Mathematisches Denken und Arbeiten

Man verknüpft Aussagen mit Junktoren (logischen Verknüpfungen) zu neuen Aussagen. Die
Regeln hierfür kodiert man am Einfachsten in einer Wahrheitstabelle. Für die gebräuchlichsten
Junktoren (Standardjunktoren) gilt:
Negation Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz
A B ¬A A ∧ B A ∨ B A =⇒ B A ⇐⇒ B
w w f w w w w
w f f f w f f
f w w f w w f
f f w f f w w
Der umgangssprachliche Gebrauch von „und“ (Konjunktion) und „oder“ (Disjunktion) ist nicht
immer gleichbedeutend mit den logischen Regeln. So wird in der Alltagssprache ein „oder“ oft
als ein „entweder-oder“ verstanden; in der Mathematik ist ein „oder“ dagegen auch wahr, wenn
die dadurch verknüpften Teilaussagen beide wahr sind. Ein gutes Verständnis von Implikationen
(„wenn–dann“) ist besonders wichtig; so beachte man, dass A =⇒ B wahr sein kann, ohne
dass B wahr sein muss. Beispiel: (2|3) =⇒ (2|9), wobei p|n definiert ist als die Aussage: p
teilt n.
Liegen Aussagen A, B, . . . vor, dann kann man mit sinnvoll gebildeten Formeln neue Aussagen
bilden, z.B.:
((¬A) ∧ B) =⇒ C, ¬(A ∧ (B =⇒ C)), . . .
Um eine eindeutige Interpretation zu gewährleisten, werden Klammern verwendet. Der Wahrheitswert
solcher Aussagen hängt natürlich von den Wahrheitswerten der „Variablen“ A, B, C
ab. Eine (zusammengesetzte) Aussage heißt eine Tautologie oder allgemeingültig, wenn sie für
alle Wahrheitswerte der Aussagen, aus denen sie aufgebaut ist, wahr ist.
Gesetze sind oft als Tautologien formuliert.
3.1 Satz (Kontrapositionsgesetz). (A =⇒ B) ⇐⇒ ((¬B) =⇒ (¬A))
Ein Satz stellt eine wahre Aussage dar, für die es einen Beweis gibt. Im Falle des vorstehenden
Satzes genügt es für einen Beweis, die einschlägigen Wahrheitstafeln aufzustellen.
Das Kontrapositionsgesetz liegt der Methode des indirekten Beweises zugrunde. Der Satz 2.2
besagt für gegebenes n ∈ Z, dass Folgendes wahr ist: (2|n) =⇒ (2|n 2 ). Hierfür haben wir
einen direkten Beweis gegeben. Für den Satz
(2|n 2 ) =⇒ (2|n) (3.1)
ist ein direkter Beweis nicht so leicht zu finden; es empfiehlt sich, einen indirekten Beweis zu
wählen, d.h., die Kontraposition
(¬2|n) =⇒ (¬2|n 2 )
zu beweisen. Dies ist einfacher, denn ¬2|n heißt, dass n ungerade ist, also von der Form n =
2k + 1 mit einer ganzen Zahl k. Man rechnet dann sofort nach, dass auch n 2 ungerade ist.
Auch andere Tautologien (allgemeingültige Gesetze) kann man über Wahrheitstafeln beweisen.
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