1 AC) = χ C −1 AC(C −1 AC) (vgl. Satz 6.3.11)<br />
können wir nach Satz 7.3.2 annehmen, dass A in Jordan–Normalform ist. Weil<br />
dann χ A (A) in Blockdiagonalform ist, genügt zu zeigen, dass für jeden Block einer<br />
der Faktoren die Nullmatrix ist. Wenn A (j)<br />
i ∈ Mat(r j × r j , K) die Summe der zu λ j<br />
gehörigen Jordanblöcke ist, genügt es also zu zeigen, dass<br />
(λ j 1 rj − A (j)<br />
i ) rj = 0.<br />
Aber diese Gleichheit folgt aber sofort aus dem Umstand, dass λ j 1 rj<br />
strikt obere Dreiecksmatrix mit r j Zeilen und Spalten ist.<br />
− A (j)<br />
i<br />
eine<br />
⊓⊔<br />
Als nächstes behandeln wir die Frage, wie man im Falle reeller Matrizen mit<br />
nichtzerfallendem charakteristischem Polynom vorgeht, wenn man nur reelle Matrizen<br />
bei den Ähnlichkeitsumformungen zulassen will.<br />
Proposition 7.3.4. Sei A ∈ Mat(n × n, R) ⊆ Mat(n × n, C) und λ o<br />
Eigenwert von A. Dann ist auch λ o ein Eigenwert von A.<br />
Beweis. Schreibe χ A (λ) = ∑ n<br />
j=0 a jλ j mit a j ∈ R. Dann gilt<br />
∈ C ein<br />
n∑<br />
n∑<br />
χ A (λ) = a j λ j = a j λ j = χ A (λ).<br />
j=0<br />
j=0<br />
Wenn also χ A (λ o ) = 0, dann gilt auch<br />
χ A (λ o ) = χ A (λ o ) = 0 = 0.<br />
⊓⊔<br />
Proposition 7.3.5. Sei A ∈ Mat(n × n, R) ⊆ Mat(n × n, C) und λ o ∈ C ein<br />
Eigenwert von A. Weiter sei V λo ⊆ C n der verallgemeinerte Eigenraum von<br />
ϕ A : C n → C n zum Eigenwert λ o . Dann ist die Abbildung<br />
V λo<br />
ein Isomorphismus von R-Vektorräumen.<br />
→ V λo<br />
v ↦→ v<br />
Beweis. Wir haben v ∈ V λo genau dann, wenn es ein m ∈ N mit (A − λ o 1) m v = 0<br />
gibt. Wendet man auf diese Gleichung die komplexe Konjugation an, so erhält man,<br />
dass dies äquivalent zu v ∈ V λo ist. Damit sieht man, dass die Abbildung<br />
V λo<br />
→ V λo<br />
v ↦→ v<br />
wohldefiniert und bijektiv ist. Die R-Linearität folgt sofort aus<br />
rv + sw = rv + sw = rv + sw<br />
für alle r, s ∈ R.<br />
⊓⊔
7.3 Die Jordan–Normalform 207<br />
Proposition 7.3.6. Sei A ∈ Mat(n × n, R) ⊆ Mat(n × n, C) und λ o ∈ C \ R ein<br />
Eigenwert von A. Weiter sei {v 1 , . . . , v k } eine Basis für den C-Vektorraum V λo .<br />
Dann ist<br />
{<br />
v1 + v 1<br />
B := , v 1 − v 1<br />
, . . . , v k + v k<br />
, v }<br />
k − v k<br />
2 2i 2 2i<br />
eine Basis für den R-Vektorraum R n ∩ (V λo + V λo ).<br />
Beweis. Idee: Mache aus den reellen Linearkombinationen der Elemente von B komplexe<br />
Linearkombinationen von {v 1, . . . , v k , v 1, . . . , v k }.<br />
und<br />
Wegen<br />
( )<br />
vj + v j<br />
2<br />
= v j + v j<br />
2<br />
( )<br />
vj − v j<br />
= v j − v j<br />
2i −2i<br />
= v j + v j<br />
2<br />
= v j − v j<br />
2i<br />
ist B in R n ∩ (V λo + V λo ) enthalten.<br />
Um die lineare Unabhängigkeit von B über R zu zeigen, wähle a j , b j ∈ R und<br />
setze an<br />
0 =<br />
k∑<br />
j=1<br />
(<br />
)<br />
v j + v j v j − v j<br />
a j + b j<br />
2 2i<br />
=<br />
k∑<br />
j=1<br />
(<br />
aj<br />
2 + b ) (<br />
j aj<br />
v j +<br />
2i 2 − b )<br />
j<br />
v j .<br />
2i<br />
Dann folgt 0 = ∑ k<br />
j=1 (a j − ib j ) v j ∈ V λo und 0 = ∑ k<br />
j=1 (a j + ib j ) v j ∈ V λo , weil<br />
wegen λ o ∈ C \ R gilt V λo ∩ V λo = {0}. Also hat man a j ± ib j = 0 für j = 1, . . . , k,<br />
da die v j C-linear unabhängig sind. Insbesondere sind dann auch die a j und die b j<br />
gleich Null.<br />
Um zu zeigen, dass B den R-Vektorraum R n ∩ (V λo + V λo ) aufspannt, wählt<br />
man v ∈ V λo und w ∈ V λo so, dass v + w ∈ R n . Dann gilt v + w = v + w und daher<br />
v − w = v − w ∈ V λo ∩ V λo = {0}.<br />
Dies zeigt w = v. Mit v = ∑ k<br />
j=1 (a j − ib j )v j , folgt dann w = ∑ k<br />
j=1 (a j + ib j )v j , also<br />
v + w =<br />
=<br />
k∑<br />
a j (v j + v j ) −<br />
j=1<br />
k∑<br />
j=1<br />
2a j<br />
(<br />
vj + v j<br />
2<br />
k∑<br />
ib j (v j − v j )<br />
j=1<br />
)<br />
+<br />
k∑<br />
j=1<br />
( )<br />
vj − v j<br />
2b j .<br />
2i<br />
⊓⊔<br />
Proposition 7.3.7. Sei A ∈ Mat(n × n, R) ⊆ Mat(n × n, C) und λ o ∈ C \ R ein<br />
Eigenwert von A. Weiter sei {v 1 , . . . , v k } eine Basis für den C-Vektorraum V λo .<br />
Wenn die darstellende Matrix von<br />
bzgl. dieser Basis gleich<br />
ϕ A | V λo : V λo<br />
→ V λo
208 7 Die Jordan-Normalform<br />
⎛<br />
⎞<br />
λ o 1<br />
. .. . ..<br />
. .. 1 A ′ =<br />
λ o λ o 1<br />
. .. 1 ⎜<br />
⎝<br />
λ o<br />
⎟<br />
⎠<br />
. ..<br />
ist, dann ist die darstellende Matrix von<br />
ϕ A | V λo ⊕V<br />
: V λo ⊕ V λo<br />
→ V λo ⊕ V λo<br />
λo<br />
bzgl.<br />
{v 1 , . . . , v k , v 1 , . . . , v k }<br />
gleich ( A<br />
′<br />
0<br />
0 A ′ )<br />
und die darstellende Matrix von<br />
ϕ A | R n ∩(V λo ⊕V λo ) : Rn ∩ (V λo ⊕ V λo ) → R n ∩ (V λo ⊕ V λo )<br />
bzgl. {<br />
v1 + v 1<br />
2<br />
gleich<br />
⎛<br />
A ′ =<br />
⎜<br />
⎝<br />
Re λ o Im λ o 1 0<br />
− Im λ o Re λ o 0 1<br />
, v 1 − v 1<br />
2i<br />
, . . . , v k + v k<br />
, v }<br />
k − v k<br />
2 2i<br />
1 0<br />
0 1<br />
Re λ o Im λ o<br />
− Im λ Re λ o o<br />
Re λ o Im λ o 1 0<br />
− Im λ o Re λ o 0 1<br />
1 0<br />
0 1<br />
Re λ o Im λ o<br />
− Im λ o Re λ o<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
. ..<br />
Beweis. Sei m 1 die Länge des ersten Jordanblocks in A ′ . Wir rechnen<br />
Av m1<br />
= λ o v m1 + v m1−1<br />
Av m1−1 = λ o v m1−1 + v m1−2<br />
.<br />
Av 1 = λ o v 1
7.3 Die Jordan–Normalform 209<br />
und analog<br />
Av m1<br />
= λ o v m1 + v m1−1<br />
Av m1−1 = λ o v m1−1 + v m1−2<br />
.<br />
Av 1 = λ o v 1 .<br />
Dann folgt die Behauptung, indem man diese beiden Sätze von Gleichungen geeignet<br />
kombiniert.<br />
⊓⊔<br />
Wenn wir die obigen Propositionen 7.3.4, 7.3.5, 7.3.6 und 7.3.7 auf jeden Eigenwert<br />
von A separat anwenden, erhalten wir den folgenden Satz:<br />
Satz 7.3.8 (Reelle Jordan–Normalform). Jedes A ∈ Mat(n × n, R) ist ähnlich<br />
zu einer Blockdiagonalmatrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
A 1<br />
. ..<br />
A k<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎟<br />
⎠<br />
mit Blöcken der Form<br />
oder<br />
⎛<br />
⎞<br />
λ j 1 0<br />
. .. . ..<br />
A j =<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ⎟ .. 1 ⎠<br />
0 λ j<br />
⎛<br />
Re λ j Im λ j 1 0<br />
− Im λ j Re λ j 0 1<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
. .. 1 0<br />
.<br />
0 1<br />
⎟<br />
Re λ j Im λ j<br />
⎠<br />
− Im λ j Re λ j<br />
Dabei sind die λ j die Eigenwerte von A und der zweite Fall tritt auf, wenn Im λ j ≠<br />
0. ⊓⊔<br />
( ) 0 −2<br />
Beispiel 7.3.9. Betrachte die Matrix A = ∈ Mat(2×2, R) ⊆ Mat(2×2, C).<br />
1 2<br />
Das charakteristische Polynom ist dann<br />
( ) −λ −2<br />
χ A (λ) = det<br />
= λ 2 − 2λ + 2 = (λ − (1 + i))(λ − (1 − i)).<br />
1 2 − λ<br />
A hat zwei verschiedene Eigenwerte( in C, ist also ) diagonalisierbar über C. Damit ist<br />
1 + i 0<br />
A als komplexe Matrix ähnlich zu<br />
und man rechnet sofort nach, dass<br />
0 1 − i<br />
( ) ±i − 1<br />
die Eigenräume zu 1 ± i durch C · gegeben sind. Die Übergangsmatrix C<br />
1
210 7 Die Jordan-Normalform<br />
( ) i − 1<br />
von der Standardbasis für C 2 zu v 1 := , v<br />
1 2 :=<br />
( ) −i 1 − i<br />
und ihre Inverse ist C −1 = 1 2<br />
. Damit gilt dann<br />
i 1 + i<br />
Beachte, dass<br />
v 1 + v 1<br />
2<br />
C −1 AC =<br />
=<br />
( ) −1<br />
1<br />
( )<br />
1 + i 0<br />
.<br />
0 1 − i<br />
und v 1 − v 1<br />
2i<br />
=<br />
( ) −i − 1<br />
ist<br />
1<br />
( 1<br />
0)<br />
.<br />
( )<br />
i − 1 −i − 1<br />
1 1<br />
Die ( beiden ) Vektoren bilden eine Basis ( für ) R 2 und mit der Übergangsmatrix ˜C =<br />
−1 1<br />
, deren Inverse durch<br />
1 0<br />
˜C 0 1<br />
= gegeben ist, findet man<br />
1 1<br />
( )<br />
˜C −1 A ˜C 1 1<br />
= .<br />
−1 1<br />
Beispiel 7.3.10. Betrachte die Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 1 0 0 0 1<br />
−1 0 0 0 0 0<br />
A =<br />
0 0 0 1 0 0<br />
⎜ 0 0 −1 0 0 0<br />
,<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 0 0 1⎠<br />
0 0 0 0 −1 0<br />
deren charakteristisches Polynom durch χ A (λ) = (λ 2 + 1) 3 = (λ + i) 3 (λ − i) 3<br />
gegeben ist. Der verallgemeinerte Eigenraum V i von A zum Eigenwert i in V = C 6<br />
hat folgende aus (ϕ A | V i − i id)–Ketten bestehende Basis:<br />
⎛<br />
v 1 =<br />
⎜<br />
⎝<br />
und die zugehörige Matrix ist<br />
− 1 2<br />
i<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0<br />
0<br />
1<br />
2<br />
0<br />
, v 2 =<br />
0<br />
⎟ ⎜ 0<br />
, v 3 =<br />
i<br />
⎟ ⎜−1<br />
⎟<br />
⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ 0 ⎠<br />
−1<br />
0<br />
⎛<br />
⎝ 0 1 0<br />
⎞<br />
0 0 0⎠ .<br />
0 0 0<br />
Also hat ϕ A bzgl. der Basis {v 1 , v 2 , v 3 , v 1 , v 2 , v 3 } für V die darstellende Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
i 1 0 0 0 0<br />
0 i 0 0 0 0<br />
0 0 i 0 0 0<br />
⎜0 0 0 −i 1 0<br />
.<br />
⎟<br />
⎝0 0 0 0 −i 0 ⎠<br />
0 0 0 0 0 −i<br />
Die Übergangsmatrix ˜C von der Standardbasis zur Basis { v1+v1<br />
für R 6 ist gegeben durch<br />
2<br />
, v1−v1<br />
2i<br />
⊓⊔<br />
v 2+v 2<br />
2<br />
, v2−v2 v 3+v 3<br />
2i 2<br />
, v3−v3<br />
2i<br />
}
7.3 Die Jordan–Normalform 211<br />
⎛<br />
− 1 2 0 0 0 0 0 ⎞<br />
0 1 1<br />
2 2 0 0 0<br />
˜C =<br />
0 0 0 0 0 1<br />
⎜ 0 0 0 0 −1 0<br />
.<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 1 0 0⎠<br />
0 0 −1 0 0 0<br />
Schließlich findet man<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 1 1 0 0 0<br />
−1 0 0 1 0 0<br />
˜C −1 A ˜C =<br />
0 0 0 1 0 0<br />
⎜ 0 0 −1 0 0 0<br />
.<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 0 0 1⎠<br />
0 0 0 0 −1 0<br />
⊓⊔<br />
Übung 7.3.1. Sei V ein R-Vektorraum und I : V → V eine komplexe Struktur auf V ,<br />
d.h. eine R-lineare Abbildung mit I 2 = id. Sei I C : V C → V C die komplex lineare Fortsetzung<br />
von I. Zeige:<br />
(i) I C hat nur die Eigenwerte i und −i.<br />
(ii) Sei V ± C der Eigenraum von I C zum Eigenwert ±i. Dann gilt V C = V + C ⊕ V − C .<br />
(iii) V ± C<br />
= {v ∓ iIv : v ∈ V }.<br />
(iv) Die Abbildungen<br />
V → V ± C , v ↦→ v ∓ i Iv<br />
sind R-Vektorraumisomorphismen.<br />
Übung 7.3.2. Berechne die reelle Jordan–Normalform von folgenden Matrizen<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 0 0 0 0<br />
0 1 −1 0 0<br />
A =<br />
⎜ 0 0 1 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 1 0 ⎠<br />
0 −1 0 0 1<br />
⎛<br />
⎞<br />
3 0 0 0 0<br />
0 3 0 1 1<br />
B =<br />
⎜ 0 0 3 −1 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 1 3 0 ⎠<br />
0 −1 1 0 3<br />
⎛<br />
⎞<br />
3 0 0 0 0<br />
0 3 0 1 −3<br />
C =<br />
⎜ 0 0 3 3 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 −3 3 0 ⎠<br />
0 −3 1 0 3<br />
( ) 0 2<br />
D =<br />
−2 2<br />
( ) 0 2<br />
E =<br />
−2 −2<br />
Übung 7.3.3. Berechne die reelle Jordan–Normalform von folgenden Matrizen
212 7 Die Jordan-Normalform<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 0 0 0 0<br />
0 0 0 1 1<br />
A =<br />
⎜ 0 0 0 −1 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 1 0 0 ⎠<br />
0 −1 1 0 0<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 0 0 0<br />
0 0 0 1 1<br />
B =<br />
⎜ 0 0 0 1 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 1 0 0 ⎠<br />
0 1 1 0 0<br />
( ) 0 1<br />
C =<br />
−1 −2<br />
( ) 0 1<br />
D =<br />
−1 2<br />
Übung 7.3.4. Betrachte die Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 0 −2 0<br />
A = ⎜ −1 1 0 −2<br />
⎟<br />
⎝ 2 0 1 0 ⎠ .<br />
0 2 −1 1<br />
(i) Verifiziere χ A(λ) = (λ 2 − 2λ + 5) 2 .<br />
(ii) Berechne die reelle Jordan–Normalform von A.<br />
Übung 7.3.5. Berechne die Jordan–Normalform der Matrix A = (a ij) ∈ Mat(n × n, R)<br />
mit a 1j = β, a jj = 2 für j = 1, . . . , n und a ij = 0 sonst. Gib eine Übergangsmatrix C an,<br />
für die C −1 AC in Jordan–Normalform ist.<br />
Übung 7.3.6. Bringe die folgende Matrix auf Jordan–Normalform und gib eine dazugehörige<br />
Übergangsmatrix an:<br />
⎛ ⎞<br />
2 0 1 0 6<br />
0 2 0 1 1<br />
⎜ 0 0 2 0 1<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 2 1 ⎠<br />
0 0 0 0 2<br />
Übung 7.3.7. Berechne die Jordan–Normalform der Matrix<br />
( ) 0 1<br />
A = ∈ Mat(2 × 2, C)<br />
a 2b<br />
für a, b ∈ R + und gib eine Übergangsmatrix C an, für die C −1 AC in Jordan–Normalform<br />
ist.<br />
Übung 7.3.8. Bringe die folgende Matrix auf Jordan–Normalform und gib die dazugehörige<br />
Übergangsmatrix an: ⎛<br />
⎞<br />
5 −4 0 0<br />
⎜ 2 −1 0 0<br />
⎟<br />
⎝ −2 2 2 1 ⎠<br />
−1 1 −1 4<br />
Übung 7.3.9. Berechne<br />
( ) 10<br />
−4 −3<br />
,<br />
10 7<br />
⎛ ⎞<br />
1 −2 3<br />
⎝ 0 −1 3 ⎠<br />
0 0 1<br />
35<br />
.
7.3 Die Jordan–Normalform 213<br />
Übung 7.3.10. Berechne die Jordan–Normalform und die Übergangsmatrix für die Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
2 0 4 4 0<br />
0 1 0 0 1<br />
A =<br />
⎜ 0 0 1 0 0<br />
⎟<br />
⎝−1 0 −3 −2 0⎠ .<br />
0 0 1 0 1<br />
Übung 7.3.11. A ∈ Mat(3 × 3, R) ⊂ Mat(3 × 3, C) habe Eigenwerte λ 1 = 1, mit<br />
zügehorigem Eigenvektor v 1 = (0, 0, 2), und λ 2 = 1 + i, mit zugehorigem Eigenvektor<br />
v 2 = (1, 2 + i, 0). Bestimme A.<br />
Übung 7.3.12. Berechne die Jordan–Normalform und die Übergangsmatrizen für die Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 1 −1 0 −1<br />
1 1 0 0 0<br />
A =<br />
⎜ 2 −1 2 0 1<br />
⎟<br />
⎝−1 1 −1 1 0 ⎠ .<br />
0 0 0 0 1<br />
Übung 7.3.13. Sei τ : R 2 → C gegeben durch τ ( ( ( )<br />
x ) x = x+iy für ∈ R<br />
y) 2 . Wenn C als<br />
y<br />
R-Vektorraum betrachtet wird, ist τ ein R-Isomorphismus. Für welche A ∈ Mat(2 × 2, R)<br />
ist die Abbildung<br />
ψ A := τ ◦ ϕ A ◦ τ −1 : C → C<br />
komplex-linear?<br />
Übung 7.3.14. Berechne die Jordan–Normalform und die Übergangsmatrizen für die Matrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
5 −4 0 0<br />
A = ⎜ 2 −1 0 0<br />
⎟<br />
⎝−2 2 2 1⎠ .<br />
−1 1 −1 4<br />
Übung 7.3.15. Liste (bis auf Ähnlichkeit) alle mögliche Jordan-Normalformen einer Matrix<br />
A ∈ Mat(3×3, C) mit einem einzigen Eigenwert λ = a. Bei jedem Jordan-Normalform<br />
finde die Dimension des Eigenraums E a von ϕ A zum Eigenwert a. Und was passiert wenn<br />
A ∈ Mat(2 × 2, C)?<br />
Übung 7.3.16. Sei<br />
⎛ ⎞<br />
0 1 2 4<br />
A = ⎜−1 0 3 1<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 1⎠ ∈ Mat(4 × 4, R) ⊂ Mat(4 × 4, C).<br />
0 0 −1 0<br />
(a) Berechne die Jordan-Normalform von A.<br />
(b) Berechne die reelle Jordan-Normalform von A.<br />
Übung 7.3.17. Berechne die Jordan-Normalform und die Übergangsmatrix für<br />
⎛ ⎞<br />
4 1 1 2 2<br />
−1 2 1 3 0<br />
A =<br />
⎜ 0 0 3 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 2 1⎠ .<br />
0 0 0 1 2<br />
Folgende Informationen können ohne Beweis benutzt werden:<br />
(i) A hat Eigenwerte λ 1 = 3 (mit Vielfachheit 4) und λ 2 = 1 (mit Vielfachheit 1);<br />
(ii)
214 7 Die Jordan-Normalform<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 0 2 5 2<br />
0 0 0 −3 3<br />
0 0 −2 −8 1<br />
(A − 3 · 1) 2 =<br />
⎜0 0 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝0 0 0 2 −2⎠ , (A − 3 · 0 0 0 9 −9<br />
1)3 =<br />
⎜0 0 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝0 0 0 −4 4 ⎠ ,<br />
0 0 0 −2 2<br />
0 0 0 4 −4<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 0 0 6 −6<br />
0 0 0 −18 18<br />
(A − 3 · 1) 4 =<br />
⎜0 0 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝0 0 0 8 −8⎠ .<br />
0 0 0 −8 8<br />
Übung 7.3.18. Liste (bis auf Ähnlichkeit) alle möglichen Jordan-Normalformen einer Matrix<br />
A ∈ Mat(3 × 3, C) mit einem einzigen Eigenwert λ = a auf. Bestimme zu jeder<br />
Jordan-Normalform die Dimension des Eigenraums E a von ϕ A zum Eigenwert a.<br />
Übung 7.3.19. Berechne die Jordan-Normalform und die Übergangsmatrix für<br />
⎛ ⎞<br />
4 1 1 2 2<br />
−1 2 1 3 0<br />
A =<br />
⎜ 0 0 3 0 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 0 2 1⎠ ∈ R5×5 .<br />
0 0 0 1 2<br />
Folgende Informationen können ohne Beweis benutzt werden:<br />
(i) A hat Eigenwerte λ 1 = 3 (mit Vielfachheit 4) und λ 2 = 1 (mit Vielfachheit 1);<br />
(ii)<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 0 2 5 2<br />
0 0 0 −3 3<br />
0 0 −2 −8 1<br />
0 0 0 9 −9<br />
(A − 3I) 2 = ⎜0 0 0 0 0 ⎟<br />
⎜0 0 0 0 0 ⎟<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 0 0 2 −2<br />
0 0 0 −2 2<br />
⎟<br />
⎠ , (A − 3I)3 = ⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎞<br />
0 0 0 6 −6<br />
0 0 0 −18 18<br />
(A − 3I) 4 =<br />
⎜0 0 0 0 0<br />
⎟<br />
⎝0 0 0 8 −8⎠ .<br />
0 0 0 −8 8<br />
0 0 0 −4 4<br />
0 0 0 4 −4<br />
Übung 7.3.20. Berechne ohne Zuhilfenahme eines Computers A 10 für<br />
⎛ ⎞<br />
3 4 3<br />
A = ⎝−1 0 −1⎠ ∈ R 3×3 .<br />
1 2 3<br />
Die Punkte verteilen sich auf den Lösungsweg, nicht auf die Lösung.<br />
Übung 7.3.21. Sei V ein endlichdimensionaler R-Vektorraum und ϕ ein Endomorphismus<br />
von V mit ϕ 3 = ϕ. Zeige, dass ϕ diagonalisierbar ist.<br />
Übung 7.3.22. Sei n ∈ N, n > 1. Berechne die Jordan–Normalform der folgenden Matrix<br />
in Abhängigkeit von α ∈ R,<br />
⎛<br />
⎞<br />
2 α α · · · α<br />
0 2 0 · · · 0<br />
A =<br />
. 0 . .<br />
. . ..<br />
∈ Mat(n × n, R) .<br />
⎜<br />
⎝<br />
.<br />
.<br />
. ..<br />
. ⎟ .. ⎠<br />
0 0 0 · · · 2<br />
Gib eine Übergangsmatrix C an, für die C −1 AC in Jordan–Normalform ist.<br />
⎟<br />
⎠ ,
Teil III<br />
Geometrische Strukturen auf Vektorräumen
8<br />
Bi- und Sesquilinearformen<br />
Bilinearformen ergeben sich oft natürlich im Studium geometrischer Eigenschaften.<br />
Das erste Beispiel ist das euklidische Skalarprodukt in Raum oder Ebene,<br />
das für Längen- und Winkelmessung unerlässlich ist. Aber auch die Geometrie der<br />
Raum-Zeit in der Speziellen Relativitätstheorie basiert auf einer Bilinearform, der<br />
Minkowski–Form. Darüber hinaus tauchen Bilinearformen auch in der Analysis auf<br />
und sind Grundlage für eine Reihe von wichtigen Verallgemeinerungen und Begriffsbildungen.<br />
Sesquilinearformen stellen eine Verallgemeinerung von reellen Bilinearformen<br />
für andere Körper (zum Beispiel C) dar, die für eine Reihe von Situationen angemessener<br />
ist als einfach Bilinearformen für diese anderen Körper zu betrachten.<br />
Schlagendes Beispiel ist hier das euklidische Skalarprodukt auf C n , das schon für<br />
n = 1 eine wesentliche Errungenschaft der Geometrie der Ebene darstellt. Andere<br />
Beispiele kommen aus der Analysis und der mathematischen Formulierung der<br />
Quantenmechanik.<br />
Wir behandeln Bi- und Sesquilinearformen weitgehend parallel, indem wir mit<br />
einem involutiven Körper-Automorphismus : K → K arbeiten, der auch die Identität<br />
sein kann.<br />
8.1 Matrizendarstellung<br />
Definition 8.1.1. Sei V ein K-Vektorraum und : K → K ein involutiver<br />
Körper-Automorphismus, d.h. für alle a, b ∈ K gelte<br />
ab = ab, a + b = a + b, a = a.<br />
Eine Semilinearform auf V ist eine Abbildung f : V → K mit<br />
f(av + bw) = af(v) + bf(w)<br />
∀v, w ∈ V, a, b ∈ K<br />
(semi lat. = halb). Man nennt so eine Abbildung semilinear, aber auch antilinear<br />
sofern : K → K nicht die Identität ist. Wir bezeichnen die Menge aller Semilinearformen<br />
mit Ṽ ∗ . Wie für die Linearformen zeigt man, dass Ṽ ∗ mit den punktweisen<br />
Operationen ein K-Vektorraum ist. Beachte, dass für = id Semilinearformen<br />
nichts anderes als Linearformen sind.
218 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
Beispiel 8.1.2. Das wichtigste Beispiel für einen involutiven Körperautomorphismus<br />
ist die komplexe Konjugation auf C. Ansonsten ist natürlich der Spezialfall = id<br />
herauszuheben.<br />
⊓⊔<br />
Definition 8.1.3. Eine Sesquilinearform (sesqui lat. = eineinhalb) auf V ist eine<br />
Abbildung β : V × V → K mit<br />
(a) β(cv + c ′ v ′ , w) = cβ(v, w) + c ′ β(v ′ , w) ∀c, c ′ ∈ K, v, v ′ , w ∈ V<br />
(b) β(v, cw + c ′ w ′ ) = cβ(v, w) + c ′ β(v, w ′ ) ∀c, c ′ ∈ K, v, w ′ , w ∈ V.<br />
Wir schreiben Ses(V ) für die Menge der Sesquilinearformen auf V . Wenn<br />
ist, spricht man von Bilinearformen und schreibt Bil(V ) statt Ses(V ).<br />
= id<br />
Bemerkung 8.1.4. Sei β : V × V → K eine Sesquilinearform.<br />
(i) v ↦→ β(v, w) (w fest) ist eine Linearform auf V , d.h. ein Element von V ∗ .<br />
(ii) w ↦→ β(v, w) (v fest) ist eine Semilinearform auf V , d.h. ein Element von Ṽ ∗ .<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 8.1.5. Sei K ein Körper und<br />
lauter Bilinearformen:<br />
(i) Sei K beliebig und V = K n (Spaltenvektoren)<br />
⎛ ⎞<br />
x n∑<br />
1<br />
β(v, w) = v ⊤ ⎜<br />
w = x i y i , v = ⎝ .<br />
i=1<br />
x n<br />
Für K = R ist dies das euklidische Skalarprodukt.<br />
(ii) (Minkowski–Form) K = R, V = R 4<br />
= id, d.h. die folgenden Beispiele sind<br />
⎟<br />
⎠ , w =<br />
⎛ ⎞<br />
y 1<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠<br />
y n<br />
β((t, x, y, z) ⊤ , (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) ⊤ ) = −tt ′ + xx ′ + yy ′ + zz ′<br />
(iii) K beliebig, V = K n , B ∈ Mat(n × n, K), B =(b ij ) i<br />
j<br />
= 1 , ... , n<br />
= 1 , ... , n<br />
und v, w wie in (i).<br />
β(v, w) = v ⊤ Bw =<br />
n∑<br />
∑<br />
n<br />
x i<br />
i=1 j=1<br />
b ij y j =<br />
n∑ n∑<br />
x i b ij y j .<br />
i=1 j=1<br />
Das hier zugrundeliegende Schema ist:<br />
=<br />
Man rechnet
β(cv + c ′ v ′ , w) = (cv + c ′ v ′ ) ⊤ Bw<br />
= ((cv) ⊤ + (c ′ v ′ ) ⊤ )Bw<br />
= (cv) ⊤ Bw + (c ′ v ′ ) ⊤ Bw<br />
= c(v ⊤ Bw) + c ′ (v ′ ⊤ Bw)<br />
= cβ(v, w) + c ′ β(v ′ , w)<br />
8.1 Matrizendarstellung 219<br />
und analog für β(v, cw + c ′ w ′ ). Dieses Beispiel verallgemeinert die Beispiele (i)<br />
und (ii). So ist das richtige B im ersten Beispiel gerade die Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
1 0<br />
⎜<br />
B = 1 n = ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 1<br />
und im zweiten Beispiel<br />
⎛ ⎞<br />
−1 0<br />
B = ⎜ 1<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠<br />
0 1<br />
(iv) Sei V := {v : [a, b] → R | stetig} und k : [a, b]×[a, b] → R stetig. Dann definiert<br />
β(v, w) =<br />
eine Bilinearform auf V .<br />
(v) Für V = Mat(r × s, K) definiert<br />
eine Bilinearform auf V .<br />
∫ b ∫ b<br />
a<br />
a<br />
v(x)k(x, y)w(y)dydx<br />
β(A, B) = tr(A ⊤ B)<br />
⊓⊔<br />
Definition 8.1.6. Wir dehnen die Definition von<br />
A = (a ij ) i<br />
j<br />
A := (a ij ) i<br />
j<br />
= 1 , ... , n<br />
= 1 , ... , m<br />
= 1 , ... , n<br />
= 1 , ... , m<br />
∈ Mat(n × m, K)<br />
∈ Mat(n × m, K)<br />
auf Matrizen aus:<br />
Die Abbildung : Mat(n × m, K) → Mat(n × m, K), ist bijektiv, denn ist ihr<br />
eigenes Inverses. Wenn K = C ist und die übliche komplexe Konjugation, dann<br />
ist zwar R–linear, aber nicht C–linear! Genauer:<br />
cA + c ′ A = (ca ij + c ′ a ′ ij ) i=1,...,n<br />
j=1,...,m<br />
= c(a ij ) i=1,...,n + c ′ (a ′ ij ) i=1,...,n<br />
j=1,...,m<br />
j=1,...,m<br />
= .<br />
ist semilinear. Man schreibt auch<br />
= cA + c ′ A ′<br />
A ∗ = A ⊤ = (A) ⊤ ∈ Mat(m × n, K).<br />
Im Falle K = C mit der komplexen Konjugation nennt man A ∗ auch die adjungierte<br />
Matrix zu A.<br />
In den Spezialfällen einer Zeile oder Spalte ergibt sich jeweils eine involutive<br />
Bijektion : K n → K n .
