HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK Übungsteil - Department ...

HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL
Abbildung 6-1:
Wasserspiegellinienverlauf für Beispiel Nr. 60 nach TOLKMITT und nach
dem Standard-Step-Verfahren
6.4.3 Inverse Probleme bei den Verfahren nach RÜHLMANN oder TOLKMITT
Wenn eine bestimmte Abflusstiefe h bei schwach ungleichförmigem Verlauf gegeben ist und die
Stelle bzw. Stau- oder Senkungsweite x gesucht ist, an der diese auftritt, handelt es sich um ein
direktes Problem. Beim inversen Problem ist hingegen die Stelle x gegeben und die an dieser Stelle
auftretende Abflusstiefe h gefragt. Das inverse Problem lässt sich im Gegensatz zum direkten nicht
analytisch lösen, weil die Rühlmann- bzw. die Tolkmitt-Funktion nicht nach der gesuchten Variable
y aufgelöst werden kann.
Als numerische Lösung drängt sich eine rekursive Iteration auf, weil sowohl die Rühlmann- als
auch die Tolkmitt-Funktion leicht zu y = g (F (y)) bzw. y = g (f (y)) umgeformt werden kann. Die
rekursive Iteration konvergiert jedoch nicht bzw. gegen einen falschen Wert und scheidet daher aus.
Es empfiehlt sich vielmehr ein graphisches Verfahren mit anschließender numerischer Verfeinerung
mittels Probierverfahren oder anderer Methoden (Nullstellensuche z. B. mit Intervallhalbierungsmethode,
Sekantenverfahren, Beschleunigung nach AITKEN, quadratisches Verfahren nach
MÜLLER oder andere). Für die graphische Lösung beginnt man mit der Tolkmitt-Beziehung 6-10
x = h n P
I · [y 0 − y + µ · (f (y) − f (y 0 ))]
S
und trennt f (y) vom Rest der Beziehung:
y + x · IS
h n P
− y 0 = µ · (f (y) − f (y 0 ))
1
µ · y + 1 µ · ⎝ ⎜⎛ x · IS
h
− y 0
⎠ ⎟⎞ + f (y 0 ) = f (y) .
n P
Stationärer, leicht ungleichförmiger Abfluß – Stau- und Senkungslinien S. 81