Die Bernoulli-Gleichung

Die Bernoulli-Gleichung
Bei Reibungsfreiheit gilt der Satz von der Erhaltung der mechanischen
Energie:
m
2
2
E
ges
= E
kin
+ E
pot
+ E
elast.
= v + mgh +
Indem wir die Energie auf die Volumeneinheit beziehen, gehen wir zu
Energiedichte bzw. zu Drücken über:
E
0
⎡
⎢
⎣
Energie
Volumeneinheit
⎤
⎥
⎦
=
J
m
N
m
= =
3 2
[ Druck]
Die Energiebilanz geht dann über in die Bernoulligleichung
ρ
2
2
p
ges
= v + ρgh
+
p
St
Der Gesamtdruck ergibt sich als Summe von Staudruck
Schweredruck
ρgh
und statischem Druck p
St.
ρ 2
v
2
,
Ist die Dichte eine Funktion des Druckes, so gilt allgemeiner
v 2 dp
+ gh +
2
∫
ρ
=
( p)
const.
Für ein ideales Gas wird der Zusammenhang zwischen Druck und
Dichte im isothermen Fall durch das Boyle’sche Gesetz beschrieben:

Das Boyle’sche Gesetz
pV = const. =
p 0 V 0
Mit dem Molvolumen V M und der molaren Masse µ erhält man
bzw.
p
pV =
V
= ρ
µ
V
M0
M0
p
0
m
µ
p
0
p
= ρ
ρ
0
0
Unter Normalbedingungen (nicht Standardbedingungen) gilt:
T 0 V M0 p 0 ρ 0 (Luft)
0 °C = 273,15 K 22,4 l 1 bar 1,29 kg / m 3
Für ein ideales Gas gilt: Bei gegebener Temperatur ist die Dichte eines
Gases seinem Druck proportional.
Im folgenden interessieren wir uns für den Druck in einer nichtströmenden
Flüssigkeits- bzw. Gassäule, d.h. mit v = 0 gilt:
dp
gh + ∫ =
ρ p
( )
const.
Für eine inkompressible Flüssigkeit mit p ges (h=0) = p 0 gilt dann für
den statischen Druck:
pSt
= p
0
− ρgh

Der statische Druck einer Flüssigkeitssäule nimmt mit steigende Höhe
ab.
Im Falle eines Gases gilt (in Näherung eines idealen Gases) bei konstanter
Temperatur (isotherme Schichtung):
ρ
( p)
=
ρ
p
0
p
0
Die Berechnung des Integrals in der Bernoulli-Gleichung ergibt:
∫
dp
p
ρ
=
p
0
∫
dp
p
=
p
0
ln p − C =
( ) ρ0
ρ0
ρ0
c
p
0
ln
p
p
In der Höhe h = 0 sei der Druck p ges = p St = p 0 und die Dichte ρ 0 . Daraus
folgt für die Integrationskonstante p c = p 0 /e. Für die Höhenabhängigkeit
des statischen Drucks ergibt sich die barometrische Höhenformel:
p
St
= p
0
exp−
gρ
p
0
0
h