220 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
Beispiel 8.1.7. Sei jetzt K = C und z die komplexe Konjugation.<br />
(i) Sei V = C n (Spaltenvektoren)<br />
⎛ ⎞<br />
x n∑<br />
1<br />
β(v, w) = v ⊤ ⎜<br />
w = x i y i , v = ⎝ .<br />
i=1<br />
x n<br />
⎟<br />
⎠ , w =<br />
(ii) Allgemeiner sei V = C n , A ∈ Mat(n×, n, K), A =(a ij ) i =<br />
j =<br />
in (i).<br />
n∑ ∑<br />
n n∑ n∑<br />
β(v, w) = v ⊤ Aw = a ij y j =<br />
x i<br />
i=1 j=1<br />
i=1 j=1<br />
⎛ ⎞<br />
y 1<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠<br />
y n<br />
1 , ... , n<br />
1 , ... , n<br />
x i a ij y j .<br />
und v, w wie<br />
β(v, cw + c ′ w ′ ) = v ⊤ Acw + c ′ w ′<br />
= v ⊤ Acw + v ⊤ Ac ′ w ′<br />
= c(v ⊤ Aw) + c ′ (v ⊤ Aw ′ )<br />
= cβ(v, w) + c ′ β(v, w ′ )<br />
Dieses Beispiel verallgemeinert das erste Beispiel. Das passende B in diesem<br />
Fall ist<br />
⎛ ⎞<br />
1 0<br />
⎜<br />
B = 1 n = ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
0 1<br />
(iii) Sei V = {v : [a, b] → C| stetig} und k : [a, b] × [a, b] → C stetig. Dann definiert<br />
β(v, w) =<br />
eine Sesquilinearform auf V .<br />
(iv) V = Mat(r × s, C)<br />
∫ b ∫ b<br />
a<br />
a<br />
v(x)k(x, y)w(y)dydx<br />
β(A, B) = tr(A ⊤ B),<br />
wobei B die Matrix b ij , wenn die b ij die Einträge von B sind.<br />
(v) V beliebig; f ∈ V ∗ , g ∈ Ṽ ∗<br />
β(v, w) = f(v)g(w)<br />
⊓⊔<br />
Man kann Sesquilinearformen punktweise addieren und mit einem Skalar multiplizieren:<br />
(β + β ′ )(v, w) := β(v, w) + β ′ (v, w) ∀v, w ∈ V<br />
(cβ)(v, w) := cβ(v, w)<br />
∀c ∈ K, ∀v, w ∈ V<br />
Proposition 8.1.8. Seien β, β ′ Sesquilinearformen auf V und k ∈ K, dann sind<br />
auch β + β ′ und kβ Sesquilinearformen auf V. Insbesondere ist Ses(V ) ist bzgl. der<br />
oben eingeführten Addition und Multiplikation mit Skalaren ein K-Vektorraum.<br />
Beweis. Idee: Es reicht wegen Beispiel 5.1.3 und Bemerkung 5.1.6 nachzurechnen, dass<br />
β + β ′ und kβ in Ses(V ) liegen.
8.1 Matrizendarstellung 221<br />
Da nach Beispiel 5.1.3 die Menge aller Abbildungen V × V → K mit der punktweisen<br />
Addition und der punktweisen skalaren Multiplikation ein K-Vektorraum ist,<br />
reicht es nach Bemerkung 5.1.6 nachzurechnen, dass β +β ′ und kβ in Ses(V ) liegen.<br />
(β + β ′ )(cv + c ′ v ′ , w) = β(cv + c ′ v ′ , w) + β ′ (cv + c ′ v ′ , w)<br />
= (cβ(v, w) + c ′ β(v ′ , w)) + (cβ ′ (v, w) + c ′ β ′ (v ′ , w))<br />
= c(β(v, w) + β ′ (v, w)) + c ′ (β(v ′ , w) + β ′ (v ′ , w))<br />
= c((β + β ′ )(v, w)) + c ′ ((β + β ′ )(v ′ , w)).<br />
Die zweite Komponente behandelt man analog. Ebenso geht man für das skalare<br />
Vielfache vor:<br />
(kβ)(cv + c ′ v ′ , w) = kβ(cv + c ′ v ′ , w)<br />
= k(cβ(v, w) + c ′ β(v ′ , w))<br />
= ck(β(v, w)) + c ′ k(β(v ′ , w))<br />
= c((kβ)(v, w)) + c ′ ((kβ)(v ′ , w))<br />
und die zweite Komponente geht analog.<br />
⊓⊔<br />
Definition 8.1.9. Sei V ein K-Vektorraum mit Basis {v 1 , . . . , v n } und β ∈ Ses(V ),<br />
dann heißt die Matrix<br />
B β = (b ij ) i<br />
j<br />
= 1 , ... , n<br />
= 1 , ... , n<br />
mit b ij = β(v i , v j )<br />
die darstellende Matrix von β bzgl. {v 1 , . . . , v n }.<br />
∑<br />
Proposition 8.1.10. Sei β ∈ Ses(V ). Dann gilt für v = n ∑<br />
x i v i und w = n y j v j :<br />
⎛ ⎞<br />
y 1<br />
⎜ ⎟<br />
β(v, w) = (x 1 , . . . , x n )B β ⎝ . ⎠<br />
y n<br />
i=1<br />
j=1<br />
Beweis.<br />
( ∑<br />
n n∑ )<br />
β(v, w) = β x i v i , y j v j<br />
=<br />
=<br />
=<br />
i=1<br />
i=1<br />
n∑ (<br />
x i β v i ,<br />
j=1<br />
n∑ )<br />
y j v j<br />
j=1<br />
n∑ ( ∑<br />
n )<br />
x i y j β(v i , v j )<br />
i=1<br />
j=1<br />
n∑<br />
x i b ij y j<br />
i,j=1<br />
⎛ ⎞<br />
y 1<br />
⎜ ⎟<br />
= (x 1 , . . . , x n )B β ⎝ . ⎠ .<br />
y n<br />
⊓⊔
222 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
Bemerkung 8.1.11. Sei V ein K-Vektorraum mit Basis {v 1 , . . . , v n } und (b ij ) i<br />
j<br />
B ∈ Mat(n × n, K). Definiere β B (v, w) ∈ Ses(V ) durch<br />
⎛<br />
wobei<br />
β B (v, w) :=<br />
v =<br />
i<br />
j<br />
⎞<br />
y n∑<br />
1<br />
⎜<br />
x i b ij y j = (x 1 , . . . , x n )B .<br />
⎝ .<br />
= 1<br />
= 1<br />
y n<br />
n∑<br />
x i v i , w =<br />
i=1<br />
n∑<br />
y j v j .<br />
j=1<br />
⎟<br />
⎠ ,<br />
Dann ist die darstellende Matrix von β B bzgl. {v 1 , . . . , v n } gerade B, weil<br />
β B (v i , v j ) = b ij .<br />
= 1 , ... , n<br />
= 1 , ... , n<br />
⊓⊔<br />
=<br />
Beispiel 8.1.12. Die darstellende Matrix von<br />
β B : K n × K n → K,<br />
(v, w) ↦→ v ⊤ Bw<br />
bzgl. der Standardbasis<br />
ist B:<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
0<br />
0<br />
e 1 = ⎜ ⎟<br />
⎝.<br />
⎠ , . . . , e n = ⎜.<br />
⎟<br />
⎝0⎠<br />
0<br />
1<br />
β(e i , e j ) = e ⊤ i Be j = b ij , B = (b ij ).<br />
⊓⊔<br />
Satz 8.1.13. Sei V ein K-Vektorraum mit Basis v := {v 1 , . . . , v n }. Die Abbildungen<br />
ϕ v := ϕ: Ses(V ) → Mat(n × n, K), β ↦→ B β<br />
und<br />
ψ v := ψ : Mat(n × n, K) → Ses(V ),<br />
sind zueinander inverse lineare Abbildungen.<br />
B ↦→ β B<br />
Beweis. Idee: Nachrechnen, dass ϕ ◦ ψ und ψ ◦ ϕ die jeweils passende identische Abbildung<br />
liefern, wobei man Vektoren jeweils über die Basen ausdrückt.<br />
Zeige zuerst die Linearität von ϕ, d.h.<br />
ϕ(kβ + lβ ′ ) = kϕ(β) + lϕ(β ′ ) k, l ∈ K, β, β ′ ∈ Ses V<br />
Sei dazu<br />
Weiter sei<br />
ϕ(β) = B β = (b ij ) i=1,...,n , d.h. β(v i , v j ) = b ij ,<br />
j=1,...,n<br />
ϕ(β ′ ) = B β ′<br />
= (b ′ ij) i=1,...,n , d.h. β ′ (v i , v j ) = b ′ ij.<br />
j=1,...,n
8.1 Matrizendarstellung 223<br />
d.h.<br />
ϕ(kβ + lβ ′ ) = (d ij ) i<br />
j<br />
= 1 , ... , n<br />
= 1 , ... , n<br />
Das bedeutet aber gerade<br />
d ij = (kβ + lβ ′ )(v i , v j ) = (kβ)(v i , v j ) + (lβ ′ )(v i , v j )<br />
= kβ(v i , v j ) + lβ ′ (v i , v j ) = kb ij + lb ′ ij.<br />
ϕ(kβ + lβ ′ ) = kϕ(β) + lϕ(β ′ ).<br />
Wie im Beweis von Satz 3.2.4 sieht man, dass es jetzt ausreicht<br />
ϕ ◦ ψ = id Mat(n×n,K) und ψ ◦ ϕ = id Ses(V )<br />
zu zeigen. Sei also (b ij ) = B ∈ Mat(n × n, K). Dann gilt für v = ∑ n<br />
i=1 x iv i und<br />
w = ∑ n<br />
j=1 y jv j<br />
n∑<br />
ψ(B)(v, w) = x i b ij y j .<br />
i,j=1<br />
Insbesondere haben wir ψ(B)(v l , v k ) = b lk , also ϕ(ψ(B)) = B.<br />
Umgekehrt rechnen wir für β ∈ Ses(V )<br />
ψ(ϕ(β))(v, w) =<br />
n∑<br />
x i β(v i , v j )y j =<br />
i,j=1<br />
woraus ψ(ϕ(β)) = β folgt.<br />
n∑ ( ∑<br />
n (<br />
β x i v i , v j<br />
)y j = β v,<br />
j=1<br />
i=1<br />
} {{ }<br />
v<br />
n∑ )<br />
y j v j = β(v, w),<br />
j=1<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 8.1.14. Sei {v 1 , . . . , v n } eine Basis für V , dann definiert man die duale<br />
Basis { ˜f 1 , . . . , ˜f n } für Ṽ ∗ durch<br />
( ∑<br />
˜f n )<br />
j x i v i = x j .<br />
i=1<br />
Der Beweis dafür, dass { ˜f 1 , . . . , ˜f n } tatsächlich eine Basis für Ṽ ∗ ist, geht analog<br />
zum Fall von V ∗ (vgl. Satz 5.4.3). Insbesondere sehen wir<br />
dim K (Ṽ ∗ ) = dim K (V ).<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 8.1.15. Sei V ein K-Vektorraum mit Basis {v 1 , . . . , v n } und {f 1 , . . . , f n }<br />
bzw. { ˜f 1 , . . . , ˜f n } seien die dualen Basen für V ∗ und Ṽ ∗ . Weiter seien f =<br />
∑ n<br />
i=1 a if i ∈ V ∗ und ˜f = ∑ n<br />
i=1 b i ˜f i ∈ Ṽ ∗ fest gewählt. Für β(v, w) = f(v) ˜f(w)<br />
ist dann die darstellende Matrix C von β bzgl. der Basis {v 1 , . . . , v n } durch<br />
c ij = β(v i , v j ) = f(v i ) ˜f(v j ) = a i · b j<br />
und<br />
gegeben.<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 1 b 1 · · · a 1 b n<br />
⎜<br />
C = ⎝ . .<br />
a n b 1 · · · a n b n<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛ ⎞<br />
a 1<br />
⎜<br />
⎝ .<br />
a n<br />
⎟<br />
⎠ (b 1 , . . . , b n )<br />
⊓⊔
224 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
Satz 8.1.16 (Basiswechsel für Sesquilinearformen). Sei V ein K-Vektorraum,<br />
β ∈ Ses(V ), und {v 1 , . . . , v n }, {v ′ 1, . . . , v ′ n} Basen für V . Weiter sei C ∈ GL(n, K)<br />
die Übergangsmatrix von {v 1 , . . . , v n } zu {v ′ 1, . . . , v ′ n}, d.h.<br />
v ′ j =<br />
n∑<br />
c ij v i ,<br />
i=1<br />
C = (c ij ) i<br />
j<br />
= 1 , ... , n<br />
= 1 , ... , n<br />
Wenn B die darstellende Matrix von β bzgl. {v 1 , . . . , v n } ist, dann ist<br />
B ′ = C ⊤ BC<br />
die darstellende Matrix von β bzgl. {v ′ 1, . . . , v ′ n}.<br />
Beweis. Idee: Entwickle die v ′ j bzgl. der Basis {v 1, . . . , v n}.<br />
Die darstellenden Matrizen B = (b ij ) und B ′ = (b ′ ij ) sind durch b ij = β(v i , v j )<br />
und b ′ ij = β(v′ i , v′ j ) gegeben. Dann rechnet man<br />
und erhält<br />
( ∑<br />
n n∑ )<br />
b ′ ij = β(v i, ′ v j) ′ = β c ri v r , c sj v s =<br />
=<br />
r=1<br />
s=1<br />
r=1<br />
s=1<br />
n∑ ( ∑ n )<br />
c ri c sj β(v r , v s ) =<br />
n∑<br />
r=1<br />
(<br />
c ri β v r ,<br />
n∑ ( ∑<br />
n )<br />
c ri b rs c sj<br />
r=1<br />
B ′ = C ⊤ BC.<br />
s=1<br />
n∑ )<br />
c sj v s<br />
s=1<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 8.1.17. Sei V ein K-Vektorraum, β ∈ Ses(V ), und {v 1 , . . . , v n },<br />
{v ′ 1, . . . , v ′ n} Basen für V . Weiter sei C ∈ GL(n, K) die Übergangsmatrix von<br />
{v 1 , . . . , v n } zu {v ′ 1, . . . , v ′ n}, d.h.<br />
n∑<br />
v j ′ = c ij v i ,<br />
i=1<br />
C = (c ij ) i<br />
j<br />
= 1 , ... , n<br />
= 1 , ... , n<br />
Wenn B die darstellende Matrix von β bzgl. {v 1 , . . . , v n } ist, und B ′ = C ⊤ BC die<br />
darstellende Matrix von β bzgl. {v ′ 1, . . . , v ′ n}. Dann gilt Rang(B) = Rang(B ′ ). Dies<br />
folgt ganz analog wie die Aussage, dass ähnliche Matrizen gleichen Rang haben:<br />
K n<br />
ϕ C<br />
−→ K n ϕ B<br />
−→ K n ϕ C<br />
−→ ⊤<br />
K n<br />
beschreibt eine lineare Abbildung, wobei C invertierbar ist. Damit sind auch C und<br />
C ⊤ invertierbar. Aber dann sind ϕ C und ϕ C ⊤ Vektorraum-Isomorphismen (vgl.<br />
Satz 5.4.7) und wir können rechnen<br />
Rang(B) = dim(im (ϕ B ))<br />
= dim (ϕ C ⊤(im (ϕ B )))<br />
= dim(im (ϕ C ⊤ ◦ ϕ B ))<br />
= dim(im (ϕ C ⊤ ◦ ϕ B ◦ ϕ C<br />
))<br />
= dim(im (ϕ C ⊤ BC ))<br />
= Rang(C ⊤ BC).
8.1 Matrizendarstellung 225<br />
Übung 8.1.1. Sei V = Mat(2 × 2, R) und<br />
( ) ( 1 0<br />
0 1<br />
E 11 = , E<br />
0 0 12 =<br />
0 0<br />
( ) ( 1 1<br />
0 0<br />
F 1 = , F<br />
0 0 2 =<br />
1 1<br />
)<br />
, E 21 =<br />
)<br />
, F 3 =<br />
( 0 0<br />
1 0<br />
( 1 1<br />
0 1<br />
)<br />
, E 22 =<br />
)<br />
, F 4 =<br />
( 0 0<br />
0 1<br />
( 1 0<br />
1 1<br />
(a) Gib die darstellende Matrix bzgl der Basis {E 11, E 12, E 21, E 22} für die Bilinearform<br />
β : (A, B) ↦→ tr(A ⊤ B) auf V an.<br />
(b) Zeige, dass {F 1, F 2, F 3, F 4} eine Basis für V ist.<br />
(c) Gib die darstellende Matrix für β bzgl der Basis {F 1, F 2, F 3, F 4} an.<br />
Übung 8.1.2. Sei V = R 3 mit der Bilinearform β, die bzgl. der Standardbasis durch die<br />
Matrix<br />
⎛<br />
1 0 0<br />
⎝ 0 1 0<br />
0 0 −1<br />
⎞<br />
⎠<br />
dargestellt wird. Zeige, dass es keine Basis von V geben kann, bzgl. der die darstellende<br />
Matrix von β die Form<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
⎝ 0 −1 0 ⎠<br />
0 0 −1<br />
hat.<br />
Übung 8.1.3. Seien V und W K-Vektorräume und ϕ: W → V eine lineare Abbildung.<br />
Weiter sei β ∈ Bil(V ). Setze<br />
β ′ (w, w ′ ) := β ( ϕ(w), ϕ(w ′ ) )<br />
für w, w ′ ∈ W und zeige, dass die Abbildung β ′ : W × W → K eine Bilinearform auf W<br />
ist.<br />
Übung 8.1.4. Sei V = {A ∈ Mat(2 × 2, R) | tr(A) = 0}. Zeige:<br />
(i) V ist ein R-Vektorraum.<br />
(ii)<br />
ist eine Basis für V .<br />
(iii)<br />
H :=<br />
H :=<br />
( ) 1 0<br />
, X :=<br />
0 −1<br />
( ) 1 0<br />
, T :=<br />
0 −1<br />
( ) 0 1<br />
, Y :=<br />
0 0<br />
( ) 0 1<br />
, U :=<br />
1 0<br />
( ) 0 0<br />
1 0<br />
( ) 0 1<br />
−1 0<br />
ist eine Basis für V .<br />
(iv) (A, B) ↦→ tr(AB) definiert eine Bilinearform β auf V . Berechne die darstellenden<br />
Matrizen von β bzgl. der beiden angegebenen Basen.<br />
Übung 8.1.5. Sei V ein K-Vektorraum und β ∈ Bil(V ). Definiere zu jedem v ∈ V eine<br />
Abbildung ϕ(v): V → K durch<br />
(<br />
ϕ(v)<br />
)<br />
(w) := β(w, v).<br />
Zeige:<br />
(i) ϕ(v) ist linear für jedes v, d.h. ϕ(v) ∈ V ∗ .<br />
(ii) Die Abbildung ϕ: V → V ∗ definiert durch v ↦→ ϕ(v) ist auch linear.<br />
Übung 8.1.6. Bestimme zu der bezüglich der Standardbasis durch die Matrix<br />
( ) 1 5<br />
A =<br />
5 2<br />
gegebenen Bilinearform β eine Basis des R 2 , bezüglich der die darstellende Matrix eine<br />
Diagonalmatrix mit Diagonalelementen aus {−1, 0, 1} ist.<br />
)<br />
,<br />
)<br />
.
226 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
Übung 8.1.7. Entscheide, welche der folgenden Abbildungen Sesquilinearformen auf C 2<br />
sind (bezüglich welcher Involution?). Bestimme gegebenenfalls die darstellende Matrix<br />
bezüglich der Standardbasis von C 2 .<br />
1. β(x, y) = x 1y 1 + x 2y 2,<br />
2. β(x, y) = x 1y 2 + x 2y 1,<br />
3. β(x, y) = x 1ȳ 1 + x 2ȳ 2,<br />
4. β(x, y) = y 1¯x 1 + y 2¯x 2,<br />
5. β(x, y) = x 1ȳ 2,<br />
6. β(x, y) = x 1¯x 2 + y 1ȳ 2,<br />
7. β(x, y) = x 1ȳ 1 + x 2y 2<br />
8. β(x, y) = x 2(ȳ 1 + ȳ 2).<br />
Übung 8.1.8. Zeige, dass<br />
β(x, y) = x 1ȳ 2 + 2 x 1ȳ 3 + i x 2ȳ 1 − x 2ȳ 2 + 3 x 2ȳ 3 − 2 x 3ȳ 1 + x 3ȳ 3<br />
eine Sesquilinearform auf C 3 ist und bestimme die zugehörige darstellende Matrix bezüglich<br />
der Standardbasis von C 3 . Wie sieht die darstellende Matrix bezüglich der folgenden Basis<br />
aus?<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
v 1 = ⎝i⎠ ,<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
v 2 = ⎝1⎠ ,<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
v 3 = ⎝−i⎠ .<br />
0<br />
1<br />
1<br />
Übung 8.1.9. Betrachte die folgenden Bilinearformen auf R n ,<br />
β 1(x, y) = x 1y 1 + x 2y 2 + · · · + x ny n , β 2(x, y) = −x 1y 1 + x 2y 2 + · · · + x ny n .<br />
Skizziere für n = 2, 3 die Mengen M i(s) = {x ∈ R n | β i(x, x) = s} für i = 1, 2 und<br />
s = −2, −1, 0, 1, 2.<br />
Übung 8.1.10. Sei β die Bilinearform auf R 2 , die bezüglich der Standardbasis durch die<br />
Matrix<br />
( ) 3 4<br />
B =<br />
4 −3<br />
gegebenen ist. Bestimme eine Basis, bezüglich der die darstellende Matrix eine Diagonalmatrix<br />
mit Diagonalelementen aus {−1, 0, 1} ist.<br />
Hinweis: Verwende, dass die Matrix B diagonalisierbar ist.<br />
8.2 Nichtausgeartete Sesquilinearformen<br />
Definition 8.2.1. Sei V ein K-Vektorraum und β ∈ Ses(V ). Für M ⊂ V heißt<br />
M ⊥ β := M ⊥ := {v ∈ V | β(v, w) = 0 ∀w ∈ M}<br />
(lies: M senkrecht oder M orthogonal) der Orthogonalraum zu M.<br />
Bemerkung 8.2.2. (i) Es gibt keinen wirklichen Grund dafür, die obige Definition<br />
von M ⊥ der nachfolgenden vorzuziehen:<br />
M ⊥op<br />
β<br />
:= M ⊥op := {v ∈ V | β(w, v) = 0 ∀w ∈ M}.<br />
Im allgemeinen liefern die beiden Definitionen auch unterschiedliche Ergebnisse.<br />
Sie sind aber äquivalent, wenn β(w, v) = ±β(v, w) ist. Dies sind allerdings auch<br />
die wichtigsten Spezialfälle. Beachte, dass M ⊥op<br />
β<br />
= Mβ ⊥ op, wobei βop (v, w) :=<br />
β(w, v) für alle v, w ∈ V . Es lassen sich die Eigenschaften von M ⊥op daher<br />
problemlos aus denen von M ⊥ ablesen.
8.2 Nichtausgeartete Sesquilinearformen 227<br />
(ii) M ⊥ ist immer ein K–Untervektorraum von V . Für v, v ′ ∈ M ⊥ und k, l ∈ K gilt<br />
nämlich<br />
β(w, kv + lv ′ ) = kβ(w, v) + lβ(w, v ′ ) = k0 + l0 = 0 ∀w ∈ M,<br />
also kv + lv ′ ∈ M ⊥ .<br />
⊓⊔<br />
Definition 8.2.3. β heißt nicht ausgeartet, wenn V ⊥ = {0} und ausgeartet,<br />
wenn V ⊥ ≠ {0} ist.<br />
Satz 8.2.4. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und β ∈ Ses(V ). Dann<br />
sind äquivalent:<br />
(1) β ist nicht ausgeartet.<br />
(2) Zu jedem v ∈ V \ {0} gibt es ein w ∈ V mit β(v, w) ≠ 0.<br />
(3) Die Abbildung ϕ : V → Ṽ ∗ definiert durch<br />
(ϕ(v))(w) = β(v, w)<br />
ist ein K-Vektorraum-Isomorphismus.<br />
(4) Zu jedem f ∈ Ṽ ∗ gibt es ein v ∈ V mit β(v, w) = f(w) für alle w ∈ V .<br />
Beweis. Idee: Das meiste ist Routine. Für ”<br />
(1)⇒(3)“ zeigt man ker ϕ = V ⊥ und benutzt<br />
die Dimensionsformel aus Satz 5.3.9.<br />
(1) ⇒ (2)“: Sei v ∈ V \ {0}, dann ist v nicht orthogonal zu V , also gibt es ein<br />
”<br />
w ∈ V mit β(v, w) ≠ 0.<br />
” (2) ⇒ (1)“: Wenn β ausgeartet ist, gibt es ein 0 ≠ v ∈ V ⊥ , für das dann gilt<br />
β(v, w) = 0 ∀w ∈ V.<br />
Also gilt (2) nicht.<br />
(1) ⇒ (3)“: Eine Routinerechnung zeigt, dass ϕ wohldefiniert und K-linear ist.<br />
”<br />
ker ϕ = {v ∈ V | ϕ(v) = 0 ∈ Ṽ ∗ }<br />
= {v ∈ V | (ϕ(v))(w) = 0 ∀w ∈ V }<br />
} {{ }<br />
β(v,w)<br />
= V ⊥ .<br />
Wegen (1) gilt dann aber ker ϕ = {0}, d.h. ϕ ist injektiv. Andererseits haben<br />
wir nach Bemerkung 8.1.17 dim V = dim V ∗ = dim Ṽ ∗ , so dass wegen der<br />
Dimensionsformel aus Satz 5.3.9 folgt<br />
dim(im ϕ) = dim V − dim(ker ϕ) . (∗)<br />
} {{ }<br />
=0<br />
Also gilt im ϕ = Ṽ ∗ , d.h. ϕ ist auch surjektiv.<br />
” (3) ⇒ (4)“: Die Surjektivität von ϕ zeigt sofort, dass zu jedem f ∈ Ṽ ∗ ein v ∈ V<br />
mit ϕ(v) = f existiert. Dann gilt<br />
für alle w ∈ V .<br />
β(v, w) = (ϕ(v))(w) = f(w)
228 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
” (4) ⇒ (1)“: Wenn (4) gilt, dann ist ϕ : V → Ṽ ∗ surjektiv. Wieder mit der Dimensionsformel<br />
(∗) folgt, dass ϕ injektiv ist, d.h. V ⊥ = ker (ϕ) = {0}. Also ist β<br />
nicht ausgeartet.<br />
⊓⊔<br />
Satz 8.2.5. Sei V ein K-Vektorraum mit Basis {v 1 , . . . , v n } und β ∈ Ses(V ). Dann<br />
sind äquivalent:<br />
(1) β ist nicht ausgeartet.<br />
(2) Die darstellende Matrix von β ist invertierbar.<br />
Beweis. Idee: Kombiniere Satz 8.2.4 mit Satz 3.2.5 und Satz 4.2.7.<br />
Nach Satz 8.2.4 ist β genau dann ausgeartet, wenn es ein 0 ≠ v = ∑ n<br />
i=1 x iv i<br />
gibt, für das<br />
⎛ ⎞<br />
y 1<br />
⎜ ⎟<br />
n∑<br />
0 = β(v, w) = (x 1 , . . . , x n )B β ⎝ . ⎠ ∀w = y j v j<br />
(∗)<br />
y<br />
j=1<br />
n<br />
gilt. Aber (∗) ist äquivalent zu (x 1 , . . . , x n )B β = 0, also zu<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
Bβ<br />
⊤ ⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ = 0.<br />
x n<br />
Nach Satz 3.2.5 und Satz 4.2.7 ist das wiederum äquivalent zu<br />
det B β = det B ⊤ β = 0<br />
und der Nichtinvertierbarkeit von B β .<br />
⊓⊔<br />
Satz 8.2.6. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, β ∈ Ses(V ) und U ⊆ V<br />
ein Untervektorraum.<br />
(i) Die Abbildung β U : U ×U → K mit β U (u, u ′ ) = β(u, u ′ ) ist eine Sesquilinearform<br />
auf U (genannt die Einschränkung von β auf U).<br />
(ii) Wenn β U nicht ausgeartet ist, dann gilt<br />
V = U ⊕ U ⊥ (⊥ bzgl. β)<br />
Beweis. Idee: Definiere ˜f v : U → K durch ˜f v(u) = β(v, u) und wende Satz 8.2.4 auf β U<br />
an, um ein u v ∈ U mit ˜f v(u) = β U (u v, u) für alle u ∈ U zu finden. Dann zeige v−u v ∈ U ⊥ .<br />
(i) Dies ist eine Routinerechnung.<br />
(ii) Sei v ∈ V . Definiere eine lineare Abbildung ˜f v : U → K durch<br />
˜f v (u) = β(v, u).<br />
˜f v ist semilinear, weil β(v, ·) semilinear ist. D.h. ˜f v ∈ Ũ ∗ . Da β U nicht ausgeartet<br />
ist, können wir Satz 8.2.4 auf β U anwenden, so dass die Bedingung (4) uns<br />
folgendes liefert:<br />
Es existiert ein u v ∈ U mit
β(v, u) = ˜f v (u) = β U (u v , u) = β(u v , u)<br />
Mit der Sesquilinearität sehen wir, dass<br />
Also haben wir<br />
und<br />
so dass<br />
8.2 Nichtausgeartete Sesquilinearformen 229<br />
β(v − u v , u) = 0 ∀u ∈ U.<br />
v − u v ∈ U ⊥ (⊥ bzgl. β)<br />
v = u v<br />
}{{}<br />
∈U<br />
+ (v − u v ),<br />
} {{ }<br />
∈U ⊥<br />
V = U + U ⊥ .<br />
∀u ∈ U<br />
Nach Bemerkung 5.5.12 bleibt nur zu zeigen, dass die Zerlegung eindeutig ist,<br />
d.h. es gilt U ∩ U ⊥ = {0}. Sei also v ∈ U ∩ U ⊥ , dann gilt für alle u ∈ U<br />
0 = β(v, u) = β U (v, u).<br />
Da β U nicht ausgeartet ist, erhalten wir<br />
d.h. v = 0.<br />
v ∈ {u ′ ∈ U | β U (u ′ , u) = 0 ∀u ∈ U} = U ⊥ β U = {0},<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 8.2.7. Betrachte auf V = R 3 die nicht ausgeartete Bilinearform β ∈<br />
Bil(V ), dargestellt durch ⎛ ⎞<br />
⎝ 1 0<br />
1 ⎠<br />
0 −1<br />
bzgl. der Standardbasis.<br />
β( ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
x 1 x ′ 1<br />
⎝x 2<br />
⎠ , ⎝x ′ ⎠ ) 2 = x 1 x ′<br />
x 3 x ′ 1 + x 2 x ′ 2 − x 3 x ′ 3<br />
3<br />
Die Nullstellenmenge<br />
ist ein Doppelkegel.<br />
{ ⎛ ⎝ x ⎞<br />
1<br />
x 2<br />
⎠ ∣ ( ⎛ ∣ β ⎝ x ⎞ ⎛<br />
1<br />
x 2<br />
⎠ , ⎝ x ⎞<br />
1<br />
x 2<br />
⎠ ) }<br />
= 0<br />
x 3 x 3 x 3<br />
} {{ }<br />
x 2 1 +x2 2 =x2 3<br />
x<br />
3<br />
x<br />
2<br />
x<br />
1
230 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
Wähle<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
U = R ⎝x 2<br />
⎠<br />
x 3<br />
und betrachte β U (die zugehörige Matrix ist 1 × 1, also eine Zahl), d.h. β U ist<br />
entweder nicht ausgeartet oder Null. D.h.<br />
β U ist ausgeartet ⇔ β( ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
x 1 x 1<br />
⎝x 2<br />
⎠ , ⎝x 2<br />
⎠ ) = 0<br />
x 3 x 3<br />
Sei jetzt β U ausgeartet, z.B.<br />
U = R<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎝ 1 0⎠<br />
1<br />
{ ⎛ ⎞<br />
y 1<br />
U ⊥ = ⎝y 2<br />
⎠ ∣ }<br />
∣ 1 · y1 + 0 · y 2 − 1 · y 3 = 0<br />
y 3<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0<br />
= R ⎝0⎠ + R ⎝1⎠ ⊇ U.<br />
1 0<br />
=<br />
{ ⎛ ⎞<br />
1<br />
⎝y<br />
y 2<br />
⎠ ∣ }<br />
∣ y1 = y 3<br />
y 3<br />
x<br />
3<br />
U<br />
U<br />
x<br />
2<br />
x<br />
1<br />
⊓⊔<br />
Übung 8.2.1. Sei V = R 3 mit der Bilinearform β, die bzgl. der Standardbasis durch die<br />
Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
−1 0 0<br />
⎝ 0 1 0 ⎠<br />
0 0 1<br />
dargestellt wird. Zeige, dass für jedes v ∈ V \ {0} mit β(v, v) = 0 gilt<br />
(i) (Rv) ⊥ ∩ {w ∈ V : β(w, w) = 0} = Rv.<br />
(ii) dim(Rv) ⊥ = 2.<br />
Übung 8.2.2. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und ϕ: V → V ∗ eine lineare<br />
Abbildung. Definiere eine Abbildung β : V × V → K durch<br />
Zeige:<br />
(a) β ∈ Bil(V ).<br />
β(v, w) = ( ϕ(v) ) (w).
