1. Vorlesung (pdf) - Universität Paderborn

Spieltheorie Übersicht
1. Einleitung
2. Spiele und Nash Equilibria
3. Eigennützige Schritte
4. Das Auslastungsspiel
5. PLS
6. Der Preis der Anarchie
7. Das Wardrop-Modell
Monien, Feldmann, Tscheuschner, Schoppmann
Universität Paderborn Projektgruppe Avesta SS 2006, WS 2006/2007 1.1

1. Einleitung
• Wir betrachten Systeme, in denen eigenständige Agenten Aktionen ausführen, die nur dem
Zweck dienen, ihren persönlichen Nutzen zu steigern (bzw. ihre persönlichen Kosten zu senken).
• Der persönliche Nutzen hängt aber vom Verhalten aller Agenten ab.
• Es gibt keine zentrale Kontrolle, die die Agenten zu Handlungen zwingen kann.
• Ebenfalls vom Verhalten aller Agenten hängt aber auch ein sozialer Nutzen ab, der z.B. das
Wohlbefinden“ des Gesamtsystems beschreibt.
”
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Fragen:
• Was sind stabile Zustände in diesen dynamischen Systemen ? Wie entwickeln sich solche
Systeme über die Zeit ?
• Wie ist das Verhältnis des sozialen Nutzens in diesen dynamischen Systemen zum sozialen
Nutzen, den man erhalten würde, wenn man eine ”
diktatorische“ zentrale Kontrolle hätte ?
• Wie sollten diese dynamischen Systeme konstruiert werden, damit in allen stabilen Zuständen
der soziale Nutzen ein globales Optimum annimmt ?
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Beispiel: Braess-Paradoxon
Situation
Optimum
stabiler Zustand
s
100 −>
t
s
x
50
50
100
100
50
50
x
t
s
x
50
50
100
100
50
50
x
t
150
150
In einem Verkehrsnetzwerk wollen 100 Autofahrer von s nach t fahren. Jeder Autofahrer ist daran interessiert,
daß er persönlich möglichst schnell in t ankommt. Er hat zwei Wege (oben,unten) zur Auswahl. Die Straßen
des Verkehrsnetzes haben unterschiedliche Verzögerungen, teilweise abhängig von der Anzahl der Fahrzeuge, die
sie benutzen, teilweise unabhängig davon. Die persönliche Verzögerung eines Autofahrers ist die Summe der
Verzögerungen der benutzten Kanten, die soziale Verzögerung ist die durchschnittliche Verzögerung, die ein Autofahrer
erfährt.
Es gibt nur einen global optimalen Zustand und einen stabilen Zustand, und beide sind gleich.
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Situation
Optimum
stabiler Zustand
s
x
100
0
100
x
t
s
x
50
50
100
0
0
100
50
50
x
t
s
x
100
100 0
0
100
0 100
100 x
t
150 200
Die Situation ist wie vorher, jedoch hat die Stadtverwaltung sich entschlossen eine Schnellstraße zu bauen, um die
Fahrt von s nach t zu verkürzen.
Ergebnisse:
• Das globale Optimum bleibt unverändert und ist weiterhin eindeutig!
• Das globale Optimum ist nicht stabil.
• Es gibt vier stabile Zustände, in denen alle Autofahrer langsamer sind, als im Netzwerk ohne
die Schnellstraße!
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Modellierung als Spiel
Wir modellieren dynamische Systeme mit eigenständig agierenden Agenten als Spiele.
• Die Agenten sind die Spieler.
• Das System selbst ist das ”
Spielfeld“, bzw. beschreibt die Spielregeln.
• Die privaten Nutzenfunktionen beschreiben die Auszahlungen an die Spieler abhängig von den
Aktionen, die alle Spieler ausgeführt haben.
• Die soziale Nutzenfunktion beschreibt die Auszahlung an den Spielleiter und ist ebenfalls
abhängig von den Aktionen, die alle Spieler ausgeführt haben.
