2 Verknüpfen von Spiegelungen - CeVis

2 Verknüpfen von Spiegelungen 28
Durch Umformen erhalten wir drei Spiegelachsen, von denen zwei
Achsen parallel zueinander liegen und die dritte Achse senkrecht zu
diesen beiden verläuft. Das Hintereinanderausführen von zwei
Geradenspiegelungen mit zwei zueinander parallelen Geraden, kann
durch eine Verschiebung ersetzt werden (siehe Satz 2.2 b)).
Insgesamt lässt sich dieser Fall also durch das Hintereinanderausführen
einer Verschiebung und einer Achsenspiegelung darstellen. Die
Spiegelachse verläuft parallel zur Verschiebungsrichtung.
Definition 2.8 (Schubspiegelung bzw. Gleitspiegelung)
Das Hintereinanderausführen einer Verschiebung und einer Achsenspiegelung,
wobei die Verschiebung parallel zur Spiegelachse verläuft,
heißt Schub- bzw. Gleitspiegelung.
Beispiel
Abb. 2.18: Schubspiegelung des Dreiecks ΔABC
Satz 2.4
Bei einer Schubspiegelung sind die Verschiebung V und die
Spiegelung S kommutativ.
Formal: V S = S V
Satz 2.5 (Dreispiegelungssatz)
Die Verkettung von drei Geradenspiegelungen ergibt eine Schubspiegelung.
Sind die drei Geraden parallel zueinander oder schneiden
sie sich in einem Punkt, so ist der Verschiebungsvektor der Nullvektor,
d.h. die Gleitspiegelung vereinfacht sich zu einer reinen Achsenspiegelung.