8.2 Nichtausgeartete Sesquilinearformen 231<br />
(b) Die Zuordnung ϕ ↦→ β definiert einen Vektorraum-Isomorphismus<br />
Übung 8.2.3. Sei<br />
V := su(2) :=<br />
α : Hom K (V, V ∗ ) → Bil(V ).<br />
{( )<br />
}<br />
ir c<br />
∈ Mat(2 × 2, C) | r ∈ R, c ∈ C ,<br />
−c −ir<br />
wobei ¯ die übliche komplexe Konjugation in C bezeichnet.<br />
(a) Zeige, dass V ein R-Untervektorraum von Mat(2 × 2, C) ist, nicht aber ein C-<br />
Untervektorraum.<br />
(b) Seien A, B ∈ V . Zeige, dass tr(AB) ∈ R.<br />
(c) Beweise, dass die Abbildung β : V × V → R mit β(A, B) = tr(AB) eine Bilinearform<br />
auf V ist.<br />
(d) Zeige, dass die Matrizen<br />
A 1 :=<br />
( i 0<br />
0 −i<br />
)<br />
, A 2 :=<br />
( ) 0 −1<br />
, A<br />
1 0<br />
3 :=<br />
( ) 0 i<br />
i 0<br />
eine Basis für V bilden.<br />
(e) Bestimme die darstellende Matrix von β bzgl. dieser Basis.<br />
(f) Bestimme die darstellende Matrix von β bzgl. der Basis {A 1, A 1 + A 2, A 1 + A 2 + A 3}.<br />
(g) Ist β ausgeartet?<br />
Übung 8.2.4. Gegeben seien in R 4 die bilineare Form β(u, v) := u ⊤ v und die Vektoren<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
4<br />
1<br />
v = ⎜ 3<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ , w = ⎜ 2<br />
⎟<br />
⎝ 3 ⎠ .<br />
1<br />
4<br />
Bestimme eine Basis von ( Span(v, w) )⊥ .<br />
Übung 8.2.5. Seien V ein K-Vektorraum mit Basis B = {v 1, . . . , v n} und β ∈ Ses(V) mit<br />
darstellender Matrix B β bezüglich B. Weiter seien ϕ : V → Ṽ ∗ die lineare Abbildung<br />
gegeben durch ( ϕ(v) ) (w) := β(v, w) und ˜B = { ˜f 1, . . . , ˜f n} die zu B duale Basis für Ṽ ∗ .<br />
Bestimme die darstellende Matrix von ϕ bezüglich der Basen B und ˜B.<br />
Übung 8.2.6. Sei A ∈ Mat(n × n, R). Zeige:<br />
(i) A ⊤ = A −1 genau dann, wenn die Spaltenvektoren von A alle die Länge 1 haben und<br />
paarweise aufeinander senkrecht stehen.<br />
(ii) Sei v ∈ R n . Zeige: Es gibt genau dann ein A ∈ Mat(n × n, R) mit A ⊤ = A −1 und<br />
Ae 1 = v, wenn ‖v‖ = 1.<br />
Übung 8.2.7. Sei U ⊆ R 3 ein linearer Unterraum und U ⊥ sein orthogonales Komplement<br />
bzgl. des euklidischen Skalarprodukts.<br />
(i) Zeige, dass sich jedes v ∈ R 3 in eindeutiger Weise als Summe v = u + w mit u ∈ U<br />
und w ∈ U ⊥ schreiben lässt. Schreibe π U (v) := u.<br />
(ii) Zeige, dass die Abbildung π U : R 3 → U linear ist und π U = π U ◦ π U erfüllt.<br />
(iii) Bestimme die zu π U gehörige Matrix für U = span(e 1 + e 2 + e 3) sowie für U =<br />
span(e 1 − e 2, e 2 − e 3).<br />
⊓⊔<br />
Übung 8.2.8. Gegeben seien<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
v = ⎜ 2<br />
⎟<br />
⎝ 3 ⎠ ,<br />
4<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
w = ⎜ 3<br />
⎟<br />
⎝ 4 ⎠ .<br />
5
232 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
(i) Finde eine lineare Abbildung β : R 4 → R 4 mit β(z) = 0 für z ∈ span{v, w} und<br />
β(z) = z für z ∈ span{v, w} ⊥ .<br />
(ii) Zeige, dass es nur ein solche β geben kann.<br />
(iii) Zeige: β ◦ β = β.<br />
(iv) Bestimme die Matrix A mit β A = β.<br />
(v) Zeige: det(A) = 0.<br />
Übung 8.2.9. Sei V = R 3 mit der Bilinearform β, die bzgl. der Standardbasis durch die<br />
Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
⎝ 0 2 0 ⎠<br />
0 0 3<br />
dargestellt wird. Weiter sei U ein linearer Unterraum von V . Zeige, dass die Einschränkung<br />
β U von β auf U nicht ausgeartet ist.<br />
Übung 8.2.10. Sei V ein K-Vektorraum, β ∈ Ses(V ) eine Sesquilinearform und U ⊂ V ein<br />
linearer Unterraum.<br />
1. Zeige: Ist B = {u 1, . . . , u n} eine Basis von U, so gilt U ⊥ = B ⊥ .<br />
2. Bestimme für V = R 4 und β(u, v) = u ⊤ v eine Basis von (span(v 1, v 2)) ⊥ für<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
4<br />
v 1 = ⎜2<br />
⎟<br />
⎝3⎠ , v2 = ⎜3<br />
⎟<br />
⎝2⎠ .<br />
4<br />
1<br />
8.3 Hermitesche Formen<br />
Definition 8.3.1. Eine Sesquilinearform β ∈ Ses(V ) heißt hermitesch , wenn<br />
β(v, w) = β(w, v)<br />
∀v, w ∈ V<br />
gilt und schiefhermitesch, wenn<br />
β(v, w) = −β(w, v) ∀v, w ∈ V.<br />
Wenn a = a für alle a ∈ K, dann sagt man symmetrisch<br />
schiefsymmetrisch statt schiefhermitesch.<br />
Wir setzen<br />
statt hermitesch und<br />
Herm(V ) := {β ∈ Ses(V ) | β hermitesch}<br />
SHerm(V ) := {β ∈ Ses(V ) | β schiefhermitesch}<br />
und schreiben Sym(V ) statt Herm(V ) sowie SSym(V ) statt SHerm(V ) im Fall, dass<br />
a = a für alle a ∈ K.<br />
Bemerkung 8.3.2. Sei {v 1 , . . . , v n } eine Basis von V und B die zugehörige darstellende<br />
Matrix von β ∈ Ses(V ). Dann gilt<br />
β<br />
β<br />
ist hermitesch ⇔ B ∗ = B ⊤ = B<br />
ist schiefhermitesch ⇔ B ∗ = −B<br />
Um das zu sehen, setze v = ∑ n<br />
i=1 x iv i und w = ∑ n<br />
j=1 y jv j . Dann gilt
8.3 Hermitesche Formen 233<br />
⎛ ⎞<br />
y 1<br />
⎜ ⎟<br />
β(v, w) = (x 1 , . . . , x n )B ⎝ . ⎠ ,<br />
y n<br />
(1)<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
⎜ ⎟<br />
β(w, v) = (y 1 , . . . , y n )B ⎝ . ⎠ (2)<br />
x n<br />
und<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
(<br />
y 1 )<br />
y 1<br />
⎜ ⎟<br />
(y 1 , . . . , y n )B ⎝ . ⎠ = (x 1 , . . . , x n )B ⊤ ⎜ ⎟ ⊤<br />
⎝ . ⎠ = (x1 , . . . , x n )B ∗ ⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ .<br />
x n y n y n<br />
Die Ausdrücke (1) und (2) sind genau dann für alle x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n gleich,<br />
wenn B = B ∗ .<br />
⊓⊔<br />
Definition 8.3.3. Eine Matrix A ∈ Mat(n×n, K) heißt hermitesch, wenn A ∗ = A<br />
und schiefhermitesch, wenn A ∗ = −A. Analog heißt A ∈ Mat(n × n, K) symmetrisch,<br />
wenn A ⊤ = A und schiefsymmetrisch, wenn A ⊤ = −A. Bezeichnungsweisen:<br />
Herm(n, K) := {A ∈ Mat(n × n, K) | A ∗ = A}<br />
SHerm(n, K) := {A ∈ Mat(n × n, K) | A ∗ = −A}<br />
Sym(n, K) := {A ∈ Mat(n × n, K) | A ⊤ = A}<br />
SSym(n, K) := {A ∈ Mat(n × n, K) | A ⊤ = −A}<br />
Beispiel 8.3.4. (n = 2) Die Hermiteschen (2 × 2)-Matrizen sind reelle Linearkombinationen<br />
von: ( ) ( ) ( ) ( )<br />
1 0 0 1 0 −i 1 0<br />
, , ,<br />
0 1 1 0 i 0 0 −1<br />
} {{ }<br />
Paulische Spinmatrizen<br />
allgemein:<br />
( ) a b<br />
=<br />
c d<br />
( ) ∗<br />
a b<br />
=<br />
c d<br />
( ) a c<br />
b d<br />
d.h. es gilt a, d ∈ R; b = c. Wegen b = c = b hat man damit die Matrizen der Form<br />
( ) a b<br />
, a, d ∈ R; b ∈ C.<br />
b d<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 8.3.5. Man zerlegt ein komplexe Matrix A ∈ Mat(m × n, C) komponentenweise<br />
in Real- und Imaginärteil A = Re A + i Im A, wobei Re A, Im A ∈<br />
Mat(m × n, R). Dann gilt
234 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
Damit erhält man<br />
A ⊤ = (Re A) ⊤ + i(Im A) ⊤ ,<br />
A = Re A − i Im A,<br />
A ∗ = Re A) ⊤ − i(Im A) ⊤ .<br />
A ∗ = A ⇔ Re A ⊤ = Re A ∗ = Re A und Im A ⊤ = − Im A ∗ = − Im A,<br />
d.h. eine Matrix ist hermitesch genau dann, wenn Re A symmetrisch und Im A<br />
schiefsymmetrisch ist.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 8.3.6. Da a ↦→ a nach Voraussetzung ein Körperautomorphismus ist,<br />
ist die Menge<br />
F := {a ∈ K | a = a} ⊆ K<br />
selbst ein Körper. Beachte, dass 1 = 1 gelten muss, weil auch 1 eine Eins in K<br />
ist (vgl. Bemerkung 1.1.4). Also ist 1 ∈ F und damit sind auch alle ganzzahligen<br />
Vielfachen von 1 ∈ K, d.h. iterierte Summen von 1 oder −1, in F. Schließlich sind<br />
auch alle Brüche der Form a b<br />
mit a, b ganzzahligen Vielfachen von 1 ∈ K in F.<br />
(i) Wenn β ∈ Herm(V ), dann gilt β(v, v) ∈ F für alle v ∈ V , weil das Vertauschen<br />
der beiden v nach definition β(v, v) in β(v, v) überführt.<br />
(ii) Man rechnet leicht nach, dass die Mengen Herm(V ) und SHerm(V ) F-Vektorräume<br />
sind: Für alle β ′ , β ∈ Herm(V ) und c, d ∈ F rechnet man<br />
(cβ + dβ ′ )(v, w) = cβ(v, w) + dβ ′ (v, w)<br />
= cβ(w, v) + dβ ′ (w, v)<br />
= (cβ + dβ ′ )(w, v).<br />
Die Rechnung für β ′ , β ∈ SHerm V ist analog. Eine entsprechende Bemerkung<br />
gilt für die hermiteschen und schiefhermiteschen Matrizen.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 8.3.7. Herm(n, C) ist kein C-Vektorraum:<br />
( ) ( )<br />
i 0 1 0<br />
= i<br />
0 i 0 1<br />
ist nicht hermitesch, sondern schiefhermitesch:<br />
( ) ∗ ( )<br />
i 0 −i 0<br />
=<br />
0 i 0 −i<br />
⊓⊔<br />
Satz 8.3.8 (Symmetrie-Zerlegung). Sei K ein Körper mit 1 + 1 ≠ 0 (d.h. 1 2<br />
existiert) und V ein K-Vektorraum. Weiter sei β ∈ Ses(V ). Dann gibt es eindeutig<br />
bestimmte Sesquilinearformen Hβ, Λβ ∈ Ses(V ) mit<br />
(i) β = Hβ + Λβ.<br />
(ii) Hβ ist hermitesch.<br />
(iii) Λβ ist schiefhermitesch.<br />
Der F-Vektorraum Ses(V ) ist die direkte Summe von Herm(V ) und SHerm(V ).
8.3 Hermitesche Formen 235<br />
Beweis. Idee: Betrachte β ′ (v, w) := β(w, v) und kombiniere dies mit β.<br />
Schreibe<br />
β = 1 2 (β + β′ ) + 1 2 (β − β′ )<br />
für β ′ ∈ Ses(V ) mit β ′ (v, w) := β(w, v). Es gilt β + β ′ ∈ Herm(V ) und β − β ′ ∈<br />
SHerm(V ):<br />
(β + β ′ )(v, w) = β(v, w) + β ′ (v, w) = β(v, w) + β(w, v)<br />
= β(w, v) + β(v, w) = β(w, v) + β ′ (w, v)<br />
= (β + β ′ )(w, v)<br />
β − β ′ ∈ SHerm(V ) zeigt man analog. Damit haben wir<br />
Ses(V ) = Herm(V ) + SHerm(V )<br />
und es bleibt nach Bemerkung 5.5.12 nur noch<br />
Herm(V ) ∩ SHerm(V ) = {0}<br />
zu zeigen. Sei also β ∈ Herm(V ) ∩ SHerm(V ). Dann folgt für alle v, w ∈ V<br />
β(v, w) = β(w, v) = −β(v, w),<br />
daher β = 0.<br />
⊓⊔<br />
Proposition 8.3.9 (Polarisierung symmetrischer Formen). Sei β ∈ Sym(V )<br />
und 1 2<br />
∈ K. Dann gilt:<br />
β(v, w) = 1 2(<br />
β(v + w, v + w) − β(v, v) − β(w, w)<br />
)<br />
,<br />
d.h. β kann aus den Werten auf der Diagonalen {(v, v) ∈ V × V | v ∈ V }<br />
zurückgewonnen werden.<br />
Beweis. Idee: Quadrate von Summen berechnen.<br />
Die Behauptung folgt unmittelbar aus der folgenden Rechnung:<br />
β(v + w, v + w) = β(v, v + w) + β(w, v + w)<br />
= β(v, v) + β(v, w) + β(w, v) + β(w, w)<br />
= β(v, v) + 2β(v, w) + β(w, w).<br />
⊓⊔<br />
Im Spezialfall K = C erhalten wir eine Polarisierugnsformel (vgl. Proposition<br />
8.3.9 auch für hermitesche Formen:<br />
Proposition 8.3.10 (Polarisierung über C). Sei K = C und β ∈ Herm(V ).<br />
Für alle v, w ∈ V gilt:<br />
(i) Re β(v, w) = 1 2<br />
(β(v + w, v + w) − β(v, v) − β(w, w)).<br />
(ii) Im β(v, w) = − Re β(iv, w).
236 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
Beweis. Idee: Rechne wie bei der reellen Polarisierung und bestimme zusätzlich Re β(iv, w).<br />
Weil β hermitesch ist, gilt β(v, v) ∈ R für alle v ∈ V . Damit erhalten wir<br />
β(v + w, v + w) = β(v, v + w) + β(w, v + w)<br />
= β(v, v) + β(v, w) + β(w, v) + β(w, w)<br />
= β(v, v) + β(v, w) + β(v, w) +β(w, w)<br />
} {{ }<br />
2 Re β(v,w)<br />
Dies zeigt (i). Wegen 1 2i<br />
(a + ib − (a − ib)) = b können wir rechnen<br />
Re β(iv, w) = 1 (β(iv, w) + β(iv, w))<br />
2<br />
= − 1 2i (β(v, w) − β(v, w)) = − Im β(v, w). ⊓⊔<br />
Übung 8.3.1. Bestimme die Matrix bzgl. der Standardbasis der symmetrischen Bilinearform<br />
β : R 2 × R 2 → R, die gegeben ist durch die Vorschrift<br />
für x ∈ R 2 .<br />
β(x, x) := x 2 1 + 2(x 1 + x 2) 2<br />
Übung 8.3.2. Gegeben sei β ∈ Bil(R 2 ) durch<br />
β(x, x) = x 2 1 + x 2 2 + 2x 1x 2<br />
(a) Bestimme A ∈ Sym(2, R), so daß β(x, x) = x ⊤ Ax.<br />
(b) Sei f : R 2 → R gegeben durch f(x) := β(x, x). Man bestimme C ∈ GL(2, R), damit<br />
für y = (y 1, y 2) ⊤ ∈ R 2 gilt:<br />
f(Cy) = λ 1y 2 1 + λ 2y 2 2.<br />
Übung 8.3.3. Gegeben sind die symmetrischen Matrizen<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−1 0 0<br />
0 1 0<br />
A = ⎝ 0 1 0⎠ , B = ⎝1 0 0⎠ .<br />
0 0 1<br />
0 0 1<br />
Zeige, dass sie zueinander äquivalent sind, dass also C ⊤ AC = B gilt mit einer geeignet<br />
gewählten Matrix C ∈ GL(3, R).<br />
Übung 8.3.4. Betrachte C n als R-Vektorraum. Sei ω : C n × C n → R eine nicht ausgeartete<br />
schiefsymmetrische R-Bilinearform. Außerdem gelte ω(iv, iw) = ω(v, w). Zeige: Durch<br />
H(v, w) = ω(iv, w) + iω(v, w) wird eine nicht-ausgeartete hermitesche Form auf C n (als<br />
C-Vektorraum) definiert.<br />
Übung 8.3.5. Welche der folgenden Matrizen in Mat(n×n, C) sind hermitesch bzw. schiefhermitesch?<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
( ) ( )<br />
2 −3 2<br />
2 i − 3 2i<br />
i −1<br />
2 i<br />
A = , B = , C = ⎝−3 2 3⎠ D = ⎝−(i + 3) 2 3i⎠<br />
1 i<br />
i i<br />
2 3 2<br />
−2i −3i 2<br />
⊓⊔
8.3 Hermitesche Formen 237<br />
Übung 8.3.6. Sei β ∈ Ses(C 4 ) die Sesquilinearform mit darstellender Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
i 0 i + 1 0<br />
A = ⎜0 2 0 i<br />
⎟<br />
⎝i i i i⎠<br />
1 1 0 0<br />
bezüglich der Standardbasis B = {e 1, e 2, e 3, e 4} von C 4 . Dann zerlegt sich β eindeutig als<br />
direkte Summe β = Hβ + Λβ mit Hβ hermitesch und Λβ schiefhermitesch. Bestimme die<br />
darstellenden Matrizen von Hβ und Λβ bezüglich B.<br />
⊓⊔<br />
Übung 8.3.7. Sei V ein C-Vektorraum und β ∈ Herm(V ). Definiere zu jedem v ∈ V eine<br />
Abbildung ϕ(v): V → K durch ( ϕ(v) ) (w) := β(w, v) und zeige:<br />
(i) ϕ(v) ist C-linear für jedes v, d.h. ϕ(v) ∈ V ∗ .<br />
(ii) Die Abbildung ϕ: V → V ∗ definiert durch v ↦→ ϕ(v) ist R-linear, aber nicht C-linear.<br />
Übung 8.3.8. Sei V = {A ∈ Mat(3 × 3, R): A ⊤ = −A}.<br />
(i) Zeige, dass V ein R-Vektorraum ist.<br />
(ii) Zeige, dass die folgenden Matrizen eine Basis für V bilden:<br />
⎛ ⎞<br />
0 1 0<br />
⎛ ⎞<br />
0 0 1<br />
⎛<br />
0 0 0<br />
⎞<br />
X := ⎝ −1 0 0 ⎠ , Y := ⎝ 0 0 0 ⎠ , Z := ⎝ 0 0 −1 ⎠<br />
0 0 0<br />
−1 0 0<br />
0 1 0<br />
(iii) Sei β ∈ Bil(V ) definiert durch β(A, B) = tr(AB). Berechne die darstellende Matrix<br />
von β bzgl. der angegebenen Basis.<br />
Übung 8.3.9. Sei V = {A ∈ Mat(3 × 3, R): A ⊤ = −A} wie in Übung 8.3.8. Für A, B ∈ V<br />
definiert man eine 3 × 3-Matrix ad A(B) = AB − BA.<br />
(i) Zeige, dass ad A(B) ∈ V für alle A, B ∈ V .<br />
(ii) Zeige: Die Abbildung ad A : V → V, B ↦→ ad A(B) ist linear, d.h., ad A ∈ End R (V ).<br />
(iii) Zeige: Die Abbildung ad: V → End R (V ) mit A ↦→ ad A ist linear.<br />
(iv) Identifiziere End R (V ) mit Mat(3 × 3, R) unter Zuhilfenahme der Basis {X, Y, Z} für<br />
V und gib die Matrix ad A ∈ Mat(3 × 3, R) für jedes A ∈ V an.<br />
(v) Definiere eine Abbildung κ V : V × V → R durch<br />
κ V (A, B) = tr(ad A ◦ ad B)<br />
und zeige, dass κ V ∈ Bil(V ). (Der Vektorraum V wird üblicherweise mit so(3) bezeichnet<br />
und die Bilinearform κ V heißt die Cartan-Killing Form auf so(3).)<br />
(vi) Berechne die darstellende Matrix von κ V bzgl. der in Übung 8.3.8 angegebenen Basis.<br />
Übung 8.3.10. Sei<br />
V := su(2) :=<br />
{( )<br />
}<br />
ir c<br />
∈ Mat(2 × 2, C): r ∈ R, c ∈ C .<br />
−c −ir<br />
(i) Zeige, dass V ein R-Untervektorraum von Mat(2 × 2, C) ist, nicht aber ein C-<br />
Untervektorraum.<br />
(ii) Seien A, B ∈ V . Zeige, dass tr(AB) ∈ R.<br />
(iii) Zeige, dass die Abbildung β : V × V → R mit β(A, B) = tr(AB) eine Bilinearform auf<br />
V ist.<br />
(iv) Zeige, dass die Matrizen<br />
A 1 :=<br />
( i 0<br />
0 −i<br />
)<br />
, A 2 :=<br />
( ) 0 −1<br />
, A<br />
1 0<br />
3 :=<br />
eine Basis für V bilden.<br />
(v) Bestimme die darstellende Matrix von β bzgl. dieser Basis.<br />
( ) 0 i<br />
i 0
238 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
Übung 8.3.11. Sei<br />
V := su(2) :=<br />
{( )<br />
}<br />
ir c<br />
∈ Mat(2 × 2, C) | r ∈ R, c ∈ C ,<br />
−c −ir<br />
wobei ¯ die übliche komplexe Konjugation in C bezeichnet. Für A, B ∈ V definiert man<br />
eine 2 × 2-Matrix ad A(B) := AB − BA. Zeige:<br />
(a) ad A(B) ∈ V für alle A, B ∈ V .<br />
(b) Die Abbildung ad A : V → V gegeben durch B ↦→ ad A(B) ist linear, d.h. ad A ∈<br />
End R (V ).<br />
(c) Die Abbildung ad: V → End R (V ) mit A ↦→ ad A ist linear.<br />
Identifiziere die Räume End R (V ) und Mat(3×3, R) unter Zuhilfenahme der Basis {A 1, A 2, A 3}<br />
für V , wobei<br />
( ) ( ) ( )<br />
i 0<br />
0 −1<br />
0 i<br />
A 1 := , A<br />
0 −i<br />
2 := , A<br />
1 0<br />
3 := .<br />
i 0<br />
(d) Gib die Matrix von ad A ∈ Mat(3 × 3, R) für jedes A ∈ V an.<br />
(e) Definiere eine Abbildung κ: V × V → R durch<br />
κ V (A, B) = tr(ad A ◦ ad B)<br />
und zeige, dass κ V ∈ Bil(V ).<br />
(f) Berechne die darstellende Matrix von κ V bzgl. der Basis {A 1, A 2, A 3}.<br />
(g) Zeige, daß {B 1, B 2, B 3} eine Basis von V ist, wobei<br />
B 1 :=<br />
( i −1<br />
1 −i<br />
)<br />
, B 2 :=<br />
( i i<br />
i −i<br />
)<br />
, B 3 :=<br />
( ) 0 i − 2<br />
.<br />
i + 2 0<br />
(h) Berechne die darstellende Matrix von κ V bzgl. der Basis {B 1, B 2, B 3}.<br />
(i) Ist κ V ausgeartet?<br />
(l) Berechne den Orthogonalraum A ⊥ 1 bezüglich κ V .<br />
Übung 8.3.12. Definiere eine Abbildung L: su(2) → so(3) durch<br />
(vgl. Übung 8.3.8). Zeige:<br />
L(A 1) = 2X, L(A 2) = 2Y, L(A 3) = 2Z<br />
(i) L: su(2) → so(3) ist ein Vektorraum-Isomorphismus.<br />
(ii) L(A)L(B) − L(B)L(A) = L(AB − BA) für alle A, B ∈ su(2).<br />
(iii) ad L(A) ◦L = L ◦ ad A.<br />
(iv) ad L(A) ◦ ad L(B) = L ◦ (ad A ◦ ad B) ◦ L −1 .<br />
(v) κ so(3)<br />
(<br />
L(A), L(B)<br />
)<br />
= κsu(2) (A, B).<br />
(vi) Die darstellenden Matrizen von κ su(2) und κ so(3) bzgl. der Basen {A 1, A 2, A 3} bzw.<br />
{2X, 2Y, 2Z} stimmen überein.<br />
Übung 8.3.13. Sei V ein 2-dimensionaler K-Vektorraum und β ∈ Bil(V ) schiefsymmetrisch<br />
und nicht ausgeartet. Zeige, dass<br />
(<br />
es<br />
)<br />
eine Basis {v 1, v 2} für V gibt, bzgl. der die<br />
0 1<br />
darstellende Matrix von β die Form hat.<br />
−1 0<br />
Übung 8.3.14. Sei V = R 2 . Für v =<br />
(<br />
x1<br />
)<br />
und w =<br />
x 2<br />
(<br />
y1<br />
( )<br />
x1 y 1<br />
β(v, w) = det .<br />
x 2 y 2<br />
)<br />
setze<br />
y 2<br />
(i) Zeige, dass β eine schiefsymmetrische Bilinearform ist.<br />
( ) ( ) 0 1<br />
(ii) Gib die darstellende Matrix von β bzgl. der Basis { , } an.<br />
1 1
Übung 8.3.15. Sei V = Mat(2 × 2, C) und f ∈ V ∗ definiert durch<br />
( ) a b<br />
f = b.<br />
c d<br />
(i) Sei β : V × V → C definiert durch<br />
β(A, B) = f(AB − BA).<br />
8.3 Hermitesche Formen 239<br />
Zeige, dass β eine schiefsymmetrische Bilinearform auf V ist.<br />
(ii) Finde eine Basis für V und gib die darstellende Matrix von β bzgl. dieser Basis an.<br />
Übung 8.3.16. Sei β ∈ Ses(R 4 ) die Sesquilinearform mit darstellender Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
2 2 1 0<br />
⎜3 2 1 1<br />
⎟<br />
⎝1 1 1 0⎠<br />
4 1 0 0<br />
bezüglich der Standardbasis B = {e 1, e 2, e 3, e 4} von R 4 . Dann zerlegt sich β eindeutig als<br />
direkte Summe β = Sβ + Λβ mit Sβ symmetrisch und Λβ schiefsymmetrisch. Bestimme<br />
die darstellenden Matrizen von Sβ und Λβ bezüglich B.<br />
Übung 8.3.17. Gegeben seien die Vektoren in K 2<br />
u =<br />
(<br />
u1<br />
u 2<br />
)<br />
, v =<br />
(<br />
v1<br />
v 2<br />
)<br />
mit<br />
( )<br />
u1 v 1<br />
det ≠ 0.<br />
u 2 v 2<br />
Zeige: Wenn A ∈ Mat(2 × 2, K) die Gleichung u ⊤ Av = v ⊤ Au erfüllt, dann gilt A ∈<br />
Sym(2, K).<br />
Übung 8.3.18. Eine hermitesche Sesquilinearform β : C 3 × C 3<br />
β(z, z) := β ′ (z) für z = x + iy mit x, y ∈ R 3 , wobei<br />
→ C sei gegeben durch<br />
β ′ (z) := x 2 1 + 2x 2 2 − x 2 3 + y 2 1 + 2y 2 2 − y 2 3 + 2x 1y 2 − 2x 2y 1 + 2x 2y 3 − 2x 3y 2 + 2x 2x 3 + 2y 2y 3.<br />
Bestimme die zu β gehörige hermitesche Matrix A ∈ Mat(3 × 3, C) (bzgl. der Standardbasis).<br />
{ ( )<br />
x y<br />
}<br />
Übung 8.3.19. Sei Sym(2, R) = | x, y, z ∈ R der Vektorraum der 2 × 2 reellen<br />
y z<br />
symmetrischen Matrizen mit den üblichen koeffizientenweisen Addition und Skalarmultiplikation.<br />
Mit den Matrizen<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
1 0<br />
0 1<br />
0 0<br />
E 1 = , E<br />
0 0 2 = , E<br />
1 0<br />
3 = ,<br />
0 1<br />
( ) ( ) ( )<br />
4 5<br />
10 −1<br />
−5 5<br />
A = , B = , C =<br />
5 0<br />
−1 0<br />
5 9<br />
definiert man eine lineare Abbildung ϕ : Sym(2, R) → Sym(2, R) durch<br />
ϕ(E 1) = A, ϕ(E 2) = B, ϕ(E 3) = C.<br />
(a) Man zeige, daß ϕ ein Isomorphismus ist.<br />
(b) Man bestimme die Eigenwerte von ϕ und die zugehörigen Eigenvektoren in Sym(2, R).<br />
Übung 8.3.20. Seien V = {A ∈ Mat(3 × 3, R) : A ⊤ = −A} und β ∈ Bil(V ) definiert durch<br />
β(A, B) = −tr(AB).<br />
(a) Wähle eine Basis B von V und berechne die darstellende Matrix von β bzgl. B.
