Mathematisches Denken und Arbeiten

wahr ist. Die Aussage A(1) ist gleichwertig mit 32 > 25; dies ist offenbar wahr. Falls A(n)
wahr ist, dann gilt
16 · 2 n+1 = 32 · 2 n > 2(n + 4) 2 > (n + 4) 2 + 2(n + 4) + 1 = ((n + 1) + 4) 2 ,
d.h., es gilt A(n + 1). In der vorstehenden Rechnung folgt die erste Ungleichung aus A(n) und
die zweite aus
2 < ((n + 4) − 1) 2 = (n + 4) 2 − 2(n + 4) + 1.
Zusammenfassend wurde gezeigt, dass A(n + 1) wahr ist, wenn A(n) wahr ist. Aufgrund der
unmittelbar vor dem Satz erwähnten Eigenschaft von N gilt daher A(n) für alle n ∈ N.
Durch Umbenennung von n + 4 in n können wir die Aussage des Satzes auch so formulieren:
2 n > n 2 für n ≥ 5. (2.1)
Für n = 2, 3, 4 ist 2 n > n 2 falsch.
Ein Beweis mittels vollständiger Induktion von A(n) für alle n ∈ N hat folgende Struktur:
Induktionsanfang Beweise, dass A(1) wahr ist.
Induktionsschritt Beweise: Wenn A(n) wahr ist, dann auch A(n + 1).
Der erste Index einer Induktion muss nicht n = 1 sein; im Falle von (2.1) ist es natürlich, den
Induktionsanfang bei n = 5 zu wählen.
Die Aussage des folgenden „Satzes“ ist offenbar falsch; die Argumentation im „Beweis“ ist
fehlerhaft.
2.6 “Satz”. 1 ist die größte natürliche Zahl.
„Beweis“. Sei N ∈ N die größte natürliche Zahl. Annahme: N ≠ 1. Dann ist N < N 2 . Da N 2
auch eine natürliche Zahl ist, erhalten wir einen Widerspruch. Daher ist die Annahme falsch und
somit N = 1.
Da N kein größtes Element besitzt, ist der „Beweis“ hinfällig.
Übungsaufgaben.
(i) Zeige, dass eine ganze Zahl, deren Quadrat gerade ist, selbst gerade ist.
(ii) Beweise, dass es keine ganzen Zahlen n und m mit 28m + 42n = 100 gibt.
(iii) Zeige, dass das Produkt zweier negativer reeller Zahlen positiv ist.
(iv) Für welche n ∈ N gilt 3 n > n 3 ?
(v) Zeige, dass folgende Aussage wahr ist: Wenn 0 = 1 ist, dann sind alle natürlichen Zahlen
gleich.
3 Junktoren und Quantoren
Mathematisches Argumentieren basiert auf den Regeln der Aussagen- und Prädikatenlogik.
Aussagen sind entweder wahr oder falsch; in Zeichen: w oder f. Beispielsweise ist die Aussage
„3 ist gerade.“ falsch; die Aussage „5 ist eine Primzahl.“ ist dagegen wahr. (Es soll uns hier
nicht interessieren, wie man dies einsieht.)
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