HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK Übungsteil - Department ...

HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL
8. ANHANG
8.1 Hydraulisch günstiges Trapezprofil bei vorgegebener Böschungsneigung
Das hydraulisch günstigste Trapezprofil ist das halbe Sechseck mit einer Böschungsneigung von
1 : 1/ 3 = 1 : 0,577 . Bei einer so hohen Böschungsneigung sind viele natürliche Materialien nicht
standfest. Derart steile Böschungen sind auch aus anderen Gründen nicht erwünscht. Man wählt
daher zumeist die Böschungsneigung vor (z. B. m = 2 oder m = 3) und ermittelt die Sohlbreite
bzw. die Abflusstiefe unter der Bedingung des hydraulisch günstigen Querschnittes.
Die logische Vorgangsweise bestünde darin, die Strickler-Formel
Q = k St ·[(s + m ·h) ·h] 5/3 ·[ s + 2·h · m 2 + 1]
−2/3 ·I 1/2
nach s oder h aufzulösen und den hierfür gefundenen Ausdruck in der Formel für den benetzten
Umfang U = s + 2·h · m 2 + 1
zu substituieren. U hinge dann nur mehr von einer Variablen ab, könnte nach dieser differenziert
werden und müsste den gesuchten Extremwert liefern. Das Problem besteht nur darin, dass sich die
Strickler-Formel nicht explizit nach s oder h auflösen lässt.
Stattdessen wird die Formel für U (Funktion 6-2) nach s aufgelöst:
s = U − 2·h · m 2 + 1 (8-1)
und dieser Ausdruck für s in der Formel für A (Funktion 6-1) A = s ·h + m ·h 2 substituiert
A = (U − 2·h · m 2 + 1 ) ·h + m ·h 2
A = h 2 ·(m − 2 · m 2 + 1 ) + h ·U. (8-2)
Löst man weiters die Strickler-Formel nach A auf: A = Q 3/5 −3/5 ·k St ·U 2/5 ·I −3/10
und stellt die gefundenen Ausdrücke für A gegenüber, so erhält man
h 2 ·(m − 2 · m 2 + 1 ) + h ·U = Q 3/5 −3/5 ·k St ·U 2/5 ·I −3/10
bzw. h 2 ·(m − 2 · m 2 + 1 ) + h ·U − U 2/5 ·Q 3/5 −3/5 ·k St ·I −3/10 = 0 .
Diese Gleichung lässt sich nicht nach U auflösen bzw. U nicht als explizite Funktion U (h) darstellen.
Um diese Schwierigkeit zu umgehen, wird ihre linke Seite als konstante Funktion
F (U, h) = h 2 ·(m − 2 · m 2 + 1 ) + h ·U − U 2/5 ·Q 3/·k −3/5
St ·I −3/10 = 0 (8-3)
aufgefasst, deren vollständiges Differenzial natürlich auch Null sein muss:
dF = ∂F ∂F
∂U · dU +
∂h · dh = 0.
Nachdem U eine Funktion der einzigen unabhängigen Variablen h ist, muss für die infinitesimale
Zunahme dU = dU
dh · dh gelten. Dieser Ausdruck wird nun für dU eingesetzt:
∂F
∂U · dU ∂F
dh · dh +
∂h · dh = 0
⎛∂F
⎞
⎜
⎟
⎝∂U · dU
dh + ∂F
∂h ⎠ · dh = 0 .
Die linke Seite ist nur dann für beliebige Zunahmen dh gleich Null, wenn der Klammerausdruck
∂F
Null ist:
∂U · dU
dh + ∂F
∂h = 0 .
Jetzt gelangt die Extremwertbedingung dU /dh = 0 zur Anwendung, sodass für die Stelle des Extremwertes
gelten muss
∂F
∂U · 0 + ∂F
∂h = 0 → ∂F
∂h = 0 .
Es ist daher die partielle Ableitung von F (U, h) (Funktion 8-3) nach h zu bilden
Anhang – Sohlbreite im hydraulisch günstigen Trapezprofil bei gegebener Böschungsneigung S. 89