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Teilbarkeit als Ordnungsrelation Die Teilbarkeitsrelation k | n ⇐⇒ ∃z ∈ Z : z · k = n ist eine Halbordnung auf den natürlichen Zahlen N : sie ist reflexiv, d.h., k | k für alle k ∈ N ; transitiv, d.h., k | n und n | r impliziert k | r ; antisymmetrisch, d.h., k | n und n | k impliziert k = n . (Auf den ganzen Zahlen Z entfällt die Antisymmetrie.) Bzgl. dieser Halbordnung für Elemente a, b ∈ N der größte gemeinsame Teiler ggT(a, b) und das kleinste gemeinsame Vielfache kgV(a, b) die größte untere, bzw. kleinste obere Schranke. Für solche Strukturen wurde der Begriff Verband geprägt. Weiterhin existiert bzgl. Teilbarkeit ein größtes Element, nämlich 0 und ein kleinstes Element, nämlich 1 . S. Ransom + J. Koslowski: Grundlagen der Sicherheit in Netzen und verteilten Systemen
Primzahlen Definition Eine Zahl p ∈ N heißt Primzahl oder prim, wenn sie im Teilbarkeitsverband 〈Z, | , ggT, kgV, 1, 0〉 , ein oberer Nachbar des kleinsten Elements 1 ist (auch Atom genannt). Satz p ∈ N ist genau dann eine Primzahl, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: p ≠ 0, 1 und aus p | a · b folgt p | a oder p | b für a, b ∈ N . p ≠ 0, 1 und aus k | p folgt k ∈ {1, p} , für k ∈ N . p hat genau zwei Teiler (nämlich 1 und p ). S. Ransom + J. Koslowski: Grundlagen der Sicherheit in Netzen und verteilten Systemen
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Primzahlen<br />
Definition<br />
Eine Zahl p ∈ N heißt Primzahl oder prim, wenn sie im Teilbarkeitsverband<br />
〈Z, | , ggT, kgV, 1, 0〉 , ein oberer Nachbar des<br />
kleinsten Elements 1 ist (auch Atom genannt).<br />
Satz<br />
p ∈ N ist genau dann eine Primzahl, wenn eine der folgenden<br />
äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:<br />
p ≠ 0, 1 und aus p | a · b folgt p | a oder p | b für a, b ∈ N .<br />
p ≠ 0, 1 und aus k | p folgt k ∈ {1, p} , für k ∈ N .<br />
p hat genau zwei Teiler (nämlich 1 und p ).<br />
S. Ransom + J. Koslowski: Grundlagen der Sicherheit in Netzen und verteilten Systemen
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