• Spieler = Autofahrer
• Spielfeld = Verkehrsnetz
• Spielregeln = Verzögerungsfunktionen an den Kanten
• Auszahlungen = Verzögerungen
• Aktionen = Auswahl des Weges
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2. Spiele und Nash Equilibria
Situation: n Spieler 1, . . . , n spielen ein (einzügiges) Spiel. S i 1 ≤ i ≤ n ist die Menge der
Strategien (= Aktionen) von Spieler i. u i : S 1 × . . . × S n → R ist die Nutzenfunktion für
Spieler i.
Die S i sind (vorerst) endliche und nichtleere Mengen.
Das Spiel kann dann beschrieben werden durch
G = (n, S 1 , . . . S n , u 1 , . . . , u n ).
Definition Es sei G = (n, S 1 , . . . , S n , u 1 , . . . , u n ) ein Spiel. Ein n-Tupel (s 1 , . . . , s n ) ∈
S 1 × . . . × S n ist im Nash Equilibrium, falls für alle i ∈ {1, . . . , n} gilt:
∀s ′ i ∈ S i : u i (s 1 , . . . , s i−1 , s i , s i+1 , . . . , s n ) ≥ u i (s 1 , . . . , s i−1 , s ′ i , s i+1, . . . , s n )
Im Nash Equilibrium will kein Spieler seine Strategie ändern, solange die anderen Spieler
bei ihrer gewählten Strategie bleiben ⇒ stabiler Zustand
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Beispiele: (Bi-)Matrixspiele
Bach-Stravinsky
Mozart-Mahler
Gefangenendilemma
Münzseiten
s 21 s 22
s 11 2,1 0,0
s 12 0,0 1,2
s 21 s 22
s 11 2,2 0,0
s 12 0,0 1,1
L G
L 1,1 5,0
G 0,5 4,4
K Z
K 1,-1 -1,1
Z -1,1 1,-1
2
Nash-Equilibria
Minderwertiges
Nash-Equilibrium
eindeutiges
Nash-Equilibrium
kein
Nash-Equilibrium
Stein-Schere-Papier
St Sch P
St 0,0 1,-1 -1,1
Sch -1,1 0,0 1,-1
P 1,-1 -1,1 0,0
kein Nash-Equilibrium
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Gemischte Nash Equilibria
• Jeder Spieler randomisiert seine Strategiewahl.
• Damit verhält sich Spieler i gemäß einer Verteilungsfunktion Π i
Strategien S i (→ konvexe Menge von Strategien)
• Spieler i maximiert dann den erwarteten Nutzen
auf der Menge seiner
u i (Π 1 , . . . , Π n ) =
X
nY
( Π k (s k ))u i (s 1 , . . . , s n )
(s 1 ,...,sn)∈S 1 ×...×Sn k=1
Definition Es sei G = (n, S 1 , . . . , S n , u 1 , . . . , u n ) ein Spiel. Ein n-Tupel (Π 1 , . . . , Π n ) ist
im gemischten Nash-Equilibrium, falls für alle i ∈ {1, . . . , n} gilt:
∀Π ′ i auf S i : u i (Π 1 , . . . , Π i−1 , Π i , Π i+1 , . . . , Π n ) ≥ u i (Π 1 , . . . , Π i−1 , Π ′ i , Π i+1, . . . , Π n )
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Darstellung eines Spiels in Normalform
G = (n, S, U)
n Anzahl der Spieler
s i Strategie von Spieler i, i ∈ {1, . . . , n}
s Strategietupel: s = (s 1 , . . . , s n )
s −i Strategientupel der Gegenspieler von i,
s −i = (s 1 , . . . , s i−1 , s i+1 , . . . , s n )
Wir schreiben: s = (s i , s −i )
S i Strategieraum (Menge der möglichen Strategien)
für Spieler i
S = S 1 × . . . × S n , s ∈ S
S −i = S 1 × . . . × S i−1 × S i+1 × S n , s −i ∈ S −i
u i Nutzenfunktion von Spieler i u i : S → R
U = (u 1 , . . . , u n )
∆(S i ) = Menge der gemischten Strategien des Spielers i
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3. Eigennützige Schritte
Definition: Sei (s 1 , ..., s n ) ∈ S = S 1 × ... × S n , i ∈ [1, n], s ′ i
∈ S i . Ein Übergang
(s 1 , ..., s n ) ↦→ (s 1 , ..., s i−1 , s ′ i , s i+1, ..., s n ) heißt eigennütziger Schritt falls u i (s 1 , ..., s n ) <
u i (s 1 , ..., s i−1 , s ′ i , s i+1, ..., s n ).
