herunterladen - Statistik der Unfallversicherung UVG

— Wie gross muss ein Versichertenbestand V sein, damit seine Unfallkosten z mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit
%in den um den Erwartungswert h V vorgegebenen Bereich [a,h V, a,h V] fallen'. Hier ist
V aus der Beziehung
B(a,hV~ ~a,hV) = W
zu ermitteln. Dabei muss beachtet werden, dass in diesem Falle b(z) und damit auch die Wahrscheinlichkeitsvei
teilung der Unfallkosten von der veränderlichen Grösse V abhängig sind und dass zwischen
den Grössen a, und a., im allgemeinen eine wechselseitige Bindung besteht.
Die Wahrscheinlichkcitsverteilung der Unfallkosten eines Versiche)tcnbestandes ist unbekannt und
kann auch nicht unmittelbar aus der Erfahrung gewonnen werden, weil viel zu wenig Beobachtungen vorliegen.
Sie lässt sich jedoch mit Hilfe der Häufigkeitsverteilung der Unfallzahl f(x) und der Häufigkeitsverteilung
der Unfallkosten u(z) darstellen, sofern gewisse vereinfachende Annahmen sowie Näherungen
bei der numerischen Auswertung in Kauf genommen werden.
Es scheint am einfachsten, f(x) aus der Reihe der beobachteten jährlichen Unfallzahlen zu ermitteln.
Dafür reicht aber die Zahl der verfügbaren Beobachtungen nicht aus. Unter der Annahme, das Auftreten
der Unfälle könne durch einen sogenannten zusammengesetzten Poissonprozess mit einer Pearson-III­
Verteilung als Strukturfunktion beschrieben werden, ergibt sich für die Häufigkeitsverteilung der Unfallzahl
x die sogenannte negative Binomialverteilung
p /'
p+x
Dabei ist x der Durchschnitt von f(x) und p der reziproke Wert der Streuung der Strukturfunktion; eine
Untersuchung hat ergeben, dass für Versichertenbestände, die weder extrem klein noch extrem gross sind,
näherungsweise p = [ V gesetzt werden kann, so dass für die Streuung s> der Unfallzahl die einfache
Beziehung
gilt. lm Gegensatz zu/(x) lässt sich u(z) in grössern Versichertenbeständen ohne Schwierigkeit empirisch
als numerische Funktion ermitteln, indem die Unfälle nach der Höhe ihrer Kosten geordnet und ausgezählt
werden. Auch die statistischen Masszahlen wie Durchschnitt, Streuung und Schiefe von u(z)
können auf Grund der Auszählung ohne weiteres ermittelt werden. Für derart hohe Unfallzahlen, wie
sie hier in Betracht fallen, ist es dagegen praktisch unmöglich, die Faltung '"'u(z) der numerischen Funktion
u(z) durchzuführen.
Wenn demzufolge auch keine Möglichkeit besteht, unmittelbar aus f(x) und u(z) einen geschlossenen
Ausdruck für b(z) herzuleiten, können doch die üblichen statistischen Masszahlen der gesuchten Häufigkeitsverteilung
b(z) verhältnismässig einfach bestimmt werden. Wird für f(x) die negative Binomialverteilung
gewählt und zudem p = [ V gesetzt, gilt beispielsweise für die Streuung s„' von b(z) die einfache
Beziehung
2
S~ — Z
Z
1'V
+s,-',+ l
z = h V ist der Durchschnitt von b(z) und s,', die Streuung der normierten Häufigkeitsverteilung u(z). Die
Kenntnis dieser Masszahlen legt es nahe, die Häufigkeitsverteilung b(z) durch eine passende und der
tabellarischen Auswertung zugängliche Funktion anzunähern. Als solche eignet sich zum Beispiel die
dreiparametrige logarithmische Normalverteilung. ihre Parameter können so bestimmt werden, dass die
schiefe Verteilung im Nullpunkt beginnt und denselben Durchschnitt z und dieselbe Streuung s~ besitzt
wie die darzustellende Verteilung b(z). Weil die logarithmische Normalverteilung auf die tabellierte ge­
140