HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK Übungsteil - Department ...

HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL
4.5.2 Berechnung des Rohrreibungsbeiwertes λ
Im turbulenten Fall (Re > Re krit = 2320) sind für die Ermittlung des Rohrreibungsbeiwertes λ drei
Bereiche – der glatte Bereich, der Übergangsbereich und der raue Bereich – zu unterscheiden. Die
Formel von PRANDTL und COLEBROOK für den Übergangsbereich, die für den glatten und
für den Übergangsbereich verwendet wird, lautet
1λ = −2·log ⎝ ⎜⎛ 2,51
Re · λ + k
3,71·d
⎠ ⎟⎞ . (4-12)
[k] = m hydraulische Rauigkeit; Materialkonstante, von der Rohrbeschaffenheit abhängig
λ in der Prandtl-Colebrook-Formel (4-12) ist iterativ zu bestimmen. Aus der umgewandelten Form
1
λ =
(4-13)
4·log 2 ⎝ ⎜⎛ 2,51
Re · λ + k
3,71·d⎠ ⎟⎞
kann λ bequem rekursiv iteriert werden (mit schneller Konvergenz). Am einfachsten beginnt man
mit dem Startwert λˆ0 = 0,02
und setzt so oft den aus der Formel 4-13 erhaltenen Wert erneut in die Formel ein, bis der eingesetzte
Wert und der aus der Formel erhaltene Wert nur mehr unwesentlich von einander abweichen.
Die zulässige Abweichung ∆λ zul , die natürlich von der Differenz zwischen dem letzten und vorletzten
Iterationsschritt unterschritten worden sein muss (∆λ vorh = | λˆn − λˆn−1|), ist von Fall zu Fall
verschieden, es sollten aber mindestens 4 signifikante Stellen bestimmt werden. Ob die zulässige
Abweichung nicht zu groß gewählt wurde sollte dadurch überprüft werden, indem man die mit λˆn
und mit λˆn−1 ermittelten Endergebnisse miteinander vergleicht (wenn z. B. der Durchfluss Q in l/s
auf die Einerstelle genau gefragt ist und das mit λˆn berechnete Q nicht mehr als ein Zehntel vom mit
λˆn−1 berechneten Q abweicht, war die Ermittlung von λ ausreichend genau).
Prinzipiell ist festzuhalten, dass die Abweichung ∆λ zwischen den Iterationsschritten keinesfalls der
Genauigkeit von λ entspricht. Bei rekursiven Iterationen mit ungünstigem Konvergenzverhalten
kann der wahre Wert selbst dann noch um Zehnerpotenzen vom Näherungswert abweichen, wenn
die Abweichung zwischen zwei Iterationsschritten bereits sehr klein ist. Das ist bei der Iteration von
λ zwar nicht der Fall, doch treten in der Hydraulik nicht selten implizite Gleichungen auf, bei denen
ein rekursives Iterationsverfahren überhaupt nicht konvergent ist.
Definiert man den dimensionslosen Ausdruck Moody = Re · λ · k
d
als Moody-Wert, so lautet die Grenzkurve zwischen dem hydraulisch rauen und dem Übergangsbereich
Moody = 200 ,
wobei Werte ≤ 200 den Übergangsbereich kennzeichnen und Werte über 200 den rauen Bereich.
Im rauen Bereich hängt λ nur von der relativen Rauigkeit ε = k /d ab, der Einfluss der Zähigkeit ist
vernachlässigbar. Experimentell wurde folgender empirischer Zusammenhang festgestellt:
Turbulente Rohrströmung S. 37