Mathematisches Denken und Arbeiten

Abbildung 1: Idee des Beweises von Satz 2.4
Die Idee des Beweises erkennt man an einer Skizze. Die im Beweis gemachte Annahme
bedeutet geometrisch, dass es ein Quadrat gibt, deren Seiten und Diagonale n bzw. m Längeneinheiten
lang sind. Wir wählen das Quadrat kleinstmöglich. Mit einem Zirkel teilen wir die
Diagonale in einen Teil der Länge n und einen Teil der Länge m − n. Das (kleinere) Teilstück
der Länge n 1 := m − n wird zur Seite eines neuen Quadrates (in blau). Aus elementargeometrischen
Überlegungen folgt, dass n 1 auch die Länge der hellblauen Strecke ist. Die Diagonale des
neuen Quadrates liegt auf einer Seite des Ausgangsquadrates. Die Länge m 1 dieser Diagonale
erfüllt die Gleichung n 1 + m 1 = n. Folglich ist m 1 = 2n − m. Damit hätten wir ein kleineres
Quadrat gefunden mit ebenfalls ganzzahligen Seiten- und Diagonalenlängen. Dies ist nach Wahl
des Ausgangsquadrates aber nicht möglich.
Hier erhalten wir aus der geometrischen Anschauung eine Beweisidee; der formale Beweis
des Satzes nimmt aber keinen expliziten Bezug auf diese Idee.
Ein Beweis durch vollständige Induktion beruht auf folgender Eigenschaft der Menge N =
{1, 2, 3, . . . } der natürlichen Zahlen: Ist A ⊆ N mit 1 ∈ N, sodass aus n ∈ N stets n + 1 ∈ N
folgt, dann ist A = N.
2.5 Satz. Für n = 1, 2, 3, . . . gilt 16 · 2 n > (n + 4) 2 .
Beweis (durch vollständige Induktion). Wir haben für jedes n ∈ N zu zeigen, dass die Aussage
A(n) : 16 · 2 n > (n + 4) 2
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