HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK Übungsteil - Department ...

HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL
ĥ i / m Qˆ i / (m 3·s −1 )
1,00 4,97
2,00 19,23
3,00 44,99
3,01 45,31
3,001 45,02
Die Normalabflusstiefe beträgt 3,00 m
und die Fließgeschwindigkeit mit v = Q /A
v
m·s −1 = 45
(4,0 + 2,0×3,00)×3,00
= 1,500; v = 1,500 m/s.
Im nächsten Schritt ist die Grenztiefe zu bestimmen. Die Formel für den Trapezquerschnitt unter
der Annahme, dass der Korrekturbeiwert für die mittlere Geschwindigkeitshöhe α = 1 beträgt, lautet
bei gleichen Böschungsneigungen (siehe Gleichung 6-9 auf Seite 72)
h gr =
1
s + m ·h gr
·
3 Q 2
g (s + 2·m ·h gr) .
Mit den gegebenen Größen ist h gr ebenfalls iterativ (in diesem
Fall rekursiv) zu berechnen:
hˆ gr i+1
m = 1
3
4,00 + 2,0 ·hˆ gr i / m · 45,0 2
9,81 (4,00 + 2·2 ·h ˆ
gr i / m)
Die Grenztiefe beträgt h gr = 1,752 m.
h > h gr (3,00 > 1,75) → strömender Fließzustand
hˆ gr i / m
3,000
1,489
1,822
1,734
1,757
1,751
1,752
hˆ gr i+1 / m
1,489
1,822
1,734
1,757
1,751
1,752
1,752
Um die für Parabelquerschnitte gültige Tolkmitt-Formel anwenden zu können, muss der Trapezquerschnitt
in einen hydraulisch ähnlichen Parabelquerschnitt übergeführt werden. Dabei kann nicht
einfach angenommen werden, dass die Abflusstiefe im Parabelquerschnitt und die im Trapezprofil
gleich sein müssen; vielmehr muss in beiden Profilen ein ähnlicher Strömungszustand vorliegen.
Das wird durch die Anwendung des Froudeschen Ähnlichkeitsgesetzes gewährleistet (siehe Anhang
8.2). Anstelle der Gleichheit der beiden Froude-Zahlen gemäß Gl. 6-6 wird
Fr 2 Trapez = Fr 2 Parabel bzw. Q 2
g · ⎝ ⎜⎛ B
A 3 ⎠ ⎟⎞ Trapez = Q 2
g · ⎝ ⎜⎛ B
A 3 ⎠ ⎟⎞ Parabel bzw. ⎜ ⎛ B
⎝ A 3 ⎠ ⎟⎞ Trapez = ⎜ ⎛ B
⎝ A 3 ⎠ ⎟⎞ Parabel
verlangt. Daraus folgt, dass abgesehen vom Durchfluss die Querschnittsfläche A und die Spiegelbreite
B gleich sein müssen, die Abflusstiefen hingegen nicht gleich sind. Die weitere Invariante ist
der Abstand x von der Knickstelle, er ist im Trapez- und im Parabelprofil gleich.
Wenn die Parabel-Funktion h P (b) = a ·b 2
[h P ] = m Abflusstiefe im Parabelprofil als Funktion der halben Spiegelbreite b
[a] = dim.los Formparameter. a ist so zu bestimmen, dass das Parabelprofil bei derselben
Spiegelbreite B wie im Trapezprofile auch denselben Fließquerschnitt A aufweist
[b] = m halbe Spiegelbreite
lautet, dann beträgt die zwischen der b-Achse bzw. Abszisse und der halben Parabel befindlichen
Fläche (0 ≤ b ≤ B/2)
B/2
⌡ ⌠ a ·b 2 db = ⎪ a ·b 3 B/2 3 + C ⎪ ⎪⎪ = a ·B3
0 24 .
0
Das die halbe Parabel (0 ≤ b ≤ B/2) umschreibende Rechteck weist die Breite B/2 und die Höhe
y (B/2) = a ·(B/2) 2 auf. Der gesuchte Flächeninhalt A/2 innerhalb der Halbparabel ist daher
A
2 = B 2 · a ·B2
4 − a ·B3
24 = a ·B3
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Verfahren nach TOLKMITT S. 75