HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK ÃƒÂœbungsteil - Department ...

Institut für Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft 

Department Wasser-Atmosphäre-Umwelt 

Universität für Bodenkultur Wien 

LVA Nr. 815 100 

HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK 

Übungsteil 

Gerhard KAMMERER Wien, SS 06

HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK – ÜBUNGSTEIL 

INHALTSVERZEICHNIS 

INHALTSVERZEICHNIS ..................................................................................................................2 

ALLGEMEINES..................................................................................................................................4 

Lehrziel............................................................................................................................................5 

Lehrinhalt ........................................................................................................................................5 

Empfehlungen .................................................................................................................................5 

Lehrveranstaltungen .................................................................................................................5 

Skriptum...................................................................................................................................5 

Literatur....................................................................................................................................6 

1. EIGENSCHAFTEN VON FLÜSSIGKEITEN...............................................................................7 

1.1 Dichte .......................................................................................................................................7 

1.2 Gewicht ....................................................................................................................................7 

1.3 Zähigkeit...................................................................................................................................8 

1.4 Oberflächenspannung...............................................................................................................9 

1.5 Kapillarität..............................................................................................................................10 

1.6 Sättigungsdampfdruck............................................................................................................12 

1.7 Fluiddruck ..............................................................................................................................13 

2. HYDROSTATIK...........................................................................................................................16 

2.1 Hydrostatischer Druck auf ebene Flächen .............................................................................18 

2.2 Druck auf zusammengesetzte oder gekrümmte Oberflächen in Hauptlage ...........................20 

2.3 Flüssigkeiten in anderen Kraftfeldern ....................................................................................22 

3. AUFTRIEB UND SCHWIMMEN ...............................................................................................24 

4. HYDRODYNAMIK .....................................................................................................................26 

4.1 Grundlagen für die Berechnung von Strömungen..................................................................26 

4.2 Bernoulli-Gleichung...............................................................................................................27 

4.3 Erweiterte Bernoulli-Gleichung .............................................................................................30 

4.4 Laminare Rohrströmung ........................................................................................................31 

4.5 Turbulente Rohrströmung ......................................................................................................35 

4.5.1 Rohrrauigkeit ................................................................................................................36 

4.5.2 Berechnung des Rohrreibungsbeiwertes λ....................................................................37 

4.5.3 Rohrdurchmesser ..........................................................................................................40 

4.5.4 Berechnung der Verlusthöhe h v ....................................................................................41 

Inhaltsverzeichnis S. 2


4.6 Rohrleitungsberechnung.........................................................................................................43 

4.6.1 Grundfall 1....................................................................................................................43 

4.6.2 Grundfall 2....................................................................................................................44 

4.6.3 Grundfall 3....................................................................................................................44 

4.6.4 Grundfall 4....................................................................................................................44 

4.6.5 Grundfall 5....................................................................................................................46 

4.6.6 Grundfall 6....................................................................................................................48 

4.7 Teilfüllung im Kreisprofil ......................................................................................................53 

4.8 Nichtkreisförmige Querschnitte .............................................................................................55 

4.8.1 Vollfüllung im beliebigen Normprofil..........................................................................56 

4.8.2 Teilfüllung im beliebigen Normprofil ..........................................................................58 

4.9 Pumpenbemessung .................................................................................................................59 

4.9.1 Ermittlung des Bemessungspunktes .............................................................................59 

4.9.2 Leistungsbedarf.............................................................................................................59 

4.9.3 Zulässige Saughöhe ......................................................................................................60 

5. KRÄFTE BEI STATIONÄREN STRÖMUNGSVORGÄNGEN................................................63 

6. ABFLUSS IN OFFENEN GERINNEN........................................................................................66 

6.1 Stationär-gleichförmige Wasserbewegung ............................................................................66 

6.2 Hydraulisch günstiger Fließquerschnitt .................................................................................68 

6.3 Fließzustand in offenen Gerinnen ..........................................................................................69 

6.3.1 Grenzzustand im Rechteckprofil...................................................................................71 

6.3.2 Grenzzustand im symmetrischen Trapezprofil .............................................................71 

6.4 Stationärer, leicht ungleichförmiger Abfluss – Stau- und Senkungslinien ............................73 

6.4.1 Berechnung nach TOLKMITT .....................................................................................74 

6.4.2 Standard-Step-Verfahren ..............................................................................................78 

6.4.3 Inverse Probleme bei den Verfahren nach RÜHLMANN oder TOLKMITT ..............81 

6.5 Stationärer, stark ungleichförmiger Abfluss ..........................................................................84 

6.5.1 Überfälle .......................................................................................................................84 

6.6 Instationärer Abfluss ..............................................................................................................86 

7. GEOHYDRAULIK.......................................................................................................................87 

8. ANHANG......................................................................................................................................89 

8.1 Hydraulisch günstiges Trapezprofil bei vorgegebener Böschungsneigung ...........................89 

8.2 Froudesches Ähnlichkeitsgesetz ............................................................................................91 

8.3 Überfallbeiwert bei freien Überfällen und bei breitkronigen Wehren ...................................91 

LITERATURVERZEICHNIS ...........................................................................................................95 

Inhaltsverzeichnis S. 3


ALLGEMEINES 

Nummer der LV: 815 100 

Titel: 

Hydraulik und Hydromechanik 

Typ: 

Vorlesung mit Übungen (VU) 

Wochenstunden: SS 5.0 

Termine: siehe Stundenplan im Internet. Die Termine am Dienstag finden im Hörsaal 

XX in der Muthgasse und jene am Donnerstag im EH03 im Exner-Haus 

statt. Der Übungsteil wird voraussichtlich an folgenden Terminen abgehalten: 

18. Kalenderwoche: Di 02.05. 14:00–15:30 

19. Kalenderwoche: Di 09.05. 11:30–13:00 und 14:00–15:30 

20. Kalenderwoche: Di 16.05. 14:00–15:45 Do 18.05. 14:30–16:00 



23. Kalenderwoche: Do 08.06. 14:30–16:00 




Wechsel zwischen Vorlesungs- und Übungseinheiten sind kurzfristig möglich, 

werden jedoch zum vorhergehenden Termin (Vorlesungen oder Übungen) verlautbart. 

Stellung im Lehrplan: Pflichtfach im 2. Semester des Bakkalaureatstudiums Kulturtechnik und 

Wasserwirtschaft 

Vortragende: Vorlesungsteil: ao. Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Willibald LOISKANDL 

Übungsteil: Ass.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Gerhard KAMMERER 

Institut: 

Hydraulik und landeskulturelle Wasserwirtschaft, Muthgasse 18, Haus B 

(Emil-Perels-Haus), Stiege 2, 4. Stock (Department Wasser-Atmosphäre- 

Umwelt) 

Sprechstunden Dr. KAMMERER: im Büro (Zimmer 04/67) montags von 10–12 Uhr bzw. nach 

Vereinbarung (telefonisch unter Tel.Nr. 01 36006 5487 oder per E-Mail 

gerhard.kammerer@boku.ac.at) 

Anmeldung: nicht erforderlich; es sind jedoch die Angaben für das Programm entweder in 

der ersten (oder zweiten) Übungsstunde oder später in den Sprechstunden bei 

Dr. KAMMERER zu beziehen. Programmangaben, die in einem früheren 

Studienjahr bezogen wurden, sind nach wie vor gültig, selbst wenn sie schon 

über 10 Jahr alt sein sollten! 

Programm-Mappe: Die vier Programme sind nachvollziehbar auszuarbeiten und in einer blauen 

Flügelmappe, die zumindest mit Namen, Matrikelnummer und Programm- 

Angabennummer zu beschriften ist, abzugeben. Zu allen Beispielen sind Prinzipskizzen 

anzufertigen. 

Allgemeines S. 4


Leistungsnachweis: erfolgt für die gesamte Lehrveranstaltung als Kombinationsprüfung in zwei 

schriftlichen Teilen an einem Tag, wobei zuerst die Vorlesungs- und nach einer 

kurzen Pause die Übungsteilprüfung stattfindet. 

In der Übungsteilprüfung sind drei Rechenbeispiele zu lösen und gemeinsam 

mit der ausgearbeiteten Programm-Mappe abzugeben (auch im Falle der Prüfungswiederholung). 

Im Gegensatz zur Vorlesungsteilprüfung können hierbei 

die Übungsunterlagen, die Programm-Mappe, die Unterlagen zum Vorlesungsteil 

und sonstige Unterlagen verwendet werden. 

Prüfungshinweise: Aktuelles, Richtlinien zu den Durchführungsbestimmungen, Termine, Anmeldung 

und Noten sind in der Homepage des Institutes für Hydraulik und landeskulturelle 

Wasserwirtschaft 

http://www.wau.boku.ac.at/ihlw.html 

unter „Prüfungen“ zu finden. Bei Problemen bitte das Sekretariat (per Mail 

dietmar.fellner@boku.ac.at oder Tel.Nr. 01 36006 5450) kontaktieren. 

Sobald die Prüfungen beurteilt sind, werden die Ergebnisse anonymisiert im 

Internet und per Aushang vor dem Institut (4. Stock) bekannt gegeben. Detailergebnisse 

für die Kombinationsprüfung sind auf der Programm-Mappe (auch 

bei negativem Abschluss!) vermerkt, die vormittags im Sekretariat des Instituts 

im 2. Stock bei Fr. NOWOTNY unbedingt abzuholen ist. 

Lehrziel 

Die Übungen sollen die Anwendung der Grundkenntnisse aus der klassischen Hydraulik und aus 

der Geohydraulik für ingenieurtechnische Aufgaben vermitteln und damit eine hydraulische 

Berechnung, Bemessung oder Dimensionierung wasserbaulicher Vorhaben ermöglichen. 

Lehrinhalt 

Hydrostatik, Rohrhydraulik, Gerinnehydraulik, Wehrhydraulik, Geohydraulik 

Empfehlungen 

Lehrveranstaltungen 

Vorausgehende Lehrveranstaltungen: 

875 . 101 VU Mechanik MOLIN 

Weiterführende Lehrveranstaltungen: 

815 . 300 VU Hydrodynamik LOISKANDL 

Skriptum 

Die Beispielangaben variieren von Studienjahr zu Studienjahr. Darüber hinaus wird versucht, die 

erklärenden allgemeinen Texte in den Übungsunterlagen mitunter zu verbessern bzw. zu erweitern. 

Sie stellen eine Ergänzung zu den Unterlagen für den Vorlesungsteil dar und umfassen die wich- 

Allgemeines S. 5


tigsten, jedoch keineswegs alle Ansätze zur Lösung der Beispiele. Die Vorlesungsunterlagen sind 

daher nicht nur unabdingbar für die Theorie des Stoffes, sondern auch zur Lösung vieler Übungsbeispiele 

und auch der Prüfungsbeispiele des Übungsteils. 

Daraus folgt unmittelbar, dass die Übungsunterlagen weder den gesamten Lehrinhalt des Übungsteils 

abdecken noch für die Teilprüfungsvorbereitung ausreichend sind. 

Die Übungsunterlagen des aktuellen Jahrgangs als auch des vorangegangenen Jahrgangs können als 

pdf-Dokument im Internet unter der Adresse 

http://www.wau.boku.ac.at/4400.html 

heruntergeladen werden. Die alten Unterlagen enthalten zu rund einem Drittel andere Beispiele als 

die des laufenden Jahrgangs und stellen daher eine zusätzliche Quelle für die Prüfungsvorbereitung 

bzw. für die Vertiefung des Stoffs dar. Für den Prüfungsstoff sind immer die Studienunterlagen und 

die Vorlesung des aktuellen Jahrgangs maßgeblich, Wenn also zwischen dem Lehrveranstaltungsbesuch 

und der Prüfungsvorbereitung mehrere Studienjahre verstrichen sein sollten, ist das Herunterladen 

der aktuellen Version der Übungs- und Vorlesungsunterlagen ratsam. 

Literatur 

Die beiden folgenden Bücher enthalten etliche durchgerechnete Beispiele und viele Beispielangaben 

mit Lösungen. Das erste Buch zeichnet sich durch eine eher knappe und das zweite durch eine 

vorzügliche Darstellung der Theorie aus; dieses ist daher als Lehr- und als Übungsbuch gleichermaßen 

gut geeignet. Beide Werke decken allerdings nicht den gesamten Stoffumfang ab, insbesondere 

nicht die Geohydraulik. 

GILES R. 1977. Fluid Mechanics and Hydraulics. 2 nd ed SI (metric) edition. New York: McGraw- 

Hill Book Company, Schaum´s Outline Series 

STREET R L, WATTERS G Z, VENNARD J K. 1996. Elementary Fluid Mechanics. 7 th ed. New 

York: John Wiley & Sons, Inc 

Allgemeines S. 6


1. EIGENSCHAFTEN VON FLÜSSIGKEITEN 

1.1 Dichte 

Flüssigkeiten sind annähernd dichtebeständige Fluide, d. h. die Abhängigkeit der Dichte von der 

Temperatur und vom Druck ist für die meisten Anwendungsfälle vernachlässigbar klein. Die Dichte 

ist dann auch ortsunabhängig und an Stelle des Differenzialquotienten kann der einfache Quotient 

eines masseerfüllten Kontinuums gesetzt werden: 

ρ = 

Masse 

Volumen = m V 

[ρ] = kg·m −3 Dichte 

[m] = kg Masse 

[V] = m 3 Volumen 

Die Dichte von Wasser weist bei 4 °C ihr Maximum mit ρ W = 999,97 kg/m 3 auf und beträgt z. B. bei 

20 °C 998,21 kg/m 3 . Auf Grund der geringen Abhängigkeit von der Temperatur und vom Druck 

wird in den Übungen generell – sofern nicht anders angegeben – mit ρ W = 1,00×10 3 kg/m 3 gerechnet. 

1.2 Gewicht 

Gemäß NEWTON unterliegt die Masse im Schwerefeld der Erde einer Anziehungskraft, dem Gewicht: 

F = G · M ·m 

r 2 

[F] = kg·m·s −2 Gewicht 

[G] = m 3·kg −1·s −2 newtonsche Gravitationskonstante; G = (6,6742±0,0010)×10 −11 −2 

m 

3·kg 

−1·s 

[M] = kg Erdmasse; M = 5,977×10 24 kg 

[m] = kg Masse des betrachteten Objektes 

[r] = m Abstand der Schwerpunkte 

Für Flüssigkeiten nahe der Erdoberfläche kann für r der durchschnittliche Erdradius R gesetzt werden. 

Werden die somit bekannten Größen G, M und r zur Fallbeschleunigung g zusammengefasst 

g = G ·M /R¯2 , 

[R¯] = m durchschnittlicher Erdradius; R¯ = 6371000 m (am Äquator: R = 6378,140 km, 

Polarradius R = 6356,755 km) 

ergibt sich das Gewicht einer Masse vereinfacht zu 

F = g ·m. 

[g] = m·s −2 Fallbeschleunigung. Der Normwert beträgt für Österreich und international 

g n = 9,80665 m/s 2 und schwankt zwischen 9,7960 m/s 2 (Gipfel des Großglockners) 

und 9,8095 m/s 2 (nördliches Niederösterreich) [ON V118, 1996]. In 

den Übungen wird einheitlich mit g = 9,81 m/s 2 gerechnet. 

Eigenschaften von Flüssigkeiten S. 7


1.) Berechne die Dichte ρ und die relative Dichte ρ rel einer Ölsorte mit dem Volumen V 

und dem Gewicht G. 

G = 46,8 kN 

V = 5,60 m 3 

1.3 Zähigkeit 

Als Zähigkeit wird jenes Verhalten von Flüssigkeiten bezeichnet, der Verschiebung von Flüssigkeitsteilchen 

gegeneinander einen (geringen) Widerstand oder innere Reibung entgegenzusetzen. 

Ein Maß für die Zähigkeit ist die dynamische Viskosität η, die bei laminarer Strömung newtonscher 

Flüssigkeiten als Proportionalitätsfaktor zwischen der herrschenden Schubspannung und dem 

Geschwindigkeitsgradienten definiert ist: 

τ = η · dv 

dn 

(1-1) 

[τ] = kg·m −1·s −2 Schubspannung 

[η] = kg·m −1·s −1 dynamische Viskosität 

[v] = m·s −1 Fließgeschwindigkeit 

[n] = m Ortskoordinate normal zur Bewegungsrichtung 

Die Dimension der dynamischen Viskosität η ist daher dim η = M L −1 T −1 , die Einheit [η] = N·s·m −2 

oder Pa·s. η ist eine stark temperaturabhängige (und strömungsabhängige) Stoffgröße. 

Eine davon abgeleitete Stoffgröße ist der Quotient aus der dynamischen Viskosität und der Dichte 

ν = η ρ . 

[ν] = m 2·s −1 kinematische Viskosität 

Diese abgeleitete Größe ist unabhängig vom Masse- und Kraftbegriff und daher eine kinematische 

Größe. ν wird demnach als kinematische Viskosität bezeichnet. 

Als Näherungsformel für die Temperaturabhängigkeit der kinematischen Viskosität von Wasser 

kann nach POISEUILLE [zitiert in BOLLRICH und PREISZLER, 1990] folgende Funktion (in 

Form einer zugeschnittenen Größengleichung) benutzt werden: 

ν H2O (t) 

1,78×10 −6 

−1 

m 

2·s 

= 

1 + 0,0337·(t / °C) + 0,000221·(t / °C) 2 (1-2) 

[ν H2O ] = m 2·s −1 kinematische Viskosität von Wasser 

[t] = °C vorgegebene Temperatur 

2.) Eine laminar strömende Flüssigkeit besitzt die dynamische Viskosität η. Berechne die 

Geschwindigkeit, den Geschwindigkeitsgradienten und die Schubspannung an der 

Berandung und in einer Entfernung n = 25 mm, 50 mm und 75 mm unter der Annahme, 

dass 

a) eine lineare Geschwindigkeitsverteilung und 



b) eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung 

vorliegt! 

η = 0,048 Pa·s 

In beiden Fällen betrage die Geschwindigkeit 

v an der Berandung (n = 0) 0 m/s und an der 

Stelle n = 75 mm, an der sich bei b) der 

Parabelscheitel (= v max ) befindet, 1,125 m/s. 

1.4 Oberflächenspannung 

Verantwortlich für die Oberflächenspannung sind die nach verschiedenen Richtungen unterschiedlich 

starken intermolekularen Anziehungskräfte [MORTIMER und MÜLLER, 2003], also Dipol- 

Dipol-Kräfte bei polaren Molekülen, Wasserstoffbrücken und bei unpolaren Molekülen London- 

Kräfte. Stoffe weisen im flüssigen Zustand wesentlich größere Dichten und damit geringere mittlere 

Teilchenabstände auf als im gasförmigen. Während Moleküle im Inneren einer Flüssigkeit von allen 

Seiten gleich starken Anziehungskräften unterliegen, werden sie an der Grenzfläche zu einer 

Gasphase bzw. zu Gasgemischen wie Luft von der flüssigen Phase viel stärker angezogen als von 

der Gasphase. Daraus folgt, dass für die Verschiebung von Molekülen an der Grenzfläche in 

Richtung der Gasphase bzw. für die Vergrößerung der Flüssigkeitsoberfläche (bzw. des Abstandes 

zu seinen flüssigen Nachbarmolekülen) Arbeit verrichtet werden muss. Der Quotient aus der Arbeit, 

die zur Vergrößerung der Oberfläche erforderlich ist, und der Größe des Flächenzuwachses wird als 

Oberflächenspannung σ bezeichnet: 

σ = Arbeit 

Fläche = Kraft 

Länge 

[σ] = N·m −1 Oberflächenspannung 

Die Dimension von σ wird demnach gebildet aus Kraft/Länge: dim σ = M L T −2 L −1 = M T −2 . Nachdem 

Moleküle im Inneren von Flüssigkeiten stark vereinfacht betrachtet von 12 Nachbarmolekülen 

angezogen werden und solche an der Grenzfläche von 9, beträgt die Energie, die man aufwenden 

muss, um ein Molekül an die Oberfläche zu bringen, etwa ein Viertel derjenigen, um es ganz aus 

der Flüssigkeit zu befreien. Die Oberflächenenergie pro Molekülfläche beträgt also etwa ¼ der 

Verdampfungsenergie bzw. der latenten Energie [VOGEL, 1999]. 

Die experimentelle Bestimmung der Oberflächenspannung kann z. B. mit der Blasendruckmethode, 

mit der Steighöhenmethode, mit dem Du-Noüy-Tensiometer, mit der Wilhelmy-Platten-Methode 

und mit anderen Verfahren erfolgen. Bei 20 °C beträgt die Oberflächenspannung von (reinem) 

Wasser gegen Luft σ = 0,0728 N/m. Allerdings können kleinste Verunreinigungen die Oberflächenspannung 

von Wasser stark verändern. Die Oberflächenspannung nimmt mit steigender Temperatur 

ab (σ (t = 10 °C) = 0,0742 N/m). 

3.) Ein kleiner Wassertropfen steht bei der Temperatur t mit Luft in Kontakt und hat einen 

Durchmesser d. Wie groß ist die Oberflächenspannung, wenn der Druck im Inneren 

des Tröpfchens um p größer ist als der Atmosphärendruck? 

t = 25 °C d = 0,04 mm p = 610 Pa 



4.) Wie groß ist der Kohäsionsdruck im Inneren einer Luftblase mit dem Durchmesser d 

in Wasser? 

d = 5,0 mm 

σ = 0,073 N/m 

5.) Ein Wassertropfen hängt an einem Rohr mit dem Außenradius r 0 , 

aus dem Flüssigkeit nachdringt, bis der Tropfen unter seinem eigenen 

Gewicht abreißt. Wie schwer wird der Tropfen und welchen 

Radius nimmt er – als Kugel genähert – ein? 

σ = 0,0728 N/m 

r 0 = 1,0 mm 

1.5 Kapillarität 

Die Oberflächenspannung als Resultat unterschiedlicher Anziehungskräfte an der Oberfläche von 

Flüssigkeiten gegenüber Gasen ist nur ein Spezialfall von Grenzflächenspannungen zwischen beliebigen 

Stoffen, die eine eigene Phase bilden. Stoßen z. B. eine Gasphase (Gasgemische, Dämpfe; 

z. B. Luft (1)), ein tropfbares Fluid (Flüssigkeit; z. B. Wasser (2)) und ein fester Stoff (3) zusammen, 

so treten drei Randspannungen auf, wobei die Grenzflächenspannung zwischen einem tropfbaren 

Fluid (Flüssigkeit) und der Gasphase als Oberflächenspannung (σ 12 ) und der Spannungsunterschied 

zwischen den zwei Fluiden und dem festen Stoff als Haftspannung bezeichnet wird 

(σ 13 − σ 23 ) [BOHL, 1989]. Je nach der Größe der drei Randspannungen bildet sich an der Schnittlinie 

der drei Begrenzungsflächen ein Benetzungswinkel α zwischen dem festen Stoff und der 

Grenzfläche 12 aus. Wenn die Oberfläche 12 in Ruhe verharrt, müssen die Grenzflächenspannungen 

im Berührungspunkt B der untenstehenden Skizze im Gleichgewicht sein und es muss in 

Wandrichtung (nach unten gerichtete x-Achse) für die Summe der x-Komponenten der Spannungsvektoren 

gelten 

σ 13 x + σ 23 x + σ 12 x = 0. 

In vektorieller Schreibweise lässt sich diese Gleichung als Summe der Skalarprodukte der Spannungsvektoren 

mit dem Einheitsvektor in x-Richtung i = ⎜ ⎛ 1 

⎝ 0⎠ ⎟⎞ darstellen: 

σ 13 ·i + σ 23 ·i + σ 12 ·i = 0. (1-3) 

Um den funktionalen Zusammenhang zwischen den Oberflächenspannungen und dem Benetzungswinkel 

herzustellen, wird nun von Verhältnissen wie in der Abbildung 1-1 links ausgegangen. σ 13 

besitzt die Größe | σ 13 | = σ 13 und ist in diesem Beispiel nach oben bzw. in umgekehrter x-Richtung 

orientiert, σ 23 nach unten bzw. in x-Richtung (| σ 23 | = σ 23 ). 

Die Skalarprodukte der soeben durch Größe und Richtung festgelegten Vektoren sind definitionsgemäß 

anzusetzen mit a ·b = | a |·| b |·cos φ: 

|σ 13 |·| i |·cos π + | σ 23 |·| i |·cos 0 + | σ 12 |·| i |·cos α = 0 

σ 13·1·(−1) + σ 23·1·1 + σ 12·1·cos α = 0 

−σ 13 + σ 23 + σ 12 ·cos α = 0. 

Alternativ kann man die Spannungsvektoren und den Einheitsvektor durch ihre Richtungskomponenten 

angeben. Gleichung 1-3 nimmt für das Beispiel lt. Abbildung 1-1 links folgende Gestalt an 



⎛−σ 13⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 0 ⎠ 

·⎝⎜ ⎛ 1 

0 ⎠ ⎟⎞ + ⎝ ⎜⎛ σ 23 

0 ⎠ ⎟⎞ ·⎝ ⎜⎛ 1 

0 ⎠ ⎟⎞ + ⎝ ⎜⎛ σ 12·cos α 

σ ⎠ ⎟⎞ 12·sin α ·⎝ ⎜⎛ 1 

0 ⎠ ⎟⎞ = 0. 

Die zweidimensionalen Skalarprodukte sind gemäß a ·b = a 1 ·b 1 + a 2 ·b 2 zu bilden, sodass man für 

die Gleichung −σ 13·1 + 0·0 + σ 23·1 + 0·0 + σ 12 ·cos α · 1 + σ 12 ·sin α · 0 = 0 erhält. 

Für den Benetzungswinkel gilt also cos α = σ 13 − σ 23 

σ 12 

. (1-4) 

Abbildung 1-1: 

Benetzungswinkel α bei verschiedenen 3-Stoff-Systemen 

Je nach der Größe der drei Grenzflächenspannungen lassen sich verschiedene Fälle unterscheiden: 

– Ist wie in der Abbildung 1-1 links σ 13 < σ 23 und damit die Haftspannung negativ, muss σ 12 für 

ein Kräftegleichgewicht nach oben (in Richtung 13) gerichtet sein und α > 90°, es bildet sich 

eine konvexe Oberfläche bzw. eine Kapillardepression aus, das System ist nicht benetzend (z. B. 

Luft und Quecksilber gegen Glas). 

– Ist hingegen σ 13 > σ 23 , muss σ 12 nach unten weisen und α < 90°, es liegt eine konkave 

Oberfläche vor. Taucht man z. B. ein enges Röhrchen in eine Flüssigkeit, wird die Flüssigkeit 

im Inneren des Rohres hochgezogen (Kapillaraszension). 

– Wenn ein Festkörper die Moleküle einer Flüssigkeit stärker anzieht als diese einander bzw. die 

Adhäsionskräfte gegenüber den Kohäsionskräften überwiegen, ist σ 23 wie in der Abbildung 

1-1 Mitte entgegengesetzt orientiert. Das ist z. B. zwischen flüssigem Wasser und Glas der Fall. 

Die Grenzflächenspannung ist dann negativ (obwohl Grenzflächenspannungen an sich genauso 

wenig wie Drücke negativ sein können; darüber hinaus wurde σ 23 als Betrag eines Vektors festgelegt, 

der mathematisch auch nicht negativ sein kann. Negativ ist die Grenzflächenspannung in 

diesem Fall deswegen, weil σ 23 wegen seiner umgekehrten Orientierung mit negativem Vorzeichen 

in die Gleichung 1-4 einzusetzen ist, um den richtigen Benetzungswinkel zu erhalten. Den 

Regeln für die Vektorrechnung zufolge müsste man | σ 23 |·| i |·cos π ansetzen, was natürlich dasselbe 

ergibt). Ein Drei-Stoff-System, dessen Oberflächenspannungen sich wie diejenigen in der 

Abbildung 1-1 Mitte verhalten, ist benetzend. Ein solches System bilden z. B. Wasser und Luft 

zusammen mit Glas. Ein System, in dem die Oberflächenspannung σ 23 negativ ist, muss nicht 

zwangsläufig einen Kapillaranstieg ergeben. Es wäre z. B. denkbar, dass für das Fluid (1) 

anstelle Luft ein Fluid gesetzt wird, das gegenüber der festen Wand (3) eine noch negativere 

Oberflächenspannung aufweist als (2) und die Haftspannung daher negativ ist. 



– Negative Grenzflächenenergien zwischen zwei Flüssigkeiten führt zur völligen Durchmischung; 

die beiden Flüssigkeiten können keine getrennten Phasen ausbilden. 

– Wenn die Haftspannung größer ist als die Oberflächenspannung (σ 13 − σ 23 > σ 12 ), gibt es keinen 

Benetzungswinkel, mit dem ein Kräftegleichgewicht erzielbar wäre; der Stoff (2) überzieht die 

gesamte Oberfläche der festen Wand (z. B. Petroleum)(siehe Abbildung 1-1 rechts). 

Für die Messung des Benetzungswinkels α gibt es Spezialinstrumente, die nach der Sessile-Drop- 

Methode oder nach der Tilting-Plate-Methode arbeiten [BREZESINSKI und MÖGEL, 1993]. 

6.) Eine kreiszylindrische Kapillare ist in 

eine Flüssigkeit eingetaucht. Gib eine 

Herleitung für die Steighöhe h an, wenn 

der Benetzungswinkel α und die Oberflächenspannung 

σ 12 bekannt sind! 

1.6 Sättigungsdampfdruck 

Entsprechend ihrer kinetischen Herkunft aus der Boltzmann-Verteilung [VOGEL, 1999] lässt sich 

die Abhängigkeit des Sättigungsdampfdrucks p S über einer freien Oberfläche reinen Wassers durch 

folgende Funktion (in Form einer zugeschnittenen Größengleichung) darstellen [SMITH, 1992]: 

pS () t 

= 611⋅e 

Pa 

⎛ 17,27 ⋅t 

/°C ⎞ 

⎜ 

⎟ 

⎝t 

/°C+ 

237,3⎠ 

(1-5) 

[p S ] = Pa Sättigungsdampfdruck 

[t] = °C Temperatur 

Einzelne Tabellenwerte sind auch im Vorlesungsskriptum [LOISKANDL] zu finden. Sinkt der 

Druck in einer Flüssigkeit unter den Sättigungsdampfdruck, beginnt die Flüssigkeit zu verdampfen 

(genau genommen gehen mehr Wassermoleküle von der Flüssigkeit in die Umgebungsluft über als 

umgekehrt Wasserdampfmoleküle von der Flüssigkeitsoberfläche aufgenommen werden); steigt er 

wieder an, kondensiert der Dampf. Bei einem Atmosphärendruck p at = 1000 hPa (≡ 1 bar) herrscht 

übrigens bei 0 °C ein Sättigungsdampfdruck von lediglich 17 hPa (= 17 mbar), das heißt, dass im 

Gleichgewichtszustand über einer freien Wasseroberfläche 17 von 1000 Gasmolekülen H 2 O- 

Moleküle sind [FLÜHLER, 1991]. Trotzdem ist Wasserdampf hinter Stickstoff, Sauerstoff und 

Argon und noch vor Kohlendioxid das vierthäufigste Gas in der Atmosphäre. 



1.7 Fluiddruck 

p = Normalkraft F n 

Fläche A 

bzw. p = dF n 

dA 

[p] = N·m −2 ≡ Pa Druck. Die Dimension des Drucks ist dim p = M L −1 T −2 

Der Druck ist eine skalare Größe, d. h. er ist in einem Punkt eines Fluids (Flüssigkeit, Gas, Dampf) 

nach allen Richtungen gleich groß (Satz von PASCAL). Für den Druck ist in der Hydraulik neben 

der normgerechten Einheit Pa auch die Einheit bar gebräuchlich: 

1bar ≡ 10 5 Pa. 

Man kann den Druck auch als Druckhöhe angeben: 

h p = p 

ρ ·g 

[h p ] = m Druckhöhe 

[p] = Pa Druck 

[ρ] = kg·m −3 Dichte der Flüssigkeit 

Umgekehrt gilt p = h D ·ρ H2O ·g . 

Die Druckhöhe von 1 m Wassersäule entspricht daher einem Druck in der Einheit Pascal von 

1 m×9,81 m/s 2 ×1000 kg/m 3 = 9810 Pa = 9,81 kPa = 0,0981 bar. 

Umgekehrt entspricht der Druck von 1 bar einer Druckhöhe in der Einheit m von 

1 bar 

9,81 m/s 2 ×1000 kg/m 3 = 10 5 −2 

Pa 100 000 kg·m−1·s 

−2 

9810 kg·m 

−2·s 

= −2 

9810 kg·m 

−2·s 

= 10,19 m WS. 

Drücke können nur in Relation zu einem Bezugsdruck p 0 gemessen werden und wären demnach 

genau genommen als relative Drücke (früher: Überdruck) zu bezeichnen. Wird als Bezugsdruck der 

Druck im absoluten Vakuum herangezogen, spricht man vom absoluten Druck. Bezugsdrücke sind 

immer als Absolutdrücke anzugeben. 