240 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
(b) Die lineare Abbildung β ′ : V → V (j = 1, 2) sei definiert durch β ′ (X) = B ⊤ XB mit<br />
⎛ ⎞<br />
0 1 2<br />
B = ⎝−1 0 1⎠ .<br />
−2 1 0<br />
Bestimme die adjungierte Abbildung β ′∗ , falls möglich. Erkläre die Antwort.<br />
Übung 8.3.21. Sei V = {( a 0 c b ) | a, b, c ∈ C}.<br />
1. Zeige, dass die Bilinearform β ∈ Bil(V ) mit β(A, B) = tr(AB) ausgeartet ist.<br />
2. Berechne V ⊥ .<br />
3. Für welche A ∈ V gilt β(A, A) = 0?<br />
4. Finde eine Basis für V und gib die darstellende Matrix von β bzgl. dieser Basis an.<br />
Übung 8.3.22. Seien V ein K-Vektorraum mit Basis B = {v 1, . . . , v n} und β ∈ Ses(V)<br />
mit darstellender Matrix B β bezüglich B. Weiter seien ϕ : V → Ṽ ∗ die lineare Abbildung<br />
gegeben durch ( ϕ(v) ) (w) := β(v, w) und ˜B = { ˜f 1, . . . , ˜f n} die zu B duale Basis für Ṽ ∗ .<br />
Bestimme die darstellende Matrix von ϕ bezüglich der Basen B und ˜B. Was gilt für ϕ,<br />
falls β nicht ausgeartet ist?<br />
Übung 8.3.23. Es sei Pol 3(R, R) der Vektorraum der Polynomfunktionen vom Grad 3.<br />
1. Zeige, dass<br />
β(p, q) :=<br />
∫ 1<br />
−1<br />
p(x)q(x)dx<br />
eine Bilinearform auf Pol 3(R, R) definiert.<br />
2. Bestimme die darstellende Matrix von β bezüglich der Basis (p 0, p 1, p 2, p 3) mit p i(x) =<br />
x i .<br />
3. Ist β ausgeartet?<br />
8.4 Diagonalisierbarkeit von hermiteschen Formen<br />
In diesem Abschnitt geht es darum zu vorgegebenen hermiteschen oder symmetrischen<br />
Formen Basen zu finden, bzgl. derer die darstellenden Matrizen diagonal sind.<br />
Die entsprechende Fragestellung für Matrizen lautet: Finde zu B ∈ Herm(n × n, K)<br />
ein C ∈ GL(n, K) mit C ⊤ BC = D, wobei D in Diagonalgestalt ist.<br />
Bemerkung 8.4.1. Sei B ∈ Sym(n × n, K). Gesucht ist dann ein C ∈ GL(n, K)<br />
mit C ⊤ BC = D, wobei D in Diagonalgestalt ist. Eine Möglichkeit so ein D zu<br />
finden ist, C aus elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen zusammenzusetzen.<br />
Als Beispiel betrachten wir<br />
⎛ ⎞<br />
B = ⎝ 1 2 3<br />
2 3 2 ⎠<br />
3 2 1<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
Zeilen<br />
−→ ⎝ 1 2 3<br />
0 −1 −4 ⎠ Spalten −→ ⎝ 1 0 0<br />
0 −1 −4 ⎠<br />
0 −4 −8<br />
0 −4 −8<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
Zeilen<br />
−→ ⎝ 0 −1 −4 ⎠ Spalten 1 0 0<br />
−→ ⎝ 0 −1 0 ⎠<br />
0 0 8<br />
0 0 8<br />
E III(−4,2;3) ◦ E III(−3,1;3) ◦ E III(−2,1;2) ◦B ◦ EIII(−2,1;2) ⊤ } {{ }<br />
◦ E⊤ III(−3,1;3) ◦ E⊤ III(−4,2;3) ,<br />
} {{ }<br />
C ⊤<br />
C
8.4 Diagonalisierbarkeit von hermiteschen Formen 241<br />
wobei die E’s die Elementarmatrizen aus Beispiel 3.1.9 sind. Damit hat man:<br />
C ⊤ BC = Diagonalmatrix<br />
Beachte, dass dieses Vorgehen so nur funktioniert, wenn in der Diagonale nie eine<br />
Null auftaucht. Falls dies der Fall ist, kann man sich behelfen, indem man eine<br />
andere Zeile (und der Spalte) zu der fraglichen Zeile (Spalte) addiert:<br />
( ) 0 1<br />
B =<br />
Zeilen<br />
−→<br />
Zeilen<br />
−→<br />
1 0<br />
( 1 1<br />
1 0<br />
( 2 1<br />
0 − 1 2<br />
) Spalten<br />
−→<br />
) Spalten<br />
−→<br />
( ) 2 1<br />
1 0<br />
( ) 2 0<br />
0 − 1 2<br />
⊓⊔<br />
Satz 8.4.2 (Diagonalisierbarkeit hermitescher Formen). Sei β ∈ Herm(V ),<br />
dim V = n, und K = R oder C. Dann existiert eine Basis {v 1 , . . . , v n } für V bzgl.<br />
der β die darstellende Matrix die Gestalt<br />
hat.<br />
B β =<br />
⎛<br />
β(v 1 , v 1 ) 0<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
0 β(v n , v n )<br />
Beweis. Idee: Mit Polarisierung findet man einen Vektor v mit β(v, v) ≠ 0. Dann spaltet<br />
man V in Rv und v ⊥ auf und wendet Induktion über die Dimension von V an.<br />
Wir führen eine Induktion über dim V = n durch:<br />
n = 1: Für n = 1 ist nichts zu zeigen.<br />
n > 1: Für n > 1 unterscheiden wir zwei Fälle:<br />
1. Fall: β(v, w) = 0 für alle v, w ∈ V , d.h. β = 0 und B β = 0.<br />
2. Fall: Es existiert ein v 1 ∈ V mit β(v 1 , v 1 ) ≠ 0. Dies ist wegen der Polarisierung<br />
(vgl. Satz 8.3.9 und Satz 8.3.10) immer möglich, wenn β ≠ 0. Setze<br />
nun V 1 = Kv 1 . Daraus folgt, dass β eingeschränkt auf V 1 nicht ausgeartet<br />
ist. Nach Satz 8.2.6 gilt dann<br />
V = V 1 ⊕ V ⊥<br />
1 .<br />
Wende nun Induktion auf die Einschränkung β V ⊥<br />
1<br />
von β auf V1 ⊥ an. Es<br />
existiert eine Basis {v 2 , . . . , v n } für V1 ⊥ , so dass die darstellende Matrix von<br />
β V ⊥<br />
1<br />
gerade die Diagonalmatrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
β(v 2 , v 2 )<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
β(v n , v n )<br />
ist. Beachte nun, dass {v 1 , . . . , v n } eine Basis für V ist. Die darstellende<br />
Matrix von β bzgl. dieser Basis ist
242 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
⎛<br />
⎞<br />
β(v 1 , v 1 ) 0<br />
β(v 2 , v 2 ) 0<br />
⎜<br />
⎝<br />
.<br />
0<br />
..<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 β(v n , v n )<br />
weil β(v 1 , v j ) = 0 für j = 2, . . . , n.<br />
⊓⊔<br />
Die einzige Stelle in diesem Beweis, an der die Voraussetzung über den Körper<br />
K eingegangen ist, ist die Existenz der Polarisierung. Daher kann man im Falle symmetrischer<br />
Bilinearformen schon diagonalisieren, wenn man nur 1 2 ∈ K vorraussetzt.<br />
Ein alternativer Beweis von Satz 8.4.2, der auch eine praktische Berechnung der<br />
Basis liefert, lässt sich auch wie in Bemerkung 8.4.1 gewinnen.<br />
Hat man für eine hermitesche Form erst einmal eine darstellende Matrix in Diagonalgestalt,<br />
so kann man versuchen, auch die Diagonalmatrix noch zu vereinfachen,<br />
indem man Basiswechsel der Gestalt<br />
v ′ 1 = k 1 v 1 , . . . , v ′ n = k n v n<br />
mit k j ≠ 0 anschließt. In diesem Fall ist die durch<br />
gegebene Übergangsmatrix gleich<br />
C =<br />
v ′ j =<br />
n∑<br />
c ij v i<br />
i=1<br />
⎛ ⎞<br />
k 1 0<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 k n<br />
und die darstellende Matrix von β bzgl. {v 1, ′ . . . , v n} ′ ergibt sich zu<br />
⎛<br />
⎞<br />
k 1 k 1 β(v 1 , v 1 )<br />
B ′ = C ⊤ ⎜<br />
BC = CBC = ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
k n k n β(v n , v n )<br />
Bemerkung 8.4.3. (i) Betrachte den Fall symmetrischer Bilinearformen. Wenn in<br />
K jede Zahl ein Quadrat ist (dies gilt z.B. für C, nicht aber für R), dann kann<br />
man k j so wählen, dass<br />
k 2 j =<br />
1<br />
β(v j , v j )<br />
für β(v j , v j ) ≠ 0.<br />
In diesem Fall ist die neue Matrix eine Diagonalmatrix ausschließlich mit Nullen<br />
und Einsen auf der Diagonalen.<br />
(ii) Wenn K gleich R oder C ist und a die komplexe Konjugation, dann ist nur jede<br />
positive Zahl von der Form aa = |a| 2 . In diesem Fall wählt man die k j so, dass<br />
|k j | 2 =<br />
1<br />
|β(v j , v j )|<br />
für β(v j , v j ) ≠ 0.<br />
Dann ist die neue Matrix eine Diagonalmatrix mit Diagonalelementen in {−1, 0, 1}.<br />
⊓⊔
8.4 Diagonalisierbarkeit von hermiteschen Formen 243<br />
Durch Anwendung von Elementarumformungen vom Typ I (Zeilen/Spalten-<br />
Tausch) kann man schließlich noch die Diagonalelemente umsortieren:<br />
⎛<br />
⎞<br />
β(v 1 , v 1 )<br />
. .. β(v q , v q )<br />
E I(p,q) BEI(p,q) ⊤ = . .. β(v p , v p )<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ⎟<br />
.. ⎠<br />
β(v n , v n )<br />
Satz 8.4.4 (Sylvesterscher Trägheitssatz). Sei K gleich R oder C mit der komplexen<br />
Konjugation. Weiter seien β ∈ Herm(V ) und {v 1 , . . . , v n },{v ′ 1, . . . , v ′ n} Basen<br />
für V bzgl. derer die darstellenden Matrizen diagonal sind mit β(v j , v j ), β(v ′ j , v′ j ) ∈<br />
{−1, 0, 1}. Dann gilt:<br />
#{j ∈ {1, . . . , n} | β(v j , v j ) = −1} = #{j ∈ {1, . . . , n} | β(v ′ j, v ′ j) = −1}<br />
#{j ∈ {1, . . . , n} | β(v j , v j ) = 0} = #{j ∈ {1, . . . , n} | β(v ′ j, v ′ j) = 0}<br />
#{j ∈ {1, . . . , n} | β(v j , v j ) = 1} = #{j ∈ {1, . . . , n} | β(v ′ j, v ′ j) = 1}<br />
Beweis. Idee: Stelle die Form bzgl. beider Basen durch Matrizen dar und sortiere die<br />
Diagonaleinträge nach der Größe. Wenn die Vorzeichen nicht zusammenpassen, ergibt sich<br />
Bemerkung 8.1.17 ein Widerspruch zur Dimensionsformel für Schnitte und Summen von<br />
Unterräumen (vgl. Satz 5.2.12).<br />
Wir setzen<br />
⎛<br />
B =<br />
⎜<br />
⎝<br />
β(v 1 , v 1 ) 0<br />
. ..<br />
0 β(v n , v n )<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ , B ′ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
β(v ′ 1, v ′ j ) 0<br />
. ..<br />
0 β(v ′ n, v ′ n)<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Mit Bemerkung 8.1.17 ergibt sich<br />
r ± := #{j ∈ {1, . . . , n} | β(v j , v j ) = ±1},<br />
r ′ ± := #{j ∈ {1, . . . , n} | β(v ′ j, v ′ j) = ±1}.<br />
r + + r − = Rang(B) = Rang(B ′ ) = r ′ + + r ′ −.<br />
Es reicht jetzt zu zeigen, dass r + = r ′ +. wegen der Symmetrie der Problemstellung<br />
in r + und r ′ +, genügt es dafür die Annahme<br />
r + > r ′ +<br />
zum Widerspruch zu führen. Wir können o.B.d.A. annehmen, dass die Diagonaleinträge<br />
nach der Größe sortiert sind. Betrachte die beiden Unterräume<br />
U 1 := span{v 1 , . . . , v r+ }, U 2 := span{v ′ r ′ + +1, . . . , v′ n}<br />
und beachte, dass β(v j , v j ) = 1 für 1 ≤ j ≤ r + und β(v ′ j , v′ j ) ≤ 0 für r′ + +1 ≤ j ≤ n.<br />
Wir haben<br />
dim U 1 = r + , dim U 2 = n − r ′ +
244 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
und erhalten mit der Dimensionsformel für Schnitte und Summen von Unterräumen<br />
aus Satz 5.2.12(v)<br />
n < n + (r + − r +<br />
′ ) = dim U 1 + dim U 2<br />
} {{ }<br />
>0<br />
= dim(U 1 + U 2 ) + dim(U 1 ∩ U 2 ) ≤ n + dim(U 1 ∩ U 2 ),<br />
also dim(U 1 ∩ U 2 ) > 0. D.h., es gibt ein x ∈ U 1 ∩ U 2 , x ≠ 0, das wir als Linearkombination<br />
der beiden Basen von U 1 und U 2 schreiben können:<br />
Dann finden wir<br />
β(x, x) =<br />
β(x, x) =<br />
r +<br />
∑<br />
j=1<br />
x =<br />
r +<br />
∑<br />
j=1<br />
|c j | 2 > 0<br />
n∑<br />
c j v j =<br />
j=r ′ + +1 β(d j v ′ j, d j v ′ j) =<br />
n∑<br />
j=r ′ + +1 d j v ′ j.<br />
n∑<br />
j=r ′ + +1 |d j | 2 β(v ′ j, v ′ j) ≤ 0,<br />
im Widerspruch zu unseren Voraussetzungen.<br />
⊓⊔<br />
Das Paar (r + , r − ) nennt man den Index von β. Die Zahl r + + r − ist der Rang<br />
von β.<br />
Beispiel 8.4.5. (vgl. Beispiel 8.1.5)<br />
(i) Euklidisches Skalarprodukt auf R n : Index = (n, 0)<br />
(ii) Minkowski–Form: Index = (3, 1)<br />
⊓⊔<br />
Satz 8.4.6. Sei K gleich R oder C mit der komplexen Konjugation und B, B ′ ∈<br />
Herm(n, K). Weiter seien β B , β B ′ die hermiteschen Formen auf K n , die durch B<br />
und B ′ bzgl. einer (beliebigen) Basis dargestellt werden. Dann sind folgende Aussagen<br />
äquivalent:<br />
(1) Es gibt ein C ∈ GL(n, K) mit C ⊤ BC = B ′ .<br />
(2) β B und β B ′ haben den gleichen Index.<br />
Beweis. Idee: Formuliere die Index-Bedingung zu einer Bedingung über die Existenz<br />
einer passenden Diadonalgestalt um und wende dann den Satz 8.4.4 von Sylvester an.<br />
Es gilt<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 r+<br />
Index(β B ) = (r + , r − ) ⇔ ∃D ∈ GL(n, K) mit D ⊤ BD = ⎝ −1r− ⎠ .<br />
0<br />
(1)<br />
(1) ⇒ (2)“: Wenn B′ = C<br />
” ⊤ BC, dann findet man ein D ′ ∈ GL(n, K) mit<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 r ′<br />
+<br />
⎝ −1r ′ ⎠<br />
−<br />
= (D ′ ) ⊤ B ′ D ′ = (D ′ ) ⊤ C ⊤ BCD ′ = (CD ′ ) ⊤ BCD ′ .<br />
0<br />
Mit D := CD ′ ∈ GL(n, K) folgen r ′ + = r + und r ′ − = r − aus Satz 8.4.4.
8.4 Diagonalisierbarkeit von hermiteschen Formen 245<br />
” (2) ⇒ (1)“: Mit Bemerkung 8.4.3 findet man D, D′ ∈ GL(n, K) mit<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 r+<br />
D ⊤ BD = ⎝ −1r− ⎠ = (D ′ ) ⊤ B ′ D ′ .<br />
0<br />
Dann gilt<br />
B ′ = ((D ′ ) ⊤ ) −1 D ⊤ BD(D ′ ) −1 = (D(D ′ ) −1 ) ⊤ B(D(D ′ ) −1 )<br />
und mit C := D(D ′ ) −1 folgt (1).<br />
⊓⊔<br />
Übung 8.4.1. Gegeben sei β ∈ Bil(R 4 ) mit darstellender Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
1 2 3 4<br />
A = ⎜ 2 3 4 3<br />
⎟<br />
⎝ 3 4 3 2 ⎠<br />
4 3 2 1<br />
bezüglich der Standardbasis.<br />
(a) Finde D ∈ Mat(4 × 4, R) in Diagonalgestalt und C ∈ GL(4, R), so dass C ⊤ AC = D.<br />
(b) Gib eine Basis für R 4 an, bezüglich der D die darstellende Matrix von β ist.<br />
Übung 8.4.2. Gegeben sei β : C 3 × C 3 → C mit darstellender Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
4 −2i 2<br />
A = ⎝2i 1 i⎠<br />
2 −i 1<br />
bezüglich der Standardbasis {e 1, e 2, e 3} für C 3 .<br />
(a) Zeige, dass β ∈ Herm(C 3 ).<br />
(b) Finde D ∈ Mat(3 × 3, C) in Diagonalgestalt und C ∈ GL(3, C), so dass C ⊤ AC = D.<br />
(c) Gib eine Basis für C 3 an, bezüglich der D die darstellende Matrix von β ist.<br />
{ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
1 i<br />
(d) Bestimme die darstellende Matrix von β bezüglich der Basis ⎝2⎠ , ⎝0⎠ , ⎝<br />
0 1<br />
für C 3 .<br />
Übung 8.4.3. Sei<br />
⎛ ⎞<br />
5 1 2<br />
A = ⎝ 1 5 −2 ⎠ .<br />
2 −2 2<br />
Finde eine orthogonale Matrix K für die K ⊤ AK eine Diagonalmatrix ist.<br />
0<br />
0<br />
i + 1<br />
Übung 8.4.4. Für α ∈ R sei eine symmetrische Bilinearform β auf R 2 gegeben durch<br />
β(x, x) = αx 1 2 + 2 x 1x 2 + (α − 4) x 2 2 .<br />
Bestimme den Index von β in Abhängigkeit von α.<br />
Übung 8.4.5 (Spiegelungen). Sei V ein K-Vektorraum und β eine Sesquilinearform. Sei<br />
v ∈ V mit β(v, v) = 1 gegeben und betrachte<br />
1. Zeige, dass ϕ linear ist, und ϕ 2 = id V .<br />
ϕ : V → V, x ↦→ x − 2 β(x, v) v<br />
⎞<br />
⎠ }
246 8 Bi- und Sesquilinearformen<br />
2. Zeige, dass Kv und (Kv) ⊥ Eigenräume von ϕ sind, und dass V = Kv ⊕ (Kv) ⊥ gilt,<br />
d.h. insbesondere ist ϕ diagonalisierbar.<br />
Übung 8.4.6. Eine hermitesche Sesquilinearform β : C 3 × C 3<br />
β(z, z) := β ′ (z) für z = x + iy mit x, y ∈ R 3 , wobei<br />
→ C sei gegeben durch<br />
β ′ (z) := x 2 1 + 2x 2 2 − x 2 3 + y 2 1 + 2y 2 2 − y 2 3 + 2x 1y 2 − 2x 2y 1 + 2x 2y 3 − 2x 3y 2 + 2x 2x 3 + 2y 2y 3.<br />
1. Bestimme die zu β gehörige hermitesche Matrix A ∈ Mat(3 × 3, C) (bzgl. der Standardbasis).<br />
2. Bestimme den Index (r +, r −) von β gemäß dem Sylvesterschen Trägheitssatz.
9<br />
Innere Produkte<br />
In diesem Kapitel betrachten wir hermitesche Formen mit Positivitätsbedingungen,<br />
die die euklidischen Skalarprodukte verallgemeinern. Solche Formen erlauben es,<br />
auch in abstrakten Kontexten geometrische Argumente zu benutzen und stellen<br />
sich in vielen Situationen als äußerst nützlich heraus. Zentrale Resultate dieses Kapitels<br />
sind die Gram–Schmidt Orthogonalisierung und der Spektralsatz für normale<br />
Selbstabbildungen von Vektorräumen mit inneren Produkten. Sie finden nicht nur<br />
in der linearen Algebra Anwendungen, sondern spielen auch eine wichtige Rolle z.B.<br />
in der Fourier–Analysis und in der Funktionalanalysis.<br />
In diesem Kapitel sei immer K = R oder K = C mit der gewöhnlichen komplexen<br />
Konjugation.<br />
9.1 Definitheit<br />
Wir beginnen mit den grundlegenden Positivitätseigenschaften hermitescher<br />
Formen.<br />
Definition 9.1.1. Eine hermitesche Form β ∈ Herm(V ) heißt<br />
• positiv definit, falls β(v, v) > 0 ∀v ∈ V \ {0};<br />
• positiv semidefinit, falls β(v, v) ≥ 0 ∀v ∈ V ;<br />
• negativ definit, falls β(v, v) < 0 ∀v ∈ V \ {0};<br />
• negativ semidefinit, falls β(v, v) ≤ 0 ∀v ∈ V ;<br />
• indefinit, sonst.<br />
Diesen Definitionen entsprechend heißt eine hermitesche Matrix B ∈ Herm(n, K)<br />
positiv definit, etc. wenn die zugehörige Form β B auf K n positiv definit etc. ist.<br />
Bemerkung 9.1.2. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n und {v 1 , . . . , v n } eine<br />
Basis für V . Eine hermitesche Form β ∈ Herm(V ) ist genau dann positiv definit<br />
(negativ definit, etc.), wenn die darstellende Matrix B β von β bzgl. der gegebenen<br />
Basis positiv definit (negativ definit, etc.) ist. Wenn (r + , r − ) der Index von β ist<br />
(vgl. den Trägheitssatz 8.4.4 von Sylvester), gilt insbesondere<br />
(i) β positiv definit ⇔ r + = n.<br />
(ii) β positiv semidefinit ⇔ r − = 0.<br />
(iii) β negativ definit ⇔ r − = n.<br />
(iv) β negativ semidefinit ⇔ r + = 0.
248 9 Innere Produkte<br />
(v) β indefinit ⇔ r + ≠ 0 ≠ r − .<br />
Um das einzusehen, schreibe v ∈ V als v = ∑ n<br />
j=1 x jv j und setze x :=<br />
(x 1 , . . . , x n ) ⊤ . Dann gilt β(v, v) = x ⊤ B β x. Angenommen B β ist eine Diagonalmatrix<br />
der Form<br />
⎛<br />
⎝ 1 ⎞<br />
r +<br />
−1r− ⎠ .<br />
0<br />
Dann erhält man<br />
β(v, v) =<br />
r +<br />
∑<br />
j=1<br />
|x j | 2 −<br />
r ++r<br />
∑ −<br />
j=r ++1<br />
|x j | 2<br />
und die Behauptung folgt.<br />
Um den Index zu bestimmen, kann man die Methode von Bemerkung 8.4.1<br />
benützen. Wenn man dabei nur elementare Zeilenumformungen vom Typ III benutzt<br />
hat, kann man sogar auf die Spaltenumformungen verzichten, weil die Diagonalelemente<br />
schon nach den Zeilenumformungen ihre endgültige Gestalt haben.<br />
Den Index liest man dann ab, indem man die positiven und die negativen Diagonalelemente<br />
zählt.<br />
⊓⊔<br />
In der Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler tauchen symmetrische<br />
Matrizen als Hesse-Matrizen an stationären Punkten auf. Die Definitheitseigenschaften<br />
positiv definit, negativ definit und indefinite lassen sich dann unmittelbar<br />
in die Extremaleigenschaften lokales Minimum, lokales Maximum und Sattelpunkt<br />
übersetzen.<br />
Beispiel 9.1.3. (vgl. Beispiel 8.4.5)<br />
(i) Die euklidischen inneren Produkte auf R n und C n sind positiv definit.<br />
(ii) Die Minkowski–Form auf R 4 ist indefinit.<br />
⊓⊔<br />
Satz 9.1.4 (Hauptminoren–Kriterium). Sei B ∈ Mat(n × n, K) hermitesch.<br />
Weiter sei B l für l ≤ n der linke obere l × l Block in B, d.h.<br />
⎛<br />
⎞<br />
b 11 · · · b 1l · · · b 1n<br />
⎛ ⎞<br />
. . .<br />
b 11 · · · b 1l<br />
B =<br />
b l1 · · · b ll · · · b ln<br />
⎜ ⎟<br />
und B l = ⎝ . . ⎠ .<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ . . . ⎠<br />
b l1 · · · b ll<br />
b n1 · · · b nl · · · b nn<br />
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:<br />
(1) B ist positiv definit (d.h. β B ist pos. def. für eine beliebige Basis)<br />
(2) det B l > 0 für l = 1, . . . , n.<br />
Die Determinanten det B l heißen die Hauptminoren von B.<br />
Beweis. Idee: Die Richtung “(1) ⇒ (2)” reduziert man auf die Aussage, dass positiv<br />
definite Matrizen positive Determinante haben, in dem man x ⊤ Bx für Vektoren x mit<br />
vielen Nullen testen. Die Umkehrung “(2) ⇒ (1)” beweist man mit Induktion, indem<br />
man die linke obere (n − 1) × (n − 1)-Ecke B n−1 mit B n−1 ↦→ Cn−1B ⊤ n−1C n−1 auf 1 n−1<br />
transformiert.
