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HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL 3. AUFTRIEB UND SCHWIMMEN Der Auftrieb F A , den ein Körper erfährt wenn er in eine Flüssigkeit eingetaucht wird, ist eine aufwärts gerichtete Kraft, die gleich groß ist wie das Gewicht des von ihm verdrängten Flüssigkeitsvolumens. Die vertikale Wirkungslinie der Auftriebskraft verläuft durch den Schwerpunkt des verdrängten Flüssigkeitsvolumens – dem Verdrängungsschwerpunkt S V . Ist der Auftrieb F A gleich seiner Gewichtskraft G, dann schwimmt der Körper, wenn ein Teil seines Volumens aus der Flüssigkeit herausragt, und er schwebt, wenn er vollständig eingetaucht ist. Bei schwimmenden Körpern bezeichnet man die Flüssigkeitsoberfläche als Schwimmebene, die Schnittfläche des Körpers mit der Schwimmebene als Schwimmfläche oder Wasserlinienfläche. Im Gleichgewichtszustand liegen der Angriffspunkt der Gewichtskraft – das ist der Körperschwerpunkt S K – und der Verdrängungsschwerpunkt S V auf einer gemeinsamen vertikalen Wirkungslinie, der Schwimmachse [BOHL, 1989]. Die Lagestabilität eines schwebenden oder schwimmenden Körpers wird durch die Lage von S V und S K bestimmt: S V über S K : stabiles Gleichgewicht (Gewichtsstabilität). Der Körper kehrt nach dem Wegfall einer Störung oder Auslenkung wieder in seine Ausgangslage zurück S V = S K : indifferentes Gleichgewicht. Stetige Körperdrehung durch Kraftwirkung, deren Schnelligkeit direkt proportional zur Kraftgröße ist. Im allg. nur bei Körpern mit homogener Massenverteilung (Kugeln oder Kreiszylinder) S V unter S K : das Gleichgewicht ist bei schwebenden Körpern labil. Eine angreifende Kraft verursacht eine Kippbewegung bzw. eine Drehung des Körpers, bis er in eine stabile (Schwimm-)Lage gelangt. Schwimmende Körper nehmen trotz des unterhalb des Körperschwerpunktes liegenden Verdrängungsschwerpunktes dann eine stabile Lage ein, wenn in leicht verdrehter Lage (infolge eines Störmomentes) die Auftriebskraft im neuen Verdrängungsschwerpunkt S V ' und die Gewichtskraft in S K ein rückdrehendes Moment bilden bzw. wenn das Metazentrum M über S K liegt (Formstabilität). Das Metazentrum M ist der Schnittpunkt der (vertikalen) Wirkungslinie der Auftriebskraft F A mit der Schwimmachse in gedrehter Lage, sein Abstand von S K die metazentrische Höhe h m . h m ist positiv, wenn M über S K liegt und damit die Formstabilität gegeben ist, andernfalls negativ. Ist h m = 0, liegt eine indifferente Schwimmlage vor, ist h m < 0, eine labile; der Körper kentert. h m = I S V − h K [h m ] = m metazentrische Höhe [I S ] = m 4 Flächenträgheitsmoment der Schwimmfläche, bezogen auf die Schwimmachse [V] = m 3 Verdrängungsvolumen [h K ] = m Abstand zwischen S K und S V bei vertikaler Schwimmachse. h K ist positiv, wenn S K über S V liegt. Auftrieb und Schwimmen S. 24
HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL 27.) Ein Stein hat in Luft das Gewicht G 1 und eingetaucht in Wasser das Gewicht G 2 . Berechne sein Volumen und die relative Dichte. G 1 = 400 N G 2 = 222 N 28.) Ein Aräometer hat das Gewicht G und besitzt am oberen Ende einen zylindrischen Hals mit dem Durchmesser d. Um wie viel wird es in Öl (ρ rel = 0,78) tiefer eintauchen als in Alkohol (ρ rel = 0,821)? G = 17,78×10 −3 N d = 2,534 mm 29.) Ein Holzblock schwimmt in Wasser, wobei er mit der Höhe t aus dem Wasser ragt. Legt man ihn in Glyzerin (ρ rel = 1,35), ragt er mit t 1 heraus. Bestimme die relative Dichte des Holzes. t = 34 mmt 1 = 67 mm 30.) Für einen Senkkasten aus Beton mit den in der Abbildung eingetragenen Abmessungen ist die Schwimmfähigkeit und die Schwimmstabilität zu untersuchen. Die Dichte des Betons beträgt ρ Beton = 2,20 t/m 3 . Auftrieb und Schwimmen S. 25
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