Selfish Step Algorithmus:
while (s 1 , ..., s n ) ist kein Nash Equilibrium
perform eigennützigen Schritt
Definition: G S = (S, E S ) mit E S = {(s, es); s, es ∈ S, s ↦→ es ist eigennütziger Schritt} heißt
Nash-Graph.
Beachte:
(a) Ein reines Nash Equilibrium entspricht einem Knoten in G S mit Ausgangsgrad 0.
(b) Hat G S keine gerichteten Kreise so existiert ein reines Nash Equilibrium.
(c) G S kann Pfade exponentieller Länge enthalten.
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Beispiel: Routing Spiel
7 Spieler, 3 Kanten, Spieler i hat Gewicht w i
s i = {1, 2, 3}∀i = 1, ..., 7
u i (s 1 , ..., s 7 ) = − P s j =s i
w j
1
4
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
4
3
2
2
4
3
4 4 4
3
4
3
4
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4. Das Auslastungsspiel
Literatur:
• R. W. Rosenthal. A class of games possessing pure-strategy Nash equilibria.
International Journal of Game Theory 2, pp. 65 – 67. 1973.
• D. S. Johnson, Chr. H. Papadimitriou, M. Yannakakis. How easy is local search?
Proceedings of the 26th IEEE FOCS, pp. 39 – 42. 1985.
• A. Fabrikant, Chr. H. Papadimitriou, K. Talwar. The Complexity of Pure Nash Equilibria.
Proceedings of the 36th ACM STOC. 2004.
• D. Fotakis, S. Kontogiannis, P. Spirakis. Selfish Unsplittable Flows.
Proceedings of the ICALP ’04. 2004.
Schwerpunkte:
• allgemeines Auslastungsspiel (z.B. Netzwerkauslastung in allgemeinen Netzwerken)
• Koordinationsfaktor: Leistungsverlust durch fehlende Koordination
• Existenz von reinen Nash Equilibrien / Berechnung reiner Nash Equilibrien
• PLS-Vollständigkeit
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Auslastungsspiel:
• n Spieler 1, ..., n,
• E endliche Menge von Betriebsmitteln,
• Strategiemenge S i ⊆ Pot(E) für jeden Spieler i, 1 ≤ i ≤ n,
• Verzögerungsfunktion d e : {1, ..., n} → N für jedes e ∈ E, d e (j) nicht-fallend in j.
Private Kosten bei Strategiewahl s = (s 1 , ..., s n ) ∈ S 1 × ... × S n :
• f s (e) = |{i; e ∈ s i }| ist Zahl der Spieler die Betriebsmittel e benutzen,
• d e (f s (e)) ist Verzögerung durch Betriebsmittel e,
• c i (s) = P e∈s
d e (f s (e)) sind private Kosten von Spieler i.
i
Reines Nash Equilibrium s = (s 1 , ..., s n ) ∈ S 1 × ... × S n :
Für jeden Spieler i gilt c i (s 1 , ..., s i , ..., s n ) ≤ c i (s 1 , ..., s ′ i , ..., s n) für alle s ′ i ∈ S i.
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Netzwerk-Auslastungsspiel:
• G = (V, E) gerichteter Graph,
• n Spieler 1, ..., n,
• a i ∈ V , b i ∈ V sind Start- und Zielknoten für Spieler i, 1 ≤ i ≤ n,
• S i ⊆ Pot(E) ist Menge der Wege von a i nach b i für jedes i, 1 ≤ i ≤ n,
• Verzögerungsfunktion d e : {1, ..., n} → N für jedes e ∈ E, d e (j) nicht-fallend in j.
