herunterladen - Statistik der Unfallversicherung UVG

Die Darstellung des Zufallsvorganges
Aus den bisherigen Ausführungen geht hervor, dass das Unfallgeschehen ein Zufallsvorgang ist: die
Zahl und vor allem die Kosten der Unfälle unterliegen grossen zeitlichen Schwankungen. Die Prämienbemessung,
die auf Grund der Erfahrungen zu erfolgen hat, wird dadurch erheblich erschwert, und dies
um so mehr, als sich die Schlüssigkeit von Risikoerfahrungen nicht ohne weiteres zuverlässig beurteilen
lässt. Um diese Beurteilung zu ermöglichen, sollte der Zufallsbereich dieser Schwankungen abgegrenzt
werden. Eine solche Abgrenzung ist möglich auf Grund der Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Unfallkosten. Für die Herleitung der Verteilung kann das als Zufallsvorgang erkannte Unfallgeschehen
wie folgt dargestellt werden.
Für einen Versichertenbestand sei f(x) die Häufigkeitsverteilung der Unfallzahl x und u(z) die Häufigkeitsverteilung
der Unfallkosten z. Es bedeutet f(x) also die Wahrscheinlichkeit, dass sich im Verlaufe
einer Beobachtungsperiode genau x Unfälle ereignen, und u(z) die Wahrscheinlichkeit, dass die Kosten
irgendeines Unfalls gerade z betragen. Sofern die beiden zufälligen Veränderlichen x und z voneinander
unabhängig sind, ist die Häufigkeitsverteilung der Unfallkosten des Versichertenbestandes durch
den Ausdruck
b(z) = ~g(x) ' 'u(z)
x= 0
gegeben. "'u(:) ist die x-fache Faltung der Häufigkeitsverteilung u(z) und stellt die Wahrscheinlichkeit
dafür dar, dass die Kosten von x beliebigen Unfällen zusammen z betragen. Das Produkt f(x) ' 'u(z) entspricht
demzufolge der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von x Unfällen mit den Gesamtkosten z und
b(z) — die Summe über alle möglichen Unfallzahlen x — der Waht scheinlichkeit, dass sich die Unfallkosten
des Versichertenbestandes während einer Beobachtungsperiode auf den Betrag z belaufen. Falls u(z) so
normiert wurde, dass die durchschnittlichen Kosten eines Unfalls 1 betragen, ist der Durchschnitt z von b(z)
gleich gross wie die im Versichertenbestand zu erwartende Unfallzahl x. Im folgenden handelt es sich
immer um normierte Kosten; die wirklich beobachteten Kosten sind gleich dem Produkt aus den normierten
Unfallkosten und den in Franken ausgedrückten durchschnittlichen Kosten eines Unfalls.
Mit der Häufigkeitsverteilung b(z) ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung der Unfallkosten
in der Form
Dieser Ausdruck ist gleich der Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Unfallkosten z des Versichertenbestandeszwischen
den Beträgen z, und z, liegen. Mit Hilfe dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die
einleitend geforderte Abgrenzung des Zufallsbereiches möglich, da sich damit Fragen folgender Art
beantworteten lassen:
— Mit welcher Wahrscheinlichkeit W fallen die Unfallkosten eines Bestandes von V Versicherten, von
denen jeder die Unfallhäufigkeit /i besitzt, in den um den Erwartungswert z = x = h V vorgegebenen
Zufallsbereich [a, z, a, z] '. Es gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Z Z]
W = B(a,z ~ z ~ a,z).
Wie gross muss der um den Erwartungswert - = h V abzugrenzende Bereich [a,z, a,z] sein, damit die
Unfallkosten: eines Versichertenbestandes Vmit vorgegebener Wahrscheinlichkeit Win diesen Bereich
fallen? Die Unbekannten a, und a, sind aus den durch die Beziehung W, + W, = l — W gekoppelten
Gleichungen
B(0 ~z ~az) = W,
B (a, z ~ z ~,~) = W,
bestimmbar; im allgemeinen wird Wy: 8
139
l — W
vorgegeben.