9.1 Definitheit 249<br />
” (1) ⇒ (2)“ Sei B positiv definit, d.h. x⊤ Bx > 0 für alle x ∈ K n \ {0}. Dann ist B l<br />
ist ebenfalls positiv definit, denn<br />
y ⊤ B l y = x ⊤ Bx > 0<br />
für<br />
( ) y<br />
x =<br />
0<br />
mit y ∈ K l \ {0}, 0 ∈ K n−l .<br />
Das bedeutet, es ist nur det B > 0 für jede positiv definite Matrix B zu zeigen.<br />
Wegen Index(β B ) = (n, 0) gibt es eine invertierbare Matrix C ∈ GL(n, K) mit<br />
C ⊤ BC = 1 n . Damit findet man<br />
1 = det(1 n ) = det(C ⊤ BC) = det(C ⊤ ) det(B) det(C) = | det(C)| 2 det(B),<br />
} {{ }<br />
>0<br />
also det(B) > 0.<br />
(2) ⇒ (1)“ Wir führen den Beweis mit Induktion über n.<br />
”<br />
n = 1: Dieser Fall ist klar, weil det(B) = B.<br />
n > 1: Die Induktion zeigt, dass B n−1 positiv definit ist, d.h. es existiert eine<br />
Matrix C n−1 ∈ GL(n − 1, K) mit Cn−1B t n−1 C n−1 = 1 n−1 . Setze<br />
C :=<br />
( )<br />
Cn−1 0<br />
∈ GL(n, K),<br />
0 1<br />
dann gilt<br />
( ) ( ) ( )<br />
C<br />
C ⊤ ⊤<br />
BC = n−1 0 Bn−1 ∗ Cn−1 0<br />
0 1 ∗ ∗ 0 1<br />
( ) ( )<br />
C<br />
⊤<br />
= n−1 B n−1 ∗ Cn−1 0<br />
∗ ∗ 0 1<br />
( )<br />
C<br />
⊤<br />
= n−1 B n−1 C n−1 ∗<br />
∗ ∗<br />
( )<br />
1n−1 v<br />
=<br />
v ⊤ , v ∈ K n−1 , r ∈ R.<br />
r<br />
Dabei gilt r ∈ R, weil C ⊤ BC hermitesch ist.<br />
( ) ( ) ( )<br />
1n−1 0 1n−1 v 1n−1 −v<br />
−v ⊤ 1 v ⊤ r 0 1<br />
} {{ } } {{ } } {{ }<br />
D ⊤ C ⊤ D<br />
BC<br />
( ) ( )<br />
1n−1 v 1n−1 −v<br />
=<br />
0 r − v ⊤ v 0 1<br />
( )<br />
1n−1 0<br />
=<br />
0 r − v ⊤ v<br />
Es bleibt also noch zu zeigen, dass r − v ⊤ v > 0 ist:<br />
r − v ⊤ v = det(D ⊤ C ⊤ BCD) = | det(CD)| 2 det(B) .<br />
} {{ } } {{ }<br />
>0 >0<br />
⊓⊔
250 9 Innere Produkte<br />
( ) a b<br />
Beispiel 9.1.5. Wenn n = 2 und B = , dann gilt<br />
b c<br />
( ) ( )<br />
( ) a b x<br />
β B (x, y), (x, y) = (x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 .<br />
b c y<br />
Also ist B positiv definit genau dann, wenn die folgenden zwei Bedingungen gelten:<br />
B 1 = (a): a > 0<br />
B 2 = B: ac − b 2 = ( a+c<br />
2 )2 − ( a−c<br />
2 )2 − b 2 > 0.<br />
⊓⊔<br />
Definition 9.1.6. Ein inneres Produkt auf einem K-Vektorraum V ist eine positiv<br />
definite hermitesche Form. Wir schreiben 〈v | w〉 statt β(v, w). Außerdem schreiben<br />
wir<br />
‖v‖ := √ 〈v | v〉<br />
und beachten, dass die positive Definitheit des inneren Produkt die Äquivalenz von<br />
v = 0 und ‖v‖ = 0 zeigt. Wenn K = R ist, heißt der Vektorraum V zusammen mit<br />
dem inneren Produkt 〈v | w〉 auch ein euklidischer Vektorraum. Im Falle K = C<br />
spricht man von einem unitären Vektorraum.<br />
Beispiel 9.1.7. (vgl. Beispiel 8.1.5) Für V = {f : [a, b] → K | stetig} definiert<br />
ein inneres Produkt auf V .<br />
〈 f | g〉 =<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x) g(x) dx<br />
⊓⊔<br />
Definition 9.1.8. Sei V ein K-Vektorraum und 〈 · | · 〉 ein inneres Produkt auf V<br />
(auch für unendliche Dimensionen). Eine Folge {v 1 , v 2 , . . .} von Vektoren in V heißt<br />
ein Orthogonalsystem, wenn<br />
〈 v i | v j 〉 = 0 ∀i ≠ j<br />
und ein Orthonormalsystem (ONS), wenn zusätzlich<br />
〈 v j | v j 〉 = 1 ∀j<br />
gilt. Wenn ein Orthonormalsystem eine Basis für V ist, nennt man es eine Orthonormalbasis<br />
(ONB).<br />
Beispiel 9.1.9. (i) Sei K = R und V = {f : [0, 2π] stetig<br />
−→ R} mit dem inneren<br />
Produkt<br />
∫2π<br />
〈 f | g〉 = f(t) g(t) dt.<br />
Für n ∈ N setze<br />
0<br />
f n (t) = √ 1<br />
π<br />
cos(nt)<br />
g n (t) = √ 1<br />
π<br />
sin(nt).<br />
Dann ist { 1 √<br />
2π<br />
, g 1 , f 1 , g 2 , f 2 , . . .} ein ONS.
(ii) Sei K = C und V = {f : [0, 1] stetig<br />
−→ C} mit dem inneren Produkt<br />
〈 f | g〉 =<br />
∫ 1<br />
0<br />
f(t) g(t) dt.<br />
9.1 Definitheit 251<br />
Für n ∈ Z setze<br />
f n (t) = e 2πint .<br />
Dann ist {f n | n ∈ Z} ein ONS.<br />
Dieses Beispiel gehört zum Bereich der Fourier–Analyse.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 9.1.10. Der Satz 8.4.2 von der Diagonalisierbarkeit hermitescher Formen<br />
sagt für innere Produkte, dass es zu jedem inneren Produkt ein ONS für V<br />
gibt, das sogar eine Basis ist:<br />
Sei β : V × V → K ein inneres Produkt. Dann gibt es eine Basis {v 1 , . . . , v n },<br />
so dass die darstellende Matrix von β gerade 1 n ist, d.h. β(v i , v j ) = δ ij . Also ist<br />
{v 1 , . . . , v n } eine ONB für β. ⊓⊔<br />
Algorithmus 9.1.11 (Gram–Schmidt Orthonormalisierung). V sei ein K-<br />
Vektorraum mit innerem Produkt 〈 · | · 〉 und {v 1 , . . . , v n } eine Basis für V . Wir<br />
setzen<br />
u 1 := v 1<br />
‖v 1 ‖<br />
u ′ 2 := v 2 − 〈 v 2 | u 1 〉 u 1<br />
u 2 := u′ 2<br />
‖u ′ 2 ‖<br />
u ′ 3 := v 3 − 〈 v 3 | u 1 〉 u 1 − 〈 v 3 | u 2 〉 u 2<br />
u 3 := u′ 3<br />
‖u ′ 3 ‖<br />
.<br />
u ′ k := v k − 〈 v k | u 1 〉 u 1 − . . . − 〈 v k | u k−1 〉 u k−1<br />
u k :=<br />
.<br />
u′ k<br />
‖u ′ k ‖<br />
wobei zu beachten ist, dass u ′ k<br />
= v k − ∑ k−1<br />
j=1 〈 v k | u j 〉 u j nicht Null sein kann,<br />
weil sonst v k ∈ span{v 1 , . . . , v k−1 } wäre. Wegen u k ∈ span{v 1 , . . . , v k } und<br />
v k ∈ span{u 1 , . . . , u k } gilt span{u 1 , . . . , u n } = V. Also ist {u 1 , . . . , u n } eine Basis für<br />
V . Klar ist, dass ‖u k ‖ = 1, d.h. 〈 u k | u k 〉 = 1. Um nachzuweisen, dass {u 1 , . . . , u n }<br />
eine ONB ist, müssen wir 〈 u i | u j 〉 = 0 für alle i ≠ j zeigen. Wir machen das mit<br />
Induktion über n: Die Annahme ist also<br />
Dann gilt für alle i < k<br />
〈 u i | u j 〉 = 0 ∀i ≠ j < k.
252 9 Innere Produkte<br />
∣ k−1<br />
〈 u i | u ′ ∣∣ ∑ 〉<br />
k〉 = 〈 u i | v k 〉 −<br />
〈u i 〈 v k | u j 〉 u j<br />
j=1<br />
k−1<br />
∑<br />
= 〈 u i | v k 〉 − 〈 u j | v k 〉 〈 u i | u j 〉<br />
j=1<br />
= 〈 u i | v k 〉 − 〈 u i | v k 〉 〈 u i | u i 〉<br />
= 0,<br />
also auch 〈 u i | u k 〉 = 0.<br />
⊓⊔<br />
Satz 9.1.12. Sei V ein K-Vektorraum mit innerem Produkt 〈 · | · 〉.<br />
(i) Jedes ONS ist linear unabhängig.<br />
(ii) Sei {v 1 , v 2 , . . .} ein ONS und v ∈ span{v 1 , v 2 , . . .}. Dann gibt es eine Zahl n ∈ N<br />
(die von v abhängt), so dass<br />
Beweis. Idee:<br />
für (ii).<br />
(i) Wenn<br />
k ∑<br />
j=1<br />
v =<br />
n∑<br />
〈 v | v j 〉 v j .<br />
j=1<br />
Satz 5.2.3 für (i) und Entwicklung von v als Linearkombination der v j<br />
c j v j = 0, dann gilt<br />
0 =<br />
〈 k∑ ∣ 〉 ∣∣<br />
c j v j vi =<br />
j=1<br />
k∑<br />
j=1<br />
c j 〈 v j | v i 〉 = c i<br />
} {{ }<br />
δ ji<br />
∑<br />
(ii) Jedes v ∈ span{v 1 , v 2 , . . .} ist von der Form v = n c j v j , also gilt<br />
j=1<br />
〈 v | v i 〉 =<br />
〈 ∑<br />
n ∣ 〉 ∣∣<br />
c j v j vi =<br />
j=1<br />
n∑<br />
j=1<br />
c j 〈 v j | v i 〉<br />
} {{ }<br />
δ ji<br />
= c i ,<br />
d.h. v = ∑ n<br />
j=1 〈v | v j〉v j .<br />
⊓⊔<br />
Kombiniert man Satz 9.1.12 mit dem Gram–Schmidt–Algorithmus 9.1.11, so<br />
erhält man<br />
Korollar 9.1.13. Jeder endlich dimensionale K-Vektorraum mit innerem Produkt<br />
hat eine Orthonormalbasis.<br />
Übung 9.1.1. Sei A = (a ij) i=1,...,n ∈ Herm(n, K) mit K = R oder K = C. Zeige:<br />
j=1,...,n<br />
(a) Ist A positiv definit, so gilt a ii > 0 für alle i = 1, . . . , n.
9.1 Definitheit 253<br />
(b) Ist A positiv definit, so gilt<br />
a iia jj > |a ij| 2 für alle i, j = 1, . . . , n mit i ≠ j.<br />
[Hinweis: Betrachte Vektoren in K n von der Form v ij = (0, . . . , 0, x i, 0, . . . , 0, x j, 0, . . . , 0) ⊤<br />
mit x i = −a ji/a ii (an der i-ten Stelle) und x j = 1 (an der j-ten Stelle).]<br />
(c) Ist A positiv definit, so gilt für alle i, j = 1, . . . , n mit i ≠ j<br />
|a ij| < max l=1,...,n a ll .<br />
Übung 9.1.2. Teste, ob die folgenden Matrizen positiv definit sind:<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
1 2 4 −8<br />
1 −1 1 −1 ⎛ ⎞<br />
A = ⎜ 2 5 0 4<br />
⎟<br />
⎝ 4 0 4 2 ⎠ , B = ⎜ −1 −1 1 −1<br />
2 1 1<br />
⎟<br />
⎝ 1 1 1 −1 ⎠ , C = ⎝ 1 2 1 ⎠<br />
1 1 2<br />
−8 4 2 1<br />
−1 −1 −1 −1<br />
Übung 9.1.3. Sei V ein C-Vektorraum und 〈 · | · 〉 ein inneres Produkt auf V . Definiere<br />
zwei Abbildungen h, ω : V × V → R durch h(v, w) = Re〈v | w〉 und ω(v, w) = Im〈v | w〉<br />
für v, w ∈ V . Zeige:<br />
(i) h und ω sind Bilinearformen auf V betrachtet als R-Vektorraum.<br />
(ii) h ist symmetrisch und ω ist schiefsymmetrisch.<br />
(iii) h und ω sind beide nicht ausgeartet.<br />
Übung 9.1.4. Bestimme eine Basis des orthogonalen Komplements von span(A) mit<br />
⎧⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫<br />
4 6 2<br />
⎪⎨<br />
A = ⎜ 2<br />
⎟<br />
⎝ −6 ⎠<br />
⎪⎩<br />
, ⎜ 6<br />
⎟<br />
⎝ −8 ⎠ , ⎜ −5<br />
⎪⎬<br />
⎟<br />
⎝ −5 ⎠ .<br />
⎪⎭<br />
10 9 17<br />
Übung 9.1.5. Teste, ob die folgenden Matrizen positiv definit sind:<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
1 2 4 8 1 −1 1 −1 15 20 25 30<br />
⎜ 2 4 8 4<br />
⎟<br />
⎝ 4 8 4 2 ⎠ ,<br />
⎜ −1 −1 1 −1<br />
⎟<br />
⎝ 1 1 1 −1 ⎠ ,<br />
⎜ 20 27 34 41<br />
⎟<br />
⎝ 25 34 43 52 ⎠ .<br />
8 4 2 1 −1 −1 −1 −1 30 41 52 63<br />
Übung 9.1.6. Teste, ob die folgenden Matrizen positiv definit sind:<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
6 2 −2<br />
4 2i 2<br />
5 1 4 + 4i<br />
⎝ 2 6 −2⎠ , ⎝−2i 10 1 − i⎠ , ⎝ 1 5 1 ⎠<br />
−2 −2 10<br />
2 1 + i 9<br />
4 − 4i 1 5<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 1 0 0<br />
1 2 1 0<br />
0 1 2 ·<br />
0 · ·<br />
· · 0<br />
.<br />
⎜ · 2 1 0<br />
⎟<br />
⎝ 0 1 2 1⎠<br />
0 0 1 1<br />
Übung 9.1.7. Für welche a ∈ R ist die Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
a 1 1<br />
A = ⎝1 a 1⎠<br />
1 1 a<br />
positiv definit?<br />
⊓⊔
254 9 Innere Produkte<br />
Übung 9.1.8. 1. Welche der folgenden Matrizen in Mat(n × n, C) sind hermitesch bzw.<br />
schiefhermitesch?<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
( ) ( )<br />
2 −1 1<br />
−1 i − 3 2i<br />
i −1<br />
2 i<br />
A = , B = , C = ⎝−1 2 0⎠ D = ⎝−(i + 3) −2 3i ⎠<br />
1 i<br />
i i<br />
1 0 2<br />
−2i −3i −3<br />
2. Sei β ∈ Ses(C 4 ) die Sesquilinearform mit darstellender Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
i 0 i + 1 0<br />
A = ⎜0 2 0 i<br />
⎟<br />
⎝i i i i⎠<br />
1 1 0 0<br />
bezüglich der Standardbasis B = {e 1, e 2, e 3, e 4} von C 4 . Dann zerlegt sich β eindeutig<br />
als direkte Summe β = Hβ + Λβ mit Hβ hermitesch und Λβ schiefhermitesch.<br />
Bestimme die darstellenden Matrizen von Hβ und Λβ bezüglich B.<br />
3. Welche der hermiteschen Matrizen aus a) und b) sind positiv definit?<br />
Übung 9.1.9. Sei V ein R-Vektorraum mit Basis B = (v 1, . . . , v n) und β eine symmetrische<br />
Bilinearform mit darstellender Matrix A bezüglich B. Zeige:<br />
β positiv definit ⇐⇒ A = B ⊤ B für ein B ∈ GL(n, R).<br />
Übung 9.1.10. Sei V = R 4 mit innerem Produkt 〈x|y〉 = x ⊤ y. Bestimme Orthonormalbasen<br />
von U und U ⊥ für<br />
U = {x ∈ R 4 | x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0} .<br />
Übung 9.1.11 (Negative Definitheit). Sei B ∈ Mat(n × n, K) hermitesch und B l<br />
l ≤ n wie in Satz 9.1.4 (Hauptminoren-Kriterium). Zeige:<br />
{<br />
det B l < 0 für alle ungeraden l und<br />
B ist negativ definit ⇐⇒<br />
det B l > 0 für alle geraden l.<br />
für<br />
Hierbei heißt B negativ definit, falls β B neg. def. ist für eine beliebige Basis.<br />
Hinweis: Führe die Aussage auf den positiv definiten Fall zurück.<br />
Übung 9.1.12. Sei V = Mat(n × n, C). Zeige, dass<br />
ein inneres Produkt ist.<br />
〈A|B〉 := tr(A ⊤ B)<br />
Übung 9.1.13. Es sei Pol 3(R, R) der Vektorraum der Polynomfunktionen vom Grad 3.<br />
1. Zeige, dass<br />
〈p|q〉 :=<br />
∫ 1<br />
−1<br />
p(x)q(x)dx<br />
ein inneres Produkt auf Pol 3(R, R) definiert (vgl. Aufgabe 36).<br />
Hinweis: Es darf (ohne Beweis) verwendet werden, dass für eine nicht-negative stetige<br />
Funktion f gilt: (i) ∫ f ≥ 0 und (ii) ∫ f = 0 impliziert f = 0.<br />
2. Bestimme aus der Basis (p 0, p 1, p 2, p 3) mit p i(x) = x i eine Orthonormalbasis mit Hilfe<br />
des Gram-Schmidt-Verfahrens.
9.2 Adjungierte Abbildungen 255<br />
9.2 Adjungierte Abbildungen<br />
Definition 9.2.1. Seien V und W K–Vektorräume mit inneren Produkten 〈 · | · 〉 V<br />
und 〈 · | · 〉 W<br />
. Betrachte zwei lineare Abbildungen ϕ ∈ Hom K (V, W ), ψ ∈ Hom K (W, V ).<br />
Dann heißt ψ zu ϕ adjungiert, wenn gilt:<br />
〈 ϕ(v) | w〉 W<br />
= 〈 v | ψ(w)〉 V<br />
∀v ∈ V, w ∈ W.<br />
Beispiel 9.2.2. (i) V = R n , W = R m , jeweils mit dem euklidischem Skalarprodukt.<br />
Weiter sei A ∈ Mat(m × n, R),<br />
dann ist ψ zu ϕ adjungiert:<br />
ϕ := ϕ A : R n → R m , d.h. ϕ(v) = Av,<br />
ψ := ϕ A ⊤ : R m → R n , d.h. ψ(w) = A ⊤ w.<br />
〈 ϕ(v) | w〉 W<br />
= 〈 Av | w〉 W<br />
= (Av) ⊤ w = v ⊤ A ⊤ w<br />
= v ⊤ (A ⊤ w) = 〈 v | A ⊤ w 〉 V = 〈 v | ψ(w)〉 V .<br />
(ii) Sei V = {f ∈ C ∞ (R) | supp(f) beschränkt }. Dabei bedeutet supp(f) beschränkt“,<br />
dass es zu f ein c > 0 gibt ”<br />
mit<br />
Als inneres Produkt nimmt man<br />
Die Abbildung<br />
f(x) = 0 für alle x mit |x| > c.<br />
〈 f | g〉 =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
f(t) g(t) dt.<br />
ϕ: V → V, f ↦→ f ′ = df<br />
dt<br />
ist linear. Partielle Integration liefert (weil f(x) = g(x) = 0 für |x| groß)<br />
〈 ϕ(f) | g〉 =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
f ′ g = −<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
d.h. −ϕ ist adjungiert zu ϕ.<br />
(iii) Sei V wie in (ii). Betrachte die durch<br />
fg ′ =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
ϕ(f)(t) = tf(t)<br />
definierte lineare Abbildung ϕ: V → V . Dann gilt<br />
〈 ϕ(f) | g〉 =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
f(−g ′ ) = 〈 f | − ϕ(g)〉 ,<br />
t f(t) g(t) dt = 〈 f | ϕ(g)〉 ,<br />
d.h. ϕ ist adjungiert zu ϕ. In diesem Fall sagt man, ϕ ist selbstadjungiert.<br />
⊓⊔
256 9 Innere Produkte<br />
Beispiel 9.2.3. Das komplexe Analogon zu Beispiel 9.2.2(i) ist V = C n , W = C m<br />
mit A ∈ Mat(m × n, C), ϕ := ϕ A und ψ := ψ A ∗:<br />
〈 ϕ(v) | w〉 W<br />
= 〈 Av | w〉 W<br />
= (Av) ⊤ w = v ⊤ A ⊤ w = v ⊤ A ∗ w = 〈 v | A ∗ w〉 V<br />
= 〈 v | ψ(w)〉 V<br />
.<br />
⊓⊔<br />
Proposition 9.2.4. Seien V und W zwei K-Vektorräume mit inneren Produkten<br />
〈 · | · 〉 V<br />
und 〈 · | · 〉 W<br />
, sowie ϕ: V → W linear.<br />
(i) Es existiert höchstens eine zu ϕ adjungierte Abbildung ψ : W → V .<br />
(ii) Wenn ψ zu ϕ adjungiert ist, dann ist auch ϕ zu ψ adjungiert.<br />
Beweis. Idee: Zeige, dass für zwei zu ϕ adjungierte Abbildungen ψ 1, ψ 2 der Vektor<br />
ψ 1(w) − ψ 2(w) für jedes w auf ganz V orthogonal sind.<br />
(i) Wenn ψ 1 , ψ 2 beide zu ϕ adjungiert sind, dann gilt<br />
〈 v | ψ 2 (w)〉 V<br />
= 〈 ϕ(v) | w〉 W<br />
= 〈 v | ψ 1 (w)〉 V<br />
∀v ∈ V, w ∈ W.<br />
Damit findet man<br />
und daher<br />
〈 v | ψ 1 (w) − ψ 2 (w)〉 V<br />
= 0 ∀v ∈ V, w ∈ W,<br />
ψ 1 (w) − ψ 2 (w) ∈ V ⊥ = {0}<br />
(letzteres, weil 〈v | v〉 > 0 für v ≠ 0). Aber dies zeigt ψ 1 = ψ 2 .<br />
(ii) Wenn 〈 ϕ(v) | w〉 W<br />
= 〈 v | ψ(w)〉 V<br />
, dann gilt<br />
〈 ψ(w) | v〉 V<br />
= 〈 v | ψ(w)〉 V<br />
= 〈 ϕ(v) | w〉 W<br />
= 〈 w | ϕ(v)〉 W<br />
.<br />
Wenn es zu ϕ eine adjungierte Abbildung gibt (die dann eindeutig bestimmt<br />
ist), bezeichnet man diese mit ϕ ∗ . Da in diesem Fall ϕ ∗ zu ϕ adjungiert ist, ist auch<br />
ϕ zu ϕ ∗ adjungiert, d.h. es gilt<br />
(ϕ ∗ ) ∗ = ϕ.<br />
⊓⊔<br />
Beachte dabei, dass die Notation ϕ ∗ mit der Notation für die duale Abbildung<br />
von ϕ (vgl. Satz 5.4.4) zusammenfällt. Es sollte aber immer aus dem Kontext klar<br />
sein, welche Abbildung gemeint ist.<br />
Satz 9.2.5. Seien V und W zwei K-Vektorräume mit inneren Produkten 〈 · | · 〉 V<br />
und 〈 · | · 〉 W<br />
, sowie ϕ: V → W linear. Wenn dim V, dim W < ∞, dann gibt es eine<br />
adjungierte Abbildung zu ϕ.<br />
Beweis. Idee: Betrachte die darstellende Matrix von ϕ bzgl. zweier ONB’s und wähle<br />
als ψ die Abbildung, die bzgl. dieser Basen durch die dazu transponierte Matrix dargestellt<br />
wird.<br />
Mit dem Gram-Schmidt-Algorithmus 9.1.11 findet man ONB’s {v 1 , . . . , v n } und<br />
{w 1 , . . . , w m } für V und W . Sei A = (a ij ) die darstellende Matrix von ϕ bzgl. dieser<br />
Basen, d.h.
ϕ(v j ) =<br />
m∑<br />
a ij w i , j = 1, . . . , n.<br />
i=1<br />
9.2 Adjungierte Abbildungen 257<br />
Weiter sei ψ : W → V diejenige lineare Abbildung, deren darstellende Matrix bzgl.<br />
der vorgegebenen Basen A ∗ ist. Dann gilt<br />
sowie<br />
ψ(w i ) =<br />
n∑<br />
a ij v j , i = 1, . . . , m,<br />
j=1<br />
〈ϕ(v j )|w i 〉 W = a ij = 〈v j |ψ(w i )〉 V<br />
für alle i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n. Indem man beliebige v ∈ V und w ∈ W als<br />
Linearkombinationen der v j bzw. der w i schreibt, findet man<br />
〈ϕ(v)|w〉 W = 〈v|ψ(w)〉 V<br />
für alle v ∈ V und w ∈ W . Dies zeigt die Behauptung.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 9.2.6. Seien V und W zwei endlich dimensionale K-Vektorräume<br />
mit inneren Produkten 〈 · | · 〉 V<br />
und 〈 · | · 〉 W<br />
. Weiter seien {v 1 , . . . , v n } bzw.<br />
{w 1 , . . . , w m } orthonormale Basen für V und W . Wenn A die darstellende Matrix<br />
von ϕ ∈ Hom K (V, W ) ist, dann ist A ∗ nach dem Beweis von Satz 9.2.5 die<br />
darstellende Matrix zu ϕ ∗ .<br />
⊓⊔<br />
Definition 9.2.7. Sei V ein K-Vektorraum mit innerem Produkt 〈 · | · 〉 und ϕ ∈<br />
End K (V ).<br />
• ϕ heißt orthogonal, wenn K = R und ϕ ∗ = ϕ −1 .<br />
• ϕ heißt unitär, wenn K = C und ϕ ∗ = ϕ −1 .<br />
• ϕ heißt selbstadjungiert, wenn ϕ = ϕ ∗ .<br />
• ϕ heißt normal, wenn ϕ ∗ ◦ ϕ = ϕ ◦ ϕ ∗ .<br />
• ϕ heißt isometrisch, wenn 〈 ϕ(v) | ϕ(w)〉 = 〈 v | w〉 für alle v, w ∈ V .<br />
Proposition 9.2.8. Sei dim K V < ∞ und ϕ ∈ End K (V ). Dann gilt ϕ −1 = ϕ ∗ genau<br />
dann, wenn ϕ isometrisch ist. Insbesondere folgt die Surjektivität automatisch aus<br />
der Isometrie.<br />
Beweis. Sei ϕ isometrisch. Die Gleichung<br />
impliziert<br />
Also haben wir<br />
〈 ϕ(v) | ϕ(w)〉 = 〈 v | w〉<br />
〈 v | ϕ ∗ ◦ ϕ(w)〉 = 〈 v | w〉 .<br />
0 = 〈 v | ϕ ∗ ◦ ϕ(w) − w〉 ∀v, w ∈ V.<br />
Dies bedeutet ϕ ∗ ◦ ϕ(w) = w für alle w ∈ V und daher ϕ ∗ ◦ ϕ = id V . Damit ist ϕ<br />
injektiv und, wegen dim V < ∞, auch surjektiv (vgl. Satz 3.2.4). Nach Lemma 3.1.1<br />
gilt dann auch ϕ ◦ ϕ ∗ = id V und zusammen ϕ ∗ = ϕ −1 .<br />
Für die umgekehrte Implikation rechnet man<br />
〈 ϕ(v) | ϕ(w)〉 = 〈 v | ϕ ∗ ◦ ϕ(w)〉 = 〈 v | w〉 .<br />
⊓⊔
258 9 Innere Produkte<br />
Bemerkung 9.2.9. Sei V endlich dimensional mit innerem Produkt. Wähle eine<br />
ONB {v 1 , . . . , v n } für V und sei A die darstellende Matrix von ϕ bzgl. dieser Basis.<br />
Dann ist A ∗ nach Bemerkung 9.2.6 die darstellende Matrix von ϕ ∗ bzgl. dieser Basis.<br />
Es gilt:<br />
(i) ϕ orthogonal ⇔ A ⊤ A = 1 n = AA ⊤ (Beachte: für K = R gilt A ⊤ = A ⊤ = A ∗ ).<br />
(ii) ϕ unitär ⇔ A ∗ A = 1 n = AA ∗ .<br />
(iii) ϕ selbstadjungiert ⇔ A = A ∗ (d.h. A ist im Fall K = R symmetrisch, für K = C<br />
hermitesch).<br />
(iv) ϕ normal ⇔ A ∗ A = AA ∗ .<br />
Dementspechend heißt A ∈ Mat(n × n, K)<br />
• orthogonal, wenn K = R und A ⊤ = A −1 ;<br />
• unitär, wenn K = C und A ∗ = A −1 ;<br />
• selbstadjungiert, wenn A = A ∗ ;<br />
• normal, wenn A ∗ A = AA ∗ .<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 9.2.10. (i) Für A =<br />
AA ∗ =<br />
( )<br />
0 1<br />
und A<br />
0 0<br />
∗ =<br />
( ) 1 0<br />
0 0<br />
und A ∗ A =<br />
( )<br />
0 0<br />
gilt<br />
1 0<br />
( ) 0 0<br />
,<br />
0 1<br />
d.h. A ist nicht normal. ( ) 0 1<br />
(ii) Die Matrix A = ist normal, aber nicht selbstadjungiert:<br />
−1 0<br />
AA ∗ =<br />
( 0 1<br />
−1 0<br />
) ( ) 0 −1<br />
= 1<br />
1 0 2 =<br />
( 0 −1<br />
1 0<br />
) ( ) 0 1<br />
= A ∗ A.<br />
−1 0<br />
⊓⊔<br />
Lemma 9.2.11. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit innerem Produkt<br />
〈 · | · 〉 und ϕ ∈ End K (V ) normal.<br />
(i) ϕ(v) = λv ⇔ ϕ ∗ (v) = λv.<br />
(ii) Sei U ⊆ V ein Unterraum. Dann gilt die Implikation<br />
ϕ(U) ⊆ U ⇒ ϕ ∗ (U ⊥ ) ⊆ U ⊥ .<br />
(iii) Sei V = V 1 ⊕ V 2 eine orthogonale direkte Summe, d.h.<br />
∀v 1 ∈ V 1 , v 2 ∈ V 2 : 〈v 1 | v 2 〉 = 0.<br />
Wenn ϕ(V 1 ) ⊆ V 1 und ϕ(V 2 ) ⊆ V 2 gilt, dann gilt auch ϕ ∗ (V 1 ) ⊆ V 1 und<br />
ϕ ∗ (V 2 ) ⊆ V 2 . Weiter folgt, dass ϕ| Vi : V i → V i (i = 1, 2) normal ist und<br />
(ϕ| Vi ) ∗ = ϕ ∗ | Vi erfüllt.<br />
Beweis. Idee: Für (i) zeige ‖ϕ(v)‖ = ‖ϕ ∗ (v)‖ und schließe ker (ϕ−λ id) = ker (ϕ ∗ −λ id).<br />
Teil (ii) ist ein einfacher Orthogonalitätstest und für (iii) benutzt man Satz 8.2.6 sowie die<br />
Dimensionsformel aus Satz 2.4.4 um V ⊥<br />
1 = V 2 zu zeigen.
