HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK Übungsteil - Department ...

HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL
5. KRÄFTE BEI STATIONÄREN STRÖMUNGSVORGÄNGEN
Grundlage für die Berechnung der auftretenden Kräfte bei stationären Strömungsvorgängen dichtebeständiger
Fluide ist der Impulssatz. Er kann anhand der Zeichnung im Vorlesungsskriptum
[LOISKANDL] u. a. folgendermaßen hergeleitet werden [PRANDTL et al., 1990]:
Bei stationärer Fadenströmung einer Flüssigkeit mit der Dichte ρ und dem Volumenstrom Q wird
eine Kontrollmasse M zum Zeitpunkt t durch zwei Stellen (1) und (2) des Stromfadens und den zugehörigen
Querschnittsflächen A 1 und A 2 abgegrenzt. Während der kleinen Zeitspanne dt bewegen
sich alle Teilchen fort und M verschiebt sich in den Bereich zwischen den Stellen (1´) und (2´).
Während sich also der Gesamtimpuls zum Zeitpunkt t aus den Teilchenimpulsen in den zwei Bereichen
zwischen (1) und (1´) und zwischen (1´) und (2) zusammensetzte, befindet sich die Kontrollmasse
und der zugehörige Impuls zum Zeitpunkt t + dt nun in den zwei Bereichen zwischen (1´) und
(2) und zwischen (2) und (2´). Die Masse dm 1 , die im Bereich zwischen (1) und (1´) weggefallen
und die Masse dm 2 , die im Bereich zwischen (2) und (2´) hinzugetreten ist, entspricht aus Kontinuitätsgründen
derjenigen, die durch die Querschnittsflächen (1) bzw. (2) in der Zeit dt hindurchgetreten
ist: dm 1 = dm 2 = dm = ρ ·Q·dt. Der Gesamtimpuls der Kontrollmasse betrug daher zum
Zeitpunkt t ·dm ·v 1 = ρ ·Q ·dt ·v 1 plus dem Impuls der Masse im Bereich zwischen (1´) und (2), und er
ist zum Zeitpunkt t + dt gleich dem Impuls der Masse im Bereich zwischen (1´) und (2) plus dm ·v 2
= ρ ·Q ·dt ·v 2 . Die Impulsänderung, = Gesamtimpuls zum Zeitpunkt t + dt weniger Gesamtimpuls
zum Zeitpunkt t, ist daher ρ ·Q ·dt ·v 2 − ρ ·Q ·dt ·v 1 = ρ ·Q ·(v 2 − v 1 ) ·dt. Die Änderung des Impulses der
Kontrollmasse mit der Zeit , gleichbedeutend mit der hinzugeführten Kraft, entspricht daher
ρ ·Q ·(v 2 − v 1 ) ·dt
dt
= ρ ·Q ·(v 2 − v 1 ).
Um diese Impulsänderung (bezogen auf die Änderung der Zeit) zu bewirken, muss an die Kontrollmasse
eine entsprechend große Summe an äußeren Kräften angreifen.
Kurz gefasst: Die zeitliche Änderung des Impulses der Masse ist gleich der vektoriellen Summe der
an ihr angreifenden äußeren Kräfte (einschließlich der inneren Körperkräfte):
⋅ ⋅( 2 − 1)
= ∑
ρ Q v v R
[ρ ·Q ·v] = kg·m·s −2 Impulsstrom
[ΣR] = N Summe an gerichteten äußeren Kräften plus innere Körperkräfte (Gewichtskraft).
Die äußeren Kräfte greifen auf sämtlichen Teilstücken der Berandung des
Kontrollvolumens an:
ΣR = F R + p 1 ·A 1 + p 2 ·A 2 + F G
[F R ] = N (äußere) Reaktionskraft, die die gesamte Wand auf die Flüssigkeit ausübt
[p i ·A i ] = N gerichtete äußere Druckkraft auf eine Querschnittsfläche i
[F G ] = N Gewicht der im Kontrollvolumen eingeschlossenen Masse (innere Körperkraft)
Für eine zweidimensional-vertikale Strömung erhält man demnach für die beiden Komponenten der
Reaktionskraft der Wand F R (x-Achse horizontal, z-Achse vertikal nach oben)
F R x = ρ ·Q ·(v 2 x − v 1 x ) − P 1 x − P 2 x
und F R z = ρ ·Q ·(v 2 z − v 1 z ) − P 1 z − P 2 z − F G z .
[F R i ] = N Komponente der Reaktionskraft der Wand auf das Strömungsmedium
[v 2 i ] = m·s −1 Komponente der Fließgeschwindigkeit im Austrittsquerschnitt
[v 1 i ] = m·s −1 Komponente der Fließgeschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt
Kräfte bei stationären Strömungsvorgängen S. 63