Sofern nicht extra ausgewiesen, ist unter dem Druck immer der relative Druck mit dem herrschenden 

Luftdruck als Bezugsdruck zu verstehen (es ist zu beachten, dass die Luftdruckangabe in der 

Meteorologie ein um die Seehöhe korrigierter bzw. auf Meeresniveau bezogener Wert ist!). Der 

absolute Druck an einem Punkt im Raum ist dann die Summe des relativen, auf den Luftdruck 

bezogenen Drucks und des (absoluten) Bezugsdrucks bzw. Luftdrucks p 0 : 

p abs = p 0 + p rel 

[p abs ] = Pa absoluter Druck 

[p 0 ] = Pa Bezugsdruck; z. B. atmosphärischer Luftdruck. p 0 ist immer ein Absolutdruck. 

[p rel ] = Pa relativer Druck 

Bei vielen hydraulischen Problemstellungen ist die Kenntnis des Absolutdrucks bzw. des Luftdrucks 

nicht erforderlich. Eine Ausnahme hiervon ist z. B. die Ermittlung der zulässigen Saughöhe 

für Pumpen. 

Flüssigkeitsdruck S. 13


Der Luftdruck in der Atmosphäre nimmt mit der Höhe über dem Meeresspiegel deutlich ab; die 

Abhängigkeit vom Wettergeschehen ist weniger ausgeprägt. Näherungsweise kann daher von der 

Höhenlage auf den Luftdruck geschlossen werden und umgekehrt vom Luftdruck auf die Höhe über 

dem Meeresspiegel. Für diesen Zweck hat die ICAO (International Civil Aviation Organization) 

eine Normatmosphäre mit folgenden Bezugswerten auf Meereshöhe definiert: 

Luftdruck p 0 = 1013,25 hPa 

Lufttemperatur t 0 = 15 °C 

Luftdichte ρ 0 = 1,225 kg/m 3 

Vom Meeresniveau bis in eine Höhe von 11 km wurde ein Temperaturgradient von dT /dz = 

−0,0065 K/m für die Normatmosphäre angenommen. 

Ist die auf einem bestimmten Höhenniveau aktuelle Temperatur tiefer als die der Normatmosphäre, 

ist der Luftdruck höher, bei höherer Temperatur kleiner als der entsprechende Luftdruck der Normatmosphäre. 

Die Schwankungsbreite infolge des Wettergeschehens kann durch den höchsten je 

gemessenen Luftdruckwert von 1083,8 mbar in Ostsibirien [BOHL, 1989] und den Druck im Inneren 

tropischer Wirbelstürme von 880 mbar umrissen werden. 

Tabelle 1-1: 

Abhängigkeit des Luftdrucks der Normatmosphäre von der Höhenlage 

Höhe über Meeresspiegel 0 m 1000 m 2000 m 3000 m 8000 m 10000 m 

Luftdruck p 0 / hPa 1013,25 898,74 794,95 701,08 354 258 

Der Druck ist eine maßgebliche Kenngröße hydraulischer Maschinen wie Pressen, Hebeböcke 

Nietmaschinen etc.. Die wesentliche Aufgabe solcher Maschinen ist oft entweder eine Druck- oder 

eine Kraftübersetzung. Während bei den Druckübersetzern zwei Fluidräume vorliegen, die durch 

den Übersetzerkolben getrennt werden, schließen bei den Kraftübersetzern zwei bewegliche Kolben 

einen Fluidraum ab. 

Druckübersetzer (Schema) 

hydraulischer Hebebock (Kraftübersetzer; Schema) 

A... Druckluftzylinder B... Druckwasserzylinder 

K... Druckluftkolben T ... Tauchkolben 

a .... Druckluftleitung b.... Druckwasserleitung 

(Zuleitung) 

(Ableitung) 

c .... offener Stutzen (Verbindung zur atmosphärischen 

Luft) 

K Lastkolben T...Tauchkolben 



7.) Zwei Druckwasserkammern sind durch ein selbsttätiges Hubventil 

(Tellerventil) voneinander getrennt. Der Durchmesser des 

Ventiltellers beträgt 120 mm, der Durchmesser der Ventilsitzöffnung 

90 mm und der absolute Druck in der oberen Kammer 

p abs = 25 bar. 

Bestimme den erforderlichen absoluten Mindestdruck in der unteren Kammer, damit 

sich das Ventil öffnet! 

8.) Der Tauchkolbendurchmesser d in einem 

Gewichtsakkumulator beträgt 350 mm, der Hub 

s = 1200 mm und die Belastung G = 18 t. 

Bestimme: 

a) den (relativen) Flüssigkeitsdruck 

b) die Gesamtdruckenergie bei vollem Hub. 



2. HYDROSTATIK 

Die Hydrostatik ist die Lehre von den ruhenden Flüssigkeiten und den Kräften, die sich in ihnen 

unter der Wirkung äußerer Kräfte ausbilden. Die Grundaufgabe der Hydrostatik ist die Bestimmung 

der Druckverteilung (des „Druckfeldes“) in einer homogenen schweren Flüssigkeit. 

Die allgemeine Wasserdruckgleichung als Folge des Schwerefeldes der Erde lautet 

p W = ρ W ·g ·z 

[p W ] = N·m −2 Wasserdruck (relativer Druck mit p 0 als Bezugsdruck) 

[ρ W ] = kg·m −3 Dichte von Wasser, kann als konstant angesehen werden: ρ W = 1000 kg/m 3 

[z] = m Zum Erdschwerpunkt gerichtete Ortskoordinate mit Nullpunkt an der Wasseroberfläche 

Allgemein gilt für den Druck in einer Tiefe z für Flüssigkeiten, wenn außer der Erdanziehung keine 

weiteren äußeren Kräfte herrschen 

p = p 0 + ρ ·g ·z 

[p] = N·m −2 absoluter Flüssigkeitsdruck 

[p 0 ] = N·m −2 Bezugsdruck bzw. absoluter Druck auf Höhe der Bezugsebene, z. B. Luftdruck 

auf freier Wasseroberfläche 

[ρ] = kg·m −3 Dichte der Flüssigkeit 

[z] = m Zum Erdschwerpunkt gerichtete Ortskoordinate mit Nullpunkt auf Höhe der 

Bezugsebene 

Der Druck nimmt demnach mit der Tiefe linear zu. 

9.) Bestimme den Druck in einer Tiefe h unter der freien Wasseroberfläche. 

h = 6,00 m 

10.) Bestimme den Druck in einer Tiefe h in Öl. 

h = 10,00 m ρ rel = 0,750 

11.) Bestimme den absoluten Druck in Aufgabe 9, wenn das Barometer H mm Quecksilbersäule 

zeigt. 

H = 760 mm ρ rel Hg = 13,57 

12.) In welchen Tiefen herrscht in Öl (ρ rel = 0,75) und in Wasser ein Druck p? 

p = 2,75 bar 

13.) a) Rechne die Druckhöhe h von Wasser in die entsprechende Höhe für Öl 

(ρ rel = 0,750) und 

b) rechne die Druckhöhe H von Quecksilber (ρ rel = 13,57) in die entsprechende 

Höhe für Öl um. 

h = 15,0 m 

H = 600 mm 

Hydrostatik S. 16


14.) Wie groß muss die Kraft P sein, die das abgebildete System im Gleichgewicht hält, 

wenn das Gewicht von A vernachlässigt wird? 

b) Was würde sich ändern, wenn keine Erdanziehung 

vorläge? 

Grundfläche Kolben A: A A = 4,00×10 −3 m 2 

Grundfläche Zylinder B: A B = 0,400 m 2 

Der Behälter und die Verbindungsrohre 

sind mit Öl (ρ rel = 0,75) gefüllt. 

Gewicht des Zylinders B G B = 40,0 kN 

15.) An dem Manometer bei A liest man p ab. Bestimme 

a) die Höhe der Flüssigkeiten in den offenen Piezo- 

Rohren E, F und G und 

b) die Auslenkung h 1 des Quecksilbers im U-Rohr- 

Manometer. 

p = −17200 Pa 

Das Gewicht der Luft wird vernachlässigt. 

16.) Der Druckverlust durch einen Rohreinbau X soll mit 

einem Differenzialmanometer gemessen werden, das 

Öl (ρ rel = 0,75) als Manometerflüssigkeit enthält. Die 

Strömungsflüssigkeit weist eine Dichte ρ rel = 1,50 auf. 

Berechne den Druckhöhenunterschied zwischen A 

und B, der zu der in der Skizze angegebenen 

Ölauslenkung führt. 

Hydrostatik S. 17


2.1 Hydrostatischer Druck auf ebene Flächen 

Bei ebenen Flächen kann die resultierende Kraft direkt angesetzt werden (die Ermittlung aus der 

Horizontal- und Vertikalkomponente bedeutet keine Vereinfachung). Die Größe F der resultierenden 

Druckkraft F auf eine ebene Fläche ist gleich dem Produkt aus dem für den Flächenschwerpunkt 

geltenden Druck und der Größe der gedrückten Fläche. 

F = ρ ·g ·z S ·A 

[F] = kg·m·s −2 Größe der resultierende Druckkraft, normal zur gedrückten Ebene gerichtet 

[A] = m 2 gedrückte ebene Fläche 

[z S ] = m Abstand des Schwerpunktes von A von der Flüssigkeitsoberfläche (die z-Achse 

weist vertikal von dieser nach unten) 

Die Druckkraft F greift hierbei nicht im Schwerpunkt der Fläche, sondern auf Grund der Zunahme 

des Drucks mit der Tiefe im darunter liegenden Druckmittelpunkt D an: 

y M = 

I x 

y S ·A 

[y M ] = m y-Abstand des Druckmittelpunktes von der Schnittlinie der Wandebene mit dem 

Flüssigkeitsspiegel (= x-Achse). Die y-Achse verläuft von der Flüssigkeitsoberfläche 

in der Falllinie der die Wand A enthaltenden Ebene nach unten 

[I x ] = m 4 Flächenträgheitsmoment von A bezüglich der x-Achse (Schnittlinie der 

Wandebene mit dem Flüssigkeitsspiegel) 

[y S ] = m y-Abstand des Flächenschwerpunktes von A von der x-Achse 

Durch die Zuhilfenahme des Satzes von STEINER kann das Trägheitsmoment um die x-Achse I x 

durch das Trägheitsmoment I S um den Flächenschwerpunkt von A ersetzt werden: 

y M = 

I S 

y S ·A + y S = e y + y S 

[I S ] = m 4 Flächenträgheitsmoment von A bezüglich der Horizontalen durch den Flächenschwerpunkt 

[e y ] = m Exzentrizität (Ausmittigkeit); y-Abstand Flächenschwerpunkt S – Druckmittelpunkt 

D 

17.) Bestimme die durch den Wasserdruck hervorgerufene resultierende 

Kraft auf die rechteckige Platte AB sowie deren 

Kraftangriffspunkt von O. 

h 1 = 2,00 m 

h 2 = 2,50 m 

A AB = b ·h 2 = 1,00 m×2,50 m = 2,50 m 2 

Hydrostatik S. 18


18.) Bestimme die durch das Wasser hervorgerufene resultierende Kraft auf die Dreiecksfläche 

und den Kraftangriffspunkt. 

z A = 2,00 m 

h = 1,50 m 

b = 1,00 m 

α = 45° 

19.) Ein rechtwinkeliges Dreieck liegt in einer um 45° geneigten Ebene mit der Kathete b 

um y 0 schräg unter dem Wasserspiegel. 

Zu ermitteln sind 

a) die Größe der Wasserdruckkraft F auf das 

Dreieck und 

b) die Lage des Druckmittelpunktes D. 

b = 2,00 m 

h = 1,00 m 

y 0 = 1,00 m 

20.) In der vertikalen Seitenwand eines Wasserbehälters befindet sich eine kreisrunde 

Öffnung von 300 mm Durchmesser, die mit einer drehbar gelagerten Klappe verschlossen 

wird. Die waagrechte Drehachse liegt 190 mm über dem Mittelpunkt der 

Öffnung. An der Klappe ist ein waagrechter Hebel befestigt. Er trägt einen verschiebbaren 

Belastungskörper, dessen Gewichtskraft die Klappe andrückt. Die Klappe soll 

sich selbsttätig öffnen, sobald der Wasserstand die Höhe von 0,8 m über dem Mittelpunkt 

der Öffnung erreicht. Dabei soll der Belastungskörper in 550 mm Abstand von 

der Drehachse stehen. Bestimme hierfür 

a) die Druckkraft gegen die Klappe, 

b) die Lage des Druckmittelpunkts und 

c) die erforderliche Masse des Belastungskörpers. 

d) Um welche Strecke muss der Belastungskörper 

weiter nach außen gerückt werden, wenn sich die 

Klappe erst bei 1 m Wasserstand öffnen soll? 

Anmerkung: Die Masse des Hebels wird vernachlässigt 

Hydrostatik S. 19


2.2 Druck auf zusammengesetzte oder gekrümmte Oberflächen in Hauptlage 

Bei jenen Oberflächen, deren Schnitte mit Horizontalebenen parallele Geraden sind (Schnittgeraden), 

zerfällt die Projektion der Oberfläche auf eine zur Schnittgeraden normalen Vertikalebene in 

eine Kurve. Die Oberfläche kann hierbei z. B. aus mehreren ebenen oder einfach gekrümmten Teilflächen 

bestehen. Die resultierende hydrostatische Druckkraft wird bei solchen Oberflächen aus 

einer horizontalen und einer vertikalen Komponente gebildet. 

Die maßgebliche Angriffsfläche für die horizontale Komponente der resultierenden Druckkraft F h 

ist die Horizontalprojektion A h der Oberfläche auf eine zur Schnittgeraden parallelen Vertikalebene; 

die Größe von F h entspricht dem Produkt der Fläche A h mit dem Druck in ihrem Flächenschwerpunkt: 

F h = ρ ·g ·z Sh ·A h 

[F h ] = N Größe der Horizontalkomponente der resultierenden Druckkraft 

[A h ] = m Horizontalprojektion der Oberfläche 

[z Sh ] = m Schwerpunktkoordinate der Projektionsfläche A h , vertikaler Abstand des 

Schwerpunktes von A h von der Flüssigkeitsoberfläche 

F h greift in der Tiefe z Fh = 

I Sh 

z Sh ·A h 

+ z Sh 

an. 

[I Sh ] = m 4 Flächenträgheitsmoment der Projektionsfläche um die horizontale Gerade durch 

ihren Schwerpunkt 

Die Größe der vertikalen Komponente der resultierenden Druckkraft entspricht dem Gewicht des 

auflastenden bzw. verdrängten Flüssigkeitsvolumens (Vertikalprisma über der Fläche): 

F v = ρ ·g ·V 

[F v ] = N Größe der Vertikalkomponente der Druckkraft 

[V] = m 3 prismatisches Volumen, gebildet von der Oberfläche und deren Vertikalprojektion 

auf die Flüssigkeitsoberfläche 

F v greift im Schwerpunkt des auflastenden bzw. verdrängten Volumens an und ist nach unten bzw. 

nach oben gerichtet. 

F h und F v liegen in derselben Vertikalebene, ihre Wirkungslinien schneiden sich daher in einem 

Punkt. Dieser Punkt ist genau so ein Punkt der Wirkungslinie der Druckkraftresultierenden F wie 

der Angriffspunkt auf der Oberfläche. Die Größe F der Resultierenden beträgt 

F = F h 2 + F v 

2 

und ihr Richtungswinkel gegenüber der Horizontalen α = arc tan (F v /F h ) (Quadranten beachten!). 

Ist die Horizontalprojektion der Fläche ein Rechteck in Hauptlage mit der Breite b (diese ist 

gleich der Länge der Schnittgeraden der Fläche mit einer beliebigen Horizontalebene), so entspricht 

der Angriffspunkt der Horizontalkomponente der Druckkraft dem Schwerpunkt des Drucktrapezes 

bzw. Druckdreieckes. Weiters muss dann auch die Vertikalprojektion ein Rechteck sein und das 

auflastende bzw. verdrängte Volumen V entspricht der Summe aller Auflast- und Auftriebsflächen 

multipliziert mit der Breite b: 

Hydrostatik S. 20


F v = ρ ·g ·b ·A v 

[F v ] = N Größe der Vertikalkomponente der Druckkraft 

[A v ] = m 2 Summe aller Auflast- und Auftriebsflächen (Fläche der Horizontalprojektion des 

Vertikalprismas auf eine zu seiner Oberfläche normalen Vertikalebene; diese 

Ebene schließt mit der Projektionsebene für die Horizontalkraft einen rechten 

Winkel ein). A v ist nicht die vertikale Projektionsfläche! 

[b] = m Breite der Fläche (in Richtung der Schnittgeraden) 

Die Wirkungslinie von F v verläuft durch den Schwerpunkt der verbleibenden positiven oder negativen 

Fläche A v , F v ist je nach dem Vorzeichen der Fläche nach oben oder nach unten gerichtet. 

21.) Eine kreiszylindrische Stauklappe, welche in O drehbar gelagert ist, wird durch eine 

vertikale Aufhängung in der dargestellten Staustellung gehalten. Welche Seilzugkraft 

F S hat die Aufhängung je Meter Klappenbreite aufzunehmen? 

Die auf der Stauwand angreifende resultierende 

Wasserdruckkraft F geht durch 

den Kreismittelpunkt M und kann in ihrer 

Wirkungslinie bis M verschoben werden. 

22.) Die halbkegelförmige Stütze ABE muss einen halbzylindrischen 

Turm ABCD tragen. Berechne die Horizontal- und die Vertikalkomponente 

der Kraft, mit der Wasser auf die Stütze ABE wirkt. 

r = 0,6 m 

h 1 = 1,0 m 

h 2 = 2,0 m 

23.) An einem Walzenwehr sind folgende Daten gegeben: 

b = 15,00 m 

d = 3,00 m 

α = 50° 

β = 65° 

Gesucht werden: 

z 0 , ∆z und die resultierende Gesamtdruckkraft 

aus den Flüssigkeitsdrücken 

nach Größe und Richtung. 

Hydrostatik S. 21


2.3 Flüssigkeiten in anderen Kraftfeldern 

Treten neben der Erdschwere noch andere äußere Kräfte auf, so sind die Flächen gleichen Drucks in 

einer homogenen Flüssigkeit im Allgemeinen keine Parallelflächen zur Erdoberfläche mehr. Der 

Verlauf der freien Oberfläche und weiterer Flächen gleichen Druckes hängt dann vom vorhandenen 

Kraftfeld ab, dessen Richtung im Allgemeinen nicht mehr zum Erdmittelpunkt zeigt und dessen 

Größe im Raum veränderlich sein kann. 

Werden Flüssigkeiten einer konstanten Beschleunigung oder einer konstanten Rotation unterworfen, 

sind die auftretenden Kräfte bzw. das Kraftfeld zeitlich konstant. Da sich die Teilchen hierbei 

relativ zueinander und auch dem Rand (Gefäß) gegenüber in Ruhe befinden, sind auch diese Aufgabenstellungen 

zur Hydrostatik zu zählen. 

24.) Ein rechteckiger Behälter (L, B, T) enthält Wasser (Tiefe t). Er wird in Längsrichtung 

konstant mit a beschleunigt. 

a) Berechne die Kraft, die das Wasser auf jedes der beiden Tankenden ausübt! 

b) Zeige, dass die Kraftdifferenz gleich jener Kraft ist, die zur Beschleunigung der 

Flüssigkeit notwendig ist! 

L = 6,00 m 

B = 2,10 m 

T = 1,80 m 

t = 0,900 m 

a = 2,453 m/s 2 

25.) Ein würfelförmiger Behälter ist mit Öl (ρ rel = 0,752) gefüllt. 

Bestimme die Kraft auf die Behälterseite 

a) wenn eine Beschleunigung a senkrecht nach oben und 

b) wenn a senkrecht nach unten wirkt! 

c) Bestimme den Druck auf den Behälterboden, 

wenn die Beschleunigung 9,81 m/s 2 senkrecht 

nach unten beträgt! 

a = 4,9 m/s 2 

b = 1,5 m 

Hydrostatik S. 22


26.) Ein offener zylindrischer Behälter enthält Wasser (Höhe h). Der Zylinder rotiert um 

seine Symmetrieachse. 

a) Wie groß kann maximal die Winkelgeschwindigkeit 

werden, ohne dass 

Wasser verschüttet wird? 

b) Welche Drücke herrschen auf dem 

Behälterboden bei C und D, wenn 

ω = 6,0 rad/s ist? 

H = 2,0 m 

h = 1,5 m 

Ø = 1,0 m 

Flüssigkeiten in anderen Kraftfeldern S. 23


3. AUFTRIEB UND SCHWIMMEN 

Der Auftrieb F A , den ein Körper erfährt wenn er in eine Flüssigkeit eingetaucht wird, ist eine aufwärts 

gerichtete Kraft, die gleich groß ist wie das Gewicht des von ihm verdrängten Flüssigkeitsvolumens. 

Die vertikale Wirkungslinie der Auftriebskraft verläuft durch den Schwerpunkt des verdrängten 

Flüssigkeitsvolumens – dem Verdrängungsschwerpunkt S V . 

Ist der Auftrieb F A gleich seiner Gewichtskraft G, dann schwimmt der Körper, wenn ein Teil seines 

Volumens aus der Flüssigkeit herausragt, und er schwebt, wenn er vollständig eingetaucht ist. Bei 

schwimmenden Körpern bezeichnet man die Flüssigkeitsoberfläche als Schwimmebene, die 

Schnittfläche des Körpers mit der Schwimmebene als Schwimmfläche oder Wasserlinienfläche. Im 

Gleichgewichtszustand liegen der Angriffspunkt der Gewichtskraft – das ist der Körperschwerpunkt 

S K – und der Verdrängungsschwerpunkt S V auf einer gemeinsamen vertikalen Wirkungslinie, der 

Schwimmachse [BOHL, 1989]. 

Die Lagestabilität eines schwebenden oder schwimmenden Körpers wird durch die Lage von S V 

und S K bestimmt: 

S V über S K : stabiles Gleichgewicht (Gewichtsstabilität). Der Körper kehrt nach dem Wegfall einer 

Störung oder Auslenkung wieder in seine Ausgangslage zurück 

S V = S K : indifferentes Gleichgewicht. Stetige Körperdrehung durch Kraftwirkung, deren 

Schnelligkeit direkt proportional zur Kraftgröße ist. Im allg. nur bei Körpern mit 

homogener Massenverteilung (Kugeln oder Kreiszylinder) 

S V unter S K : das Gleichgewicht ist bei schwebenden Körpern labil. Eine angreifende Kraft verursacht 

eine Kippbewegung bzw. eine Drehung des Körpers, bis er in eine stabile 

(Schwimm-)Lage gelangt. 

Schwimmende Körper nehmen trotz des unterhalb des Körperschwerpunktes liegenden 

Verdrängungsschwerpunktes dann eine stabile Lage ein, wenn in leicht verdrehter 

Lage (infolge eines Störmomentes) die Auftriebskraft im neuen Verdrängungsschwerpunkt 

S V ' und die Gewichtskraft in S K ein rückdrehendes Moment bilden bzw. 

wenn das Metazentrum M über S K liegt (Formstabilität). Das Metazentrum M ist der 

Schnittpunkt der (vertikalen) Wirkungslinie der Auftriebskraft F A mit der Schwimmachse 

in gedrehter Lage, sein Abstand von S K die metazentrische Höhe h m . h m ist 

positiv, wenn M über S K liegt und damit die Formstabilität gegeben ist, andernfalls 

negativ. Ist h m = 0, liegt eine indifferente Schwimmlage vor, ist h m < 0, eine labile; 

der Körper kentert. 

h m = I S 

V − h K 

[h m ] = m metazentrische Höhe 

[I S ] = m 4 Flächenträgheitsmoment der Schwimmfläche, bezogen auf die Schwimmachse 

[V] = m 3 Verdrängungsvolumen 

[h K ] = m Abstand zwischen S K und S V bei vertikaler Schwimmachse. h K ist positiv, wenn 

S K über S V liegt. 

Auftrieb und Schwimmen S. 24


27.) Ein Stein hat in Luft das Gewicht G 1 und eingetaucht 

in Wasser das Gewicht G 2 . Berechne sein 

Volumen und die relative Dichte. 

G 1 = 400 N 

G 2 = 222 N 

28.) Ein Aräometer hat das Gewicht G und besitzt am oberen 

Ende einen zylindrischen Hals mit dem Durchmesser 

d. Um wie viel wird es in Öl (ρ rel = 0,78) tiefer 

eintauchen als in Alkohol (ρ rel = 0,821)? 

G = 17,78×10 −3 N 

d = 2,534 mm 

29.) Ein Holzblock schwimmt in Wasser, wobei er mit der Höhe t aus dem Wasser ragt. 

Legt man ihn in Glyzerin (ρ rel = 1,35), ragt er mit t 1 heraus. Bestimme die relative 

Dichte des Holzes. 

t = 34 mmt 1 = 67 mm 

30.) Für einen Senkkasten aus Beton mit den in der Abbildung 

eingetragenen Abmessungen ist die Schwimmfähigkeit 

und die Schwimmstabilität zu untersuchen. 

Die Dichte des Betons beträgt ρ Beton = 2,20 t/m 3 . 

Auftrieb und Schwimmen S. 25


4. HYDRODYNAMIK 

Die Hydrodynamik ist die Lehre von der Bewegung des Wassers und den dabei wirksamen Kräften. 

4.1 Grundlagen für die Berechnung von Strömungen 

Bewegungsvorgänge von Fluiden sind grundsätzlich räumlicher Natur bzw. dreidimensional. Zur 

mathematischen Erfassung ist meist die Vereinfachung notwendig, die dritte Dimension nur durch 

mittlere Verhältnisse zu berücksichtigen und die Strömung quasi zweidimensional anzusehen. Bei 

vielen Strömungsproblemen ist eine Mittelung der bestimmenden Zustandsgrößen sogar über zwei 

Dimensionen hinreichend genau und damit vertretbar; die Strömung kann durch ein eindimensionales 

Strömungsmodell behandelt werden. Ein solches ist insbesondere die Fadenströmung, bei der 

die Gesamtheit aller Stromlinien, die durch eine Fläche hindurchtreten, zu einem gedachten Stromfaden 

zusammengefasst werden. Die einhüllende Mantelfläche der Stromlinien wird hierbei als 

Stromröhre bezeichnet. Die verschiedenen physikalischen Größen wie Druck und Geschwindigkeit 

werden über den Stromfadenquerschnitt gemittelt und auf die Achse der Stromröhre bezogen. Der 

gesamte Strömungsvorgang wird somit durch die sich entlang der Achse (und eventuell mit der 

Zeit) ändernden Zustandsgrößen beschrieben. 

Die mittlere Fließgeschwindigkeit v in einem Stromröhrenquerschnitt mit der Fläche A wird definiert 

durch v¯ = 1 A ·⌡ ⌠ 

A 

v dA 

[ v ] = m·s −1 mittlere Fließgeschwindigkeit im betrachteten Querschnitt; v¯ = f (t) 

[v] = m·s −1 Komponente der Fließgeschwindigkeit normal zu A in einem beliebigen Punkt 

des Stromröhrenquerschnittes; v = f (r, t) 

[A] = m 2 Fläche des Stromröhrenquerschnittes 

Das in der Zeit dt durch den Stromröhrenquerschnitt A hindurchtretende differenzielle Volumen dV 

beträgt 

dV = dt ·⌡⌠ v dA . 

A 

Pro infinitesimaler Zeitspanne dt ergibt sich daher ein Volumen von 

[Q] = m 3·s −1 Durchfluss, Volumenstrom 

Das zeitliche Verhalten einer Strömung kann sein: 

dV 

dt = ⌡ ⌠ v dA = Q = v¯ ·A 

A 

● Stationär: In allen Punkten des Strömungsgebietes ändert sich die Geschwindigkeit mit 

der Zeit nicht; sie ist in den einzelnen Punkten unabhängig von der Zeit: 

dv /dt = 0. Wegen dQ /dt = A ·(dv /dt) = 0 ist auch der Durchfluss Q konstant 

(dQ /dt = 0). 

● Instationär: Die Geschwindigkeit in den einzelnen Punkten des Strömungsgebietes ist 

zeitlich veränderlich: v = f (t). Demzufolge variiert auch der Durchfluss zeit- 

Grundlagen für die Berechnung von Strömungen S. 26


lich: Q = f (t). 

Das räumliche Verhalten einer Strömung kann sein: 

● 

● 

Gleichförmig: Die Geschwindigkeit im ganzen Strömungsgebiet ist unabhängig vom Ort, 

d. h. zu einem bestimmten Zeitpunkt herrschen in jedem Querschnitt gleiche 

Fließverhältnisse (z. B. Rohr mit d = konstant) 

Ungleichförmig: Die Geschwindigkeit in verschiedenen Punkten des Strömungsgebietes ist 

verschieden (z. B. Rohr mit veränderlichem Durchmesser oder Abfluss im 

natürlichen Gerinne bei konstantem Durchfluss). 

Der Strömungszustand kann sein: 

● Laminar: Die Stromlinien verlaufen parallel, die Strömung erfolgt quasi geschichtet. 

● Turbulent: Der Hauptströmungsrichtung sind räumlich und zeitlich ungeordnete Schwankungsbewegungen 

(Längs- und Querströmungen, Flechtströmung) überlagert. 

Kontinuitätsgleichung für dichtebeständige Fluide in zeitlich konstanten Strömröhren 

Das Flüssigkeitsvolumen, das in jedem Querschnitt einer Stromröhre in einer bestimmten 

Zeitdifferenz hindurchtritt, ist konstant. 

Q = v¯1 ·A 1 = v¯2 ·A 2 = konstant 

[v¯1] = m·s −1 mittlere Fließgeschwindigkeit im betrachteten Querschnitt (zumeist einfach mit 

v bezeichnet) 

[A i ] = m 2 Querschnittsfläche der Stromröhre an der betrachteten Stelle 

4.2 Bernoulli-Gleichung 

Ideale, reibungsfreie Flüssigkeiten geben in isothermalen hydraulischen Prozessen keine dissipative 

Energie ab. Die hydraulische Energie einer Flüssigkeitsmasse als Summe der potentiellen und der 

kinetischen Energie ist daher längs des Strömungsweges in einer Stromröhre bei stationärer 

Strömung konstant. Dieser Sachverhalt wird durch den Satz von BERNOULLI ausgedrückt: 

Bei der stationären Bewegung einer idealen, nur der Schwere als Massenkraft 

unterworfenen Flüssigkeit ist für alle Punkte einer Stromlinie die Summe aus 

Geschwindigkeits-, Druck- und Ortshöhe konstant. 

Die einzelnen Teilenergien und die Gesamtenergie lassen sich in verschiedenen Dimensionen und 

Einheiten angeben. Bei dichtebeständigen Fluiden werden sie zumeist auf das Gewicht der strömenden 

Masse bezogen. Die Energie E besitzt bekanntlich dieselbe Dimension wie die Arbeit – also 

dim E = M L 2 T −2 –, und das Gewicht ist eine Kraft mit dim G = M L T −2 . Die Division dieser 

Größen ergibt demnach dim H = L als Dimension der solcherart bezogenen Energie, der so genannten 

Energiehöhe H (In SI-Einheiten: [H] = J/N = m). 

Die Höhenform der Bernoulli-Gleichung lautet 

v 2 

2g + p 

ρ ·g + z = H = konstant . 

Grundlagen für die Berechnung von Strömungen S. 27


⎡v 2 ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣2g⎦ 

= m Höhe der kinetischen Energie bzw. Geschwindigkeitshöhe h g ; jene Höhe, die ein 

Körper herunterfallen muss, um die Geschwindigkeit v im freien Fall zu erlangen 

[PRANDTL et al., 1990]. 

Bei der Näherung der Strömung in einer Stromröhre durch eine Fadenströmung 

ist zu beachten, dass h g die kinetische Energie der durch den gesamten Stromröhrenquerschnitt 

hindurch tretenden Masse ρ ·Q pro Zeiteinheit repräsentieren 

soll [BOLLRICH und PREISZLER, 1992]. Durch ein differenzielles Flächenelement 

dA strömt in der differenziellen Zeit dt die Masse dm = ρ ·v ·dA ·dt 

mit der kinetischen Energie dE kin = dm ·v 2 /2 

bzw. dE kin = ρ ·v 3 ·dA ·dt /2. 

Die durch den gesamten Stromröhrenquerschnitt pro Zeitelement dt tretende 

Masse besitzt daher die kinetische Energie E kin = ρ ·dt 

2 ·⌡ ⌠ v 3 dA. 

A 

Die Masse selbst beträgt m = ρ ·dt ⌡ ⌠v dA. 

A 

Die kinetische Energiehöhe bzw. die Geschwindigkeitshöhe h g erhält man durch 

den Bezug auf das Gewicht der Masse m ·g: 

h E kin ≡ h g = 

1 

m ·g · ρ ·dt 

2 ·⌡ ⌠ v 3 dA = 

A 

ρ ·dt ·⌡⌠ v 3 dA ⌡ ⌠ v 3 dA 

A 

2·g ·ρ ·dt ⌡ ⌠v dA = A 

2·g ·⌡⌠ v dA . 

