08/2008 - KaffeeKlatsch

Des Programmierers kleine Vergnügen
Genug der Basis-Mathematik, wir sind ja auf der Suche
nach einem effizienten Algorithmus. Zur Berechnung
von n m brauchen wir also m - 1 Multiplikationen. Wer
also auf diese Art n 16 berechnen möchte benötigt 15 Multiplikationen.
Nutzt man allerdings aus, dass 16 = 2 4 ist,
und berechnet:
x 1 = n * n; // n 2
x 2 = x 1 * x 1; // (n 2 ) 2 = 2 4
x 3 = x 2 * x 2; // ((n 2 ) 2 ) 2 = (2 4 ) 2 = 2 8
x 4 = x 3 * x 3; // (((n 2 ) 2 ) 2 ) 2 = ((2 4 ) 2 ) 2 = (2 8 ) 2 = 2 16
Wir benötigen so nur 4 Multiplikationen. Als Exponenten
eine Zweierpotenz zu haben ist allerdings ein
recht spezieller Fall, sodass wir der Frage nachgehen, wie
sich das Vorgehen verallgemeinern lässt.
Das Horner-Schema
Dem einen oder anderem Leser ist aus dem Mathematikunterricht
wahrscheinlich noch das Horner-Schema [3]
bekannt 1 , mit dem Polynome effizient ausgewertet werden
können. Üblicher Weise ist ein Polynom als Summe
von absteigenden Potenzen einer Variablen gegeben:
7 x 4 + 3 x 3 + 9 x 2 + 2 x + 4.
Berechnet man das Ergebnis, indem man diese Summe
von vorne nach hinten abarbeitet, so benötigt man
im obigen Fall vier Additionen und zehn Multiplikationen.
Dass hierbei viel Rechenarbeit unnötig verrichtet
wird, ist klar erkennbar, wenn man betrachtet, wie oft
die Potenzen von x berechnet werden. x 2 wird dreimal
berechnet, für den ersten, zweiten und den dritten Summanden.
x 3 wird ebenfalls unnötiger Weise zweimal berechnet.
Durch einfaches Umsortieren und geeignete Klammersetzung
können solche unnötigen Rechenschritte
völlig eingespart werden. Die Gleichung lautet dann:
(((7 x + 3) x + 9) x + 2) x + 4.
Die bereits berechneten Potenzen von x werden so immer
weiter verwendet. Dabei benötigt man zwar weiterhin
vier Additionen, aber jetzt nur noch vier Multiplikationen.
Durch Ausklammern und Sortieren nach
Potenzen lässt sich die Äquivalenz der beiden Darstellungen
überprüfen. Diese Umformung, welche die Anzahl
der nötigen Multiplikationen reduziert, 2 ist nicht an
1
Wenn Sie nicht dazu gehören: Nicht traurig sein! Eine quasi-statistische Umfrage
in meinem direkten Umkreis hat ergeben: kaum ist das Studium ein paar
Jahre her, erinnert sich daran keiner mehr.
2
Und nebenbei bemerkt dadurch bei Fließkommazahlen, wegen weniger Rundungsfehler,
deutlich bessere Ergebnisse liefert.
eine spezielle Eigenschaft des Polynoms gebunden, außer
dass die Exponenten ganzzahlig sein sollten.
Mit einem ähnlichen Prinzip können wir auch unser
Potenzierungsproblem lösen, indem wir bei allen
Rechen operationen sozusagen eine Stufe höher gehen:
Aus Addition wird Multiplikation und aus Multiplikation
wird Quadrierung.
Wollen wir zum Beispiel n k mit k = 29 berechnen, so
zerlegen wir 29 zunächst in seine Binärdarstellung:
29 = 11101 2 = 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 .
Diese Gleichung, entsprechend des Horner-Schemas
umgewandelt, lautet:
(((((((1 * 2) + 1) * 2) + 1) * 2) + 0) * 2) + 1
= (((((( 2) + 1) * 2) + 1) * 2) * 2) + 1.
n 29 schreiben wir damit um als
n (24 + 2 3 + 2 2 + 2 0) =
n (((((((2 + 1) * 2) + 1) * 2) + 0) * 2) + 1) .
Zerlegt man diese Darstellung, 3 so erhält man:
n ((((((2 + 1) * 2) + 1) * 2) + 0) * 2) * n
= (n (((((2 + 1) * 2) + 1) * 2) + 0) ) 2 * n
= (n ((((2 + 1) * 2) + 1) * 2) ) 2 * n
= ((n (((2 + 1) * 2) + 1) ) 2 ) 2 * n
= ((n ((2 + 1) * 2) * n) 2 ) 2 * n
= (((n (2) * n) 2 * n) 2 ) 2 * n.
Dies wiederum entspricht einer Aneinanderreihung von
einigen, aber deutlich weniger, Multiplikationen und
Quadrierungen: In diesem Fall benötigen wir 4 Quadrate
und 3 Multiplikationen, also nur 7 statt 28 Multiplikationen.
So wie es aussieht kann man die Potenz durch Auflösung
von rechts problemlos berechnen. Ist die letzte
Binärziffer des Exponenten k eine 1, so multiplizieren
wir den verbleibenden Ausdruck mit n. Sind wir noch
nicht bei der letzten Ziffer angekommen, so muss der
verbleibende Rest auf jeden Fall quadriert werden. Ist die
nächste Ziffer eine 0, so muss nichts gemacht werden,
außer natürlich, dass für den verbleibenden Rest wieder
quadriert werden muss, usw. Dies können wir rekursiv für
die einzelnen Ziffern von k machen, indem wir die letzte
Ziffer von k testen und diese anschließend durch ein
Shift verschwinden lassen. Es gibt dann nichts Weiteres
3
Und dabei gelten die Beziehungen für Potenzen von Potenzen (n a ) b = n (a*b) und
für Multiplikationen von Potenzen n a * n b = n (a+b) .
Seite 20 KaffeeKlatsch Jahrgang 1 / Nr. 8 / August 2008