Mathematisches Denken und Arbeiten

Zur Formulierung von Satz 1.3 und zu seinem Beweis bemerken wir Folgendes. Im Satz
wurden Voraussetzungen und eine Behauptung formuliert:
Voraussetzungen a) Gegeben: Ein Intervall I und eine differenzierbare Funktion f : I → R.
b) Für alle x ∈ I gilt f ′ (x) > 0.
Behauptung f ist streng monoton steigend.
Der Satz sagt aus, dass die Behauptung wahr ist, wenn die Voraussetzungen dies sind.
Im Beweis ist eine Aussage für alle x 1 und x 2 mit bestimmten Eigenschaften zu zeigen. Dazu
geht man so vor, dass man Zahlen x 1 und x 2 mit diesen Eigenschaften fixiert und dafür den
Beweis führt. Es ist wichtig, dass über x 1 und x 2 keine weiteren Eigenschaften vorausgesetzt
werden; anderenfalls wäre der Beweis nicht allgemeingültig. Eine Formulierung wie „Seien x 1
und x 2 mit . . . “ drückt aus, dass beliebige Zahlen x 1 und x 2 mit der Eigenschaft . . . vorliegen. Im
weiteren Beweis werden keine zusätzlichen Annahmen über diese Zahlen gemacht. Der Beweis
benutzt bereits bewiesene Sätze wie den Mittelwertsatz und Rechenregeln für Ungleichungen.
Es ist üblich, das Ende eines Beweis zu markieren. Gängig ist dafür das Symbol ; ich benutze
an der Tafel ⫽.
Übungsaufgaben. Im Folgenden bezeichnet I ein Intervall und D eine nichtleere Teilmenge
von R. Zum Beweis von Aussagen über differenzierbare Funktionen darf der Mittelwertsatz 1.4
weiterhin als bewiesen vorausgesetzt werden.
(i) Sei f : I → R differenzierbar. Zeige: (a) Ist f ′ = 0, dann ist f eine konstante Funktion;
(b) ist f ′ konstant, dann existieren m, c ∈ R, sodass f(x) = mx + c für alle x ∈ I gilt.
(ii) Sei f : R → R differenzierbar mit f(0) = 0. Für die Ableitung gelte f ′ (x) < −1 für alle
x ∈ R. Zeige, dass f(x) + x > 0 für alle x < 0 gilt.
(iii) Definiere für eine Funktion f : D ⊆ R → R die Begriffe Maximumstelle und Maximum.
(iv) Sei I :=]a, b[ ein offenes Intervall. Sei f : I → R differenzierbar mit einer Maximumstelle
x m ∈ I. Zeige, dass es Stellen x l , x r ∈ I gibt mit x l < x m < x r , sodass f ′ (x l ) ≥ 0 und
f ′ (x r ) ≤ 0 gelten.
2 Beweise — richtige und falsche
Ein Satz ist eine wahre Aussage, für die ein Beweis angegeben werden kann. Häufig trifft man
Formulierungen folgender Art an.
2.1 Satz. Wenn A wahr ist, dann gilt auch B.
Beweis. Sei A wahr. Wir zeigen, dass B gilt: . . .
Hier sind A und B Aussagen, die Voraussetzung bzw. die Behauptung des Satzes. Man beachte,
dass nicht die Wahrheit von B zu zeigen ist, sondern nur die von „aus A folgt B“. Auf
Aussagen und logische Schlüsse gehen wir später systematisch ein. In diesem Abschnitt betrachten
wir Beispiele von Beweisen.
Folgende Definition ist bekannt. Eine Zahl n heißt gerade genau dann, wenn es eine ganze
Zahl k gibt mit n = 2k. Allgemeiner heißt n durch p ∈ N teilbar (in Zeichen: p|n), wenn es eine
ganze Zahl k gibt mit pk = n.
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