A 

A 

Nachdem zumeist nur die mittlere Geschwindigkeit v¯ bekannt ist – nicht jedoch 

die Verteilung von v –, soll nun h g als Funktion von v¯ dargestellt werden. Die 

Masse m lässt sich mit v¯ = 1 A ·⌡ ⌠ 

A 

v dA sogar einfacher ausdrücken – 

m = ρ ·v¯ ·A ·dt – 

⌡⌠ v 3 dA 

A 

womit sich für die Geschwindigkeitshöhe h g = 

2·g ·v¯ ·A 

⌡⌠ v 3 dA 

A ergibt. Nach Erweiterung dieser Gleichung zu h g = 

v¯3 ·A · 2·g 

⌡⌠ v 3 dA 

A 

und Einführung des Beiwertes α = 

v¯3 ·A 

erhält man schließlich 

v¯2 

h g = α · 

2·g . 

[α] = dim.los Geschwindigkeitshöhenausgleichsbeiwert. α beträgt bei laminarer Strömung 

exakt 2 (maximaler Fall), während bei den in der Praxis auftretenden turbulenten 

Strömungen 1,01 < α < 1,10 gilt (je turbulenter bzw. je größer Re, desto kleiner 

α) und α daher zumeist vernachlässigt wird. 

⎡ p ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣ρ ·g ⎦ 

= m Druckenergiehöhe h E Druck oder kurz Druckhöhe h p , Steighöhe der Flüssigkeit in 

einem vertikalen Steigrohr mit dem Druck p am unteren Ende 

[z] = m Lageenergiehöhe h E Lage ; Höhe über Vergleichshorizont. Die Summe aus der 

Druckhöhe und der Lageenergiehöhe wird als Höhe der potentiellen Energie 

h E pot bzw. als Piezometerhöhe bezeichnet: h E pot = h E Druck + h E Lage = p /(ρ ·g) + z 

Bernoulli-Gleichung S. 28


[H] = m Gesamtenergiehöhe 

Weniger üblich als der Bezug auf das Gewicht ist der auf die Masse der strömenden Flüssigkeit mit 

der Dimension L 2 T −2 für die Energieglieder (auch erhältlich durch Multiplikation der Höhenform 

der Bernoulli-Gleichung mit g) (SI-Einheit: J/kg). Hingegen liefert der Bezug der Energie auf das 

Volumen der strömenden Flüssigkeit (Multiplikation mit ρ ·g) eine Größe mit der Dimension 

M L −1 T −2 – derselben Dimension, die auch der Druck besitzt. Diese auf das Volumen bezogene 

Energie wird als Energiestromdichte bezeichnet (SI-Einheit: J/m 3 oder Pa). 

31.) Eine Schlauchleitung von 50 mm lichtem Durchmesser, in der ein Überdruck von 

3,92 bar herrscht (abgelesen an einem Manometer), schließt mit einem Mundstück 

(Düse) ab, das sich auf einen lichten Mündungsdurchmesser von 20 mm verengt. 

Bestimme 

a) die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers, 

b) die Strömungsgeschwindigkeit im Schlauch und 

c) den Volumenstrom in l/min! 

32.) Wasser fließt von A nach B; der Durchfluss Q und die Druckhöhe in A sind bekannt. 

Bestimme unter Vernachlässigung der Energieverlusthöhe zwischen A und B die 

Druckhöhe bei B. 

Q = 0,400 m 3 /s 

p A 

ρ ·g 

= 7,00 m WS 

d A = 0,300 m 

d B = 0,600 m 

z A = 10,00 m 

z B = 15,00 m 



33.) Welcher Wasserstrom Q (ρ H2O = 1000 kg/m 3 ) 

fließt durch das dargestellte Venturi-Rohr, wenn 

zwischen freiem Rohr (Ø = 80 mm) und Einschnürungsstelle 

(Ø = 60 mm) die Auslenkung 

des Quecksilbermanometers h beträgt? 

Die Reibungsverluste sollen vernachlässigt 

werden. 

ρ Hg = 13570 kg/m 3 

h = 30 cm 

4.3 Erweiterte Bernoulli-Gleichung 

Für reale, zähe Flüssigkeiten muss der Bernoulli-Gleichung ein weiterer Energiehöhenbetrag – die 

Verlusthöhe h v – hinzugefügt werden: 

v 2 

2·g + p 

ρ ·g + z + h v = H 0 = konstant 

[h v ] = m Verlusthöhe; dissipative Energie, die in eine von der einfachen Bernoulli- 

Gleichung nicht erfasste Form übergeführt wird 

[H 0 ] = m Energiehöhe des Ausgangshorizontes 

Die Energiehöhe H ist dann längs des Strömungsweges nicht mehr konstant, sondern die um die 

entsprechende Verlusthöhe reduzierte Energiehöhe des Ausgangshorizontes: H = H 0 − h v . 

Die Ermittlung der Energieverlusthöhe h v ist das zentrale Problem der Druckrohrberechnung 

[BOLLRICH und PREISZLER, 1990]. Die gesamte Verlusthöhe h v vom Ausgangshorizont bis zum 

betrachteten Horizont setzt sich im Allgemeinen aus der Reibungsverlusthöhe h r und aus örtlichen 

Einzelverlusten h v ö zusammen [BOLLRICH und PREISZLER, 1990]: 

h v = h r + Σ h v ö . 

[h r ] = m Reibungsverlusthöhe (entlang der normalen Rohrstrecke) 

[h v ö ] = m örtlicher Einzelverlust (z. B. Ein-, Austrittsverlust, Krümmer, Einbauten usw.) 

Während die örtlichen Einzelverluste jeweils einen Sprung im Energielinienverlauf verursachen, 

bewirkt der Reibungsverlust entlang einer geraden Rohrstrecke ohne bzw. zwischen den Einbauten 

eine kontinuierliche Abnahme der Gesamtenergiehöhe, das so genannte Rohrreibungsgefälle I r , das 

dem Energieliniengefälle I E gleichzusetzen ist. Die Reibungsverlusthöhe h r entspricht dem Produkt 

aus dem Reibungsgefälle und der Länge des Stromfadens vom Ausgangshorizont bis zum 

betrachteten Horizont (ohne Einbauten): h r = I r ·l 

[l] = m Länge des Stromfadens 

[I r ] = dim.los Rohrreibungsgefälle 

[I E ] = dim.los Energieliniengefälle 



34.) Eine Pumpe BC fördert Öl (ρ rel = 0,762) mit dem Volumenstrom Q in einen Behälter. 

Der Energieverlust zwischen A und B ist gleich h v 1 , der von C nach D gleich h v 2 . 

a) Welche Leistung muss die Pumpe auf 

das System übertragen? 

b) Zeichne die Energielinie! 

Q = 0,16 m 3 /s 

h v 1 = 2,5 J/N 

h v 2 = 6,5 J/N 

4.4 Laminare Rohrströmung 

In realen Flüssigkeiten übertragen benachbarte Flüssigkeitsteilchen mit unterschiedlicher Fließgeschwindigkeit 

in Strömungsrichtung Schubspannungen. Betrachtet man die Strömung in einem 

sehr engen Rohr bei kleinen Geschwindigkeiten, so stellt man fest, dass die Fließbewegung eines 

beliebigen Flüssigkeitsteilchens und damit aller Teilchen wand- bzw. rohrachsenparallel erfolgt. 

Eine solche Strömung erfolgt quasi geschichtet und wird daher als laminar bezeichnet. Laminares 

Fließen kommt in Druckrohrleitungen kaum vor. Fließvorgänge im Boden können hingegen meist 

als laminar betrachtet werden [BOLLRICH und PREISZLER, 1992]. 

Die Schubspannung hat bei laminarer Strömung ihre Ursache im Austausch von Molekülen infolge 

Diffusion zwischen den Schichten unterschiedlicher Geschwindigkeit. Dieses Verhalten der Zähigkeit 

der strömenden Flüssigkeit äußert sich in der viskosen Reibung, die bei laminarer Strömung der 

ausschließliche Grund für die irreversibel in Wärme umgewandelte hydraulische Energie, kurz 

hydraulische Verlustenergie ist. 

Gegenüber der Rohrwand herrscht zwar ebenfalls eine Schubspannung (und zwar die größte), doch 

findet dort keine Diffusion und damit auch kein Energieverlust statt. Die Ursache der Wandschubspannung 

liegt vielmehr in der Adhäsionskraft, die die Rohrwand auf die unmittelbar an ihr angelagerten 

Flüssigkeitsmoleküle ausübt und dazu führt, dass diese Fluidmoleküle ebenso wie die Wand 

in Ruhe verharren und demzufolge keine Reibung verursachen. Deshalb ist der hydraulische Energieverlust 

bei laminarem Fluss unabhängig von der Rohrrauigkeit bzw. vom Rohrmaterial. Die 

Strömungsgeschwindigkeit beträgt also an der Rohrwand Null: 

v Wand = 0 . 

35.) Die Strömung in einem horizontalen kreisrunden Rohr verläuft laminar unter stationären 

und gleichförmigen Bedingungen. Gib eine Herleitung für die Verteilung der 

Schubspannung τ in einem Querschnitt an! 

Erweiterte Bernoulli-Gleichung S. 31


Gemäß des Impulssatzes muss die Änderung des Impulsstromes gleich der Summe 

der angreifenden äußeren Kräfte (plus Gewichtskraft) sein. Betrachtet man das vom 

Radius r und der Länge l gebildete Kontrollvolumen, weist die laminare und damit 

ausschließlich in x-Richtung erfolgende Strömung in beiden Stirnflächen denselben 

Impulsstrom und damit keine Änderung auf. Die aus der Druckkraft im Eintrittsquerschnitt, 

der längs der Zylindermantelfläche wirkenden Reaktionskraft infolge des Reibungswiderstandes 

– der sich bei laminarer Strömung ausschließlich in der Schubspannung 

τ äußert – und der Druckkraft im Austrittsquerschnitt gebildete Summe der 

äußeren Kräfte in x-Richtung muss daher ebenfalls Null sein: 

Äußere Kräfte in Strömungsrichtung: p 1 ·(r 2 ·π) − p 2 ·(r 2 ·π) + τ außen ·(2·r ·π ·l) = 0. 

Für die Schubspannung erhält man also τ außen = (p 2 − p 1 ) 

2·l 

·r . 

Die innere Schubspannung wirkt in Fließ- bzw. Achsenrichtung und ist positiv; die 

entgegengesetzt gerichtete äußere Schubspannung und demzufolge auch die 

Differenz p 2 − p 1 sind negativ und p 2 stets kleiner ist als p 1 . Es sei τ = τ innen ; dann gilt 

τ außen = −τ und daher 

τ = (p 1 − p 2 ) 

2·l 

·r . (4-1) 

Für r = 0 ist die Schubspannung demnach Null und nimmt proportional mit r zu. Der 

Wert an der Wand mit r = r 0 (Rohrradius) wird als (innere) Wandschubspannung τ 0 

bezeichnet. Möchte man die Druckdifferenz durch den Reibungsverlust h r bzw. durch 

das Energieliniengefälle I E = Reibungsgefälle I r ersetzen, ist der Satz von 

BERNOULLI anzuwenden: 

2 

v 1 

2·g + p 1 

ρ ·g + z 1 = v 2 2 

2·g + p 2 

ρ ·g + z 2 + h v 

Für gleichförmigen, horizontalen Fluss ist v 1 2 

2·g = v 2 2 

2·g und z 1 = z 2 (h v = h r ). Es folgt 

p 1 − p 2 = ρ ·g ·h r und τ = ρ ·g ·h r 

2·l 

·r = ρ ·g ·I r 

2 

·r. (4-2) 

Diese Beziehung (4-1) gilt auch bei geneigtem Rohr (τ in Rohrachsenrichtung), nicht 

hingegen Gl. 4-1, weil dann zu den Druckkräften noch Gewichtskräfte hinzutreten 

und die Druckdifferenz nicht nur von der Verlusthöhe bzw. die Schubspannung nicht 

nur von der Druckdifferenz abhängt. 

Ausgangspunkt für die Ermittlung der bei laminarem Fluss herrschenden Geschwindigkeitsverteilung 

ist das Ergebnis des obigen Beispieles (Nr. 35), wonach die Schubspannung τ proportional mit 

dem Radius von der Rohrachse nach außen zunimmt und an der Rohrwand den Wert τ 0 innehat. Da 

bei laminarer Strömung davon auszugehen ist, dass die Fließbewegung eines beliebigen Flüssigkeitsteilchens 

und damit aller Teilchen wand- bzw. rohrachsenparallel erfolgt, muss zwischen der 

Geschwindigkeit (in Achsenrichtung) und der Schubspannung die Beziehung 1-1 für newtonsche 

Flüssigkeiten gelten: 

τ = −η · dv 

dr . (4-3) 

[v] = m·s −1 Fließgeschwindigkeit (in Achsenrichtung); v = f (r) 

Laminare Rohrströmung S. 32


[r] = m Radius (radiale Ortskoordinate normal zur Rohrachse). r weist zur Wand hin und 

damit in die entgegengesetzte Richtung von n in Gl. 1-1: r = r 0 − n, dr /dn = −1 

und dv /dn = (dv /dr) · (dr /dn) = −dv /dr . 

[τ] = N·m −2 innere Schubspannung (in Achsenrichtung); τ = τ (r) = ρ ·g ·h r 

2·l 

·r (4-4) 

[l] = m Rohrlänge, Länge des betrachteten Rohrabschnittes 

36.) Leite für stationäre, laminare Rohrströmung folgende Beziehungen ab: 

a) die Beziehung der Geschwindigkeit in einem beliebigen Punkt des Querschnittes 

und der Geschwindigkeit in der Rohrmitte und 

b) die Gleichung der Geschwindigkeitsverteilung! 

Für jede laminare Strömung newtonscher Flüssigkeiten gilt Formel 1-1 und für die 

laminare Rohrströmung im besonderen Gl. 4-4. Die beiden Ausdrücke für τ werden 

nun gegenübergestellt: −η · dv 

dr = ρ ·g ·h r 

2·l 

·r 

Nach Variablentrennung −η dv = ρ ·g ·h r 

2·l 

·r dr 

und Integration, wobei die von r oder v nicht abhängenden Ausdrücke h r / l und η zusammengefasst 

werden 

v 

− ⌡ ⌠ dv = ρ ·g ·h r 

2·l ·η ·⌡ ⌠ r dr 

v max 

0 

−(v − v max ) = ρ ·g ·h r 

4·l ·η ·r 2 , 

ergibt sich für v v = v max − ρ ·g ·h r ·r 2 

4·l ·η 

. 

Da die Geschwindigkeit an der Rohrwand (r = r 0 ) Null beträgt, muss dort gelten 

0 = v max − ρ ·g ·h 2 

r ·r 0 

4·l ·η 

, 

womit v max = ρ ·g ·h 2 

r ·r 0 

4·l ·η 

= ρ ·g ·h r ·d 2 

16·l ·η 

ist. Für v als Funktion von r erhält man schließlich 

v (r) = ρ ·g ·h r ·(r 2 0 − r 2 ) 

4·l ·η 

. 

Kennzeichnend für die laminare Rohrströmung ist also das parabolische Geschwindigkeitsprofil, 

nebenbei auch die Unabhängigkeit der Fließgeschwindigkeit im Rohr von der Wandrauigkeit 

(v Wand = 0). Bei kreisrunden Rohren ergibt die über der Querschnittsfläche aufgetragene Geschwindigkeitsverteilung 

ein Drehparaboloid, und da dessen Volumen gleich dem halben Volumen des 

umschreibenden Zylinders beträgt, ist die mittlere Geschwindigkeit genau halb so groß wie die maximale 

im Scheitel bzw. in der Rohrachse: v¯ = v max /2 . 

[v¯] = m·s −1 mittlere Fließgeschwindigkeit über den Rohrquerschnitt, v¯ = Q /A 

[v max ] = m·s −1 maximale Fließgeschwindigkeit, Geschwindigkeit in der Rohrachse 

Das Ergebnis des Beispiels Nr. 36 v max = ρ ·g ·h r ·r 0 

2 

4·η ·l 

r 

bzw. v = ρ ·g ·h r 

4·η ·l · (r 0 2 − r 2 ) 



liefert für v¯ v¯ = ρ ·g ·h r ·d 2 

32·η ·l 

, (4-5) 

woraus sich mit v¯ = v, r 0 = d /2 und η /ρ = ν das lineare Widerstandsgesetz für laminare Rohrströmung 

ergibt: h r = 

32·ν ·v ·l 

g ·d 2 

[h r ] = m Verlusthöhe 

[ν] = m 2·s −1 kinematische Viskosität; ν = η /ρ, siehe S. 8 

[v] = m·s −1 mittlere Fließgeschwindigkeit über den Rohrquerschnitt (v = v ), v = Q /A 

[l] = m Leitungslänge 

[d] = m Durchmesser des (kreisrunden) Rohres 

bzw. 


[I E ] = dim.los Energieliniengefälle 

I r = I E = h r 

l 

= 

32·ν ·v 

g ·d 2 (4-6) 

Ersetzt man den Durchmesser in Gleichung 4-5 durch den Radius (d = 2·r 0 ), lässt sich der Fluss 

unter Berücksichtigung der Kontinuität Q = v¯ 2·r 02·π ansetzen durch 

Q = ρ ·g ·h r ·r 04·π 

8·l ·η 

(4-7) 

[r 0 ] = m Rohrradius 

Das ist das Gesetz von Hagen und Poiseuille, wonach der Fluss proportional mit dem Reibungsgefälle 

und zur vierten Potenz mit dem Durchmesser zunimmt. 

Möchte man die laminare Rohrströmung auch mit dem an und für sich nur für die turbulente 

Strömung geltenden, quadratischen Widerstandsgesetz nach Darcy-Weisbach I r = λ ·v 2 /(2·g ·d) 

(Gleichung 4-11) behandeln, so muss dieses für den laminaren Fall in die Formel 4-6 übergehen: 

I r = λ ·v 2 32·ν ·v 

2·g ·d 

= 

g ·d 2 (4-8) 

Das ist genau dann gewährleistet, wenn man für den Rohrreibungsbeiwert λ (Gleichung 4-8 nach λ 

aufgelöst) λ = 64·ν 

v ·d . (4-9) 

[λ] = dim.los Rohrreibungsbeiwert oder Widerstandszahl 

einsetzt. Weil das Rohrreibungsgefälle I r bei laminarer Strömung nicht von der Rohr- bzw. Wandrauigkeit 

k abhängt, ist für diesen Fall klarerweise auch λ (im Gegensatz zur turbulenten Strömung) 

unabhängig von k. 

Ob unter den gegebenen hydraulischen Zustandsgrößen laminare oder turbulente Strömung vorliegt, 

hängt vom Verhältnis zwischen den auftretenden Trägheitskräften und den zähen Reibungskräften 

ab. Ein Maß für dieses Verhältnis ist die dimensionslose Reynolds-Zahl, die sich neben der 

dynamischen Viskosität aus einer charakteristischen Geschwindigkeit und einer charakteristischen 

Länge zusammensetzt. Für die beiden letzteren Parameter werden in der Rohrhydraulik die mittlere 

Geschwindigkeit v¯ und der Rohrdurchmesser d verwendet: 



Re = v¯·d 

ν 

(4-10) 

[Re] = dim.los Reynolds-Zahl 

[v¯] = m·s −1 mittlere Fließgeschwindigkeit (im weiteren wird für die mittlere Fließgeschwindigkeit 

v¯ der Einfachheit halber nur v verwendet) 

Als Grenzwert für den Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung dient die kritische 

Reynolds-Zahl Re krit . Wenn Re < Re krit ist, liegt laminare Strömung vor, andernfalls im Allgemeinen 

turbulente. Der Standardwert für die Gegebenheiten der Rohrhydraulik bzw. unter den 

Annahmen für Formel 4-10 beträgt Re krit = 2320 . 

Der Umschlag kann abhängig davon, wann die Laminarströmung gestört wird, auch erst bei Re- 

Zahlen erfolgen, die wesentlich größer sind als Re krit , im Grenzfall bis Re = 5×10 4 [BOLLRICH und 

PREISZLER, 1992]. 

Man kann mit Hilfe der Reynolds-Zahl auch den Rohrreibungsbeiwert λ einfacher ausdrücken. Für 

laminare Verhältnisse erhält man (4-10 in 4-9 eingesetzt) 

λ = 64 

Re . 

4.5 Turbulente Rohrströmung 

Grundsätzlich wirkt die Zähigkeit der Flüssigkeit und damit die Schubspannung τ auch bei turbulenter 

Strömung. Darüber hinaus jedoch werden makroskopische Flüssigkeitsmengen, die Turbulenzballen, 

quer zur Hauptströmungsrichtung versetzt. Daraus resultiert eine zusätzliche Schubspannung 

infolge Turbulenz, deren zeitliches Mittel proportional dem Quadrat der Geschwindigkeit 

ist. Im Gegensatz zum laminaren Fluss, bei dem eine proportionale Beziehung zwischen der 

mittleren Fließgeschwindigkeit und dem Reibungsgefälle besteht, ist der Zusammenhang bei 

turbulenter Strömung quadratisch. Das entsprechende quadratische Widerstandsgesetz von Darcy 

und Weisbach gibt den Energieabfall entlang einer Druckrohrleitung an: 

I r = λ ·v 2 

2·g ·d 

(4-11) 

[I r ] = dim.los Rohrreibungsgefälle = Energieliniengefälle I E 

[λ] = dim.los Widerstandszahl oder Rohrreibungsbeiwert; λ ist eine Funktion der äußeren 

Wandreibung, ausgedrückt durch die hydraulische Rauigkeit k sowie der inneren, 

viskosen Reibung, ausgedrückt durch die Reynolds-Zahl Re: λ = λ (k, Re) 

In diesem Gesetz tritt eine neue Größe auf – der so genannte Rohrreibungsbeiwert λ –, der insbesondere 

von der hydraulischen Rauigkeit k abhängt. Neben der kinematischen Viskosität des Mediums 

(siehe S. 8) muss daher bei turbulenter Rohrströmung auch die hydraulische Rauigkeit k 

bekannt sein. 



4.5.1 Rohrrauigkeit 

In der Prandtl-Colebrook-Formel wird von den Durchschnittswerten einer mittleren, so genannten 

hydraulischen Rauigkeit k der Rohrwandung ausgegangen [ÖWWV-Regelblatt 5, 1980], die nicht 

nur durch die an sich messbare Größe der Wanderhebung bzw. der natürlichen Rauigkeit, sondern 

auch durch die Form und Verteilung der Wandunebenheiten maßgeblich bestimmt wird. Die hydraulische 

Rauigkeit kann daher nicht einfach durch Messungen der Vertiefungen und Erhebungen 

an der Rohrwand bestimmt werden; k ist keine geometrische, sondern eine nur im hydraulischen 

Versuch bestimmbare Größe [BOLLRICH und PREISZLER, 1992]. Diese Größe wird als 

äquivalente Sandrauigkeit bezeichnet, weil sie dem Durchmesser von Sandkörnern als Wandoberfläche 

entspricht, die dieselbe hydraulische Rauigkeit zeitigen wie das eigentliche Rohrmaterial. 

In Abwasserkanälen tritt der Einfluss der natürlichen, hauptsächlich vom Baustoff abhängigen Rauigkeit 

gegenüber den Einflüssen der baulichen oder betrieblichen Rauigkeiten auf das Abflussvermögen 

der Kanäle zurück. Die letzteren Rauigkeiten ergeben sich u. a. aus den Wirkungen der 

Stoßverbindungen, den Abweichungen vom rechnerischen Querschnitt der Kanäle und anderen Einflüssen 

der Fertigung und der Kanalverlegung sowie aus Einflüssen der Seiteneinläufe, aber auch 

durch Ablagerungen. Auch der Einfluss der Bauwerke auf das Abflussvermögen der Abwasserkanäle 

soll hier bereits bis zu einem gewissen Grad berücksichtigt werden. Darüber hinaus erhöht 

sich die Rauigkeit im Laufe der Betriebszeit durch physikalische und chemische Einflüsse – hervorgerufen 

durch das fließende Medium Abwasser. Weil die hydraulische Leistungsfähigkeit für die 

ganze Lebenszeit des Kanals zu garantieren ist, muss die Veränderung der Rauigkeit bei der Planung 

eines Kanalstranges mit berücksichtigt werden. 

Die Endrauigkeit als Summe aller genannten Rauigkeiten, die sich beim Betrieb von Abwasserkanälen 

einstellt, soll als betriebliche Rauigkeit k b bezeichnet werden. 

Nach Abwägung dieser für die Praxis erheblichen Einflüsse empfiehlt das ÖWWV-Regelblatt 5 

[1980], die für die Entwässerungsnetze in Frage kommenden Kanäle mit folgenden betrieblichen 

Rauigkeiten zu dimensionieren (siehe Skriptum VO Hydraulik I [LOISKANDL] S. 84): 

a) Normale Abwasserkanäle, das sind Kanäle mit seitlichen Zuflüssen (z. B. Hausanschlüsse, 

Straßenabläufe und Zubringerkanäle) sowie mit Einsteigschächten, aber auch gekrümmte Kanalstrecken 

k b = 1,5 mm 

b) Lange gerade Abwasserkanäle (Transportkanäle), das sind Kanäle ohne seitliche Zuflüsse, 

ohne Hausanschlüsse und ohne Einsteigschächte (außer Aufsatzschächten) sowie kurze 

Druckrohrleitungen, Drosselstrecken und Düker 

k b = 1,0 mm 

c) Druckrohrleitungen über 500 m Länge k b = 0,4–1,0 mm 

Das sind Sonderfälle (z. B. Seeleitungen), bei denen die richtige Einschätzung der betrieblichen 

Rauigkeit im Hinblick auf die Pumpenauslegung von großer Bedeutung ist. Der k b -Wert 

ist daher in jedem Einzelfall auf Grund der vorgesehenen Ausführung der Druckleitung (Anzahl 

der Rohrverbindungen, Fließgeschwindigkeit) im Bereich von k b = 0,4–1,0 mm zu wählen. 

Reibungsverluste für Armaturen sind in diesen k b -Werten im Allgemeinen enthalten. 

d) Gemäß LAUTRICH [1976] weisen Kreis- und Eiprofile in Sonderausführung bei geraden 

Rohrstrecken, Kanälen und Drosselstrecken ohne Einsteigschächten und Seitenzuläufen sowie 

Abwasserdruckrohren folgende betriebliche Rauigkeit auf: k b = 0,25 mm 

e) Reinwasserleitungen für Druckrohr-Hauptleitungen aus kreisrunden, isolierten Stahl- und 

Guss- sowie Asbestzementrohren [LAUTRICH, 1976] k b = 0,1 mm. 

Turbulente Rohrströmung S. 36


4.5.2 Berechnung des Rohrreibungsbeiwertes λ 

Im turbulenten Fall (Re > Re krit = 2320) sind für die Ermittlung des Rohrreibungsbeiwertes λ drei 

Bereiche – der glatte Bereich, der Übergangsbereich und der raue Bereich – zu unterscheiden. Die 

Formel von PRANDTL und COLEBROOK für den Übergangsbereich, die für den glatten und 

für den Übergangsbereich verwendet wird, lautet 

1λ = −2·log ⎝ ⎜⎛ 2,51 

Re · λ + k 

3,71·d 

⎠ ⎟⎞ . (4-12) 

[k] = m hydraulische Rauigkeit; Materialkonstante, von der Rohrbeschaffenheit abhängig 

λ in der Prandtl-Colebrook-Formel (4-12) ist iterativ zu bestimmen. Aus der umgewandelten Form 

1 

λ = 

(4-13) 

4·log 2 ⎝ ⎜⎛ 2,51 

Re · λ + k 

3,71·d⎠ ⎟⎞ 

kann λ bequem rekursiv iteriert werden (mit schneller Konvergenz). Am einfachsten beginnt man 

mit dem Startwert λˆ0 = 0,02 

und setzt so oft den aus der Formel 4-13 erhaltenen Wert erneut in die Formel ein, bis der eingesetzte 

Wert und der aus der Formel erhaltene Wert nur mehr unwesentlich von einander abweichen. 

Die zulässige Abweichung ∆λ zul , die natürlich von der Differenz zwischen dem letzten und vorletzten 

Iterationsschritt unterschritten worden sein muss (∆λ vorh = | λˆn − λˆn−1|), ist von Fall zu Fall 

verschieden, es sollten aber mindestens 4 signifikante Stellen bestimmt werden. Ob die zulässige 

Abweichung nicht zu groß gewählt wurde sollte dadurch überprüft werden, indem man die mit λˆn 

und mit λˆn−1 ermittelten Endergebnisse miteinander vergleicht (wenn z. B. der Durchfluss Q in l/s 

auf die Einerstelle genau gefragt ist und das mit λˆn berechnete Q nicht mehr als ein Zehntel vom mit 

λˆn−1 berechneten Q abweicht, war die Ermittlung von λ ausreichend genau). 

Prinzipiell ist festzuhalten, dass die Abweichung ∆λ zwischen den Iterationsschritten keinesfalls der 

Genauigkeit von λ entspricht. Bei rekursiven Iterationen mit ungünstigem Konvergenzverhalten 

kann der wahre Wert selbst dann noch um Zehnerpotenzen vom Näherungswert abweichen, wenn 

die Abweichung zwischen zwei Iterationsschritten bereits sehr klein ist. Das ist bei der Iteration von 

λ zwar nicht der Fall, doch treten in der Hydraulik nicht selten implizite Gleichungen auf, bei denen 

ein rekursives Iterationsverfahren überhaupt nicht konvergent ist. 

Definiert man den dimensionslosen Ausdruck Moody = Re · λ · k 

d 

als Moody-Wert, so lautet die Grenzkurve zwischen dem hydraulisch rauen und dem Übergangsbereich 

Moody = 200 , 

wobei Werte ≤ 200 den Übergangsbereich kennzeichnen und Werte über 200 den rauen Bereich. 

Im rauen Bereich hängt λ nur von der relativen Rauigkeit ε = k /d ab, der Einfluss der Zähigkeit ist 

vernachlässigbar. Experimentell wurde folgender empirischer Zusammenhang festgestellt: 



1 

λ rau = 

4·log 2 ⎝ ⎜⎛ 

3,71·d 

k ⎠ ⎟⎞ 

. (4-14) 

Dementsprechend wurde die Prandtl-Colebrook-Formel 4-12 von COLEBROOK so formuliert, 

dass sie für den Grenzfall Re = ∞ genau die Beziehung 4-14 ergibt. 

Eine mögliche Strategie bei der Ermittlung von λ besteht darin vorerst anzunehmen, dass λ im rauen 

Bereich liegt. λ rau kann dann mit Gl. 4-14 explizit berechnet werden. Sollte sich bei der Überprüfung 

des Bereiches mit Moody herausstellen, dass λ im Übergangsbereich liegt, ist λ rau sicher ein besserer 

Startwert für die anschließende Iteration nach Gl. 4-13 als λˆ0 = 0,02. 

In der Literatur wird bei turbulenter Rohrströmung überwiegend für alle drei Bereiche die Prandtl- 

Colebrook-Formel verwendet [LAUTRICH, 1976]. Bei Moody-Werten knapp über 200 erhält man 

dabei geringfügig größere λ-Werte als mit Re = ∞. Für die mittlere Geschwindigkeit ergibt sich 

dann bei kreisförmigen Profilen 

v = ⎜ ⎛ −2·log ⎜ ⎛ 2,51·ν 

⎝ ⎠ ⎟⎞ 

⎝ d · 2·g ·I ⎠ ⎟⎞ 

r ·d + k 

3,71·d 

· 2·g ·I r ·d (4-15) 

[v] = m·s −1 (mittlere) Fließgeschwindigkeit 

[ν] = m 2·s −1 kinematische Viskosität 

[d] = m Rohrdurchmesser 


[k] = m (absolute) Rohrrauigkeit 

und für den Durchfluss Q = d 2 ·π 

4 · ⎝ ⎜⎛ −2·log ⎜ ⎛ 2,51·ν 

⎠ ⎟⎞ 

⎝ d · 2·g ·I ⎠ ⎟⎞ 

r ·d + k 

3,71·d 

· 2·g ·I r ·d . (4-16) 

[Q] = m 3·s −1 Durchfluss, Q = v ·A 

Unter diesen Voraussetzungen wäre die Ermittlung von Re und λ nicht erforderlich, weil diese in 

den beiden Gleichungen 4-15 und 4-16 gar nicht auftreten. Es sollte jedoch jedenfalls das Fließverhalten 

und bei turbulenter Strömung auch der Bereich überprüft und daher gezwungenermaßen 

auch Re bzw. λ und Moody berechnet werden. 



Abbildung 4-1: Moody-Diagramm [BOLLRICH und PREIßLER, 1992] 



4.5.3 Rohrdurchmesser 

Im Zusammenhang mit dem Durchmesser werden von Herstellern handelsüblicher Rohre oft 4 Größen 

angegeben: der Außendurchmesser, die Wandstärke, der Innendurchmesser und die Nennweite. 

