Theoretische Informatik 2, Blatt 1 - Institut für Theoretische Informatik

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TECHNISCHE
UNIVERSITÄT CAROLO-WILHELMINA ZU BRAUNSCHWEIG
Institut für Theoretische Informatik
Theoretische Informatik 2, Blatt 1
Abgabetermin 2012-05-03
Prof. J. Adámek, Dr. J. Koslowski
Braunschweig, 2012-04-26
Aufgabe 1 (Übung)
Betrachten Sie das folgende Problem “Bin-Packing“:
Eingabe: eine endliche Menge U von Objekten, für jedes u ∈ U ein positives Gewicht g(u) ∈ IN , zwei
positive natürliche Zahlen B und K .
Aufgabe: entscheiden, ob es eine Partition von U in K disjunkte Mengen U 0 , U 1 , . . . U K−1
dass für alle i < K gilt:
∑
g(u) ≤ B,
u∈U i
d. h., das Gesamtgewicht jeder der Teilmengen U i ist durch B nach oben beschränkt.
gibt, so
(Informell geht es darum zu entscheiden, ob die Objekte aus U so in K gleich große Kisten mit maximaler
Tragekapazität B verteilt werden können, dass keine Kiste überlastet ist.)
(a) [5 punkte] Wählen Sie ein geeignetes Alphabet X und ein Eingabeformat, mit dem Instanzen
des Problems, d.h., Listen aus Schranken B , K , und Gewichten g(u) , als Eingabewörter einer
TM über X dargestellt werden können.
(b) [8 punkte] Beschreiben Sie informell aber klar und verständlich die Funktionsweise einer nichtdeterministischen
TM M , die die in (a) angegebene Sprache akzeptiert.
Lösungsvorschlag:
(a) Eine Eingabeinstanz des Problems “Bin-Packing“ ist gegeben durch n Zahlen g i , i < n , wobei
|U| = n gilt, zusammen mit den Zahlen B und K . Diese werden folgendermaßen als Wörter über
dem Alphabet X = { 0, 1, $ } kodiert: man listet die Zahlen in der Reihenfolge K, B, g 0 , . . . , g n−1
in binärer Codierung auf und trennt die einzelnen Zahlen durch das Symbol $.
Beispiel: Die “Bin-Packing“-Instanz mit den Gewichten 1, 2, 3, 37, 42 und K = 2 , B = 45 hat
die folgende Codierung
10$101101$1$10$11$100101$101010$
(b) Idee: Die TM ”
rät“ nichtdeterministisch eine Lösung, also K Untermengen und überprüft, ob jede
dieser Mengen die Ungleichung aus der Problemstellung erfüllt. Falls dies der Fall ist, wird das
Eingabewort akzeptiert.
Es wird eine 3-bändige NDTM M mit Bandalphabet B = X + {#, h} benutzt. Das erste Band ist
das Eingabeband, auf dem zweiten Band wird die Lösung erzeugt und Band 2 dient als Arbeitsband.
Im Detail ist die Arbeitsweise der TM folgendermaßen:
1. potentielle Lösung auf Band 1 nichtdeterministisch erzeugen
1.1. Kopiere die erste Zahl K aus der Eingabe auf Band 2.
1.2. Schreibe ein Symbol h auf Band 1.
1.3. Gehe auf Band 0 von links nach rechts über die Zahlen g i : Für jede der (noch vorhandenen)
Zahlen entscheide nichtdeterministisch, ob sie (inklusive Trennzeichen $) auf Band 1
kopiert und auf Band 0 gelöscht wird oder auf Band 0 belassen wird.
1.4. Dekrementiere die Zahl K auf Band 2 um 1.
1.5. Falls K > 0 goto 1.2 sonst lösche Band 2.
2. Prüfe für jede der K (durch h getrennten) Listen, ob die Ungleichung der Problemstellung
gilt, d.h., gehe von links nach rechts auf Band 1 wenn ein h gefunden wird, arbeite folgende
Schritte ab:

2.1. Kopiere die erste Zahl der betrachteten Liste auf Band 2.
2.2. Gehe von links nach rechts über die Liste bis ein h gefunden wird und addiere jede der
durch $ getrennten Zahlen zu dem aktuellen Inhalt von Band 2.
2.3. Vergleiche die Summe S von Band 2 mit der zweiten Zahl B der Eingabe von Band 0.
2.4. Falls S > B stop und nicht akzeptieren.
2.5. Falls das nächste Zeichen auf Band 1 ein h ist Band 2 löschen und goto 2.1
3. Falls jetzt ein Blank-Symbol # gelesen wird stop und akzeptieren.
Für die einzelnen Teilaufgaben benötigt unsere TM M verschiedene Teilmodule für folgende Aufgaben:
– Kopieren einer Zahl von Band i nach Band j.
– Löschen einer Zahl auf einem Band.
– Addieren zweier Binärzahlen.
– Vergleichen zweier Binärzahlen.
Es ist nicht schwer deterministische Turing-Maschinen für jede dieser Aufgaben anzugeben. Dies
lassen wir als Übungsaufgabe für zu Hause.
Aufgabe 2 (Hausaufgabe)
[8 punkte] Untersuchen Sie die Klassen der (semi-)entscheidbaren Sprachen auf ihre Abgeschlossenheit
bzgl. Residuierung mit endlichen Sprachen. Genauer: Sind L, M ⊆ Σ ∗ (semi-)entscheidbar bzw. M
endlich, was können Sie über die (Semi-)Entscheidbarkeit von M\L bzw. L/M aussagen?
Aufgabe 3 (Hausaufgabe)
[8 punkte] Zeigen Sie (ohne explizite Konstruktion von Turingmaschinen) die Abgeschlossenheit der
Klasse der partiell Turing-berechenbaren Funktionen unter Komposition: (f ◦ g)(n) = f(g(n)) . Welches
Problem ergibt sich, wenn man versucht, ausschließlich mit Einband-Maschinen zu arbeiten?
Aufgabe 4 (Hausaufgabe)
Unter einem ungerichtenten Graphen G versteht man ein Paar G = 〈V, E〉 aus einer endlichen Menge
V von Knoten (“vertices”) und einer Menge E ⊆ P (V ) aus zwei-elementigen Teilmengen von V , den
sogenannten Kanten (“edges”).
Betrachten Sie das folgende Problem “Clique”:
Eingabe: ungerichteter Graph, G , ganze Zahl k .
Aufgabe: prüfen, ob G einen vollständigen Untergraphen (“Clique”) mit k Knoten hat.
(a) [5 punkte] Wählen Sie ein geeignetes Alphabet X und ein Eingabeformat, mit dem Instanzen des
Problems, d.h., Paare bestehend aus G und k , als Eingabewörter einer TM über X dargestellt
werden können.
(b) [8 punkte] Skizzieren Sie die Funktionsweise einer NTM M , die die in (a) angegebene Sprache
akzeptiert.