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HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL Gemäß des Impulssatzes muss die Änderung des Impulsstromes gleich der Summe der angreifenden äußeren Kräfte (plus Gewichtskraft) sein. Betrachtet man das vom Radius r und der Länge l gebildete Kontrollvolumen, weist die laminare und damit ausschließlich in x-Richtung erfolgende Strömung in beiden Stirnflächen denselben Impulsstrom und damit keine Änderung auf. Die aus der Druckkraft im Eintrittsquerschnitt, der längs der Zylindermantelfläche wirkenden Reaktionskraft infolge des Reibungswiderstandes – der sich bei laminarer Strömung ausschließlich in der Schubspannung τ äußert – und der Druckkraft im Austrittsquerschnitt gebildete Summe der äußeren Kräfte in x-Richtung muss daher ebenfalls Null sein: Äußere Kräfte in Strömungsrichtung: p 1 ·(r 2 ·π) − p 2 ·(r 2 ·π) + τ außen ·(2·r ·π ·l) = 0. Für die Schubspannung erhält man also τ außen = (p 2 − p 1 ) 2·l ·r . Die innere Schubspannung wirkt in Fließ- bzw. Achsenrichtung und ist positiv; die entgegengesetzt gerichtete äußere Schubspannung und demzufolge auch die Differenz p 2 − p 1 sind negativ und p 2 stets kleiner ist als p 1 . Es sei τ = τ innen ; dann gilt τ außen = −τ und daher τ = (p 1 − p 2 ) 2·l ·r . (4-1) Für r = 0 ist die Schubspannung demnach Null und nimmt proportional mit r zu. Der Wert an der Wand mit r = r 0 (Rohrradius) wird als (innere) Wandschubspannung τ 0 bezeichnet. Möchte man die Druckdifferenz durch den Reibungsverlust h r bzw. durch das Energieliniengefälle I E = Reibungsgefälle I r ersetzen, ist der Satz von BERNOULLI anzuwenden: 2 v 1 2·g + p 1 ρ ·g + z 1 = v 2 2 2·g + p 2 ρ ·g + z 2 + h v Für gleichförmigen, horizontalen Fluss ist v 1 2 2·g = v 2 2 2·g und z 1 = z 2 (h v = h r ). Es folgt p 1 − p 2 = ρ ·g ·h r und τ = ρ ·g ·h r 2·l ·r = ρ ·g ·I r 2 ·r. (4-2) Diese Beziehung (4-1) gilt auch bei geneigtem Rohr (τ in Rohrachsenrichtung), nicht hingegen Gl. 4-1, weil dann zu den Druckkräften noch Gewichtskräfte hinzutreten und die Druckdifferenz nicht nur von der Verlusthöhe bzw. die Schubspannung nicht nur von der Druckdifferenz abhängt. Ausgangspunkt für die Ermittlung der bei laminarem Fluss herrschenden Geschwindigkeitsverteilung ist das Ergebnis des obigen Beispieles (Nr. 35), wonach die Schubspannung τ proportional mit dem Radius von der Rohrachse nach außen zunimmt und an der Rohrwand den Wert τ 0 innehat. Da bei laminarer Strömung davon auszugehen ist, dass die Fließbewegung eines beliebigen Flüssigkeitsteilchens und damit aller Teilchen wand- bzw. rohrachsenparallel erfolgt, muss zwischen der Geschwindigkeit (in Achsenrichtung) und der Schubspannung die Beziehung 1-1 für newtonsche Flüssigkeiten gelten: τ = −η · dv dr . (4-3) [v] = m·s −1 Fließgeschwindigkeit (in Achsenrichtung); v = f (r) Laminare Rohrströmung S. 32
HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL [r] = m Radius (radiale Ortskoordinate normal zur Rohrachse). r weist zur Wand hin und damit in die entgegengesetzte Richtung von n in Gl. 1-1: r = r 0 − n, dr /dn = −1 und dv /dn = (dv /dr) · (dr /dn) = −dv /dr . [τ] = N·m −2 innere Schubspannung (in Achsenrichtung); τ = τ (r) = ρ ·g ·h r 2·l ·r (4-4) [l] = m Rohrlänge, Länge des betrachteten Rohrabschnittes 36.) Leite für stationäre, laminare Rohrströmung folgende Beziehungen ab: a) die Beziehung der Geschwindigkeit in einem beliebigen Punkt des Querschnittes und der Geschwindigkeit in der Rohrmitte und b) die Gleichung der Geschwindigkeitsverteilung! Für jede laminare Strömung newtonscher Flüssigkeiten gilt Formel 1-1 und für die laminare Rohrströmung im besonderen Gl. 4-4. Die beiden Ausdrücke für τ werden nun gegenübergestellt: −η · dv dr = ρ ·g ·h r 2·l ·r Nach Variablentrennung −η dv = ρ ·g ·h r 2·l ·r dr und Integration, wobei die von r oder v nicht abhängenden Ausdrücke h r / l und η zusammengefasst werden v − ⌡ ⌠ dv = ρ ·g ·h r 2·l ·η ·⌡ ⌠ r dr v max 0 −(v − v max ) = ρ ·g ·h r 4·l ·η ·r 2 , ergibt sich für v v = v max − ρ ·g ·h r ·r 2 4·l ·η . Da die Geschwindigkeit an der Rohrwand (r = r 0 ) Null beträgt, muss dort gelten 0 = v max − ρ ·g ·h 2 r ·r 0 4·l ·η , womit v max = ρ ·g ·h 2 r ·r 0 4·l ·η = ρ ·g ·h r ·d 2 16·l ·η ist. Für v als Funktion von r erhält man schließlich v (r) = ρ ·g ·h r ·(r 2 0 − r 2 ) 4·l ·η . Kennzeichnend für die laminare Rohrströmung ist also das parabolische Geschwindigkeitsprofil, nebenbei auch die Unabhängigkeit der Fließgeschwindigkeit im Rohr von der Wandrauigkeit (v Wand = 0). Bei kreisrunden Rohren ergibt die über der Querschnittsfläche aufgetragene Geschwindigkeitsverteilung ein Drehparaboloid, und da dessen Volumen gleich dem halben Volumen des umschreibenden Zylinders beträgt, ist die mittlere Geschwindigkeit genau halb so groß wie die maximale im Scheitel bzw. in der Rohrachse: v¯ = v max /2 . [v¯] = m·s −1 mittlere Fließgeschwindigkeit über den Rohrquerschnitt, v¯ = Q /A [v max ] = m·s −1 maximale Fließgeschwindigkeit, Geschwindigkeit in der Rohrachse Das Ergebnis des Beispiels Nr. 36 v max = ρ ·g ·h r ·r 0 2 4·η ·l r bzw. v = ρ ·g ·h r 4·η ·l · (r 0 2 − r 2 ) Laminare Rohrströmung S. 33
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