Prinzipiell entspricht der Innendurchmesser eines Rohres dem Außendurchmesser weniger der 

zweifachen Wandstärke, doch können sowohl Außendurchmesser als auch Wandstärke und Innendurchmesser 

auf Grund der Fertigungstoleranzen an einer bestimmten Stelle des Rohres von den 

Angaben mehr oder weniger abweichen. Darüber hinaus ist die angegebene Wandstärke mitunter 

als Mindestwandstärke zu verstehen. Es ist daher denkbar, dass der Außendurchmesser herstellungstechnisch 

nahezu konstant ist und der Innendurchmesser je nach der aktuellen Wandstärke 

entsprechend kleiner. Wie auch immer; der für die hydraulische Berechnung maßgebliche Durchmesser 

d ist grundsätzlich der Innendurchmesser d innen des Rohres (ein wenig komplizierter ist der 

Sachverhalt bei gewellten Dränrohren; bei diesen ist der hydraulisch äquivalente Durchmesser 

heranzuziehen, der geringfügig größer ist als d innen ). Darauf wird auch im ÖWWV-Regelblatt 5 

[1980] extra hingewiesen. Die sehr starke Abhängigkeit des Abflusses vom Durchmesser (mit der 

vierten Potenz bei laminarer Strömung laut Formel 4-7, bezüglich turbulenter Strömung siehe 

insbesondere Gl. 4-16) erfordert eine möglichst genaue Angabe des Durchmessers. 

Die Nennweite DN (= frz. diamètre nominal, wörtlich übersetzt „Nenndurchmesser“; der gleichwertige 

deutsche Terminus ist jedoch „Nennweite“) von Rohren ist wohl in diversen Normen geregelt, 

doch stellt sie genau genommen weder eine physikalische Größe dar, noch ist ihr eine solche 

eindeutig zuzuordnen. Sie ist vielmehr eine Bezeichnung, die sich am Durchmesser in mm orientiert. 

Warum die Nennweite DN nicht so ohne weiteres als Maß für d in der Abflussberechnung 

benutzt werden sollte, wird im nachfolgenden Beispiel eindringlich aufgezeigt. Bei den Druckrohren 

aus duktilem Gusseisen (Bezeichnung GGG PN 10 oder PN 16 o. a.) entspricht sie hingegen 

genau dem maßgeblichen Durchmesser, nämlich dem Innendurchmesser d innen in mm. 

37.) Für ein handelsübliches Kanalrohr aus PVC-hart mit der Nennweite DN 125 wird ein 

Außendurchmesser von 125 mm und eine Wandstärke von 3,0 mm angegeben, für 

ein PVC-Druckrohr DN 125 PN 10 (PN = frz. pression nominal, Nenndruck) ein Außendurchmesser 

von 140 mm, eine Wandstärke von 6,7 mm und ein Innendurchmesser 

von 126,6 mm und für ein PVC-Druckrohr DN 125 PN 16 ebenso 140 mm 

Außendurchmesser, jedoch 10,4 mm Wandstärke und 119,2 mm Innendurchmesser. 

Gib exemplarisch für die folgenden Gegebenheiten den Fehler an, der begangen 

wird, wenn an Stelle des Innendurchmessers die Nennweite in mm verwendet wird! 

Das Reibungs- bzw. Sohlgefälle I r betrage 5 ‰, die betriebliche Rauigkeit k b = 

1,0 mm und ν = 1,31×10 −6 m 2 /s (Wasser bei 10 °C). 

Beim Kanalrohr aus PVC-hart kann ein Innendurchmesser von höchstens 125 mm − 

2×3,0 mm = 119 mm angesetzt werden. Die Bezeichnung PN bei den Druckrohren 

drückt in etwa den zulässigen Innendruck in bar aus. Die Ergebnisse der Berechnung 

(Grundfall 4) samt Zwischenwerten wurden in der folgenden Tabelle zusammengefasst. 



Rohr 

D 

mm 

v 

m/s 

Re 

(-) 

Moody 

(-) 

Λ 

(-) 

Q 

l/s 

Fehler 

% 

Kanal PVC DN 125 119 0,562 51007 82,5 0,037026 6,25 −12,2 

DN 125 PN 16 119,2 0,5622 51151 82,5 0,037004 6,27 −11,9 

125 0,580 55387 84,5 0,036395 7,12 0 

DN 125 PN 10 126,6 0,5854 56578 85,1 0,036234 7,37 +3,5 

LAUTRICH [1976] * 125 0,57 7,1 

k = 0,1 mm ** 125 0,741 70663 8,5 0,022360 9,09 

* : Tabellenwerte von LAUTRICH [1976] 

** : k b = 0,1 mm anstatt 1,0 mm 

Würde man die Nennweite DN 125 bei allen drei Rohren als hydraulischen Durchmesser 

in mm verwenden, also d = 125 mm, beträgt der relative, auf den Durchfluss 

bezogene Fehler für das Kanalrohr −12,2 % und für das Druckrohr PN 16 −11,9 %! 

Diese Rohre wären also deutlich unterdimensioniert; lediglich beim Druckrohr PN 10 

wäre eine gewisse Leistungsreserve gegeben. Einen ähnlichen Fehler würde man 

begehen, wenn man den Tabellenwert von LAUTRICH [1976] direkt verwendet 

(vorletzte Zeile in der obigen Tabelle). 

Es soll jedoch nicht unerwähnt bleiben, dass die Wandrauigkeit (äquivalente Sandrauigkeit) 

der Rohre etwa nur ein Zehntel der angesetzten betrieblichen Rauigkeit 

beträgt. Trotz der Muffenstöße (Baulänge der angeführten Rohre maximal 6 m) kann 

deshalb ein deutlich größeres Abflussvermögen vorliegen (siehe letzte Zeile der 

Tabelle), solange nicht etwa Ablagerungen, Alterungserscheinungen u. dergl. dazu 

führen, dass die angesetzte betriebliche Rauigkeit k b eher über- denn unterschritten 

wird. 

4.5.4 Berechnung der Verlusthöhe h v 

Wie bereits erwähnt, setzt sich die gesamte Verlusthöhe h v vom Ausgangshorizont bis zum betrachteten 

Horizont im Allgemeinen nicht nur aus der Reibungsverlusthöhe h v , sondern auch aus 

örtlichen Einzelverlusten h v ö zusammen: h v = h r + Σ h v ö . 

Zumeist wird für die einzelnen örtlichen Reibungsverluste h v ö ein empirischer Ansatz verwendet, 

bei dem sie auf die Geschwindigkeitshöhe bezogen werden: 

h v ö = ζ ö · v 2 

2·g 

[ζ ö ] = dim.los Verlustbeiwert (Widerstandszahl) 

Damit ergibt sich für h v : h v = I r ·l + ( ∑ζ ö )· v 2 

2·g 

bzw. h v = λ ·v 2 

2·g ·d ·l + ( ∑ζ ö )· v 2 

2·g 

(4-17) 

oder h v = 

⎝ 

⎜ ⎛ ⎠ ⎟⎞ λ · l 

d + ∑ζ ö · v 2 

2·g . (4-18) 



Für Formel 4-18 wird natürlich vorausgesetzt, dass die betrachtete Rohrstrecke einen einheitlichen 

Durchmesser und damit eine einheitliche Geschwindigkeit aufweist. Bei Schiebern, Ventilen und 

dergl. ist der lichte Durchgang selbst im geöffnetem Zustand oft kleiner als der hydraulisch äquivalente 

Durchmesser. Die werkseitig angegebenen oder in Tabellenwerken zu findenden Verlustbeiwerte 

ζ beziehen sich jedoch nicht auf die tatsächliche, örtlich scharf begrenzte Geschwindigkeit, 

sondern auf eine Bezugsgeschwindigkeit. Diese ist in der Regel die Fließgeschwindigkeit im geraden 

Rohr hinter der örtlichen Störung [BOLLRICH und PREISZLER, 1992], weil sich der Verlust 

hauptsächlich dort entfaltet. Die Bezugsgeschwindigkeit ergibt sich aus dem Durchfluss und dem 

Bezugsdurchmesser, der durch die Nennweite bzw. durch die Bezeichnung des Formstückes oder 

der Armatur bestimmt ist. Z. B. ist für eine Druckleitung DN 80 PN 16 in Stahlausführung ein 

Absperrschieber DN 80 (PN 16) zu verwenden, dessen Bezugsdurchmesser dem der geraden Leitung 

d = 80 mm entspricht. Bei Erweiterungs- oder Reduktionsstücken (z. B. FFR 400/300) ist die 

Angabe des zweiten Durchmessers bzw. der Innendurchmesser des abgehenden Rohres maßgebend. 

Sofern die Nennweiten sämtlicher Einbauten der betrachteten Rohrstrecke mit der Nennweite des 

geraden Rohres übereinstimmen, kann mit einer einheitlichen Geschwindigkeit bzw. mit der Formel 

4-18 gerechnet werden. Bezüglich der Nennweite und dem hydraulisch relevanten Innendurchmesser 

siehe im vorherigen Kapitel 4.5.3. 

38.) Gib eine Formel für die herrschende Schubspannung an der Rohrwand als Funktion 

der mittleren Geschwindigkeit bei turbulenter Strömung an! 

Die Schubspannung an der Wand τ 0 beträgt laut Formel 4-2 

τ 0 = ρ ·g ·h r 

2·l 

·r 0 = ρ ·g ·I r ·d 

4 

. 

Gleichwohl gilt das quadratische Widerstandsgesetz von DARCY und WEISBACH 

(4-11) I r = λ ·v 2 

2·g ·d , 

dessen Ausdruck für I r in die obige Gleichung eingesetzt wird: 

2 

2 

ρ ·g ·d ·λ ·v λ ·ρ ·v 

τ 0 = 

4·2 ·g ·d 

= 

8 

. 

39.) Bestimme: 

a) die Schubspannung an der Wand eines von Wasser durchströmten Rohres 

(Durchmesser d) bei gegebener Verlusthöhe h r und zugehöriger Rohrlänge l, 

b) die Schubspannung in der Entfernung x von der Rohrachse 

c) und die mittlere Geschwindigkeit v beim gegebenen Wert λ! 

d = 250 mm ρ = 1000 kg/m 3 l = 300 m 

h r = 12,0 m x = 50,0 mm λ = 0,030 



4.6 Rohrleitungsberechnung 

Grundsätzlich sind bei der Rohrleitungsberechnung kreisrunder Rohre unter Vollfüllung 

6 Grundfälle zu unterscheiden, die nachstehend zusammengefasst sind. 

Tabelle 4-1: 

6 Grundfälle der Rohrleitungsberechnung 

Grundfall 1 2 3 4 5 6 

gegeben d, v d, Q Q, v d, I r bzw. h v v, I r bzw. h v Q, I r bzw. h v 

gesucht Q, I r bzw. h v v, I r bzw. h v d, I r bzw. h v Q, v d, Q d, v 

Die Fälle 1 bis 3 können direkt gelöst werden; die Fälle 4 bis 6 nur iterativ. Ein mehr oder weniger 

erhöhter Berechnungsaufwand ergibt sich bei den einzelnen Fällen dann, wenn neben dem Reibungsverlust 

h r noch örtliche Einzelverluste h v ö zu berücksichtigen sind. 

Prinzipiell ist immer eine Kontrolle des Strömungsverhaltens (laminar oder turbulent) und 

im turbulenten Fall eine Kontrolle des Bereiches (glatt, Übergang oder rau) durchzuführen. 

Wenn der Rohrreibungsbeiwert λ iterativ bestimmt werden muss, ist auf eine ausreichende Genauigkeit 

des Resultates zu achten. 

4.6.1 Grundfall 1 

Gegeben: d, v 

Gesucht: Q, I r bzw. h v 

1. Schritt: Q = v · d 2·π 

4 

(Q = v ·A bzw. A = d 2·π /4) 

[Q] = m 3·s −1 Durchfluss 

[v] = m·s −1 Fließgeschwindigkeit; jene mittlere Fließgeschwindigkeit, deren Produkt mit der 

Querschnittsfläche der Stromröhre genau den Fluss Q ergibt 

[d] = m Durchmesser 

2. Schritt: Mit v und d → Re = v ·d 

ν 

[Re] = dim.los Reynolds-Zahl 

[ν] = m 2·s −1 kinematische Viskosität des Strömungsmediums 

ε = k d 

[ε] = dim.los relative Rauigkeit 

[k] = m absolute Rauigkeit; Materialkonstante, von der Rohrbeschaffenheit abhängig 

3. Schritt: Mit Re und ε → Berechnung von λ mittels der Formel für den vorliegenden Bereich 

(Übergangsbereich oder rauer Bereich; Kontrolle z. B. mit Moody-Diagramm) 

[λ] = dim.los Rohrreibungsbeiwert 

Rohrleitungsberechnung S. 43


4. Schritt: Quadratisches Widerstandsgesetz für turbulente Rohrströmung (Darcy-Weisbach- 

Formel): I r = λ ·v 2 

2·g ·d 


5. Schritt: a) ohne örtliche Einzelverluste: h r = I r ·l = λ ·v 2 ·l 

2·g ·d 

[h v ] = m Verlusthöhe 

[l] = m Leitungslänge 

b) mit Berücksichtigung örtlicher Einzelverluste (z. B. Ein-, Austrittsverluste, Einbauten 

usw.): h v = ⎜ ⎛ λ · l 

⎝ d + ∑ζ ö 

⎠ ⎟⎞ · v 2 

2·g 

[ζ ö ] = dim.los Verlustbeiwert oder Widerstandszahl 


Gegeben: d, Q 

Gesucht: v, I r bzw. h v 

1. Schritt: v = 4·Q 

d 2·π 

2. Schritt: Weiter bei Grundfall 1, 2. Schritt. 


Gegeben: Q, v 

Gesucht: d, I r bzw. h v 

4·Q 

1. Schritt: d rechn = 

π ·v 

I) Kann ein beliebiger Rohrdurchmesser verwendet werden, dann ist d = d rechn und 

mit v und d bei Grundfall 1, 2. Schritt fortzusetzen. 

II) Andernfalls ist der rechnerische Durchmesser auf einen Normdurchmesser bzw. einen 

erhältlichen Rohrdurchmesser d gew aufzurunden: d = d gew . Da das System mit d, 

v und Q überbestimmt ist, muss festgelegt werden, welche der beiden Größen v und 

Q in der Angabe vorgegeben bleibt und welche abweichen darf. 

2. Schritt: a) wenn Q einzuhalten ist: Mit d und Q weiter bei Grundfall 2, 1. Schritt 


Gegeben: d, I r bzw. h v 

Gesucht: Q, v 

b) wenn v einzuhalten ist: Mit d und v weiter bei Grundfall 1, 1. Schritt 

Da ohne Kenntnis des hydraulischen Bereiches weder v und Q noch λ direkt berechnet werden können, 

muss iterativ vorgegangen werden. Hierfür bietet sich folgende Berechnungskette an: 

Grundfall 1 S. 44


vî → Re ˆ i → λî → Iˆ r i bzw. hˆ v i → vî+1 

Das Verfahren ist eine rekursive Iteration (weil der Endwert eines Schleifendurchlaufes zugleich 

der Anfangswert der nächsten Schleife ist und aus diesem Wert sämtlichen neuen Werte der 

Schleife folgen). Die Schleife ist so oft zu durchlaufen, bis hˆ v i hinreichend genau mit dem gegebenen 

h v übereinstimmt. 

1. Schritt: Schleifenanzahl i = 0. Startwert für vˆ: 

a) ohne ζ: Sind keine örtlichen Verluste ζ ö vorhanden, kann das Reibungsgefälle I r 

bei gegebenem h r berechnet werden aus I r = h r /l 

und vˆ0 = ⎜ ⎛ −2·log ⎜ ⎛ 2,51·ν 

⎝ ⎠ ⎟⎞ 

⎝ d · 2·g ·I ⎠ ⎟⎞ 

r ·d + k 

3,71·d 

· 2·g ·I r ·d . 

Da erst die Gültigkeit des für die Formel angenommenen Übergangsbereiches 

verifiziert werden muss, ist der Wert für v nur eine erste Annahme. 

b) mit ζ: Einfachste Möglichkeit: vˆ0 = 1,0 m/s 

Zumeist spart man eine Schleife (eventuell auch zwei), wenn man Gleichung 

4-18 h v = ⎜ ⎛ λ · l 

⎝ d + ∑ζ ö 

⎠ ⎟⎞ · v 2 

2·g 

nach v auflöst: vˆ0 = 

2·g ·h v 

λˆ0 · l . 

d + ∑ζ ö 

Für λ setzt man am einfachsten λˆ0 = 0,02. 

2. Schritt: Re ˆ i = vî ·d 

ν 

3. Schritt: Mit Re ˆ i und ε ist die für den vorliegenden Bereich gültige Formel für λ (Kontrolle mit 

Moody-Diagramm) auszuwerten → λî 

4. Schritt: Iˆ r i = λî 2 

·vî 

2·g ·d 

5. Schritt: a) ohne ζ: hˆ v i = λî 2 

·vî ·l 

2·g ·d 

b) mit ζ: hˆ v i = vî 2 

2·g · ⎝ ⎜⎛ λî · l 

d + ∑ζ ö 

⎠ ⎟⎞ 

6. Schritt: a) Wenn hˆ v i ≈ h v ist, 

dann ist 

v = vî, λ = λî, I r = Iˆ r i 

und Q = v · d 2·π 

4 . 

b) Anderenfalls ist ein verbesserter Wert für vˆ anzunehmen: 

Grundfall 4 S. 45



Gegeben: v, I r bzw. h v 

Gesucht: d, Q 

vî+1 = 

2·g ·h v 

λî · l 

d + ∑ζ ö 

Die nächste Schleife (i = i + 1) ist mit dem 2. Schritt zu beginnen. 

Dieser Grundfall kann mit zwei verschiedenen Verfahren gelöst werden. Die Entscheidung, welches 

Verfahren benutzt wird, hängt hauptsächlich davon ab, ob ein beliebiger Durchmesser gewählt werden 

kann oder nur bestimmte Normdurchmesser. In letzterem Fall ist das Verfahren A deutlich besser. 

Bei frei wählbarem Durchmesser ist hingegen das Verfahren B vorteilhafter, weil es im Allgemeinen 

schneller konvergiert und daher weniger Schleifen erfordert. 

Verfahren A: 

dî → Re ˆ i → λî → Iˆ r i bzw. hˆ v i 

Bei dieser Berechnungskette wird dˆ so lange variiert, bis hˆ v hinreichend genau mit dem gegebenen 

h v übereinstimmt. Der Berechnungsablauf ist prinzipiell unabhängig davon, ob I) für d ein beliebiger 

Durchmesser zulässig ist oder II) nur bestimmte Normdurchmesser verwendet werden können. 

Bei II) wird man zumeist mit drei bis vier Schleifen das Auslangen finden. 

1. Schritt: Schleifenanzahl i = 0. Startwert für d; z. B. mit geschätztem λˆ = 0,02: 

a) ohne ζ: dˆ0 = 0,02·v 2 

2·g ·I 

bzw. dˆ 0 = 0,02·v 2 ·l 

r 2·g ·h r 

0,02 ·l 

b) mit ζ: dˆ 0 = 

2·g ·h v 

v 2 − ∑ζ ö 

Wenn nur bestimmte Normdurchmesser verwendet werden können, empfiehlt sich für 

dˆ 0 der nächstkleinere Durchmesser. 

2. Schritt: Re ˆ i = v ·dˆ i 

ν 


Moody-Diagramm) auszuwerten → λî 

4. Schritt: Iˆ r i = λî v 2 

2·g ·dî 

5. Schritt: a) ohne ζ: hˆ v i = λî v 2 ·l 

2·g ·dî 

b) mit ζ: hˆ v i = v 2 

2·g · ⎝ ⎜⎛ λî · l + ∑ζ ö 

dˆ ⎠ ⎟⎞ 

i 

6. Schritt: a) Der endgültige Durchmesser liegt dann vor, wenn 

Grundfall 4 S. 46


I) ein beliebiger Durchmesser verwendet werden kann und hˆ v i ≈ h v ist; 

dann ist d = dî, λ = λî und Q = v · d 2·π 

4 . 

II) ein vorgegebener Durchmesser zu wählen und hˆ v i ≤ h v ist; 

dann ist d = dî, λ = λî und Q = v · d 2·π 

4 . 

Die vorgegebene Geschwindigkeit wird exakt eingehalten, die sich ergebende 

Verlusthöhe ist allerdings geringer als der Angabewert oder zufällig gleich. 

Soll hingegen die Verlusthöhe exakt eingehalten werden, ist mit d und h v und 

dem Grundfall 4 die sich ergebende Fließgeschwindigkeit zu ermitteln. 

b) Anderenfalls ist ein verbesserter Wert dˆ i+1 anzunehmen. 

I) Wenn ein beliebiger Durchmesser verwendet werden kann und i ≥ 1 ist, kann 

der neue Durchmesser dˆ i+1 z. B. aus zwei bekannten Wertepaaren (dˆj, hˆ v j) – 

nicht notwendigerweise aus der letzten (i) und vorletzten (i − 1) Schleife – 

mittels linearer Iteration bestimmt werden: 

ˆ 

i−1 

·( dˆ i − dî−1 ). 

dˆ i+1 = dî−1 + h v − h v 

hˆ v i − hˆ v i−1 

Eine weitere Möglichkeit besteht in der rekursiven Iteration mittels 

λî ·l 

dˆ i+1 = 

2·g ·h 

. 

v 

v 2 − ∑ζ ö 

Das Verfahren A geht dann in das Verfahren B über. 

II) Stehen nur Rohre mit vorgegebenen Nennweiten bzw. Durchmessern zur 

Verfügung, dann ist für dî+1 der nächstgrößere Durchmesser zu wählen. 

Weiter mit i = i + 1 und dem 2. Schritt. 

Verfahren B: 

λî → dˆ i → Re ˆ i → λî+1 

Prinzipiell könnte man diese rekursive Iteration mit jedem der vier Werte beginnen, doch empfiehlt 

sich λ als Startwert. Nachdem die vorgegebene mittlere Fließgeschwindigkeit v als Konstante in die 

Berechnung eingeht, wird sie bei dieser Berechnungskette exakt eingehalten. Nach dem Erreichen 

des Abbruchkriteriums muss die Änderung von d bzw. Q mit der Änderung von λˆ und damit die 

Genauigkeit der Berechnung überprüft werden. Zur Kontrolle sind daher die mit λî und mit λî−1 

berechneten d- bzw. Q-Werte zu vergleichen. Ist die Änderung noch groß, sind weitere Iterationsschleifen 

zu durchlaufen. 

1. Schritt: Schleifenanzahl i = 0. Startwert für λˆ: λˆ0 = 0,02 

2. Schritt: a) ohne ζ: dî = λî ·v 2 

2·g ·I 

bzw. dî = λî ·v 2 ·l 

r 2·g ·h r 

Grundfall 5 S. 47


λî ·l 

b) mit ζ: dˆ i = 

2·g ·h v 

v 2 − ∑ζ ö 

3. Schritt: Re ˆ i = v ·dˆ i 

ν 


Moody-Diagramm) auszuwerten → λî+1 

5. Schritt: a) Falls λî+1 ≈ λî, dann ist λ = λî 

b) andernfalls ist mit i = i + 1 beim 2. Schritt fortzusetzen. 

6. Schritt: I) Kann ein beliebiger Rohrdurchmesser verwendet werden, dann ist 

d = dˆ i und Q = v · d 2·π 

4 . 

Kontrolle der Genauigkeit durch Vergleich der Werte dˆ i und dˆ i−1. Falls die Werte 

noch signifikant verschieden sind, war das Abbruchkriterium für λˆ zu groß. Dieses 

ist daher zu verkleinern. Es sind noch weitere Iterationsschleifen zu durchlaufen, 

wobei mit i = i + 1 beim 2. Schritt fortzusetzen ist. 



erhältlichen Rohrdurchmesser d = d gew aufzurunden. Da das System mit d, v 

und I r bzw. h v überbestimmt ist, muss festgelegt werden, welche der beiden Größen 

v und I r bzw. h v in der Angabe vorgegeben bleibt und welche abweichen darf. 

Gegeben: Q, I r bzw. h v 

Gesucht: d, v 

a) wenn v einzuhalten ist: Mit d und v weiter bei Grundfall 1, 1. Schritt 

b) wenn I r bzw. h v einzuhalten ist: Mit d und I r bzw. h v 

weiter bei Grundfall 4, 1. Schritt 

Dieser Grundfall ist der aufwändigste. Es werden wieder zwei Verfahren A und B vorgestellt, die 

sich beide nur geringfügig von denen für den Grundfall 5 unterscheiden. Allerdings ist das Verfahren 

B für den Grundfall 6 unzweckmäßig, wenn örtliche Einzelverluste vorhanden sind. 

Verfahren A: 

dî → vî → Re ˆ i → λî → Iˆ r i bzw. hˆ v i → dî+1 

Bei dieser Berechnungskette wird dˆ so lange variiert, bis hˆ v hinreichend genau mit dem gegebenen 

h v übereinstimmt. Der Berechnungsablauf ist prinzipiell unabhängig davon, ob für d I) ein beliebiger 

Durchmesser zulässig ist oder II) nur bestimmte Normdurchmesser verwendet werden können. 

Bei II) wird man zumeist mit drei bis vier Schleifen das Auslangen finden. 

1. Schritt: Schleifenanzahl i = 0. Startwert fürdˆ; z. B. mit geschätztem λˆ = 0,02: 

Grundfall 5 S. 48


a) ohne ζ: Aus dem Gesetz von Darcy-Weisbach I r = λ ·v 2 

2·g ·d bzw. h r = λ · l d · v 2 

2·g und 

v = 4·Q 

d 2·π folgt dˆ 0 = 

5 8·λˆ ·Q 2 

g ·π 2 ·I r 

bzw. dˆ0 = 

5 8·λˆ ·Q 2 ·l 

g ·π 2 ·h r 

. 

II) Wenn nur bestimmte Normdurchmesser verwendet werden können, empfiehlt 

sich für die erste Berechnungsschleife eine Rohrnennweite, deren zugehöriger 

Rohrdurchmesser deutlich kleiner ist als dˆ0. 

b) mit ζ: Wenn man in Gleichung 4-18 h v = v 2 

2·g · ⎝ ⎜⎛ λ · l 

d + ∑ζ ö 

⎠ ⎟⎞ v mit Hilfe der Beziehung 

v = 4·Q 

d 2·π ersetzt, erhält man h 8·Q 2 

v = 

d 4 · π 2 ·g · ⎝ ⎜⎛ λ · l 

d + ∑ζ ö 

⎠ ⎟⎞ . 

Diese Gleichung lässt sich nicht nach d auflösen bzw. d nicht als explizite Funktion 

von h v und Q darstellen. BOLLRICH und PREISZLER [1992] empfehlen die Gleichung 

in der Form d = 

5 8·Q 2 

π 2 ·g ·h v 

· 5 ( ) 

λ ·l + d ·∑ζ ö iterativ zu lösen. (4-19) 

Eine andere Umformung führt zur Nullstellensuche eines Polynoms fünften Grades 

d 5 ·h v · π 2 ·g 

8·Q 2 − d ·∑ζ ö − λ ·l = 0. (4-20) 

dˆ 0 muss jedenfalls entweder iterativ bestimmt oder ganz einfach geschätzt werden. 

II) Wenn nur bestimmte Normdurchmesser verwendet werden können, lohnt sich 

der Aufwand für eine genauere Ermittlung des Startwertes dˆ0 nicht. Eine mögliche 

Strategie besteht darin, mit einer Rohrnennweite zu beginnen, die man 

mit ziemlicher Sicherheit als nicht ausreichend erachtet und dˆ von Schleife zu 

Schleife genau um eine Stufe zu erhöhen, bis der ausreichende Durchmesser 

gefunden ist. 

2. Schritt: vî = 4·Q 

dˆ i 2 ·π 

3. Schritt: Re ˆ i = vî ·dî 

ν 

4. Schritt: Mit Re ˆ i und εî = k / dî ist die für den vorliegenden Bereich gültige Formel für λ (Kontrolle 

mit Moody-Diagramm) auszuwerten → λî 

5. Schritt: Iˆ r i = λî 2 

·vî 

2·g ·dˆ î 

6. Schritt: a) ohne ζ: hˆ r i = λî 2 

·vî ·l 

2·g ·dˆ î 

b) mit ζ: hˆ v i = vî 2 

2·g · ⎝ ⎜⎛ λî · l + ∑ζ ö 

dˆ ⎠ ⎟⎞ 

i 

Grundfall 6 S. 49


7. Schritt: a) Der endgültige Durchmesser liegt dann vor, wenn 

I) ein beliebiger Durchmesser verwendet werden kann und hˆ v i ≈ h v ist; 

dann ist d = dî, λ = λî und v = vî. 

II) ein vorgegebener Durchmesser zu wählen und hˆ v i ≤ h v ist; 

dann ist d = dî, λ = λî und v = vî. 

Im Falle i = 0 (erster Schleifendurchlauf) ist sicherzustellen, dass das nächstkleinere 

Rohr nicht mehr ausreichen würde. 

Der vorgegebene Durchfluss wird exakt eingehalten, die sich ergebende Verlusthöhe 

ist allerdings geringer als der Angabewert oder zufällig gleich. 

Soll hingegen die Verlusthöhe exakt eingehalten werden, ist mit d und h v und 

dem Grundfall 4 der sich ergebende Durchfluss zu ermitteln. 

b) Anderenfalls ist ein verbesserter Wert dˆ i+1 anzunehmen. 

I) Wenn ein beliebiger Durchmesser verwendet werden kann und i ≥ 1 ist, kann 

der neue Durchmesser dˆ i+1 z. B. aus zwei bekannten Wertepaaren (dˆj, hˆ v j) – 

nicht notwendigerweise aus der letzten (i) und vorletzten (i − 1) Schleife – 

mittels linearer Iteration bestimmt werden: 

ˆ 

i−1 

·( dˆ i − dî−1 ). 

dˆ i+1 = dî−1 + h v − h v 

hˆ v i − hˆ v i−1 

Für a) – ohne ζ – besteht als zweite Möglichkeit die rekursive Iteration mit 

5 8·λî ·Q 

dˆ 2 

5 8·λî ·Q 

i+1 = 

g ·π 2 ·I 

bzw. dˆ 2 ·l 

i+1 = 

r g ·π 2 ·h 

. 

r 

Für b) – mit ζ – ist die rekursive Iteration nicht zu empfehlen, weil zusätzlich d 

iterativ bestimmt werden muss (siehe oben). 

II) Stehen nur Rohre mit vorgegebenen Nennweiten bzw. Durchmessern zur Verfügung, 

dann ist für dî+1 der nächstgrößere Durchmesser zu wählen. 

Weiter mit i = i + 1 und dem 2. Schritt. 

Verfahren B: 

λî → dˆ i → vî → Re ˆ i → λî+1 

Wenn örtliche Einzelverluste vorhanden sind, muss dˆ i in der Berechnungskette iterativ bestimmt 

werden. In diesem Fall ist das Verfahren B daher unzweckmäßig. Wenn keine ζ-Werte zu berücksichtigen 

sind, ist die Anzahl der erforderlichen Schleifen – ähnlich wie beim Grundfall 5 – beim 

Verfahren B im Allgemeinen kleiner als beim Verfahren A. Der vorgegebene Durchfluss wird exakt 

eingehalten. Bei diesem Grundfall muss die Änderung von v bzw. von d mit der Änderung von λˆ 

und damit die Genauigkeit der Berechnung überprüft werden. Zur Kontrolle sind daher die mit λî-1 

und mit λî berechneten v- bzw. d-Werte zu vergleichen. Ist die Änderung noch groß, sind weitere 

Iterationsschleifen zu durchlaufen. 

1. Schritt: Startwert für λˆ: λˆ0 = 0,02 

Grundfall 6 S. 50


2. Schritt: a) ohne ζ: dî = 

5 8·λî ·Q 2 

g ·π 2 ·I r 

bzw. dˆ i = 

5 8·λî ·Q 2 ·l 

g ·π 2 ·h r 

b) mit ζ: Rekursiv-iterative Lösung der Gleichung 4-19 

dˆ i = 

5 8·Q 2 

π 2 ·g ·h · 5 

v 

( λî ·l + dî ·∑ζ ö ) 

oder iterative Nullstellensuche der Gleichung 4-20 

dˆ i 5 · hv · π 2 ·g 

8·Q 2 − dˆ i ·∑ζ ö − λ ·l = 0 . 

3. Schritt: vî = 4·Q 

dˆ i 2 ·π 

4. Schritt: Re ˆ i = vî ·dî 

ν 

5. Schritt: Mit Re ˆ i und εî = k / dî ist die für den vorliegenden Bereich gültige Formel für λ (Kontrolle 

mit Moody-Diagramm) auszuwerten → λî+1 

6. Schritt: a) Falls λî+1 ≈ λî, dann ist λ = λî 

b) andernfalls ist die nächste Schleife mit i = i + 1 beim 2. Schritt fortzusetzen. 

7. Schritt: I) Kann ein beliebiger Rohrdurchmesser verwendet werden, dann ist 

d = dˆ i und v = vî. 

