HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK ÃƒÂœbungsteil - Department ...

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HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL 47.) Eine Ortschaft soll eine zentrale Wasserversorgung erhalten. Das benötigte Wasser wird dem Grundwasser entnommen und mittels eines Pumpwerks in einen Erdbehälter (WSP = 187,30 m ü. A.) gehoben. Dieser Behälter dient in Bezug auf den Ortswasserverbrauch als Gegenbehälter. Die 3800 m lange Pumpendruckleitung bis zum Versorgungsschwerpunkt A soll aus Schleudergussrohren (k b = 0,4 mm) mit einem Durchmesser d 1 = 150,0 mm ausgeführt werden, während die Leitung von A bis zum Behälter (l 2 = 1100,0 m) ebenfalls in Schleudergussrohren, jedoch mit einem Durchmesser d 2 = 400,0 mm, vorgesehen ist. Welche von den im Beiblatt durch ihre Kennlinie dargestellten Pumpen ist für die Hebung eines Wasservolumens pro Zeiteinheit von Q = 17,20 l/s vorzusehen, wenn der abgesenkte Grundwasserspiegel auf der Höhe H GW = 134,80 m ü. A. liegt? Mit welcher Leistung arbeitet in diesem Fall die Pumpe? (η = 0,80). Pumpenbemessung S. 62
HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL 5. KRÄFTE BEI STATIONÄREN STRÖMUNGSVORGÄNGEN Grundlage für die Berechnung der auftretenden Kräfte bei stationären Strömungsvorgängen dichtebeständiger Fluide ist der Impulssatz. Er kann anhand der Zeichnung im Vorlesungsskriptum [LOISKANDL] u. a. folgendermaßen hergeleitet werden [PRANDTL et al., 1990]: Bei stationärer Fadenströmung einer Flüssigkeit mit der Dichte ρ und dem Volumenstrom Q wird eine Kontrollmasse M zum Zeitpunkt t durch zwei Stellen (1) und (2) des Stromfadens und den zugehörigen Querschnittsflächen A 1 und A 2 abgegrenzt. Während der kleinen Zeitspanne dt bewegen sich alle Teilchen fort und M verschiebt sich in den Bereich zwischen den Stellen (1´) und (2´). Während sich also der Gesamtimpuls zum Zeitpunkt t aus den Teilchenimpulsen in den zwei Bereichen zwischen (1) und (1´) und zwischen (1´) und (2) zusammensetzte, befindet sich die Kontrollmasse und der zugehörige Impuls zum Zeitpunkt t + dt nun in den zwei Bereichen zwischen (1´) und (2) und zwischen (2) und (2´). Die Masse dm 1 , die im Bereich zwischen (1) und (1´) weggefallen und die Masse dm 2 , die im Bereich zwischen (2) und (2´) hinzugetreten ist, entspricht aus Kontinuitätsgründen derjenigen, die durch die Querschnittsflächen (1) bzw. (2) in der Zeit dt hindurchgetreten ist: dm 1 = dm 2 = dm = ρ ·Q·dt. Der Gesamtimpuls der Kontrollmasse betrug daher zum Zeitpunkt t ·dm ·v 1 = ρ ·Q ·dt ·v 1 plus dem Impuls der Masse im Bereich zwischen (1´) und (2), und er ist zum Zeitpunkt t + dt gleich dem Impuls der Masse im Bereich zwischen (1´) und (2) plus dm ·v 2 = ρ ·Q ·dt ·v 2 . Die Impulsänderung, = Gesamtimpuls zum Zeitpunkt t + dt weniger Gesamtimpuls zum Zeitpunkt t, ist daher ρ ·Q ·dt ·v 2 − ρ ·Q ·dt ·v 1 = ρ ·Q ·(v 2 − v 1 ) ·dt. Die Änderung des Impulses der Kontrollmasse mit der Zeit , gleichbedeutend mit der hinzugeführten Kraft, entspricht daher ρ ·Q ·(v 2 − v 1 ) ·dt dt = ρ ·Q ·(v 2 − v 1 ). Um diese Impulsänderung (bezogen auf die Änderung der Zeit) zu bewirken, muss an die Kontrollmasse eine entsprechend große Summe an äußeren Kräften angreifen. Kurz gefasst: Die zeitliche Änderung des Impulses der Masse ist gleich der vektoriellen Summe der an ihr angreifenden äußeren Kräfte (einschließlich der inneren Körperkräfte): ⋅ ⋅( 2 − 1) = ∑ ρ Q v v R [ρ ·Q ·v] = kg·m·s −2 Impulsstrom [ΣR] = N Summe an gerichteten äußeren Kräften plus innere Körperkräfte (Gewichtskraft). Die äußeren Kräfte greifen auf sämtlichen Teilstücken der Berandung des Kontrollvolumens an: ΣR = F R + p 1 ·A 1 + p 2 ·A 2 + F G [F R ] = N (äußere) Reaktionskraft, die die gesamte Wand auf die Flüssigkeit ausübt [p i ·A i ] = N gerichtete äußere Druckkraft auf eine Querschnittsfläche i [F G ] = N Gewicht der im Kontrollvolumen eingeschlossenen Masse (innere Körperkraft) Für eine zweidimensional-vertikale Strömung erhält man demnach für die beiden Komponenten der Reaktionskraft der Wand F R (x-Achse horizontal, z-Achse vertikal nach oben) F R x = ρ ·Q ·(v 2 x − v 1 x ) − P 1 x − P 2 x und F R z = ρ ·Q ·(v 2 z − v 1 z ) − P 1 z − P 2 z − F G z . [F R i ] = N Komponente der Reaktionskraft der Wand auf das Strömungsmedium [v 2 i ] = m·s −1 Komponente der Fließgeschwindigkeit im Austrittsquerschnitt [v 1 i ] = m·s −1 Komponente der Fließgeschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt Kräfte bei stationären Strömungsvorgängen S. 63
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