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Euler’sche ϕ -Funktion (2) Satz (0) ϕ(0) = 2 , ϕ(1) = 1 . (1) p prim und k > 0 impliziert ϕ(p k ) = p k−1 (p − 1) . (2) ggT(s, t) = 1 impliziert ϕ(s · t) = ϕ(s) · ϕ(t) . Satz (Euler bzw. Fermat im Falle von Primzahlen) Für n ∈ N erfüllt jedes a ∈ Z ∗ n die Bedingung a ϕ(n) ≡ n 1 . Beweis Da a ⊙ − bijektiv ist stimmen die Produkte in Z ∗ n überein: ( ∏ ) ( ∏ ) x ≡ n a · x ≡ n (a ∏ ) ϕ(n) x x∈Z ∗ n x∈Z ∗ n x∈Z ∗ n S. Ransom + J. Koslowski: Grundlagen der Sicherheit in Netzen und verteilten Systemen
Folgerungen aus dem Satz von Euler Dies liefert zunächst eine nützliche Rechenregel: Rechnet man in der Basis modulo n , so darf man im Exponenten modulo ϕ(n) rechnen Corollar Für n ∈ N , a ∈ Z ∗ n und r 0 , r 1 ∈ N gilt r 0 ≡ ϕ(n) r 1 impliziert a r 0 ≡ n a r 1 Beweis. ObdA gelte r 1 ≤ r 0 . Nach Voraussetzung existiert k ∈ N mit r 0 = r 1 + k · ϕ(n) . Aufgrund der Exponentiationsregeln folgt nun ( a r 0 ≡ n a r1+k·ϕ(n) ≡ n a r 1 a ϕ(n)) k ≡n a r 1 S. Ransom + J. Koslowski: Grundlagen der Sicherheit in Netzen und verteilten Systemen
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Folgerungen aus dem Satz von Euler<br />
Dies liefert zunächst eine nützliche Rechenregel:<br />
Rechnet man in der Basis modulo n ,<br />
so darf man im Exponenten modulo ϕ(n) rechnen<br />
Corollar<br />
Für n ∈ N , a ∈ Z ∗ n<br />
und r 0 , r 1 ∈ N gilt<br />
r 0 ≡ ϕ(n) r 1 impliziert a r 0<br />
≡ n a r 1<br />
Beweis.<br />
ObdA gelte r 1 ≤ r 0 . Nach Voraussetzung existiert k ∈ N mit<br />
r 0 = r 1 + k · ϕ(n) . Aufgrund der Exponentiationsregeln folgt nun<br />
(<br />
a r 0<br />
≡ n a r1+k·ϕ(n) ≡ n a r 1<br />
a ϕ(n)) k<br />
≡n a r 1<br />
S. Ransom + J. Koslowski: Grundlagen der Sicherheit in Netzen und verteilten Systemen
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