Die erzielte Genauigkeit ist durch Vergleich der mit λî bzw. mit λî+1 berechneten 

Werte für v und d zu kontrollieren. Falls die Werte noch signifikant unterschiedlich 

sind, müssen noch weitere Iterationsschleifen durchlaufen werden, wofür mit 

i = i + 1 beim 2. Schritt fortzusetzen ist. 


erhältlichen Rohrdurchmesser d = du aufzurunden. Da das System mit d, Q und 

I r bzw. h v überbestimmt ist, muss festgelegt werden, welche der beiden Größen Q 

und I r bzw. h v in der Angabe vorgegeben bleibt und welche abweichen darf. 

a) wenn Q einzuhalten ist: Mit d und Q weiter bei Grundfall 2, 1. Schritt 

b) wenn I r bzw. h v einzuhalten ist: Mit d und I r bzw. h v 

weiter bei Grundfall 4, 1. Schritt 

40.) Durch eine horizontale Rohrleitung von 50 mm Durchmesser und 1,00 km Länge 

fließen stündlich 10 m 3 Heizöl mit einer kinematischen Viskosität von 40×10 −6 m 2 /s 

und einer Dichte von 900 kg/m 3 . Wie groß ist die für den Transport erforderliche 

Druckdifferenz zwischen Ein- und Austrittsquerschnitt? 

41.) Aus einem oben offenen Wasserbehälter führt eine gerade, waagrechte und ins Freie 

mündende Rohrleitung (scharfkantiger Eintritt). Die Rohrleitung setzt sich aus zwei 

Teilstücken zusammen, der Übergang ist plötzlich. 

Bestimme: 

Grundfall 6 S. 51


a) die Strömungsgeschwindigkeiten in 

beiden Teilstücken, 

b) den Volumenstrom, 

c) die Eintrittsverlusthöhe, 

d) die Verengungsverlusthöhe und 

e) die Verlusthöhen für die einzelnen 

Teilstücke. 

f) Zeichne die Energielinie und die 

Drucklinie! 

H = 10,0 m über Rohrachse d 1 = 100 mm l 1 = 12,0 m 

k = 1×10 −3 m d 2 = 80 mm l 2 = 2,0 m 

ζ E = 0,5 ζ Eng = 0,21 

42.) Zum Antrieb einer Strahlturbine mit dem Wirkungsgrad η führt aus einem Stausee 

eine Druckrohrleitung, die sich aus zwei Teilstücken zusammensetzt und in einer 

waagrecht gerichteten Düse endet. Das erste Teilstück (d 1 ) beginnt beim gerundeten 

Rohreintritt und reicht bis zum 1. Knickpunkt (l 1 ). Das zweite Teilstück (d 2 ) reicht vom 

1. Knickpunkt bis zum Düsenaustritt (d 3 ). Die Verengung tritt allmählich ein. 

Bestimme: 

a) die Ausflussgeschwindigkeit, 

b) den Volumenstrom, 

c) das Nutzgefälle, 

d) die Nutzleistung! 

H = 349,0 − 241,0 = 108,0 m 

k = 1,5×10 −3 m 

ζ E = 0,1 

ζ Kr = 0,3 

ζ eng = 0,05 

d 1 = 750 mm 

l 1 = 64 m 

d 2 = 600 mm 

l 2 = 116 m 

d 3 = 220 mm 

η = 0,82 

43.) Die Hauptzuleitung für ein städtisches Versorgungsgebiet (k b = 0,4 mm, d = 

100,0 mm, Länge l = 2700 m) muss infolge erhöhten Wasserbedarfs erweitert werden. 

Welcher Durchmesser ist für einen neu zu verlegenden Parallelstrang zu wählen, 

damit in der Zuleitungsstrecke bei einem künftigen Wasserverbrauch von 

Q = 77,00 l/s die Verlusthöhe infolge Rohrreibung von h r = 102,3 m nicht überschritten 

wird (ν = 1,31×10 −6 m 2 /s)? 

Beispiele zur Rohrhydraulik (Vollfüllung im Kreisprofil) S. 52


44.) Der 19,00 m lange Grundablass einer Talsperre soll so bemessen werden, dass bei 

einem Durchfluss von Q = 7,90 m 3 /s der Wasserspiegel nicht höher als 39,00 m über 

die Rohrachse des Grundablasses ansteigt. Bei der Berechnung ist der Einlaufverlust 

mit ζ E = 0,05 und der durch die Absperrorgane verursachte Energiehöhenverlust mit 

ζ S = 0,47 zu berücksichtigen. k b = 1,5 mm, ν = 1,31×10 −6 m 2 /s. 

4.7 Teilfüllung im Kreisprofil 

Nachdem sich bei Teilfüllung in einem geschlossenen Profil ein freier Wasserspiegel einstellt, wäre 

sie an und für sich als Strömung in einem offenen Gerinne zu betrachten. In der Abwassertechnik 

erfolgt der Abfluss mitunter im selben Rohr selten unter Druck bei Vollfüllung, manchmal nahezu 

drucklos unter Vollfüllung und sehr häufig unter Teilfüllung, sodass oft alle drei Situationen untersucht 

werden müssen. Für die Berechnung der Teilfüllung in geschlossenen Profilen (Kreisrohr, 

Eiprofil, Maulprofil usw.) wird daher üblicherweise die Rohrhydraulik zur Berechnung der Vollfüllung 

benutzt und von der Vollfüllung auf die Teilfüllung mittels Verhältniszahlen geschlossen. 

Im Gegensatz zur Vollfüllung ist die Rohrgeometrie bei Teilfüllung nicht bloß durch den Durchmesser 

d charakterisiert. Dementsprechend kann das hydraulische Verhalten in Bezug auf die Geometrie 

nicht mehr als alleinige Funktion des Durchmessers betrachtet werden. Wie sich später in der 

Gerinnehydraulik zeigen wird, ist der für das hydraulische Verhalten maßgebliche Geometrieparameter 

bei beliebigen Fließquerschnitten nicht der Durchmesser d, sondern der hydraulische Radius 

R. R ist definiert als Quotient der Fließquerschnittsfläche A und des benetzten Umfanges U: 

R = A/U. 

Da R V = d /4 ist, ist für die Teilfüllung (wie im Prinzip auch für 

nichtkreisförmige Querschnitte) in den Formeln d durch 4·R zu 

ersetzen. Nach dieser Modifikation sind sämtliche für die Vollfüllung 

geltenden Formeln (Reynolds-Zahl, quadratisches 

Widerstandsgesetz von Prandtl-Colebrook, Formeln für λ) auch 

für die Teilfüllung anwendbar. Die Invarianten bei Voll- und bei 

Teilfüllung sind der Rauigkeitsbeiwert k und das Reibungsgefälle 

I r , das bei Teilfüllung dem Sohlgefälle I S entspricht. 

Während bei der Vollfüllung 6 Grundfälle zu unterscheiden sind, treten bei der Teilfüllung praktisch 

nur zwei Probleme auf. Zumeist kennt man den Teilabfluss Q T und möchte wissen, welche 

Füllhöhe h sich hierfür ergibt. Im umgekehrten Fall kennt man h und hat Q T zu ermitteln. Diese 

beiden Fälle sowie sämtliche anderen bei der Teilfüllung auftretenden Strömungsprobleme werden 

dadurch gelöst, indem man Beziehungen zwischen dem hydraulischen Strömungsgeschehen bei 

Teilfüllung und dem bei Vollfüllung herstellt. Als Kern dieser Beziehungen hat sich die Näherungsannahme 

nach FRANKE und SCHMIDT (zitiert von LAUTRICH [1976]) 

[λ V ] = dim.los Reibungsbeiwert bei Vollfüllung 

[λ T ] = dim.los Reibungsbeiwert bei Teilfüllung 

λ 

λ 

V 

T 

18 

⎛ RT 

⎞ 

= ⎜ ⎟ 

RV 

⎝ 

⎠ 

Beispiele zur Rohrhydraulik (Vollfüllung im Kreisprofil) S. 53


[R V ] = m hydraulischer Radius bei Vollfüllung. R V = d 2·π/4 

d ·π 

bzw. R V = d 4 

[R T ] = m hydraulischer Radius bei Teilfüllung. R T als Funktion von d und h/d: 

( 4arcsin sin4arcsin ( )) 

Adhd ( , / ) d⋅ ⋅ h d − ⋅ h d 

Rdhd ( , / ) = = RT 

= 

U( d, h/ d) 16⋅arcsin 

hd 

bewährt, mit deren Hilfe man zu den maßgeblichen Formeln gelangt: 

v 

v 

T 

V 

⎡ ⎛ h⎞ h ⎛ h⎞⎤ 

⎢ ⎜1−2⋅ ⎟⋅ ⋅⎜1− 

⎟⎥ 

⎢ ⎝ d ⎠ d ⎝ d ⎠ 

= 1 − 

⎥ 

⎢ 

h ⎥ 

arc sin 

⎢⎣ 

d ⎥⎦ 

5 

8 

0 ≤ h d ≤ 1 (4-21) 

13 5 

8 8 

− 

QT 

2 ⎡ h ⎛ h⎞ h ⎛ h⎞⎤ ⎡ h ⎤ 

= ⎢ arc sin − ⎜ 1 − 2 ⋅ ⎟⋅ ⋅⎜ 1 − ⎟⎥ ⋅⎢ arc sin ⎥ 

QV 

π ⎢⎣ 

d ⎝ d ⎠ d ⎝ d ⎠⎥⎦ 

⎣ d ⎦ 

0 ≤ h d 

≤ 1. (4-22) 

[d] = m Durchmesser des Kreisrohres (normal auf die Rohrachse gemessen) 

[h] = m Füllhöhe bei Teilfüllung. LAUTRICH [1976] weist extra darauf hin, dass die 

senkrechte Wassertiefe nach DIN 4044 mit dem Formelzeichen t bezeichnet 

wird. Die hydraulische Berechnung von Rohrleitungen, Rinnen und Gräben erfolgt 

jedoch mit dem Querschnitt A, der rechtwinkelig zur Sohle, also zu I S , verläuft. 

Die Füllhöhe in Abwasserkanälen und Rinnen wird nach denselben Grundsatz, 

also ebenfalls rechtwinkelig zu I S berechnet. 

Im Wasserbau, wo meist verhältnismäßig schwache I S vorhanden sind, ist der 

Unterschied zwischen t und h so gering, dass er praktisch unberücksichtigt bleiben 

kann (der Fehler beträgt bis I S = 50 ‰ weniger als 1 Promille). Abwasserkanäle 

und Rinnen haben jedoch vielfach ein stärkeres I S , sodass hier eben h und 

nicht t zu setzen ist. 

[h/d] = dim.los 

Füllungsgrad, Quotient aus h und d. h/d schwankt zwischen dem leeren Rohr 

und der Vollfüllung mit 0 ≤ h/d ≤ 1 

[v V ] = m·s −1 (mittlere) Fließgeschwindigkeit bei Vollfüllung 

[v T ] = m·s −1 (mittlere) Fließgeschwindigkeit bei Teilfüllung 

[Q V ] = m 3·s −1 Abfluss bei Vollfüllung 

[Q T ] = m 3·s −1 Abfluss bei Teilfüllung 

Bei der Analyse des Kurvenverlaufs fällt auf, dass für h/d > 0,5 Q T /Q V -Werte > 1 auftreten. Dies 

wurde früher als unrealistisch betrachtet und die Luftreibung in der verbleibenden schmalen Kalotte 

ins Treffen geführt, der durch die modifizierte Funktion nach THORMANN [1944] mit vergrößertem 

benetztem Umfang Rechnung getragen wurde. Mittlerweile wurde durch Untersuchungen 

jedoch nachgewiesen, dass die Gleichungen 4-21 und 4-22 uneingeschränkt gültig sind und die 

Abminderung nach THORMANN zu verwerfen ist [ATV-DVWK A 110, 2001]. 

Wegen der Problematik der Belüftung bzw. des Lufteinschlusses bei Kanalisationsleitungen, verbunden 

mit der daraus resultierenden Gefahr des Zuschlagens der Leitungen, wird die Teilfüllungskurve 

für das Abflussverhältnis bei 

Q T 

Q 

= 1 

V 

abgebrochen [ATV-DVWK A 110, 2001] (bei geringsten Einflüssen instationärer oder inhomogener 

Natur wie Abflussschwankungen oder Seiteneinläufe schlägt das Rohr zu, d. h. der Abfluss findet 

Teilfüllung im Kreisprofil S. 54


unter Vollfüllung statt. Teilfüllung stellt sich erst dann wieder ein, wenn der Abfluss unter Q V 

sinkt). Bei Profilen mit flacher Decke (Kreis-, Ei- und Maulprofil sind wohl nicht als solche zu verstehen) 

wird empfohlen, die Teilfüllungskurven für die Abflüsse je nach Breite des Querschnittes 

10 bis 20 cm unter Scheitel abzubrechen, wobei in diesen Fällen der Teilabfluss größer als der Abfluss 

unter Vollfüllung sein kann. 

Die Teilfüllungskurve für das Fließgeschwindigkeitsverhältnis wird ebenfalls abgebrochen, und 

zwar an der Stelle h/d, an der Q T /Q V = 1 erreicht wird. Für Profile mit flacher Decke erfolgt dies 

ebenfalls bei 10 bis 20 cm unter Scheitel. 

Auf Grund der diversen Näherungsannahmen liegt die Genauigkeit von v T /v V bzw. Q T /Q V aus den 

obigen Formeln in einer Größenordnung, die bei einer einfachen Ablesung der Werte im obenstehenden 

Diagramm durchaus erreicht werden kann. In der Praxis ist daher die Verwendung des Diagramms 

ausreichend genau. 


Teilfüllung im Kreisprofil (ohne Abminderung für die Luftreibung) 

4.8 Nichtkreisförmige Querschnitte 

Wie im Prinzip schon bei der Teilfüllung (Kapitel 4.7) für das Kreisprofil gezeigt, tritt der vierfache 

hydraulische Radius R an die Stelle des Durchmessers d als bestimmende Größe der Geometrie. 

Versuche und theoretische Überprüfungen haben bestätigt, dass die Annahme nach FRANKE und 

SCHMIDT und die Verwendung der daraus folgenden, formenspezifischen Beziehungen v T /v V und 

Q T /Q V uneingeschränkt für alle Querschnittsformen gerechtfertigt ist [ATV-DVWK A 110, 2001]. 

Teilfüllung im Kreisprofil S. 55


Es existiert eine Anzahl an genormten nichtkreisförmigen 

Querschnitten, z. B. Eiprofil, Maulprofil, 

gedrücktes Maulprofil, Parabelprofil usw.. Ihr 

Umfang ist aus Kreisbogenstücken mit unterschiedlichen 

Radien zusammengesetzt, die alle in 

einem genormten Verhältnis zum Grundradius r 

stehen. Z. B. setzt sich die Breite B des genormten 

normalen Eiprofils insgesamt aus 2r zusammen, 

während die Profilhöhe H = 3r beträgt (siehe 

nebenstehende Abbildung). 

Der normale Maulquerschnitt ist ebenfalls 2r 

breit, hingegen nur (3/2)r hoch. Abbildung 4-3: Abmessungen des genormten 

normalen Eiprofils 

4.8.1 Vollfüllung im beliebigen Normprofil 

Die Profildaten des nichtkreisförmigen Querschnittes A, U, R, v und Q können durch Verhältniszahlen 

zwischen dem Wert des nichtkreisförmigen Querschnittes und dem Wert des zugeordneten 

Kreisquerschnittes angegeben werden. Der Radius r des zuzuordnenden Kreisprofils ist gleich dem 

Grundradius r des nichtkreisförmigen Querschnittes. Die Verhältniszahlen c A , c U usw. sind für 

einige Profile im Vorlesungsskriptum [LOISKANDL] vermerkt. Konkret gilt: 

c A = π · AV Nichtkreis 

A V Kreis 

bzw. A V Nichtkreis = c A ·r 2 

[c A ] = dim.los Verhältniswert; Quotient zwischen der Querschnittsfläche des nichtkreisförmigen 

Profils bei Vollfüllung und dem zugehörigen Kreisprofil bei Vollfüllung 

multipliziert mit π. Man erhält z. B. für das normale Eiprofil c A Ei = 4,5941 

[A V Nichtkreis ] = m 2 Querschnittsfläche des nichtkreisförmigen Profils. Z. B. weist das normale Eiprofil 

900/1350 eine Höhe H = 1,350 m auf und laut Querschnittsdefinition einen 

Grundradius r = H/3 = 450 mm. Die Querschnittsfläche dieses Profils beträgt 

demnach A V Ei 900/1350 = 4,5941×0,450 2 = 0,9303 m 2 

[A V Kreis ] = m 2 Querschnittsfläche des Kreisprofils. A V Kreis = r 2 ·π 

[r] = m Grundradius des Nichtkreisprofils = Radius des zuzuordnenden Kreisprofils. 

Z. B. gilt für das genormte normale Eiprofil r = H/3 oder r = B/2. 

c U = 2π · UV Nichtkreis 

U V Kreis 

bzw. U V Nichtkreis = c U ·r 

[c U ] = dim.los Verhältniswert; Quotient der benetzten Umfänge des Nichtkreisprofils und des 

Kreisprofils bei Vollfüllung multipliziert mit der Konstanten 2π. 

Z. B. beträgt für das normale Eiprofil c U Ei = 7,9299 

[U V Nichtkreis ] = m Umfang des nichtkreisförmigen Profils. Z. B. weist das normale Eiprofil 

900/1350 einen Umfang U V Ei 900/1350 = 7,9299×0,450 = 3,568 m auf. 

[U V Kreis ] = m 2 Querschnittsfläche des Kreisprofils. U V Kreis = 2·r ·π 

c R = 1 2 · RV Nichtkreis 

R V Kreis 

bzw. R V Nichtkreis = c R ·r 

[c R ] = dim.los Verhältniswert; halber Quotient der hydraulischen Radien des Nichtkreisprofils 

und des Kreisprofils bei Vollfüllung. 

Nichtkreisförmige Querschnitte S. 56


Es gilt R V Nichtkreis = A V Nichtkreis 

U 

und R V Kreis = A V Kreis 

V Nichtkreis 

U 

. 

V Kreis 

Nach Division der oberen Gleichung durch die untere erhält man 

R V Nichtkreis 

R V Kreis 

U V Kreis 

= A V Nichtkreis 

A 

· 

V Kreis U 

. 

V Nichtkreis 

Durch Substitution mit den Verhältniswerten gelangt man schließlich zu 

2·c R = c A 

π · 2π 

c 

bzw. c R = c A 

U c 

. 

U 

Daraus ergibt sich z. B. für das normale Eiprofil c R Ei = 4,5941 

7,9299 = 0,5793. 

[R V Nichtkreis ] = m Hydraulischer Radius des nichtkreisförmigen Profils. 

Für das normale Eiprofil 900/1350: R V Ei 900/1350 = 0,5793×0,450 = 0,2607 m. 

Zur Kontrolle: R V Ei 900/1350 = A V Ei 900/1350 0,9303 m2 

U 

= 

V Ei 900/1350 3,568 m 

= 0,2607 m. 

[R V Kreis ] = m Hydraulischer Radius des Kreisprofils. R V Kreis = r /2 bzw. R V Kreis = d /4 

c v = v V Nichtkreis 

v V Kreis 

bzw. v V Nichtkreis = c v ·v V Kreis 

[c v ] = dim.los Verhältniswert; Quotient der mittleren Fließgeschwindigkeiten des Nichtkreisprofils 

und des Kreisprofils bei Vollfüllung. 

Es gilt 

v 

v 

V Nichtkreis 

V Kreis 

⎛RV Nichtkreis 

⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ 

RV Kreis ⎠ 

Wegen R V Nichtkreis 

R 

= 2·c R und v V Nichtkreis 

V Kreis 

v 

= c v 

V Kreis 

folgt daraus c v = (2·c R ) 5/8 = (2·c A /c U ) 5/8 . 

Z. B. beträgt für das normale Eiprofil c v Ei = (2×0,5793) 5/8 = 1,0964. 

[v V Nichtkreis ] = m Mittlere Fließgeschwindigkeit im nichtkreisförmigen Profil bei Vollfüllung. 

Z. B. für das normale Eiprofil 900/1350: v V Ei 900/1350 = 1,0964×v V d = 900 mm . 

[v V Kreis ] = m Mittlere Fließgeschwindigkeit im zugeordneten Kreisprofil bei Vollfüllung. 

v V Kreis ist u. a. eine Funktion von d, I E , k b , λ, ν usw.. 

c Q = Q V Nichtkreis 

Q V Kreis 

bzw. Q V Nichtkreis = c Q ·Q V Kreis 

[c Q ] = dim.los Verhältniswert; Quotient der Durchflusses des Nichtkreisprofils und des Kreisprofils 

bei Vollfüllung. 

Setzt man Q = v ·A für die Vollfüllung im Nichtkreisprofil und im Kreisprofil an 

Q V Nichtkreis = v V Nichtkreis ·A V Nichtkreis 

Q V Kreis = v V Kreis ·A V Kreis , 

dividiert weiters die obere Gleichung durch die untere und ersetzt die Verhältnisse 

laut Definition, so erhält man c Q = c v · cA 

π = (2·c R) 5/8 · cA 

π = (2·c A /c U ) 5/8 · cA 

π 

⎛ 4,5941 ⎞ 4,5941 

Z. B. ergibt sich für das normale Eiprofil c Q = ⎜2⋅ ⋅ = 1,6034 

7,9299 

⎟ 

. 

⎝ ⎠ π 

[Q V Nichtkreis ] = m Durchfluss im nichtkreisförmigen Profil bei Vollfüllung. 

Z. B. für das normale Eiprofil 900/1350: Q V Ei 900/1350 = 1,6034×Q V d = 900 mm . 

[Q V Kreis ] = m Durchfluss im zugeordneten Kreisprofil bei Vollfüllung. Q V Kreis ist u. a. eine 

Funktion von d, I E , k b , λ, ν usw.. 

5 

8 

. 

5 

8 



Für die Ermittlung der Unbekannten bzw. der Lösung des entsprechenden Grundfalles bei der Vollfüllung 

im nichtkreisförmigen Querschnitt ist diesem vorerst der entsprechende Kreisquerschnitt 

und mittels der dimensionslosen Verhältniszahlen die Größen der Bestimmungsparameter im Kreisprofil 

zuzuordnen. Hernach erfolgt die Lösung des Grundfalles für Vollfüllung im Kreisprofil und 

die Übertragung der Ergebnisse auf den nichtkreisförmigen Querschnitt. 

4.8.2 Teilfüllung im beliebigen Normprofil 

Die praktische Berechnung erfolgt genau so wie im Kreisprofil durch die Erstellung dimensionsloser 

Verhältniszahlen zwischen der Teilfüllung im nichtkreisförmigen Querschnitt und der Vollfüllung 

in diesem Querschnitt, wobei im Füllungsgrad h/H des Nichtkreisprofils h die Füllhöhe und 

H die Profilhöhe bedeutet. Die Auswertung geschieht mittels Diagrammen ähnlich der Abbildung 

4-2, von denen einige im Vorlesungsskriptum [LOISKANDL] zu finden sind. Zu beachten ist nur, 

dass in der älteren Literatur noch der Einfluss der Luftreibung berücksichtigt ist und die Diagramme 

daher von jenen aus der neuesten Vorschrift [ATV-DVWK A 110, 2001] abweichen. 


Teilfüllung im normalen Eiprofil (ohne Abminderung für die Luftreibung) 

45.) In welcher Höhe und mit welcher Geschwindigkeit erfolgt der Durchfluss von 

Q = 157,00 l/s in einem Abwasserkanal (Eiprofil, 500/750, k b = 1,5 mm) 

(ν = 0,131×10 −5 m 2 /s), der ein Sohlgefälle von I S = 2,76 ‰ aufweist? 



4.9 Pumpenbemessung 

4.9.1 Ermittlung des Bemessungspunktes 

Die notwendige (manometrische) Förderhöhe H, die eine vorzusehende Pumpe imstande sein muss 

zu erbringen um z. B. von einem Behälter oder Brunnen ins Leitungsnetz zu fördern, entspricht der 

Differenz der Gesamtenergiehöhe und setzt sich aus dem Höhenunterschied zwischen Einlaufniveau 

und der Höhe des ungünstigsten Punktes im Netz, der notwendigen Druck- und Geschwindigkeitshöhe 

in diesem Punkt und dem gesamten (saug- und druckseitigen) Höhenverlust zusammen. Die 

Geschwindigkeitshöhe beim Zulauf (Brunnen) kann zumeist vernachlässigt werden. Gemeinsam 

mit dem zu erbringenden Förderstrom Q ergibt das den Bemessungspunkt für die Pumpe. Der 

Bemessungspunkt ist gleichzeitig ein Punkt der Rohrkennlinie oder Anlagenkennlinie. Weitere 

Wertepaare für die Rohrkennlinie erhält man, wenn man für größere und kleinere Q-Werte die zugehörigen 

Energiehöhendifferenzen berechnet. Beim Startpunkt der Rohrkennlinie mit Q = 0 entspricht 

die Förderhöhe dem geodätischen Höhenunterschied (gegebenenfalls plus Druckhöhe am 

Auslauf). Jede Pumpe besitzt bei der Normdrehzahl eine bestimmte Kennlinie (Drosselkurve), die 

bei Kreiselpumpen vor allem vom Laufrad (insbesondere auch vom Laufraddurchmesser) abhängt. 

Von den zur Wahl stehenden Pumpen samt zugehöriger Laufräder ist nun jene auszuwählen, deren 

Kennlinie den Bemessungspunkt ausreichend abdeckt. Der tatsächliche Betriebspunkt der Pumpe ist 

nicht der Bemessungspunkt, sondern der Schnittpunkt der Pumpenkennlinie mit der Rohrkennlinie 

(sofern die Pumpe nicht drehzahlgeregelt wird). 

4.9.2 Leistungsbedarf 

Der theoretische Leistungsbedarf P theor oder die Nutzleistung der Pumpe ergibt sich aus 

P theor = ρ ·g ·Q ·H 

[P theor ] = kg·m 2·s −3 ≡ W theoretische Pumpenleistung 

[Q] = m 3·s −1 Förderstrom 

[ρ] = kg·m −3 Dichte des Fördermediums 

[H] = m (manometrische) Förderhöhe 

Der tatsächlich erforderliche Leistungsbedarf P erf oder die vom Antrieb her aufgenommene mechanische 

Leistung einer Pumpe ist auf Grund von Strömungsverlusten in der Pumpe größer als der 

theoretische Leistungsbedarf. Das Verhältnis aus theoretischer Leistung und erforderlicher Pumpenleistung 

ist der Pumpenwirkungsgrad η P : 

η P = P theor ρ ·g ·Q ·H 

P 

= 

erf P erf 

[P erf ] = W erforderlicher Leistungsbedarf 

[η P ] = dim.los Pumpenwirkungsgrad 

Der Pumpenwirkungsgrad ist im Allgemeinen weder konstant noch proportional zur Fördermenge. 

Es muss daher entweder der Pumpenwirkungsgrad oder der erforderliche Leistungsbedarf vom Hersteller 

als Kennlinie im Pumpendiagramm extra angegeben werden. 

Da auch der Antriebsmotor eine um den Kehrwert des Motorwirkungsgrades η M höhere Leistung 

aufnimmt als er an die Pumpe abgibt, beträgt die notwendige Antriebsleistung 

Pumpenbemessung S. 59


P A = 

ρ ·g ·Q ·H 

η P ·η M 

. 

In der Praxis treten für die Bemessung noch Sicherheitszuschläge hinzu, die bis 7,5 kW Antriebsleistung 

etwa 20 %, von 7,5 kW bis 40 kW etwa 15 % und ab 40 kW etwa 10 % ausmachen [KSB]. 

4.9.3 Zulässige Saughöhe 

Um sicherzustellen, dass das Fördermedium an der Stelle in der Pumpe, an der der niedrigste absolute 

Druck herrscht, nicht verdampft, muss der vorhandene Druck an dieser Stelle um ein bestimmtes 

Maß über dem Sättigungsdampfdruck der Flüssigkeit liegen. Die entsprechende Stelle ist der 

Laufradeintrittspunkt einer Kreiselpumpe, und die erforderliche Mindestdruckhöhe wird als NPSH- 

Wert (Net Positive Suction Head) bezeichnet. Der deutsche Ausdruck „Haltedruckhöhe“ besitzt 

dieselbe physikalische Bedeutung, ist jedoch in Deutschland definitionsgemäß auf den Mittelpunkt 

des Pumpensaugstutzens bezogen. Da der Druck am Laufradeintrittspunkt dann noch von der Aufstellung 

der Pumpe (horizontal, vertikal oder schräg) bzw. von der Höhenlage des Laufradeintrittspunktes 

und des Saugstutzenmittelpunktes zueinander abhängt, wird im praktischen Gebrauch nur 

mehr der NPSH-Wert verwendet. Der NPSH vorh -Wert der Anlage ergibt sich aus 

p S 

NPSH vorh = p S 

ρ ·g + v S 2 

2g + z S − p D 

ρ ·g 

⎡ ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣ρ ·g ⎦ 

= m absolute Druckhöhe am Mittelpunkt des Eintrittsquerschnittes des Saugstutzens 

2 

⎡v S ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣ 2g ⎦ 

= m mittlere Geschwindigkeitshöhe am Saugstutzeneintrittsquerschnitt 

[z S ] = m geodätischer Höhenunterschied zwischen dem Mittelpunkt des Eintrittsquerschnittes 

des Saugstutzens und dem Laufradeintrittspunkt. Der achsenparallele 

Abstand der beiden Punkte ist ein Konstruktionsmaß und daher vom Pumpenhersteller 

anzugeben; z S ; ergibt sich daraus je nach Orientierung der Pumpe. z S 

ist negativ, wenn der Laufradeintrittspunkt darüber liegt; bei horizontaler Aufstellung 

der Pumpe ist zumeist z S = 0. 

⎡ p D ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣ρ ·g ⎦ 

= m Sättigungsdampfdruckhöhe des Fördermediums; von der Temperatur abhängig 

Bemerkenswert ist, dass die Geschwindigkeitshöhe beim Saugstutzeneintritt in der Haltedruckhöhe 

definitionsgemäß inkludiert ist. 

Der NPSH erf -Wert der Pumpe nimmt im Allgemeinen mit der Fördermenge zu und ist als Kennlinie 

vom Pumpenhersteller (inklusive des z S -Wertes) anzugeben. 

Sinkt der absolute Druck in der Saugleitung oder in der Pumpe bis zum Laufradeintritt unter den 

von der herrschenden Temperatur abhängigen Sättigungsdampfdruck, verdampfen Teile der Flüssigkeit 

und gehen in den gasförmigen Zustand in Form von Blasen über. Steigt der Druck in der 

Flüssigkeit beim Durchtritt durch die Pumpe wieder über den Sättigungsdampfdruck an (das ist i. a. 

bereits kurz nach dem Laufradeintritt der Fall), zerfallen die Dampfblasen schlagartig mit Schallgeschwindigkeit. 

Dieses als Kavitation bezeichnete Verhalten erzeugt Vibrationen, ein laut knatterndes 

Geräusch und örtlich scharf begrenzte Wasserschläge, die zur Zerstörung insbesondere des 

Laufrades führen können. Ausreichende Sicherheit gegen Kavitation liegt dann vor, wenn 



NPSH vorh > NPSH erf . 


Typische Kennlinien einer Hochdruck-Kreiselpumpe mit verschiedenen 

Laufrädern und einer Druckstufe (links) bzw. zwei Druckstufen (rechts) 

46.) Eine Kreiselpumpe fördert aus einem Brunnen Wasser (t = 15 °C, Förderstrom = Q) 

durch eine Rohrleitung (d) in einen Hochbehälter. Die Saugleitung enthält einen 

Saugkorb mit Fußventil (ζ Sk ) und zwei 90°-Krümmer (ζ Kr ). Die 180 m lange Druckleitung 

enthält ein Ventil (ζ V ) und vier 90°-Krümmer. 

Bestimme: 

a) die Fördergeschwindigkeit, 

b) die Geschwindigkeitshöhe, 

c) die Verlusthöhe der Saugleitung, 

d) die Verlusthöhe der Druckleitung, 

e) die Verlusthöhe der gesamten Leitung, 

f) die geodätische Förderhöhe, 

g) die manometrische Förderhöhe, 

h) die Pumpen-Antriebsleistung mit gegebenem Wirkungsgrad η. 

i) Prüfe, ob die geodätische Saughöhe unter der höchstzulässigen 

Saughöhe bleibt! 

Q = 50 m 3 /h geod. Höhendifferenz saugseitig: H S = 4,5 m ζ Sk = 4,6 

d = 0,1 m l S = 8,0 m ζ V = 2,7 

k = 1×10 −3 m geod. Höhendifferenz druckseitig: H D = 22,0 m ζ Kr = 0,4 

t = 15 °C l D = 180 m η = 0,8 

Luftdruck p a = 0,99 bar NPSH erf = 1,24 m z S = 0 



47.) Eine Ortschaft soll eine zentrale Wasserversorgung erhalten. Das benötigte Wasser 

wird dem Grundwasser entnommen und mittels eines Pumpwerks in einen Erdbehälter 

(WSP = 187,30 m ü. A.) gehoben. Dieser Behälter dient in Bezug auf den 

Ortswasserverbrauch als Gegenbehälter. Die 3800 m lange Pumpendruckleitung bis 

zum Versorgungsschwerpunkt A soll aus Schleudergussrohren (k b = 0,4 mm) mit einem 

Durchmesser d 1 = 150,0 mm ausgeführt werden, während die Leitung von A bis 

zum Behälter (l 2 = 1100,0 m) ebenfalls in Schleudergussrohren, jedoch mit einem 

Durchmesser d 2 = 400,0 mm, vorgesehen ist. Welche von den im Beiblatt durch ihre 

Kennlinie dargestellten Pumpen ist für die Hebung eines Wasservolumens pro Zeiteinheit 

von Q = 17,20 l/s vorzusehen, wenn der abgesenkte Grundwasserspiegel auf 

der Höhe H GW = 134,80 m ü. A. liegt? Mit welcher Leistung arbeitet in diesem Fall die 

Pumpe? (η = 0,80). 