Netzwerk-Auslastungsspiel ist genau dann symmetrisch, wenn a 1 = ... = a n und b 1 = ... = b n .
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Satz
Sei I = (n, E, S 1 , ..., S n , {d e } e∈E ) eine Instanz des Auslastungsspiels. I besitzt mindestens
ein reines Nash Equilibrium.
Beweis:
Definiere Potentialfunktion h : (S 1 × ... × S n ) → N durch h(s) = P e∈E
fs(e)
P
j=1
d e (j).
Wenn s = (s 1 , ..., s i , ..., s n ) und s ′ = (s 1 , ..., s ′ i , ..., s n), dann gilt:
h(s) − h(s ′ P
) = d e (f s (e)) −
P d e (f s ′(e))
e∈s i −s ′ e∈s
i
′ i −s i
= c i (s) − c i (s ′ ).
Hieraus folgt:
h(s) minimal ⇒ s ist Nash Equilibrium.
□
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Folgerung 1:
Sei I = (n, E, S 1 , . . . , S n , {d e } e∈E ) eine Instanz des Auslastungsspiels.
Ein reines Nashequilibrium für I kann in
0
0 @ X e∈E
1
nX
d e (j) A
j=1
eigennützigen Schritten berechnet werden.
Folgerung 2:
Wenn die Funktionen {d e } e∈E alle polynomiell in n beschränkt sind und ein eigennütziger Schritt
in Polynomzeit berechnet werden kann, dann kann ein reines Nashequilibrium in Polynomzeit
berechnet werden.
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Min Cost Flow Instanz:
• G = (V, E) gerichteter Graph,
• Kosten c ij für Kante (i, j) ∈ E,
• Kapazität u ij für Kante (i, j) ∈ E,
• Anforderung b(i) für i ∈ V , P b(i) = 0.
i∈V
Min Cost Flow
Min Cost Flow Problem:
Minimiere
unter den Bedingungen
P
(i,j)∈E
P
{j;(i,j)∈E}
c ij x ij
x ij −
P
{j;(j,i)∈E}
x ji = b(i) für alle i ∈ V ,
0 ≤ x ij ≤ u ij für alle (i, j) ∈ E.
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Satz
Das Min Cost Flow Problem kann in Polynomzeit gelöst werden.
Laufzeiten von Min Cost Flow Algorithmen:
Es sei U = max
i,j
Algorithmus
u ij und C = max
i,j
Capacity scaling algorithm
Cost scaling algorithm
Double scaling algorithm
c ij .
Laufzeit
O((m log U)(m + n log n))
O((n 3 log(nC))
O(nm log U log(nC))
Minimum mean cylcle-canceling algorithm O(n 2 m 3 log n)
Repeated capacity scaling algorithm
Enhanced capacity scaling algorithm
O((m 2 log n)(m + n log n))
O((m log n)(m + n log n))
Tabelle aus: Ahuja, Magnanti, Orlin. Network Flows. Prentice Hall, 1993.
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Satz
Sei I = (n, V, E, a, b, {d e } e∈E ) eine Instanz für das symmetrische Netzwerk-Auslastungsspiel.
Ein reines Nash Equilibrium für I kann in Polynomzeit berechnet werden.
Beweisidee:
Minimum von h(s) := P e∈E
fs(e)
P
j=1
d e (j) auf (V, E, a, b) als Min Cost Flow berechnen:
2/3
2/4
3
4
2
2
A,B
a
1/2 b A,B ⇒
A,B
a
1 2
b
A,B
4/6
1/5
6 5
4
1
Jede Kante e ∈ E wird durch n parallele Kanten mit Kapazität 1 und Kosten d e (1), ..., d e (n)
ersetzt. Min Cost Flow für neues Netzwerk minimiert h(s).
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5. Die Komplexitätsklasse PLS
Bei einem Optimierungsproblem sucht man für gewöhnlich nach einem globalen Optimum. Dies
ist eine zulässige Lösung, die eine gegebene Zielfunktion minimiert bzw. maximiert.