9.2 Adjungierte Abbildungen 259<br />
(i) Wegen ϕ ◦ ϕ ∗ = ϕ ∗ ◦ ϕ gilt<br />
‖ϕ(v)‖ = √ 〈 ϕ(v) | ϕ(v)〉 = √ 〈 v | ϕ ∗ ◦ ϕ(v)〉<br />
= √ 〈 v | ϕ ◦ ϕ ∗ (v)〉 = √ 〈 ϕ ∗ (v) | ϕ ∗ (v)〉 = ‖ϕ ∗ (v)‖.<br />
Also haben wir ker ϕ = ker ϕ ∗ für jedes normale ϕ. Wir wenden dies auf ϕ−λ id<br />
an. Das geht, weil<br />
〈 λ id(v) | w〉 = 〈 λv | w〉 = 〈 v | λw 〉 = 〈 v | λ id(w) 〉<br />
impliziert (λ id) ∗ = λ id und daher<br />
(ϕ − λ id) ◦ (ϕ − λ id) ∗ = (ϕ − λ id) ◦ (ϕ ∗ − λ id)<br />
= ϕ ◦ ϕ ∗ − λϕ ∗ − λϕ + λλ id<br />
= ϕ ∗ ◦ ϕ − λϕ ∗ − λϕ + λλ id<br />
. rückwärts<br />
= (ϕ − λ id) ∗ ◦ (ϕ − λ id)<br />
d.h., auch ϕ − λ id ist normal. Wir wissen also ker (ϕ − λ id) = ker (ϕ ∗ − λ id).<br />
Das bedeutet aber, dass v genau dann ein Eigenvektor von ϕ zum Eigenwert λ<br />
ist, wenn v ein Eigenvektor von ϕ ∗ zum Eigenwert λ ist. Damit ist (i) bewiesen.<br />
(ii) Für v ∈ U ⊥ , u ∈ U gilt<br />
〈 u | ϕ ∗ (v)〉 = 〈ϕ(u) |v〉 = 0,<br />
}{{}<br />
∈U<br />
also ist ϕ ∗ (v) ∈ U ⊥ .<br />
(iii) Wir zeigen zunächst, dass V1 ⊥ = V 2 : Die Inklusion V 1 ⊆ V2 ⊥ ist klar. Mit<br />
Proposition 5.5.9 hat man aber dim K (V ) = dim K (V 1 ) + dim K (V 2 ) und wegen<br />
Satz 8.2.6 auch dim K (V ) = dim K (V 2 )+dim K (V2 ⊥ ), weil die Einschränkung eines<br />
inneren Produkts auf einen Unterraum wieder ein inneres Produkt ist und damit<br />
immer nicht ausgeartet. Es folgt also dim K (V2 ⊥ ) = dim K (V 1 ) und somit auch<br />
V2 ⊥ = V 1 (vgl. Satz 2.4.4). Ganz analog sieht man auch V 2 = V1 ⊥ .<br />
Setze U := V 1 . Dann gilt U ⊥ = V 2 und Teil (ii), angewandt auf U = V 1 , liefert<br />
ϕ ∗ (V 2 ) ⊆ V 2 . Angewandt auf U = V 2 liefert dieses Argument ϕ ∗ (V 1 ) ⊆ V 1 . Die<br />
Rechnung<br />
〈 ϕ| Vi (v) | w〉 = 〈 ϕ(v) | w〉 = 〈 v | ϕ ∗ (w)〉 = 〈 v | ϕ ∗ | Vi (w)〉<br />
für v, w ∈ V i zeigt (ϕ| Vi ) ∗ = ϕ ∗ | Vi . Schließlich rechnen wir<br />
ϕ| Vi ◦ (ϕ| Vi ) ∗ = ϕ| Vi ◦ ϕ ∗ | Vi = ϕ ◦ ϕ ∗ | Vi = ϕ ∗ ◦ ϕ| Vi = . . . = (ϕ| Vi ) ∗ ◦ ϕ| Vi<br />
und erhalten, dass ϕ| Vi<br />
normal ist.<br />
⊓⊔<br />
Übung 9.2.1. Gegeben sei V = R 4 mit dem Euklidischen Skalarprodukt und der Unterraum<br />
(<br />
U = span (2, 2, 1, 0) ⊤ , (2, 3, −1, 2) ⊤ , (4, 1, 8, −6) ⊤ , (2, 1, 3, −2) ⊤) .
260 9 Innere Produkte<br />
(i) Bestimme eine Basis von U und eine Basis von U ⊥ .<br />
(ii) Sei ϕ ∈ End R (V ) die lineare Abbildung, die durch f(u 1) = u 3, f(u 2) = u 4, f(u 3) =<br />
u 1, f(u 4) = u 2 mit<br />
u 1 = 1 3 (2, 2, 1, 0)⊤ , u 2 = 1 3 (0, 1, −2, 2)⊤ , u 3 = 1 3 (2, −2, 0, 1), u4 = 1 (−1, 0, 2, 2)⊤<br />
3<br />
definiert ist. Gib die Matrix von ϕ bzgl. der Standardbasis von R 4 an.<br />
(iii) Zeige: ϕ ∗ ϕ = id, ϕ(U) = U ⊥ , ϕ(U ⊥ ) = U und ϕ ◦ ϕ = id.<br />
(iv) Bestimme die Fixpunktmenge F = {v ∈ V : ϕ(v) = v} von ϕ.<br />
( ) 1 1<br />
Übung 9.2.2. Gegeben sei die Matrix A = . Man zeige, daß 〈u, v〉 := u ⊤ Av ein<br />
1 2<br />
Skalarprodukt auf R 2 definiert.<br />
⊓⊔<br />
Übung 9.2.3. Es seien Pol 2[R] der Vektorraum der reellen Polynomfunktionen vom Grad<br />
≤ 2 und β : Pol 2[R] × Pol 2[R] → R die durch<br />
definierte Abbildung.<br />
β(f, g) :=<br />
∫ 1<br />
−1<br />
f(x)g(x) dx<br />
(a) Man zeige, daß β ein Skalarprodukt auf Pol 2[R] ist.<br />
(b) Man bestimme die darstellende Matrix von β bezüglich der Basis {1, x, x 2 } von Pol 2[R].<br />
⊓⊔<br />
{ ( )<br />
a b<br />
}<br />
Übung 9.2.4. Sei V = : a, b, c ∈ R . Zeige, dass die Bilinearform β ′ ∈ Bil(V )<br />
0 c<br />
mit β ′ (A, B) = tr(A ⊤ B) positiv definit ist.<br />
⊓⊔<br />
( ) a b<br />
Übung 9.2.5. Sei V = { : a, b, c ∈ R}.<br />
0 c<br />
(i) Zeige, dass die Bilinearform β ∈ Bil(V ) mit β(A, B) = tr(AB) ausgeartet ist.<br />
(ii) Berechne V ⊥ .<br />
(iii) Für welche A ∈ V gilt β(A, A) = 0?<br />
(iv) Finde eine Basis für V und gib die darstellende Matrix von β bzgl. dieser Basis an.<br />
( ) a b<br />
Übung 9.2.6. Sei V = { : a, b, c ∈ R}.<br />
0 c<br />
(i) Zeige, dass die Bilinearform β ′ ∈ Bil(V ) mit β ′ (A, B) = tr(A ⊤ B) positiv definit ist.<br />
[(ii) Für welche A ∈ V gilt β ′ (A, A) = 1?<br />
(iii) Gib die darstellende Matrix von β ′ bzgl. der in Übung 9.2.5 gefundenen Basis an.<br />
Übung 9.2.7. Seien V = Mat(3 × 3, R), W = Mat(2 × 2, R) und<br />
⎛ ⎞<br />
1 0<br />
A = ⎝ 0 1 ⎠ .<br />
0 1<br />
(i) Finde Basen von V und W .<br />
(ii) Betrachte auf V und W die inneren Produkte 〈C 1 | C 2〉 V = tr(C1 ⊤ C 2) für C 1, C 2 ∈ V<br />
bzw. 〈D 1 | D 2〉 V = tr(D1 ⊤ D 2) für D 1, D 2 ∈ W und gib die darstellenden Matrizen<br />
dieser inneren Produkte bzgl. er in (i) gefundenen Basen an.<br />
(iii) Betrachte die lineare Abbildung ϕ: V → W , die durch C ↦→ A ⊤ CA definiert ist.<br />
Bestimme die zu ϕ adjungierte Abbildung ψ : W → V .<br />
Übung 9.2.8. Sei V = Mat(n × n, R) mit dem inneren Produkt 〈X | Y 〉 = Spur(XY ⊤ ),<br />
X, Y ∈ V . Für A ∈ V betrachte man die Abbildung ϕ: V → V mit ϕ(X) = XA.<br />
⊓⊔
(i) Für welche Matrizen A ist die Abbildung ϕ orthogonal?<br />
(ii) Bestimme die adjungierte Abbildung ϕ ∗ von ϕ.<br />
9.2 Adjungierte Abbildungen 261<br />
Übung 9.2.9. Zeige, dass jede symmetrische reelle 2×2-Matrix als Differenz zweier positiv<br />
definiter Matrizen geschrieben werden kann.<br />
Übung 9.2.10. Seien β, β ′ ∈ Sym(V ). Zeige<br />
(i) Wenn β positiv definit ist, dann ist auch tβ positiv definit für jedes t > 0.<br />
(ii) Wenn β und β ′ positiv semidefinit sind, dann ist auch tβ + sβ ′ positiv semidefinit für<br />
t, s ≥ 0.<br />
(iii) Wenn β positiv definit und β ′ positiv semidefinit ist, dann ist tβ + sβ ′ positiv definit<br />
für t > 0 und s ≥ 0.<br />
Übung 9.2.11. (i) Zeige, dass die Bilinearform β ∈ Bil (Mat(n × n, R)) mit<br />
β(A, B) = tr(A ⊤ B)<br />
positiv definit ist.<br />
(ii) Zeige, dass die hermitesche Form β ∈ Herm (Mat(n × n, C)) mit<br />
positiv definit ist.<br />
β(A, B) = tr(A ∗ B)<br />
Übung 9.2.12. Sei V = {f : [0, 1] → R|f(x) = ∑ 3<br />
j=0 ajxj , a j ∈ R}.<br />
(i) Finde eine Basis für V .<br />
(ii) Gib die darstellende Matrix des inneren Produktes<br />
〈f | g〉 =<br />
bzgl. der in (i) gefundenen Basis an.<br />
(iii) Finde eine Orthonormalbasis für V .<br />
⎜<br />
⎝<br />
∫ 1<br />
0<br />
f(x)g(x)dx<br />
Übung 9.2.13. Sei β ∈ Sym(R 4 ) die Bilinearform, deren darstellende Matrix bzgl. der<br />
Standardbasis<br />
⎛<br />
1 2 −1 2<br />
⎞<br />
2 5 −2 4 ⎟<br />
−1 −2 2 −2<br />
2 4 −2 5<br />
ist. Zeige, dass ϕ ein inneres Produkt ist und gib eine ONB für R 4 bzgl. dieses inneren<br />
Produktes an.<br />
Übung 9.2.14. Zeige:<br />
(i) Eine hermitesche Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle ihre Eigenwerte<br />
positiv sind.<br />
(ii) Eine reelle symmetrische Matrix hat nur reelle Eigenwerte. Wenn sie auch noch orthogonal<br />
ist, haben die Eigenwerte den Betrag 1.<br />
(iii) Die Eigenwerte einer schief-hermiteschen Matrix sind rein imaginär, d.h. enthalten in<br />
iR.<br />
Übung 9.2.15. Sind die folgenden Matrizen orthogonal, unitär, hermitesch?<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎛ ⎞<br />
A = 1 2 −2 1<br />
⎝ 1 2 2 ⎠ , B = 1 ( )<br />
1 i 1 + i 2<br />
1 + i 1 − i<br />
, C = ⎜ −i 0 −i 1 − i<br />
⎟<br />
3<br />
2 1 − i 1 + i ⎝ 1 − i i −1 i ⎠ .<br />
−2 −1 2<br />
2 1 + i −i 0<br />
Übung 9.2.16. Sei V = {A ∈ Mat(3 × 3): A = A ∗ }. Berechne dim R (V ).<br />
⎟<br />
⎠<br />
⊓⊔
262 9 Innere Produkte<br />
Übung 9.2.17. Sei U ∈ Mat(n × n, C) unitär. Zeige: Wenn alle Eigenwerte von U reell<br />
sind, dann gilt U 2 = 1 n.<br />
Übung 9.2.18. Sei E ein C-Vektorraum mit innerem Produkt 〈· | ·〉 und V ein linearer<br />
Unterraum von E. Zeige:<br />
(i) Durch die Zuordnung v+v ′ ↦→ v für alle v ∈ V , v ′ ∈ V ⊥ wird eine C-lineare Abbildung<br />
ϕ: E → V definiert.<br />
(ii) Sei W ein weiterer linearer Unterraum von E und ψ : E → W durch w + w ′ ↦→ w für<br />
alle w ∈ W , w ′ ∈ W ⊥ definiert. Dann ist die Abbildung ψ| V : V → W die adjungierte<br />
Abbildung zu ϕ| W : W → V .<br />
Übung 9.2.19. Sei V ein endlich dimensionaler C-Vektorraum mit innerem Produkt 〈 | 〉 V .<br />
(i) Sei {v 1, . . . , v n} eine ONB für V und ϕ, ψ ∈ End C (V ). Setze<br />
(ϕ | ψ) :=<br />
n∑<br />
〈ϕ(v j) | ψ(v j)〉 V<br />
und zeige, dass dies ein inneres Produkt auf End C (V ) definiert.<br />
(ii) Zeige, dass das innere Produkt aus (i) nicht von der Wahl der ONB abhängt.<br />
Übung 9.2.20. Sei V = C 2 versehen mit dem euklidischen Skalarprodukt<br />
(i) Sei<br />
ϕ 11<br />
(<br />
z1<br />
z 2<br />
)<br />
=<br />
( ) ( )<br />
z1 z1<br />
, ϕ<br />
0 12 =<br />
z 2<br />
j=1<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( )<br />
z2 z1 0 z1 0<br />
, ϕ<br />
0 21 = , ϕ<br />
z 2 z 22 = .<br />
1 z 2 z 2<br />
Zeige, dass {ϕ 11, ϕ 12, ϕ 21, ϕ 22} eine Basis für End C (V ) bilden.<br />
(ii) Berechne (ϕ ij | ϕ kl ) für das in Übung 9.2.19 definierte innere Produkt.<br />
(iii) Seien ϕ, ψ ∈ End C (V ) und A ϕ, A ψ die Matrizen von ϕ und ψ bzgl. der Standardbasis.<br />
Zeige, dass (ϕ | ψ) = tr(A ϕA ∗ ψ).<br />
Übung 9.2.21. Seien V = Mat(3 × 3, R), W = Mat(2 × 2, R) und<br />
⎛ ⎞<br />
1 0<br />
A = ⎝ 0 1 ⎠ .<br />
0 1<br />
(i) Zeige, dass die Vorschrift C ↦→ A ⊤ CA eine lineare Abbildung ϕ: V → W definiert.<br />
(ii) Finde Basen von V und W und gib die Matrix A ϕ an, die bzgl. dieser Basen zu ϕ<br />
gehört.<br />
(iii) Betrachte auf V und W die inneren Produkte 〈C 1 | C 2〉 V = Spur(C1 ⊤ C 2) für C 1, C 2 ∈<br />
V bzw. 〈D 1 | D 2〉 V = Spur(D1 ⊤ D 2) für D 1, D 2 ∈ W und gib die darstellenden Matrizen<br />
dieser inneren Produkte bzgl. der in (ii) gefundenen Basen an.<br />
(iv) Finde eine zu ϕ adjungierte Abbildung ψ : W → V .<br />
Übung 9.2.22. Sei V = Mat(2 × 2, C) und<br />
( ) ( 1 0<br />
0 1<br />
E 11 = , E<br />
0 0 12 =<br />
0 0<br />
)<br />
, E 21 =<br />
( ) 0 0<br />
, E<br />
1 0 22 =<br />
( ) 0 0<br />
.<br />
0 1<br />
(i) Zeige, dass {E 11, E 12, E 21, E 22} eine Basis für V ist.<br />
(ii) Zeige, dass die Zuordnung (A, B) ↦→ Spur(A ∗ B) ein inneres Produkt auf V definiert.<br />
(iii) Finde eine Basis für V bzgl. der die darstellende Matrix des inneren Produkts die<br />
Einheitsmatrix 1 4 ist.<br />
(iv) Definiere eine Abbildung ϕ: V → C 4 durch<br />
ϕ(A) = (Spur(A ∗ E 11), Spur(A ∗ E 12), Spur(A ∗ E 21), Spur(A ∗ E 22)) .<br />
Zeige, dass ϕ ein C-Vektorraum Isomorphismus ist.
9.3 Der Spektralsatz 263<br />
Übung 9.2.23. Sei V = Herm(2 × 2, C).<br />
(i) Zeige, dass die Zuordnung (A, B) ↦→ Spur(AB) ein inneres Produkt auf V definiert.<br />
(ii) Finde eine Basis für V bzgl. der die darstellende Matrix des Produkts die Einheitsmatrix<br />
1 3 ist.<br />
Übung ( ) 9.2.24. Sei 〈x|y〉 = x ⊤ y das euklidische Skalarprodukt auf R 2 und für C =<br />
2 1<br />
∈ R 2×2 sei<br />
1 1<br />
〈x|y〉 ′ := x ⊤ Cy .<br />
1. Zeige, dass 〈 | 〉 ′ ein inneres Produkt auf R 2 ist,<br />
2. Bestimme zu<br />
( )<br />
ϕ : R 2 → R 2 x1<br />
, ↦→<br />
x 2<br />
( )<br />
x1 + x 2<br />
x 1 − x 2<br />
die adjungierten Abbildungen bezüglich der inneren Produkte 〈 | 〉 und 〈 | 〉 ′ .<br />
Übung 9.2.25. Es seien V = R 3 mit innerem Produkt 〈x|y〉 = x ⊤ y und ϕ ∈ End R (V )<br />
gegeben durch<br />
⎛⎛<br />
⎞⎞<br />
⎛ ⎞<br />
x 1 x 2 + x 3<br />
ϕ ⎝⎝x 2<br />
⎠⎠ = ⎝ x 1<br />
⎠ .<br />
x 3 x 1 + x 2<br />
1. Bestimme die zu ϕ adjungierte Abbildung ϕ ∗ ∈ End R (V ).<br />
2. Zeige, dass U := {x ∈ R 3 | x 1 − x 3 = 0} ein ϕ-invarianter Unterraum von V ist.<br />
3. Bestimme die zu ϕ| U ∈ End R (U) adjungierte Abbildung (ϕ| U ) ∗ ∈ End R (U) (bezüglich<br />
des eingeschränkten inneren Produkts auf U).<br />
4. Gilt (ϕ| U ) ∗ = ϕ ∗ | U ?<br />
9.3 Der Spektralsatz<br />
Satz 9.3.1 (Spektralsatz). Sei V ein endlich dimensionaler C-Vektorraum mit<br />
innerem Produkt 〈 · | · 〉. Dann sind äquivalent:<br />
(1) ϕ ∈ End C (V ) ist normal.<br />
(2) Es gibt eine ONB von V bzgl. der die darstellende Matrix A ϕ von ϕ diagonal<br />
ist.<br />
Beweis. Idee: “(2) ⇒ (1)” ist eine unmittelbare Konsequenz von Bemerkung 9.2.9. Die<br />
Umkehrung “(1) ⇒ (2)” zeigt man mit Induktion, wobei man mit einem Eigenvektor v<br />
startet und V als direkte Summe von Cv und v ⊥ zerlegt.<br />
(1) ⇒ (2)“: Induktion über dim V = n.<br />
”<br />
n = 1: In diesem Fall ist nichts zu zeigen.<br />
n > 1: Sei λ ∈ C ein Eigenwert von ϕ und v ein dazugehöriger Eigenvektor<br />
(o.B.d.A. ‖v‖ = 1). Der Raum Cv ist ϕ–invariant, d.h. ϕ(Cv) ⊆ Cv. Nach<br />
Lemma 9.2.11(i) ist Cv auch ϕ ∗ –invariant, d.h. ϕ ∗ (Cv) ⊆ Cv. Aber dann<br />
zeigt Lemma 9.2.11(ii) angewandt auf ϕ ∗<br />
ϕ((Cv) ⊥ ) = (ϕ ∗ ) ∗ ((Cv) ⊥ ) ⊆ (Cv) ⊥ .<br />
Für U := (Cv) ⊥ liefert schließlich Lemma 9.2.11(iii), angewandt auf die<br />
orthogonale direkte Summe V = (Cv)⊕U, dass ϕ| U normal ist mit (ϕ| U ) ∗ =<br />
ϕ ∗ | U . Wegen dim U = n − 1 gibt es mit Induktion eine orthonormale Basis<br />
{v 2 , . . . , v n } von U bzgl. der die Matrix von ϕ| U diagonal ist:
264 9 Innere Produkte<br />
⎛ ⎞<br />
λ 2<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠<br />
λ n<br />
Setze v 1 = v, λ 1 = λ und betrachte {v 1 , v 2 , . . . , v n }. Es gilt dann 〈 v i | v j 〉 =<br />
δ ij für i, j = 1, . . . , n, d.h. {v 1 , . . . , v n } ist eine ONB für V . Beachte, dass<br />
wegen<br />
{<br />
λv j = 1<br />
ϕ(v j ) =<br />
λ j v j j ∈ {2, . . . , n}<br />
die Matrix von ϕ bzgl. {v 1 , . . . , v n } gleich<br />
⎛ ⎞<br />
λ 1<br />
. ..<br />
λ n<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎟<br />
⎠<br />
ist.<br />
” (2) ⇒ (1)“: Sei {v 1, . . . , v n } eine ONB bzgl. der ϕ die darstellende Matrix<br />
⎛ ⎞<br />
λ 1<br />
⎜<br />
⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠ = A<br />
λ n<br />
hat. Es gilt offensichtlich AA ∗ = A ∗ A, also ist ϕ nach Bemerkung 9.2.9 normal.<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 9.3.2. Man kann Satz 9.3.1 als einen Satz über Matrizen auffassen:<br />
Betrachte C n mit dem euklidischen inneren Produkt 〈 v | w〉 = v ⊤ w. Sei<br />
A ∈ Mat(n × n, C) normal, d.h. AA ∗ = A ∗ A, und ϕ A : C n → C n gegeben<br />
durch ϕ A (x) = Ax. Dann ist ϕ A normal. Nach Satz 9.3.1 existiert dann eine ONB<br />
{v 1 , . . . , v n } für C n , bzgl. der ϕ durch eine Diagonalmatrix Λ gegeben ist. Sei C<br />
∑<br />
die Übergangsmatrix von {e 1 , . . . , e n } nach {v 1 , . . . , v n }, d.h. v j = n c ij e i . Mit<br />
Satz 6.1.3 ergibt sich<br />
und wir können rechnen<br />
δ jl = 〈 v j | v l 〉 =<br />
〈 ∑<br />
n ∣ ∣∣<br />
c ij e i<br />
i=1<br />
n ∑<br />
k=1<br />
C −1 AC = Λ<br />
c kl e k<br />
〉<br />
=<br />
n∑<br />
n∑<br />
i=1 k=1<br />
i=1<br />
c ij c kl 〈 e i | e k 〉 =<br />
} {{ }<br />
δ ik<br />
n∑<br />
c ij c il .<br />
Damit gilt 1 n = C ⊤ C was gleichbedeutend mit 1 n = C ∗ C, also der Unitarität von<br />
C, ist. ⊓⊔<br />
Korollar 9.3.3. Sei A ∈ Mat(n × n, C). Dann sind äquivalent:<br />
(1) A ist normal.<br />
(2) Es gibt eine unitäre Matrix U ∈ Mat(n × n, C) und eine Diagonalmatrix Λ ∈<br />
Mat(n × n, C) mit U −1 AU = Λ.<br />
i=1<br />
⊓⊔
9.3 Der Spektralsatz 265<br />
Bemerkung 9.3.4. (i) Selbstadjungierte Abbildungen sind normal. Umgekehrt,<br />
wenn ϕ ∈ End K (V ) normal ist und bzgl. einer ONB durch eine Diagonalmatrix<br />
A ϕ dargestellt wird, so ist ϕ dann und nur dann selbstadjungiert, wenn A ϕ reell<br />
ist.<br />
(ii) Die Voraussetzung K = C wurde in Satz 9.3.1 und Korollar 9.3.3 nur für die<br />
Existenz von Eigenwerten in K benötigt. Dies erlaubt uns auch, eine reelle<br />
Version des Spektralsatzes zu beweisen.<br />
⊓⊔<br />
Lemma 9.3.5. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit innerem Produkt<br />
〈 · | · 〉 und ϕ ∈ End K (V ). Weiter sei λ ∈ K ein Eigenwert von ϕ, dann gilt:<br />
(i) Wenn ϕ −1 = ϕ ∗ , dann gilt |λ| = 1.<br />
(ii) Wenn ϕ = ϕ ∗ , dann gilt λ ∈ R.<br />
(iii) Wenn die Sesquilinearform (v, w) ↦→ 〈ϕ(v) | w〉 positiv semidefinit ist, gilt λ ∈<br />
[0, ∞[.<br />
(iv) Wenn die Sesquilinearform (v, w) ↦→ 〈ϕ(v) | w〉 positiv definit ist, gilt λ ∈ ]0, ∞[.<br />
Beweis. Sei v ein Eigenvektor zum Eigenwert λ.<br />
(i) Wegen<br />
gilt |λ| = 1.<br />
(ii) Aus<br />
〈 v | v〉 = 〈 v | ϕ ∗ ◦ ϕ(v)〉 = 〈 ϕ(v) | ϕ(v)〉 = 〈 λv | λv〉 = |λ| 2 〈 v | v〉<br />
λ 〈 v | v〉 = 〈 λv | v〉 = 〈 ϕ(v) | v〉 = 〈 ϕ ∗ (v) | v〉 = 〈 λv | v 〉 = λ 〈 v | v〉<br />
folgt λ = λ, also λ ∈ R.<br />
(iii) 0 ≤ 〈ϕ(v) | v〉 = λ〈v | v〉 impliziert λ ≥ 0.<br />
(iv) 0 < 〈ϕ(v) | v〉 = λ〈v | v〉 impliziert λ > 0.<br />
⊓⊔<br />
Mit Lemma 9.3.5 ergibt sich folgende Bemerkung.<br />
Bemerkung 9.3.6. Sei A ∈ Mat(n × n, C) und λ ein Eigenwert von A.<br />
(i) Wenn A −1 = A ∗ , dann gilt |λ| = 1.<br />
(ii) Wenn A = A ∗ , dann gilt λ ∈ R.<br />
(iii) Wenn A positiv semidefinit ist, gilt λ ∈ [0, ∞[.<br />
(iv) Wenn A positiv definit ist, gilt λ ∈ ]0, ∞[.<br />
⊓⊔<br />
Satz 9.3.7. Sei V ein endlich dimensionaler R-Vektorraum mit innerem Produkt<br />
〈 · | · 〉 und ϕ ∈ End R (V ). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:<br />
(1) ϕ ist selbstadjungiert.<br />
(2) ϕ ist normal und das charakteristische Polynom χ ϕ zerfällt über R, d.h. alle<br />
Eigenwerte von ϕ sind reell.<br />
(3) Es gibt eine ONB für V bzgl. der die darstellende Matrix A ϕ von ϕ eine Diagonalmatrix<br />
ist.
266 9 Innere Produkte<br />
Beweis. (1) ⇒ (2)“: Dies folgt sofort aus den Definitionen von selbstadjungiert<br />
”<br />
und normal sowie Lemma 9.3.5(ii).<br />
(2) ⇒ (3)“: Mit der Voraussetzung (2) kann man jetzt die Existenz eines reellen<br />
”<br />
Eigenwertes und eines dazugehörigen Eigenvektors von ϕ in V garantieren und<br />
daher den Beweis von Satz 9.3.1 übernehmen.<br />
” (3) ⇒ (1)“: Wenn es eine ONB für V gibt bzgl. der die darstellende Matrix A ϕ von<br />
ϕ eine Diagonalmatrix ist, dann ist diese Diagonalmatrix automatisch reell, also<br />
selbstadjungiert. Mit Bemerkung 9.2.9 sieht man also, dass ϕ selbstadjungiert<br />
ist.<br />
⊓⊔<br />
Korollar 9.3.8 (Hauptachsentransformation).<br />
folgende Aussagen äquivalent:<br />
Für A ∈ Mat(n × n, R) sind<br />
(1) A ist symmetrisch.<br />
(2) A ist normal und hat nur reelle Eigenwerte.<br />
(3) Es gibt eine orthogonale Matrix K und eine Diagonalmatrix Λ ∈ Mat(n × n, R)<br />
mit K −1 AK = Λ.<br />
⊓⊔<br />
Übung 9.3.1. Sei A ∈ Mat(n × n, C). Zeige, dass folgende Bedingungen äquivalent sind.<br />
(1) A ist normal.<br />
(2) Es gibt U, Λ ∈ Mat(n × n, C) mit U unitär und Λ diagonal sowie A = U −1 ΛU.<br />
(3) Es gibt H, S ∈ Mat(n × n, C) mit H hermitesch und S schief-hermitesch sowie A =<br />
H + S und HS = SH.<br />
Übung 9.3.2. Sei V ein endlich dimensionaler C-Vektorraum und ϕ ∈ End C (V ) normal.<br />
Weiter seien {λ 1, . . . , λ k } die Eigenwerte von ϕ und V 1 . . . , V k die zugehörigen Eigenräume.<br />
Zeige V = V 1 ⊕ . . . ⊕ V k und diese direkte Summe ist orthogonal.<br />
Übung 9.3.3. Sei<br />
⎛<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
1 + 3i 0 −1 + 3i 0<br />
0 −4 + 2i 0 4 − 2i<br />
−1 + 3i 0 1 + 3i 0<br />
0 4 − 2i 0 −4 + 2i<br />
(i) Zeige, dass A normal ist.<br />
(ii) Finde eine unitäre Matrix U und eine Diagonalmatrix Λ mit U −1 AU = Λ. (Hinweis:<br />
Bestimme die Eigenwerte und Eigenräume von A).<br />
Übung 9.3.4. Sei K = R oder C und V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit<br />
innerem Produkt 〈· | ·〉. Weiter sei ϕ: V → V eine selbstadjungierte lineare Abbildung<br />
und {λ 1, . . . , λ k } die Menge der Eigenwerte von ϕ. Die dazugehörigen Eigenräume seien<br />
V 1, . . . , V k .<br />
(i) Zeige: Die V j sind paarweise orthogonal und es gilt V = V 1 ⊕ . . . ⊕ V k .<br />
(ii) Die Abbildungen p j : V → V j seien definiert durch p j(v 1+. . .+v k ) = v j für v i ∈ V i, i =<br />
1, . . . , k. Zeige, dass die p j selbstadjungiert sind und p i ◦ p j = δ ijp j für i, j = 1, . . . , k<br />
gilt.<br />
(iii) Zeige: ϕ = ∑ k<br />
j=1 λjpj (Spektralzerlegung von ϕ). ⊓⊔<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .
Übung 9.3.5. (i) Sei<br />
⎛ ⎞<br />
4 i −i<br />
A = ⎝ −i 4 1 ⎠ .<br />
i 1 4<br />
9.3 Der Spektralsatz 267<br />
Finde eine unitäre 3 × 3-Matrix U, für die U −1 AU eine Diagonalmatrix ist.<br />
(ii) Sei ϕ: R 3 → R 3 gegeben durch<br />
ϕ(x, y, z) = (7x − 2y, −2x + 6y − 2z, −2y + 5z).<br />
Finde eine Orthonormalbasis für R 3 bzgl. der ϕ durch eine Diagonalmatrix dargestellt<br />
wird.<br />
Übung 9.3.6. Gegeben sei<br />
⎛ ⎞<br />
1 i −i<br />
A = ⎝−i 2 0 ⎠<br />
i 0 2<br />
Bestimme eine unitäre Matrix U, so dass U −1 AU Diagonalgestalt hat.<br />
( ) 2 i<br />
Übung 9.3.7. Zeige, dass A = ∈ C 2×2 normal ist und gebe eine unitäre Matrix U<br />
i 2<br />
an, so dass U −1 AU Diagonalgestalt hat.<br />
Übung 9.3.8. Es sei V ein R-Vektorraum mit innerem Produkt 〈·|·〉 und dim V = n und<br />
ϕ ∈ End R (V ) ein selbstadjungierter Endomorphismus mit den Eigenwerten λ 1 ≤ λ 2 ≤<br />
· · · ≤ λ n. Die Abbildung f : V → R sei gegeben durch<br />
f(x) := 〈x|ϕ(x)〉 für alle x ∈ V .<br />
Zeige: Ist B := {x ∈ V | ‖x‖ = 1} der Rand der ”<br />
Einheitskugel“ in V , so gilt<br />
min f(x) = λ1 , maxx∈Bf(x) = λn .<br />
x∈B<br />
Übung 9.3.9. Sei V ein K-Vektorraum mit innerem Produkt 〈·|·〉 und U ⊂ V ein linearer<br />
Unterraum. Für v ∈ V sei v = v 1 + v 2 die Zerlegung bezüglich V = U ⊕ U ⊥ . Zeige, dass<br />
die lineare Abbildung<br />
ϕ : V → V, v ↦→ v 1<br />
eine selbstadjungierte Projektion ist, d.h. ϕ 2 = ϕ und ϕ ∗ = ϕ.
10<br />
Normen<br />
In diesem Kapitel führen wir den Begriff der Norm ein, der in der Analysis immer<br />
dann eine Rolle spielt, wenn es um Abstandsmessungen in Vektorräumen geht. Wir<br />
zeigen, wie man solche Normen aus inneren Produkten gewinnt und behandeln das<br />
wichtige Beispiel der Operatornorm auf dem Raum der linearen Selbstabbildungen<br />
eines (endlich dimensionalen) Vektorraums. Dieses Kapitel kann als Vorbereitung<br />
sowohl für die Topologie als auch für die Funktionalanalysis betrachtet werden. Die<br />
behandelten Konzepte sind aber auch wichtig für die numerische Behandlung der<br />
Linearen Algebra.<br />
10.1 Normen und innere Produkte<br />
Definition 10.1.1. Sei K = R oder K = C mit der gewöhnlichen komplexen Konjugation.<br />
und V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung<br />
heißt eine Norm auf V, wenn<br />
V → R + 0 = {r ∈ R | r ≥ 0}<br />
v ↦→ ‖v‖<br />
(a) ‖v‖ = 0 ⇔ v = 0,<br />
(b) ‖cv‖ = |c|‖v‖ für alle c ∈ K, v ∈ V ,<br />
(c) ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖ für alle v, w ∈ V .<br />
Die Ungleichung in (c) heißt die Dreiecksungleichung.<br />
Beispiel 10.1.2. (i) Sei V = K n . Dann ist<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
⎜ ⎟<br />
x = ⎝ . ⎠ ↦→ max j=1,...,n |x j | =: ‖x‖ ∞<br />
x n<br />
eine Norm, die Maximumsnorm oder Supremumsnorm.<br />
(ii) Sei V = K n . Dann ist für 1 ≤ p < ∞<br />
⎛ ⎞<br />
x 1<br />
(<br />
⎜ ⎟ ∑ n<br />
x = ⎝ . ⎠ ↦→ |x j | p) 1 p<br />
=: ‖x‖ p<br />
x<br />
J=1<br />
n<br />
eine Norm, die Hölder p–Norm.
270 10 Normen<br />
(a), (b)“: Diese beide Eigenschaften sind für alle p leicht nachzuweisen.<br />
”<br />
(c)“: Die Dreiecksungleichung ist für p = 1 leicht nachzuweisen und wird in<br />
”<br />
Proposition 10.1.5 für p = 2 nachgeprüft. Der Beweis für allgemeines 1 <<br />
p < ∞ lässt sich mit folgender Strategie führen: Definiere q via<br />
zeige zuerst:<br />
dann<br />
1 = 1 p + 1 q<br />
ab ≤ ap<br />
p + bq<br />
q<br />
∀a, b > 0<br />
n∑<br />
|x j y j | ≤ ‖x‖ p ‖y‖ q ∀x, y ∈ K n Hölder–Ungleichung<br />
j=1<br />
und schließlich<br />
‖x + y‖ p ≤ ‖x‖ p + ‖y‖ p ∀x, y ∈ K n Minkowski–Ungleichung<br />
(∗)<br />
Beispiel 10.1.3. n = 2, K = R, V = R 2 . Wir skizzieren { v ∈ R 2 ∣ ∣ ‖v‖ p = 1 } :<br />
⊓⊔<br />
p = 1: v = (x, y),‖v‖ = |x| + |y|<br />
p = 2: ‖v‖ = √ |x| 2 + |y| 2<br />
p = ∞: ‖v‖ = max{ |x|, |y|}<br />
⊓⊔<br />
Bemerkung 10.1.4. Sei V = {f : [a, b] → C | f stetig}, wir setzen dann<br />
‖f‖ p =<br />
( ∫ b<br />
a<br />
) 1<br />
|f(x)| p p<br />
dx<br />
für 1 ≤ p < ∞<br />
und<br />
‖f‖ ∞ =<br />
sup |f(x)|<br />
x∈[a,b]
10.1 Normen und innere Produkte 271<br />
In Funktionenräumen hat man normalerweise keine vernünftigen Basen. Stattdessen<br />
benutzt man Linearformen und Grenzwerte. Dazu werden Abstandsmessungen<br />
benötigt: d(f, g) := ‖f − g‖. Dann sucht man sich behandelbare Unterräume<br />
(z.B. von abzählbaren Teilmengen erzeugte) und nähert allgemeine Elemente durch<br />
Elemente aus diesen Unterräumen an. Diese Techniken gehören zum Bereich der<br />
Funktionalanalysis.<br />
⊓⊔<br />
Proposition 10.1.5. Sei V ein K–Vektorraum und 〈 · | · 〉 ein inneres Produkt auf<br />
V . Dann ist<br />
v ↦→ ‖v‖ := √ 〈 v | v〉<br />
eine Norm.<br />
Beweis. Idee: Führe die Dreiecksungleichung auf die Cauchy–Schwarz–Ungleichung<br />
| 〈 v | w〉 | ≤ ‖v‖‖w‖ zurück. Letztere ist eine Konsequenz von 0 ≤ 〈 v + bw | v + bw〉 für<br />
geschickte Wahl von b.<br />
Es gilt<br />
‖v‖ 2 = 0 ⇔ 〈 v | v〉 = 0 ⇔ v = 0,<br />
weil 〈 · | · 〉 positiv definit ist. Weiter rechnen wir<br />
‖c · v‖ = √ 〈 c · v | c · v〉 = √ c 〈 v | c · v〉 = √ cc 〈 v | v〉<br />
= |c| √ 〈 v | v〉 = |c|‖v‖.<br />
Es bleibt also nur noch die Dreiecksungleichung zu zeigen. Wir beweisen zunächst<br />
die Cauchy–Schwarz–Ungleichung (C.S.U.)<br />
Beachte dazu, dass für alle b ∈ K gilt<br />
0 ≤ 〈 v + bw | v + bw〉<br />
| 〈 v | w〉 | ≤ ‖v‖‖w‖. (10.1)<br />
= ‖v‖ 2 + 〈 bw | v〉 + 〈 v | bw〉 + |b| 2 ‖w‖ 2 .<br />
Sei o.B.d.A ‖w‖ ≠ 0. Dann wählt man b = − 〈 v | w〉<br />
‖w‖ 2<br />
und rechnet weiter:<br />
0 ≤ ‖v‖ 2 −<br />
= ‖v‖ 2 −<br />
Dies beweist die C.S.U.:<br />
〈 w | v〉 〈 v | w〉 〈 w | v〉 〈 v | w〉 〈 v | w〉 〈 w | v〉 ‖w‖2<br />
‖w‖ 2 −<br />
‖w‖ 2 +<br />
‖w‖ 2 ‖w‖ 2<br />
| 〈 v | w〉 |2<br />
‖w‖ 2 .<br />
0 ≤ ‖v‖ 2 ‖w‖ 2 − | 〈 v | w〉 | 2 ⇒ | 〈 v | w〉 | 2 ≤ ‖v‖ 2 ‖w‖ 2 ⇒ | 〈 v | w〉 | ≤ ‖v‖‖w‖.<br />
Jetzt erhalten wir die Dreiecksungleichung<br />
‖v + w‖ 2 = 〈 v + w | v + w〉<br />
= 〈 v | v〉 + 〈 w | v〉 + 〈 v | w〉 + 〈 w | w〉<br />
= ‖v‖ 2 + 2 Re 〈 w | v〉 + ‖w‖ 2<br />
≤ ‖v‖ 2 + 2 | 〈 w | v〉 | + ‖w‖ 2<br />
(10.1)<br />
≤ ‖v‖ 2 + 2‖v‖‖w‖ + ‖w‖ 2<br />
= (‖v‖ + ‖w‖) 2 ,
272 10 Normen<br />
also<br />
‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖.<br />
⊓⊔<br />
Satz 10.1.6 (Besselungleichung). Sei V ein K-Vektorraum mit innerem Produkt<br />
〈 · | · 〉 und {v 1 , . . . , v k } ein ONS in V . Dann gilt:<br />
‖v‖ 2 ≥<br />
k∑<br />
| 〈 v | v j 〉 | 2 ∀v ∈ V.<br />
j=1<br />
Gleichheit gilt dabei genau dann, wenn v ∈ span{v 1 , . . . , v k }.<br />
∑<br />
Beweis. Idee: Betrachte v − k 〈 v | v j〉 v j.<br />
j=1<br />
Sei U := span{v 1 , . . . , v k }. Dann gilt<br />
Wir setzen<br />
〈<br />
v −<br />
k∑<br />
〈 v | v j 〉 v j<br />
j=1<br />
} {{ }<br />
∈U<br />
∣ v i<br />
〉<br />
= 〈 v | v i 〉 −<br />
w := v −<br />
k∑<br />
〈 v | v j 〉 〈 v j | v i 〉 = 0.<br />
j=1<br />
k∑<br />
〈 v | v j 〉 v j .<br />
j=1<br />
} {{ }<br />
〈 v | v i〉<br />
Weil 〈 w | v i 〉 = 0 für alle i = 1, . . . , k gilt, finden wir 〈 w | u〉 = 0 für alle u ∈ U. Also<br />
ist w ∈ U ⊥ und wir können rechnen<br />
Es ergibt sich<br />
‖v − w‖ 2 =<br />
‖v‖ 2 = ‖ (v − w) +<br />
} {{ } }{{}<br />
w ‖ 2 = 〈 (v − w) + w | (v − w) + w〉<br />
∈U ∈U ⊥<br />
=<br />
=<br />
= 〈 v − w | v − w〉 + 〈 w | w〉 = ‖v − w‖ 2 + ‖w‖ 2 .<br />
〈 k∑ ∣ ∣∣<br />
k∑ 〉<br />
〈 v | v j 〉 v j 〈 v | v i 〉 v i =<br />
k∑<br />
j=1<br />
k∑<br />
j=1 i=1<br />
i=1<br />
〈 v | v j 〉 〈 v | v i 〉 〈 v j | v i 〉 =<br />
} {{ }<br />
δ ji<br />
k∑<br />
| 〈 v | v j 〉 | 2 .<br />
j=1<br />
k∑<br />
∣ ∣∣<br />
k∑ 〉<br />
〈 v | v j 〉<br />
〈v j 〈 v | v i 〉 v i<br />
j=1<br />
k∑<br />
〈 v | v j 〉 〈 v | v j 〉<br />
Dies impliziert die Bessel-Ungleichung, weil ‖w‖ 2 ≥ 0. Gleichheit gilt genau dann,<br />
wenn w = 0. Mit<br />
w = 0 ⇔ v =<br />
j=1<br />
k∑<br />
〈 v | v j 〉 v j ⇔ v ∈ U<br />
j=1<br />
i=1<br />
(vgl. Satz 9.1.12) folgt die Behauptung.<br />
⊓⊔
10.2 Die Operatornorm 273<br />
Beispiel 10.1.7. K = C, V = {f : [0, 1] stetig<br />
−→ C} mit dem in Beispiel 9.1.9 angegebenen<br />
ONS. Betrachte nur die 2k + 1 Elemente e −2πikt , . . . , e 2πikt . Dann liefert die<br />
Bessel-Ungleichung für jedes f ∈ V :<br />
k∑<br />
j=−k<br />
∣<br />
∫ 1<br />
f(t)e 2πijt dt∣ 2 ≤<br />
∫ 1<br />
0<br />
0<br />
|f(t)| 2 dt<br />
⊓⊔<br />
Übung 10.1.1. (i) Zeige, dass die Funktion n: R 2 → R + 0 , die durch<br />
n(x, y) = ( √ |x| + √ |y|) 2<br />
definiert ist, keine Norm ist.<br />
(ii) Skizziere die Menge {(x, y) ∈ R 2 : n(x, y) = 1}.<br />
Übung 10.1.2. Sei 〈v|w〉 = v ⊤ w das euklidische Skalarprodukt auf R n und ‖v‖ := √ 〈v|v〉<br />
die davon erzeugte Norm (Länge). Sei P das von v, w ∈ R n aufgespannte Parallelogramm.<br />
Zeige:<br />
a) Genau dann ist P ein Rhombus (d.h. v und w sind gleich lang), wenn die Diagonalen<br />
v + w und v − w orthogonal sind.<br />
b) Genau dann ist P ein Rechteck (d.h. v und w sind orthogonal), wenn die Diagonalen<br />
v + w und v − w gleich lang sind.<br />
Dabei heißen v und w orthogonal, wenn 〈v|w〉 = 0 gilt.<br />
10.2 Die Operatornorm<br />
In diesem Abschnitt bringen wir Konzepte der Linearen Algebra und der Analysis<br />
zusammen um auf Vektorräumen von linearen Abbildungen einen speziellen Typus<br />
von Normen zu konstruieren. Diese Operatornormen haben vielfältige Anwendungen<br />
in der Numerik, der Analysis auf Matrizengruppen und der Funktionalanalysis.<br />
Satz 10.2.1. Seien V und W zwei K-Vektorräume endlicher Dimension mit inneren<br />
Produkten 〈 · | · 〉 V<br />
und 〈 · | · 〉 W<br />
, sowie den zugehörigen Normen ‖ · ‖ V und<br />
‖ · ‖ W . Definiere eine Abbildung<br />
via<br />
‖ · ‖ op : Hom K (V, W ) → R + 0<br />
‖ϕ‖ op =<br />
sup {‖ϕ(v)‖ W }.<br />
‖v‖ V ≤1<br />
(i) ‖ · ‖ op ist eine Norm auf Hom K (V, W ).<br />
(ii) ‖ϕ(v)‖ W ≤ ‖ϕ‖ op ‖v‖ V ∀v ∈ V .<br />
(iii) Wenn U noch ein K-Vektorraum mit innerem Produkt 〈 · | · 〉 U<br />
ist, dann gilt:<br />
‖ψ ◦ ϕ‖ op ≤ ‖ψ‖ op ‖ϕ‖ op ∀ϕ ∈ Hom K (V, W ), ∀ψ ∈ Hom K (W, U)
274 10 Normen<br />
Beweis. Idee: Zeige zuerst, dass das Supremum überhaupt existiert und entwickle dazu<br />
jedes v bzgl. einer ONB. Um die Dreiecksungleichung für ‖ · ‖ op nachzuweisen, zeigt man<br />
(ii).<br />
Um zu zeigen, dass das Supremum existiert, genügt es nach dem Vollständigkeitsaxiom<br />
für die reellen Zahlen zu zeigen, dass<br />
{‖ϕ(v)‖ W | ‖v‖ V ≤ 1} ⊆ R + 0<br />
beschränkt ist: Sei {v 1 , . . . , v n } eine ONB für V und v ∈ V mit ‖v‖ V<br />
∑<br />
v = n c j v j . Dann gilt<br />
j=1<br />
≤ 1 und<br />
1 ≥ ‖v‖ 2 V = 〈 v | v〉 V<br />
=<br />
=<br />
n∑<br />
j=1<br />
〈 ∑<br />
n ∣ ∣∣<br />
c j v j<br />
j=1<br />
c j c j 〈 v j | v j 〉<br />
} {{ V<br />
=<br />
}<br />
=1<br />
Außerdem liefert die Dreiecksungleichung<br />
(<br />
∥ ∑<br />
n )∥ ∥∥W<br />
‖ϕ(v)‖ W = ∥ϕ c j v j =<br />
=<br />
j=1<br />
n∑<br />
|c j | ‖ϕ(v j )‖ W<br />
}{{}<br />
≤1<br />
j=1<br />
≤<br />
n ∑<br />
l=1<br />
c l v l<br />
〉<br />
n∑<br />
|c j | 2 .<br />
j=1<br />
∥<br />
V<br />
n∑<br />
∥<br />
c j ϕ(v j )<br />
j=1<br />
n∑<br />
‖ϕ(v j )‖ W<br />
j=1<br />
≤ n · max j=1,...,n ‖ϕ(v j )‖ W<br />
} {{ }<br />
Konstante c, die<br />
nicht von v abhängt<br />
=<br />
∥<br />
W<br />
n∑<br />
c j c l 〈 v j | v l 〉 V<br />
j=1<br />
l=1<br />
≤<br />
n∑<br />
‖c j ϕ(v j )‖ W<br />
Damit ist { ‖ϕ(v)‖ W<br />
∣ ‖v‖ V ≤ 1 } ⊆ [0, c] beschränkt und die Existenz des Supremums<br />
ist gesichert.<br />
Die Ungleichung ‖ϕ‖ op ≥ 0 ist jetzt klar nach der Definition. Wenn ‖ϕ‖ op = 0,<br />
dann gilt ‖ϕ(v)‖ W = 0 für alle v ∈ V mit ‖v‖ V ≤ 1, also<br />
ϕ(v) = 0 ∀v ∈ V mit ‖v‖ V ≤ 1<br />
und daher ϕ(v) = 0 für alle v ∈ V , d.h. ϕ = 0. Für c ∈ K rechnet man<br />
‖cϕ‖ op =<br />
j=1<br />
sup ‖cϕ(v)‖ W = sup |c|‖ϕ(v)‖ W<br />
‖v‖ V ≤1<br />
‖v‖ V ≤1<br />
= |c| sup ‖ϕ(v)‖ W = |c|‖ϕ‖ op .<br />
‖v‖ V ≤1<br />
Um (i) zu beweisen, muss man also nur noch die Dreiecksungleichung nachweisen.<br />
Dazu brauchen wir (ii), das wie folgt gezeigt wird: Sei v ≠ 0. Dann gilt<br />
und<br />
∥<br />
v ∥ ∥∥V<br />
= 1 ‖v‖ V = 1<br />
‖v‖ V ‖v‖ V<br />
∥ ( ∥∥ϕ v<br />
)∥ ∥∥W<br />
‖ϕ(v)‖ W = ‖v‖ V ≤ ‖v‖ V ‖ϕ‖ op ,<br />
‖v‖ V<br />
also (ii). Um jetzt die Dreiecksungleichung zu zeigen, wählen wir ϕ, ψ ∈ Hom K (V, W )<br />
und rechnen für ‖v‖ V ≤ 1
10.2 Die Operatornorm 275<br />
‖(ϕ + ψ)(v)‖ W = ‖ϕ(v) + ψ(v)‖ V<br />
≤ ‖ϕ(v)‖ W + ‖ψ(v)‖ W<br />
≤ ‖v‖ V ‖ϕ‖ op + ‖v‖ V ‖ψ‖ op<br />
= ‖v‖ V (‖ϕ‖ op + ‖ψ‖ op )<br />
≤ ‖ϕ‖ op + ‖ψ‖ op .<br />
Mit ‖ϕ + ψ‖ op = sup ‖v‖V ≤1 ‖(ϕ + ψ)(v)‖ W folgt dann die Dreiecksungleichung.<br />
Schließlich zeigen wir noch (iii). Seien ϕ ∈ Hom K (U, W ), ψ ∈ Hom K (V, U) so,<br />
dass<br />
‖ϕ ◦ ψ‖ op = sup<br />
‖v‖ V ≤1<br />
‖(ϕ ◦ ψ)(v)‖ W .<br />
Es gilt für ‖v‖ V ≤ 1:<br />
‖(ϕ ◦ ψ)(v)‖ W = ‖ϕ(ψ(v))‖ W ≤ ‖ψ(v)‖ U ‖ϕ‖ op<br />
}{{}<br />
∈U<br />
≤ ‖v‖ V ‖ψ‖ op ‖ϕ‖ op ≤ ‖ψ‖ op ‖ϕ‖ op<br />
und daher ‖ϕ ◦ ψ‖ op ≤ ‖ψ‖ op ‖ϕ‖ op .<br />
⊓⊔<br />
Die in Satz 10.2.1 beschriebene Norm auf Hom K (V, W ) heißt die Operatornorm.<br />
Bemerkung 10.2.2. Sei 0 < ‖v‖ V ≤ 1, dann gilt<br />
Also haben wir<br />
(<br />
∥ v<br />
)∥ ∥∥W<br />
∥ϕ<br />
= 1 ‖ϕ(v)‖ W ≥ ‖ϕ(v)‖ W .<br />
‖v‖ V ‖v‖ V<br />
sup ‖ϕ(v ′ )‖ W ≥<br />
‖v ′ ‖ V =1<br />
sup ‖ϕ(v)‖ W ≥<br />
‖v‖ V ≤1<br />
sup ‖ϕ(v)‖ W .<br />
‖v‖ V =1<br />
Dies zeigt ‖ϕ‖ op = sup ‖v‖V =1 ‖ϕ(v)‖ op .<br />
⊓⊔<br />
Satz 10.2.3. Seien V und W endlich dimensionale K-Vektorräume mit inneren<br />
Produkten 〈 · | · 〉 V<br />
und 〈 · | · 〉 W<br />
. Weiter sei ϕ ∈ Hom K (V, W ), und sei ϕ ∗ ∈<br />
Hom K (W, V ) die adjungierte Abbilidung. Dann gilt:<br />
(i) ‖ϕ‖ op = ‖ϕ ∗ ‖ op ,<br />
(ii) ‖ϕ ∗ ◦ ϕ‖ op = ‖ϕ ◦ ϕ ∗ ‖ op = ‖ϕ‖ 2 op.<br />
Beweis. Idee: Kombiniere (ϕ ∗ ) ∗ = ϕ mit den Eigenschaften der Operatornorm aus Satz<br />
10.2.1.<br />
(i) Wegen (ϕ ∗ ) ∗ = ϕ gilt<br />
‖ϕ ∗ (w)‖ 2 V = 〈 ϕ ∗ (w) | ϕ ∗ (w)〉 V<br />
= 〈 ϕ ◦ ϕ ∗ (w) | w〉 W<br />
≤ ‖ϕ ◦ ϕ ∗ (w)‖ W ‖w‖ W ≤ ‖ϕ ◦ ϕ ∗ ‖ op ‖w‖ 2 W<br />
≤ ‖ϕ‖ op ‖ϕ ∗ ‖ op ‖w‖ 2 W ,<br />
also<br />
‖ϕ ∗ (w)‖ V ≤<br />
√<br />
‖ϕ‖ op ‖ϕ ∗ ‖ op ‖w‖ W .<br />
Für ‖w‖ W ≤ 1 erhalten wir
276 10 Normen<br />
‖ϕ ∗ ‖ op =<br />
√<br />
sup ‖ϕ ∗ (w)‖ V ≤ ‖ϕ‖ op ‖ϕ ∗ ‖ op<br />
‖w‖ W ≤1<br />
und dies zeigt ‖ϕ ∗ ‖ op ≤ ‖ϕ‖ op . Auf ϕ ∗ angewendet, liefert dieses Argument<br />
also ‖ϕ‖ op = ‖ϕ ∗ ‖ op .<br />
(ii) Für ‖v‖ V ≤ 1 rechnen wir<br />
‖ϕ‖ op = ‖(ϕ ∗ ) ∗ ‖ op ≤ ‖ϕ ∗ ‖ op ,<br />
‖ϕ ∗ ◦ ϕ(v)‖ V ≤ ‖ϕ ∗ ◦ ϕ‖ op ‖v‖ V ≤ ‖ϕ ∗ ‖ op ‖ϕ‖ op ‖v‖ V<br />
= ‖ϕ‖ 2 op‖v‖ V ≤ ‖ϕ‖ 2 op.<br />
Dies zeigt ‖ϕ ∗ ◦ ϕ‖ op ≤ ‖ϕ‖ 2 op. Umgekehrt hat man<br />
‖ϕ(v)‖ 2 W = 〈 ϕ(v) | ϕ(v)〉 W<br />
= 〈 v | ϕ ∗ ◦ ϕ(v)〉 W<br />
≤ ‖v‖ V ‖ϕ ∗ ◦ ϕ(v)‖ op<br />
≤ ‖v‖ 2 V ‖ϕ ∗ ◦ ϕ‖ V ≤ ‖ϕ ∗ ◦ ϕ‖ op .<br />
Also folgt ‖ϕ‖ 2 op ≤ ‖ϕ ∗ ◦ ϕ‖ op .<br />
⊓⊔<br />
Satz 10.2.4 (Spektralradius). Seien V und W endlich dimensionale K-Vektorräume<br />
mit inneren Produkten 〈 · | · 〉 V<br />
und 〈 · | · 〉 W<br />
sowie ϕ ∈ Hom K (V, W ). Dann ist<br />
ϕ ∗ ◦ ϕ positiv semidefinit und es gilt:<br />
‖ϕ‖ 2 op = max { λ ∣ ∣ λ Eigenwert von ϕ ∗ ◦ ϕ } .<br />
Beweis. Idee: Mit ‖ϕ‖ 2 op = ‖ϕ ∗ ◦ ϕ‖ op führt man den Satz auf die Identität ‖ϕ‖ op =<br />
max { |λ| ∣ } λ Eigenwert von ϕ für selbstadjungierte ϕ ∈ HomK (V, V ) zurück.<br />
Wir haben ‖ϕ‖ 2 op = ‖ϕ ∗ ◦ ϕ‖ op . Wegen<br />
〈 ϕ ∗ ◦ ϕ(v 1 ) | v 2 〉 V<br />
= 〈 ϕ(v 1 ) | ϕ(v 2 )〉 W<br />
= 〈 v 1 | ϕ ∗ ◦ ϕ(v 2 )〉 V<br />
ist ϕ ∗ ◦ ϕ ist selbstadjungiert. Es genügt zu zeigen: Für ϕ ∈ Hom K (V, V ) selbstadjungiert<br />
gilt<br />
‖ϕ‖ op = max{ |λ| | λ Eigenwert von ϕ}.<br />
(∗)<br />
Wenn nämlich (∗) gilt, wendet man dies auf ϕ ∗ ◦ ϕ an und findet<br />
‖ϕ ∗ ◦ ϕ‖ op = max{λ | λ Eigenwert von ϕ ∗ ◦ ϕ},<br />
weil nach Lemma 9.3.5 die eigenwerte von ϕ ◦ ϕ nicht-negativ sind. Damit folgt<br />
dann der Satz.<br />
Beweis von (∗): Sei nun {v 1 , . . . , v n } eine ONB bzgl. der ϕ durch eine Diagonalmatrix<br />
dargestellt wird. D.h. die v 1 , . . . , v n sind alle Eigenvektoren. Seien λ 1 , . . . , λ n<br />
die zugehörigen Eigenwerte (alle reell, weil ϕ selbstadjungiert ist). Wir können annehmen,<br />
dass<br />
|λ 1 | ≥ |λ j | j = 1, . . . , n.<br />
∑<br />
Sei v = n c j v j mit c j ∈ K. Nach Satz 10.1.6 haben wir<br />
j=1<br />
‖v‖ 2 V =<br />
n∑<br />
|c j | 2<br />
j=1
10.2 Die Operatornorm 277<br />
und<br />
‖ϕ(v)‖ 2 V =<br />
≤<br />
∥<br />
n∑<br />
∥<br />
c j ϕ(v j )<br />
j=1<br />
∥ 2 V<br />
=<br />
∥<br />
n∑ ∥ ∥∥<br />
2<br />
c j λ j v j =<br />
j=1<br />
V<br />
n∑<br />
j=1<br />
|c j λ j | 2<br />
} {{ }<br />
|c j| 2 |λ j| 2<br />
n∑<br />
∑<br />
n<br />
|c j | 2 |λ 1 | 2 = |λ 1 | 2 |c j | 2 = |λ 1 | 2 ‖v‖ 2 V .<br />
j=1<br />
j=1<br />
Dies zeigt<br />
und<br />
Andererseits zeigt<br />
‖ϕ(v)‖ V ≤ |λ 1 |‖v‖ V<br />
‖ϕ‖ op ≤ |λ 1 |.<br />
dass ‖ϕ‖ op ≥ |λ 1 |. Also gilt<br />
‖ϕ(v 1 )‖ V = ‖λ 1 v 1 ‖ V = |λ 1 |‖v 1 ‖ V = |λ 1 |,<br />
‖ϕ‖ op = |λ 1 | = max { |λ| ∣ ∣ λ Eigenwert von ϕ<br />
}<br />
.<br />
⊓⊔<br />
Beispiel 10.2.5. Sei ϕ : R 2 → R 2 durch ϕ(v) = Av mit A =<br />
( ) ( ) ( )<br />
x 1 1 x<br />
ϕ =<br />
=<br />
y 0 1 y<br />
A ∗ A =<br />
( 1 0<br />
1 1<br />
Das charakteristische Polynom von A ∗ A ist<br />
d.h. wir haben die Eigenwerte<br />
) ( ) 1 1<br />
=<br />
0 1<br />
( )<br />
x + y<br />
,<br />
y<br />
( ) 1 1<br />
.<br />
1 2<br />
(1 − λ)(2 − λ) − 1 = 1 − 3λ + λ 2 ,<br />
( ) 1 1<br />
gegeben:<br />
0 1<br />
Jetzt zeigt Satz 10.2.4<br />
λ ± = 3 ± √ 5<br />
.<br />
2<br />
‖ϕ‖ op =<br />
√<br />
3 + √ 5<br />
.<br />
2<br />
⊓⊔<br />
Für Anwendungen der Operatornorm auf die Theorie der Differentialgleichungen<br />
beweisen wir noch folgendes Lemma, dass uns erlaubt die Operatornorm einer<br />
Matrix mit der Maximumsnorm (über die Koeffizienten) zu vergleichen. Sei<br />
A ∈ Mat(n × m, K) und ϕ ∈ Hom K (K m , K n ) durch ϕ(v) = Av definiert. Wir setzen<br />
‖A‖ op := ‖ϕ‖ op , wobei wir auf K n und K m jeweils das euklidische innere Produkt<br />
betrachten.