5. KRÄFTE BEI STATIONÄREN STRÖMUNGSVORGÄNGEN 

Grundlage für die Berechnung der auftretenden Kräfte bei stationären Strömungsvorgängen dichtebeständiger 

Fluide ist der Impulssatz. Er kann anhand der Zeichnung im Vorlesungsskriptum 

[LOISKANDL] u. a. folgendermaßen hergeleitet werden [PRANDTL et al., 1990]: 

Bei stationärer Fadenströmung einer Flüssigkeit mit der Dichte ρ und dem Volumenstrom Q wird 

eine Kontrollmasse M zum Zeitpunkt t durch zwei Stellen (1) und (2) des Stromfadens und den zugehörigen 

Querschnittsflächen A 1 und A 2 abgegrenzt. Während der kleinen Zeitspanne dt bewegen 

sich alle Teilchen fort und M verschiebt sich in den Bereich zwischen den Stellen (1´) und (2´). 

Während sich also der Gesamtimpuls zum Zeitpunkt t aus den Teilchenimpulsen in den zwei Bereichen 

zwischen (1) und (1´) und zwischen (1´) und (2) zusammensetzte, befindet sich die Kontrollmasse 

und der zugehörige Impuls zum Zeitpunkt t + dt nun in den zwei Bereichen zwischen (1´) und 

(2) und zwischen (2) und (2´). Die Masse dm 1 , die im Bereich zwischen (1) und (1´) weggefallen 

und die Masse dm 2 , die im Bereich zwischen (2) und (2´) hinzugetreten ist, entspricht aus Kontinuitätsgründen 

derjenigen, die durch die Querschnittsflächen (1) bzw. (2) in der Zeit dt hindurchgetreten 

ist: dm 1 = dm 2 = dm = ρ ·Q·dt. Der Gesamtimpuls der Kontrollmasse betrug daher zum 

Zeitpunkt t ·dm ·v 1 = ρ ·Q ·dt ·v 1 plus dem Impuls der Masse im Bereich zwischen (1´) und (2), und er 

ist zum Zeitpunkt t + dt gleich dem Impuls der Masse im Bereich zwischen (1´) und (2) plus dm ·v 2 

= ρ ·Q ·dt ·v 2 . Die Impulsänderung, = Gesamtimpuls zum Zeitpunkt t + dt weniger Gesamtimpuls 

zum Zeitpunkt t, ist daher ρ ·Q ·dt ·v 2 − ρ ·Q ·dt ·v 1 = ρ ·Q ·(v 2 − v 1 ) ·dt. Die Änderung des Impulses der 

Kontrollmasse mit der Zeit , gleichbedeutend mit der hinzugeführten Kraft, entspricht daher 

ρ ·Q ·(v 2 − v 1 ) ·dt 

dt 

= ρ ·Q ·(v 2 − v 1 ). 

Um diese Impulsänderung (bezogen auf die Änderung der Zeit) zu bewirken, muss an die Kontrollmasse 

eine entsprechend große Summe an äußeren Kräften angreifen. 

Kurz gefasst: Die zeitliche Änderung des Impulses der Masse ist gleich der vektoriellen Summe der 

an ihr angreifenden äußeren Kräfte (einschließlich der inneren Körperkräfte): 

⋅ ⋅( 2 − 1) 

= ∑ 

ρ Q v v R 

[ρ ·Q ·v] = kg·m·s −2 Impulsstrom 

[ΣR] = N Summe an gerichteten äußeren Kräften plus innere Körperkräfte (Gewichtskraft). 

Die äußeren Kräfte greifen auf sämtlichen Teilstücken der Berandung des 

Kontrollvolumens an: 

ΣR = F R + p 1 ·A 1 + p 2 ·A 2 + F G 

[F R ] = N (äußere) Reaktionskraft, die die gesamte Wand auf die Flüssigkeit ausübt 

[p i ·A i ] = N gerichtete äußere Druckkraft auf eine Querschnittsfläche i 

[F G ] = N Gewicht der im Kontrollvolumen eingeschlossenen Masse (innere Körperkraft) 

Für eine zweidimensional-vertikale Strömung erhält man demnach für die beiden Komponenten der 

Reaktionskraft der Wand F R (x-Achse horizontal, z-Achse vertikal nach oben) 

F R x = ρ ·Q ·(v 2 x − v 1 x ) − P 1 x − P 2 x 

und F R z = ρ ·Q ·(v 2 z − v 1 z ) − P 1 z − P 2 z − F G z . 

[F R i ] = N Komponente der Reaktionskraft der Wand auf das Strömungsmedium 

[v 2 i ] = m·s −1 Komponente der Fließgeschwindigkeit im Austrittsquerschnitt 

[v 1 i ] = m·s −1 Komponente der Fließgeschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt 

Kräfte bei stationären Strömungsvorgängen S. 63


[P 1 i ] = N Komponente der äußeren Druckkraft im Eintrittsquerschnitt 

[P 2 i ] = N Komponente der äußeren Druckkraft im Austrittsquerschnitt 

[F G z ] = N z-Komponente der Gewichtskraft (weist nach unten und ist daher negativ) 

Die Dimension der zeitlichen Änderung des Impulses entspricht der Kraft. Der Impulssatz wird in 

der Hydromechanik auch als Stützkraftsatz formuliert: 

Die vom Mantel einer Stromröhre auf die strömende Flüssigkeit ausgeübte 

Kraft zuzüglich der Massenkraft steht mit den in den geschnittenen Fließflächen 

angreifenden Stützkräften im Gleichgewicht. 

Die Summe aus Druckkraft und Impulsstrom in einem beliebigen Fließquerschnitt ergibt hierbei die 

Stützkraft F S 

F S = p ·A + ρ ·Q ·v. 

48.) Ein Rohr (Länge l, Durchmesser d) transportiert Wasser von A (Höhe h 1 ) nach B (h 2 ). 

Die Schubspannung zwischen Rohrwand und Flüssigkeit auf Grund der Reibung beträgt 

τ. Wie groß ist die Druckänderung im Rohr und die Verlusthöhe? 

l = 200 m 

d = 300 mm 

h 1 = 25,00 m 

h 2 = 37,00 m 

τ = 30,0 N/m 2 

49.) Durch einen vertikal stehenden Reduzierbogen 

300 mm / 200 mm fließt Wasser. Der Druck am Krümmereingang 

beträgt 70 kPa und am Ausgang 8,31 kPa. Als 

Verlustbeiwert des Krümmers (bezogen auf die Austrittsgeschwindigkeit) 

ist ζ Kr = 0,23 anzusetzen. 

Berechne die Kraft, die die Flüssigkeit auf den Krümmer 

ausübt, wenn sein Volumen 0,085 m 3 beträgt! 

50.) Eine feste Fläche teilt den Strahl so, dass in jede 

Richtung der gleiche Durchfluss herrscht. 

Bestimme für die Anfangsgeschwindigkeit v die 

x- und y-Komponenten der Kraft, die die Fläche 

im Gleichgewicht hält! 

Q = 60,0 l/s 

v = 15 m/s 



51.) Ein Strahl (Durchmesser d, Geschwindigkeit 

v 1 ) trifft auf eine Schaufel, die 

sich mit v 2 in derselben Richtung bewegt. 

Der Ablenkwinkel der Schaufel ist 

150°. Nimm an, dass keine Reibung 

herrscht und berechne die x- und y- 

Komponente der Kraft des Wassers auf 

die Schaufel. 

d = 75 mm 

v 1 = 35 m/s 

v 2 = 20 m/s 

52.) Ein Rasensprenger ist an eine Wasserleitung angeschlossen, die einen Wasserdruck 

p = 4,71 bar liefert. Das Gerät hat folgende Abmessungen: 

d 1 = 15 mm 

d 2 = 7 mm 

r = 200 mm δ = 45° 

a) Wie groß ist die stündlich austretende 

Wassermenge Q? b) Wie groß 

ist das erzeugte Drehmoment M bei 

stehendem Drehkopf (Flüssigkeitsreibung 

wird vernachlässigt)? 

53.) Der unten abgebildete rundkronige Überfall wird von Wasser überströmt. 

Bestimme die Größe und den 

Angriffspunkt der horizontalen 

Kraft, die das Wasser auf das 

Wehr ausübt, wenn Wasser als 

ideale Flüssigkeit betrachtet 

wird. Das Wehr ist 10 Fuß breit. 

(1 m = 3,281 Fuß) 

(1 N = 0,2248 lb (pound force)) 



6. ABFLUSS IN OFFENEN GERINNEN 

Offene Gerinne haben einen freien Wasserspiegel. Hierzu zählen z. B. Flüsse, Kanäle und Freispiegelleitungen. 

Die in der Praxis bei der Betrachtung des Abflusses in einem offenen Gerinne am häufigsten 

auftretende Frage ist diejenige nach dem Zusammenhang zwischen Wasserstand und Durchfluss 

(= Schlüsselkurve). 

6.1 Stationär-gleichförmige Wasserbewegung 

In der Hydraulik ist für die Berechnung der mittleren Geschwindigkeit in einem Gerinneprofil die 

Formel von Gauckler-Manning-Strickler weit verbreitet: 

v = k St·R 2/3·I E 

1/2 

[v] = m·s −1 mittlere Geschwindigkeit 

[k St ] = m 1/3·s −1 Rauigkeitsbeiwert; dimensionsbehaftet. Werte für übliche Gerinneauskleidungen 

siehe Vorlesungsskriptum [LOISKANDL] 

[I E ] = dim.los Energieliniengefälle. Bei einer stationären, gleichförmigen Wasserbewegung gilt 

Sohlgefälle I S = Wasserspiegelgefälle I W = Energieliniengefälle I E = Gefälle I. 

[R] = m hydraulischer Radius (wird nach DIN 4044 [1980] als hydraulische Querschnittstiefe 

bezeichnet) 

R = A U = Fließquerschnittsfläche 

benetzter Umfang 

Der Abfluss Q in m 3 /s ergibt sich zu 

Q = v ·A = k St ·R 2/3·I E 

1/2·A = k St ·A 5/3·U −2/3·I 1/2 

E 

Nach I aufgelöst ergibt die Strickler-Formel: 

v 2 

I E = 

k St2·R 4/3 . 

Gerinnedaten im Rechteckprofil 

U 

A 

h 

b 

[h] = m Abflusstiefe. Die hydraulische Berechnung von Rohrleitungen, Abwasserkanälen, 

Rinnen und Gräben erfolgt mit dem Querschnitt A, der rechtwinkelig zur 

Sohle – also zu I S – verläuft. Für die Ermittlung von A und U ist daher streng genommen 

die rechtwinkelig zur Sohle gemessene Abflusstiefe heranzuziehen. 

In der Praxis wird hingegen zumeist die senkrechte Wassertiefe gemessen bzw. 

angegeben, die nach DIN 4044 mit dem Formelzeichen t zu bezeichnen ist. 

Im Wasserbau, wo meist verhältnismäßig schwache I S vorhanden sind, ist der 

Unterschied zwischen t und h so gering, dass er praktisch unberücksichtigt bleiben 

kann (der Fehler beträgt bis I S = 50 ‰ weniger als 1 Promille): h ≈ t 

[b] = m Gerinnebreite 

Gerinneströmung – stationär-gleichförmige Wasserbewegung S. 66


Die Fließquerschnittsfläche beträgt A Rechteck = b ·h 

und der benetzte Umfang 

U Rechteck = b + 2 ·h. 

Der hydraulische Radius als Quotient R = A /U ergibt sich damit zu 

b ·h 

R Rechteck = 

b + 2 ·h . 

Gerinnedaten im symmetrischen Trapezprofil 

B 

U 

A h 

m 

1 

x 

s 

[h] = m Abflusstiefe 

[s] = m Sohlbreite 

[B] = m Spiegelbreite; Breite des Wasserspiegels bei gegebener Abflusstiefe h 

[m] = dim.los Böschungsneigung; für m → 0 geht das Trapez- in ein Rechteckgerinne über 

Wenn sich die (einseitige) horizontale benetzte Böschungsbreite x zur Abflusstiefe wie m : 1 verhält, 

ergibt sich für die Böschungsbreite 

x 

h = m 1 

→ x = m ·h. 

Für ein symmetrisches bzw. gleichschenkeliges Trapezprofil beträgt die Spiegelbreite B somit 

B symm. Trapez = s + 2·m ·h 

und die Fließquerschnittsfläche A laut Trapezformel A = (s + B)/2·h 

oder A symm. Trapez = (s + m ·h) ·h (6-1) 

bzw. A symm. Trapez = s ·h + m ·h 2 . 

Die benetzte Böschungslänge ergibt sich aus x 2 + h 2 = m 2·h 2 + h 2 = h · m 2 + 1 und damit 

der benetzte Umfang zu U symm. Trapez = s + 2 ·h · m 2 + 1 . (6-2) 

Für den hydraulischen Radius R = A /U gilt schließlich 

(s + m ·h) ·h 

R symm. Trapez = 

s + 2 ·h · m 2 + 1 . (6-3) 

Gerinnedaten im Trapezprofil mit unterschiedlichen Böschungsneigungen 

U Trapez = s + h · ( 1 + m 2 + 1 + n 2 ) 

[m] = dim.los rechts- bzw. linksseitige Böschungsneigung; für m → 0 und n → 0 geht das 

Trapez- in ein Rechteckgerinne über 

[n] = dim.los Böschungsneigung des anderen Ufers 

A Trapez = [s + h · (m + n)/2] ·h 

U Trapez = 

[s + h · (m + n)/2] ·h 

s + h · ( 1 + m 2 + 1 + n 2 ) 



54.) Gesucht ist die Abflusstiefe h in einem Rechteckkanal. 

Q = 6,79 m 3 /s 

I = 0,10 ‰ 

b = 6,10 m 

k St = 67 m 

1/3·s 

−1 

55.) Mit welchem Gefälle I soll eine Rohrleitung (Ø d) verlegt werden, damit sie bei einem 

bestimmten Abfluss Q genau halb voll ist? 

d = 610 mm Q = 0,17 m 3 −1 

/s k St = 77 m 

1/3·s 

56.) Zu ermitteln ist in einem trapezförmigen Erdkanal, dessen Wandung aus mittlerem 

Kies besteht, der stationär gleichförmige Abfluss Q in Abhängigkeit von der Wassertiefe 

h. 

I = 0,9 ‰ 

k St = 40 m 

s = 5,0 m 

1 : m = 1 : 3 

1/3·s 

−1 

6.2 Hydraulisch günstiger Fließquerschnitt 

Beim Entwurf offener Gerinne können die Profilparameter der gewählten Querschnittsform (z. B. 

Sohlbreite und Böschungsneigung eines Trapezprofils) so bestimmt werden, dass entweder 

a) bei gegebenem Q, I und k St und damit festgelegtem hydraulischen Radius R die Fließquerschnittsfläche 

A und der benetzte Umfang U im Minimum sind 

b) bei vorgegebenem A, I und k St der benetzte Umfang U im Minimum, der hydraulische Radius R 

und damit der Abfluss Q im Maximum sind 

c) bei gegebenem A, Q und k St der hydraulische Radius U im Minimum, R im Maximum und damit 

das Gefälle I im Minimum vorliegen [BOLLRICH und PREISZLER, 1990]. 

Ein hydraulisch günstiger Fließquerschnitt ist also in allen drei Fällen dadurch gekennzeichnet, 

dass der benetzte Umfang U minimal ist. 

Die theoretisch günstigste Querschnittsform ist der Halbkreis. Alle anderen Profilformen sind dann 

günstig, wenn sie der Halbkreisform nahe kommen. 

Bei Rechteckprofilen ist der hydraulisch günstige Gerinnequerschnitt jener, bei dem die Abflusstiefe 

h halb so groß ist wie die Gerinnebreite b. U ist also gleich 2·b, und A = b 2 /2. Der hydraulische 

Radius beträgt dann R = b 4 . 

Bei gegebenem Abfluss Q, k St und I (Fall a)) lassen sich durch die Zusatzbedingung des hydraulisch 

günstigen Querschnittes sowohl die Gerinnebreite b als auch die Abflusstiefe h ermitteln. Setzt man 

die Ausdrücke für A und R in die Strickler-Formel ein und löst nach b auf, so erhält man 

Q = k St ·(b /4) 2/3·I 1/2·b 2 /2 → b 8/3 7/3 

= Q ·k St 

−1·I 

−1/2·2 

b = Q 3/8·k St 

−3/8·I −3/16·2 7/8 . 



Das hydraulisch günstigste Trapezprofil ist jenes, das einem halben Sechseck entspricht. Die Böschungsneigung 

beträgt dann 60º bzw. 1/m = tan 60º = 3 → m = 1/ 3. Weiters ist h = s · 3/2, 

U = 3·s, A = s 2·3 · 3/4 und R = s · 3/4. 

Die Ausdrücke für A und R werden in die Strickler-Formel eingesetzt und diese nach s aufgelöst: 

Q = k St ·(s · 3/4) 2/3·I 1/2·s 2·3· 3/4 → s 8/3 10/3 

= Q ·k St 

−1·I 

−1/2·3 

−11/6·2 

s = Q 3/8·k St 

−3/8·I −3/16·3 −11/16·2 5/4 . 

Bei einer Böschungsneigung im Trapezprofil von 1 : 1/ 3 = 1 : 0,577 sind viele natürliche Materialien 

nicht standfest. Derart steile Böschungen sind auch aus anderen Gründen nicht erwünscht. Man 

wählt daher zumeist die Böschungsneigung vor (z. B. m = 2 oder m = 3) und ermittelt die Sohlbreite 

bzw. die Abflusstiefe unter der Bedingung des hydraulisch günstigen Querschnittes. Die Herleitung 

der Formeln 8-7 und 8-6 ist im Anhang 8.1 zu finden: 

s = 2·h ·( m 2 + 1 − m) 

2 2/3 

bzw. h = ⎢ ⎡ Q 

⎣ k ⎦ ⎥⎤ 

St · I · 2· m 2 + 1 − m 

57.) Ein gleichförmiges Gerinne mit Rechteckquerschnitt ist für einen Abfluss 

Q = 10,0 m 3 /s hydraulisch günstig zu dimensionieren. Das Sohlgefälle und der 

Strickler-Beiwert sind bekannt. 

3/8 

. 

I S = 0,1 ‰ 

−1 

k St = 52,63 m 

1/3·s 

6.3 Fließzustand in offenen Gerinnen 

Die Strickler-Formel lässt darauf schließen, dass ein bestimmter Abfluss in einem Gerinne sowohl 

durch steileres Gefälle (größere mittlere Fließgeschwindigkeit) und geringere Wassertiefe als auch 

durch geringeres Gefälle (kleinere Fließgeschwindigkeit) und größere Wassertiefe erreicht werden 

kann, wobei die Energiehöhe als Summe aus Geschwindigkeitshöhe v 2 /(2g) und Wassertiefe jeweils 

unterschiedlich ist. Setzt man die Energiehöhe für ein offenes Gerinne näherungsweise mit einheitlicher 

Geschwindigkeit v nach BERNOULLI an [BOLLRICH und PREISZLER, 1992] 

[H E ] = m Energiehöhe 

[h] = m Abflusstiefe 

H E = h + v2 

2g 

Q 2 

und ersetzt man v mit Q/A H E = h + 

2g ·A 2 , 

so hängt die Energiehöhe bei konstant angenommenem Abfluss Q nur mehr von der Abflusstiefe ab 

dH E 

und ihr Extremwert beträgt 

dh = 0 = 1 − Q 2 

g ·A 3 · dA 

Q 2 

dh 

bzw. 

g ·A 3 · dA 

dh 

= 1. (6-4) 

[Q] = m 3·s −1 vorgegebener Abfluss 

[A] = m 2 Fließquerschnitt 

Dieser Extremwert bzw. die minimale Energiehöhe H E min tritt bei der Abflusstiefe h gr – der sogenannten 

Grenztiefe oder kritischen Tiefe – auf, für die 

dA 

dh = g ·A3 

Q 2 gilt. (6-5) 

Hydraulisch günstiger Fließquerschnitt S. 69


Nachdem A in einem beliebigen Gerinnequerschnitt als das Integral der (von der Tiefe h abhängigen) 

Spiegelbreite B über die Abflusstiefe h aufgefasst werden kann 

A = ⌡ ⌠B (h) dh , 

entspricht 

dA (h) 

dh 

dA 

= B (h) oder einfacher 

dh = B . 

Damit lässt sich die Gl. 6-5 (oder Gl. 6-4) für den Grenzzustand umformen zu Q 2 ·B 

g ·A 3 = 1 . 

Der dimensionslose Ausdruck auf der linken Seite zeigt dabei nicht nur den Grenzzustand an (wenn 

er genau 1 ergibt), sondern dient allgemein als Maß für den Strömungszustand in offenen Gerinnen 

[BOLLRICH und PREISZLER, 1992]. Aufgrund der Bedeutung dieses Ausdrucks hat seine Wurzel 

als Froude-Zahl Fr einen eigenen Namen erhalten: 

Q 2·B 

Fr = 

g ·A 3 (auch: Fr = v 

g · A / B ) . (6-6) 

Die Froude-Zahl kennzeichnet das Verhältnis aus Schwer- und Trägheitskraft. 

Neben der Froude-Zahl nimmt die Grenztiefe h gr bei der Beschreibung des Abflusszustandes in 

offenen Gerinnen eine zentrale Stellung ein. 

● Der Abflussvorgang ist strömend, wenn h > h gr ; 

● Der Abflussvorgang ist schießend, wenn h < h gr ; 

● Der Grenzzustand liegt vor, wenn h = h gr . 

Weiters beschreiben noch das Grenzgefälle oder kritische Gefälle und die Grenzgeschwindigkeit v gr , 

die v gr = Q A gr 

beträgt, den Grenzzustand. 

[v gr ] = m·s −1 Grenzgeschwindigkeit; jene mittlere Geschwindigkeit, die die Geschwindigkeitshöhe 

v 2 /(2g) im Grenzzustand ergibt: 

v gr = 2 ·g ·(H E min − h gr ) 

[Q] = m 3·s −1 vorgegebener Abfluss 

[A gr ] = m 2 Fließquerschnitt im Grenzzustand 

Für die minimale Energiehöhe H E min erhält man nach BERNOULLI 

H E min = h gr + v gr 2 

2g = h gr + 

Q 2 

2g ·A gr 

2 . 

Eine Formel für das Grenzgefälle erhält man z. B. durch die Umwandlung der Strickler-Formel: 

I gr = 

Q 2 

k St 

2 

·A gr 

2 

·R gr 

4/3 

Tabelle 6-1: 

Zusammenfassung der Kriterien für den Fließzustand 

Fließzustand Abflusstiefe Fließgeschwindigkeit Gefälle Froude-Zahl 

Strömen h > h gr v < v gr I E 

Grenzzustand h = h gr v = v gr I E = I E gr Fr = 1 

Schießen h < h gr v > v gr I E > I E gr Fr > 1 

Fließzustand in offenen Gerinnen S. 70


Insbesondere im breiten Rechteckgerinne gilt mit B = b und A/B = A/b = h (siehe Vorlesungsskriptum 

[LOISKANDL] S. 114) 

Fr = 

v 

g · h = 

Strömungsgeschwindigkeit 

Fortpflanzungsgeschwindigkeit einer kleinen Störung , 

sodass durch die Erregung einer kleinen Störung an der Oberfläche und der Beobachtung der Ausbreitungsform 

auf den Strömungszustand im Gerinne geschlossen werden kann. Bei schießendem 

Abfluss (Fr > 1) ist die Strömungsgeschwindigkeit größer als die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit, 

sodass sich eine Störung an einer Stelle im Gerinne oberwasserseitig nicht fortpflanzen kann, 

ja ganz allgemein der Oberwasserspiegel nicht vom Unterwasserspiegel abhängt. Diese Tatsache ist 

für die Analyse der ungleichförmigen Strömung (Wasserspiegelanalyse, Wehrhydraulik) von grundlegender 

Bedeutung. 

6.3.1 Grenzzustand im Rechteckprofil 

Die Auswertung der Bestimmungsgleichung 6-5 liefert folgende Formeln für das Rechteckprofil: 

h gr = 

3 

α · Q 2 

g ·b 2 (6-7) 

[h gr ] = m Grenztiefe 

[α] = dim.los Geschwindigkeitshöhenausgleichswert. α ist ein Korrekturbeiwert für die Abweichung 

der aus der mittleren Geschwindigkeit v¯ berechneten Geschwindigkeitshöhe 

¯¯2 

v 

2·g 

von der tatsächlichen mittleren Geschwindigkeitshöhe 

2·g (siehe 

Seite 28); zumeist wird näherungsweise α = 1 gesetzt 

[Q] = m 3·s −1 Abfluss 

[b] = m Sohlbreite 

Definiert man den Quotienten 

q = Q b 

als spezifischen Abfluss (in m 2·s −1 ), 

so beträgt die Grenztiefe auch h gr = 

weiters folgt aus Gl. 6-7 und Q 2 

b 2·h 2 = v2 v gr = 

3 

α ·q 2 

g ; 

g 

α ·h gr (6-8) 

und 

H E min = g ·h gr 

2g + h gr = 3 2 · h gr 

[H E min ] = m kleinstmögliche Energiehöhe bei gegebenem Abfluss im Rechteckprofil 

Wegen B = b und A/B = A/b = h lässt sich die Froude-Zahl im Rechteckprofil berechnen mit 

Fr = 

v 

g ·h . 

Für den Grenzzustand gilt Fr = 

v gr 

= 1 . 

g ·h gr 

6.3.2 Grenzzustand im symmetrischen Trapezprofil 

Aus der Beziehung 6-5 dA /dh = g ·A 3 /Q 2 für den Grenzzustand ist zu folgern, dass für die Ermittlung 

der Grenztiefe h gr die beiden Größen A und dA/dh als Funktionen von h zu bilden sind. 



Die Fließquerschnittsfläche A im symmetrischen Trapezprofil beträgt laut Formel 6-1 

A = (s + m ·h) ·h 

oder A = s ·h + m ·h 2 . 

dA 

Die Ableitung nach h ergibt 

dh 

= s + 2 ·m ·h = B 

Die Ableitung und der Ausdruck für A werden nun in Formel 6-5 substituiert, wobei h nun nicht 

mehr variabel ist, sondern h gr entspricht: 

s + 2 ·m ·h gr = g ·(s + m ·h gr) 3 ·h gr 

3 

Q 2 

und somit h gr = 

(s + 2·m ·h gr ) ·Q 2 

g ·(s + m ·h gr ) 3 = h gr 3 

1 

s + m ·h gr 

· 

3 Q 2 (s + 2·m ·h gr ) 

g 

. 

Für die Abweichung der aus der mittleren Geschwindigkeit v¯ berechneten Geschwindigkeitshöhe 

v¯ 2 

2·g von der tatsächlichen mittleren Geschwindigkeitshöhe ¯¯ v 2 

2·g 

ist noch der Beiwert α hinzuzufügen: 

h gr = 

1 

s + m ·h gr 

· 

3 

α ·Q 2 (s + 2·m ·h gr ) 

g 

(6-9) 

[m] = dim.los Böschungsneigung, horizontales Maß bei vertikalem Maß = 1; 1/m = tan β 

[s] = m Sohlbreite 

[α] = dim.los Geschwindigkeitshöhenausgleichswert; als Näherung kann α = 1 gesetzt werden 

58.) In einem Rechteckgerinne sind zu bestimmen 

a) das erforderliche Gefälle um den Abfluss Q zu gewährleisten, 

b) die Grenztiefe und das kritische Gefälle beim Abfluss Q und 

c) das kritische Gefälle und den Abfluss Q 1 bei der Abflusstiefe h 

Q = 11 m 3 /s 

k St = 60 m 

1/3·s 

−1 

h 

b = 6,00 m 

= 1,00 m 

59.) In einem Rechteckgerinne herrscht stationärer Abfluss. 

a) Wie hoch ist ein Hindernis (Sohlschwelle) mindestens zu bauen, damit kritische 

Verhältnisse auftreten? 

b) Wie weit ist das Gerinne einzuengen, um kritische Verhältnisse zu erzeugen? 

h = 1,50 m I = 0,001 

b = 3,00 m 

−1 

k St = 66,7 m 

1/3·s 



6.4 Stationärer, leicht ungleichförmiger Abfluss – Stau- und Senkungslinien 

In der Natur herrscht stets ungleichförmiger Abfluss vor (Profiländerungen). Als leicht ungleichförmig 

kann der Abfluss unter anderem dann bezeichnet werden, wenn die Modellannahmen für die 

Berechnung der Grenztiefe noch gültig sind und keine Wechselsprünge auftreten. Die bei Wasserbauwerken 

auftretenden Querschnittsänderungen bedingen oft einen stark ungleichförmigen Abfluss, 

sodass die hydraulischen Verhältnisse an solchen Bauwerken selbst nicht Gegenstand dieses 

Kapitels, sondern erst des nächsten sind. Hingegen ist der Wasserspiegelverlauf ober- bzw. unterhalb 

der Einbauten zumeist nur schwach ungleichförmig und daher mit den in diesem Kapitel vorgestellten 

Methoden zu berechnen. 

Unterschieden wird zwischen ungleichförmig verzögertem (Staulinie) und ungleichförmig beschleunigtem 

(Senkungslinie) Abfluss. Für die Berechnung ist es wichtig, welcher Fließzustand 

vorliegt. Besondere Bedeutung für die variable Abflusstiefe kommt zwei Bezugsgrößen zu, der 

Normalabflusstiefe h n und der Abflusstiefe an der Knickstelle h 0 . Die Normalabflusstiefe entspricht 

der Abflusstiefe, die dasselbe Gerinne beim selben Volumenstrom Q unter gleichförmigem Abfluss 

aufweisen würde. Die beiden Werte h n und h 0 bilden den Anfangs- und Endpunkt (oder umgekehrt) 

der Stau- oder Senkungslinie. Bei strömendem Abfluss wird die Lage des Wasserspiegels entgegen 

der Fließrichtung, bei schießendem Abfluss in Fließrichtung berechnet. Theoretisch reicht der Stau 

bzw. die Absenkung bis ins Unendliche; praktisch beginnt oder beendet man die Stau- oder Senkungsberechnung 

dort, wo der Wasserstand bei der Staulinie nur mehr um 1 % größer, bei der Senkungslinie 

nur mehr um 0,5 % kleiner als der Wasserstand für gleichförmigen stationären Abfluss 

ist: 

h = 1,01·h n oder h − h n 

h 

= 0,01 bzw. h = 0,995·h n oder h n − h 

n h 

= 0,005. 

n 

Die für die Stau- oder Senkungslinienberechnung zur Verfügung stehenden Methoden können in 

zwei Gruppen eingeteilt werden: 

Methoden der direkten Integration 

● 

● 

Rechteckquerschnitte nach RÜHLMANN 

Parabelquerschnitte nach TOLKMITT 

Die entsprechenden Funktionswerte können aus Tabellen entnommen werden. 

Die Methoden nach RÜHLMANN und TOLKMITT eignen sich vor allem für die Berechnung der 

Stau- und Senkungslinien in künstlichen Gerinnen. 

Indirekte abschnittsweise Berechnung (Standard-Step-Verfahren) 

– besonders bei ungleichförmigen Profilen 

– die Berechnung erfolgt durch ein Iterationsverfahren in tabellarischer Form 

– ∆x wird fix angenommen 

– für die Wassertiefe wird vorerst ein Schätzwert angenommen, dessen Richtigkeit mit der letzten 

Spalte der tabellarischen Berechnung überprüft wird. 

Stationärer, leicht ungleichförmiger Abfluss – Stau- und Senkungslinien S. 73


6.4.1 Berechnung nach TOLKMITT 

Das Verfahren nach TOLKMITT und das Standard-Step-Verfahren werden sowohl allgemein als 

auch an einem konkreten, unten stehenden Beispiel erläutert. 

60.) Gerinne mit Trapezprofil: 

s = 4,00 m 

m = 2 

I = 1,0 ‰ 

−1 

k St = 33 m 

1/3·s 

a) Wie groß ist die Wassertiefe, wenn der zu bewältigende Volumenstrom Q = 

45,0 m 3 /s beträgt? Mit welcher mittleren Geschwindigkeit bewegt sich das Wasser, 

schießender oder strömender Abfluss? 

b) Durch einen Geländebruch entsteht ein Sohlknick, sodass an der Knickstelle eine 

Absenkung des Wasserspiegels um ∆z = 0,83 m auftritt. Gesucht: Verlauf der 

Spiegellinie oberhalb des Sohlknicks (in 1/5-Punkten bezogen auf y bzw. y 0 der 

Tolkmitt-Formel). 

c) Zu ermitteln ist die Spiegellinie unter den gleichen Bedingungen wie in Punkt b) 

mit der Methode der indirekten abschnittsweisen Berechnung. Die Profilabstände 

sind aus den Ergebnissen der vorhergehenden Berechnung zu übernehmen, um 

damit einen direkten Vergleich der beiden Berechnungsmethoden zu erhalten. 