PLS (polynomial time local search) ist eine Klasse von lokalen Suchproblemen. Man sucht hier
also nach zulässigen Lösungen, von denen man nur lokale Optimalität fordert.
Für kein PLS-vollständiges Problem L ist ein Algorithmus bekannt, der ein lokales Optimum für
L in Polynomialzeit berechnen kann.
Literatur zu PLS:
David S. Johnson, Christos H. Papadimitriou, Mihalis Yannakakis. How easy is local search?
Proceedings of the 26th IEEE FOCS, pp. 39 – 42. 1985.
Alejandro A. Schäffer, Mihalis Yannakakis. Simple local search problems that are hard to solve.
SIAM Journal on Computing, pp. 56 – 87. 1991.
Alex Fabrikant, Christos H. Papadimitriou, Kunal Talwar. The Complexity of Pure Nash Equilibria.
Proceedings of the 36th ACM STOC, pp. 604 – 612. 2004.
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Definition:
Ein PLS (polynomial-time local search) Problem L = (D L , F L , c L , N) ist wie folgt spezifiziert:
• D L ⊆ {0, 1} ∗ ist Menge der Probleminstanzen
(Entscheidung ob x ∈ D L oder x ∉ D L in Polynomialzeit möglich),
• jede Probleminstanz x ∈ D L hat eine endliche Menge F L (x) zulässiger Lösungen,
• jede zulässige Lösung s ∈ F L (x) hat einen nicht-negativen Kostenwert c L (s, x), eine
Nachbarschaft N(s, x) ⊆ F L (x) und eine Codierung polynomieller Länge (in |x|).
Außerdem müssen die folgenden 3 Polynomialzeit-Algorithmen existieren:
• gegeben x ∈ D L gibt Algorithmus A L eine zulässige Lösung s ∈ F L (x) zurück,
• gegeben einen Bitstring s gibt Algorithmus B L im Fall s ∈ F L (x) den Kostenwert c L (s, x)
zurück, im Fall s ∉ F L (x) wird zurückgegeben, dass s keine zulässige Lösung ist,
• gegeben eine Instanz x ∈ L und eine zulässige Lösung s ∈ F L (x) gibt der Algorithmus C L
eine bessere Nachbarschaftslösung N(s, x) zurück oder gibt zurück, dass es keine bessere
Lösung in der Nachbarschaft gibt.
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Komplexität der Equilibriums-Berechnung für Auslastungsspiele:
Equilibriums-Berechnung symmetrisches Spiel allgemeines Spiel
Auslastungsspiel PLS-vollständig PLS-vollständig
Netzwerk Aulastungsspiel Polynomialzeit PLS-vollständig
⇒ Schnelle Equilibriums-Berechnung kann nur für symmetrische Netzwerk-Instanzen garantiert
werden.
Ergebnisse aus:
Alex Fabrikant, Christos H. Papadimitriou, Kunal Talwar.
The Complexity of Pure Nash Equilibria.
Proceedings of the 36th ACM STOC. 2004.
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6. Auslastungsspiel: Der Preis der Anarchie
Literatur:
• G. Christodoulou, E. Koutsoupias. The Price of Anarchy of Finite Congestion Games.
Proceedings of the 37th ACM STOC, 2005.
• B. Awerbuch, Y. Azar, A. Epstein. The Price of Routing Unsplittable Flow.
Proceedings of the 37th ACM STOC, 2005.
Bemerkung:
• Hier werden Auslastungspiele ohne Gewichte betrachtet.
• Wir betrachten hier nur reine Nash Equilibrien.
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Private Kosten bei Strategiewahl s = (s 1 , ..., s n ) ∈ S 1 × ... × S n :
• f s (e) = |{i; e ∈ s i }| ist Zahl der Spieler die Betriebsmittel e benutzen,
• d e (f s (e)) ist Verzögerung durch Betriebsmittel e,
• c i (s) = P e∈s i
d e (f s (e)) sind private Kosten von Spieler i.