278 10 Normen<br />
Lemma 10.2.6. Es gibt eine positive Konstante c, die von n und m abhängt, so<br />
dass gilt<br />
‖A‖ op ≤ c max i,j {|a ij |} ≤ c ‖A‖ op<br />
für alle A ∈ Mat(n × m, K).<br />
Beweis. Idee: Schachtele Kugeln und Würfel ineinander.<br />
Wir stellen zunächst fest, dass es für jedes n ∈ N strikt positive Konstanten c n<br />
und C n gibt mit<br />
c n max i {|x i |} ≤ ‖x‖ K n ≤ C n max i {|x i |}<br />
für alle x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ K n . Dies folgt aus dem Umstand, dass man in jede<br />
euklidische Kugel einen Würfel einbeschreiben kann, aber umgekehrt auch eine euklidische<br />
Kugel in jeden Würfel.<br />
Sei jetzt A = (a ij ) i,j sowie (e 1 , . . . , e n ) und (f 1 , . . . , f m ) die Standardbasen für<br />
K n und K m . Dann gilt a ij = 〈 e i | Af j 〉 K n und die Cauchy–Schwarz–Ungleichung<br />
liefert<br />
|a ij | ≤ ‖e i ‖ K n‖Af j ‖ K n ≤ ‖A‖ op .<br />
Daraus folgt max i,j {|a ij |} ≤ ‖A‖ op .<br />
Wir rechnen<br />
‖Ax‖ K n ≤ C n max i {|(Ax) i |}<br />
{∣ ∣∣ ∑<br />
m ∣}<br />
∣∣<br />
= C n max i a ij x j<br />
j=1<br />
≤ C n max j {|x j |} · m · max i,j {|a ij |}<br />
≤ C n c −1<br />
m ‖x‖ K mm · max i,j {|a ij |}<br />
und dies beweist die Behauptung mit c = mC n c −1<br />
m .<br />
⊓⊔<br />
Übung 10.2.1. Berechne die Operatornorm der Abbildung ϕ: R 3 → R 2 mit ϕ(x, y, z) =<br />
(x−2y+3z, 2x+3y+z), wobei R 3 und R 2 jeweils das euklidische Skalarprodukt als inneres<br />
Produkt haben.<br />
Übung 10.2.2. Sei V = R n (versehen mit dem euklidischen Skalarprodukt) und A ∈<br />
Mat(n × n, R) eine Diagonalmatrix. Zeige, dass<br />
ist.<br />
‖ϕ A‖ op = max { |λ ∣ ∣ : λ Eigenwert von A}<br />
Übung 10.2.3. Sei V = R 2 und W = R 3 , jeweils mit dem euklidischen Skalarprodukt<br />
versehen. Berechne ‖ϕ A‖ op für die folgenden Matrizen A:<br />
⎛ ⎞<br />
1 0<br />
⎝ 0 1 ⎠ ,<br />
1 1<br />
⎛ ⎞<br />
1 0<br />
⎝ 1 0 ⎠ ,<br />
1 0<br />
⎛ ⎞<br />
0 0<br />
⎝ 0 0 ⎠ .<br />
0 1<br />
Übung 10.2.4. Seien V und W C-Vektorräume mit inneren Produkten 〈· | ·〉 V und 〈· | ·〉 W .<br />
(i) Sei {v 1, . . . , v n} eine ONB für V und ϕ ∈ Hom C (V, W ). Setze<br />
‖ϕ‖ HS :=<br />
n∑<br />
‖ϕ(v j)‖ W<br />
j=1<br />
und zeige, dass dies eine Norm auf Hom C (V, W ) definiert (Hilbert–Schmidt Norm).
10.2 Die Operatornorm 279<br />
(ii) Zeige, dass ‖ϕ‖ HS nicht von der Wahl der ONB abhängt.<br />
(iii) Sei ϕ ∗ ∈ Hom C (W, V ) die zu ϕ adjungierte Abbildung. Zeige: ‖ϕ ∗ ‖ HS = ‖ϕ‖ HS.<br />
(iv) Zeige, dass ‖ϕ‖ op ≤ ‖ϕ‖ HS.<br />
Übung 10.2.5. Sei V<br />
⎛<br />
= C<br />
⎞<br />
3 , versehen<br />
⎛ ⎞<br />
mit dem euklidischen Skalarprodukt, und U ⊆ V der<br />
1 0<br />
C-lineare Spann von ⎝ i ⎠ und ⎝ 1 ⎠.<br />
0 i<br />
(i) Zeige, dass U ⊕ U ⊥ = V .<br />
(ii) Definiere eine Abbildung ϕ: V → V durch ϕ(v) = u, wenn v = u + w mit u ∈ U und<br />
w ∈ U ⊥ . Zeige, dass ϕ C-linear ist.<br />
(iii) Gib die Matrix<br />
⎛<br />
von<br />
⎞<br />
ϕ bzgl. der Standardbasis an.<br />
3<br />
(iv) Berechne ϕ ∗ ⎝ 7i ⎠.<br />
−2<br />
(v) Berechne ‖ϕ‖ op und ‖ϕ‖ HS.<br />
Übung 10.2.6. Sei ( V ) = C 2 (, versehen ) mit dem Euklidischen Skalarprodukt und ϕ: V → V<br />
z1 z2<br />
gegeben durch ϕ = .<br />
z 2 0<br />
(i) Berechne ‖ϕ‖ op und ‖ϕ‖ HS.<br />
(ii) Bestimme ϕ ∗ .
Literaturverzeichnis<br />
[Ar91] Artmann, B., Lineare Algebra. Birkhäuser, Basel, 1991<br />
[Be03] Beutelspacher, A., Lineare Algebra. Vieweg, 6. Aufl. 2003<br />
[Br83] Brieskorn, E., Lineare Algebra und analytische Geometrie 1+2, Vieweg, 1983<br />
[DH85] Davis, Ph.J., Hersh, R., Erfahrung Mathematik. Birkhäuser, Basel, 1985<br />
[Fi10] Fischer, G., Lineare Algebra. Vieweg+Teubner, 17. Aufl. 2010<br />
[Fi10b] Fischer, G., Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Vieweg+Teubner,<br />
2010<br />
[GH70] Griffith, H.B., Hilton, P.J., Classical Mathematics. Springer, New York, 1970<br />
[Ha72] Halmos, P.R., Naive Mengenlehre. Vandenhoeck und Rupprecht, Göttingen, 1972<br />
[HW10] Huppert, B., Willems, W., Lineare Algebra. Vieweg+Teubner, 2. Aufl. 2010<br />
[If86] Ifrah, G., Universalgeschichte der Zahlen. Campus Verlag, Frankfurt, 1986<br />
[Jä96] Jänich, K., Lineare Algebra. Springer, Berlin, 1996<br />
[Kat98] Katz, V.J., A History of Mathematics. Addison-Wesley, 1998<br />
[Kl72]<br />
Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University<br />
Press, 1972<br />
[KK71] Klingenberg, W., Klein, P., Lineare Algebra und analytische Geometrie 1+2. B.I.<br />
Mannheim, 1971<br />
[Lo03] Lorenz, F., Lineare Algebra 1+2. Spektrum Akademischer Verlag, 4. Auflage, 2003<br />
[Si98] Singh, S., Fermats letzter Satz. Hanser, München, 1998
Sachverzeichnis<br />
Γ (ϕ), Graph von ϕ, 150<br />
ϕ A, lineare Abbildung, 63<br />
ϕ–Kette, 194<br />
σ P , Permutation, 86<br />
σ k,l , Transposition, 92<br />
β B, assoziierte Form, 222<br />
A adj , adjunkte Matrix, 109<br />
A ϕ, Matrix zu ϕ, 67<br />
Asym(n, K), schiefsymmetrische Matrizen,<br />
134<br />
Ax, Matrix mal Vektor, 65<br />
B β , darstellende Matrix, 221<br />
Bil(V ), Bilinearformen, 218<br />
C, komplexe Zahlen, 4<br />
det(A), Determinante, 98<br />
dim(V ), Dimension, 126<br />
dim K (U), Dimension, 58<br />
e 1, . . . , e n, Standardbasis, 45<br />
End K (V ), Endomorphismen, 121<br />
f σ, Anzahl der Fehlstände, 93<br />
GL(V ), allgemeine lineare Gruppe, 121<br />
GL(n, K), allgemeine lineare Gruppe, 81,<br />
88<br />
(HLGS), homogenes lineares Gleichungssystem,<br />
35<br />
Herm(V ), hermitesche Formen, 232<br />
Herm(n, K), hermitesche Matrizen, 233<br />
Hom K (V, W ), Homomorphismen, 121<br />
Hom K (K n , K m ), Raum der linearen<br />
Abbildungen, 65<br />
i, imaginäre Einheit, 25<br />
III(c, p; q), elementare Zeilenumformung,<br />
31<br />
II(p; c), elementare Zeilenumformung, 31<br />
im (ϕ), Bild, 122<br />
Im, Imaginärteil, 25<br />
ker (ϕ), Kern, 122<br />
I(p, q), elementare Zeilenumformung, 31<br />
K, Körper, 25<br />
K[X], Polynomring, 126<br />
ker(ϕ), Kern, 75<br />
K m×n , Menge der Matrizen, 63<br />
K n , n-dimensionaler Zahlenraum, 27, 40<br />
(LG), lineare Gleichung, 27<br />
(LGS), lineares Gleichungssystem, 27<br />
Mat(m × n, K), Menge der Matrizen, 63<br />
N, natürliche Zahlen, 4<br />
ord, Ordnung einer Permutation, 141<br />
PM n Permutationsmatrizen, 85<br />
Pol(K), Polynomfunktionen, 127, 166<br />
P σ, Permutationsmatrix, 88<br />
Q, rationale Zahlen, 4, 24<br />
R, reelle Zahlen, 4<br />
Rang(ϕ), Rang von ϕ, 145<br />
Re, Realteil, 25<br />
SHerm(V ), schiefhermitesche Formen, 232<br />
SHerm(n, K), schiefhermitesche Matrizen,<br />
233<br />
SSym(V ), schiefsymmetrische Formen, 232<br />
SSym(n, K), schiefsymmetrische Matrizen,<br />
233<br />
Ses(V ), Sesquilinearformen, 218<br />
sign, Signumfunktion, 93<br />
S n, symmetrische Gruppe, 87<br />
span, linearer Spann, 44<br />
span(a 1, . . . , a k ), linearer Spann, 45<br />
Sym(V ), symmetrische Formen, 232<br />
Sym(n, K), symmetrische Matrizen, 233<br />
Z, ganze Zahlen, 4, 24<br />
Z/nZ, Restklassen, 26<br />
A ∗ , adjungierte Matrix, 219<br />
ϕ ∗ , adjungierte Abbildung, 256<br />
A 0 , Annulator, 146<br />
:=, definierende Gleichheit, 14<br />
⊕<br />
j∈M<br />
Vj, direkte Summe, 149<br />
Ṽ ∗ , Dualraum, 217<br />
ϕ ∗ , duale Abbildung, 144<br />
∃, es existiert, 16<br />
∀, für alle, 16<br />
a ∈ M, a ist Element von M, 12<br />
A −1 , inverse Matrix, 78<br />
a −1 , multiplikatives Inverses, 26<br />
B, konjugierte Matrix, 220<br />
∅, leere Menge, 13<br />
{ }, leere Menge, 13<br />
M/R, Menge der Äquivalenzklassen, 136
284 Sachverzeichnis<br />
−a, additives Inverses, 25<br />
A ⊈ B, A ist nicht Teilmenge von B, 13<br />
a ∉ M, a ist nicht Element von M, 13<br />
◦, Verknüpfung, 64<br />
B \ A, B ohne A, 13<br />
∁A, ( Komplement ) von A, 13<br />
1 · · · n<br />
, Permutation, 87<br />
σ(1) · · · σ(n)<br />
P(M), Potenzmenge von M, 13<br />
A × B, kartesisches Produkt, 13<br />
A 1 × . . . × A k , kartesisches Produkt, 14<br />
BA,<br />
∏<br />
Matrizenprodukt, 67<br />
, Produktzeichen, 94<br />
⋂<br />
A ∩ B, Schnitt von Mengen, 13<br />
∑ j∈J<br />
Aj, Schnitt von Mengen, 13<br />
, Summenzeichen, 35<br />
A i,j, Streichmatrix, 107<br />
U 1 + U 2, Summe von Unterräumen, 45<br />
A ⊆ B, A ist Teilmenge von B, 13<br />
V/U, Quotientenraum, 137<br />
⋃<br />
A ∪ B, Vereinigung von Mengen, 13<br />
j∈J<br />
Aj, Vereinigung von Mengen, 13<br />
A ∪ . B, disjunkte Vereinigung von Mengen,<br />
⋃<br />
13<br />
.<br />
j∈J<br />
A j, disjunkte Vereinigung von<br />
Mengen , 13<br />
V λ , verallgemeinerter Eigenraum, 183<br />
V λ , Eigenraum, 163<br />
[x] R, Äquivalenzklasse von x, 136<br />
Abbildung, 10, 14, 23<br />
K-lineare, 65<br />
Abgeschlossenheit<br />
unter Addition, 43<br />
unter Inversenbildung, 91<br />
unter Multiplikation mit Skalaren, 44<br />
Ableitung<br />
partielle, 67<br />
abzählbar unendlich, 126<br />
Addition<br />
in einem Körper, 24<br />
von Vektoren, 40<br />
adjungiert, 255<br />
adjungierte<br />
Matrix, 219<br />
adjunkte Matrix, 109<br />
ähnlich, 159<br />
Äquivalenz, 9<br />
von symmetrischen Matrizen, 236<br />
Äquivalenzklasse, 9, 136<br />
algebraische Struktur, 9<br />
Gruppe, 87<br />
Körper, 24<br />
Ring, 24<br />
Vektorraum, 119<br />
allgemeine lineare Gruppe, 88<br />
eines Vektorraums, 121<br />
Annullator, 146<br />
antilineare Abbildung, 217<br />
Antisymmetrie einer Relation, 15<br />
antisymmetrisch, 134<br />
Assoziativität, 24, 119<br />
der Addition in K n , 40<br />
der Gruppenoperation, 87, 88<br />
des Matrizenprodukts, 68<br />
von Verknüpfungen, 64<br />
ausgeartet, 227<br />
nicht, 227<br />
Auswahlaxiom, 15, 16<br />
Basis, 51, 123<br />
duale, 143, 223<br />
eines linearen Unterraums, 51<br />
kanonische, 51<br />
Standard-, 51<br />
Basisauswahlsatz, 127<br />
für lineare Unterräume, 52<br />
Basisergänzungssatz, 127<br />
für lineare Unterräume, 52<br />
Basiswechsel<br />
lineare Abbildungen, 157<br />
Sesquilinearformen, 224<br />
Berechnung der inversen Matrix, 78<br />
Bessel<br />
Ungleichung, 272<br />
Bessel, Friedrich Wilhelm (1784–1846), 272<br />
bijektive Abbildung, 64<br />
Bild, 122<br />
einer Abbildung, 64<br />
Bilinearform, 218<br />
schiefsymmetrische, 232<br />
symmetrische, 232<br />
Blockdiagonalmatrix, 153<br />
Blockmatrizen, 82<br />
Cantor, Georg (1845–1918), 12<br />
Cauchy<br />
Folge, 138<br />
Cauchy, Augustin Louis (1789–1857), 138<br />
Cauchy–Schwarz–Ungleichung, 271<br />
Cayley, Arthur (1821–1895), 205<br />
charakteristisches Polynom, 172<br />
Cramer<br />
Regel, 109, 110<br />
für Gleichungssysteme, 110<br />
Cramer, Gabriel (1704–1752), 109<br />
darstellende Matrix<br />
einer linearen Abbildung, 129<br />
einer Sesquilinearform, 221<br />
definit<br />
in-, 247<br />
negativ, 247<br />
negativ semi-, 247<br />
positiv, 247<br />
positiv semi-, 247<br />
Determinante
Sachverzeichnis 285<br />
Berechnung über die Kästchen–Regel,<br />
105<br />
Berechnung durch Zeilenumformung, 107<br />
einer linearen Abbildung, 173<br />
einer quadratischen Matrix, 98<br />
Entwicklung nach Spalten oder Zeilen,<br />
107<br />
Diagonalisierbarkeit<br />
hermitescher Formen, 241<br />
hermitescher Matrizen, 240<br />
linearer Abbildungen, 177<br />
Diagonalmatrizen, 74<br />
Dimension, 126<br />
eines linearen Unterraums, 58<br />
endliche, 126<br />
unendliche, 126<br />
Dimensionsformel<br />
für lineare Abbildungen, 84, 141<br />
für lineare Unterräume, 58<br />
für Quotientenräume, 140<br />
für Untervektorräume, 127<br />
direkte Summe<br />
orthogonale, 258<br />
von Vektorräumen, 149, 151<br />
disjunkte Mengen, 13<br />
Distributivgesetz<br />
erstes, für Vektorräume, 119<br />
zweites, für Vektorräume, 119<br />
Distributivität, 24, 40<br />
der Matrizenmultiplikation, 74<br />
Dreiecksungleichung, 269<br />
duale<br />
Abbildung, 144<br />
Basis, 143, 223<br />
Dualraum, 143<br />
Eigenraum, 163<br />
verallgemeinerter, 183<br />
Eigenvektor, 163<br />
Eigenwert, 163<br />
Eindeutigkeit von adjungierten Abbildungen,<br />
256<br />
Eins, 24<br />
Einschränkung<br />
einer Abbildung, 86<br />
Einschränkung<br />
einer Sesquilinearform, 228<br />
Einselement<br />
einer Gruppe, 87<br />
Element einer Menge, 12, 23<br />
elementare<br />
Spaltenumformung, 69<br />
Spaltenumformungen, 31<br />
Zeilenumformung, 69<br />
Zeilenumformungen, 31<br />
Elementarmatrizen, 69<br />
Endomorphismen<br />
eines Vektorraums, 121<br />
Erzeugendensystem, 44, 132<br />
Euklid (ca. 325–265 v.Chr.), 218<br />
euklidischer Vektorraum, 250<br />
euklidisches inneres Produkt, 248<br />
Existenz von adjungierten Abbildungen,<br />
256<br />
Faktorisierung<br />
kanonische, 140<br />
fast überall<br />
Null, 149<br />
Fehlstand<br />
einer Permutation, 93<br />
Fermat, Pierre de (1601–1665), 4<br />
Fibonacci<br />
Zahlen, 181<br />
Fibonacci, Leonardo (1170–1250), 181<br />
Folgen, 126<br />
Fourier<br />
Analyse, 251<br />
Fraenkel, Adolf Abraham (1891–1965), 15<br />
Fundamentalsatz<br />
der Algebra, 4, 175<br />
Funktion, 14<br />
differenzierbare, 120, 122<br />
stetige, 120<br />
Funktionalanalysis, 126<br />
Galois, Evariste (1811–1832), 87<br />
ganze<br />
Zahlen, 24<br />
Gauß<br />
Algorithmus, 7, 28, 31<br />
Gauß, Carl Friedrich (1777–1855), 7, 28<br />
Gerade, 40<br />
affin, 40<br />
Gleichheit von Mengen, 13<br />
Grad<br />
eines Monoms, 170<br />
eines Polynoms, 170<br />
Gram, Jorgen Pedersen (1850–1916), 251<br />
Gram–Schmidt Orthonormalsierung, 251<br />
Graph, 150<br />
Gruppe, 10, 87<br />
allgemeine lineare, 121<br />
Homomorphismus, 91<br />
Isomorphismus, 92<br />
symmetrische, 87<br />
Hamilton, William Rowan (1805–1865),<br />
205<br />
Hauptachsentransformation, 266<br />
Hauptminoren, 248<br />
Kriterium, 248<br />
Hermite, Charles (1822–1901), 232<br />
hermitesche<br />
Matrix, 233<br />
Sesquilinearform, 232<br />
Hesse<br />
Matrix, 248
286 Sachverzeichnis<br />
Hesse, Ludwig Otto (1811–1874), 248<br />
Hilbert–Schmidt Norm, 278<br />
Hintereinanderausführung<br />
von Abbildungen, 64<br />
Hölder<br />
Norm, 269<br />
Ungleichung, 270<br />
Hölder, Ludwig Otto (1859–1937), 269<br />
Homomorphismus<br />
Vektorraum, 121<br />
Horner, William George (1786–1837), 168<br />
Hornerschema, 168<br />
Hülle<br />
lineare, 44, 123<br />
imaginäre Einheit, 25<br />
Imaginärteil, 25<br />
indefinite<br />
hermitesche Form, 247<br />
Index<br />
einer hermiteschen Form, 244<br />
induktiv geordnete Mengen, 16<br />
injektive Abbildung, 64<br />
innere direkte Summe<br />
von Untervektorräumen, 151<br />
inneres Produkt, 250<br />
Invarianz<br />
der Basislänge, 57<br />
einer Summenzerlegung, 152<br />
inverse Matrix, 78<br />
Berechnung, 78, 109<br />
inverses Element<br />
der Addition, 24<br />
der Multiplikation, 24<br />
in einer Gruppe, 87<br />
invertierbare<br />
Abbildung, 64<br />
Matrix, 77<br />
involutiver Körperautomorphismus, 217<br />
isometrisch, 257<br />
Isomorphie, 11<br />
von Gruppen, 92<br />
von Vektorräumen, 121<br />
Jacobi<br />
Matrix, 67<br />
Jacobi, Carl Gustav (1804–1851), 67<br />
Jordan<br />
Block, 179<br />
Normalform, 204, 205<br />
Normalform, reelle, 209<br />
Jordan, Camille (1838–1922), 179<br />
Kästchen–Regel, 105<br />
kanonische<br />
Faktorisierung, 285<br />
kartesisches Produkt, 13<br />
Kern, 122<br />
einer linearen Abbildung, 75<br />
Kette<br />
in einer geordneten Menge, 16<br />
Kirchhoff<br />
Gesetze, 5<br />
Kirchhoff, Gustav (1824–1887), 5<br />
Koeffizienten<br />
einer linearen Gleichung, 27<br />
Koeffizientenmatrix<br />
eines linearen Gleichungssystems, 31<br />
erweiterte, 31<br />
Körper, 24<br />
Homomorphismus, 139<br />
Körperautomorphismus<br />
involutiver, 217<br />
kommutatives Diagramm, 140<br />
Kommutativität, 24<br />
der Addition in K n , 40<br />
der Addition in Vektorräumen, 119<br />
Komplement<br />
einer Menge, 13<br />
komplexe Struktur<br />
auf einem Vektorraum, 211<br />
komplexe Zahlen, 25<br />
Koordinaten<br />
eines Vektors bzgl. einer Basis, 129<br />
Korollar, 15<br />
Kronecker<br />
Delta, 89<br />
Länge<br />
einer Basis, 51<br />
Laplace<br />
Entwicklung, 114<br />
Entwicklungssatz, 108<br />
Laplace, Pierre Simon (1749–1827), 108<br />
leere Menge, 13<br />
Leibniz<br />
Formel, 98<br />
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646–1716),<br />
98<br />
Lemma, 15<br />
von Zorn, 16<br />
Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci<br />
(1170–1250), 181<br />
Leontief, Wassily (1906–1999), 6<br />
lineare<br />
Abbildung, 65, 121<br />
Abhängigkeit, 47, 123<br />
Gleichung, 27<br />
Hülle, 44<br />
Relation<br />
nicht-triviale, 48<br />
Unabhängigkeit, 47, 123<br />
Test, 49, 123<br />
linearer<br />
Spann, 44<br />
einer Matrix, 46<br />
Unterraum, 120<br />
lineares
Sachverzeichnis 287<br />
Funktional, 143<br />
Gleichungssystem, 27<br />
homogenes, 35<br />
Linearfaktoren, 175<br />
Linearformen, 143<br />
Linearkombination, 44, 123<br />
Lösungsmenge<br />
eines linearen Gleichungssystems, 27<br />
Matrix, 7, 30<br />
adjunkte, 109<br />
darstellende, 129<br />
darstellende, einer Sesquilinearform, 221<br />
hermitesche, 233<br />
positiv definite, 247<br />
schiefhermitesche, 233<br />
schiefsymmetrische, 233<br />
symmetrische, 233<br />
Matrizenprodukt, 68<br />
maximale Elemente einer Menge, 16<br />
Maximumsnorm, 269<br />
Menge, 9, 12, 23<br />
Minkowski<br />
Form, 218, 248<br />
Ungleichung, 270<br />
Minkowski, Hermann (1864–1909), 218<br />
Monom, 132, 166<br />
Multiplikation<br />
in einem Körper, 24<br />
mit Skalaren, 40<br />
von Matrizen, 68<br />
negativ definite<br />
hermitesche Form, 247<br />
negativ semidefinite<br />
hermitesche Form, 247<br />
Negatives<br />
eines Elements, 25<br />
eines Gruppenelements, 88<br />
eines Vektors, 119<br />
neutrales Element<br />
der Addition, 24<br />
der Multiplikation, 24<br />
einer Gruppe, 87<br />
Newton, Isaac (1642–1727), 3<br />
nicht ausgeartet, 227<br />
nicht-Nullspalte, 28<br />
nilpotent, 194<br />
Norm, 269<br />
Hölder-, 269<br />
Maximums-, 269<br />
p-, 269<br />
Supremums-, 269<br />
normal, 257, 258<br />
Null, 4, 24<br />
fast überall, 149<br />
in einem Vektorraum, 119<br />
Nullspalte, 28<br />
Nullstelle<br />
einer Polynomfunktion, 166<br />
eines Polynoms, 166<br />
o.B.d.A., 48<br />
Operatornorm, 275<br />
Ordnung<br />
einer Permutation, 141<br />
partielle, 15<br />
totale, 16<br />
orthogonal, 257, 258<br />
orthogonales Komplement, 226<br />
Orthogonalraum, 226<br />
Orthogonalsystem, 250<br />
Orthonormalbasis (ONB), 250<br />
Orthonormalsystem (ONS), 250<br />
partielle<br />
Ordnung, 15<br />
Pauli, Wolfgang (1900–1958), 233<br />
Paulische Spinmatrizen, 233<br />
Permutation, 87<br />
Permutationsmatrix, 85<br />
Polarisierung, 235<br />
Polynom, 127<br />
charakteristisches, 172<br />
Polynomdivision, 166<br />
Polynomfunktion, 127, 166<br />
charakteristische, 172<br />
Polynomgleichung, 4<br />
positiv definite<br />
hermitesche Form, 247<br />
Matrix, 247<br />
positiv semidefinite<br />
hermitesche Form, 247<br />
Potenzmenge, 13<br />
Projektion<br />
in End K (V ), 153<br />
kanonische, auf einen Quotientenraum,<br />
138<br />
Proposition, 15<br />
punktweise<br />
Verknüpfung, 120<br />
Quotientenraum, 138<br />
Rang<br />
einer hermiteschen Form, 244<br />
einer linearen Abbildung, 145<br />
einer Matrix, 81<br />
rationale<br />
Zahlen, 24<br />
Realteil, 25<br />
Reflexivität<br />
einer Relation, 15, 136<br />
Regel von Sarrus, 98<br />
Relation, 14, 136<br />
Äquivalenz-, 136<br />
Repräsentant<br />
einer Äquivalenzklasse, 136
288 Sachverzeichnis<br />
Restklasse, 26<br />
Richtungsableitung, 143<br />
Ring, 9<br />
kommutativ<br />
mit Eins, 24<br />
Sarrus<br />
Regel von, 98<br />
Sarrus, Pierre Frederic (1798–1861), 98<br />
Satz<br />
Basisauswahl, 52, 127<br />
Basisergänzung, 52, 127<br />
implizite Funktionen, 149<br />
Isomorphiesatz für Vektorräume, 139<br />
von Cayley–Hamilton, 205<br />
schiefhermitesche<br />
Sesquilinearform, 232<br />
schiefsymmetrisch, 134<br />
Matrix, 114<br />
schiefsymmetrische<br />
Bilinearform, 232<br />
Matrix, 233<br />
Schmidt, Erhard (1876–1959), 251<br />
Schnitt von Mengen, 13<br />
Schranke<br />
obere (für partielle Ordnungen), 16<br />
untere (für partielle Ordnungen), 16<br />
selbstadjungierte<br />
lineare Abbildung, 255, 257<br />
Matrix, 258<br />
Semilinearform, 217<br />
Sesquilinearform, 218<br />
hermitesche, 232<br />
schiefhermitesche, 232<br />
Signum<br />
einer Permutation, 93<br />
Skalar, 40<br />
skalare Multiplikation<br />
für Vektorräume, 119<br />
Skalarprodukt<br />
euklidisches, 218<br />
Spalten<br />
einer Matrix, 30<br />
Spaltenrang, 79<br />
Spaltenumformung, 31<br />
Spaltenvektoren, 46<br />
einer Matrix, 46, 79<br />
Spann<br />
linearer, 44, 123<br />
Spektralradius, 276<br />
Spektralsatz, 263, 265<br />
Spektralzerlegung, 266<br />
Spur<br />
einer linearen Abbildung, 173<br />
einer Matrix, 171<br />
Standardbasis, 51<br />
Streichmatrix, 107<br />
Stufen<br />
einer Matrix, 33<br />
Stufenlänge, 33<br />
Summe<br />
von Funktionen, 120<br />
von linearen Unterräumen, 45, 122<br />
von Vektorräumen, 151<br />
Supremumsnorm, 269<br />
surjektive Abbildung, 64<br />
Sylvester<br />
Trägheitssatz, 243<br />
Sylvester, James Joseph (1814–1897), 243<br />
Symmetrie, 10<br />
-Zerlegung, 234<br />
einer Relation, 136<br />
symmetrische<br />
Bilinearform, 232<br />
Gruppe, 87<br />
Matrix, 233<br />
Teilen mit Rest, 26<br />
Teilmengen, 13<br />
Test, 63<br />
total geordnete Teilmengen, 16<br />
totale Ordnung, 16<br />
Transitivität<br />
einer Relation, 136<br />
Transitivität einer Relation, 15<br />
transponierte<br />
Matrix, 79<br />
Transposition, 92<br />
Triagonalisierbarkeit, 184<br />
triviale Unterräume, 44<br />
k-Tupel, 14<br />
Übergangsmatrix<br />
eines Basiswechsels, 157<br />
Umkehrabbildung, 64<br />
umkehrbare Abbildung, 64<br />
unitär, 257, 258<br />
unitärer Vektorraum, 250<br />
Unterraum<br />
linearer, 43<br />
trivialer, 44<br />
Urbild<br />
einer Abbildung, 64<br />
Vandermonde<br />
Determinante, 106<br />
Matrix, 106<br />
Vandermonde, Alexandre Theóphile<br />
(1735–1796), 106<br />
Vektor, 40<br />
Vektorraum, 119<br />
Unter-, 120<br />
Vereinigung von Mengen, 13<br />
Verknüpfung<br />
von Abbildungen, 64<br />
von Elementen, 9<br />
Wohldefiniertheit, 137
Sachverzeichnis 289<br />
wohlgeordnet, 16<br />
Wohlordnungssatz, 16<br />
Zahlen<br />
ganze, 4, 24<br />
komplexe, 4, 25<br />
natürliche, 4<br />
rationale, 4, 24<br />
reelle, 4<br />
Zahlenraum<br />
n–dimensional, 40<br />
Zeilen<br />
einer Matrix, 30<br />
Zeilenrang, 79<br />
Zeilenstufenform, 33<br />
Zeilenumformung, 31<br />
Zeilenvektoren, 46<br />
einer Matrix, 79<br />
Zermelo, Ernst (1871–1953), 15<br />
Zorn, Max (1906–1993), 16