Für die Ermittlung des Wasserspiegelverlaufes in einem Parabelprofil nach TOLKMITT müssen die 

Normalabflusstiefe und die Grenztiefe bekannt sein. Vorerst ist die Normalabflusstiefe h n im (symmetrischen) 

Trapezprofil zu berechnen. Der hydraulische Radius beträgt laut Formel 6-3 

R = A U = (s + m ·h) ·h 

s + 2·h · m 2 + 1 . 

Die Strickler-Formel v = k St ·R 2/3 ·I 1/2 

oder Q = k St ·R 2/3 ·I 1/2 ·A 

liefert mit den Beziehungen für das symmetrische Trapezprofil 

Q = k st · ⎜ ⎛ (s + m ·h) · h 

2/3 

⎝ s + 2·h · m 2 + 1⎠ ⎟⎞ ·I 1/2 ·(s + m ·h) ·h . 

Diese Gleichung kann nicht explizit nach h aufgelöst werden, h ist daher iterativ zu bestimmen. 

Mit den gegebenen Bestimmungsstücken von Beispiel Nr. 60 lautet die Gleichung 

45,0 = 33 · ⎜ ⎛ 2/3 

(4,0 + 2 ·h/m) · h/m 

⎝ 4,0 + 2·h/m · 2 2 + 1⎠ ⎟⎞ ·0,001 

1/2 ·(4,0 + 2 ·h/m) ·h/m 

oder 43,1220 = ⎜ ⎛ 2/3 

(4,0 + 2 ·h/m) · h/m 

⎝ 4,0 + 2· 5 ·h/m ⎠ ⎟⎞ ·(4,0 + 2 ·h/m) ·h/m 

und man erhält mit den folgenden Schätzwerten 

Verfahren nach TOLKMITT S. 74


ĥ i / m Qˆ i / (m 3·s −1 ) 

1,00 4,97 

2,00 19,23 

3,00 44,99 

3,01 45,31 

3,001 45,02 

Die Normalabflusstiefe beträgt 3,00 m 

und die Fließgeschwindigkeit mit v = Q /A 

v 

m·s −1 = 45 

(4,0 + 2,0×3,00)×3,00 

= 1,500; v = 1,500 m/s. 

Im nächsten Schritt ist die Grenztiefe zu bestimmen. Die Formel für den Trapezquerschnitt unter 

der Annahme, dass der Korrekturbeiwert für die mittlere Geschwindigkeitshöhe α = 1 beträgt, lautet 

bei gleichen Böschungsneigungen (siehe Gleichung 6-9 auf Seite 72) 

h gr = 

1 

s + m ·h gr 

· 

3 Q 2 

g (s + 2·m ·h gr) . 

Mit den gegebenen Größen ist h gr ebenfalls iterativ (in diesem 

Fall rekursiv) zu berechnen: 

hˆ gr i+1 

m = 1 

3 

4,00 + 2,0 ·hˆ gr i / m · 45,0 2 

9,81 (4,00 + 2·2 ·h ˆ 

gr i / m) 

Die Grenztiefe beträgt h gr = 1,752 m. 

h > h gr (3,00 > 1,75) → strömender Fließzustand 

hˆ gr i / m 

3,000 

1,489 

1,822 

1,734 

1,757 

1,751 

1,752 

hˆ gr i+1 / m 

1,489 

1,822 

1,734 

1,757 

1,751 

1,752 

1,752 

Um die für Parabelquerschnitte gültige Tolkmitt-Formel anwenden zu können, muss der Trapezquerschnitt 

in einen hydraulisch ähnlichen Parabelquerschnitt übergeführt werden. Dabei kann nicht 

einfach angenommen werden, dass die Abflusstiefe im Parabelquerschnitt und die im Trapezprofil 

gleich sein müssen; vielmehr muss in beiden Profilen ein ähnlicher Strömungszustand vorliegen. 

Das wird durch die Anwendung des Froudeschen Ähnlichkeitsgesetzes gewährleistet (siehe Anhang 

8.2). Anstelle der Gleichheit der beiden Froude-Zahlen gemäß Gl. 6-6 wird 

Fr 2 Trapez = Fr 2 Parabel bzw. Q 2 

g · ⎝ ⎜⎛ B 

A 3 ⎠ ⎟⎞ Trapez = Q 2 

g · ⎝ ⎜⎛ B 

A 3 ⎠ ⎟⎞ Parabel bzw. ⎜ ⎛ B 

⎝ A 3 ⎠ ⎟⎞ Trapez = ⎜ ⎛ B 

⎝ A 3 ⎠ ⎟⎞ Parabel 

verlangt. Daraus folgt, dass abgesehen vom Durchfluss die Querschnittsfläche A und die Spiegelbreite 

B gleich sein müssen, die Abflusstiefen hingegen nicht gleich sind. Die weitere Invariante ist 

der Abstand x von der Knickstelle, er ist im Trapez- und im Parabelprofil gleich. 

Wenn die Parabel-Funktion h P (b) = a ·b 2 

[h P ] = m Abflusstiefe im Parabelprofil als Funktion der halben Spiegelbreite b 

[a] = dim.los Formparameter. a ist so zu bestimmen, dass das Parabelprofil bei derselben 

Spiegelbreite B wie im Trapezprofile auch denselben Fließquerschnitt A aufweist 

[b] = m halbe Spiegelbreite 

lautet, dann beträgt die zwischen der b-Achse bzw. Abszisse und der halben Parabel befindlichen 

Fläche (0 ≤ b ≤ B/2) 

B/2 

⌡ ⌠ a ·b 2 db = ⎪ a ·b 3 B/2 3 + C ⎪ ⎪⎪ = a ·B3 

0 24 . 

0 

Das die halbe Parabel (0 ≤ b ≤ B/2) umschreibende Rechteck weist die Breite B/2 und die Höhe 

y (B/2) = a ·(B/2) 2 auf. Der gesuchte Flächeninhalt A/2 innerhalb der Halbparabel ist daher 

A 

2 = B 2 · a ·B2 

4 − a ·B3 

24 = a ·B3 

12 



und die von der ganzen Parabel mit der Spiegelbreite B aufgespannte Fläche beträgt A = a ·B3 

6 . 

Bei gegebener Fläche A und Spiegelbreite B im Trapez errechnet sich dann der Formparameter a 

der Parabel aus A = a ·B3 

6 

→ a = 6 ·A 

B 3 

und die zu h T gehörige, durch A und B bzw. a festgelegte Wassertiefe in der Parabel h P beträgt 

h P = 6 ·A 

B 3 · ⎝ ⎜⎛ B 

2 

2 ⎠ ⎟⎞ = 3A 

2B · 

Die Fließquerschnittsfläche A und die Spiegelbreite B im Trapez sind Funktionen der Abflusstiefe 

h T im Trapez. Der Formparameter a und die Abflusstiefe h P im Parabelprofil sind Funktionen von A 

und B. Damit sind a und h P eigentlich Funktionen von h T : 

a = 6 ·A 

B 3 = 6 ·(s + m ·h T) ·h T 

(s + 2 ·m ·h T ) 3 . 

Daraus folgt zwangsläufig, dass a nicht konstant über die Lauflänge des Gerinnes mit variabler 

Wassertiefe ist, sondern variabel. 

Bei gegebener Wassertiefe im Trapezprofil h T ergibt sich die Spiegelbreite (siehe oben) zu 

B = s + 2 ·m ·h T und die Querschnittsfläche A = (s + m ·h T ) ·h T ; die zugehörige Wassertiefe im Parabelprofil 

lautet dann 

h P = 3A 

2B = 3 ·(s + m ·h T) ·h T 

2 ·(s + 2 ·m ·h T ) . 

Für den gegebenen Fall: 

h P 

m = 3×(4,00 + 2,0·h T/m) ·h T /m 

2×(4,00 + 2×2,0·h T /m) 

Laut Angabe (Bsp. Nr. 60) ist die Wassertiefe im Trapezprofil an der Knickstelle um 

∆z = 0,83 m gegenüber der Normalabflusstiefe abgesenkt. Die Wassertiefe an der 

Knickstelle h 0 beträgt daher h 0 = h n − ∆z = 3,00 m − 0,83 m = 2,17 m. 

Die den einzelnen Wassertiefen im Trapezprofil zugeordneten Wassertiefen im Parabelprofil 

betragen 

Trapez h T / m B / m A / m 2 h P / m Parabel 

h n T 3,000 16,001 30,007 2,813 h n P 

h gr T 1,752 11,008 13,147 1,791 h gr P 

h 0 T 2,170 12,682 18,103 2,141 h 0 P 

Ist umgekehrt die Abflusstiefe im Parabelprofil gegeben und die entsprechende Tiefe im Trapez zu 

bestimmen, so ist die Umkehrfunktion gegeben durch 

h P = 3A 

2B = 3 ·(s + m ·h T) ·h T 

2 ·(s + 2 ·m ·h T ) 

→ h P ·2 ·(s + 2 ·m ·h T ) = 3 ·(s + m ·h T ) ·h T 

2·s ·h P + 4 ·m ·h T ·h P = 3 ·s ·h T + 3 ·m ·h T 

2 

→ 

h 2 T + 3 ·s − 4 ·m ·h P 

3 ·m 

·h T − 2 ·s ·h P 

3 ·m = 0 

h T = 4 ·m ·h P − 3 ·s + (3 ·s − 4 ·m ·h P ) 2 + 24 ·s ·m ·h P 

6 ·m 



Die Formel für die Stau- bzw. Senkungsweite lautet nach TOLKMITT (siehe Vorlesungsskriptum 

LOISKANDL): 

x = h n P 

I S 

· [y 0 − y + µ · (f (y) − f (y 0 ))] (6-10) 

[x] = m Stau- bzw. Senkungsweite 

[h n P ] = m der Normalabflusstiefe im Trapezprofil zugeordnete Abflusstiefe im Parabelprofil 

[I S ] = dim.los Sohlgefälle 

[y 0 ] = dim.los dimensionsloser, konstanter Verhältniswert: 

y 0 = h 0 P / h n P 

[h 0 P ] = m der Abflusstiefe an der Knickstelle im Trapezprofil zugeordnete Abflusstiefe im 

Parabelprofil 

[y] = dim.los dimensionsloser Verhältniswert an der Stelle x mit der Wassertiefe h x P : 

y = h x P / h n P 

[h x P ] = m Wassertiefe im Parabelprofil mit dem Abstand x vom Knickpunkt (bzw. an der 

Stelle x) 

h 

4 gr P 

h n P 

[µ] = dim.los dimensionsloser Beiwert: µ = 1 − ⎜ ⎛ ⎝ ⎠ ⎟⎞ 

[f (y)] = dim.los Wert der Tolkmitt-Funktion für y: 

f (y) = 1 4 · ln ⎝ ⎜⎛ y + 1 

±y 1 ⎠ ⎟⎞ + 1 2 · arc tan (y) 

y in der Winkelfunktion besitzt die Einheit Radiant. Im gegebenen Fall liegt eine 

Senkungslinie vor, die Abflusstiefe an einer beliebigen Stelle x ist stets kleiner 

als die Normalabflusstiefe und y ist stets kleiner als 1. Da das Argument der Logarithmus-Funktion 

positiv sein muss, müssen für die Senkungslinie folgende 

Vorzeichen zutreffen: f (y) = 1 4 · ln ⎝ ⎜⎛ y + 1 

−y + 1 ⎠ ⎟⎞ + 1 2 · arc tan (y) 

Die Werte für die Tolkmitt-Funktion f (y) können auch aus der Tabelle im Vorlesungsskriptum 

LOISKANDL durch Linearinterpolation gewonnen werden. 

[f (y 0 )] = dim.los Wert der Tolkmitt-Funktion für y 0 (Senkungslinie): 

f (y 0 ) = 1 4 · ln ⎝ ⎜⎛ y 0 + 1 

−y ⎠ ⎟⎞ 

0 + 1 + 1 2 · arc tan (y 0) 

Weil, wie schon erwähnt, die Absenkkurve stromaufwärts theoretisch erst im Unendlichen die Normalabflusstiefe 

erreicht, wird als Endpunkt der Senkungslinie nicht h n P , sondern 99,5 % von h n P 

gewählt. Laut Angabe ist die Senkungslinie in 5 Abschnitte mit gleichen y-Differenzen aufzuteilen. 

Da y und h x P zueinander proportional sind, wird dadurch auch die Abflusstiefe im Parabelprofil in 

konstante Differenzen aufgeteilt, nicht aber im Trapezprofil, weil die Abflusstiefe im Trapezprofil 

eine nichtlineare Funktion der Tiefe im Parabelprofil ist. 

y i = y 0 + i · ⎛ 0,995 − y 0 

⎝⎜ 

5 ⎠ ⎟⎞ für i = 0 bis inkl. 5 

Abflusstiefe im Parabelprofil: h x P = y i ·h n P . 

Für die vorliegenden Angaben betragen die konstanten Werte 

y 0 = h 0 P / h n P = 2,141 / 2,813 = 0,76111 

f (y 0 ) = 1 4 · ln ⎝ ⎜⎛ 0,76111 + 1 

−0,76111 + 1 ⎠ ⎟⎞ + 1 2 · arc tan 0,76111 = 0,82470 



µ = 1 − ⎜ ⎛ 4 

h gr P 

⎝ h ⎠ ⎟⎞ = 1 − ⎜ ⎛ 4 

1,791 

n P ⎝ 2,813 ⎠ ⎟⎞ = 0,83568 , 

die Senkungsweite bzw. die Formel nach TOLKMITT lautet dann 

x = h n P 

I · [y 0 − y + µ · (f (y) − f (y 0 ))] = 2,813 

S 0,001 · [0,76111 − y + 0,83568 · (f (y) − 0,82470)] 

x = 202,32419 − 2813 ·y + 2350,7678 ·f (y) 

und die Abflusstiefe im Trapezprofil 

Tabelle 6-2: 

h T = 4 ·m ·h P − 3 ·s + (3 ·s − 4 ·m ·h P ) 2 + 24 ·s ·m ·h P 

6 ·m 

h T 

m = 4×2,0 ·h P / m − 3×4,00 + (3×4,00 − 4×2,0 ·h P / m) 2 + 24×4,00×2,0 ·h P / m 

6×2,0 

h T 

m = 8,0 ·h P / m − 12,00 + (12,00 − 8,0 ·h P / m) 2 + 192,00 ·h P / m 

12,0 

Beispiel Nr. 60; Abflusstiefen nach TOLKMITT 

1 2 3 4 5 6 

i y i h i P / m f(y i ) x i / m h i T / m 

0 0,76125 2,141 0,82491 0 2,170 

1 0,80800 2,273 0,90041 45,92 2,331 

2 0,85475 2,404 0,99038 125,84 2,492 

3 0,90150 2,536 1,10690 268,17 2,655 

4 0,94825 2,667 1,28648 558,69 2,818 

5 0,995 2,799 1,88869 1842,40 2,983 

6.4.2 Standard-Step-Verfahren 

Die Berechnung ist nach dem Rezept im Vorlesungsskriptum [LOISKANDL] in tabellarischer 

Form (siehe Tabelle 6-3) durchzuführen. 

Eine grundlegende Annahme des Verfahrens besteht darin, dass das Energieliniengefälle in jedem 

Abschnitt konstant ist und aus den gemittelten Profildaten des Anfangs- und des Endquerschnittes 

berechnet werden kann. Je kürzer die einzelnen Abschnitte (Spalte 1 in der nachfolgenden Tabelle 

6-3) sind bzw. je feiner die Diskretisierung ist, desto genauer wird die Näherung. Um das Ergebnis 

mit der Berechnung nach TOLKMITT vergleichen zu können, sind in den ermittelten x-Abständen 

(Spalte 5 der Tabelle 6-2) jedenfalls Berechnungsquerschnitte anzusetzen (Index i für den Querschnitt 

in Spalte 2 der Tabelle 6-3). Die Intervalle ∆x zwischen den Berechnungsquerschnitten 

(Tabelle 6-3, Spalte 4) sind mit Ausnahme des letzten voraussichtlich ausreichend eng, nur das 

letzte Intervall ist in zwei gleich große Abschnitte zu unterteilen. Daraus ergibt sich die Stationierung 

in der dritten Spalte der Tabelle 6-3, bei strömendem Fließzustand vom Knickpunkt ausgehend 

gegen die Fließrichtung stromaufwärts. Vom bekannten Startquerschnitt im Knickpunkt mit dem 

Index 0 sind die gegebene Abflusstiefe h 0 (Spalte 5) und die Profildaten erforderlich, um später das 

Mittel zwischen Anfangs- und Endquerschnitt des Abschnittes bilden zu können. Der Fließquerschnitt 

A (Spalte 6) und der benetzte Umfang U (Spalte 7) als Funktion der Abflusstiefe sind für den 

symmetrischen Trapezquerschnitt durch die Beziehungen (Formeln 6-1 und 6-2) 



A i = (s + m ·h i ) ·h i 

und U i = s + 2 ·h i · m 2 + 1 

gegeben. Der hydraulische Radius R i (Spalte 8) für den betrachteten Querschnitt beträgt R i = A i / U i . 

Die Fließgeschwindigkeit im Querschnitt (Spalte 9) erhält man mit dem angegeben Durchfluss aus 

v i = Q / A i 

und die Geschwindigkeitshöhe (Spalte 10) aus h g i = v i 2 

2 ·g . 

Die Abflusstiefe h 1 im Endquerschnitt des ersten Abschnittes mit dem Index 1 ist vorerst nicht bekannt; 

als erste Schätzung ist natürlich das Resultat der Berechnung nach TOLKMITT zu empfehlen 

(Spalte 5, zweite Zeile der Tabelle 6-2). Damit sind auch im Endquerschnitt die Werte für A, U, 

R, v und h g berechenbar. Nun wird das arithmetische Mittel R m = (R 0 + R 1 )/2 (Spalte 11) und 

v m = (v 0 + v 1 )/2 (Spalte 12) für den ersten Abschnitt gebildet und nach STRICKLER das mittlere 

2 −2 

Energieliniengefälle I E (Spalte 13) für den Abschnitt errechnet: I E = v m ·k St ·R −4/3 m . 

Das mittlere Energieliniengefälle mal der Abschnittslänge ∆x (Spalte 4) ergibt den Energiehöhenverlust 

h v (Spalte 14) für den Abschnitt, d. h. die Energielinie muss im Endquerschnitt (stromaufwärts) 

um h v höher liegen: 

h v = I E ·∆x 

Die Abflusstiefe h 0 plus der Geschwindigkeitshöhe h g 0 ergibt die Höhenlage der Energielinie im 

Querschnitt 0 über der Flusssohle, addiert man h v hinzu und zieht die Geschwindigkeitshöhe in 1 

und den Unterschied in den Sohlhöhen (Spalte 15) ∆z = I S ·∆x ab, so verbleibt die Abflusstiefe h 1 : 

h 1 = h 0 + h g 0 − h g 1 + h v − ∆z 

Stimmt die errechnete Abflusstiefe h 1 (Spalte 16) mit der angenommenen (Spalte 5) ausreichend 

genau überein, so ist die Abflusstiefe gefunden, andernfalls dient das Ergebnis als neue Schätzung 

für h 1 (Spalte 5, nächste Zeile), mit der die Profildaten und die mittleren Abschnittswerte neu berechnet 

müssen. An Stelle des rekursiven Iterierens kann man auch ab zwei Wertepaaren linear einen 

neuen Schätzwert errechnen. 

Nach der Berechnung des Querschnittes 1 geht man zum nächsten Abschnitt über und legt einen 

Schätzwert für h 2 fest usw.. 

Die Abflusstiefe im letzten Profil muss natürlich geringfügig kleiner sein als die Normalabflusstiefe. 

Ist sie größer und liegt kein Rechenfehler vor, so war die Diskretisierung zu grob und die Profilintervalle 

müssen durch Aufnahme zusätzlicher Querschnitte verkleinert werden. 

Standard-Step-Verfahren S. 79


Tabelle 6-3: Beispiel Nr. 60; Senkungslinienberechnung mit dem Standard-Step-Verfahren S. 80 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 

i Station ∆x h i A i U i R i v i h g i R m v m I E h v ∆z h i+1 

6 5 

4 3 Abschn. 2 Abschn. 1 

0 0,0 2,170 18,103 13,706 1,321 2,486 0,315 

1,360 2,358 3,387 0,156 2,342 

2,331 20,186 14,423 1,400 2,229 0,253 

45,92 

1,363 2,349 3,353 0,154 0,046 2,344 

2,342 20,338 14,474 1,405 2,213 0,250 

1,363 2,348 3,348 0,154 

2,344 

1 45,92 2,344 20,365 14,483 1,406 2,210 0,249 

1,442 2,110 2,508 0,200 2,508 

2,492 22,389 15,145 1,478 2,010 0,206 

79,92 

1,446 2,100 2,476 0,198 0,080 2,509 

2,508 22,612 15,216 1,486 1,990 0,202 

1,446 2,099 2,474 0,198 

2,509 

2 125,84 2,509 22,626 15,221 1,487 1,989 0,202 

1,522 1,905 1,904 0,271 2,670 

142,33 2,655 24,713 15,872 1,557 1,821 0,169 

0,142 

1,525 1,897 1,881 0,268 

2,670 

3 268,18 2,670 24,938 15,941 1,564 1,804 0,166 

1,600 1,731 1,470 0,427 2,833 

2,818 27,158 16,604 1,636 1,657 0,140 

1,604 1,724 1,454 0,422 2,830 

290,52 2,833 27,384 16,670 1,643 1,643 0,138 

0,291 

1,603 1,725 1,457 0,423 2,831 

2,830 27,338 16,656 1,641 1,646 0,138 

1,603 1,725 1,456 0,423 

2,831 

4 558,69 2,831 27,353 16,661 1,642 1,645 0,138 

1,658 1,614 1,219 0,782 2,982 

2,901 28,428 16,972 1,675 1,583 0,128 

641,86 

1,678 1,580 1,150 0,738 0,642 2,948 

2,982 29,713 17,336 1,714 1,515 0,117 

1,672 1,590 1,169 0,750 

2,958 

5 1200,55 2,958 29,332 17,229 1,702 1,534 0,120 

641,86 1,710 1,522 1,040 0,688 0,642 2,988 

6 1842,41 2,988 29,808 17,363 1,717 1,510 0,116



Wasserspiegellinienverlauf für Beispiel Nr. 60 nach TOLKMITT und nach 

dem Standard-Step-Verfahren 

6.4.3 Inverse Probleme bei den Verfahren nach RÜHLMANN oder TOLKMITT 

Wenn eine bestimmte Abflusstiefe h bei schwach ungleichförmigem Verlauf gegeben ist und die 

Stelle bzw. Stau- oder Senkungsweite x gesucht ist, an der diese auftritt, handelt es sich um ein 

direktes Problem. Beim inversen Problem ist hingegen die Stelle x gegeben und die an dieser Stelle 

auftretende Abflusstiefe h gefragt. Das inverse Problem lässt sich im Gegensatz zum direkten nicht 

analytisch lösen, weil die Rühlmann- bzw. die Tolkmitt-Funktion nicht nach der gesuchten Variable 

y aufgelöst werden kann. 

Als numerische Lösung drängt sich eine rekursive Iteration auf, weil sowohl die Rühlmann- als 

auch die Tolkmitt-Funktion leicht zu y = g (F (y)) bzw. y = g (f (y)) umgeformt werden kann. Die 

rekursive Iteration konvergiert jedoch nicht bzw. gegen einen falschen Wert und scheidet daher aus. 

Es empfiehlt sich vielmehr ein graphisches Verfahren mit anschließender numerischer Verfeinerung 

mittels Probierverfahren oder anderer Methoden (Nullstellensuche z. B. mit Intervallhalbierungsmethode, 

Sekantenverfahren, Beschleunigung nach AITKEN, quadratisches Verfahren nach 

MÜLLER oder andere). Für die graphische Lösung beginnt man mit der Tolkmitt-Beziehung 6-10 

x = h n P 

I · [y 0 − y + µ · (f (y) − f (y 0 ))] 

S 

und trennt f (y) vom Rest der Beziehung: 

y + x · IS 

h n P 

− y 0 = µ · (f (y) − f (y 0 )) 

1 

µ · y + 1 µ · ⎝ ⎜⎛ x · IS 

h 

− y 0 

⎠ ⎟⎞ + f (y 0 ) = f (y) . 

n P 

Stationärer, leicht ungleichförmiger Abfluß – Stau- und Senkungslinien S. 81


Während in dieser Gleichung rechts nur mehr die Tolkmitt-Funktion f (y) aufscheint, stellt die linke 

Seite eine Gerade G (y) dar. Die Lösung der Gleichung ist also der Schnitt einer Geraden mit der 

Tolkmitt-Funktion. Wenn man zwei Wertepaare der Geraden berechnet (mit y = 0 und y = 1 für die 

Senkungslinie und mit y = 1 und y = 2,5 für die Staulinie), diese in der zutreffenden Abbildung 

unten einträgt, verbindet und mit der Tolkmitt-Funktion schneidet, erhält man entweder einen oder 

zwei Schnittpunkte, wobei nur einer physikalisch sinnvoll ist. Dieses graphische Resultat für y 

sollte auf zwei Stellen genau sein und lässt sich numerisch leicht verfeinern. 

Nachdem die Rühlmann-Beziehung identisch aufgebaut ist, gelangt man zur analogen Gleichung 

1 

µ · y + 1 µ · ⎝ ⎜⎛ x · IS 

h 

− y 0 

⎠ ⎟⎞ + F (y 0 ) = F (y) . 

n P 

Es ist nur zu beachten, dass der Koeffizient µ und natürlich auch die Rühlmann-Funktionswerte 

F (y) bzw. F (y 0 ) unterschiedlich zu berechnen sind. 


Tolkmitt- und Rühlmann-Funktion für die Senkungslinie 




Tolkmitt- und Rühlmann-Funktion für die Staulinie 

61.) Ein Rechteckgerinne geht mit einem Sohlknick in eine Schussrinne über. 

Gesucht sind a) die Senkungslänge und 

b) die Wassertiefe 500 m oberhalb des Sohlknicks. 

b = 6,00 m I S = 0,8 ‰ 

Q = 15,0 m 3 /s k St = 50 m 

1/3·s 

−1 



6.5 Stationärer, stark ungleichförmiger Abfluss 

Unter diesem Kapitel sind Beispiele mit Wechselsprung, der Wehrhydraulik (Überfallströmungen) 

oder sonstiger Einbauten zusammengefasst. 

6.5.1 Überfälle 

Der Überfall ist ein Abflussvorgang, bei dem Wasser über die Oberkante eines Staubauwerkes läuft 

[BOLLRICH und PREISZLER, 1992], es wird jedoch auch das überströmte Bauwerk selbst als 

Überfall und seine Oberkante als Überfallkrone oder Überfallkante bezeichnet. An Querschnittsformen 

werden 

a) ausgerundete (rundkronige) Wehre wie z. B Stauwehre und Hochwasserüberfälle, 

b) scharfkantige Wehre, insbesondere Messwehre und 

c) breitkronige Wehre z. B als Grundwehre und Sohlschwellen 

unterschieden. Unter der Überfallhöhe h bei einem Wehr wird die Höhendifferenz zwischen dem 

unbeeinflussten Oberwasserspiegel und der Überfallkrone bzw. dem Wehrscheitel verstanden 

[BOLLRICH und PREISZLER, 1992]. Sie ist etwa im Abstand 3·h bis 4·h oberhalb der Überfallkrone 

zu messen. Von dort senkt sich der Strahl bis zur Überfallkrone erheblich ab und erreicht 

beim vollkommenen Überfall im Bereich der Überfallkrone annähernd Grenztiefe. 

Vom hydraulischen Verhalten her ist zwischen dem vollkommenen Überfall – der durch den Fließwechsel 

vom Strömen zum Schießen im Bereich der Überfallkrone gekennzeichnet ist und dessen 

Abfluss demzufolge vom Unterwasser unbeeinflusst bleibt – und dem unvollkommenen Überfall – 

bei dem der Fließwechsel nicht stattfindet und ein Einfluss entgegen der Fließrichtung möglich ist – 

unterschieden werden. 

Bei der hydraulischen Berechnung einer Überfallströmung ist von einem der zwei mehr oder weniger 

gegensätzlichen Näherungsansätzen auszugehen, die im Anhang 8.3 zu finden sind. Während 

der erste eher auf rundkronige Wehre und Messwehre zutrifft, ist der zweite Ansatz für breitkronige 

Wehre nahe liegend. Beide Ansätze führen praktisch zur selben Formel, in der den Abweichungen 

zwischen den Modellansätzen und der tatsächlichen Überfallströmung hauptsächlich durch einen 

Anpassungsfaktor, dem so genannten Überfallbeiwert µ Rechnung getragen wird. Abgesehen von 

diversen Einschränkungen ist diese so genannte Poleni-Formel die maßgebliche Beziehung für alle 

Querschnittsformen (ausgerundete, scharfkantige und breitkronige Wehre): 

Q = 2 3 ·µ ·B · 2 ·g ·h 3/2 , 

[Q] = m 3·s −1 Wehrabfluss 

[µ] = dim.los Überfallbeiwert 

[B] = m Länge der Wehrkrone (Breite des Abflusses über dem Wehr) 

[h] = m Überfallhöhe; Höhe des unbeeinflussten Oberwasserspiegels über dem Wehrscheitel; 

ist etwa im Horizontalabstand 3·h bis 4·h vor der Wehrkrone zu messen 

in der die Abflussbreite B und die Überfallhöhe h relativ einfach gemessen werden können. Die Abflussberechnung 

bei Überfällen läuft demnach auf die genaue Erfassung der die jeweilige geometrische 

Form kennzeichnenden Überfallbeiwerte hinaus [BOLLRICH und PREISZLER, 1992]. 

Überfälle S. 84


Rundkronige und scharfkantige Wehre 

Bei jenen Wehrströmungen, bei denen sich entweder nach der Wehrkante ein freier Strahl mit einer 

der freien Atmosphäre ausgesetzten Strahlober- als auch -unterfläche ausbildet oder bei denen der 

Abfluss unmittelbar über dem Wehrrücken (unterwasserseitig) praktisch drucklos erfolgt und die als 

freie Überfallströmungen bezeichnet werden könnten, sind die meisten Berechnungsansätze von 

schwach ungleichförmigen Gerinnen jedenfalls nicht zutreffend. Um bei solchen Wehren entweder 

bei gegebener Überfallhöhe den Abfluss oder bei gegebenem Abfluss die Überfallhöhe ermitteln zu 

können, muss daher entweder die Überfallhöhe-Abfluss-Beziehung (auch als Wehrcharakteristik 

bezeichnet) oder zumindest der Überfallbeiwert µ (unter Annahme der Gültigkeit der Poleni-Formel) 

bekannt sein. 

Breitkronige Wehre 

Im Gegensatz zu rundkronigen und scharfkantigen Wehren erfolgt die Überströmung von breitkronigen 

Wehren, also z. B. stark überhöhten Sohlschwellen insbesondere mit flachen Rampen, mit 

annähernd parallelen Strombahnen und damit ähnlich wie in leicht ungleichförmigen Gerinnen. 

Insbesondere kann als erste Näherung angenommen werden, dass sich über dem Wehrrücken die 

Grenztiefe einer gleichförmigen Strömung in einem Rechteckprofil mit gleicher Breite einstellt. 

Wenn die Zuströmgeschwindigkeit im Oberwasser klein und die Geschwindigkeitshöhe dort vernachlässigbar 

ist, sollte die Überfallhöhe etwa der minimalen Energiehöhe über dem Wehrrücken 

entsprechen. 

62.) Im Zuge einer Flussregulierung ist das bestehende Gefälle durch die Errichtung von 

Absturzbauwerken zu verringern. 

a) Welches Regulierungsgefälle ist zu wählen, damit in dem 13,50 m breiten Flussbett 

ein Hochwasserabfluss von Q = 50 m 3 /s bei einer mittleren Durchflussgeschwindigkeit 

von 1,54 m/s gewährleistet ist? Der Rauigkeitsbeiwert nach 

STRICKLER kann mit k St = 35,0 angenommen werden. Ufer 1 zu 2,0 geböscht. 

b) Wie groß sind die Höhen der Absturzbauwerke mindestens anzuordnen, um eine 

wirksame Verminderung der mechanischen Energie zu erreichen? 

63.) Um welches Maß steigt bei Hochwasser der Oberwasserspiegel eines Flusses über 

die Krone eines 25,50 m breiten, festen Überfallwehres an, wenn der maximale Abfluss 

75,00 m 3 /s beträgt? Der Abflussbeiwert ist mit µ = 0,75 anzunehmen. 

64.) Der unter 12° geneigte Rechen eines Tiroler Wehres liegt innerhalb eines 2,5 m breiten 

Gerinnes mit Rechteckquerschnitt. Die Rechenstäbe sind 2 cm dick und liegen in 

4 cm lichtem Abstand. Der Kontraktionsbeiwert µ kann mit 0,9 angenommen werden. 