Soziale Kosten bei Strategiewahl s = (s 1 , ..., s n ) ∈ S 1 × ... × S n :
• Summe der Privaten Kosten
SUM(s) = X i∈[n]
c i (s) = X e∈E
f s (e) · d e (f s (e))
(In der Literatur wurden auch andere soziale Kostenmasse untersucht.)
Preis der Anarchie/Koodinationsrate
• OP T = min s∈S SUM(s) ist optimale Zuweisung
•
P oA pure = sup
s ist NE
SUM(s)
OP T
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P oA pure für (ungewichtete) Auslastungsspiele
P oA pure
symmetrisch
Lineare Latenzfunktionen
de(x) = ae · x + be
mit ae, be ≥ 0 ∀e ∈ E
Latenzfunktionen:
Polynome vom Grad d
de(x) = P d
i=0
ae(i)x i
mit ae(i) ≥ 0 ∀i ∈ {0, ..., d}, ∀e ∈ E
5n−2
2n+1
d Θ(d)
asymmetrisch
5
2
d Θ(d)
Bemerkung:
Ein Auslastungsspiel ohne Gewichte ist genau dann symmetrisch, wenn S i = S j für alle
i ∈ {1, ..., n}, j ∈ {1, ..., n}.
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7. Das Wardrop Modell
• Der Verkehr kann in beliebig kleine Stücke aufgeteilt werden
• Unendlich viele Spieler haben unendlich kleine Anteile am Verkehr
• Der Verkehr wird als reellwertiger Fluss modelliert
s t 1 1
s 2
G
t 2
Edge Latency l e (x)
Eingabe: (G, r, l) mit
• G = (V, E) ist ein gerichteter Graph,
• einer Menge r = {(r i , s i , t i ) ∈ R >0 ×V ×V | i ∈
[k]} von Routing-Wegen, und
• einer Menge l = {l e | e ∈ E} von Verzögerungsfunktionen.
Kosten einer Kante: c e (f e ) = l e (f e )f e
Soziale Kosten: C(f) = P e∈E c e(f e ) = P e∈E l e(f e )f e = P P ∈P l P (f)f P
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Annahmen:
• Für alle i ∈ [k] gibt es mindestens einen Weg von s i nach t i in G.
• Die Verzögerungsfunktionen sind nichtnegativ, nichtfallend und differenzierbar
• Der Verkehr wird als Fluss über Wege P i ∈ P i von s i nach t i in G dargestellt (äquivalent zu
Flüssen f e über Kanten e ∈ E.
Ein optimaler Fluss kann durch Lösung des folgenden nichtlinearen Programms berechnet werden:
N LP : min P e∈E c e(f e ) s.t.
P
P ∈P i
f P = r i
f e = P P ∈P:e∈P f P
f P ≥ 0
∀i ∈ [k]
∀e ∈ E
∀P ∈ P
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Definition: Ein Fluss f in G ist ein Nash Equilibrium (Wardrop Equilibrium), wenn für alle
i ∈ [k] und für alle P 1 , P 2 ∈ P i und alle δ ∈ [0, f P1 ], gilt: l P1 (f) ≤ l P2 ( ˜f), wobei
˜f P =
8
<
:
f P − δ if P = P 1
f P + δ if P = P 2
f P if P ∉ {P 1 , P 2 }.
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Das Netzwerk Design Problem
Situation
Optimum
Nash−Equilibrium
x 1
x 1
x 1
1/2 1/2
1/2 1/2
1/2 1/2
1/2 1/2
1 x
1 x
1 x
3/2 3/2
x 1
x 1
x 1
1/2 1/2
1 0
0 0 0
0 1
1/2 1/2
0 1
1 x
1 x
1 x
3/2
2
Braess’s Paradoxon zeigt, dass das
Hinzufügen von Kanten in das Netzwerk
zu schlechteren sozialen Kosten
eines Nash Equilibriums führen
kann selbst wenn die zusätzlichen
Kanten nur kleine Verzögerungen
verursachen.
Das führt zu der folgenden Frage:
Finde einen Teilgraphen H =
(V, E H ) ⊂ G für den ein
Fluss f eines Nash-Equilibriums für
(H, r, l) minimale soziale Kosten
hat.
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