HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK Übungsteil - Department ...

HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL
∂F
∂h
= 2·h ·(m − 2 · m 2 + 1 ) + U = 0 →
U = 2·h ·(2 · m 2 + 1 − m) . (8-4)
A wird dann mit Gl. 8-2 zu A = h 2 ·(m − 2 · m 2 + 1 ) + h ·2·h ·(2 · m 2 + 1 − m)
bzw. A = h 2 · (2· m 2 + 1 − m) . (8-5)
Der hydraulische Radius beträgt also R = h 2 · (2· m 2 + 1 − m)
2·h · (2 · m 2 + 1 − m) = h 2 .
Die Ausdrücke für R und A werden nun in die Strickler-Formel eingesetzt und diese nach h aufgelöst:
Q = k St ·h 2/3 ·2 −2/3 ·I 1/2 ·h 2 ·(2 · m 2 + 1 − m) → h 8/3 −1
= Q ·k St ·I −1/2 ·2 2/3 ·(2 · m 2 + 1 − m) −1
h = Q 3/8 −3/8 ·k St ·I −3/16 ·2 1/4 ·(2 · m 2 + 1 − m) −3/8
bzw. h = ⎢ ⎡ ⎣ k ⎦ ⎥⎤
St· I · 2 2/3 3/8
2 · m 2 .
+ 1 − m
(8-6)
s folgt aus der Beziehung 8-1 s = U − 2·h · m 2 + 1 und der Funktion 8-4
U = 4·h · m 2 + 1 − 2 ·m ·h s = 2·h ·( m 2 + 1 − m) . (8-7)
Damit ist bei gegebener Böschungsneigung jene Trapezgerinneform gefunden, die den kleinsten
benetzten Umfang aufweist. Damit ist jedoch nicht bewiesen, dass auch der Fließquerschnitt A im
Minimum ist. Für diesen Nachweis wird genauso vorgegangen wie oben, nur sind Ausdrücke für A
zu bilden (weil schließlich ∂A/∂h = 0 gesetzt werden soll). Ausgehend von Gl. 6-1 A = s ·h + m ·h 2
erhält man für die Sohlbreite s = A/h − m ·h .
s in U (6-2) eingesetzt ergibt U = A/h − m ·h + 2 ·h · m 2 + 1 . (8-8)
Die Strickler-Formel wird nun nach U aufgelöst Q = k St ·A 5/3 ·U −2/3 ·I 1/2 →
3/2
U = k St ·A 5/2 ·I 3/4 ·Q −3/2 . Die Gegenüberstellung der beiden Ausdrücke für U liefert
3/2
k St ·A 5/2 ·I 3/4 ·Q −3/2 = A/h − m ·h + 2 ·h · m 2 + 1
oder A 5/2 3/2 ·k St ·I 3/4 ·Q −3/2 − A ·h −1 + m ·h − 2 ·h · m 2 + 1 = 0.
Dieselben Überlegungen wie zuvor (F (A, h) = 0,
∂F
∂A
∂F
∂A · ∂A
∂h + ∂F
dA
∂h
= 0) und die Extremwertbedingung
dh
∂F
∂A
· dA +
∂h · dh = 0, dA =
∂h · dh,
∂F
= 0 führen erneut zur Gleichung
∂h = 0:
∂F
∂h = −A · (−1) ·h−2 + m − 2 · m 2 + 1 = 0 → A ·h −2 = 2 · m 2 + 1 − m
A = h 2 · (2 · m 2 + 1 − m) .
Diese Gleichung stimmt mit Gl. 8-5 überein. Durch Einsetzen dieses Ausdrucks von A in Gl. 8-8
erhält man weiters U = h · (2 · m 2 + 1 − m) − m ·h + 2 ·h · m 2 + 1
oder U = 2 ·h · (2 · m 2 + 1 − m) .
Auch U stimmt mit der zuvor abgeleiteten Formel 8-4 überein. Daraus folgt natürlich wieder, dass
R = h/2 ist und sich nach Einsetzen von A und R (oder U) in der Strickler-Formel dieselben Werte
für h und schließlich für s ergeben. Das hydraulisch günstige Trapezprofil mit dem kleinsten benetzten
Umfang U ist also tatsächlich auch dasjenige mit dem kleinsten Fließquerschnitt A.
Anhang – Sohlbreite im hydraulisch günstigen Trapezprofil bei gegebener Böschungsneigung S. 90