Folgende Fragen sind zu beantworten: 

a) Wie lang muss der Rechen werden, wenn Q o = 7,0 m 3 /s zufließen und vollständig 

in das abzweigende Gerinne gelangen sollen? 

Überfälle S. 85


b) Wie groß ist der Restabfluss Q u im Hauptgerinne bei einem Zufluss von Q o = 

16 m 3 /s und der in a) festgelegten Rechenlänge? 

c) Welche Wassertiefe stellt sich für Q o = 16 m 3 /s am oberen und unteren Rechenende 

ein? 

6.6 Instationärer Abfluss 

65.) In einem Werkskanal mit rechteckigem Querschnitt (Mühlgerinne, b = 3,70 m) wird 

der mit der Höhe h = 1,85 m erfolgende Abfluss von Q = 2,60 m 3 /s auf Q 1 = 1,04 m 3 /s 

plötzlich gedrosselt. 

a) Wie groß ist die infolge des Stauschwalles auftretende Spiegelerhöhung des 

Oberwassers? 

b) Wie groß ist die maximale Schwallhöhe im Werkskanal bei plötzlichem, vollkommenem 

Abschluss des Einlaufschützes vor der Wasserkraftmaschine? 

Überfälle S. 86


7. GEOHYDRAULIK 

Grundlage der gesamten Strömungsberechnung in der Geohydraulik ist das Gesetz von DARCY: 

q = −k ·i (7-1) 

[q] = m·s −1 Durchflussrate, auf den Querschnitt bezogener Fluss; besitzt genau genommen 

die Dimension L 3 L −2 T −1 ; auch als Filtergeschwindigkeit v f bezeichnet 

[k] = m·s −1 k-Wert oder Durchlässigkeitsbeiwert (eigentlich von der dynamischen Viskosität 

und damit der Temperatur des Strömungsmediums abhängig). Der k-Wert 

wird häufig auch in der Einheit m/d angegeben. 

[i] = dim.los Standrohrspiegelgefälle; auch Gradient des hydraulischen Gesamtpotenzials H, 

das sich in der Geohydraulik vornehmlich aus Lage- und Druckpotenzial zusammensetzt: 

H = p 

ρ ·g + z 

[H] = m Gesamtpotenzialhöhe oder Standrohrspiegelhöhe im betrachteten Punkt 

[ p 

ρ ·g ] = m Druckhöhe im betrachteten Punkt 

[z] = m geodätische Höhe des betrachteten Punktes über dem Vergleichsniveau 

Das Potenzialgefälle zwischen zwei Punkten kann angegeben werden als 

i = H 2 − H 1 

l 

. 

[H 1 ] = m Gesamtpotenzialhöhe oder Standrohrspiegelhöhe im Punkt 1 

[H 2 ] = m Gesamtpotenzialhöhe oder Standrohrspiegelhöhe im Punkt 2 

[l] = m Länge des Fließweges zwischen den Punkten 1 und 2 

Da der Fluss immer von Punkten höheren Potenzials zu Punkten niedrigeren Potenzials und damit 

entgegen der Richtung des Gradienten erfolgt, ist die rechte Seite der Gleichung 7-1 mit negativem 

Vorzeichen versehen. 

66.) Von einem Fluss infiltriert Wasser in den umgebenden Grundwasserkörper, der nach 

unten hin durch eine undurchlässige Schicht begrenzt ist. 

Mit welcher Zuströmung in das 

Grundwasser ist pro m Länge des 

Flusses zu rechnen? 

67.) Die untenstehende Abbildung zeigt einen flachen Hang mit einer relativ dünnen 

Lockergesteinsauflage, der in einen Fluss entwässert. Das Gefälle des Hanges 

beträgt 2 %, der Boden ist sandiger Lehm mit einem k-Wert von 2,5 m/d. In einer 

Geohydraulik S. 87


Tiefe von 6,0 m steht undurchlässiger Fels an. Derzeit dient der Fluss als Vorfluter für 

eine Kläranlage, deren Abfluss in Zukunft auf dem Hang versickert und dadurch 

zusätzlich gereinigt werden soll. Das infiltrierte Wasser bewegt sich hangabwärts und 

strömt schließlich wieder dem Fluss zu; ein Oberflächenabfluss muss jedenfalls verhindert 

werden. 

Wie groß ist die maximale 

Hanglänge, die gleichzeitig 

bewässert werden kann, wenn 

die Aufbringungsrate der 

Beregnung 2 cm/d beträgt? 

68.) Für einen Grundwasserstrom wurde aus Messungen der Grundwasserspiegellage in 

mehreren Beobachtungsrohren die Strömungsrichtung und das Grundwassergefälle 

mit I = 0,0033 ermittelt. Zum Zwecke der Wassererschließung wurde ein Versuchsbrunnen 

mit einem Halbmesser von r 0 = 0,20 m bis zur undurchlässigen Bodenschichte 

abgeteuft und die Mächtigkeit des Grundwasserstromes mit H = 9,30 m 

festgestellt. 

Um die Durchlässigkeit des Grundwasserleiters zu ermitteln, wurden senkrecht zur 

Strömungsrichtung zu beiden Seiten des Versuchsbrunnens Beobachtungsrohre im 

Abstand von 5 m, 20 m und 50 m von diesem niedergebracht und die Grundwasserspiegelabsenkung 

im Zusammenhang mit einigen durchgeführten Dauerpumpversuchen 

eingemessen, die nachstehend angeführt sind. 

Absenkung s / m 

Nr. Q / (l·s −1 ) Br B1 B2 B3 B4 B5 B6 

1 5,30 0,624 0,335 0,149 0,149 0,335 0,624 

2 8,48 1,021 0,542 0,239 0,239 0,542 1,021 

3 12,72 1,581 0,825 0,360 0,360 0,825 1,581 

a) Wie groß ist die Durchlässigkeit des Grundwasserleiters? 

b) Wie groß ist die maximale Entnahmemenge des Versuchsbrunnens? 

c) Wie viele Entnahmebrunnen mit r 0 = 0,20 m sind erforderlich, um die für Wasserversorgungszwecke 

in Aussicht genommene Entnahmemenge von 101,60 l/s zu 

gewährleisten, und wie groß ist die gegenseitige Entfernung der Brunnen senkrecht 

zur Grundwasserströmungsrichtung mindestens anzunehmen, um eine 

gegenseitige Beeinflussung auszuschließen? 

Geohydraulik S. 88


8. ANHANG 

8.1 Hydraulisch günstiges Trapezprofil bei vorgegebener Böschungsneigung 

Das hydraulisch günstigste Trapezprofil ist das halbe Sechseck mit einer Böschungsneigung von 

1 : 1/ 3 = 1 : 0,577 . Bei einer so hohen Böschungsneigung sind viele natürliche Materialien nicht 

standfest. Derart steile Böschungen sind auch aus anderen Gründen nicht erwünscht. Man wählt 

daher zumeist die Böschungsneigung vor (z. B. m = 2 oder m = 3) und ermittelt die Sohlbreite 

bzw. die Abflusstiefe unter der Bedingung des hydraulisch günstigen Querschnittes. 

Die logische Vorgangsweise bestünde darin, die Strickler-Formel 

Q = k St ·[(s + m ·h) ·h] 5/3 ·[ s + 2·h · m 2 + 1] 

−2/3 ·I 1/2 

nach s oder h aufzulösen und den hierfür gefundenen Ausdruck in der Formel für den benetzten 

Umfang U = s + 2·h · m 2 + 1 

zu substituieren. U hinge dann nur mehr von einer Variablen ab, könnte nach dieser differenziert 

werden und müsste den gesuchten Extremwert liefern. Das Problem besteht nur darin, dass sich die 

Strickler-Formel nicht explizit nach s oder h auflösen lässt. 

Stattdessen wird die Formel für U (Funktion 6-2) nach s aufgelöst: 

s = U − 2·h · m 2 + 1 (8-1) 

und dieser Ausdruck für s in der Formel für A (Funktion 6-1) A = s ·h + m ·h 2 substituiert 

A = (U − 2·h · m 2 + 1 ) ·h + m ·h 2 

A = h 2 ·(m − 2 · m 2 + 1 ) + h ·U. (8-2) 

Löst man weiters die Strickler-Formel nach A auf: A = Q 3/5 −3/5 ·k St ·U 2/5 ·I −3/10 

und stellt die gefundenen Ausdrücke für A gegenüber, so erhält man 

h 2 ·(m − 2 · m 2 + 1 ) + h ·U = Q 3/5 −3/5 ·k St ·U 2/5 ·I −3/10 

bzw. h 2 ·(m − 2 · m 2 + 1 ) + h ·U − U 2/5 ·Q 3/5 −3/5 ·k St ·I −3/10 = 0 . 

Diese Gleichung lässt sich nicht nach U auflösen bzw. U nicht als explizite Funktion U (h) darstellen. 

Um diese Schwierigkeit zu umgehen, wird ihre linke Seite als konstante Funktion 

F (U, h) = h 2 ·(m − 2 · m 2 + 1 ) + h ·U − U 2/5 ·Q 3/·k −3/5 

St ·I −3/10 = 0 (8-3) 

aufgefasst, deren vollständiges Differenzial natürlich auch Null sein muss: 

dF = ∂F ∂F 

∂U · dU + 

∂h · dh = 0. 

Nachdem U eine Funktion der einzigen unabhängigen Variablen h ist, muss für die infinitesimale 

Zunahme dU = dU 

dh · dh gelten. Dieser Ausdruck wird nun für dU eingesetzt: 

∂F 

∂U · dU ∂F 

dh · dh + 

∂h · dh = 0 

⎛∂F 

⎞ 

⎜ 

⎟ 

⎝∂U · dU 

dh + ∂F 

∂h ⎠ · dh = 0 . 

Die linke Seite ist nur dann für beliebige Zunahmen dh gleich Null, wenn der Klammerausdruck 

∂F 

Null ist: 

∂U · dU 

dh + ∂F 

∂h = 0 . 

Jetzt gelangt die Extremwertbedingung dU /dh = 0 zur Anwendung, sodass für die Stelle des Extremwertes 

gelten muss 

∂F 

∂U · 0 + ∂F 

∂h = 0 → ∂F 

∂h = 0 . 

Es ist daher die partielle Ableitung von F (U, h) (Funktion 8-3) nach h zu bilden 

Anhang – Sohlbreite im hydraulisch günstigen Trapezprofil bei gegebener Böschungsneigung S. 89


∂F 

∂h 

= 2·h ·(m − 2 · m 2 + 1 ) + U = 0 → 

U = 2·h ·(2 · m 2 + 1 − m) . (8-4) 

A wird dann mit Gl. 8-2 zu A = h 2 ·(m − 2 · m 2 + 1 ) + h ·2·h ·(2 · m 2 + 1 − m) 

bzw. A = h 2 · (2· m 2 + 1 − m) . (8-5) 

Der hydraulische Radius beträgt also R = h 2 · (2· m 2 + 1 − m) 

2·h · (2 · m 2 + 1 − m) = h 2 . 

Die Ausdrücke für R und A werden nun in die Strickler-Formel eingesetzt und diese nach h aufgelöst: 

Q = k St ·h 2/3 ·2 −2/3 ·I 1/2 ·h 2 ·(2 · m 2 + 1 − m) → h 8/3 −1 

= Q ·k St ·I −1/2 ·2 2/3 ·(2 · m 2 + 1 − m) −1 

h = Q 3/8 −3/8 ·k St ·I −3/16 ·2 1/4 ·(2 · m 2 + 1 − m) −3/8 

bzw. h = ⎢ ⎡ ⎣ k ⎦ ⎥⎤ 

St· I · 2 2/3 3/8 

2 · m 2 . 

+ 1 − m 

(8-6) 

s folgt aus der Beziehung 8-1 s = U − 2·h · m 2 + 1 und der Funktion 8-4 

U = 4·h · m 2 + 1 − 2 ·m ·h s = 2·h ·( m 2 + 1 − m) . (8-7) 

Damit ist bei gegebener Böschungsneigung jene Trapezgerinneform gefunden, die den kleinsten 

benetzten Umfang aufweist. Damit ist jedoch nicht bewiesen, dass auch der Fließquerschnitt A im 

Minimum ist. Für diesen Nachweis wird genauso vorgegangen wie oben, nur sind Ausdrücke für A 

zu bilden (weil schließlich ∂A/∂h = 0 gesetzt werden soll). Ausgehend von Gl. 6-1 A = s ·h + m ·h 2 

erhält man für die Sohlbreite s = A/h − m ·h . 

s in U (6-2) eingesetzt ergibt U = A/h − m ·h + 2 ·h · m 2 + 1 . (8-8) 

Die Strickler-Formel wird nun nach U aufgelöst Q = k St ·A 5/3 ·U −2/3 ·I 1/2 → 

3/2 

U = k St ·A 5/2 ·I 3/4 ·Q −3/2 . Die Gegenüberstellung der beiden Ausdrücke für U liefert 

3/2 

k St ·A 5/2 ·I 3/4 ·Q −3/2 = A/h − m ·h + 2 ·h · m 2 + 1 

oder A 5/2 3/2 ·k St ·I 3/4 ·Q −3/2 − A ·h −1 + m ·h − 2 ·h · m 2 + 1 = 0. 

Dieselben Überlegungen wie zuvor (F (A, h) = 0, 

∂F 

∂A 

∂F 

∂A · ∂A 

∂h + ∂F 

dA 

∂h 

= 0) und die Extremwertbedingung 

dh 

∂F 

∂A 

· dA + 

∂h · dh = 0, dA = 

∂h · dh, 

∂F 

= 0 führen erneut zur Gleichung 

∂h = 0: 

∂F 

∂h = −A · (−1) ·h−2 + m − 2 · m 2 + 1 = 0 → A ·h −2 = 2 · m 2 + 1 − m 

A = h 2 · (2 · m 2 + 1 − m) . 

Diese Gleichung stimmt mit Gl. 8-5 überein. Durch Einsetzen dieses Ausdrucks von A in Gl. 8-8 

erhält man weiters U = h · (2 · m 2 + 1 − m) − m ·h + 2 ·h · m 2 + 1 

oder U = 2 ·h · (2 · m 2 + 1 − m) . 

Auch U stimmt mit der zuvor abgeleiteten Formel 8-4 überein. Daraus folgt natürlich wieder, dass 

R = h/2 ist und sich nach Einsetzen von A und R (oder U) in der Strickler-Formel dieselben Werte 

für h und schließlich für s ergeben. Das hydraulisch günstige Trapezprofil mit dem kleinsten benetzten 

Umfang U ist also tatsächlich auch dasjenige mit dem kleinsten Fließquerschnitt A. 

Anhang – Sohlbreite im hydraulisch günstigen Trapezprofil bei gegebener Böschungsneigung S. 90


8.2 Froudesches Ähnlichkeitsgesetz 

Den Modellgesetzen der Hydraulik zufolge setzt die Forderung nach mechanischer Ähnlichkeit eines 

Modells (M) mit der Natur (N) geometrische, kinematische und dynamische Ähnlichkeit voraus 

[BOLLRICH et al., 1989]. Die dynamische Ähnlichkeit basiert auf der geometrischen und kinematischen 

Ähnlichkeit und besagt, dass in Natur und Modell einander entsprechenden Kräfte 

stets im gleichen Verhältnis stehen. In hydraulischen Problemen treten vornehmlich Schwere-, 

Trägheits- und Reibungskräfte auf. Darüber hinaus können Kapillar-, Elastizitäts- und andere Kräfte 

von Bedeutung sein. Da volle dynamische Ähnlichkeit bei gleicher Flüssigkeit in Natur und Modell 

nicht erreicht werden kann, beschränkt man sich darauf, die jeweils zwei dominierenden Kräftearten 

zu berücksichtigen. Bei allen Fließvorgängen mit freiem Wasserspiegel (d. h Abfluss in offenen 

Gerinnen, über Wehre, Abstürze, Schwall und Sunk) als auch beim Fließen in Druckrohrströmungen 

mit voll ausgebildeter Turbulenz (hydraulisch raues Verhalten) überwiegen die Schwere- und 

Trägheitskräfte (nicht jedoch bei der Strömung im Boden, bei der die Trägheitsreaktionen wegen 

der geringen Geschwindigkeiten vernachlässigt werden können). Dem Froudeschen Ähnlichkeitsgesetz 

zufolge ist das Verhältnis aus der Schwerkraft im Modell und in der Natur dann gleich dem 

Verhältnis aus der Trägheitskraft in der Natur und im Modell, wenn gilt 

Fr N 

Fr 

= 1. 

M 

[Fr N ] = dim.los Froude-Zahl in der Natur 

[Fr M ] = dim.los Froude-Zahl im entsprechenden Modell 

Als Froude-Zahl im Froudeschen Ähnlichkeitsgesetz wird anstelle der Definitionsgleichung 6-6 

zumeist eine erweiterte Form verwendet. Hierfür wird einerseits Q/A mit v substituiert und andererseits 

der Quotient aus dem Fließquerschnitt A und der Spiegelbreite B als charakteristische Länge l 

Q v 

aufgefasst Fr = 

A · g · A g ·l , 

B 

womit für Fr N und Fr M die Bestimmungsgleichungen Fr N = 

v N 

g ·l N 

und Fr M = 

v M 

g ·l M 

erhält. 

[l N ] = m charakteristische Länge in der Natur 

[v N ] = m·s −1 Fließgeschwindigkeit in der Natur 

[l M ] = m die der charakteristischen Länge in der Natur l M entsprechende Länge im Modell 

[v M ] = m·s −1 Fließgeschwindigkeit im Modell 

8.3 Überfallbeiwert bei freien Überfällen und bei breitkronigen Wehren 

Berechnungsansatz für freie Überfälle 

Der Begriff des freien Überfalls existiert in der Fachliteratur nicht. Unter freien Überfallströmungen 

sollen jene Wehrströmungen verstanden werden, bei denen sich entweder nach der Wehrkante ein 

freier Strahl mit einer der freien Atmosphäre ausgesetzten Strahlober- als auch -unterfläche ausbildet 

oder bei denen der Abfluss unmittelbar über dem Wehrrücken (unterwasserseitig) praktisch 

drucklos erfolgt. 

Der hydraulische Ansatz für diese Überfallströmungen geht davon aus, dass die Strömung einer 

idealen Flüssigkeit unmittelbar nach dem (vertikalen) Scheitelquerschnitt bzw. ab der Überfallkante 

quasi drucklos erfolgt, d. h. dass im Scheitelquerschnitt überall Atmosphärendruck vorliegt. Das 

trifft sicher auf scharfkantige Wehre relativ genau zu, bei denen die Überfallströmung die Wehrkante 

als freier Strahl verlässt, der an der Ober- und Unterseite dem Luftdruck ausgesetzt ist, doch 

erfolgt auch der Abfluss an der Oberfläche rundkroniger Wehre unter vielen Bedingungen annä- 

Anhang – Überfallbeiwert bei freien Überfällen und bei breitkronigen Wehren S. 91


hernd drucklos. Wenn man weiters unterstellt, dass in allen Punkten der Vertikalen gleiche Energiehöhe 

vorliegt und die Lageenergie jedenfalls von unten nach oben zunimmt, muss die kinetische 

Energie bzw. die Geschwindigkeit von unten nach oben abnehmen, und zwar genau parabolisch mit 

dem Scheitel auf der Höhe der Energielinie. Oberwasserseitig nimmt das Abstichmaß von der Energielinie 

zur Gerinnesohle bei der Anströmung des Wehres ab (bei oberwasserseitiger senkrechter 

Wehrwand praktisch nahezu diskontinuierlich); die zur Verfügung stehende Energiehöhe wird also 

kleiner und der Strömungszustand muss energetisch günstiger werden, woraus bei angenommenen 

strömendem Abfluss folgt, dass die Abflusstiefe kleiner und gemäß der Kontinuität die Geschwindigkeitshöhe 

größer werden muss, d. h. der Wasserspiegel senkt sich bei der Anströmung des Wehres 

auf ein bestimmtes Maß ab und erreicht über der Krone den Wert n ·h, wobei n vorderhand nicht 

bekannt ist. 

CHADWICK und MORFETT [1993] treffen deshalb die nicht nur Ihrer Meinung nach drastische 

Annahme, dass keine Absenkung erfolgt und gelangen damit für eine ideale Flüssigkeit zu folgender 

Beziehung 

3 3 

⎡ 2 2 2 ⎤ 

2 

2 

o 

o 

ideal 

2 

⎢⎛ v ⎞ ⎛v 

⎞ 

Q = ⋅B⋅ g ⋅ + − 

⎥ 

⎜h 

⎟ ⎜ ⎟ , 

3 ⎢ 2 2 ⎥ 

⎢ 

⎝ g ⎠ ⎝ g ⎠ 

⎣ 

⎥⎦ 

[Q ideal ] = m 3·s −1 modellhafter Abfluss einer idealen Flüssigkeit 



ist etwa im Horizontalabstand 3h—4h vor der Wehrkrone zu messen 

[v o ] = m·s −1 Zulaufgeschwindigkeit; Fließgeschwindigkeit im unbeeinflussten Oberwasser 

woraus unter Vernachlässigung der oberwasserseitigen Zuströmgeschwindigkeit v o die Beziehung 

Q ideal = 2 3 ·B · 2 ·g ·h 3/2 (8-9) 

wird. Diese Größe kann als größter denkbarer Wert für Q bei gegebener Überfallhöhe h angesehen 

werden. 

BOLLRICH und PREISZLER [1992] gehen von denselben Ansätzen aus, betrachten aber eine Absenkung 

als gegeben und erhalten 

3 3 

⎡ 2 2 2 ⎤ 

2 

2 

o 

o 

2 

⎢⎛ v ⎞ ⎛ v ⎞ 

Q = ⋅B⋅ g ⋅ + − (1 − ) ⋅ + 

⎥ 

⎜h ⎟ ⎜ n h ⎟ , 

3 ⎢ 2 2 ⎥ 

⎢ 

⎝ g ⎠ ⎝ g ⎠ 

⎣ 

⎥⎦ 

2 

Q = ⋅ 

3 

⋅ ⋅ ⋅ 

⎢⎣ 

− − 2 . (8-10) 

[h 0 ] = m (vertikale) Abflusstiefe über dem Wehrscheitel 

[n] = dim.los Verhältniswert; Verhältnis zwischen der Absenkung über dem Wehrscheitel als 

Differenz zwischen der oberwasserseitigen Abflusstiefe h und der Abflusstiefe 

über dem Wehrscheitel und der oberwasserseitigen Abflusstiefe: 

n = (h − h 0 ) / h 

Umgekehrt ergibt sich die Abflusstiefe über dem Wehrscheitel aus 

h 0 = (1 − n) ·h 

3 

bzw. B 2g 

h 

⎡ 

1 ( 1 n) ⎤ 

⎥⎦ 

Aus dieser Gleichung folgt nicht, wie stark sich der Wasserspiegel absenkt, aus ihr lässt sich nur 

ableiten, dass sich ein gegebener Abfluss Q sowohl bei kleinem h und größerem n als auch umgekehrt 

abführen lässt. Auch die Überlegung, dass sich aus der minimalen Energiehöhe, die zur Abfuhr 

von Q über das Wehr erforderlich ist, ein Maß für die Absenkung ergibt, hilft nicht weiter, 

denn die Energiehöhe ist praktisch ident mit der Überfallhöhe h, und die ist natürlich im Minimum, 

wenn n im Maximum und damit 1 ist – dieser Fall ist jedoch (siehe oben) physikalisch unmöglich. 

Anhang – Überfallbeiwert bei freien Überfällen und bei breitkronigen Wehren S. 92 

3 

2


Sowohl CHADWICK und MORFETT als auch BOLLRICH und PREISZLER weisen darauf hin, 

dass reale Überfallströmungen von den modellhaften idealer Flüssigkeiten insbesondere aus folgenden 

Gründen abweichen: 

– die (vertikale) Druckverteilung ist selbst bei Freistrahlen keinesfalls konstant Null, 

– die Geschwindigkeitsverteilung entspricht nicht dem Modell 

– bei der Überfallströmung realer Flüssigkeiten treten Verluste auf, die in den Beziehungen zusätzlich 

berücksichtigt werden müssen. 

Diesen im Ansatz vernachlässigten, insbesondere auf der Reibung beruhenden Einflüssen wird von 

CHADWICK und MORFETT dadurch Rechnung getragen, indem das Modell für den Zusammenhang 

zwischen dem Abfluss an einem Wehr und der Überfallhöhe – einer Beziehung, die die gleiche 

Bedeutung wie die Schlüsselkurve eines offenen Gerinnes besitzt und als Überfallcharakteristik 

bezeichnet werden kann – um einen Faktor, dem so genannten Überfallbeiwert µ erweitert wird. Sie 

nehmen also an, dass der sich aus Formel 8-9 ergebende Fluss zum realen Fluss über ein bestimmtes 

Wehr proportional ist: 

µ = Q real 

Q 

. 

ideal 

BOLLRICH und PREISZLER ersetzen einfach den die oberwasserseitige Strahlabsenkung repräsentierenden 

Faktor [1 − (1 − n) 3/2 ] durch den Überfallbeiwert und erwähnen, dass in µ außerdem 

noch die im Ansatz vernachlässigten Einflüsse (Reibung, genaue Druck- und Geschwindigkeitsverteilung 

infolge Stromfadenkrümmung usw.) erfasst werden, was auf den Ansatz 

µ ≈ 1 − (1 − n) 3/2 

hinausläuft. Dass µ für BOLLRICH und PREISZLER eine Funktion des Absenkfaktors n ist – aber 

auch anderer Einflüsse – geht auch aus dem Kommentar zur Weisbach-Formel (Seite 404) hervor, 

in dem sie extra erwähnen, dass bei der Ableitung der Weisbach-Formel der augenscheinliche Einfluss 

der Strahlabsenkung nicht gesondert erfasst und von vornherein im Überfallbeiwert enthalten 

sei. Für die Betrachtungsweise µ = f (n) spricht, dass die Strahlabsenkung n selbst ein Ausdruck des 

Reibungseinflusses ist und daher durch deren Messung bzw. Bestimmung ein guter Näherungswert 

für µ gefunden werden kann und zur Berücksichtigung der anderweitigen Einflüsse, die von der 

Absenkung nicht widerspiegelt werden, nur noch abgeändert werden muss. Wie groß diese anderweitigen 

Einflüsse im Verhältnis zur Absenkung sind, wird von den beiden Autoren nicht erwähnt. 

Es wird von ihnen auch keine umgekehrte Aussage getroffen, wie genau sich die Absenkung aus 

dem Überfallbeiwert angeben lässt bzw. wie genau man mit der Kenntnis der Abflusshöhe über 

dem Wehrscheitel und des Überfallbeiwertes µ mittels der Beziehungen n = f (µ) und h = h Scheitel /n 

den Abfluss bestimmen kann. 

Vermutlich um einen Richtwert für die Größe von µ zu erhalten, benutzen BOLLRICH und 

PREISZLER [1992] die Annahme, dass genau auf der Überfallkrone die Grenztiefe auftritt, woraus 

sich n = 2/3 ergäbe. Dieser Schluss setzt stillschweigend die Annahmen für die Grenztiefe in einem 

(unendlich) breiten Rechteckprofil mit schwach ungleichförmigem Verlauf voraus, nämlich eine 

hydrostatische Druckverteilung und eine konstante Geschwindigkeit über die Tiefe – also Annahmen, 

die in krassem Gegensatz zu denen für die Formel 8-10 oder 8-9 stehen. Im Übrigen ist ein 

schwach ungleichförmiger Verlauf bei rundkronigen Wehren und bei Messwehren oberwasserseitig 

keinesfalls gegeben, sodass der Wasserspiegelverlauf bzw. die zur Abfuhr eines bestimmten Flusses 

Q erforderliche Überfallhöhe h aus der Grenztiefenformel bestenfalls abgeschätzt werden kann. Die 

Anwendbarkeit des Konzeptes der Grenztiefe bzw. der minimalen Energiehöhe – das für schwach 

ungleichförmige Gerinne entwickelt wurde – für stark ungleichförmige Strömungen bzw. für freie 

Überfallströmungen muss generell bezweifelt werden. Im Gegensatz dazu würde eine potenzialtheoretische 

Berechnung selbst mit der Bernoulli-Gleichung als stark vereinfachtes Modell schon zu 

relativ plausiblen Druck- und Geschwindigkeitsverteilung bzw. Wasserspiegellagen führen 

[CHADWICK und MORFETT, 1993]. Die Annahme von BOLLRICH und PREISZLER (n = 2/3) 

erscheint unter diesen Gesichtspunkten relativ weit hergeholt und wurde demgemäß von den Autoren 

wohl eher als Richtgröße für den Überfallbeiwert denn als gültige Beziehung zwischen Abfluss- 



tiefe am Wehrscheitel und Überfallhöhe bzw. als Ansatz für die Berechnung der erforderlichen 

Überfallhöhe verstanden. Wie auch immer, die beiden Autoren folgern nun 

µ = 1 − (1 − 2/3) 3/2 = 0,808 

und implizieren somit, dass in der Absenkung sämtliche Einflüsse enthalten sind bzw. keine anderen 

existieren. 

Man erhält letzten Endes aus beiden Herleitungen die so genannte Poleni-Formel 

Q = 2 3 ·µ ·B · 2 ·g ·h 3/2 , 

[Q] = m 3·s −1 Wehrabfluss 

[µ] = dim.los Überfallbeiwert 



ist etwa im Horizontalabstand 3·h bis 4·h vor der Wehrkrone zu messen 

in der die Abflussbreite B und die Überfallhöhe h relativ einfach gemessen werden können. Die Abflussberechnung 

bei Überfällen läuft demnach auf die genaue Erfassung der die jeweilige geometrische 

Form kennzeichnenden Überfallbeiwerte hinaus [BOLLRICH und PREISZLER, 1992]. 

Im Vergleich zum „Richtwert“ für µ = 0,808 wird für das unterdruckfreie Standardprofil (ein rundkroniges 

Wehr) ein Wert von µ = 0,745 angegeben, also ein ähnlicher Wert, während LOISKANDL 

für ein scharfkantiges Messwehr µ ≈ 0,64 nach POLENI angibt. Daraus folgt, dass µ = 0,808 den 

Abfluss für die meisten Wehre überschätzt. Aus der Diskrepanz zwischen µ = 0,808 und µ ≈ 0,64 

folgt nicht zwangsläufig, dass beim scharfkantigen Messwehr n ≠ 2/3 sein muss, weil durchaus 

denkbar ist, dass die anderen, nicht von der Absenkung widerspiegelten Einflüsse – die im Wert 

0,808 als nicht vorhanden erachtet wurden – eben zu der Reduktion auf 0,64 führen. 

Wie auch immer, BOLLRICH und PREISZLER geben dimensionslose Koordinaten des Überfallstrahles 

über ein scharfkantiges Wehr an, die auch für das Standardprofil gültig sind. An der vorderen, 

oberwasserseitigen Kante des Wehres, die sich im Horizontalabstand 0,3·h vor dem etwas höher 

liegenden Scheitel befindet, beträgt die Wassertiefe 0,126·h + 0,831·h, also insgesamt 0,957·h 

über der Kante bzw. 0,831·h über dem Scheitel; direkt über dem Scheitel beträgt die Wassertiefe 

0,740·h. Die Absenkung auf 2/3·h wird erst unterwasserseitig im Horizontalabstand von etwa 0,2·h 

erreicht (vertikale Wassertiefe gemessen von der Wasseroberfläche bis zum Scheitelniveau). Man 

sieht also, dass sich die Wassertiefe über dem Wehrscheitel in horizontaler Richtung stark ändert 

und daher eine genaue Messung – egal ob an der oberwasserseitigen Wehrvorderkante oder genau 

über dem Scheitel – kaum möglich ist. Darüber hinaus hängt die Absenkung von der geometrischen 

Ausführung des Wehres ab und ebenso vom Abfluss – während beim Bemessungsabfluss der Druck 

am Wehrrücken genau Null sein sollte, ist er bei kleinerem Q positiv und bei größerem negativ. 

In Erwägung dieser Umstände sollte die Wassertiefe über dem Überfall nur dann zur Abschätzung 

des Wehrabflusses herangezogen werden, wenn die Überfallhöhe schlecht gemessen werden kann. 

CHADWICK und MORFETT [1993] gehen übrigens auf die Absenkung überhaupt nicht ein; sie 

erwähnen weder, dass sich über dem Wehr annähernd die Grenztiefe – oder vielmehr ein minimaler 

Energiezustand – einstellt, noch dass daraus die Absenkung abgeschätzt werden könnte. 

NAUDASCHER [1987] beschreibt unter anderem die Abhängigkeit des Überfallbeiwertes bei Abweichungen 

von der Standard-Wehrform und bei Unter/Überdrücken am Wehrrücken; die Größe 

der Wassertiefe über dem Wehrrücken tritt als Parameter überhaupt nicht auf. 



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York: John Wiley & Sons, Inc 

Literaturverzeichnis S. 96

HYDRAULIK UND HYDROMECHANIK ÃƒÂœbungsteil - Department ...

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