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Euler’sche ϕ -Funktion (2)
Satz
(0) ϕ(0) = 2 , ϕ(1) = 1 .
(1) p prim und k > 0 impliziert ϕ(p k ) = p k−1 (p − 1) .
(2) ggT(s, t) = 1 impliziert ϕ(s · t) = ϕ(s) · ϕ(t) .
Satz (Euler bzw. Fermat im Falle von Primzahlen)
Für n ∈ N erfüllt jedes a ∈ Z ∗ n die Bedingung a ϕ(n) ≡ n 1 .
Beweis
Da a ⊙ − bijektiv ist stimmen die Produkte in Z ∗ n überein:
( ∏ ) ( ∏ )
x ≡ n a · x ≡ n
(a ∏ )
ϕ(n) x
x∈Z ∗ n
x∈Z ∗ n
x∈Z ∗ n
S. Ransom + J. Koslowski: Grundlagen der Sicherheit in Netzen und verteilten Systemen