Mathematisches Denken und Arbeiten

10.2 Satz. Sei f : I → R eine auf einem Intervall I ⊆ R 2-mal differenzierbare Funktion. Wenn
f ′′ > 0 ist, dann ist f strikt konvex.
Nach Berechnung der zweiten Ableitungen schließt man sofort, dass die Funktionen f(x) =
x 2 , f(x) = e x und f(x) = cosh x strikt konvex sind.
Beweis. Es gelte f ′′ (x) > 0 für alle x ∈ I. Dann ist f ′ streng monoton steigend nach Satz 1.3.
Seien x 0 < x 1 aus I und 0 < t < 1. Setze x m = (1−t)x 0 +tx 1 und P j = (x j , y j ), y j = f(x j ).
Es gelten
Wir haben Folgendes zu zeigen:
t = x m − x 0
x 1 − x 0
,
1 − t = x 1 − x m
x 1 − x 0
.
y m < (1 − t)y 0 + ty 1 .
Für die Steigungen m 0 und m 1 der Sekanten [P 0 , P m ] und [P m , P 1 ] gilt nach dem Mittelwertsatz
1.4 und wegen der Monotonie von f
m 0 = y m − y 0
x m − x 0
= f ′ (z 0 ) < f ′ (z 1 ) = y 1 − y m
x 1 − x m
= m 1
mit gewissen Zwischenstellen x 0 < z 0 < x m < z 1 < x 1 . Die Steigung der Sekante [P 0 , P 1 ] ist
m = y 1 − y 0
x 1 − x 0
= tm 0 + (1 − t)m 1 .
Wegen m 0 < m 1 folgt m 0 < m < m 1 . Damit folgt
y m = m 0 (x m − x 0 ) + y 0 < m(x m − x 0 ) + y 0 = mt(x 1 − x 0 ) + y 0 = t(y 1 − y 0 ) + y 0 .
Dies war zu zeigen.
Literatur
[Dei10] O. Deiser, Grundbegriffe der wissenschaftlichen Mathematik, Springer, Heidelberg,
2010.
[SS09]
H. Schichl und R. Steinbauer, Einführung in das mathematische Arbeiten, Springer,
Heidelberg, 2009.
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