Mathematisches Denken und Arbeiten

In der Vorlesung Analysis 1 wird bewiesen, dass die Aussage im Kontext reeller Zahlen wahr
ist, wohingegen Satz 2.4 besagt, dass sie im Kontext rationaler Zahlen falsch ist.
Man schreibt ∃! statt nur ∃, wenn man „es gibt genau ein“ sagen will, z.B.
∃!x ∈ R : x 2 = 2 ∧ x > 0.
Durch Quantoren werden die entsprechenden Variablen gebunden; sie sind außerhalb des
Konstrukts „unsichtbar“ und man kann ohne Weiteres andere Variablennamen einsetzen:
(
∃x ∈ R : x 2 = 2 ) ⇐⇒ ( ∃a ∈ R : a 2 = 2 )
In einer Formel treten oft mehrere Quantoren hintereinander auf:
Beispiel: Die Aussage
∀x ∃y : A(x, y) bedeutet ∀x : ( ∃y : A(x, y) ) .
∃x m ∈ D ∀x ∈ D : f(x) ≤ f(x m )
besagt, wenn sie wahr ist, dass f : D → R eine Maximumstelle x m hat. Vertauscht man die
Reihenfolge der beiden Quantoren, dann erhält man eine völlig andere Aussage. Ein noch einfacheres
Beispiel dafür, dass ein Vertauschen eines Allquantors mit einem Existenzquantor zu
inäquivalenten Aussagen führt, sind die Aussagen:
∀x ∈ R ∃y ∈ R : x < y
∃y ∈ R ∀x ∈ R : x < y
In der Tat, die erste Aussage ist wahr, die zweite falsch.
Zwei aufeinanderfolgende Allquantoren kann man dagegen vertauschen, ohne dabei die Aussage
zu verändern. Beispiel: Die Definition 1.1 dafür, dass eine Funktion f : D → R streng
monoton steigend heißt, kann mit Quantoren wie folgt geschrieben werden:
Dies ist gleichwertig zu
Man schreibt daher kürzer
∀x 1 ∈ D ∀x 2 ∈ D : ( x 1 < x 2 =⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) ) .
∀x 2 ∈ D ∀x 1 ∈ D : ( x 1 < x 2 =⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) ) .
∀x 1 , x 2 ∈ D : x 1 < x 2 =⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ).
Entsprechend kann man auch aufeinanderfolgende Existenzquantoren vertauschen.
Die Negation von Quantoren erfolgt nach einfachen Rechenregeln:
(
¬∀x : A(x)
)
⇐⇒
(
∃x : ¬A(x)
)
,
(
¬∃x : A(x)
)
⇐⇒
(
∀x : ¬A(x)
)
.
Die Verneinung einer Existenzaussage ist eine Allaussage und umgekehrt.
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